2008年高考命题走势6-不等式(浙江省杭州市)

近年的“不等式”考到怎样难度？
不等式在高考中属主体内容，它与代数内容联系密切，高考中所占比例约为10~15%.从近三年的高考试题来看，考查的内容及其难度主要以有以下几点：
一、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题.因此，关于这一部分的知识，考生在备考中要注意理解并深刻记忆基本公式.
【例1】 （2006年江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A）　　　（B）
（C）　　　　　（D）
解答：运用排除法，C选项，当a-b<0时不成立。
【点评】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论.运用公式一定要注意公式成立的条件,如果.如果a,b是正数，那么
【例2】 （2007年陕西卷）某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2,v3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为
（A） （B）
（C） （D）
解答：设三个连续时间段的时长分别为t1,t2,t3,依题意有v1t1=v2t2=v3t3=l,总的增长量为3l，则t1+t2+t3=l.故该生物在所讨论的整个时段内平均增长速度为选D.【点评】 有些考生对平均增长速度和各段内的增长速度不理解，这就要求考生注意理解教材中的算术平均数，几何平均数及调和平均数的大小关系，充分认识高考试题来源于教材又高于教材的意义，并在高三备考阶段，特别是一轮复习阶段注重对课本知识的复习.
二、单纯考查不等式的解法、不等式的证明的试题很少，通常以不等式与函数、数列、解析几何、三角等知识的综合问题的形式出现，此类问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高.
【例3】（2005年辽宁卷 ）在Ｒ上定义运算：．若不等式对任意实数x成立，则
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解答：∵，∴不等式对任意实数x成立，则对任意实数x成立，即使对任意实数x成立，所以，解得，故选C．
【点评】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．
【例4】 （2006年山东卷）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
解答：令(2（x(2），解得1(x(2.
令(2（x(2）解得x(（，+∞）
选C.
【例5】 （2007年安徽卷）解不等式．
解答：因为对任意，，
所以原不等式等价于．
即，，，故解为．
所以原不等式的解集为．
【点评】本题将绝对值和三角函数融合到解不等式中进行考查，其根源是高次不等式的解法，解简单的高次不等式时，将高次系数化为正，再进行因式分解（往往分解为多个一次因式的乘积的形式），然后运用“数轴标根”．
三、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，复习时尤其是注意以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题.
【例6】 （2006年四川卷）已知函数f(x)=, f(x)的导函数是.对任意两个不相等的正数，证明：
（Ⅰ）当时，；
（Ⅱ）当时，。
解答：（Ⅰ）由
得


而 ①
又
∴ ②
∵ ∴
∵ ∴ ③
由①、②、③得
即
（Ⅱ）证法一：由，得
∴
下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立
∵
设，则
令得，列表如下：
极小值
∴
∴对任意两个不相等的正数，恒有
证法二：由，得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设，
则，列表：
极小值
∴ 即
∴
即对任意两个不相等的正数，恒有
【点评】 本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，是一道综合性的难题.
【例6】 （2007年四川卷）设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
解答：（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：
因
而
故只需对和进行比较。
令，有
由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值
故当时，，
从而有，亦即
故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立。
【点评】本题考查函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容.考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识.不等式本身体现的是放缩思想，所以本题紧扣求证的目标，证法一进行了四次放缩，第一次运用均值不等式放缩，第二次抓住进行放缩，第三次利用进行放缩，最后利用反比例函数的单调性实现了最后一次成功放缩，从而达到了求证的目标，该种解法难度比较大.第二种证明方法则抓住求证的目标，均值不等式放缩后，运用分析综合法，联系比较法，进行大小比较，思路自然，只不过为了说明大小关系，最后运用导数判断单调性，使问题得到解决.