二项式定理(山东省荷泽地区)
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课件29张PPT。二项式定理(一)高二二部数学组 吕艳丽(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)1=a+b 如何研究(a+b)n的二项展开式的规律性？ 一、引入 将 (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)展开后，它的各项是什么呢？ 容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项： a4， a3b， a2b2， ab3， b4（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）在上面4个括号中：恰有1个取b的情况有 种，所以a3b的系数是 ；每个都不取b的情况有1种，所以a4的系数是 ；恰有2个取b的情况有 种，所以a2b2的系数是 ;恰有3个取b的情况有 种，所以ab3的系数是 ；4个都取b的情况有 种，所以b4的系数是 . 依此类推，对于任意正整数n，上面的关系也是成立的.即： (n∈N+) 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,各项系数 ( )叫做二项式系数. 二项式定理: 叫做二项展开式的通项,特别地: 其中记作它的特点：1．项数：共有(n+1)项； 2．二项式系数：依次为 3．指数：an-r·br指数和为n，
a的指数依次从n递减到0，b的指数依次从0递增到n。是一组仅与二项式的次数n有关的n+1个组合数，而与a,b无关。思考1.二项式定理适用的条件是什么？3.二项式的系数与项的系数相同吗？2.二项式 的通项与 的通项相同吗？ 注：二项式系数 与展开中某一项系数是有区别的。 二.典型例题例1 展开解法一：直接利用二项式定理展开并化简
解法二：先化简再展开
点拨：方法二较为简单，在展开二项式之前，根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程得到简化。例2.（1）化简：
解：点拨：逆用二项式定理，要注意分析其结构特点， 的指数是从高到低， 的指数是从低到高，正、负相间是 (a-b)^n 的展开式的形式 。（2）设 ，则点拨：（3）求 的值思路点拨：结构形式与二项展开式相似，但结构形式缺少了 两个组合数及其系数，每一项也不是 的结构形式，故应对原式乘以 ，使其成 的结构形式，同时增加两项 两项。然后逆用二项式定理。
解：原式方法技巧：逆用二项式定理，要注意分析其结构特点， 的指数是从高到低， 的指数是从低到高，正、负相间是 (a-b)^n 的形式 。指数不满足时可通过乘（或除）某项来调整，缺项时通常需添加项来凑结构形式。
例3.（1）求 的展开式中x
项的系数 解：由分步计数乘法原理，要得到x的系数，
需要（n-1）个式子提供，另一个式子
提供x，系数为（1+2+3+…+n）=
（2）求 的展开式中x的系数思路点拨：转化为二项式问题或利用组合知识解：方法一
展开后x项为
展开式中x的系数为240方法技巧：三项式求特定项的思路有（1）分解因式法：通过因式分解将三项式变成两个二项式，然后再用二项式定理分别展开。（2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开。（3）利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后应把各个同类项相合并。三.拓展提高思路点拨：根据二项式系数比求出n，写出通项公式，再根据指定项的特点确定k的取值。方法技巧：（1）求二项展开式中的某些特定 项时，通常先利用通项公式由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时则需先求n，计算时要注意n和k的取值范围以及它们之间的大小关系。（2）常见问题：求常数项（未知数的指数为零），求有理项（项的指数为整数）。四.检测与反馈 展开式中的项数为 （ ）
A 10 B 11 C 12 D 92.设n为自然数，则
等于 ( )
A B 0 C -1 D 13. 展开式中 的系数是 （ ）
A B C D 4.5.6.五、课堂小结二项式定理的展开式：
二项式的通项：
二项式定理的特点
六、作业作业NO.42
a的指数依次从n递减到0，b的指数依次从0递增到n。是一组仅与二项式的次数n有关的n+1个组合数，而与a,b无关。思考1.二项式定理适用的条件是什么？3.二项式的系数与项的系数相同吗？2.二项式 的通项与 的通项相同吗？ 注：二项式系数 与展开中某一项系数是有区别的。 二.典型例题例1 展开解法一：直接利用二项式定理展开并化简
解法二：先化简再展开
点拨：方法二较为简单，在展开二项式之前，根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程得到简化。例2.（1）化简：
解：点拨：逆用二项式定理，要注意分析其结构特点， 的指数是从高到低， 的指数是从低到高，正、负相间是 (a-b)^n 的展开式的形式 。（2）设 ，则点拨：（3）求 的值思路点拨：结构形式与二项展开式相似，但结构形式缺少了 两个组合数及其系数，每一项也不是 的结构形式，故应对原式乘以 ，使其成 的结构形式，同时增加两项 两项。然后逆用二项式定理。
解：原式方法技巧：逆用二项式定理，要注意分析其结构特点， 的指数是从高到低， 的指数是从低到高，正、负相间是 (a-b)^n 的形式 。指数不满足时可通过乘（或除）某项来调整，缺项时通常需添加项来凑结构形式。
例3.（1）求 的展开式中x
项的系数 解：由分步计数乘法原理，要得到x的系数，
需要（n-1）个式子提供，另一个式子
提供x，系数为（1+2+3+…+n）=
（2）求 的展开式中x的系数思路点拨：转化为二项式问题或利用组合知识解：方法一
展开后x项为
展开式中x的系数为240方法技巧：三项式求特定项的思路有（1）分解因式法：通过因式分解将三项式变成两个二项式，然后再用二项式定理分别展开。（2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开。（3）利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后应把各个同类项相合并。三.拓展提高思路点拨：根据二项式系数比求出n，写出通项公式，再根据指定项的特点确定k的取值。方法技巧：（1）求二项展开式中的某些特定 项时，通常先利用通项公式由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时则需先求n，计算时要注意n和k的取值范围以及它们之间的大小关系。（2）常见问题：求常数项（未知数的指数为零），求有理项（项的指数为整数）。四.检测与反馈 展开式中的项数为 （ ）
A 10 B 11 C 12 D 92.设n为自然数，则
等于 ( )
A B 0 C -1 D 13. 展开式中 的系数是 （ ）
A B C D 4.5.6.五、课堂小结二项式定理的展开式：
二项式的通项：
二项式定理的特点
六、作业作业NO.42