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第16章 《二次根式》
单元复习
一、知识结构图
开平方
二次根式
运算
概念与性质
加减
乘除
二、主要知识回顾
（一）、概念
1.平方根：如果一个数的平方等于a，
那么这个数叫做a的平方根. 其中
正的平方根 （读作根号a）
也叫做a的算术平方根.
求一个数的平方根的运算叫做开平方.
2.二次根式：
形式如 （a≥0）的式子叫做二次根式
注意：二次根式的双重非负性
即 ≥0
其中a≥0
3.最简二次根式：
满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式.
4.分母有理化：
把分母中的根号化去，就是分母有理化.
5.同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次
根式后，如果被开方数相同，
像这样的二次根式称为同类二
次根式
合并同类二次根式与合并同类项类似
易错题解析
小明说 和 都是二次根式.
你认为对吗？为什么？
不对， 是的，而 不是的
∵x2+1≥1＞0，
而2a-3不能确定是非负数
练一练：
1.下列各式 ， ， ， 中，一定是二次根式的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.要使 有意义，则x的取值范围
是（ ）
A.x＜2 B.x＞2
C.x≤2 D.x＞0且x≠2
C
D
3.下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列各组二次根式中，属于同类二次
根式的一组是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
B
A
5.使二次根式 有意义的x的取值范
围是__________.
6.已知 是正整数，则实数n的最大
值是__________.
7.二次根式- 与 的和是一个二次根
式，则正整数a的最小值为______.
11
6
x≤2
（二）、性质
①
②
③
④
易错题解析
在实数范围内分解因式：x4-4.
错解：x4-4=(x2+2)(x2-2)
正解： x4-4=(x2+2)(x2-2)
=(x2+2)(x+ )(x- )
性质1的逆运用：a=( )2(a≥0)
做一做：
1.下列各式，不成立的是 （ ）
A.3= B.-a= （a＜0）
C.-5= D.- 6= -
2.下列各式，成立的是 （ ）
A. =-2 B.
C. D. =a（a＜0）
C
C
3.等式 成立的条件是 （ ）
A. x＞2 B. x≥2
C.0≤x≤2 D. x≠2
4.等式 成立的条件是（ ）
A. ＞0 B. x≠0
C. x≥2 D. x＞0
B
C
5.若 ，则a=__________.
若 =2，则a=_________.
6.在实数范围内分解因式：
x4-4=______________________.
7.在平面直角坐标系中，点（1， ）
到原点的距离为_________.
-2
2
±4
（三）、大小比较
比较不含字母的二次根式的大小通常有以下方法：
①根号外的因式移入根号内、
②平方法、
③作差法、
④作商法、
⑤分母有理化等
想一想：
1.已知 ，则 与 的关系是 （ ）
A. B.
C. D.
2.把 根号外的因式移入根号内是（ ）
A. B.
C. D.
A
C
3.用“＞”或“＜”填空：
（1） ______
（2） _______
4.分母有理化：
（1） = ___________
（2） =___________
＞
＜
（四）、运算
1.加减：二次根式的加减可以
比照整式的加减进行
2.乘除：乘法通常根据性质3进行，
除法可根据性质4进行，
也可分母有理化
3. 在二次根式的运算中，实数的运
算性质和法则同样适用
4. 对于二次根式运算的结果，通常需把它化成最简二次根式，化简时应注意：
①有时需将被开方数分解因式；
②当一个式子的分母中含有二次根式
时，一般应把分母有理化.
试一试：
1.已知直角三角形两直角边分别是
㎝和 ㎝，则它的面积是_______㎝2.
2.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
D
3.三角形的三边长分别是 ㎝，
㎝， ㎝，则这个三角形的
周长是_____________㎝.
4.下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
C
典例讲解1
计算：（1） ( + )；
（2）(4 -3 )÷2
（3）( +2)( -3)；
（4）(4+ )(4- )；
（5）(2- )2.
解析：（1）类比单项式乘以多项式；
（2）类比多项式除以单项式；
（3）类比多项式乘以多项式；
（4）利用平方差公式；
（5）利用完全平方公式.
解：（1）原式= + =3 +2 .
（2）原式=4 ÷2 -3 ÷2
=2- .
（3）原式=6-3 +2 -6=- .
（4）原式=42-( )2=16-15=1.
（5）原式=22-2×2 +( )2
=7-4 .
解法总结
1.要熟练掌握整式运算的有关法则.
2.两个乘法公式的灵活运用.
平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：
(a±b)2=a2±2ab+b2
典例讲解2
已知： - = 2.
求： 的值.
解析：本题可将已知条件适当变形，
然后整体代入求出代数式的值.
解 ∵ - =2，
∴( - )2=4，
∴x-2+ =4，
∴x+ =6，
∴( x + )2=36，
∴x2+2+ =36，
∴x2+ =34，
∴
=
=
=4
解法总结
1.认真观察已知条件与未知条件的
特征，寻找它们之间的联系.
2.利用等式性质的原理，将已知等
式采用“两边平方”的方法，进而使
问题得以解决.
能力小测试：
1.设n为正整数，且n＜ ＜n+1，则n的值
为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
2.已知x、y为实数，且 +3(y-2)2=0，则
x-y的值为（ ）
A.3 B.-3 C.1 D.-1
D
D
3.在y = 中，自变量x的取值范围
是___________.
4.小龙设计了一个关于实数的运算程
序如下，当输入x的值为4时，则输
出的值为_________.
x＞3
1
输入x
-1
输出
5.计算：（1） ×(- -2 +3 )；
（2） + - ；
（3）(2 +3)(2 -3)；
（4）( +1)÷ × (1- ).
-1
拓展
已知实数a、b、 c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：
原式=0
归纳小结
1.什么是二次根式？
2.二次根式的性质有哪些？
3.什么是最简二次根式、同类二次根式？
4.怎样进行二次根式的混合运算？
作业：P15~16A组复习题 1、2、3、4登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第16章《二次根式》单元复习学案
【学习目标】
1.理解二次根式的意义.
2.经历二次根式性质的探究过程，学会运用二次根式性质化简二次根式.
3.了解最简二次根式、同类二次根式的概念.
4.会应用二次根式性质进行二次根式的简单混合运算.
【学习重难点】
重点：二次根式的概念、四条性质以及混合运算.
难点：对性质2的理解掌握.
【学法指导】
通过复习回顾，探究本章的主要内容，理解掌握二次根式的性质与混合运算.
【自主学习】
1.什么是二次根式？
2.二次根式的性质有哪些？
3.什么是最简二次根式、同类二次根式、分母有理化？
4.怎样进行二次根式的加、减、乘、除及混合运算？
5.怎样比较二次根式的大小？
【课内探究】
活动一 小组合作：请你整理出本章的知识结构图
活动二 易错题解析
小明说和都是二次根式.你认为对吗？为什么？
错解：
解析：
正解：
活动三 练一练：
1.下列各式，，，中，一定是二次根式的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.要使有意义，则x的取值范围是 （ ）
A.x＜2 B.x＞2 C.x≤2 D.x＞0且x≠2
3.下列各式中属于最简二次根式的是 （ ）
A. B. C. D.
4.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的一组是 （ ）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
5.使二次根式有意义的x的取值范围是__________.
6.已知是正整数，则实数n的最大值是__________.
7.二次根式-与的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为______.
活动四 易错题解析
在实数范围内分解因式：x4-4.
错解：
解析：
正解：
活动五 做一做：
1.下列各式，不成立的是 （ ）
A.3= B.-a=（a＜0） C.-5= D.- 6= -
2.下列各式，成立的是 （ ）
A. = -2 B. C. D. =a（a＜0）
3.等式成立的条件是 （ ）
A. x＞2 B. x≥2 C.0≤x≤2 D. x≠2
4.等式成立的条件是 （ ）
A. ＞0 B. x≠0 C. x≥2 D. x＞0
5.若，则a=__________；若=2，则a=_________.
6.在实数范围内分解因式：x4-4=______________________.
7.在平面直角坐标系中，点（1，）到原点的距离为_________.
活动六 想一想：
1.已知，则a与b的关系是 （ ）
A. a=b B.ab=1 C.a=-b D.ab=-1
2.把根号外的因式移入根号内是 （ ）
A. B. C. D.
3.用“＞”或“＜”填空：
（1）______； （2）_______.
4.分母有理化：
（1）= ___________； （2）=___________.
活动七 试一试：
1.已知直角三角形两直角边分别是㎝和㎝，则它的面积是_______㎝2.
2.下列运算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
3.三角形的三边长分别是㎝，㎝，㎝，则此三角形的周长是_________㎝.
4.下列各式计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
活动八 典例讲解
1.计算： （1）(+)； （2）(4-3)÷2
（3）(+2)(-3)； （4）(4+)(4-)；
（5）(2-)2.
2.已知：-= 2.求：的值.
活动九 能力小测试
1.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为 （ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
2.已知x、y为实数，且+3(y-2)2 =0，则x-y的值为 （ ）
A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.在y =中，自变量x的取值范围是___________.
4.小龙设计了一个关于实数的运算程序如下，当输入x的值为4时，则输出的值为_______.
5.计算：（1）×(--2+3)； （2）+-；
（3）(2+3)(2-3)； （4）(+1)÷×(1-).
活动十 拓展
已知实数a、b、 c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：
【学习反思】
这节课，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
我的收获有：
我的疑惑有：
答案
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想一想：
1.A 2.C 3.＞；＜ 4.；3+
试一试：
1.56 2.20 3.（5+2） 4.C
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第16章《二次根式》单元达标检测
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.下列式子：①；②；③；④；⑤.其中一定是二次根式的有 （ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.若代数式有意义，则x的取值范围是 （ ）
A.x≥-1 B.x＞-1 C.x≠0 D.x≥-1且x≠0
3.下列运算结果正确的是 （ ）
A. B. C. D.
4.当＜0时，化简的结果是 （ ）
A. B. C. D.
5.将根号外的因式移入根号内得 （ ）
A. B. C. D.
6.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）
A. B. C. D.
7.若，则的平方根是 （ ）
A. B. C. D.
8.化简的结果是 （ ）
A. B. C.1 D.无法计算
9.的小数部分是x ，的整数部分是y，则的值为 ( )
A.11+6 B.11-6 C.11+3 D.11-3
10.按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果为 （ ）
A.3- B.9-5 C.- D.-2
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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.在实数范围内分解因式：x4-9=________________________.
12.实数a，b在数轴上的位置如图，化简=_______.
13.已知x -=，则x+=__________.
14.观察下列各式：=-1，=-，=-，…，请你从上述等式中找出规律，并利用这个规律计算：21世纪教育网版权所有
（+++…+）（+）=______.
三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15．已知实数x，y满足y=++2，求x和y的值.
16.直线y=mx+n如图所示，化简：--+.
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四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17.比较大小：
（1）与； （2）-与-.
18.计算：（1）（2-3）÷；（2）a·+-.
五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19.已知a，b，c是△ABC的三边长，化简：-.
20.已知a =，b=，求-的值.
六、（本题满分12分）
21.已知x+y =-5，xy=3，求的值.
七、（本题满分12分）
22.在我班“美丽教室”布置活动中，李强同学画了两张大小不同的正方形图画，其中一个面积为200㎝2，另一个面积为800㎝2.他想给图画镶上边框，他现有2 m长的彩色纸带，请你帮他算一算，他的彩色纸带够用吗？（≈1.414）
八、（本题满分14分）
23.已知直线y=x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△ABC的面积.
答案
( http: / / www.21cnjy.com )21.∵x+y =-5，xy=3，∴x＜0，y＜0，∴原式=-2=-2
22.所需彩色纸带为4（+）=120=1.6968（m）＜2m，∴彩色纸带够用.
y
x
O
B
A
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 4 页 （共 5 页） 版权所有@21世纪教育网
