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第17章 《一元二次方程》
单元复习
一、知识结构图
一元二次方程
概念、一般形式
根的判别式
根与系数的关系
解法
应用
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
分式方程（续）
列方程解应用题
二、主要知识回顾
（一）、概念、形式
概念：只含有一个未知数，并且未知数
的最高次数是2的整式方程叫做
一元二次方程.
一般形式：y=ax2+bx+c
（a≠0）
练一练：
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. x2+ =0 B. ax2+bx+c
C. (x-1)(x+2)=1 D. 3x2-2xy=0
2.已知关于x的一元二次方程
(a-1)x2+x+a2-1=0的常数项为0，则a的值为
（ ）
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0.5
C
B
3.一元二次方程x2=5x-6的一次项系数是
__________.
4.已知关于x的方程x2+bx+a的一个根是-a（a≠0），则a-b=__________.
5.我市政府广场准备修建一个面积为200m2
的长方形草坪，它的长比宽多10m，
设草坪的宽为xm，则可列方程为
_________________.
-1
x(x+10)=200
-5
（二）、解法
1.直接开平方法：符合x2=a（a≥0）的形
式的一元二次方程都可
用直接开平方法
2.配方法： ①二次项系数化为1
②配一次项系数一半的平方
③用直接开平方法求解
3.公式法： ①原方程整理成一般形式
②确定b2-4ac≥0
③运用求根公式
（b2-4ac≥0）求解
4.因式分解法： ①先因式分解
②再转化为两个一元一
次方程求解
做一做：
1.若9x2-(k+2)x+4是完全平方式，则k=（ ）
A.10 B.10或14
C.-10或14 D.10或-14
2.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+6=4，则另一个是（ ）
A.x-6=-4 B.x-6=4
C.x+6=4 D.x+6=-4
D
D
3.方程4x2-x=-5化成一般形式后，b2-4ac的值是（ ）
A. 81 B. 79 C.-79 D. -81
4.一球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）近似地满足关系式：h=15t-5t2，则小球回到地面的时间为（ ）
A. 0s B. 3s C. 0s或3s D. 5s
C
B
5.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式是
__________.
6.已知关于x的方程x2-(m+2)x+1=0中，
b2-4ac=5，则m的值为_________.
7.已知三角形两边长为2和6，第三边长是
方程x2-10x+21=0的解，则这个三角形的
第三边长为_________.
(x+3)2-7
7
1或-5
8.解下列方程：
（1）x2-6x+9=(5-2x)2（直接开平方法）；
（2）2x2-3x-6=0（配方法）；
（3）(x-3)(x-4)=5x（公式法）；
（4）2(5x-1)2=3(1-5x)（因式分解法）.
（1）x1= ，x2=2 （2）x=
（3）x=6 （4）x1= ，x2=
（三）、根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
的判别式：△=b2-4ac≥0
△＞0 方程有两个不相等的实数根
△=0 方程有两个相等的实数根
△＜0 方程没有实数根
想一想：
1.下列方程中，有两不等实根的是 （ ）
A. x2-2x-1=0 B.x2-2x+3=0
C. x2=2 x-3 D.x2-4x+4=0
2.方程x2-4mx=2-m(m为常数)根的情况是（ ）
A.有两不等实根 B.有两等实根
C.没有实数根 D.无法判断
A
A
3.方程x2+ x+ =0的根的判别式
△=_______.
4.在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若ac＜
0，则它的根的情况是_____________.
5.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，
则a满足的条件是___________.
有两不等实根
a≥1
（四）、根与系数的关系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的两个根为x1、x2，那么
x1+x2=- ，x1x2=
注意：隐含条件△≥0
1.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两个根
分别为x1，x2则x12x2+x1x22的值为（ ）
A.-3 B.3 C.-6 D.6
2.若方程x2-x+k=0的两根之比为2，则k
的值为（ ）
A. B. - C. D.-
B
C
试一试：
3.两数和为5，积为6，则这两个数是
_____________.
4.点P(a，b)是直线y=-x+5上的点，且
a，b是方程x2+px+6=0的两个实根，
则p=_____________.
5.已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两个
根，则x12-3x2+20=_________.
2和3
-5
28
1.可化为一元一次方程的分式方程
注意：验根
2.列方程解应用题：
步骤：审、设、列、求、验、答
注意：①关键是找出等量关系列出方程；
② 验根时既要检验是否是原方程
的根，又要检验是否符合题意.
（五）、应用
考考你：
1.若两个连续整数的积是20，则这两个数是（ ）
A.4和5 B.-5和-4
C.4和5或-5和-4 D. 4和 5
2.某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，由题意可列方程为（ ）
A.168(1+x)2=128 B.168(1-x)2=128
C.168(1-2x)2=128 D.168(1-x2)=128
C
B
3.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是_____________.
4.在同一平面内有n条直线两两相交，共有28个交点，则n=_______.
5.某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，则这种存款的年利率是_______（不计利息税）.
25或36
8
10%
1.化归方法：将待解决的问题化归成先前
已解决的问题的一种数学思想方法
2.配方法：将一元二次方程通过配方化归
为可直接用开平方法来解方程的方法
3.换元法：通过整体设元、换元，把不可
解或难解的分式方程化归为可解的
方程的一种重要的数学思想方法.
（六）、思想方法
易错题解析
已知关于x的方程kx2-(2k+1)x+k=0
有两个不相等的实数根，则k的取值范
围是__________________.
错解：k≥-
正解：k≥- 且k≠0
注意条件：
a≥0
典例讲解1
解下列方程：（1）x2+x-1=0；
（2）(x-3)2+2x(x-3)=0.
解析：（1）方程为一般形式，不适合用
特殊的解法，可用公式法或配方法来解；
（2）方程左边两项中有公因式(x-3)，可
用因式分解法来解.
解：（1）（公式法）
x2+x-1=0
∵a=1，b=1，c=-1
∴b2-4ac=1+4=5＞0
∴x=
∴x1= ，x2=
解：（1）（配方法）
x2+x-1=0
x2+x+ =1+
∴(x+ )2=
∴x+ =
∴x1= ，x2=
（2）(x-3)2+2x(x-3)=0
∴(x-3)(x-3+2x)=0
(x-3)(3x-3)=0
∴x1=3，x2=1
典例讲解2
若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根，求m的取值范围.
解析：本题易认为所给方程是一元二次方程，而用b2-4ac≥0且m2-1≠0来解.事实上，题目中没有指明方程的次数，也没有指明根的个数，因此应考虑方程为二次方程和一次方程两种情况.
解：（1）若方程是一元二次方程，
且有实数根，则必有
b2-4ac=[-2(m+2)]2-4(m2-1)≥0
且m2-1≠0
解得 m≥- 且m≠ 1
（2）若方程为一元一次方程，则有
m2-1=0且-2(m+2)≠0，解得m= 1
当m=1时，原方程为-6x+1=0，解得x=
当m=-1时，原方程为-2x+1=0，解得x=
综合(1)(2)可得，当m≥- 时，原方程有实数根.
典例讲解3
我校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面积相等，求彩纸的宽度.
解析：已知矩形长、宽可求出矩形面积和镶边面积，设彩纸的宽度为xcm，然后用x分别表示新矩形的长、宽，根据彩纸面积与原画面的面积相等，列出方程求解即可.
解：设彩纸的宽度为xcm，
由题意，得
(30+2x)(20+2x)=2×30×20
化简得 (x+30)(x-5)=0
解得 x1=5，
x2=-30(不合题意，舍去)
答：彩纸的宽为5cm.
解题方法总结
1.注意一元二次方程一般形式中的条件：a≥0.
2.灵活运用一元二次方程的四种解法解方程：
直接开平方法 配方法
公式法 因式分解法
3.列方程解应用题时的关键：
准确分析题中的等量关系，正确列出方程.
能力小测试：
1.不论x取何值时，2x-x2-3的值 （ ）
A.不小于-2 B.不大于-2
C.有最小值-2 D.有可能大于零
2.下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一
元二次方程的是（ ）
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2-3x+9=0
C.ax2+x=x2-1 D.(3a2+4)x2-2=0
B
D
3. 已知关于x的一元二次方程kx2-4kx+k-5=0
有两个相等的实数根，则k=______.
4.在解方程x2+px+q时，小张看错了p，
解得方程的根为1和-3,；小王看错了
q，解得方程的根为4和-2.则这个方
程是__________________.
x2-2x-3=0
-
5.用适当的方法解下列方程：
（1）3x(x-1)=1-x；
（2）x2-2x-11=0；
（3）2x2-5x-1=0.
（1）x1=1
x2=-
（2）x1=1+2
x2=1-2
（3）x1=
x2=-
6.A、B两地相距18km，甲工程队要在A、B两地间铺一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道.已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1km，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙工程队每周各铺设多少千米？
甲工程队每周铺设2km
乙工程队每周铺设3km
能力拓展
用换元法解方程：
x1=1,x2=2
提示：设y=
则原方程为2y2-3y-2=0
归纳小结
1.你能把本章的内容作一个书面整理吗？
2.利用方程（组）解决实际问题的关键是什么？
3.本章有哪些地方用到了“化归方法”这一重要数学思想方法是最简二次根式、同类二次根式？
作业：P47~48A组复习题 4、6、8登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第17章《一元二次方程》单元复习学案
【学习目标】
1.知道本章的知识结构，并能用书面形式整理出来.
2.会用不同的方法解一元二次方程.
3.理解一元二次方程的根的判别式，了解一元二次方程根与系数的关系.
4.掌握用一元二次方程解决实际问题的能力体会数学建模和化归思想.
【学习重难点】
重点：一元二次方程的解法、根的性质及其应用.
难点：配方法和建立一元二次方程或分式方程模型解决实际问题.
【学法指导】
通过复习回顾，探究本章的主要内容，理解掌握一元二次方程的解法及其应用.
【自主学习】
1.什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？
2.一元二次方程的解法有哪些？
3.一元二次方程根的判别式是什么？怎样用它判断一元二次方程根的情况？
4.一元二次方程根与系数的关系是怎样的？
5.列一元二次方程解应用题的一般步骤有哪些？
【课内探究】
活动一 小组合作：请你整理出本章的知识结构图
活动二 练一练：
1.下列方程中，是一元二次方程的是 （ ）
A.x2+=0 B.ax2+bx+c C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy=0
2.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的常数项为0，则a的值为 （ ）
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0.5
3.一元二次方程x2=5x-6的一次项系数是__________.
4.已知关于x的方程x2+bx+a的一个根是-a（a≠0），则a-b=__________.
5.我市政府广场准备修建一个面积为200m2的长方形草坪，它的长比宽多10m，
设草坪的宽为xm，则可列方程为_________________.
活动三 做一做：
1.若9x2-(k+2)x+4是完全平方式，则k = （ ）
A.10 B.10或14 C.-10或14 D.10或-14
2.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+6=4，则另一个是（ ）
A.x-6=-4 B.x-6=4 C.x+6=4 D.x+6=-4
3.方程4x2-x=-5化成一般形式后，b2-4ac的值是 （ ）
A. 81 B. 79 C.-79 D. -81
4.一球以15m/s的速度竖直向上弹出，它 ( http: / / www.21cnjy.com )在空中的高度h（m）与时间t（s）近似地满足关系式：h=15t-5t2，则小球回到地面的时间为 （ ）
A. 0s B. 3s C. 0s或3s D. 5s
5.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式是__________.
6.已知关于x的方程x2-(m+2)x+1=0中，b2-4ac=5，则m的值为_________.
7.已知三角形两边长为2和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的解，则这个三角形的第三边长为_________.21世纪教育网版权所有
8.解下列方程：
（1）x2-6x+9=(5-2x)2（直接开平方法）； （2）2x2-3x-6=0（配方法）；
（3）(x-3)(x-4)=5x（公式法）； （4）2(5x-1)2=3(1-5x)（因式分解法）.
活动四 想一想：
1.下列方程中，有两不等实根的是 （ ）
A. x2-2x-1=0 B.x2-2x+3=0 C. x2=2x-3 D.x2-4x+4=0
2.方程x2-4mx=2-m(m为常数)根的情况是 （ ）
A.有两不等实根 B.有两等实根 C.没有实数根 D.无法判断
3.方程x2+x+=0的根的判别式△=_______.
4.在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若ac＜0，则它的根的情况是_____________.
5.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则a满足的条件是___________.
活动五 试一试：
1.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别为x1，x2则x12x2+x1x22的值为 （ ）
A.-3 B.3 C.-6 D.6
2.若方程x2-x+k=0的两根之比为2，则k的值为 （ ）
A. B. - C. D.-
3.两数和为5，积为6，则这两个数是_____________.
4.点P(a，b)是直线y=-x+5上的点，且a，b是方程x2+px+6=0的两个实根，则p=______.
5.已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两个根，则x12-3x2+20=_________.
活动六 考考你
1.若两个连续整数的积是20，则这两个数是 （ ）
A.4和5 B.-5和-4 C.4和5或-5和-4 D.4和5
2.某药品经过两次降价，每瓶零售价 ( http: / / www.21cnjy.com )由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，由题意可列方程为 （ ）
A.168(1+x)2=12 ( http: / / www.21cnjy.com )8 B.168(1-x)2=128 C.168(1-2x)2=128 D.168(1-x2)=128
3.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是_______.
4.在同一平面内有n条直线两两相交，共有28个交点，则n=_______.
5.某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，则这种存款的年利率是_______（不计利息税）.21教育网
活动七 易错题解析
已知关于x的方程kx2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________________.www.21-cn-jy.com
错解：
解析：
正解：
活动八 典例讲解
1.解下列方程： （1）x2+x-1=0； （2）(x-3)2+2x(x-3)=0.
2.若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根，求m的取值范围.
3.我校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面 ( http: / / www.21cnjy.com )，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面积相等，求彩纸的宽度.
活动九 能力小测试
1.不论x取何值时，2x-x2-3的值 （ ）
A.不小于-2 B.不大于-2 C.有最小值-2 D.有可能大于零
2.下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是 （ ）
A.(2x-1)( ( http: / / www.21cnjy.com )x2+3)=2x2-a B.ax2-3x+9=0 C.ax2+x=x2-1 D.(3a2+4)x2-2=0
3.已知关于x的一元二次方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，则k=______.
4.在解方程x2+px+ ( http: / / www.21cnjy.com )q时，小张看错了p，解得方程的根为1和-3；小王看错了q，解得方程的根为4和-2.则这个方程是__________________.21·cn·jy·com
5.用适当的方法解下列方程：
（1）3x(x-1)=1-x； （2）x2-2x-11=0； （3）2x2-5x-1=0.
6.A、B两地相距18km，甲工程队要 ( http: / / www.21cnjy.com )在A、B两地间铺一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道.已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1km，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙工程队每周各铺设多少千米？
活动十 能力拓展
用换元法解方程：
【学习反思】
这节课，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
我的收获有：
我的疑惑有：
答案
( http: / / www.21cnjy.com )错解：k≥- 正解：k≥-且k≠0
典例讲解1
解：（1）（公式法）x2+x-1=0 ∵a=1，b=1，c=-1 ∴b2-4ac=1+4=5＞0 ∴x=
∴x1= ，x2=
（1）（配方法） x2+x-1=0 x2+x+=1+ ∴(x+)2= ∴x+=
( http: / / www.21cnjy.com )≠0，解得m=1 当m=1时，原方程为-6x+1=0，解得x= 当m=-1时，原方程为-2x+1=0，解得x= 综合(1)(2)可得，当m≥-时，原方程有实数根.21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
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第17章《一元二次方程》单元达标检测
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.下列方程属于一元二次方程的是 （ ）
A.ax2+bx+c=0 B.(x-3)x2=x C.x-=0 D.x2=0
2.关于x的一元二次方程(m+1)x2-3x+m2-1=0的常数项为0，则m的值为 （ ）
A.1 B.-1 C. 1或-1 D.0
3.方程x2-2x-3=0的根的情况是 （ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根 D.没有实数根
4.一元二次过程x2-5x=0的根是 （ ）
A.x=5 B.x1=0，x2=5 C.x1=0，x2=-5 D.x=-5
5.配方法解方程-x2-6x+1=0,下列配方正确的是 （ ）
A.(x-3)2=8 B.(x+3)2=-10 C.(x+3)2=10 D.(x-3)2=10
6.某冬季服装经过两次降价后价格为降价前的81%，则平均每次降价 （ ）
A.5% B.10% C.15% D.20%
7.解方程(x+1)2=4(x-2)2较为简捷的方法是 （ ）
A.直接开平方法或配方法 B.公式法
C.公式法或因式分解法 D.直接开平方法或因式分解法
8.已知代数式3y2-2y+6的值是8，则代数式y2-y+2的值是 （ ）
A. 1 B.2 C.3 D.4
9.若x1，x2是方程x2-5x+6=0的两个根，则+的值为 ( )
A. B. - C. D.-
10.已知实数x满足x2-3x+1=0，则x -的值为 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.小明设计了一个如下图的密码程序，当输出为2015时，输入的x =___________.
12.已知三角形的两边分别是3和5，第三边的数值是方程x2-8x+12=0的根，则这个三角形的周长为_______.21教育网
13.若关于x的一元二次方程x2+cx+b=0没有实数根，则符合条件的一组b，c的值可以是：b=_______，c=__________.21cnjy.com
14.在一个长为50m，宽为3 ( http: / / www.21cnjy.com )0m的长方形空地上修筑同样宽的道路（如图），使余下的部分种植花草，且使花草的总面积是道路面积的3倍，那么路宽是多少 设路宽为xm，由题意所列并经整理后方程是_____________________________.
( http: / / www.21cnjy.com )
三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15．分别用两种不同的方法解下列方程：
（1）4(x-3)2-25=0； （2）x2-2x=1.
16.在物理学中，我们知道竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式h=v0t-gt2，其中重力加速度g以10m/s2计算，爆竹点燃后以初速度v0=20m/s上升，问经过多少时间爆竹离开地面15m？21世纪教育网版权所有
四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17.证明：不论k为何值，方程x2-(2k -1)x -k(k +1)=0总有两个不相等的实数根.
18.已知方程x2-3x+m=0的一个根为-1，求方程的另一个根及m的值.
五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19.某车间要加工170个零件，在加工 ( http: / / www.21cnjy.com )完90个以后改进了操作方法，每天多加工10个，一共用5天完成了任务.求改进操作方法后每天加工的零件个数.
20.如图所示，在长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=8，b=5，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.
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六、（本题满分12分）
21.把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和为58cm2，该怎么剪？
（2）这两个正方形的面积之和有可能为48cm2吗？请说明理由.
七、（本题满分12分）
22.关于x的一元二次方程mx2+3x-1=0的两个实数根分别为x1、x2.
（1）求m的取值范围；
（2）若2(x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值.
八、（本题满分14分）
23.我市一菜农计划把某新品种蔬菜以5元/ ( http: / / www.21cnjy.com )千克对外批发销售，由于盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，为加快销售，减少损失，，对价格经过两次下调后，以3.2元/千克对外批发销售.21·cn·jy·com
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）李东的爸爸准备到这个菜农处购买5吨该蔬菜，因数量多，这个菜农决定再给予两种优惠方案选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元.
请问：李东的爸爸选择哪种方案更优惠，并说明理由.
答案
( http: / / www.21cnjy.com )20.（1）ab-4x2；
（2）由题意，得4x2=5×8-4x2,
解得x1=,x2=-（不合题意舍去）
∴正方形的边长是
21.解：（1）设其中一段长为xcm，由题意，得，解得x1=12，x2=28
将40cm长的铁丝剪成12cm和28cm的两段；
（2）不可能，假设面积和为48cm2，则有，
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