(共34张PPT)
第18章 勾股定理
单元复习
全章知识结构图
勾股定理
勾股定理
直角三角形
勾股定理的逆定理
性质
判定
定理
应用：求线段的
长度；解决
实际问题
定理
应用：证明两条
线段垂直；
解决实际问题
主要知识回顾
1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c为三边的长，则有：
a2+b2=c2
2.勾股定理的应用
已知a、b，求c
c =
已知a、c，求b
b =
已知b、c，求a
a =
易错题解析
若一个直角三角形的两边长分别为
6，8，则第三边长为__________.
错解：10
正解：10或2
解析：两边长6和8未讲是直角边还是斜边，
应分8是最长边和第三边是最长边两种情况.
典例突破1
在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，
∠C的对边分别是a，b，c.
（1）若a=3，b=4，则c=______.
（2）若a=6，c=10，则b=_______.
（3）若c=10，a︰b=8︰15，则
a=______，b=______.
（4）若b=5, ∠B=30°，则c=________.
解析：（1）c2=a2+b2=25，∴c=5
（2）b2=c2-a2=64，则b=8
（3）由a︰b=8︰15，
可设a=8x，b=15x（x＞0），
∵c2=a2+b2，∴c=17x，又c=34，∴x=2，
∴a=16，b=30
（4）∵∠C=90°，∠B=30°，
∴c=2b=10
典例突破1
在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，
∠C的对边分别是a，b，c.
（1）若a=3，b=4，则c=______.
（2）若a=6，c=10，则b=_______.
（3）若c=10，a︰b=8︰15，则
a=______，b=______.
（4）若b=5, ∠B=30°，则c=________.
5
8
16
30
10
典例突破2
小明在测量学校旗杆的高时发现，旗杆的绳子垂到地面上还多出1m，当他把绳子拉直并把绳子的下端触地时，绳子离开旗杆5m，请你帮他求出旗杆的高度.
分析：（1）旗杆的绳子比旗杆多1m，也
就是线段____比线段___多1m.
（2）绳子离开旗杆5m，即线段____=5m.
（3）若设旗杆的高为xm，则
AB=__________m.
（4）根据勾股定理，你能得到怎样的方程？
AB
AC
BC
(x+1)
(x+1)2=x2+52
解：设旗杆的高为xm，
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵ AC2+BC2=AB2 ，
则有： (x+1)2=x2+52
解得 x=12
答：旗杆的高为12m.
3.勾股定理的逆定理：如果直角三角形三边
长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个
三角形是直角三角形
在△ABC中，a，b，c为三边的长，
若a2+b2=c2，则∠C =90°；
若a2+c2=b2，则∠B =90°；
若c2+b2=a2，则∠A =90°.
4.勾股定理的逆定理应用
①判定一个三角形是否是直角三角形
②证明两条线段垂直
③解决实际问题
④在△ABC中，a，b，c为三边的长，其中c
为最长边.
若a2+b2=c2，则三角形为直角三角形；
若a2+b2＞c2，则三角形为锐角三角形；
若a2+b2＜c2，则三角形为钝角三角形.
⑤勾股数：能够成为直角三角形三条边长
度的三个正整数
如果m，n是任意给定的正整数
（m＞n），则m2+n2，2mn，m2-n2是勾
股数，又称毕达哥拉斯数
例如： 3,4,5； 5,12,13；
9,40,41； …
易错题解析
一个三角形的三边长的比为1︰1︰ ，
则该三角形的形状是_________三角形.
错解：直角
解析：既要用勾股定理的逆定理，
又要注意有两边相等.
正解：等腰直角
典例突破3
根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形：
（1）a= +1，b= -1，c= ；
（2）a︰b︰c=13︰12︰5.
分析：要先找出最长边，并算出它的平分，
再算出两条较短边的平方和，然后判断最长
边的平方是否等于两条较短边的平方和.
解（1）最长边为c= ，
则c2=6.
∵a2+b2=( +1)2+( -1)2
=3+2 +3-2
=6
∴c2=a2+b2
∴△ABC是直角三角形.
（2）设a=13k，b=12k，c=5k（k＞0）
∵最长边是a=13k
∴a2=(13k)2
=169k2
∵b2+c2=(12k)2+(5k)2
=169k2
∴a2=b2+c2
∴△ABC是直角三角形.
典例突破4
如图，A、B、C、D是四个小城镇，除BC外，它们之间都有笔直的公路连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比.已知各城镇间的公共汽车票价如下：A—B：10元；A—C：12.5元；A—D：8元；B—D：6元；C—D：4.5元.
为了方便B、C之间的交通，在B、C之间建成一条笔直的公路请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为多少元？
分析：由于票价与路程成正比，
所以可将票价视为路程
来处理.
在△ABD中，由勾股定理的逆定理可得∠ADB=90°，再在Rt△BDC中由BD，CD可求得BC.
解：在△ABD中，AB=10，AD=8，BD=6，
∴AD2+BD2=82+62=100
又AB2=102=100
∴AD2+BD2=AB2
∴∠ADB=90°，∠BDC=90°.
在Rt△BDC中，BC=
= =7.5.
答：B、C之间公共汽车的票价为7.5元.
典例突破5
如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，
AD=13cm，DC=12cm，AB=3cm，
BC=4cm，求四边形ABCD的面积.
分析：（1）怎样求AC的长？
（2）△ABC是什么形状的三角形？为什么？
（3）怎样求四边形的面积呢？
在△ADC中用勾股定理求
直角三角形；根据勾股定理的逆定理
△ADC与△ABC的面积之和
解：在Rt△ADC中，AD=13，DC=12，
∴AC= = =5.
又∵AB=3，BC=4，∴AB2+BC2=AC2 ∴∠B=90°
∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC
= ×DC×AC+ ×AB×BC
= ×12×5+ ×3×4
=36（cm2）
答：四边形ABCD的面积为36cm2.
解题方法总结
1.在运用勾股定理时，首先要确定哪个角是直角，然后再确定两条直角边和斜边，最后再考虑怎样运用勾股定理.
2.在运用勾股定理的逆定理时，先确定三边长，再找三边长的平方的关系，然后确定直角三角形（哪个角是直角）.
3.熟记常见的勾股数.
达标检测
1.已知一个直角三角形的面积为6cm2，一
条直角边长为3cm，则它的斜边长为（ ）
A.5cm B.6cm C.8cm D.12cm
2.等腰三角形底边上的高是8，周长是32，
则此三角形的面积是（ ）
A.32 B.40 C.48 D.56
A
C
3.已知︱x-12︱+(y-13)2与z2-10z+25互为相反数，则以x、y、z为三边的三角形是___________三角形.
4.在△ABC中，AB=2k，AC=2k-1，BC=3，当k=______时，∠C=90°.
5.给出一组式子：32+42=52，
82+62=102,152+82=172,242+102=262，….
请你依据规律直接写出第五个式子：______________________.
直角
2.5
352+122=372
6.如图，在操场上竖直立着一根长为2m的测
影竿CD，早晨测得它的影长BD为4m，中
午测得它的影长 AD为1m，且B、D、A在
同一条直线上，则A、B、C三点能否构成直
角三角形？为什么？
解：能，理由如下：
∵在Rt△BDC中，
BD=4，CD=2，
∴BC2=BD2+CD2=42+22=20，
同理，AC2=5，
又∵AB=BD+AD=5 ∴AB2=52=25
∴AB2=BC2+AC2
∴△ABC为直角三角形
拓展练习
如图，在△ABC中，AB︰BC︰CA=3︰4︰5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3s时，△BPQ的面积是多少？
解：设AB=3xcm，BC=4xcm，AC=5xcm，
∵周长为36cm，
∴3x+4x+5x=36
解得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，CA=15cm，
∵AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形，
∴经过3s时，BP=9-3×1=6(cm)，
BQ=2×3=6（cm）
∴S△BPQ = BP×BQ
= ×6×6
=18（cm2）
答：△BPQ的面积为18cm2.
课堂小结
什么是勾股定理？
什么是勾股定理的逆定理？
什么是勾股数？常见的勾股数有哪些？
勾股定理及其逆定理的应用
作业：P65 第5、6、7题登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第18章《勾股定理》单元复习学案
【学习目标】
1.知道本章的知识结构，并能用书面形式整理出来.
2.体验勾股定理的探究过程，养成良好的思维习惯.
3.会用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，提高思考、分析、解决问题的能力.
【学习重难点】
重点：勾股定理及其逆定理的内容和应用.
难点：勾股定理发现过程中所体现的重要数学思想.
【学法指导】
通过复习回顾，探究本章的主要内容，理解掌握勾股定理及其逆定理的内容与应用.
【自主学习】
1.什么是勾股定理？
2.什么是勾股定理的逆定理？
3.什么是勾股数？常见的勾股数有哪些？
4.勾股定理及其逆定理的应用有哪些？
【课内探究】
活动一 小组合作：请你整理出本章的知识结构图
活动二 易错题解析
若一个直角三角形的两边长分别为6，8，则第三边长为__________.
错解：
解析：
正解：
活动三 典例突破1：
在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
（1）若a=3，b=4，则c=______.
（2）若a=6，c=10，则b=_______.
（3）若c=10，a︰b=8︰15，则a=______，b=______.
（4）若b=5, ∠B=30°，则c=________.
分析：（1） （2）
（3） （4）
活动四 典例突破2：
小明在测量学校旗杆的高时发现，旗杆的绳子 ( http: / / www.21cnjy.com )垂到地面上还多出1m，当他把绳子拉直并把绳子的下端触地时，绳子离开旗杆5m，请你帮他求出旗杆的高度.
分析：（1）旗杆的绳子比旗杆多1m，也就是线段____比线段___多1m.
（2）绳子离开旗杆5m，即线段____=5m.
（3）若设旗杆的高为xm，则AB=__________m.
（4）根据勾股定理，你能得到怎样的方程？
解：
活动五 易错题解析
一个三角形的三边长的比为1︰1︰，则该三角形的形状是_________三角形.
错解：
解析：
正解：
活动六 典例突破3：
根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形：
（1）a=+1，b=-1，c=； （2）a︰b︰c=13︰12︰5.
分析：
解：（1） （2）
活动七 典例突破4：
如图，A、B、C、D是四个小城镇，除BC外 ( http: / / www.21cnjy.com )，它们之间都有笔直的公路连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比.已知各城镇间的公共汽车票价如下：A—B：10元；A—C：12.5元；A—D：8元；B—D：6元；C—D：4.5元.为了方便B、C之间的交通，在B、C之间建成一条笔直的公路请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为多少元？21世纪教育网版权所有
分析：
解：
活动八 典例突破5
如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD=13cm，DC=12cm，AB=3cm， BC=4cm，求四边形ABCD的面积.21教育网
分析：（1）怎样求AC的长？
（2）△ABC是什么形状的三角形？为什么？
（3）怎样求四边形的面积呢？
解：
活动九 达标检测
1.已知一个直角三角形的面积为6cm2，一条直角边长为3cm，则它的斜边长为 （ ）
A.5cm B.6cm C.8cm D.12cm
2.等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则此三角形的面积是 （ ）
A.32 B.40 C.48 D.56
3.已知︱x-12︱+(y-13)2与z2-10z+25互为相反数，则以x、y、z为三边的三角形是___________三角形.21cnjy.com
4.在△ABC中，AB=2k，AC=2k-1，BC=3，当k=______时，∠C=90°.
5.给出一组式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262，….
请你依据规律直接写出第五个式子：______________________.
6.如图，在操场上竖直立着一根长为2m的测 ( http: / / www.21cnjy.com )影竿CD，早晨测得它的影长BD为4m，中午测得它的影长 AD为1m，且B、D、A在同一条直线上，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
活动十 拓展练习：
如图，在△ABC中，AB︰ ( http: / / www.21cnjy.com )BC︰CA=3︰4︰5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3s时，△BPQ的面积是多少？www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
【学习反思】
这节课，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
我的收获有：
我的疑惑有：
答案
( http: / / www.21cnjy.com )正解：等腰直角
典例突破3：
解（1）最长边为c=，则c2=6.
∵a2+b2=(+1)2+(-1)2=3+2+3-2=6
∴c2=a2+b2∴△ABC是直角三角形.
（2）设a=13k，b=12k，c=5k（k＞0）∵最长边是a=13k∴a2=(13k)2=169k2
∵b2+c2=(12k)2+(5k)2=169k2
∴a2=b2+c2
∴△ABC是直角三角形.
典例突破4：
解：在△ABD中，AB=10，AD=8，BD=6，∴AD2+BD2=82+62=100
又AB2=102=100∴AD2+BD2=AB2∴∠ADB=90°，∠BDC=90°.
在Rt△BDC中，BC===7.5.
答：B、C之间公共汽车的票价为7.5元.
6. 解：能，理由如下：∵在Rt△BDC中，BD=4，CD=2，∴BC2=BD2+CD2=42+22=20，
同理，AC2=5，又∵AB=BD+AD=5 ∴AB2=52=25∴AB2=BC2+AC2∴△ABC为直角三角形
拓展练习：
解：设AB=3xcm，BC=4xcm，AC=5xcm，
∵周长为36cm，
∴3x+4x+5x=36
解得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，CA=15cm，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第18章《勾股定理》单元测试卷
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.已知一个直角三角形三边的平方和为800，则斜边长为 （ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
2.直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为 （ ）
A.5 B. C.5或 D.或
3.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是 （ ）
A.7,24,25 B.9,40,41 C.5,12,13 D.2.5,3,3.5
4.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对 ( http: / / www.21cnjy.com )边分别是a，b，c，下列说法中，不能得出△ABC是直角三角形的是 （ ）
A.a2-c2=b2 B.(a-b)(a+b)+c2=0
C.∠A=∠B=∠C D.∠A=2∠B=2∠C
5.等腰直角三角形三条边的长度之比为 （ ）
A.1︰1︰2 B.1︰︰2 C.1︰1︰ D.无法确定
6.下列各组数中，是勾股数的是 （ ）
A.1，2， B.，2， C.79，150，170 D.70，240，250
7.如图，有一块边长为12米的正方形绿 ( http: / / www.21cnjy.com )地，在绿地旁边B处有一新农村健身器材，由于居住在A处的居民去健身时践踏绿地，于是李亮同学就在A处立了一个标牌“少走___步，踏之何忍！”（2步=1米）你认为标牌上的数字是 （ ）
A.25 B.26 C.27 D.28
8.如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三边长a，b，c的大小关系是 （ ）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜b＜a D.c＜a＜b
9.如图，将三边长分别为3，4，5 ( http: / / www.21cnjy.com )的△ABC，沿最长边AB翻转180°得到△ABC1，则CC1的长为 ( )
A. B. C. D.
10.如图，将边长为8cm的正方形纸片A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为 （ ）
A. 3cm B. 4cm C.5cm D. 6cm
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.如图，在边长为2的正方体中，有一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到棱BC的中点D处，它爬行的最短距离是___________.21教育网
12.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=，折叠该纸片，使点A与点B重合，则折痕DE的长为_______.21cnjy.com
13.如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的三个顶点，则∠ABC的度数为______.21·cn·jy·com
14.如图，是一个正方形的物体沿斜坡下 ( http: / / www.21cnjy.com )滑的截面图，正方形DEFG的边长为2m，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6m，当正方形DEFG运动到什么位置，即当AE=_______m时，有DC2=AE2+BC2.www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=41，BC=40，求AC的长.
16.如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求BC的长.21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )
四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17.在△ABC中，高AD=12，边AC=13，边BC=14，求边AB的长.
18.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，且EB=AB，F为BC的中点.试问△AEF是什么三角形？请说明理由.2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19.我校有一块直角三角形的绿 ( http: / / www.21cnjy.com )化带如图，已知∠ACB=90°，AC=30m，BC=40m，学校想从点C向边AB修一条水渠，若水渠造价为15元/m，问怎样修水渠造价最低，最低造价是多少？21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
20.如图，在马航MH370搜寻过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，我国的甲、乙两艘军舰同时从A处出发，甲军舰沿北偏西30°方向以每小时16海里的速度搜寻前进，乙军舰沿南偏西某方向以每小时30海里的速度搜寻前进，1小时后甲军舰到达B处，乙军舰到达C处，此时两军舰相距34海里，请你算一算：乙军舰是沿哪个方向搜寻前进的？
( http: / / www.21cnjy.com )
六、（本题满分12分）
21.如图，在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB于点D，交BC于点E，且D为AB的中点.求证： AC2 =BC(BE-CE).www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
七、（本题满分12分）
22.在一次探究学习活动中，徐老师设计了如下的数表：
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1）请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并用含n（n＞1）的式子表示：
a =______________，b =________________ ,c =__________________；
（2）猜想以a，b，c为边的三角形是否是直角三角形？并证明你的猜想.
八、（本题满分14分）
23.一台风中心位于图中的点A处，位于点B ( http: / / www.21cnjy.com )处的一所学校距离台风中心160m，且∠CAB=30°，台风以36km/h的速度沿AB方向移动，若离台风中心100m范围内会受到台风影响，试问：学校是否受台风影响？并说明理由.若受影响，则学校受台风影响的时间有多长？【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
答案
( http: / / www.21cnjy.com )19.过点C作CD⊥AB于点D，沿CD修水渠造价最低，为（元）.
20.南偏西60°，∵AB=16，AC=30，BC=34，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴ 180°-90°-30°=60°
21.证明：连接AE，
∵ED⊥AB，D为AB的中点，∴AE=BE，
∴在Rt△ACE中，AC2=AE2-CE2
=BE2-CE2
=(BE+CE)(BE-CE)
=BC(BE-CE).
( http: / / www.21cnjy.com )
受影响时台风运动的路程为2=120（m），
∴受影响的时间为120÷=12（s）.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 4 页 （共 5 页） 版权所有@21世纪教育网
