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第19章 《四边形》
复习课件
全章知识结构
多边形
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
各种特殊四边形之间的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形
性质：①对边平行且相等
②对角相等，邻角互补
③对角线互相平分
各种特殊四边形的性质与判定
判定：①根据定义判定
②一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
③两组对边分别相等的四边形
是平行四边形
④两组对角分别相等的四边形
是平行四边形
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形
性质：①具有平行四边形的所有性质
②四个角都是直角
③对角线相等
判定：①根据定义判定
②对角线相等的平行四边形是矩形
③三个角是直角的四边形是矩形
矩形
定义：有一组邻边相等的平行四边形
性质：①具有平行四边形的所有性质
②四条边都相等
③对角线互相垂直平分，
且每条对角线平分一组对角
菱形
判定：①根据定义判定
②四边都相等的四边形是菱形
③对角线互相垂直的
平行四边形是菱形
菱形
正方形
定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等
的平行四边形
性质：①具有平行四边形、矩形、菱形的
所有性质
②四条边都相等，四个角都是直角
③对角线相等且互相垂直平分
判定：①根据定义判定
②有一个角是直角的菱形是正方形
③有一组邻边相等的矩形是正方形
④有一个角是直角且有一组邻边相
等的平行四边形是正方形
正方形
几个重要结论
1.多边形内角和定理：
n（n≥3且为整数）边形内角和等于
(n－ 2)·180°
2.多边形外角和定理：
多边形外角和等于360°
3.夹在两条平行线间的平行线段相等
4.两条平行线间的距离处处相等
5.如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
6.经过三角形一边中点与另一边平行的直线
必平分第三边
7.三角形中位线定理
三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半
8.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
易错题解析
一个多边形截去一个角后，得到新
的多边形的内角和为1800°，则原多
边形有__________条边.
错解：13
解析：因截法的不同，新多边形可能比原多边形少一个角，也可能比原多边形多一个角或与原多边形角数相同.
正解：11或12或13
已知：如图，点M、N分别是□ABCD
的边AB、CD的中点，CM交BD
于点E，AN交BD于点F.
求证：BE=EF=FD.
例题讲解1
分析（1）四边形AMCN是平行四边形吗？为什么？
是，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD
又M、N为AB、CD的中点
∴AM=CN，AM∥CN
∴四边形AMCN是平行四边形
（2）怎样得到F是DE的中点呢？
∵FN∥EC，DN=CN
∴DF=EF
（3）又怎样得到E是FB的中点呢？
∵FA∥EM，AM=BM
∴FE=EB
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD
又M、N为AB、CD的中点
∴AM=CN，AM∥CN
∴四边形AMCN是平行四边形
∵FN∥EC，DN=CN ∴DF=EF
∵FA∥EM，AM=BM ∴FE=EB
∴DF=EF=EB
例题讲解2
如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N. 求证：四边形AMCN是菱形.
分析（1）由折叠可得四
边形AMCN有哪些边相等？
AM=CM，AN=CN
（2）怎样证明AM=AN呢？
利用“HL”证△ABM≌△AEN
（3）现在你能得到四边形AMCN是菱形吗？
根据“四条边相等的四边形是菱形”可得
证明：由折叠可得AM=CM，
AN=CN，CD=AE， ∠D=∠E=90°
又∵四边形ABCD是矩形，
∴ AB= CD，∠B=∠D=90°，
∴ ∠B= ∠E=90°， AB= AE，
∴△ABM≌△AEN（HL），
∴AM=AN，∴AM=MC=CN=NA
∴四边形AMCN是菱形.
解题方法总结
1.要熟练掌握平行四边形及矩形、菱形、正方形的性质与判定.
2.认真审题，分清题目中的已知条件与未知量，特别注意图形中所包含的信息.
3.综合运用分析、综合法寻找解题方法.
4.注意计算与证明题的解题过程要书写规范.
1.认真做一做：
①对角线互相平分的四边形是______________；
②对角线相等且互相平分的四边形是_______；
③对角线互相垂直平分的四边形是_______；
④对角线相等且互相垂直平分的四边形是_______；
⑤对角线相等的平行四边形是________；
⑥对角线互相垂直的平行四边形是________；
⑦对角线相等且互相垂直的平行四边形是_________.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
矩形
菱形
正方形
能力检测
2.仔细想一想：
如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
①若∠ABC=90°，则□ABCD是______；
②若AB=AD，则□ABCD是______；
③若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是______；
④若AO=BO=CO=DO，且∠AOD=90°，
则□ABCD是 ________；
矩形
菱形
菱形
正方形
3.如图，点P是正方形ABCD的对角线A C上一点，PE⊥BC，PF⊥AB，E、F分别是垂足.求证：EF=DP.
证明：连接BP
∵四边形ABCD是正方形
∴DC=BC，∠DCB=∠B=90°，
∠DCP=∠BCP，
∴△DCP≌△BCP，∴DP=BP.
又∵ PE⊥BC，PF⊥AB，
∴四边形PFBE是矩形，
∴EF=PB， ∴DP=EF.
能力拓展
如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，并且EF=BE+DF.求证：∠EAF=45°.
要相信自己哦！
证明：延长EB至点G，使BG=DF，连接AG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠DAB=∠ABE=90°=∠ABG，∴△ADF≌△ABG，
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG.
又∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠EAB+∠BAG=45°，∴∠EAF=∠EAG，
∴△EAF≌△EAG，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.
1.多边形、四边形、特殊四边形之
间的关系
2.各种特殊四边形之间的关系
3.各种特殊四边形的性质与判定
4.几个重要的结论
课堂小结与作业
作业：P104 第8、9题登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第19章《四边形》单元达标检测
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5倍，则这个正多边形是 （ ）
A.正五边形 B.正十边形 C.正十二边形 D.不存在
2.下列条件中，能够判定四边形是平行四边形的是 （ ）
A.一组对角相等 B.两条对角线互相平分
C.一组对边相等 D.两条对角线互相垂直
3.四边形的四条边长依次是，，，,其中，为对边，且满足，则这个四边形是 （ ）
A.任意四边形 B.对角线相等的四边形
C.对角线垂直的四边形 D.平行四边形
4.平行四边形两条对角线把它分成的全等三角形的对数是 （ ）
A.2对 B.4对 C.6对 D.8对
5.下列命题中正确的是 （ ）
A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线垂直的四边形是矩形
C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D.对角线相等且垂直的四边形是矩形
6.下列条件能判定四边形是菱形的是 （ ）
A.对角线互相垂直 B.对角线互相垂直平分
C.对角线相等 D.对角线垂直相等
7.下列命题中是真命题的是 （ ）
A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.对角线相等的菱形是正方形
8.有下列命题：①两条对角线互相垂直，有 ( http: / / www.21cnjy.com )一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；②矩形是菱形；③矩形是正方形④正方形是矩形，下列说法正确的是 （ ）
A.①、②、③、④都是假命题 B.只有②是假命题
C.只有④是真命题 D.只有②、③是假命题
9.如图，矩形ABCD中，∠DAE︰∠BAE=3︰1，AE⊥BD,则∠EAC的度数是 ( )
A.60° B.30° C.120° D.45°
10.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积为 （ ）
A.2.5 B.5 C.10 D.20
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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.一个边形除去一个内角后其余内角和为500°，则=________.
12.在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，则四边形ABCD的面积为____________.21世纪教育网版权所有
13.如图，矩形纸片长为8㎝，宽为6㎝，将纸片对折使相对顶点A，C重合，折痕EF的长为__________㎝.21教育网
14.如图，E，F分别是正方形ABCD的边 ( http: / / www.21cnjy.com )CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确的有________________（填序号）.21cnjy.com
三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15．一个多边形中的各个内角都相等，且每个内角与外角之差的绝对值为60°，求此多边形的边数.
16.如图，在△ABC中，将∠C沿DE折叠，使顶点C落在三角形内.已知∠A=75°，
∠B=65°，∠1=20°，求∠2的度数.
( http: / / www.21cnjy.com )
四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17.如图，在□ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）.21·cn·jy·com
（1）连接：____________.
（2）猜想：__________=_________.
（3）请证明上述猜想.
( http: / / www.21cnjy.com )
18.已知：如图，□ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
求证：四边形BEDF是平行四边形.
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五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19.如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，∠DCE︰∠BCE=3︰1，OM=MC.
求证：ME⊥AC.
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20.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于点E，交AC于点F.
求证：四边形AEDF是菱形.
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六、（本题满分12分）
21.如图是正方形ABCD和CEFG，连接DG，BE并延长DG交BE于点H.试问：DG与B E具有怎样的关系？请证明你的结论.www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
七、（本题满分12分）
22.已知：如图，在正方形ABCD中，E是CD上的点，BF平分∠ABE，F在AD上.
求证：BE=AF+CE.
( http: / / www.21cnjy.com )
八、（本题满分14分）
23.已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形，并说明理由.2·1·c·n·j·y
答案
( http: / / www.21cnjy.com )19.先求出∠EOM=∠ECM=45°得OE=CE，
再由OM=MC得ME⊥AC
20.设EF与AD交于点O，
先证△AEO≌△AFO（ASA）得OE=OF，
再由EF垂直平分AD得EF与AD互相垂直平分即可
21.DG=BE，DG⊥BE；
先证△DCG≌△BCE（SAS）得DG=BE，
再由∠CDG=∠CBE,∠CBE+∠CEB=90°得∠CDG+∠CEB=90°即可
22.延长DC至G点，使CG=AF，则△BCG≌△BAF（SAS），
∴∠G=∠AFB,∠CBG=∠ABF,
∴∠GBE=∠CBG+∠CBE
=∠ABF+∠CBE
=∠FBE+∠CBE
=∠FBC
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第19章《四边形》复习学案
【学习目标】
1.了解多边形、四边形、特殊四边形之间的关系.
2.理解各种特殊四边形之间的关系.
3.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定.
4.三角形中位线定理等几个重要的结论.
【学习重难点】
重点：各种特殊四边形的性质与判定.
难点：各种特殊四边形性质与判定的综合运用.
【学法指导】
通过复习回顾，探究本章的主要内容，理解掌握各种特殊四边形的性质与判定.
【自主学习】
1.各种特殊四边形之间的关系是怎样的？
2.各种特殊四边形的性质有哪些？
平行四边形：
矩形：
菱形：
正方形：
3.各种特殊四边形的常用判定方法有哪些？
平行四边形：
矩形：
菱形：
正方形：
4.本章还有哪几个重要结论？
【课内探究】
活动一 易错题解析
一个多边形截去一个角后，得到新的多边形的内角和为1800°，则原多边形有__________条边.
错解：
解析：
正解：
活动二 例题讲解1
已知：如图，点M、N分别是□ABCD的边AB、CD的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F.21世纪教育网版权所有
求证：BE=EF=FD.
分析（1）四边形AMCN是平行四边形吗？为什么？
（2）怎样得到F是DE的中点呢？
（3）又怎样得到E是FB的中点呢？
解：
活动三 例题讲解2
如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN ( http: / / www.21cnjy.com )折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N. 求证：四边形AMCN是菱形.
分析（1）由折叠可得四边形AMCN有哪些边相等？
（2）怎样证明AM=AN呢？
（3）现在你能得到四边形AMCN是菱形吗？
解：
活动四 能力检测
1.认真做一做：
①对角线互相平分的四边形是______________；
②对角线相等且互相平分的四边形是_______；
③对角线互相垂直平分的四边形是_______；
④对角线相等且互相垂直平分的四边形是_______；
⑤对角线相等的平行四边形是________；
⑥对角线互相垂直的平行四边形是________；
⑦对角线相等且互相垂直的平行四边形是_________.
2.仔细想一想：
如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
①若∠ABC=90°，则□ABCD是______；
②若AB=AD，则□ABCD是______；
③若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是______；
④若AO=BO=CO=DO，且∠AOD=90°，则□ABCD是 ________；
3.如图，点P是正方形ABCD的对角线A C上一点，PE⊥BC，PF⊥AB，E、F分别是垂足.求证：EF=DP.21教育网
活动5 能力拓展
如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，并且EF=BE+DF.
求证：∠EAF=45°.
【学习反思】
这节课，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
我的收获有：
我的疑惑有：
答案
（3）根据“四条边相等的四边形是菱形”可得；
证明：由折叠可得AM=CM，AN=CN ( http: / / www.21cnjy.com )，CD=AE， ∠D=∠E=90°，又∵四边形ABCD是矩形，∴ AB= CD，∠B=∠D=90°，∴ ∠B= ∠E=90°， AB= AE，
∴△ABM≌△AEN（HL），∴AM=AN，∴AM=MC=CN=NA，∴四边形AMCN是菱形.
能力检测
1. 认真做一做：
①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤矩形⑥菱形⑦正方形
2. 仔细想一想：
①矩形②菱形③菱形④正方形
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠DAB=∠ABE=90°=∠ABG，∴△ADF≌△ABG，
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG.
又∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠EAB+∠BAG=45°，∴∠EAF=∠EAG，
∴△EAF≌△EAG，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.
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