绝密★考试结束前
2023 学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考
高二年级数学学科 答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B B A C A C D A
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对
的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9 10 11 12
BCD BCD ABD AC
非选择题部分
三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．
13． =- +1
14.2√3
15．√2
√2
16.
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(10 分）
【详解】（1）建立直角坐标系，其中C 为坐标原点.
A(2,0,0), B(0,2,0), B (0,2,2),C (0,0,2)
依题意得 1 1 ，………………………2分
因为 AB1 BC1 = ( 2,2,2) (0, 2,2) = 0，所以 AB1 ⊥ BC1 .…………………4分
（向量法分解正确 2分，数量积 2 分）
高二数学学科试题第 1 页（共 5 页）
（2）∵ 3=(0,-2,0) 1=(-2,2,2) |cos < ,
1 1 1
1 1 1 > |=| |=
√
1 1 | 1 1 || 1 | 3
∴ | sin < 1 1,
√6
1 > |= ………………………7分 3
∴ =2√6 ………………………10分 1 1 3
(直接用点到线的距离公式，公式正确但运算错误给 7分，公式正确且答案正确给 10分）
2
+ 2 = 1 3
18. (12 分）（1）联立直线与椭圆方程{ 2 2 2 = 0……………………………………………1 分
= 1 2
4
解得 1 = 0， 2 = ………………………………………………………………………………………………………3 分 3
4 1
∴ (0, 1), ( , )
3 3
4√2
∴| | = √( 1 )
2
2 + ( 1 2)
2 = …………………………6 分（答案算错，公式写对得 1 分）
3
（2）由题可知，左焦点 1( 1,0)………………………………………………………………………………7 分
+ +
∴ 0 0 1 = | | = √2……………………………………………10 分（答案算错，公式写对得 1 分） √ 2+ 2
1 4
∴ = | | · = …………………………………………………………………………………………12 分 1 2 1 3
19. (12 分）
解：（1）如图所示，以 为原点， 方向为 轴正半轴， 方向为 轴正半轴， 方向为 轴正半轴建立空间直角坐
标系………………………………………………1 分
(2,3,0), (0,2,0), (0,0,0), (2,0,0), (2,3,2), (0,0,1).
∵
2 1
= + , = ， = ……………………………4分
3 2
∴
2
=
1
+ ，……………………………………………………5分
3 2
又 ∵ 平面 ………………………………………………………6分
∴ ∕∕平面 .………………………………………………………7 分
（2）由（1）知 = (0, 2,1), = (2,3,2)…………………………9分
| <
| 6+2| 4√85
, >| = = ………………………………12分
√4+1 √4+9+4 85
4√85
∴直线所成线线角的余弦值为
85
20.(12 分）解：（1）设 ( , 0)( > 0),则 : =
=
{ 22 (2 + 4) +
2 = 0，
= 4
高二数学学科试题第 2 页（共 5 页）
1 + 2 = 2 + 4
由韦达定理得{ 2 ，……………………………………2分 1 2 =
∵ | | + | | = 1 + 2 + 2 = 10,
∴ 1 + 2 = 2 + 4 = 8 = 2 点坐标为(2,0)………………4分
1 + 2 = 2 + 4
（2）由①知{ ，
1 2 =
2
∴ | | = √2| 1 2| = √2 √( 1 + 2)
2 4 1 2 = √2 √16 + 16 = 12√2，………6分
√16 + 16 = 12 = 8…………………………………………8 分
∴ : = 8, (16,8), (4, 4)…………………………………10分
∴ 1 = 2 2 = 2 = 2…………………………………12 分
21.(12 分）如图，取 中点 ，以点 为原点建立空间直角坐标系
√2 √2 √2 √2
（1）由题可知 ( , 0,0), ( , 0,0), ( , 2,0), (0,0, )……………建系坐标 1 分
2 2 2 2
√2 √2 √2 √2
∵点 为线段 的三等分点（靠近点 S），∴ ( , 0, )，∴ = ( , 0, )
6 3 3 3
2√2 √2
设面 的法向量为 = ( , , )， = ( , 0, )， = ( √2, 2,0)
3 3
{ ·
= 0 √2 + 2 = 0 { 2√2 √2 {
= √2 = (√2, 1,2√2)…………………………………3 分（法向量表示答案不唯一）
· = 0 + = 0 2 =
3 3
· 2√11
∴ = | | = ……………………………………………………5 分（答案计算错误，公式写对得 1 分）
| | 11
（2）点 为线段 的三等分点（靠近点 S）或点 为线段 的十五等分点（靠近点 S）。
理由如下：
∵点 是线段 上的点，设 =
√2 √2
= ( , 0, )（0 < λ < 1）
2 2
√2 √2 √2 √2
∴ ( , 0, (1 ))，∴ = ( (1 ),0, (1 ))…………………………………………6 分
2 2 2 2
√2 √2
设面 的法向量为 = ( , , )， = ( (1 + ),0, (1 ))， = ( √2, 2,0)
2 2
∴{ ·
= 0 √2 + 2 = 0 = √
2
{
√2 √2
{
· = 0 (1 + ) + (1 ) = 0 (1 + ) = (1 )
2 2
√2
∴ = (1 , (1 ),1 + )……………………………………………………………………………………8 分
2
设直线 与平面 的夹角为
√22 3√11
∵cos = ，∴sin =
11 11
√2 2 √2 · (1 ) + (1 )(1+ ) √2 3√11
sin = | | = | 2 2 | = | | = …………………………………10 分（答案计算错误，公式
| |·| | 3 3 11
(1 )√ (1 )2+(1+ )2 √ (1 )2+(1+ )2
2 2
写对得 1 分）（如写sin ，但题中未设“直线 与平面 的夹角为 ”，扣 1 分）
两边同时平方，化简可得45λ2
1 1
18λ + 1 = 0，解得λ1 = ，λ2 = ……………………………11 分 3 15
∴点 为线段 的三等分点（靠近点 S）或点 为线段 的十五等分点（靠近点 S）……12 分
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22.(12 分）设 AB与 AC的中点为 D,H,则由题意可得||DC|-|HB||=3√3,
∴由重心性质得||GC|-|GB||=2√3 （2√3<4) …………………………2 分
由双曲线的定义可知 G 的轨迹为双曲线，易得2 =2√3,2 =4 ，b=1…………………………3 分
2
∴ 2 = 1( ≠ ±√3)…………………………5 分 (范围没有扣一分）
3
3
3 ( +√3) 1
（1）设 M( 1, 1),N( 2, 2)
1
: = ( + √3) 令 = 得 =
2
1+√3 2
1+√3
3
( √3) 2
同理可得： =
2 …………………………6 分
2 √3
3 3
( +√3) 1 ( √3)
∴ 2
2
= 2
1+√3 2 √3
3 3
( +√3)2 21 ( √3)
2 22
两边同时平方可得 2 = 22 2 ......① ( 1+√3) ( 2 √3)
2 2 2
又由 1 2
1 = 1 可得
2 = 11 1 同理
2 = 2 1 代入① 式
3 3 2 3
3 √3 +√3 3
得( + √3)2 1 = 2 ( √3)2
2 1+√3 2 √3 2
两边交叉相乘化简可得 7（ 1+ 2）=4 1 2+12 ..... ② …………………………7 分
2
当 斜率存在时，可设直线为 = + 与
2 = 1联立可得
3
（1-3 2） 2 6 3 2 3 = 0
6
1+ 2 = 1 3 2
{ 2 代入 ②式 3 3
1 2 = 1 3 2
得 6 2+7 +2 2=0
1 2
解得 = 或 =
2 3
1 1
当 = 时直线 ： = + 过定点 R（2，0） 2 2
2 2 3 3
当 = ： = + 过定点（ ，0），由 <√3 显然不成立，舍 …………………………9 分（不管舍3 3 2 2
不舍都 9 分）
若当 斜率不存在时，则易得直线 =2 …………………………10 分
由几何性质易得 ≤ |ER|=2+√3 ………………………12 分
高二数学学科试题第 4 页（共 5 页）
高二数学学科试题第 5 页（共 5 页）
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2023学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数
字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的，
1.已知直线1：y=-5
x,则该直线倾斜角的度数为()
A.120
B.150
C.135
D.60
2.已知平面α的法向量为n=(4,-4,8),AB=(-1,1,-2),则直线AB与平面α的位置关系为
()
A.ABCa
B.AB⊥
C.AB与a相交但不垂直D.AB/1a
3.己知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个等边三
角形的边长为()
A.85
B.4N2
C.4V5
D.3√5
4.已知半径为2的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离最小值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知直线1：y=x+m与椭圆C:+上=1有公共点，则m的取值范围是()
4
3
A.「-√7，万
B.「-6，万
C.[-6,6
D.「-22,221
6.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4和两点A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圆C上有且仅有一点P,
使得∠APB=90°，则实数a的值是()
A.2-√2
B.2+√2
C.2-√2或2+√2
D.√2
高二数学学科试题第1页（共4页）
7.在等腰直角△ABC中，AB=AC=4,点P是边AB的中点，光线从点P出发，沿与AB所
成角为O的方向发射，经过BC,CA反射后回到线段PB之间（包括端点），则tan的取值
范围是()
A.[1,2]
B.[2,3]
C.[4,5]
D.[3,4]
8.在正方体ABCD-AB,CGD中，棱长为2，平面a经过点A,且满足直线AA与平面a所
成角为45°，过点A作平面α的垂线，垂足为H,则CH长度的取值范围为()
Ai0-4W反，i0+4W2B.[o,i0+42]c[V6,io]
D.「1o,14
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.己知直线1：x+my-1=0,,:mx+y-1=0,则下列说法正确的是()
A.若L∥12，则m=±1
B.当l∥l,时，两条平行线之间的距离为√2
C.若1⊥1，则m=0
D.直线1，过定点(0,1)
10.向量a=(ml,0),b=(2,1,1),则下列说法正确的是()
A.3m∈R,使得a∥b
B.若同=5，则m=+2
C.若a16,则m=-1
D.当m=1时ā在b方向上的投影向量为
2
11.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=1,A4=V3.底面ABCD为菱形，
∠BAD=60°，AA与AB、AD的所成角均为60°，下列说法中正确的是()
A.BD =AD-AB+A4
B.AC =AB+AD+AA
0
C.∠CAC=30
D.4C=6+2V3
12.已知点P、Q是圆O:x2+y2=5上的两个动点，点A是直线1：x+y-4=0上的一定点，若
∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是()
A.(1,3)
B.(2,2)
C.(3,1)
D.(4,0)
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