12.1 全等三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，，若，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，△ ABC≌△CDA，∠BAC=80°，∠ABC=65°，则∠CAD的度数为（ ）
A．35° B．65° C．55° D．40°
3．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，，点B、E、C、F在同一直线上，若，，则的长为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．12
4．（2022秋·吉林长春·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
D．所有的等腰三角形都全等
5．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）已知，如图所示，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有（ ）对全等三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图所示，两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，已知，，，不正确的等式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发沿射线运动，二者速度之比为，当点运动到点时，两点同时停止运动．在射线上取一点，使与全等，则的长为 ．
9．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，若点在x轴上，则点的坐标是 ．
10．（2022秋·吉林白山·八年级期末）如图，已知△ABC≌△AFE，若∠ACB=65°，则∠EAC等于 度．
11．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，若，，，则的长是 ．
12．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，△ABC≌△FED，∠A=30°，∠B=80°，则∠EDF= ．
13．（2022秋·吉林·八年级期末）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则 ．
14．（2022秋·吉林·八年级期末）如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为 ．
15．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，若△ABC≌△DEF，且∠B＝60°，∠F－∠D＝56°则∠A＝ °．
三、解答题
16．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形，
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等.
17．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，，点A和点D是对应点，点B和点E是对应点，过点A作，垂足为点F．
(1)______，______，______；
(2)若，完善求度数的解题过程．
∵，
∴______，
∴，
∴______．
∵，
∴．
又∵______，
∴，
∴______．
18．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）已知：图①、图②是正方形网格，△PQR的顶点及点A、B、C、D、E均在格点上，在图①、图②中，按要求各画一个与△PQR全等的三角形要求：
（1）两个三角形分别以A、B、C、D、E中的三个点为顶点；
（2）两个三角形的顶点不完全相同．
19．（2022春·吉林白城·八年级统考期末）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．
参考答案：
1．A
【分析】根据全等三角形的性质，得到：，根据三角形内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握全等三角形的对应角相等，是解题的关键．
2．A
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB=35°，再根据全等三角形性质即可求出∠CAD=35°．
【详解】解：∵∠BAC=80°，∠ABC=65°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=35°，
∵△ABC≌△CDA，
∴∠CAD=∠ACB=35°．
故选：A
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，熟知两个定理是解题关键．
3．A
【分析】根据全等三角形的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等．
4．C
【分析】利用三角形全等的定义及性质解题即可．
【详解】解：A．形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；
B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C．完全重合的两个三角形全等，正确；
D．两个腰不相等的等腰三角形不全等，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的性质及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键．
5．C
【详解】△ACO和△ADO，△ADB和△ACB，△COB和△DOB全等，
故选C．
6．D
【分析】根据图形得出，，根据全等三角形的性质得出，即可得出选项．
【详解】解：∵，，
又∵和全等，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
7．D
【分析】由知，进而得到结果．
【详解】解：∵
∴
故选项A、B、C正确，不符合要求；
排除法可知，选项D错误，符合要求；
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键在于熟练把握全等三角形的性质．
8．或/或
【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解．
【详解】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况：
情况一：当时，
∵，
∴，
解得：，
∴；
情况二：当时，
∵，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
9．（6，-4）
【分析】根据全等三角形的性质和点的坐标得出OA=OA′=6，OB=A′B′=4，即可得出答案．
【详解】解：∵A（-6，0），B（0，4），△OA′B′≌△OAB，
∴OA=OA′=6，OB=A′B′=4，
∴点B′的坐标是（6，-4），
故答案为：（6，-4）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出OA=OA′=6，OB=A′B′=4．
10．50°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠AEF＝65°，然后在△EAC中利用三角形内角和定理即可求出求出∠EAC的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△AFE，
∴∠ACB=∠AEF=65°，
∴∠EAC=180°﹣∠ACB﹣∠AEF=50°．
故答案为50．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11．2
【分析】先根据线段的和差得出AB的长，再根据三角形全等的性质得出DE的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了线段的和差、三角形全等的性质，熟记三角形全等的性质是解题关键．
12．70°
【分析】首先根据全等三角形的性质可得∠EDF=∠BCA，再根据三角形内角和定理计算出∠BCA=70°，进而得到答案．
【详解】∵△ABC≌△FED，
∴∠EDF=∠BCA，
∵∠A=30°，∠B=80°，
∴∠BCA=70°，
∴∠EDF=70°，
故答案为70°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
13．12
【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有．
【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，
所以，
故答案为：12．
【点睛】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，解题的关键是找清相互重合的对应边．
14．/35度
【分析】由△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠D＝65°，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△DBE，∠D＝65°，
∴∠BAC＝∠D＝65°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
15．32
【分析】根据全等三角形的性质得出，，进而利用三角形内角和解答即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
，
解得：，
故答案为：32．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形对应角相等解答．
16．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过A作AE//PQ，过E作EB//PR，再顺次连接A、E、B．（答案不唯一）
（2）作一个与△PQR面积相等但不全等的三角形即可．（答案不唯一）
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
17．(1)，，
(2)，，，
【分析】（1）由，即可得到对应角和对应边相等
（2）由，得到，且，即可求得
【详解】（1）解：∵，
∴，，；
故答案为：，，
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故答案为：，，，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键
18．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由全等的性质知，对应边相等，对应角相等，由此结合要求画图即可；
（2）由全等的性质知，对应边相等，对应角相等，由此结合要求画图即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）如果所示，即为所求．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，牢记性质内容并能够灵活应用是解题关键．
19．证明见解析.
【详解】试题分析：根据菱形的性质可得AB=BC，∠A＝∠C，再证明ΔABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵在△ABF和△CBE中，
,
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE．
考点：菱形的性质．12.2 三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，则说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·吉林白山·八年级校考期末）如图，为了测量B点到河对面的目标之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A，B两点间的距离，这里判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
6．（2022秋·吉林四平·八年级校考期末）如图，∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，需从下列条件中选一个，错误的选法是（ ）
A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC
7．（2022秋·吉林白山·八年级统考期末）如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，、两点分别位于一座假山的两端，小明想用绳子测量、两点间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使．连接并测量出它的长度为8米，则、两点间的距离为 米．
9．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在AB的延长线上．过点C作，与y轴交于点D，且．若点D的坐标为，则线段AC的长度为 ．
10．（2022秋·吉林四平·八年级期末）如图，两根旗杆CA，DB相距20米，且CA⊥AB，DB⊥AB，某人从旗杆DB的底部B点沿BA走向旗杆CA底部A点．一段时间后到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角∠CMD=90°，且CM=DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为每秒2米，则这个人从点B到点M所用时间是 秒．
11．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DBC，还需要补充一个条件： （填一个即可）．
12．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ．
三、解答题
13．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程：
已知：．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图：
①在的两边上分别任取一点A、B；
②以点A为圆心，为半径画弧；以点B为圆心，为半径画弧；两弧交于点；
③连结、．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下列证明．
证明：连结，
∵DA=AC，DB=_____，AB=_______，
∴△DAB≌△CAB （ ）（填推理依据）．
∴∠C=∠D．
14．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
15．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，BF＝CE，求证：AE＝AF．
16．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）已知和都是等腰直角三角板，按如图摆放，连接，猜想之间的关系并说明理由．
17．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图（1），AB=4cm，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为（s）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当=1时，△ACP△BPQ是否全等？PC与PQ是否垂直？请分别说明理由；
(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB于A，BD⊥AB于B”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为cm/s，是否存在实数，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．
18．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，、两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点、、三点在同一条直线上），并使，然后他测量点到水房的距离，则的长度就是、两点之间的距离．
(1)你能说明小明这样做的根据吗？
(2)如果小明未带测量工具，但是知道水房和点到古树的距离分别为140米和100米，他能不能确定的长度范围？请说明理由．
19．（2022秋·吉林·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
20．（2022秋·吉林四平·八年级校考期末）如图，点、在线段上，，，．判断和的关系，并说明理由．
21．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．
求证：AB=DE．
22．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
23．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
求证：CF⊥DE于点F．
24．（2022秋·吉林·八年级统考期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，且∠DAE＝90°，连接CE．
（1）如图①，当点D在线段BC上时：
①BC与CE的位置关系为 ；
②BC、CD、CE之间的数量关系为 ．
（2）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若不成立，请你写出正确结论，并给予证明．
（3）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 ．
四、证明题
25．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AC∥DF．
26．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，，．求证：．
27．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
28．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，D是上一点，交于点E，，，求证：．
29．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．求证：．
30．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
(1)若在外（如图1），求证：；
(2)若与线段相交（如图2），且，，则 ．
参考答案：
1．A
【分析】由作图知，，利用证明，可得，进而得出答案．
【详解】解：由作图知：，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴说明的依据是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据作图得出，是解题的关键．
2．A
【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断．
【详解】解：由图可知，左下角和右下角可测量，为已知条件，
两角的夹边也可测量，为已知条件，
故可根据得到与原图形全等的三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的的判定定理，掌握全等三角形的的判定定理是关键．
3．D
【分析】利用全等三角形的判断方法ASA进行分析即可．
【详解】在和中，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．D
【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA=BO，∠AOB=90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案．
【详解】解：∵A（-2，5），AD⊥x轴，
∴AD=5，OD=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据∠C=90°AD=AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE=∠DAE=∠CAB，再由∠C=90°，∠B=28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，
∴△CAE≌△DAE，
∴∠CAE=∠DAE=∠CAB，
∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=90°﹣28°=62°，
∵∠AEC=90°﹣∠CAB=90°﹣31°=59°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证△CAE≌△DAE，此题稍微有点难度，属于中档题．
6．C
【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知∠1=∠2，AD=AD，
对于条件∠ADB＝∠ADC，可以利用ASA证明△ABD≌△ACD，故选项A不符合题意；
对于条件∠B＝∠C，可以利用AAS证明△ABD≌△ACD，故选项B不符合题意；
对于条件DB＝DC，不可以利用SSA证明△ABD≌△ACD，故选项C符合题意；
对于条件AB＝AC，可以利用SAS证明△ABD≌△ACD，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
7．A
【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可．
【详解】A、补充，不能判定，故A错误；
B、补充，可根据判定，故B正确；
C、补充，可根据判定，故C正确；
D、补充，可根据判定，故D正确．
故选A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．8
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：在△CDE和△CAB中，
，
∴△CDE≌△CAB（SAS），
∴DE=AB=8m，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D的坐标为
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明是解题的关键．
10．4
【分析】根据题意证明∠C=∠DMB，利用AAS证明△ACM≌△BMD，根据全等三角形的性质得到BD=AM=12米，再利用时间=路程÷速度计算即可．
【详解】解：∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°，
又∵∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠C=90°，
∴∠C=∠DMB．
在△ACM和△BMD中，
，
∴△ACM≌△BMD（AAS），
∴BD=AM=12米，
∴BM=20-12=8（米），
∵该人的运动速度为2米/秒，
∴他到达点M时，运动时间为8÷2=4（秒）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得△ACM≌△BMD．
11．∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法定理得出即可．
【详解】∵∠A＝∠D，BC＝BC，
∴当∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB时，△ABC≌△DBC（AAS），
∴还需要补充一个条件为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB．
故答案为∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题关键在于熟练掌握全等三角形的性质.
12．/
【分析】如图，过作 交的延长线于 证明可得 再利用三角形的三边关系可得答案.
【详解】解：如图，过作 交的延长线于
AD是BC边上的中线，
∴，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形中线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边之间的关系，作出适当的辅助线构建三角形全等是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)，AB，
【分析】（1）利用直尺和圆规，补全图形即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．
【详解】（1）解：使用直尺和圆规，补全图形（下图）（保留作图痕迹）。
（2）证明：连结，
∵DA=AC，DB=BC，AB=AB，
∴△DAB≌△CAB （SSS）．
∴∠C=∠D．
故答案为：，AB， ．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
14．详见解析.
【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE．
【详解】证明：由BE＝CF可得BC＝EF，
又AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
则∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
15．见解析
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，证明△ACE≌△ABF（SAS），即可得出结论．
【详解】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴AE=AF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和证明三角形全等是解题的关键．
16．，且，理由见解析
【分析】根据题意证明，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：，且.理由为:
∵和都是等腰直角三角板，
∴，，
∴在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
延长交于点F，
∴，
∴，
综上所述，且．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法．
17．(1)△ACP≌△BPQ，线段PC与线段PQ垂直，理由见解析
(2)存在或，使得△ACP与△BPQ全等
【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由∠A=∠B，△ACP和△BPQ全等，则分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
【详解】（1）解：当t=1时，AP=BQ=1cm，
∵AB=4cm，
∴BP=AB-AP=3cm，
又AC=3cm，
∴BP=AC又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）存在，
理由：由题意，得AC=3cm，AP=tcm，BP=(4-t)cm，BQ=xtcm.
①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
则，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
则，
解得：；
综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．
【解答】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．
18．(1)见解析
(2)能，理由见解析
【分析】（1）可以利用定理证明，根据全等三角形的性质可得；
（2）根据三角形的三边关系定理可得，然后再代入数进行计算即可．
【详解】（1）解：为中点，
，
在和中，
，
，
，
的长度就是、两点之间的距离；
（2）解：由题意得：米，米，
，
米，
，
米米．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
19．证明见解析．
【分析】首先根据AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
在△BED和△CFD中，
∵BD=CD，∠B=∠C，∠BED=∠CFD，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
20．，，理由见解析
【分析】解：由平行线的性质得，进而证明≌，即可得解．
【详解】解：，，理由如下：
，
，
，
，
在和中，
，
≌(AAS)，
，，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
21．见详解
【分析】先根据条件求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA推出△ABC≌△DEF即可．
【详解】∵FB＝CE，
∴FB+FC=FC+CE，
即BC=FE，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∴AB=DE．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理论证能力．
22．证明见解析.
【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC．
【详解】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
23．证明见解析．
【分析】根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【详解】∵AD∥BE，∴∠A＝∠B．
在△ACD和△BEC中
∵，∴△ACD≌△BEC（SAS），∴DC＝CE．
∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE（三线合一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
24．（1）①BC⊥CE；②BC＝CD+CE；（2）结论①成立，②不成立，结论：CD＝BC+CE；（3）CE＝BC+CD．
【分析】(1)①利用条件求出△ABD≌△ACE，随之即可得出位置关系.
②根据BD＝CE，可得BC＝BD+CD＝CE+CD．
（2）根据第二问的条件得出△ABD≌△ACE，随之即可证明结论是否成立.
(3)分析新的位置关系得出△ABD≌△ACE，即可得出CE＝BC+CD.
【详解】（1）如图1．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，①∵∠ACE＝45°＝∠ACB，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，即BD⊥CE；
②∵BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD．
故答案为BC⊥CE，BC＝CD+CE；
（2）结论①成立，②不成立，结论：CD＝BC+CE
理由：如图2中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝135°，∴CD＝BC+BD＝BC+CE
∵∠ACB＝45°
∴∠DCE＝90°，∴CE⊥BC；
（3）如图3中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD．
故答案为CE＝BC+CD．
【点睛】本题考查了复杂图形中证明三角形全等的条件，掌握证明条件是解题关键.
25．见解析
【分析】要证AC∥DF的关键是证∠ACB＝∠F，也就是证△ABC≌△DEF，已知了这两个三角形三组对应边相等，由此可得出三角形全等．
【详解】证明：∵BE＝CF，BE＋CE＝CF＋EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
．
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE（全等三角形的对应角相等），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判断等知识；根据全等三角形来得出对应的角相等，是解此类题的常用方法．
26．见解析
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，掌握三角形的判定方法是解题的关键．
27．(1)①证明见解析 ②证明见解析
(2)证明见解析
(3)；证明见解析
【分析】（1）①利用“一线三等角”证明即可；
②根据全等三角形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）利用“一线三等角”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得．
【详解】（1）证明：①如图，
∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）证明：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，证明如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
28．证明见详解
【分析】证即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中：
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
29．见解析
【分析】根据平行线的性质得出，运用“角角边”证明△AEB≌△CFD即可．
【详解】证明：∵，
∴，
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理进行证明．
30．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用互余关系证明，可证，从而得到，，再利用线段的和差关系可得答案；
（2）类似于（1）的方法可得，，再结合图中线段的和差关系得出，代入数据即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．12.3 角的平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，则的面积是（ ）
A．150 B．120 C．80 D．60
2．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，中，，平分，，，则的面积为（ ）
A．20 B．10 C．15 D．30
3．（2022秋·吉林长春·八年级期末）用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（ ）
A．46° B．52° C．56° D．62°
4．（2022秋·吉林长春·八年级期末）已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（ ）
①作射线；②在射线和上分别截取，，使；③分别以点D，E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
5．（2022秋·吉林白山·八年级期末）的平分线的作图过程如下：
(1)如图，在和上分别截取，，使；
(2)分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
(3)作射线，就是的平分线．
用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是( )
A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边
6．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．3 B．10 C．15 D．30
二、填空题
8．（2022秋·吉林松原·八年级期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，若，，则的面积为 ．
9．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在中，，平分，，，则的面积是 ．
10．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，中，，，，，平分，如果点P，点Q分别为，上的动点，那么的最小值是 ．
11．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在中，、分别平分和，于点D，，若的面积为25，的周长则为 ．
12．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 ．
13．（2022秋·吉林四平·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，点D到AB的距离为7cm，CD＝ cm.
14．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm，则DE的长是 ．
15．（2022秋·吉林延边·八年级期末）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AB=10 ，CD=3 ，那么△ABD的面积是 cm．
三、解答题
16．（2022秋·吉林·八年级统考期末）已知：，点E，F．
求作：点D，使点D在的平分线上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
17．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，在中，，平分，，垂足为，其中，，
(1)求的长度
(2)求的面积．
18．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，中，，于，在上，且，，求证：是的平分线．
四、证明题
19．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，已知平分，于E，于F，且．求证：．
20．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，已知BN平分∠ABC，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．
(1)求证：∠PCB+∠BAP=180°；
(2)线段BF、BC、AB之间有怎样的数量关系？请直接写出你探究的结论：_____________________．
21．（2022秋·吉林·八年级期末）角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
小强证明该定理的步骤如下：
已知：如图1，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE．
求证：OC是∠AOB的平分线．
证明：通过测量可得∠AOC=23°，∠BOC=23°．
∴∠AOC=∠BOC．
∴OC是∠AOB的平分线．
(1)关于定理的证明，下面说法正确的是 ．
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理．
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理．
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整．
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
(2)利用小强的已知和求证，请你证明该定理；
(3)如图2，在五边形ABCDE中，BC=CD=DE，∠ABC=80°，∠BAE=110°，∠AED=100°，在五边形ABCDE内有一点F，使得S△BCF=S△CDF=S△DEF．直接写出∠CFD的度数．
参考答案：
1．D
【分析】根据作图过程可得平分，再根据角平分线的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，过点G作于点H，
由作图过程可知平分，
∵∠C＝90°，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质定理．正确作出辅助线是解题关键．
2．C
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，平分，，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积．理解和掌握角平分线的性质并求出边上的高是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意，两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点到射线的距离相等，进而可得是的角平分线，进而可得，根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，即可求解
【详解】解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，
∴点到射线的距离相等，
∴是的角平分线，
∵∠BOP＝28°，
∴＝28°，
∵
∴＝28°
∴＝56°
故选C
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的判定，三角形的外角性质，找到隐含条件到射线的距离相等是解题的关键．
4．C
【分析】根据角平分线的作图方法，进行排序判断即可．
【详解】解：已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是：②在射线和上分别截取，，使；
③分别以点D，E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C；
①作射线；
即：②③①；
故选C．
【点睛】本题考查基本作图—角平分线．熟练掌握作角平分线的方法，是解题的关键．
5．D
【分析】利用基本作图得到，，然后根据全等三角形的判定得到进行判断．
【详解】解：连接，，
由题意知，
，
可根据证明，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．C
【分析】由“需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等”知点P是∠ABC的平分线与AC的交点，据此可得答案．
【详解】解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故选：C．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的性质和尺规作图．
7．C
【分析】根据角平分线的性质得到GH=CG=3，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线．
∵∠C=90°，GH⊥AB，∴GH=CG=3，∴△ABG的面积AB×GH=15．
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．30
【分析】作于，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】解：作于，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
9．5
【分析】如图，过D作于E，则，根据计算求解即可．
【详解】解：如图，过D作于E，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
10．/2.4
【分析】作点Q关于的对称点E，作，首先根据角平分线的对称性得到，然后利用面积法求出，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，作点Q关于的对称点E，作，
∵平分，
∴点E在线段上，
∴，
∴的最小值为的长度，
∵，
∴，即，
∴解得，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的等面积法求斜边上的高，属于综合题，熟练掌握直角三角形的性质及角平分线的性质是解决本题的关键．
11．
【分析】过点O作于E，作于F，连接根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点O作于E，作于F，连接，
∵、分别平分和，，
∴，
∴，
，
∵的面积为25，
∴，
即的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
12．24
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据角平分线性质求出DE=DF，根据△ABD的面积为16求出DE=DF=4，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝a，
∵△ABD的面积为16，AB＝8，
∴＝16，
∵AB＝8，
∴DE＝4，
∴DF＝4，
∵BC＝12，
∴＝＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DE=DF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
13．7
【分析】直接根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，BC⊥AC，点D到AB的距离为7cm，
∴CD=7cm．
故答案为：7cm．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键.
14．4.8cm
【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DF=DE.
∴S△ABC= S△ABD + S△BCD =ABDE+BCDF=(AB+BC)DE=144，
∴(36+24)DE=144，解得：DE=4.8（cm.）
15．15
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出CD=DE=3cm，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，CD=3cm，
∴CD=DE=3cm．
∵AB=10cm，
∴S△ABD=AB DE=×10×3=15cm2．
故答案为15．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线性质定理.
16．画图见解析
【分析】先作线段的垂直平分线，再作的角平分线，垂直平分线与角平分线的交点D即为所求．
【详解】解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，利用线段的垂直平分线与角平分线的性质熟练的作图是解本题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质即可求得；
（2）根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，平分，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形面积公式，利用角平分线性质转化线段求解是解题的关键．
18．见解析.
【分析】利用“HL”可证明Rt△CDF≌Rt△EDB，得到DC＝DE，然后根据角平行线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．
【详解】证明：在Rt△CDF和Rt△EDB中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB，
∴DC＝DE，
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的判定定理．
19．证明见解析
【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用证明即可．
【详解】证明：∵平分，于E，于F，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，熟知直角三角形全等的判定条件和角平分线上的点到角两端的距离相等是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)2BF=AB+BC
【分析】（1）过作PD⊥AB于点D，由角平分线的性质可得PD=PF，由“HL”可证RtΔADP≌RtΔCFP，可得∠1=∠BAP，即可得结论；
（2）由Rt△ADP≌Rt△CFP可得出AD=CF，PD=PF，结合PB=PB即可证出Rt△BPD≌Rt△BPF，进而得出BD=BF，再根据边与边之间的关系即可得出2BF=AB+BC．
【详解】（1）证明：作PD⊥AB于点D，
∵BN平分∠ABC，PF⊥BC，
∴PD=PF．
又∵PA=PC，
∴Rt△ADP≌Rt△CFP(HL)，
∴∠1=∠BAP，
∵∠PCB+∠1=180°，
∴∠PCB+∠BAP=180°；
（2）解：2BF=AB+BC．
由（1）知：Rt△ADP≌Rt△CFP，PD=PF，
∴AD=CF，
∵BP=BP，
∴Rt△BPD≌Rt△BPF（HL），
∴BD=BF，
∴2BF=BD+BF
=AB-AD+BC+CF
=AB+BC，
∴2BF=AB+BC．
故答案为：2BF=AB+BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定于性质、角平分线的性质以及邻补角，解题的关键是：（1）利用HL证明Rt△ADP≌Rt△CFP；（2）利用HL证明Rt△BPD≌Rt△BPF．
21．(1)D
(2)见解析
(3)∠CFD=55°．
【分析】（1）由题意可得出答案；
（2）证明Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），由全等三角形的性质得出∠DOP=∠EOP，则可得出结论；
（3）过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，FM⊥DE于点M，由三角形的面积可证出GF=FH=FM，由角平分线的性质得出∠BCF=∠DCF，∠CDF=∠EDF，由五边形内角和可求出∠BCD+∠CDE的度数，求出∠DCF+∠FDC的度数，则可求出答案．
【详解】（1）解：由证明过程可知：小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D；
（2）证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中，
，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），
∴∠DOP=∠EOP，
∴OC平分∠AOB；
（3）解：过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，FM⊥DE于点M，
∵S△BCF=S△CDF=S△DEF，
∴BC GF=CD FH=DE FM，
∵BC=CD=DE，
∴GF=FH=FM，
∴CF平分∠BCD，DF平分∠CDE，
∴∠BCF=∠DCF，∠CDF=∠EDF，
由（2）可知，△GCF≌△HCF，△FMD≌△FHD，
∴∠GFC=∠HFC，∠HFD=∠MFD，
∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，∠ABC=80°，∠BAE=110°，∠AED=100°，
∴∠BCD+∠CDE=540°-∠ABC-∠BAE-∠AED=250°，
∴∠DCF+∠FDC= (∠BCD+∠CDE )=×250°=125°，
∴∠CFD=180°-(∠DCF+∠FDC)=180°-125°=55°．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
