13.1 轴对称 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）下列图案中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）“喜迎党的二十大召开”，这九个汉字中是轴对称图形的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）下列图案中，不是轴对称图形的为（ ）
A．B． C． D．
4．（2022秋·吉林·八年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
5．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，BF交AD于点E．若∠BDC＝62°，则∠DEF的度数为（ ）
A．31° B．28° C．62° D．56°
6．（2022秋·吉林白山·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，作AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若DE＝3，则BD的长度是（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列四个结论正确的个数是（ ）
①PA=PB ②PO平分∠APB ③OA=OB ④OP垂直平分AB．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·吉林·八年级期末）在△ABC的BC边上找一点P，使得PA＋PC＝BC．下面找法正确的是（ ）
A．如图①以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
B．如图②以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
C．如图③作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
D．如图④作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
10．（2022秋·吉林四平·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，在中，，，，将沿折叠，点B的对应点是点， 则的度数是 ．
12．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将其折叠，使点A落在边CB上处，折痕为CD．若AB=10，BC=8，AC=6，则的周长为 ．
13．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝10，BC＝7，AC＝6，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长等于 ．
14．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，若，，的周长为，则的长为 ．
15．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在 中， 的中垂线交边于点，，，则 ．
16．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中不正确结论的序号是 ．
17．（2022秋·吉林·八年级期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于两点；过这两点作直线交AC于点E，交AB于点D，若△BCE的周长为18cm，则AC的长为 cm．
18．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，BE＝4，△ADC的周长为18，则△ABC的周长为 ．
19．（2022秋·吉林四平·八年级期末）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为 ．
20．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA＝90°，AB＝6，则CD的长为 ．
21．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，已知的周长为，根据图中尺规作图的痕迹，若，则的周长为 .
三、解答题
22．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E．已知的周长是24，的长是5．求的周长．
23．（2022秋·吉林白山·八年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=10，BC＝6，AC＝8．点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请你在横线上补充其推理过程或理由．
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，
因为∠ACB＝90°（已知），
所以________（垂直的定义），
所以PB＝______（线段垂直平分线的性质），
所以PB+PD＝PB′+PD（等式性质），
所以过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值
在△ABC和△AB′C中，
因为∠ACB＝∠ACB′＝90°，AC＝AC，________，
所以△ABC≌△AB′C（理由：________），
所以SABB′＝S△ABC+_______＝2S△ABC（全等三角形面积相等），
因为S△ABB′＝×AB×B'D＝×10×B′D＝5B′D，
又因为S△ABB′＝2S△ABC＝2××BC×AC＝2××6×8＝48，
所以_______（同一三角形面积相等），
所以B′D＝，
所以_______．
24．（2022秋·吉林四平·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
四、证明题
25．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为______．
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：第1，2，4，三个图形为轴对称图形，共3个；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称的识别．熟练掌握轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线进行翻折，直线两旁的部分能够完全重合，是解题的关键．
2．D
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的性质，“喜迎党的二十大召开”中，喜、二、十、大均可以找到一条直线，使被直线分开的两部分能完全重合，
∴共有4个轴对称图形，
故选：D．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的定义，理解轴对称图形的定义是解题关键．
3．D
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形是轴对称图形，不符合题意；
B中图形是轴对称图形，不符合题意；
C中图形是轴对称图形，不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称的定义，理解定义，找准对称轴是解答的关键．
4．B
【分析】由对称得OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【详解】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜7，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质和三角形三边的关系的应用，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形三边的关系．
5．D
【分析】先利用互余计算出∠BDE＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD＝∠BDE＝28°，接着根据折叠的性质得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DEF的度数，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∵，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE＝28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°，
∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线和折叠的性质，综合运用以上性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠A=30°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠BCD，根据角平分线的定义证明结论．
【详解】解：∵DE是AC边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∵∠B=90°，
∴∠ACB=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-30°=30°，
∴∠BCD=∠ACD，
∴CD平分∠BCA．
∴BD=DE，
∵DE=3，
∴BD=3．
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
7．D
【分析】根据角平分线的性质可得PA＝PB，然后依据HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP，则OA＝OB，∠OPA＝∠OPB，进而可得OP是AB的垂直平分线，则结论可一一判断．
【详解】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，
∴PA＝PB，故①正确；
在Rt△PAO和Rt△PBO中，，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴OA＝OB，∠OPA＝∠OPB，故②③正确；
∵OA＝OB，AP＝BP，
∴OP是AB的垂直平分线，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
8．D
【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案．
【详解】解：A．由此作图可知CA=CP，不符合题意；
B．由此作图可知BA=BP，不符合题意；
C．由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意；
D．由此作图可知PA=PC，符合题意.
故选D．
【点睛】本题考查了基本作图的方法.熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键.
9．C
【分析】根据题意得到PA=PB，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可．
【详解】解：A、由作图知BA=BP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
B、由作图知CA=CP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
C、由作图知点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，
∴PA+PC= PB+PC= BC，故该选项正确，符合题意；
D、由作图知点P在线段AC的垂直平分线上，
∴PA=PC，
不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质．
10．C
【分析】点P到AB、BC的距离相等，说明点P在的角平分线上，作出角平分线即可得到答案．
【详解】解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作角的平分线，懂得把问题转化成角平分线的问题是解题关键．
11．/度
【分析】先求解，根据得到，根据轴对称的性质计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
12．12
【分析】由折叠前后图形的形状和大小不变可得再利用三角形的周长公式可得的周长为
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，AC=6，
∵将其折叠，使点A落在边CB上处，折痕为CD，
∴ ，
∴的周长为
故答案为12．
【点睛】本题考查轴对称的性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
13．9
【分析】根据翻折变换的性质可得，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．
【详解】解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，
∴DE=CD，BE=BC．
∵AB=10，BC=7，
∴，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE
=AD+CD+AE
=AC+AE
=6+3
=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．
14．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
15．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到，再根据线段的和差求解即可．
【详解】解：∵的中垂线交边于点E，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．理解和掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16．④
【分析】根据全等三角形的性质可得，根据平角的定义可得，即可判断①，根据全等三角形的性质得出，，结合①可得是的垂直平分线，即可判断②，根据SSS即可证明③，不能得出结论④．
【详解】解：∵△ABO≌△ADO，
∴，，
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴，
∴①AC⊥BD正确；
∵，
∴是的垂直平分线，
∴②CB=CD正确；
∵，
∴③△ABC≌△ADC正确；
由已知条件不能判断④DA=DC．
故答案为：④．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
17．10
【分析】由作图方法可知：直线DE是线段AB的垂直平分线，则AE=BE，由△BCE的周长为18cm，可推出AC+BC=18cm，由此即可得到答案．
【详解】解：由作图方法可知：直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长为18cm，
∴BE+EC+BC=18cm，
∴AE+EC+BC=18cm，即AC+BC=18cm，
又∵BC=8cm，
∴AC=10cm，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够根据作图方法判断出直线DE是线段AB的垂直平分线．
18．26
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，BE＝4，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ADC的周长为18，
∴AC+AD+DC＝18，
∴AC+AD+DB＝AC+AB＝18，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝26，
故答案为：26．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
19．
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
【详解】解： 是的垂直平分线．，
的周长
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
20．3
【分析】先根据作图判断MN垂直平分BC，再根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再证明DA＝DC，即可得到CD＝AB＝3．
【详解】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴CD＝AB＝×6＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了作图﹣线段的垂直平分线，常见的基本作图有作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线．
21．
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行等量转换，即可得解．
【详解】∵的周长为
∴AB+BC+AC=13
∵DE为AC的垂直平分线，AE=2
∴AC=AE+CE=2AE=4，AD=CD
∴AB+BC=13-AC=13-4=9
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=9
故答案为：9．
【点睛】此题主要考查利用线段垂直平分线的性质求三角形的周长，熟练掌握，即可解题．
22．14
【分析】根据垂直平分线的性质得出，，然后结合图形求周长即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∵
∴的周长为14．
【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．
23．AC⊥BB'；PB'；BC＝B′C；SAS；S△AB'C；；PB+PD的最小值为；
【分析】作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP=B′P，证明△ABC≌△AB′C，根据S△ABB′=S△ABC+S△AB′C=2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值．
【详解】解：如图2，延长BC到点B′，使得BC=B′C，连接PB′，
因为∠ACB=90°（已知），
所以 AC⊥BB'（垂直的定义），
所以PB=PB'（线段垂直平分线的性质），
所以PB+PD=PB′+PD（等式性质），
所以过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′．
在△ABC和△AB′C中，
因为∠ACB=∠ACB′=90°，AC=AC，BC=B′C，
所以△ABC≌△AB′C（理由：SAS），
所以SABB′=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC（全等三角形面积相等），
因为S△ABB′=×AB×B'D=×10×B′D=5B′D，
又因为S△ABB′=2S△ABC=2××BC×AC=2××6×8=48，
所以 5B′D=48（同一三角形面积相等），
所以B′D=，所以 PB+PD的最小值为．
故答案为：AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；5B′D=48；PB+PD的最小值为．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是轴对称-最短路线问题的处理：作对称点．
24．（1）10；（2）点O在边BC的垂直平分线上，理由见解析．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，根据线段的和差关系及△ADE的周即可得BC的长；
（2）如图，连接OA、OB、OC，根据垂直平分线的性质可得OA=OB，OA=OC，即可得出OB=OC，可得点O在边BC的垂直平分线上．
【详解】（1）∵MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∵△ADE的周长为10，
∴AD+AE+DE=10，
∴BC=BD+DE+CE=AD+AE+DE=10．
（2）点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接OA、OB、OC，
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．
25．【猜想】150；【探究】（1）见解析；（2）(180﹣β)；【应用】1
【分析】猜想：延长ED交BC于点F，交AC于点O．证明∠BNC＝∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；
探究：（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；（2）延长ED交BC于点F，方法同（1）证出∠ACB＝∠BDF＝β，则可得出答案；
应用：证明∠E＝90°，求出DF＝2，根据三角形的面积公式可得结论．
【详解】证明：如图，延长ED交BC于点F，交AC于点O，
∵CB＝CA，
∴∠ABM＝∠BAN，
∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CM＝CN，
∵∠C＝∠C，
∴△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
∵E是AD的垂直平分线上的点，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，
∴∠BNC＝∠BFE，
∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，
∵∠C＝30°，∠FOC＝∠NOD，
∴∠NDO＝30°，
∴∠BDE＝150°，
故答案为：150°；
探究：
（1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CA﹣AN＝CB﹣BM，
∴MC＝NC，
在△BCN和△ACM中，，
∴△BCN≌△ACM（SAS）；
（2）如图，延长ED交BC于点F，
同理得△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，
∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，
∴∠ACB＝∠BDF＝β，
∴∠BDE＝180°﹣β．
故答案为：（180﹣β）；
应用：
∵∠C＝120°，CA＝CB，
∴∠BAC＝30°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC＝∠BAC＝15°，
∵AP∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝120°，
∴∠EAD＝180°﹣∠MAC﹣∠CAD＝45°，
由（2）可知，∠BDE＝180°﹣120°＝60°，∠CBN＝∠CAM＝∠ADB＝15°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠E＝90°，
∵DE＝DF，DE＝1，
∴DF＝2，
∴△DEF的面积为．
故答案为：1．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13.2 画轴对称图形 同步练习
一、填空题
1．（2022秋·吉林·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次的图形变化（平移、轴对称）得到，请写出一种由得到的过程 ．
2．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是 ．
3．（2022秋·吉林·八年级统考期末）点关于x轴对称点的坐标是 ．
4．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A(m， 5)和点B( 2，n)关于x轴对称，则m+n= ．
5．（2022秋·吉林四平·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（m，﹣4）与点B（﹣5，n）关于y轴对称，则点（m，n）在第 象限．
6．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）点P（4，－3）关于x轴对称的点P′的坐标为 ．
7．（2022秋·吉林·八年级统考期末）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 ．
二、解答题
8．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上且不全等．
图① 图② 图③
(1)在图①中画一个正方形ACBD．
(2)在图②中画一个平行四边形AEBF．
(3)在图③中画一个菱形AMBN．
9．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图是小正三角形组成的网格，每个网格里已经有3个涂上了阴影的小正三角形．在每个网格里，再将两个小正三角形涂上阴影，使得整个阴影部分构成轴对称图形．（每个网格里的阴影部分的图形不能相同）
三、作图题
10．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)填空：点，，关于y轴的对称点，，的坐标分别为：______，_______，______；
(2)在图中作出关于y轴的对称图形；
(3)请求出的面积．
11．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）作图并填空
(1)请在直角坐标系中画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)点A1的坐标是：_____________．
点B1的坐标是：____________．
点C1的坐标是：____________．
12．（2022秋·吉林白山·八年级统考期末）如图，把直角三角形放置方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：画出的三角形的顶点都在格点上，不涂黑．）
13．（2022秋·吉林·八年级期末）如图，4×4正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图1中画一个以线段AB为边的轴对称△ABC，使其面积为2；
(2)在图2中画一个以线段AB为边的轴对称四边形ABDE，使其面积为6．
14．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图1中画一个以线段为边的轴对称，使其面积为2；
（2）在图2中画一个以线段为边的轴对称四边形，使其面积为6．
15．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4）．
（1）画出线段AB关于y轴对称的线段A1B1，再画出线段A1B1关于x轴对称的线段A2B2；
（2）点A2的坐标为 ；
（3）若此平面直角坐标系中有一点M（a，b），点M关于y轴对称的对称点M1，点M1关于x轴对称的对称点M2，则点M2的坐标为 ．
16．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，ΔABC中，A点坐标为(2，4)，B点坐标为(-3，-2)，C点坐标为(3，1).
(1)在图中画出ΔABC关于y轴对称的ΔA′B′C′(不写画法)，并写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)求ΔABC的面积.
17．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．
（1）在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A1B1C1D1，并在对称轴AC上找出一点P，使PD+PD1的值最小．
18．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标：_____；
(3)求出△ABC的面积；
(4)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．（保留作图痕迹）
四、证明题
19．（2022秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有： 线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为，，点是直线的任意一点． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． 请写出完整的证明过程．
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，，则的周长为__________．
（2）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，的面积为，则的最小值是__________．
参考答案：
1．把向上平移三个单位长度，再沿y轴作轴对称得到（答案不唯一）
【分析】根据平移和轴对称的性质即可进行解答．
【详解】解：把向上平移三个单位长度，再沿y轴作轴对称得到，
故答案为：把向上平移三个单位长度，再沿y轴作轴对称得到（答案不唯一）．
【点睛】本题主要查了坐标与图形变化轴对称，平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线．
2．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】点关于y轴的对称点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3．
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是．
【详解】解：点关于x轴对称点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4．3
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．
【详解】解：∵点A(m， 5)与点B( 2，n)关于x轴对称，
∴m=-2，n=5，
∴m+n=3，
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的点的坐标特点．
5．四
【分析】先根据关于y轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数求出m、n的值，再根据每个象限内点的坐标特点求解即可．
【详解】解：∵点A（m，﹣4）与点B（﹣5，n）关于y轴对称，
∴m=5，n=-4，
∴点（m，n）即点（5，-4）在第四象限，
故答案为：四．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，根据点的坐标判断点所在的象限，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
6．(4,3)
【详解】解：点P（4，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（4，3）．
故答案为（4，3）．
7．70°
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，进而得出∠MAN的度数．
【详解】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，
∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°．
∴∠MAN=180°﹣110°=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
8．(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）根据正方形的定义作图即可得；
（2）根据平行四边形的定义作图即可得；
（3）根据菱形的定义作图即可得．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
【点睛】本题考查了作图，解题的是掌握正方形，平分线，菱形的定义．
9．见解析
【分析】根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案．
【详解】解：图形如图①②③所示：
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．
10．(1)，，
(2)画图见解析
(3)
【分析】（1）由关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案；
（2）分别确定点，，关于y轴的对称点，，，再顺次连接点，，即可；
（3）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：点，，关于y轴的对称点，，的坐标分别为：
，，．
（2）如图，即为所求作的三角形．
（3）．
【点睛】本题考查的是画关于y轴对称的三角形，坐标与图形，网格三角形的面积的计算，熟练的利用轴对称的性质画图是解本题的关键．
11．(1)见解析
(2)（-1，3）；（-4，-2）；（-5，3）
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）根据作出的图形结合平面直角坐标系中关于y轴对称点的坐标特点，直接写出点、、的坐标即可．
【详解】（1）解：先作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接，则△A1B1C1即为所求，如图所示：
（2）点A1的坐标是（-1，3）；
点B1的坐标是（-4，-2）；
点C1的坐标是（-5，3）．
故答案为：（-1，3）；（-4，-2）；（-5，3）．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换，作出点A、B、C关于y轴的对称点，是解题的关键．
12．见解析．
【分析】根据轴对称图形的定义，找到对称轴进而画出图像即可，定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了画轴对称图形，找到对称轴是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图1中画一个以线段AB为边的轴对称△ABC，使其面积为2；
（2）根据轴对称的性质即可在图2中画一个以线段AB为边的轴对称四边形ABDE，使其面积为6．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求；
（2）解：如图2，四边形ABDE即为所求．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
14．（1）作图见详解；（2）作图见详解．
【分析】（1）根据轴对称图形的性质及面积作图即可；
（2）根据题意，作出相应轴对称图形，验证面积即可得．
【详解】解：（1）根据题意：为轴对称图形，面积为2，
由图可得：，即为所求，（答案不唯一）；
（2）四边形ABDE为轴对称图形，面积为：，
四边形ABDE即为所求（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的作法，理解题意，熟练运用轴对称的性质是解题关键．
15．（1）见详解；（2）（1，2）；（3）（-a，-b）．
【分析】（1）分别作出A、B二点关于y轴的对称点A1、B1，再分别作出A1、B1二点关于x轴的对称点A2、B2即可；
（2）根据图示得出坐标即可；
（3）根据轴对称的性质得出坐标即可．
【详解】解：（1）如图所示：
线段A1B1和线段A2B2即为所求；
（2） 点A2的坐标为（1，2）；
（3）点M（a，b），关于y轴对称的对称点M1（-a，b），点M1关于x轴对称的对称点M2（-a，-b），故点M2的坐标为（-a，-b）．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的概念，利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
16．(1)见解析，A′(-2，4)，B′(3，-2)，C′(-3，1)；(2)
【分析】（1）根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【详解】解：（1）如图，
A′（-2，4），B′（3，-2），C′（-3，1）；
（2）S△ABC=6×6-×5×6-×6×3-×1×3，
=36-15-9-，
=．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
17．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）点D是点B关于直线AC的对称点，根据对称的性质确定点D后，连接AD和CD，即可得到四边形的另两条边.
（2）将A,B,C,D四点向下平移5个单位，得到A1,B1,C1,D1，再依次连接A1,B1,C1,D1，即可得到四边形A1B1C1D1.连接DB1与AC相交的交点即为所求.
【详解】（1）如图所示，四边形ABCD即为所求．
（2）如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求，点P位置如图所示．
【点睛】本题主要考查图形的轴对称和图形的平移,熟悉掌握相关步骤是解题关键.
18．(1)见解析
(2)（1，2），
(3)4
(4)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可得答案；
（3）根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积；
（4）根据两点之间线段最短，连接AC′交y轴于P，即可在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）∵C（﹣1，2），
点C关于y轴的对称点C'的坐标为（1，2）；
故答案为：（1，2）；
（3）△ABC的面积=；
（4）如图，连接AC′交y轴于P，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
19．教材呈现：证明见详解；定理应用：（1）；（2）
【分析】教材呈现：根据“”证明即可；
定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理证明，那么 的周长就转化为的长，
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，可知是的垂直平分线，过点作，垂足为点E，交于点P，此时的值最小，进而根据三角形的面积公式求得即可求解．
【详解】教材呈现：证明：∵，
∴，
∵
∴，
∴；
定理应用：解：（1）∵的垂直平分线分别交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的周长为，
故答案为：，
（2）过点作，垂足为点，交于点，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
此时的值最小，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．13.3.1 等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·吉林白山·八年级统考期末）一个等腰三角形的底角是39°，则它的顶角是（ ）
A．39° B．51° C．78° D．102°
3．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，在中，，边BC在x轴上，且点，点，则的面积为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．26
二、填空题
4．（2022秋·吉林长春·八年级期末）等腰中，，点E为底边上一点，以点E为圆心，长为半径画弧，交于点D，测得，，则 °．
5．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，若△ABC≌△ADF，且∠B=60°，∠C=20°点D在BC边上，则∠DAC= °．
6．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D．若AD=AC，∠B=25°，则∠BAC= ．
7．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，中，边AC的垂直平分线与边BC交于点D．将沿AD折叠后，使点C与点E重合，且，若，则 度．
8．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠BDC＝72°，则∠A的度数为 ．
9．（2022秋·吉林四平·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝ 度．
10．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG=2，且GC=6，则BE长为 ．
11．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，l与边交于点D，且．E是边上一点，把沿折叠，点B落在点F处，恰好过点C．若，则的度数为 度．
12．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则
13．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）一个等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数是 ．
14．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）若的三边长分别为，7，6，当为等腰三角形时，则的值为 ．
三、解答题
15．（2022秋·吉林·八年级期末）图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，B两点均在格点上，在给定的网格中
(1)在图①中，画出以AB为底边的等腰△ABC，并且点C为格点．
(2)在图②中，画出以AB为腰的等腰△ABD，并且点D为格点．
(3)在图③中，画出以AB为腰的等腰△ABE，并且点E为格点，所画的△ABE与图②中所画的△ABD不全等．
16．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，，求长．
17．（2022秋·吉林白山·八年级期末）如图，在中，，垂足为D．垂直平分，交于点F，交于点E，且．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，，求的长．
18．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，，，点M为的中点，点P在线段上以的速度由C点向B点运动，同时点Q在线段上以的速度由B点向A点运动．点P的运动时间为．
(1)填空：_____，_____；（用含t的式子表示）
(2)当时，______s；
(3)当和以点B，P，Q为顶点的三角形全等时，求t和a的值．
19．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．
（1）∠1＝∠2＝ °．
（2）∠1与∠3相等吗？为什么？
（3）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
20．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中以为边，画一个等腰；
(2)在图②中画，使与关于直线对称；
(3)在图③中画，使与全等．
21．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图①、图②均是10×10的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)AB的长为 ．
(2)在图①中画一个以AB为直角边的等腰直角三角形ABC．
(3)在图②中画一个以AB为斜边的等腰直角三角形ABD．
22．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，港口B在港口A的北偏东方向，且A、B之间的距离为．港口C在港口B的北偏西方向，且港口A的正北方向．求港口B与C之间的距离．
23．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，已知△ABC，AE⊥BC于E，BD⊥AC于D，AE＝BD．
求证：△ABC是等腰三角形．
24．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．
（1）求的度数；
（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．
25．（2022秋·吉林·八年级期末）如图，在方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为
(1)在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
(2)在图乙中画一个三角形与全等，且有一条公共边．
26．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，中，，，是腰的垂直平分线，求的度数．
四、证明题
27．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，在中，，AD是角平分线，E是AB边上一点，连接ED，CB是的平分线，ED的延长线与CF交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，则______度．
28．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．
29．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．
(1)猜想是 三角形；
(2)请将猜想到的结论进行证明．
30．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，在中，，．于点E，平分．
（1）求证；
（2）求的度数．
31．（2022秋·吉林·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=35°．AE⊥BC于点E，AD平分∠BAC．
(1)求证：AD＝CD；
(2)求∠EAD的度数．
32．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，在中，，，平分交于点M，求证：．
参考答案：
1．D
【分析】先由等边对等角得出，然后由作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
根据题意得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．D
【分析】根据等腰三角形的性质可得两底角相等，根据三角形内角和定理即可求得顶角的度数．
【详解】解：一个等腰三角形的底角是39°，
它的顶角是
故选D
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，理解等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
3．A
【分析】作轴于点Ｄ，求得，，利用等腰三角形的性质求得，根据三角形的性质即可求解．
【详解】解：作轴于点Ｄ，
∵，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4．31
【分析】根据等边对等角求出，，根据三角形的外角的性质，求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵以点E为圆心，长为半径画弧，交于点D，
∴，
∴，
∴．
故答案为：31．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边对等角．
5．40°/40度
【分析】先根据全等三角形的性质得到AB=AD，再根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，即可利用三角形外角的性质求出∠DAC的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△ADF，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠B=60°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键．
6．105°/105度
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则DA=DB，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求出∠CDA的度数，然后利用AD=AC得到∠C的度数，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：由作图得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=25°，
∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠CDA=50°．
∴
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握线段的垂直平分线的性质是解本题的关键．
7．
【分析】先利用垂直求出的度数，再根据折叠求出的度数，利用等腰三角形的性质求出和，再利用三角形内角和可求．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，，，
∵边AC的垂直平分线与边BC交于点D．
∴ ，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出角的度数．
8．/度
【分析】先证明 设 再证明利用三角形的内角和定理列方程再解方程求解 再利用三角形的外角的性质可得答案.
【详解】解： BD是△ABC的一条角平分线，
设
∠BDC＝72°，
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，求解是解本题的关键.
9．12
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：，点为的中点，，
，
，
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
10．8
【分析】先根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，同样的方法可得，然后根据线段和差可得，由此即可得．
【详解】解：平分，BD平分∠ABC，
，∠ABD=∠CBD，
，
，∠EDB=∠CBD，
，∠ABD=∠EDB，
，BE=DE，
，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
11．
【分析】根据折叠的性质，得到，利用等边对等角求出的度数，进而求出的度数，再根据中垂线的性质，等边对等角，以及外角的性质，求出的度数即可．
【详解】解：∵把沿折叠，点B落在点F处，，
∴，
∵，
∴，
∵直线l是边的垂直平分线，l与边交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，折叠性质，中垂线的性质，三角形的内角和和外角的性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
12．
【分析】由等边对等角即可得出，．再结合三角形外角性质即可求出，从而可求出的大小．
【详解】解：∵，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
13．或
【分析】分的内角是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：当的内角是等腰三角形的底角时，
它的顶角的度数为：；
当的内角是等腰三角形的顶角时，
它的底角的度数为：，符合要求；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．
14．3或4/4或3
【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当时，当时，再结合三角形三边关系检验即可．
【详解】解：∵为等腰三角形，
∴当时，
解得，
∴三边长为6，6，7
∵，
∴符合三角形三边的条件，
当时，
解得，
∴三边长为7，7，6
∵，
∴符合三角形三边的条件，
∴的值为4和3．
故答案为：4和3．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
15．(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)作图见解析．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义作出图形即可；
（2）根据等腰三角形的定义作出图形即可；
（3）根据等腰三角形的定义以及题目要求作出图形即可．
【详解】（1）解：如图①中，△ABC即为所求；
（2）解：如图②中，△ABD即为所求；
（3）解：如图③中，△ABE即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握利用数形结合的思想解决问题．
16．(1)的度数为；
(2)的长为4．
【分析】（1）根据已知可得是的垂直平分线，从而利用线段垂直平分线的性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，最后利用等腰三角形的性质即可解答；
（2）根据已知可得，再利用线段的和差关系，以及等量代换可得，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）∵的周长为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为4．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
17．(1)；
(2)．
【分析】（1）由，且，推出垂直平分，得到，再根据垂直平分，得到，利用三角形的外角性质即可得出答案；
（2）根据已知能推出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，且，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力．
18．(1)，
(2)2
(3)或
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后代入求解即可；
（3）根据题意分和两种情况讨论，分别列方程求解即可．
【详解】（1）∵点P在线段上以的速度由C点向B点运动，
∴，，
故答案为：，；
（2）∵，
∴当时，，即，
解得；
故答案为：2；
（3）∵由题意可得，，，，，
∵，
∴当时，，
即，
解得；
∴当时，，
即，
解得；
综上所述，当和以点B，P，Q为顶点的三角形全等时，或．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．
19．（1）22.5；（2）∠1＝∠3，详见解析；（3）AB＝BD+DH，详见解析
【分析】（1）求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABD＝∠BAD＝45°，根据角平分线的定义求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠BEA＝∠ADB＝90°，根据三角形的内角和定理求出∠2＝∠3即可；
（3）根据全等三角形的判定得出△BDH≌△ADC，根据全等三角形的性质得出DH＝DC，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝ABD＝22.5°，
故答案为：22.5；
（2）∠1＝∠3，
理由是：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3；
（3）AB＝BD+DH，
理由是：∵在△BDH和△ADC中
，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴DH＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DH，
∵AB＝BC，
∴AB＝BD+DH．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据轴对称的性质即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质，解本题的关键在利用相关性质正确画出图形．
21．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理解题；
（2）根据等腰直角三角形的性质解题；
（3）根据等腰直角三角形的性质解题．
【详解】（1）解：
故答案为：；
（2）如图①，等腰直角三角形ABC即为所求；
（3）如图②，等腰直角三角形ABD即为所求．
【点睛】本题考查网格与勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
22．
【分析】首先根据题意可得，可得，即可得，再根据等腰三角形的判定，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
故港口B与C之间的距离为．
【点睛】此题考查了方位角的应用，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是将实际问题转化为数学模型进行求解．
23．见解析.
【分析】通过全等直角三角形的判定定理HL证得Rt△ADB≌Rt△AEB，然后由全等三角形的对应角相等推知∠DAB=∠EBA；最后根据等角对等边即可证得CA=CB，即△ABC是等腰三角形．
【详解】证明：∵AE⊥BC，BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BEA＝90°．
在Rt△ADB与Rt△AEB中，
∵，
∴Rt△ADB≌Rt△AEB（HL），
∴∠DAB＝∠EBA（全等三角形的对应角相等），
∴CA＝CB，即△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
24．（1）70°；（2）15km/h
【分析】（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；
（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；
（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，
∴BC=AB=75km，
∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．
【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个以为公共边的三角形与全等．
【详解】（1）解：如图甲中，即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图乙中，即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和三角形的面积，解决本题的关键是借助网格解决问题．
26．
【分析】根据等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，计算即可．
【详解】∵，，是腰的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
27．（1）见解析，（2）46
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线得到∠B＝∠ACB＝∠BCF，由AD是角平分线，得到BD＝CD，证△BDE≌△CDF即可；
（2）根据全等三角形的性质得到DE＝DF＝DA，根据求得∠DAB，进而求出∠B的度数即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠B＝∠ACB，
∵CB是的平分线，
∴∠ACB＝∠BCF，
∴∠B＝∠BCF，
∵AD是角平分线，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
∴；
（2）∵△BDE≌△CDF；
∴ED＝FD，
∵,
∴ED＝AD，
∵，
∴，
∴，
∴∠B＝∠ACB＝∠BCF＝23°，
∴，
故答案为：46．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明和计算．
28．见解析
【分析】根据角平分线的性质定理可得DE＝DF，可证得Rt△AED≌Rt△AFD，从而得到AE＝AF，再根据等腰三角形的性质，即可求证．
【详解】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
29．(1)等腰
(2)见解析
【分析】（1）通过观察三角形三边长度和形状进行猜想；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明．
【详解】（1）解：猜想△DOP是等腰三角形；
故答案为：等腰．
（2）证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠BOP，
∵DN∥EM，
∴∠DPO=∠BOP，
∴∠DOP=∠DPO，
∴OD=PD，即△DOP是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边．
30．（1）证明见详解；（2）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的性质可得，再由等量代换及等角对等边即可证明；
（2）根据三角形外角的性质可得，再由垂直的性质得出，利用三角形内角和求解即可得．
【详解】证明：（1）∵，，
∴，
∵AD平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握运用各个性质定理是解题关键．
31．(1)见解析
(2)∠EAD=20°．
【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠BAC=70°，证出∠C=∠DAC，则可得出结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠ADE，则可求出答案．
【详解】（1）证明：∵∠B=75°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAC=35°，
∴∠C=∠DAC，
∴AD=CD；
（2）解：∵∠DAC=∠C=35°，
∴∠ADE=∠DAC+∠C=70°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°-∠AED=20°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
32．见解析
【分析】首先根据三角形内角和定理和等腰三角形的概念得到，然后根据角平分线的概念得到，然后根据等角对等边即可得到．
【详解】∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的概念．13.3.2 等边三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，在中，，于点D，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在中，．下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（2022秋·吉林·八年级期末）如图，等边三角形 ABC的边长为4cm，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在的外部处．则整个阴影部分图形的周长为 cm．
5．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，是等腰直角三角形，AB是斜边，以BC为一边在右侧作等边三角形BCD，连接AD与BC交于点E，则的度数为 度．
6．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝6，E是AC边上的中点，M是AD边上的动点，则EM+CM的最小值是 .
7．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末） 如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= °．
8．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是边AC的中点．当△ECF的周长取得最小值时，∠EFC的度数为 ．
9．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，正三角形ABC中，D是AB的中点，于点E，过点E作与BC交于点F．若，则的周长为 ．
10．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，在中，，，，则 ．
三、解答题
11．（2022秋·吉林白山·八年级统考期末）知识背景
我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题
问题初探
如图（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由．
类比再探
如图（2），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝ME，连接BE，则∠EBD＝ ．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线）
方法迁移
如图（3），△ABC是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE，则BD、BE、BC之间有怎样的数量关系？ （直接写出答案，不写过程）．
拓展创新
如图（4），△ABC是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE．猜想∠EBD的度数，并说明理由．
12．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，在中，是角平分线，且．过点D作，垂足为点E，．
(1)在中，画出边上的高．
(2)求的面积．
13．（2022秋·吉林四平·八年级期末）如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s，当点M，点N第一次相遇时，点M，点N同时停止运动．设点M，点N的运动时间为秒．
(1)当点M在上时， ；当点M在上时， ．（用含的代数式表示）
(2)点N在上时，若为直角三角形，直接写出的值．
(3)连结，当线段的垂直平分线经的某一顶点时，直接写出的值．
14．（2022春·吉林白城·八年级统考期末）如图，在等边中，AB＝24cm．射线，点E从点A出发沿射线AG以的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以5cm/s的速度运动，设点E的运动时间为t（s）．解答下列问题：
(1)点F在线段BC上运动时，CF＝______cm；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝______cm（用含t的式子表示）．
(2)在整个的运动过程中，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t值；
(3)在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，若存在，求出t值：若不存在，说明理由．
15．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点P从点A出发，沿折线A－B－C－A以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．点Q从点B出发，沿折线B－C－A以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P、Q两点重合时，求t的值．
（2）当△BPQ是以PQ为底边的等腰三角形时，求t的值．
（3）当△BPQ是直角三角形时，直接写出t的值．
16．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，过点C作CD⊥OC，交OB于点D，，交OB于点E．
(1)若OD=7，求CD的长；
(2)试判定△ECD的形状．
17．（2022秋·吉林长春·八年级期末）操作：第一步：如图1，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开．
第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．连结AN，易知△ABN的形状是 ．
论证：如图3，若延长MN交BC于点P，试判定△BMP的形状，请说明理由．
18．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数．
（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？
四、证明题
19．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）已知，和都是等边三角形．
(1)如图1，连接、，求证：．
(2)如图2，若点D、E、C在一条直线上，点D、E在的上方，连接．与是否平行？证明你的结论．
(3)点D在边上，点D、E在边的两侧．过点D作，与直线交于点F，连接．若，则_____度．
20．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交，边于M，N两点，连接，延长至E，使，连接．
(1)请在横线上写出角的度数，补充的证明过程．
证明：∵是等边三角形，∴_____．
∵，，∴_____．
∴，_____．
∵，∴_____．
即 ；
(2)求证：．
21．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
22．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且BD＝CE．求证：AD＝BE
23．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图1，两个相同的等边三角形一边重合得到四边形ABCD，．点P从点A出发以的速度在三角形的边上沿方向到点D运动，点Q从点C出发以速度沿CB到点B运动．点P的运动时间是，两个点同时出发，到终点停止运动．
（1）当时，的周长为______cm；
（2）当为直角三角形时，______s；
（3）如图2，为等边三角形时，与是否全等？如果全等证明其结论，并求出此时t的值，如果不全等请说明理由．
24．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小M值；PC+PF的最小值为 （直接写出结果）．
25．（2022秋·吉林·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD＝CF．
（1）如图1，若DE⊥BC，则∠DFC＝ 度；
（2）如图2，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），求证：BE＝CD；
（3）如图3，若D是边BC的中点，且AB＝2，则四边形AEDF的周长为 ．
26．（2022秋·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE，以BE为一边作等边△BED，连接AD.
（1）求证：CE=AD．
（2）若BC=8 cm，BE=7 cm, 则△ADE的周长为______cm．
27．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，是等边三角形，．动点P从点C出发，以的速度在边的延长线上运动，以为边作等边三角形，点A、Q在直线同侧，连接、相交于点E．设点P的运动时间为．
(1)当______s时，．
(2)求证：．
(3)求的度数．
(4)设与交于点F，与交于点G，连接，当点G将边分成的两部分时，直接写出的周长．
28．（2022秋·吉林·八年级期末）本学期，我们利用“构造轴对称图形——等边三角形”证明了定理：
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明过程如下：
已知：如图（1），△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：． 证朋：如图（2），延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD， ∵，， ∴，． ∵AC＝AC， ∴． ∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴．
(1)【知识运用】如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，AB＝4，则BC＝______；
(2)【类比证明】如图（3），请类比以上证明过程，证明：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝2BC，则∠A＝30°；
(3)【迁移创新】构造具有特殊性质的轴对称图形（如等边三角形），从而利用轴对称图形的性质证明结论是几何问题的数学证明中常见的思路．请你尝试解决以下问题．
如图（4），等边△ABC中，延长BA，BC，使AD＝BE，连接DC，DE．求证：DC＝DE．
29．（2022秋·吉林四平·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．
30．（2022秋·吉林·八年级期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，并且AC=BD，AE=BF，连接CE．
（1）求证：AE∥FB；
（2）若DC=DE，∠A=25°，求∠AEC的度数．
（3）若DC=DE，∠A=α，则∠AEC=_________（用含α的式子表示）．
（4）若∠A=30°，DE=m，则BF=_________（用含m的式子表示）．
31．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE＝EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM＝CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．
【详解】解：过P作PM∥BC，交AC于M，
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，
∴AE＝EM＝AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；
又∵PA＝PM＝CQ，
在△PMD和△QCD中，
，
∴△PMD≌△QCD（AAS）；
∴CD＝DM＝CM；
∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形△APM是解答此题的关键．
2．B
【分析】根据同角的余角相等求出，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，然后根据计算即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题关键．
3．D
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，一一判断可得结论．
【详解】解：选项A中，
∵，
∴
由作图可知，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线平分的面积．
选项B中，由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴中线平分的面积．
选项C中，
由作图可知，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴直线平分的面积．
选项D中，由题意可知，是的角平分线，不能平分的面积．
故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．
4．
【分析】由折叠的性质，可得，，又由等边三角形的边长为，易得阴影部分图形的周长为： 则可求得答案．
【详解】解：等边三角形的边长为，
，
沿直线折叠，点落在点处，
，，
阴影部分图形的周长为： ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
5．75
【分析】由题意，是等腰三角形，然后求出的度数，再根据三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ABC=∠BAC=45°，∠ACB=90°，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=CD，∠BCD=60°，
∴AC=CD，∠ACD=90°+60°=150°，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：75．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．
6．6
【分析】连接BE，交AD于M，根据两点之间,线段最短,则BE就是PE+PC的最小值，根据等边三角形的三线合一的性质,从而证得BE＝AD＝6.
【详解】解：如图所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴AD等边三角形ABC的边BC上的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
连接BE，交AD于M，
∴BM=CM
∴EM+CM=EM+BM=BE
根据两点之间,线段最短,则BE就是EM+CM的最小值，
∵E是AC的中点，
∴BE是等边三角形ABC的边AC上的高，
∴BE＝AD，
∵等边三角形ABC的边BC上的高为6，
∴BE＝AD＝6.
∴EM+CM的最小值是6.
故答案为：6.
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、垂直平分线的性质和两线段之和的最值问题，掌握等边三角形的性质、垂直平分线的性质和两点之间，线段最短是解决此题的关键.
7．30
【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
故答案为30°．
8．60°/60度
【分析】过E作，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF， 则此时EF+CF的值最小，的周长最小，根据等边三角形性质求出∠CME， 即可求出答案．
【详解】解：过E作，交AD于N，
∴
∵等边三角形ABC的边长为4， E是边AC的中点．
∴AC=AB=BC=4，AE=2，
∴EC=2=AE， 为等边三角形，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF， 则此时EF+CF的值最小，的周长最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC=AB，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°， ．
∴
由轴对称的性质可得：
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练想利用轴对称的性质确定F的位置是解本题的关键．
9．18
【分析】利用正三角形ABC以及平行关系，求出是等边三角形，在中，利用含角的直角三角形的性质，求出的长，进而得到长，最后即可求出的周长．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
由于D是AB的中点，故,
，
，
在中,，
，
，
，
故答案为：18．
【点睛】本题主要是考查了等边三角形的判定及性质、含角的直角三角形的性质，熟练地综合应用等边三角形和含角的直角三角形的性质求解边长，是解决该题的关键．
10．3
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵AB=6，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
11．问题初探：BE＝CD，理由见解析；类比再探：∠EBD＝90°，辅助线见解析；方法迁移：BC＝BD+BE；拓展创新：∠EBD＝120°，理由见解析
【分析】问题初探：根据余角的性质可得∠BAE＝∠CAD，然后可根据SAS证明△BAE≌△CAD，进而可得结论；
类比再探：过点M作MF∥AC交BC于点F，如图（5），可得△BMF是等腰直角三角形，仿问题初探的思路利用SAS证明△BME≌△FMD，可得∠MBE＝∠MFD=45°，进而可得结果；
方法迁移：根据等边三角形的性质和角的和差关系可得∠BAE＝∠CAD，然后可根据SAS证明△BAE≌△CAD，进而可得结论；
拓展创新：过点M作MG∥AC交BC于点G，如图（6），易证△BMG是等边三角形，仿方法迁移的思路利用SAS证明△BME≌△GMD，可得∠MBE＝∠MGB＝60°，进而可得结论．
【详解】解：问题初探：BE＝CD．
理由：如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
类比再探：
在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F，如图（5），则∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF，
∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF，
∵MB＝MF，ME＝MD，
∴△BME≌△FMD（SAS），
∴∠MBE＝∠MFD=45°；
∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．
故答案为：90°；
方法迁移：BC＝BD+BE．
理由：如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE；
拓展创新：∠EBD＝120°．
理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G，如图（6），则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，
∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM，
∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME＝∠DMG，
∵ME＝MD，∴△BME≌△GMD（SAS），
∴∠MBE＝∠MGB＝60°，
∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形、灵活应用上述知识和类比的思想是解题的关键．
12．(1)见解析．
(2)12
【分析】（1）延长，过D点作垂直于的延长线，交的延长线于点F，则即为边上的高．
（2）根据题意可知，可得，再根据已知条件证明可得，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）延长，过D点作垂直于的延长线，交的延长线于点F，则即为边上的高．如下图：
（2），是角平分线
在中
又是角平分线，
为与共边，
故面积为12．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形全等的判定及性质和30度角对应的直角边是斜边的一半等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
13．(1)，；
(2)4.5或5；
(3)或或或．
【分析】（1）分点M在上和点M在上两种情况求解即可；
（2）分点M是的中点和点N是的中点两种情况画图进行求解即可；
（3）分四种情况画出图形，列方程进行求解即可．
【详解】（1）解：当点M在上时，，当点M在上时，．
故答案为：，；
（2）由题意得，点N的速度为3cm/s，，
∴当时，点N落在上，此时点M也在上．
当点M是的中点时，如图1，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
此时，满足题意，
当点N是的中点时，如图2，
则，
此时，满足题意，
综上所述，满足条件的t的值为4.5或5；
（3）如图3中，当线段的垂直平分线经过点A时，
∴，
则，
解得．
如图4中，当线段的垂直平分线经过点B时，
∴，，
∴，
∴，
解得．
如图5中，当线段的垂直平分线经过点C时，
∴，
∴，
解得．
如图6中，当线段的垂直平分线经过点A时，
∴，，
∴，
∴，
解得．
综上所述，满足条件的t的值为或或或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质、一元一次方程的解法等知识，解题关键是学会用分类讨论思想思考问题，学会构建方程解决问题．
14．(1)（24－5t），（5t－24）
(2)t值为3或者12
(3)存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6．
【分析】（1）根据题意得：点F在线段BC上运动时CF＝24－5t；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝5t－24．
（2）当点F在C的左侧时（含点C），用 t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t．
当点F在C的右侧时，用 t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t．
（3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，平行线之间垂线最短则EF⊥BC，再利用矩形和等边三角形得性质找出BD＝DF．
【详解】（1）（24－5t），（5t－24）．
（2）当点F在C的左侧时（含点C），根据题意得，
CF＝24－5t，AE＝3t，
∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，
3t＝24－5t，解得t＝3．
当点F在C的右侧时，根据题意得，CF＝5t－24，AE＝3t，
∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，
3t＝5t－24，解得t＝12．
综上可得，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t值为3或者12．
（3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小．
若E、F两点间的距离最小，则EF⊥BC．
过A作AD⊥BC于D，可得四边形AEFD为矩形，此时AE＝FD，
在等边三角形ABC中，AB＝24，
∴BD＝12，DF＝5t－12，
∴3t＝5t－12解得t＝6
∴存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6．
【点睛】此题考查了用含t的式子表示线段，平行四边形、矩形和等边三角形的性质，解题的关键是应用平行四边形、矩形和等边三角形的性质找出相等的边长，求得t．
15．（1）4；（2）或；（3），5，1，6
【分析】（1）P比Q快1个单位长度，P落后Q4个单位长度，算出追上的时间即可得t的值；
（2）分两种情况：①当点P在边AB上，点Q在边BC上时，BP＝BQ，②当点P、Q都在边AC上时，AP＝CQ，列出等量关系式求出t的值即可；
（3）分情况讨论：当时和时，根据等边三角形的长度，确定P、Q位置即可求出t的值．
【详解】（1）∵P比Q快1个单位长度，P落后Q4个单位长度，
∴追上的时间为；
（2）
如图，当点P在边AB上，点Q在边BC上时，BP＝BQ，
即，
∴，
如图，当点P、Q都在边AC上时，AP＝CQ，
即，
∴，
综上，t的值为或；
（3）
如图，当，点P在边AB上，点Q在边BC上时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
如图，当，点P、Q都在边AC上时，
∵是等边三角形，
∴点P为AC中点，
，
如图，当，点P在边AB上，点Q在边BC上时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
如图，当，点P、Q都在边AC上时，
∵是等边三角形，
∴点Q是AC中点，
，
综上：t的值为，5，1，6．
【点睛】本题考查等边三角形上的动点问题，掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与直角三角形的性质是解题的关键．
16．(1)
(2)等边三角形，证明见解析
【分析】（1）先证明∠1=30°，再利用含的直角三角形的性质可得答案；
（2）先证明∠2=90°-∠1=60°．由，可得∠3=∠AOB=60°，∠4=180°-∠2-∠3=60°，可得△ECD是等边三角形．
【详解】（1）解：如图，
∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠1=30°，
∵CD⊥OC，
∴△OCD是直角三角形，而
∴CD=OD=．
（2）如图，
在Rt△OCD中，∠2=90°-∠1=60°．
∵，
∴∠3=∠AOB=60°．
在△ECD中，∵∠2=∠3=60°，∠4=180°-∠2-∠3=60°，
∴△ECD是等边三角形．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定，掌握“等边三角形的判定方法”是解本题的关键．
17．操作：等边三角形；论证：△BMP是等边三角形，理由见解析
【分析】操作：由折叠的性质可得NA=NB=AB，可得△ABN是等边三角形；
论证：由直角三角形的性质可求∠BPM=∠MBP=60°，可得△BMP是等边三角形．
【详解】解：操作：如图2，
∵直线EF是AB的垂直平分线，
∴NA=NB，
由折叠可知，BN=AB，∠NBM=∠ABM，∠BAM=∠BNM=90°，
∴AB=BN=AN，
∴△ABN是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
论证：△BMP是等边三角形，理由如下：
如图3，
∵△ABN是等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠NBM=∠ABM=∠ABN=30°，
∵∠NBP=∠ABP-∠ABN=30°，∠BNP=90°，
∴∠BPM=∠MBP=60°，
∴△BMP是等边三角形．
【点睛】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
18．（1），证明见解析；（2）（3）
【分析】（1）根据时间和速度求得BP、CQ的长，根据SAS判定两个三角形全等．
（2）利用第（1）小题的方法可证得，，根据三角形外角性质可得，根据等边三角形性质和三角形内角和定理可得，根据对顶角性质可得的度数．
（3）设点Q运动时间是x秒，根据列一元一次方程，根据任意一角为的等腰三角形是等边三角形，即可求出答案．
【详解】（1）．
证明：点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，经过1s后，
∴，
∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
∴，
∵AB＝BC＝AC＝12cm，BD＝AB，
∴是等边三角形，，，
∴，
在和中，
∴（SAS）．
（2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
∴，
∵AB＝BC＝AC，
∴是等边三角形，，
∵在和中，
∴，
∴；
在中，，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴（对顶角相等）．
（3）解：设点Q运动时间是x秒，若，可列方程：
，
解得：．
∵在中，，，
∴当秒时，是等边三角形（任意角是的等腰三角形是等边三角形）．
∴当点Q运动秒后，可得到等边．
【点睛】本题考查了三角形外角定理、用SAS证明三角形全等及等边三角形的性质和判定，熟练运用全等三角形的判定和性质定理是解题关键．
19．(1)见解析
(2)平行，证明见解析
(3)或
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）证明，，利用8字型图，得到，进而得到，即可得证；
（3）分点在线段和线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：平行，证明如下：
同法（1）可得：，
∴，
设交于点，则：，
∴，
即：，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
，
当点在线段上时，如图
则，
∴；
当点在线段的延长线上时，如图，
则：，
∴；
综上：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形的内角和定理．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
20．(1)60，30，90，90；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质结合邻补角的性质填空即可；
（2）先证明，可得，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴．
∵，，∴．
∴，．
∵，∴．
即 ；
（2）∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．∠QMC＝60°
(3)点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．∠QMC＝120°
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC；
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变化．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22．见解析
【分析】由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再利用SAS证明△ABD≌△BCE，即可证明结论．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（ASA，SAS，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键．
23．（1）6；（2）1.5或4.5；（3）△ABQ≌△ACP，此时t=4s．
【分析】（1）根据题意得到△PQC是等边三角形，由此即可求解；
（2）分两种情况讨论，利用30度角的直角三角形的性质即可求解；
（3）利用SAS证明△ABQ≌△ACP，即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABC和△ADC都是边长为6cm的等边三角形，
∴AB=AC=BC=DC=6 cm，∠ACB=∠BAC=∠ACD=60°，
当t=2s时，AP=22=4，CQ=21=2，
∴CP=AC-AP=2= CQ，
∴△PQC是等边三角形，且边长为2cm，
∴△PQC的周长为6cm；
故答案为：6；
（2）当点P在AC上时，∠APB=90°，△ABP为直角三角形，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABP=30°，
∴AP=AB=3，
∴t==1.5(s)；
当点P在CD上时，∠BAP=90°，△ABP为直角三角形，
此时∠CAP=30°，
同理可得CP=3，
∴t==4.5(s)；
∴当△ABP为直角三角形时，t=1.5或4.5s；
故答案为：1.5或4.5；
（3）△ABQ≌△ACP，
∵△ABC和△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AQ=AP，∠BAC=∠QAP=60°，
∵∠BAQ+∠CAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAQ=∠CAP，
∴△ABQ≌△ACP(SAS)，
∴BQ=CP，
∴6-t=2t-6，
解得t=4．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（1）见解析；（2）6；（3）见解析；6
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质定理的逆定理证明即可；
（2）根据∠ABD=30°，确定BD=8；根据∠EAD=30°，确定ED=2；根据BE=BD-ED计算即可；
（3）根据将军饮马河模型确定即可；根据等边三角形的性质确定即可．
【详解】（1）∵AD=DC，
∴点D在线段AC的垂直平分线上；
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∴点B在线段AC的垂直平分线上；
根据两点确定一条直线，
∴BD是线段AC的垂直平分线；
∴BD垂直平分AC；
（2）∵△ABC是等边三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC ，
∴∠ABD=30°，∠EAD=30°，
∵AD＝DC＝4，
∴BD=8，ED=2，
∴BE=BD-ED=8-2=6；
（3）∵BD垂直平分AC，
∴点C关于直线BD的对称点为点A，
连接AF，交BD于点P，
则点P即为所求；
∵△ABC是等边三角形，BF=CF，
∴AF⊥BC，
∴AF=BE=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，30°角的性质，将军饮马河模型确定最值，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用30°角的性质，将军饮马河模型是解题关键．
25．（1）90；（2）见详解；（3）4
【分析】（1）由等边三角形性质知∠B=∠C=60，根据DE⊥BC，∠EDF=60知∠BED=∠CDF=30，据此可得答案．
（2）由∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=∠B=60知∠CDF=∠BED，据此证可得答案．
（3）先得出BD=CD=CF=AF=1，再由（2）知，据此得BE=CD=1，DE=DF，结合∠B=60知△BDE是等边三角形，得出DE=DF=1，再进一步求解可得答案．
【详解】解：（1）如图1，
∵是等边三角形，
∴∠B=∠C=60，
∵DE⊥BC，即∠BDE=90，∠EDF=60，
∴∠BED=∠CDF=30，
∴∠DFC=90，
故答案为：90；
（2）∵是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60，
∴∠CDF=∠BED，
在BDE和CFD中，
∵，
∴（AAS），
∴BE=CD；
（3）∵ABC是等边三角形，AB=2，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2，
∵D为BC中点，且BD=CF，
∴BD=CD=CF=AF=1，
由（2）知，
∴BE=CD=1，DE=DF，
∵∠B=60°，
∴BDE是等边三角形，
∴DE=DF=1，
则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=4，
故答案为：4．
【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及四边形的周长公式等知识点．
26．（1）见解析；（2）15．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得出∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE，根据SAS可证明△ABD≌△CBE，即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得出AD=CE，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴CE=AD；
（2）解：∵△ABD≌△CBE，
∴AD=CE，
∵BC=8，BE=7，
∴AC=8，DE=7，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=CE+AE+DE=AC+DE=8+7=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
27．(1)2；
(2)证明见解析；
(3)；
(4)或．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，再利用全等三角形的性质得到，即可求出的值；
（2）根据等边三角形的性质，利用“”即可证明三角形全等；
（3）根据全等三角形的性质得到，再利用等边三角形的性质，得到，进而推出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数；
（4）根据全等三角形的性质和等边三角形的性质，利用“”证明，从而得到是等边三角形，分两种情况讨论：和，分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：是等边三角形，，
，
，
，
动点P的速度为，运动时间为，
，
故答案为：2；
（2）解：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（4）解：，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
是等边三角形，
当时，如图1，，即的周长为，
当时，如图2，，即的周长为，
综上可知，的周长为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
28．(1)2
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题目所证明的结论即可得到答案；
（2）如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，证明．推出AB＝AD 进而证明△ABD是等边三角形，由此即可证明结论；
（3）如图所示，延长BE到M使得BM=BD，连接DM，证明△BDM是等边三角形，得到∠B=∠M=60°，BD=MD，再证明AB=ME=BC，即可证明△DCB≌△DEM得到DC=DE．
【详解】（1）解：由题意得：，
故答案为：2；
（2）解：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，
∵，
∴
∵AC＝AC，BC=DC，
∴．
∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等），
又∵AB=2BC=BD，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
又∵AC⊥BD，
∴；
（3）解：如图所示，延长BE到M使得BM=BD，连接DM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BC=BA，
又∵BD=BM，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠B=∠M=60°，BD=MD，
∵BD=BM，AD=BE，
∴AB=ME=BC，
∴△DCB≌△DEM（SAS），
∴DC=DE．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确理解题意构造等边三角形是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)△AOD是直角三角形，理由见解析
(3)8cm
【分析】（1）推出CD=OC，∠OCD=∠ACB=60°，从而命题得证；
（2）推出∠ADC=∠BOC=150°，∠ODC=60°，从而得出∠ADO=90°，从而得出结果；
（3）根据∠AOB，∠BOC及∠COD计算出∠AOD度数，根据∠ADC，∠CDO计算出∠ADO的度数，从而得出∠OAD=∠ODA，进而得出OA=OD，进一步得出OC．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴CD=CO，∠ACD=∠BCO，
∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO，
即∠DCO=∠ACB=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
由（1）知：△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）由（1）得：∵△COD是等边三角形
∴∠COD=60°，
∵∠BOC=∠AOB=110°，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=80°，
∵∠ADC=∠BOC=110°，∠CDO=60°，
∴∠ADO=110°-60°=50°，
在△AOD中，∠OAD=∠180°-∠ADO-∠AOD=180°-50°-80°=50°，
∴∠OAD=∠ADO，
∴OD=OA=8 cm，
∵△COD是等边三角形，
∴OC=OD=8 cm．
【点睛】本题考查了全等三角形性质，等腰（等边）三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的基础知识．
30．（1）见解析；（2）∠AEC=20°；（3） 45°-α；（4）2m．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADE=∠BCF=90°，证明，根据全等三角形的性质即可得到∠A=∠B，根据平行线的判定即可得到结论；
（2）由等腰直角三角形的性质得出∠DCE=∠CED=45°，由三角形外角的性质得出答案
（3）根据题意可得是等腰直角三角形，可得，再根据三角形的外角性质可得结论；
（4）根据直角三角形的性质得到AE=2m，再由BF=AE可得结论．
【详解】解：（1）∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
即AD=BC．
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）．
∴∠A=∠B．
∴AE∥FB．
（2）∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°.
∵∠A=25°，
∴∠AED=65°.
∵DC=DE，
∴∠CED=45°.
∴∠AEC=∠AED—∠CED=65°—45°=20°.
（3）∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
故答案为：45°—α.
（4）∵ED⊥AB，
∴是直角三角形
∵∠A=30°，DE=m，
∴
由（1）得Rt△ADE≌Rt△BCF
∴
故答案为：2m.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，解此题的关键是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
31．（1）30°；（2）证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠B=60°，然后根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；
（2）根据等边三角形的判定可证△EDC是等边三角形，从而求出DC=EC，然后根据等角对等边可得EC=CF，从而证出结论．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=∠B=60°
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠B=60°
∵EF⊥DE
∴∠DEF=90°
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
证明：（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°
∴∠DEC=60°
∴△EDC是等边三角形
∴DC=EC
∵∠F=30°
∴∠CEF=∠ACB－∠F=30°=∠F
∴EC=CF
∴DC＝CF．
【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质和等腰三角形的判定及性质，掌握等边三角形的判定及性质和等腰三角形的判定及性质是解题关键．
