15.1 分式 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·吉林白山·八年级期末）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·吉林白山·八年级期末）若分式有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
3．（2022秋·吉林白山·八年级统考期末）下列各式中的变形，错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·吉林·八年级期末）根据分式的基本性质填空：，括号内应填（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的
7．（2022秋·吉林·八年级统考期末）下列分式中，是最简分式的为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）一个长方形的面积为，长为，则长方形的宽为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·吉林·八年级期末）下列约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）下列式子：a，，，，其中分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022秋·吉林四平·八年级期末）把分式中的a、b、c都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的3倍 C．变为原来的 D．变为原来的
二、填空题
12．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）分式中隐含着x的取值应该满足的条件是： ．
13．（2022秋·吉林·八年级期末）当 时，分式的值为．
14．（2022秋·吉林长春·八年级期末）当x＝ 时，分式的值为零．
15．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）分式和的最简公分母是 ．
16．（2022春·吉林松原·八年级统考期末）函数中，自变量x的取值范围是 ．
17．（2022秋·吉林长春·八年级期末）分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
18．（2022秋·吉林·八年级统考期末）若分式的值为0，则实数的值为 ．
19．（2022秋·吉林·八年级期末）使分式的值为0，这时x= ．
20．（2022秋·吉林·八年级期末）化简： ．
参考答案：
1．C
【分析】利用分式定义，分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，进行解答即可．
【详解】解：A、是整式，不是分式，故此选项不合题意；
B、是整式，不是分式，故此选项不合题意；
C、是分式，故此选项符合题意；
D、是整式，不是分式，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式的定义，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
2．B
【分析】根据分式有意义的条件是分式的分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵分式有意义，即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
3．B
【分析】根据分式的符号法则，可判断A、D，根据分式的基本性质可判断B、C．
【详解】解：A. 根据分式的符号法则分式的分子，分母，分式本身三处符号，任意改变两处的符号，分式的值不变，故选项A正确，
B. 根据分式的基本性质，分子、分母都乘以或除以不为0的数或整式，而不是加或减数或整式，故选项B错误；
C. 根据分式的基本性质，分子、分母都乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变，故选项C正确
D. 根据分式的符号法则分式的分子，分母，分式本身三处符号，任意改变两处的符号，分式的值不变，故选项D正确．
故选择B．
【点睛】本题考查分式的符号法则，和分式的基本性质将分式恒等变形，掌握分式的符号法则，和分式的基本性质是解题关键．
4．D
【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：A. ，此项不成立；
B. ，此项不成立；
C. ，此项不成立；
D. ，此项成立；
故选择：D.
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题关键．
5．B
【分析】把分式的分母与分子同时除以(x+1)即可得出结论．
【详解】解：∵分式的分母与分子同时除以(x+1)得，，
∴括号内应填x-1．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键．
6．D
【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴分式的值缩小为原来的，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
7．C
【分析】根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断．
【详解】解：A．，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．是最简分式，所以C选项符合题意；
D．，不是最简分式，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了最简分式，约分，解决本题的关键是掌握最简分式的定义．
8．D
【分析】根据题意列式，再把列出的分式进行约分即可求出结果．
【详解】解：由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练运用因式分解，正确找出公因式是解决问题的关键．
9．A
【分析】根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、原约分错误，不符合题意；
C、原约分错误，不符合题意；
D、原约分错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
10．B
【分析】根据分式的定义，即形如 （其中 ， 都是整式，且分母 中必须含有字母）的式子叫分式，即可解答．
【详解】解：a，，是整式；
，，是分式，有 个．
故选：B
【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是理解形如 （其中 ， 都是整式，且分母 中必须含有字母）的式子叫分式．
11．A
【分析】根据分式的基本性质即可得．
【详解】解：a、b、c都扩大为原来的3倍，即
，
∴分式的值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
12．x≠0且x≠1/x≠1且x≠0
【分析】根据分式存在的条件，的分母不为零，即可解得．
【详解】分式 存在，需满足分母不为零，即
解得
故答案：．
【点睛】此题考查了分式存在的意义，解题的关键是找出隐含的条件，列出式子求解．
13．-12
【分析】分式的值为零，则分子为零但分母不为零，根据此结论即可求得x的值．
【详解】分式的值为，
，且．
解得：，且．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，关键是掌握分式的概念．一定要验证分母的值是否为零．
14．3
【分析】分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，据此即可求出x的值．
【详解】∵分式的值为零，
∴x2-9=0，且x+3≠0，
解得：x=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
15．
【分析】只要求出和的最小公倍数就可以了．
【详解】解：和的最小公倍数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握最简公分母的求解方法是解题的关键，求最简公分母实际上就是求各分母的最小公倍数．
16．x>-4
【分析】根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件解答
【详解】解：由题意得，
函数中，，
故答案为：
【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
17．
【分析】根据分式有有意义的条件是分母不为零进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．
18．
【分析】根据分式值为0的条件①分母不为0，②分子等于0计算即可.
【详解】解：由题意得且
由解得；
由解得或1（舍去）
所以实数的值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为0时满足得条件是解题的关键，易错点在于容易忽视分式的分母不为0.
19．1
【详解】由题意得＝0，
所以x2-1=0且x+1≠0，
解之得x=1，
故答案为：1．
20．
【分析】把分子分母约去公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是掌握公因式的确定方法，如果分式的分子和分母都是单项式，数字取最大公约数，字母取相同的字母，字母的指数取最小的．15.2 分式的运算 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）已知，则的值是
A． B．－ C．2 D．－2
3．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）的相反数是（ ）
A． B． C．-2 D．2
二、填空题
4．（2022秋·吉林·八年级统考期末）计算： ．
5．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）化简： ．
6．（2022秋·吉林·八年级统考期末）人体中红细胞的直径约为 米，将数 用科学记数法表示为 ．
7．（2022秋·吉林白山·八年级期末）计算：＝ ．
三、解答题
8．（2022秋·吉林长春·八年级期末）当时，求的值．
9．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，一个小长方形的长为，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内．
(1)大长方形的宽_______，长_______（长和宽都用含a，b的式子来表示）．
(2)求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a，b的式子来表示）
(3)若，大长方形面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则_______．
四、计算题
10．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）化简：
11．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）下面是一位同学化简代数式的解答过程：
解：原式 ① ② ③
(1)这位同学的解答，在第_______步出现错误．
(2)请你写出正确的解答过程，并求出当时，原式的值．
12．（2022秋·吉林白山·八年级期末）先化简，再求值：，其中.
13．（2022秋·吉林长春·八年级期末）先化简，再求值：，其中．
14．（2022秋·吉林·八年级统考期末）先化简，再求值：，从，，0，1，2中选择一个有意义的数求值．
15．（2022秋·吉林·八年级统考期末）计算：．
16．（2022秋·吉林·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
17．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中只能在0，1，这三个值中取一个合适的值．
18．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2022春·吉林松原·八年级统考期末）化简求值：，其中．
20．（2022秋·吉林白山·八年级统考期末）化简：．
21．（2022秋·吉林四平·八年级期末）老师在黑板上出了一道题：“先化简，再求值：，其中x=2021．”，小敏同学把条件“x=2021”错抄成“x=2012”，但她的结果也是正确的，请你通过计算说明理由．
22．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）化简：．
23．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）计算：．
24．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）计算：．
参考答案：
1．C
【分析】根据完全平方公式，分式的乘法，同底数幂的除法，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，分式的乘法，分式的性质，同底数幂的除法，掌握以上知识是解题的关键．
2．D
【详解】解：∵，
∴-=，
∴=，
∴=．
故选：D．
3．B
【分析】先求出的值，再根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】
的相反数为
故本题选B．
【点睛】本题考查了相反数及负整指数幂的运算．熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
4．
【分析】先计算分式的乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，再约分即可得到答案.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式的乘方运算，分式的除法运算，掌握分式的乘方与除法运算的运算法则是解本题的关键.
5．
【分析】根据分式的减法法则即可求解．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握分式减法法则是解答本题的关键．
6．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．1
【分析】根据零指数幂公式可得答案．
【详解】解：＝1；
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．
8．
【分析】先根据分式的运算顺序和运算法则，将分式进行化简，再代入x的值进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．
9．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用整式的加减即可求解；
（2）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解；
（3）当时，分别用a表示出大长方形的面积，阴影部分的面积，代入即可求解．
【详解】（1）解：大长方形的宽，
长，
故答案为：，；
（2）解：大长方形面积为，
故阴影部分的面积
；
（3）解：当时，；
；
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了列代数式，代数式求值，整式的混合运算涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键．
10．
【分析】将分式除法变为乘法，约分计算即可；
【详解】解：
【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11．(1)①
(2)，．
【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：第①步出现错误，
故答案为：①；
（2）解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
12．，．
【分析】先计算括号内的加减法，再计算乘法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
13．，6
【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
当时．原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
14．，当时，
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的m的值代入计算可得．
【详解】
∵，
∴，且，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
15．
【分析】先通分，化成同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加减法，掌握运算法则是解题的关键．
16．，9
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：原式=
=
=；
当时，原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
17．，当m=-2时，原式=
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件选出一个合适的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，且，．
∴当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，准确计算是本题的关键．
18．，
【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
19．；．
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
20．．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，然后化简即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解,分式的加减运算．解题的关键在于对乘法公式的熟练掌握．
21．见解析
【分析】先将分式中的分子分母分解因式，然后化简，观察结果，即可得到小敏同学把条件“x=2021”错抄成“x=2012”，但她的结果也是正确的．
【详解】解：
=x-x
=0，
∵化简后的结果不含x，
∴小敏同学把条件“x=2021”错抄成“x=2012”，但她的结果也是正确的．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则．
22．
【分析】先通分，再加减约分即可．
【详解】解：，
=，
=，
=，
=．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练掌握分式运算法则，准确进行计算．
23．2
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
＝ 1＋1＋2
＝2．
【点睛】此题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．
【分析】先根据积的乘方公式进行计算，然后再根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方和单项式除以单项式运算法则是解题的关键．15.3 分式方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·吉林白山·八年级期末）解分式方程时，去分母，得（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．1 D．任意实数
3．（2022秋·吉林长春·八年级期末）若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A． B．－1 C．1 D．
4．（2022秋·吉林·八年级统考期末）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/分钟，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·吉林白山·八年级期末）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的2倍，设汽车到博物馆所需的时间为xh，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）分式方程的解是 ．
8．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）分式方程的解是 ．
9．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为 ．
10．（2022秋·吉林四平·八年级期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为 ．
11．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）2020年初，全国口罩紧缺，某口罩生产企业准备开通A，B两条口罩生产线，总日产量5万只，已知A生产线生产75万只口罩与B生产线生产25万只口罩所用天数相同．设A生产线的口罩日产量是x万只，则可列出分式方程 ．
三、解答题
12．（2022秋·吉林·八年级统考期末）解方程：．
13．（2022秋·吉林·八年级统考期末）x为何值时，与相等．
14．（2022秋·吉林长春·八年级期末）（1）；
（2）
15．（2022秋·吉林白山·八年级统考期末）学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下：
15.3分式方程 甲乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？ 聪聪： 明明：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)选择：聪聪同学所列方程中的x表示______，明明同学所列方程中的y表示______；
A．甲队每天修路的长度；B．乙队每天修路的长度；C． 甲队修路400米所用的时间
(2)你喜欢______列的方程，该方程的等量关系________________；
(3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
16．（2022秋·吉林·八年级期末）以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘，得第一步
解得第二步
检验：当时，第三步
所以是原方程的根第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）写出正确的解方程的过程．
17．（2022秋·吉林·八年级期末）定义一种新运算“”，规则如下：，，这里等式右边是实数运算，例如：．求中的值．
18．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）新研制开发的磁悬浮列车的速度是高铁速度的2倍．A、B两地之间的距离为，如果磁悬浮列车运行A、B两地之间，比高铁节省2个小时．求磁悬浮列车的速度．
19．（2022秋·吉林长春·八年级期末）甲做140个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相同，若每小时甲乙两人共做26个零件，求甲每小时做多少个零件？
20．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．
(1)甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？
(2)如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有哪几种方案？
21．（2022秋·吉林·八年级统考期末）某投影仪工厂现在平均每天比原计划多生产30台投影仪，现在生产650台投影仪所需时间与原计划生产500台投影仪所需时间相同，求该投影仪工厂原来平均每天生产多少台投影仪？
22．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）长春市朝阳区环卫处在工农大路清扫上安排了甲、乙两辆清扫车．甲车比乙车每小时多清扫路面8km，若甲车清扫路面49km与乙车清扫路面35km所用的时间相同，求乙车每小时清扫路面的长度．
23．（2022秋·吉林白山·八年级期末）为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用400元购进一批一次性医用外科口罩．由于质量较好，公司又用600元购进同一型号的口罩，已知第二批购进口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元，问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？（列分式方程解）
24．（2022秋·吉林四平·八年级统考期末）第二实验中学八年级学生去距学校10千米的文化广场参加活动，一部分同学骑自行车先走，过了25分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的平均速度是骑车同学平均速度的2倍，求汽车的平均速度．
25．（2022秋·吉林·八年级期末）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元
(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用
26．（2022秋·吉林松原·八年级统考期末）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液个数的一半．
(1)求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；
(2)经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
参考答案：
1．A
【分析】分式方程整理后，找出最简公分母，去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程变形得：，
方程两边同乘以得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题关键在于利用转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．C
【分析】根据题意可得x=3，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
去分母得x-4+m=2（x-3），
∵方程有增根，
∴x=3，
把x=3代入x-4+m=2（x-3）中得：
3-4+m=0，
∴m=1，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
3．D
【分析】先令分母为零求增根，在把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程即可求出答案．
【详解】解： 分式方程无解
解得
原方程化为：
把 代入得
解得
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的增根，掌握增根产生的原因并求出增根，把分式方程转化为整式方程是解题的关键．
4．D
【分析】设小军骑车的速度为x千米/分钟，则校车速度是2x千米/分钟，根据“小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程．
【详解】解：设小军骑车的速度为x千米/分钟，则校车速度是2x千米/分钟，则
．
故选D．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
5．B
【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．
【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
6．C
【分析】设汽车到博物馆所需的时间为xh，根据时间＝路程÷速度，汽车的速度是自行车速度的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设汽车到博物馆所需的时间为xh，根据题意列方程得，
；
故选：C
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．
【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得
3x-9=2x，
解得x=9．
检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．
∴原方程的解为：x=9．
故答案为：x=9．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握节分是方程的方法和步骤是解题的关键．
8．
【分析】按照解分式方程的方法解方程即可．
【详解】解：，
方程两边同乘得，，
解整式方程得，，
当时，，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题关键是熟练运用解分式方程的方法解方程，注意：分式方程要检验．
9．且
【分析】先解分式方程得到方程的根为：再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案.
【详解】解：
解得：
关于x的方程＝3的解是正数，
且
解得：且
故答案为：且
【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根时字母参数的取值要排除.
10．
【分析】设小敏通过AB时的速度是x米/秒，则通过BC的速度是1.2x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可．
【详解】解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒，
依题意可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11．．
【分析】设A生产线的口罩日产量是x万只，则B生产线的口罩日产量是（5﹣x）万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合A生产线生产75万只口罩与B生产线生产25万只口罩所用天数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设A生产线的口罩日产量是x万只，则B生产线的口罩日产量是（5﹣x）万只，
依题意，得：＝．
故答案为：＝．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12．
【分析】方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；．
【详解】解：方程两边都乘得：
，
整理得：，
则，
，
解得：，
检验：当时，，
故是原方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的求解，熟练掌握分式方程的求解方法并注意一定要检验是解题关键．
13．x=-7
【分析】由题意列方程，求解即可．
【详解】解：依题意，列方程得
3(x+1)=2(x-2)
x=-7
经检验，x=-7是原方程的解
∴x=-7时，与相等
【点睛】此题考查负整数指数幂，分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键．
14．（1）；（2）
【分析】（1）将分式方程化为整式方程求解，最后检验即可；
（2）将分式方程化为整式方程求解，最后检验即可．
【详解】（1）解：
去分母，得：
去括号，得：
移项、合并同类项，得：
系数化为“1”，得：
经检验，是原方程的解；
（2）
去分母，得：
去括号，得：
移项、合并同类项，得：
经检验是原方程的解；
【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解题关键．
15．(1)A，C；
(2)聪聪，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等；或明明，乙队每天比甲队多修20米；
(3)甲队每天修路的长度为40米
【分析】（1）结合方程及等量关系即可得出；
（2）结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系；
（3）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得．
【详解】（1）解：根据方程可得：x表示甲队每天修的路程，y表示 甲队修路400米所用的时间，
故答案为：A，C；
（2）解：结合两个方程可得：
①聪聪，等量关系：甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等；
②明明，等量关系：乙队每天比甲队多修20米；
故答案为：聪聪（明明）；甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等（乙队每天比甲队多修20米）；
（3）解：①选第一个方程，
解得，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
答：甲队每天修路的长度为40米；
②选第二个方程，
解得，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队每天修路的长度为40米．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键．
16．（1）一；（2）分式方程无解，解答过程见解析．
【分析】（1）观察小明解方程过程，找出错误的步骤即可；
（2）写出正确的解分式方程过程即可．
【详解】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
（2）去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．x的值为5．
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，即，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
18．
【分析】设磁悬浮列车的速度为，根据路程时间速度公式列出方程解答即可．
【详解】设磁悬浮列车的速度为,则高铁的速度为，根据题意可得
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意．
故磁悬浮列车的速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，能够正确的列出方程并解出是解答本题的关键．
19．甲每小时做14个零件
【分析】首先设甲每小时做个机器零件，则乙每小时做个机器零件，根据关键语句“甲做140个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相同”列出方程，再解出方程即可．
【详解】解：设甲每小时做个机器零件，则乙每小时做个机器零件，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
答：甲每小时做14个机器零件．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用．关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．
20．(1)甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元；
(2)有三种方案：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套；方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套；方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套．
【分析】（1）设甲种套房每套提升费用为万元，则乙种套房每套提升费用为万元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设甲种套房提升套，那么乙种套房提升套，根据题意，列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设甲种套房每套提升费用为万元，乙种套房每套提升费用为万元，
依题意，可得
解得：
经检验：符合题意，
；
答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元．
（2）解：设甲种套房提升套，那么乙种套房提升套，
依题意，得，
解得：
因为取整数
即或或，所以有三种方案，
方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套．
方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套
方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系和不等式关系，正确列出方程和不等式．
21．该工厂原来平均每天生产100台投影仪．
【分析】设原计划平均每天生产x台投影仪，则现在平均每天生产台投影仪，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合现在生产650台投影仪所需要时间与原计划生产500台投影仪所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设该工厂原来平均每天生产x台投影仪，则现在平均每天生产台投影仪．
根据题意得，解得．
经检验知是原方程的根．
答：该工厂原来平均每天生产100台投影仪．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．乙车每小时清扫路面的长度为20km
【分析】设乙车每小时清扫路面的长度为xkm，则甲车每小时清扫路面的长度为，根据“甲车清扫路面49km与乙车清扫路面35km所用的时间相同”，列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设乙车每小时清扫路面的长度为xkm，
则甲车每小时清扫路面的长度为，
由题意得，解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：乙车每小时清扫路面的长度为20km．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23．第一批口罩每包的价格是20元，公司前后两批一共购进60包口罩
【分析】设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x-5）元，由题意：某公司用400元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用600元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x-5）元，
根据题意得： ，
解得：x=20，
经检验，x=20是分式方程的解，
（包），（包），
，
答：第一批口罩每包的价格是20元，公司前后两批一共购进60包口罩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
24．24千米／时
【分析】关键描述语：“过了25分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间 乘车同学所用时间＝．
【详解】设骑车同学平均速度是x千米／时，则汽车的平均速度是2x千米／时．
依题意，，
解得x=12．
经检验，x=12是原方程的解．
∴2x=24．
答：汽车的平均速度是24千米／时．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．(1)新能源车的每千米行驶费用为元，
(2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低
【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
26．(1)购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元
(2)该学校最多可购买21个测温枪
【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，根据用400元购买测温枪的数量是用160元购买洗手液的一半，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，根据总价单价数量结合总价不超过670元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．
（2）设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，
依题意，得：，
解得：．
答：该学校最多可购买21个测温枪．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
