数学思想在中考解题中的应用

课件35张PPT。数学思想方法在中考解题中的应用 数理提高班课程 　数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．要提高我们分析和解决问题的能力，形成用数学的意识解决问题，这些都离不开数学思想． 　　　数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想、统计思想、整体思想等．能否运用数学思想方法进行分析问题、解决问题关系到中考的成败．纵观各年的中考试题，在注重考察数学核心内容与基本能力的同时，考题中都突出了数学思想方法的理解和简单运用． 方程与函数的思想 方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决．方程思想在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活． 问题1(07河北省) 一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48．6元，那么平均每次降价的百分率是 ． 10% 问题2（07山东泰安市 ）某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了1元，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 解：设第一次购书的进价为x元，则第二次购书的进价为（x＋1）元．根据题意得：
去分母，整理得
解之得： ， 经检验，x1 ＝5 ， x 2＝24 都是原方程的解． ∵每本书的定价为7元，∴只取x＝5．
所以第一次购书为 （本）．第二次购书为240＋10=250（本）．第一次赚钱为 240×（7－5）=480（元），
第二次赚钱为
所以两次共赚钱 480＋40=520（元）．（元）答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元． 函数思想就是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用有关函数的性质，使问题得到解决． 问题3(07内蒙古赤峰)如下图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为，正方形除去圆部分的面积为（阴影部分），则与的大致图象为（ ）A 问题4．(07黑龙江)甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．下图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程y（千米）随时间x（分）变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：
（1）乙比甲晚多长时间到达李庄？
（2）甲因事耽误了多长时间？
（3）x为何值时，乙行驶的路
程比甲行驶的路程多1千米？ 解:⑴设直线OD的解析式为
由题意可得
当y=15时,
故乙比甲晚10分钟到达李庄． 　
⑵设直线BC的解析式为
由题意可得

由图象可知甲20分钟行驶的路程为5千米，
　　
故甲因事耽误了20分钟． ⑶分两种情况：
①
②
当x为36 或48时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多１千米．
该题集中考考查同学们对图象的观察能力和对一次函数应用的理解能力．要掌握利用不同条件求一次函数解析式样方法，理解一次函数解析式的多种形式．　　　　　　　　　　　　　　　　 问题5．(07江西）如图，在 AB=8，AC=6,若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作 DE‖BC 交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．⑴求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ⑵当x为何值时，△BDE的面积有s最大值，最大值为多少？


又AB=8，AC=6,AD=8-2x,AE=y,
∴自变量的取值范围为 :解: ⑴ ∵ DE‖BC当x=2时，s有最大值，且最大值为6．
（或用顶点公式求最大值） 问题6．(2007年安阳市九年级调研测试题) 如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠A=900，BC和DE交于点P，若AC=3，AB=4，则P点到AB边的距离是____________． 一般解法：经过添加辅助线，利用相似三角形的判定和性质，解方程等步骤得到结果．解：如图，建立平面直角坐标系，
则B（0，4），E（0，3），
C（3，0），D（4，0）．
故直线BC的解析式为：
直线ED的解析式为：
求两直线交点坐标，联立上述两个解析式解方程组即得：x=　启示：运用坐标系和函数方法解题，思路简捷，思维量少，方法易于掌握，特别是对那些数量关系比较确定的问题，运用坐标系解决问题的效率较理想，常常能出奇制胜的作用． 问题7(07宿迁市) 如图，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切．
（1）在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；（2）当圆的直径等于正方形
的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方
形的区域的面积是否最大？并说明理由． ⑴圆运动一周覆盖正方形的区域
用阴影表示如下：解： ⑵圆的直径等于正方形的边长一半时，
覆盖区域的面积不是最大.理由如下： 设正方形的边长为a，圆的半径为r 覆盖区域的面积为S
∵圆在正方形的内部，∴0＜r≤a/2
由图可知：∴圆的直径等于正方形的边长一半时，面积不是最大．数形结合思想 “数以形而直观，形以数而入微．”数形结合思想是一种通过数的抽象严谨、形的直观表意之间的相互转化来研究和解决数学问题的思想． 数形结合思想是初中数学中一种重要的思想方法．用数形结合的思想解题可分两类:
(1)利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；
(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等． 问题8．（07湖北天门市 ）已知关于x的不等式组 的整数解共有6个，则a的取值范围 是 ． 热点内容
(1)利用数轴解不等式(组)．
(2)研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题．
(3)研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题．
(4)运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题． 问题9（07湖北恩施）路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37座，共计长达742421．2米．下图是正在修建的庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为双行线2车道．
(1)建立恰当的平面直角坐标系,并求出隧道拱抛物线的解析式;
(2)在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在⑴的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置;
(3)为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部 （设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0．5米．现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2．5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由． 解：(1)以EF所在直线为x轴,经过H且垂直于EF的直线为y轴, 建立平面直角坐标系,
显然E(-5,0),F(5,0),H(0,3)
设抛物线的解析式为:
依题意有:
所以y= (2)y=1, 路灯的位置为( ,1)或(- ,1)．
(3)当x=4时,y= =1．08　　　
点到地面的距离为1．08+2=3．08
因为3．08-0．5=2．58＞2．5，所以能通过． 分类讨论思想 在解答某些数学问题时,因为存在一些不确定的因素,解答无法用统一的方法或结论不能给出统一的表述,对这类问题依情况加以分类,并逐类求解,然后综合求解,这种解题的方法叫分类讨论法,它是一种极其重要的数学思想方法．分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案． 引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面: （1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论； （2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论． 问题10（07山东东营）某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图10中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图11中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？解：(1) 由图10可得，
当0≤t≤30时，设市场的日销售量y＝kt．
∵ 点（30，60）在图象上，∴ 60＝30k．
∴ k＝2．即 y＝2 t．
当30≤t≤40时，设市场的日销售量y＝k1t+b．
因为点（30，60）和（40，0）在图象上，
所以
解得 k1＝－6，b＝240．
∴ y＝－6t＋240．
综上可知，
当0≤t≤30时，市场的日销售量y＝2t；
当30≤t≤40时，市场的日销售量y＝－6t＋240． (2) 方法一：由图11得，
当0≤t≤20时，每件产品的日销售利润为y＝3t；
当20≤t≤40时，每件产品的日销售利润为y＝60．
∴ 当0≤t≤20时，产品的日销售利润y＝3t·2t＝6t2；
∴ 当t＝20时，产品的日销售利润y最大等于2400万元．
当20≤t≤30时，产品的日销售利润y＝60·2t =120t．
∴ 当t＝30时，产品的日销售利润y最大等于3600万元；
当30≤t≤40时，产品的日销售利润y＝60· (－6t＋240)；
∴ 当t＝30时，产品的日销售利润y最大等于3600万元．
综上可知，当t＝30天时，这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．
方法二：由图10知，当t＝30（天）时，市场的日销售量达到最大60万件；又由图11知，当t＝30（天）时产品的日销售利润达到最大60元/件．
所以当t＝30（天）时，市场的日销售利润最大，最大值为3600万元． 在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）．
（1）点T（t，0）是x轴上的一个动点．当t取何值时，△TOP是等腰三角形？P情况一:OP=OT情况二:PO=PT情况三:TO=TPT3(-4,0)问题11在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）．
xy0PA（1）点T（t，0）是x轴上的一个动点．当t取何值时，△TOP是等腰三角形？(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为A．点T为坐标系中的一点．以点A．O．P．T为顶点的四边形为平行四边形,请写出点T的坐标?问题11(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为A．点T为坐标系中的一点．以点A．O．P．T为顶点的四边形为平行四边形,请写出点T的坐标?在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）．
xy0PA改为:点T在第四象限,请写出点T的坐标．(3) 过P作y轴的垂线PA,垂足为A．点T为坐标轴上的一点．以P．O．T 为顶点的三角形与△AOP相似,请写出点T的坐标?问题11化归思想 化归思想就是在处理问题时,将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思想的过程，选择运用的数学方法进行交换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题思想叫做转化与化归的思想，转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化．　　任何一个数学问题都是通过“联想、构造、转化”的思维方式有机地进行数形转化，从而实现未知到已知的过程．化归转化思想是解决数学问题的根本思想，常见的化归有:未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化；高维向低维转化；多元向一元转化；高次向低次转化；函数与方程的转化；无限向有限的转化等；都是转化思想的体现． 　　　注意以下几点：
　1、解方程（组）降次、换元、公式变形．
　2、方程和函数及不等式转化．
　3、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论的变化和图形的变化．
　4、代数、几何之间的转化思想． 问题12(06苏州)已知函数y= 和y=kx+l(k≠O)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?解:⑴因为两函数图象都经过点(1,a),⑵将 代入y=kx+1,消去y,得:
∵k≠0,∴要使两函数的图象总有公共点,只要使△≥0即可．
∵△=1+8k, ∴1+8k≥0,k≥-1/8．
∴ k≥-1/8,且k≠0． 问题13（06河北省）如图1，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是________（结果保留根式）． 解析： 通过展开图把立体图形转化为平面图形利用“两点之间，线段最短”的原理解决问题．该圆锥的侧面展开图是一个半径为8，弧长为4π的扇形（图2），所以圆心角∠AOA′=90°，从展开图上可以看出小虫爬行的最短距离应为弦AA′的长，由勾股定理可得为 ． 其它思想方法 统计思想就是利用统计对有限个对象（样本）的研究，去对大量对象（总体）的特征进行估计，主要是解决日常生活中较大数据群的评估问题．要描述一组数据的集中趋势可以利用平均数、众数和中位数；要描述一组数据的离散程度，我们可以选择极差、方差和标准差即可解决这个问题． 要描述一组数据的集中趋势可以利用平均数、众数和中位数；要描述一组数据的离散程度，我们可以选择极差、方差和标准差即可解决这个问题． 问题14（辽宁12市）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下： 请根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）抽取的学生数为_______名；（2）该校有3000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有_______名；（3）估计该校女学生喜欢收听刘心武评《红楼梦》的约占全校学生的_ ___%；（4）你认为上述估计合理吗？理由是什么？3001060 15合理．用样本估计总体． 整体思想 问题15(05宁波)已知: a－b＝b－c＝ ，
a2＋b2＋c2＝1,则ab＋bc＋ca=_______________．解： a－b＋b－c＝a－c＝ ，
(a－b)2 ＋ ( b－c)2 ＋ ( a－c)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝ ，
而a2＋b2＋c2＝1,
很容易得出ab＋bc＋ca＝ ．常用的数学方法 主要有待定系数法 、消元法、定义法、列举法、比较法、配方法和换元法． 祝同学们：金榜题名！愿我们：心想事成！