江苏省无锡市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(PDF版无答案)

2023年-2024学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
一、单选题（共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．）
1.直线 (a+ 1)x+ 3y+ 3= 0与直线 x+ (a- 1)y+ 1= 0平行，则实数 a的值为 ( )
A. 2 B. 12 C. - 2 D. 2或-2
3 1 2. 1已知 A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP= 4OA+ 8OB+ 8OC，则P，A，B，C四点
( )
A.共面 B. 不一定共面
C. 无法判断是否共面 D.不共面

3. 已知向量 a= 2 3,0,2 ，向量 b= 1,0, 3 ，则向量 a在向量 b上的投影向量为 ( )
A. 12 ,0,
3
2 B. 2 3,0,2 C. 1,0, 3 D. 3,0,3
4.若圆 x 2+ y2+ 2x- 4y+ 1= 0被直线 2ax- by+ 2= 0 a> 0,b> 0 1 1 平分，则 a + b 的最小值
为 ( )
A. 14 B. 9 C. 4 D.
1
9
5.已知平行六面体 ABCD- A1B1C1D1的所有棱长均为 2，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1= 60°，M为

C1D1的中点，则向量 AM 的模长为 ( )
A. 15 B. 4 C. 17 D. 19
x2 + y
2
6.已知 A、B为椭圆 4 3 = 1上两点，O为坐标原点，M (异于点O)为弦 AB中点，若 AB两点
1
连线斜率为 2 ，则OM两点连线斜率为 ( )
A. - 2 B. - 3 C. - 33 2 4 D. -
4
3
7.已知点 P是圆M : (x- 2)2+ (y- 2)2= 2上的动点，线段 AB是圆C : (x+ 1)2+ (y+ 1)2= 4的一

条动弦，且 |AB| = 2 3，则 |PA+ PB|的最大值是 ( )
A. 3 2+ 1 B. 8 2 C. 4 2+ 1 D. 8 2+ 2
8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑 A -
BCD中，AB⊥平面 BCD，∠BDC= 90°，BD= 2AB= 2CD= 2，E是 BC的中点，H是△ABD内

的动点 (含边界 )，且 EH 平面 ACD，则CA EH的取值范围是 ( )
A. 1 ,3 2 B. 0,3
C. 1 , 11 D. 11 2 2 3,

2
二、多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
要求。全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．）
·1·
{#{QQABCYIUggAAAAJAAQhCAwXgCgMQkAACCAoOQEAEsAABQRNABAA=}#}
9.直线 l过点 A 2,1 ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线 l在 y轴上的截距可能是
( )
A. - 1 B. 1 C. 3 D. 0
10.已知直线 l : kx- y- k= 0，圆M : x 2+ y2+Dx+ Ey+ 1= 0的圆心坐标为 2,1 ，则下列说法正
确的是 ( )
A.直线 l恒过点 1,0
B. D=-4,E=-2
C. 直线 l被圆M截得的最短弦长为 2 3
D.若点 P(x,y)是圆M上一动点，x- y的最小值为-2 2
11. M : x
2 2
已知椭圆 2 +
y
2 = 1 a> b> 0 的左、右焦点分别为 F1 - 3,0 ，F2 3,0 ，过点 Fa b 2且垂
直于 x轴的直线与该椭圆相交于 A，B两点，且 AB = 1，点 P在该椭圆上，则下列说法正确的是
( )
A.存在点 P，使得∠F1PF2= 90°
B. 若∠F1PF2= 60° 6，则 S△F1PF2= 3
C. 满足△F1PF2为等腰三角形的点 P只有 2个
D. PF1 - PF2 的取值范围为 -2 3,2 3
12.直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB⊥ AC,AB= AC= AA1= 1，点 D是线段 BC1上的动点 (不含端
点 )，则 ( )
A. CD与 AC1一定不垂直
B. AC 平面 A1BD
C. 三棱锥 A1- ABC的外接球表面积为 3π
D. AD+DC的最小值为 3
三、填空题（本题共 4小题，每题 5分，共 20分 .）
13.直线 2x- 3y- 9= 0的一个方向向量为 .
14.已知直线 l1：x- 2y- 2= 0的倾斜角为 θ，直线 l2的倾斜角为 2θ，且直线 l2在 y轴上的截距为 3，
则直线 l2的一般式方程为 .
x2 y2 15.若点O和点 F分别为椭圆 4 + 3 = 1的中心和左焦点，点 P为椭圆上任意一点，则OP·FP的
取值范围为 .
16.已知圆C : (x- 1)2+ (y+ 3)2= 10和点M 5,t ，若圆C上存在两点 A,B使得MA⊥MB，则实数 t
的取值范围是 ．
四、解答题 (共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
17. 17已知△ABC的顶点A 4,2 ，顶点C在x轴上，AB边上的高所在的直线方程为x+2y+m=0．
(1)求直线 AB的方程；
(2)若 AC边上的中线所在的直线方程为 x- y- 4= 0，求m的值．
·2·
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18.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2,M为OA
的中点，N为 BC的中点，解答以下问题 :
(1)证明 :直线MN 平面OCD;
(2)求直线 AC与平面OCD所成角的余弦值.
(3)求点N到平面OCD的距离
19. 一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心O 0,0 为圆心，半径为 400km的圆
形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向 600km处准备出发，若运输车沿北偏西 60°方向
以每小时 40 7km的速度做匀速直线运动：
(1)运输车将在无人区经历多少小时？
(2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开
无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？
20.已知点 A 4,-1 ,B 0,3 ，圆C的半径为 1.
(1)若圆C的圆心坐标为C 3,2 ，过点 A作圆C的切线，求此切线的方程；
(2)若圆C的圆心C在直线 l : y= x- 1上，且圆C上存在点M，使 MB = 2 MO ，O为坐标原点，
求圆C圆心的横坐标 a的取值范围
·3·
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21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 2，BC=4 2，
PA= 2.
(1)求证：AB⊥ PC；
(2)在线段 PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面 PBC所成角的大小为 30°，如果存
PM
在，求 PD 的值，如果不存在，请说明理由.
x2, : + y
2
22. 已知 P 0 1 为椭圆C 2 2 = 1(a> b> 0)上一点，长轴长为 2 2.a b
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)不经过点P的直线 l与椭圆C相交于A,B两点，若直线PA与PB的斜率之和为-1，
证明：直线 l必过定点，并求出这个定点坐标．
·4·
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