人教A版（2019）必修第一册 2.2基本不等式 同步练习（含解析）

2.2基本不等式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．当时，的最大值是（ ）
A．-8 B．-6 C．8 D．10
2．若，则取最小值时的是（ ）
A．8 B．3 或 C． D．3
3．已知，且，则的最小值是（ ）
A．10 B．15 C．16 D．18
4．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间为（ ）年.
A．5 B．6 C．7 D．8
5．若，则有（ ）
A．最大值 B．最小值9
C．最大值 D．最小值
6．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知实数，且，则（ ）
A．的最小值为18 B．的最小值为64
C．的最小值为128 D．的最小值为
10．已知a，b为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ）
A．有最小值
B．有最小值
C．函数的最小值为1
D．有最大位
11．任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（ ）
A． B． C．5 D．3
12．下列命题中真命题的有（ ）
A．若a，b，，且，则 B．若，则的最小值为2
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 .
14．已知命题，满足，不等式恒成立，命题，则是的 条件.
15．若直角三角形斜边长等于4，则该直角三角形面积的最大值为 .
16．一批货物随17列火车从A市均以千米/时的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米.为了安全，每两列火车的间距不得小于千米（火车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市，最快需要 小时，此时速度为 千米/时.
四、解答题
17．已知.
(1)当时，求的最大值；
(2)当时，求：
①的最小值
②的最小值.
18．如图，现将正方形区域规划为居民休闲广场，八边形位于正方形的正中心，计划将正方形WUZV设计为湖景，造价为每平方米20百元；在四个相同的矩形，上修鹅卵石小道，造价为每平方米2百元；在四个相同的五边形上种植草坪，造价为每平方米2百元；在四个相同的三角形上种植花卉，造价为每平方米5百元.已知阴影部分面积之和为8000平方米，其中的长度最多能达到40米.
(1)设总造价为（单位：百元），长为（单位：米），试用表示；
(2)试问该居民休闲广场的最低造价为多少百元？
（参考数据：取，结果保留整数）
19．已知函数.
(1)，不等式恒成立，求实数的范围；
(2)若关于的不等式在有解，求实数k的取值范围.
20．（1）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立；
（2）若，，证明：．
21．第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之前，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完．每万台的年销售收入t（万元）与年产量x（万台）满足关系式：，年利润为y（万元），求年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大 并求最大利润．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意可将构造为形式，然后利用基本不等式从而求解.
【详解】由题意得：令，因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，所以；
故最大值为：.
故选：B.
2．D
【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求得答案.
【详解】由题意，则，
当且仅当，即时取等号，
即取最小值时的是3，
故选：D
3．D
【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换求解即可.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：D.
4．C
【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可.
【详解】依题意，年平均利润为，，
由于，，当且仅当，即时取等号，此时，
所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大.
故选：C
5．C
【分析】配凑构造基本不等式的形式求解即可.
【详解】因为，故
，
当且仅当，即时取等号.
故选：C
6．B
【分析】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，
因此要想有解，
只需，
故选：B
7．C
【分析】应用不等式性质、基本不等式判断各项的正误即可.
【详解】由，则，，，A、B错，C对，
由，且，故等号取不到，则，D错.
故选：C
8．D
【分析】根据特殊值以及基本不等式求得正确答案.
【详解】当时，，，，
所以，，，ABC选项错误.
，
当且仅当时等号成立，D选项正确.
故选：D
9．ABD
【分析】由，结合基本不等式、函数思想等逐项求解.
【详解】已知实数，且，
对于A，，
当且仅当，即时取等号，故A正确；
对于B，，即，当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C，由B知，，故，当且仅当时取等号，显然不成立，故C错误；
对于D，令，则由已知得，,
则，当且仅当，即，时取等号，故D正确．
故选：ABD．
10．AD
【分析】直接利用基本不等式即可判断A；先求得，再利用基本不等式求得其最大值，进而即可判断B；先求得，再利用基本不等式求得其最小值，注意等号取不到，进而即可判断C；先令，得到，再根据“1”的妙用得到，再结合基本不等式求得的最小值，进而即可判断D．
【详解】由a，b为正实数，满足，
对于A，，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，
所以有最大值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即或时，等号成立，但，
所以取不到最小值，故C错误；
对于D，令，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
则，即，所以有最大值，故D正确．
故选：AD．
11．BD
【分析】利用已知结论求出的最大值进行判断，为此需凑出三个正数的和为定值．
【详解】根据题意可得，
当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为4．
从而AC不可能，BD可以取．
故选：BD．
12．AC
【分析】根据不等式性质以及基本不等式取等的条件以及举反例即可得.
【详解】对于选项A，则，因此不等式两边同时除以，即可得，因此选项A正确；
对于选项B，，当且仅当时，等号成立，但此时无解，因此最小值不为2，所以选项B错误；
对于选项C，，而，，因此选项C正确；
对于选项D，当时，，因此选项D错误.
故选：AC
13．
【分析】依题意可得，利用基本不等式求出的最小值，进而得到关于的一元二次不等式，解得的范围．
【详解】，，，
，
，
当且仅当，即，时取等号，
即（当且仅当，时取等号），
因为恒成立，，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
14．充分不必要
【分析】将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】不等式恒成立，即，
且满足，
，
当且仅当即时，等号成立.
所以，解得，
故命题，命题，
所以是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
15．4
【分析】根据条件，利用基本不等式即可求出结果.
【详解】设两直角边边长分别为，且均为正数，依题有，
又，
得到，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
故答案为：.
16．
【分析】设这批货物从从市全部运到市需要的时间为小时，则，再运用基本不等式可求得答案.
【详解】设这批货物从从市全部运到市需要的时间为小时，
则（小时），
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：；.
17．(1)1
(2)①7；②.
【分析】（1）由基本不等式求解即可；
（2）①当时，由解出的范围，再由结合基本不等式求解即可；②解法一：令，解出，代入结合基本不等式即可得出答案；解法二：由题意可得出，直接由基本不等式即可得出答案；
【详解】（1）当时，，则，
得，则，
当且仅当时等号成立.
故的最大值为1.
（2）①当时，，即，
当时显然不合题意，故，
则，则或（舍去）.
则，
当且仅当，即，此时时等号成立，故的最小值为7.
②解法一：令，则，
代入，得，整理得.
由①的解答知，所以.
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
解法二：由，得.
由①的解答可知，则.
所以，
当且仅当且，即时，等号成立.
故的最小值为.
18．(1)
(2)68800百元
【分析】（1）将各部分分别求造价再求和即可；
（2）根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）方法一：因为米，所以米，得米.
根据题意可得四个三角形的面积之和为平方米，
正方形的面积为平方米，
四个五边形的面积之和为平方米，
则休闲广场的总造价
.
方法二：设米，因为米，所以米，得米，
根据题意可得阴影部分面积为平方米，
则，
四个三角形的面积之和为平方米，
正方形的面积为平方米，
因为正方形的面积为平方米，
所以四个五边形的面积之和为
平方米，
所以休闲广场的总造价
.
（2）因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该居民休闲广场的总造价最低为68800百元.
19．(1)
(2)
【分析】（1）变换为关于的一次函数，结合一次函数在恒成立，求解即可.
（2）分离参数，借助基本不等式证明，得到k的取值范围.
【详解】（1）
因为，不等式恒成立
所以，则有：，得
（2）原不等式等价于
当时
所以：，
令，
当时，，
当时则==
的最大值为
所以，
综上：.
20．证明见解析 ．
【分析】（1）运用基本不等式进行证明即可；
（2）根据不等式的性质比较即可.
【详解】（1）因为，
所以由基本不等式，得，，，当且仅当，，时成立，
把上述三个式子的两边分别相加，
得，
即，当且仅当时等号成立．
（2）证明：，，又，，
，则有：，
又，
．
21．时，.
【分析】根据题意，由条件可得，结合基本不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，且，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，.
即年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大，最大利润为1360万元.
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