3.2图形的旋转
一、选择题
1．平面图形的旋转一般情况下改变图形的（ ）
A.位置 B.大小 C.形状 D.性质
2.．9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
3．将平行四边形ABCD旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，下列结论错误的是（ ）
A.AB=A′B′ B.AB∥A′B′
C.∠A=∠A′ D.△ABC≌△A′B′C′
4．如图3-52所示，请仔细观察A，B，C，D四个图案，其中与E图案完全相同的是( )
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5．如图3-53所示，把菱形ABOC（四条边都相等）绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中，不是旋转角的为（ ）
A. ∠BOF B. ∠AOD C. ∠COE D. ∠AOF
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6．如图3-54所示，把△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，若∠A＝25°，则∠CED等于（ ）
A.55° B．65° C．45° D．75°
7．如图3-55所示，该图案是经过 ( )
A．平移得到的 B．旋转或轴对称得到的
C．轴对称得到的 D．旋转得到的
二、填空题
8．钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______.
9．菱形ABCD绕点O沿逆时针方向旋转到四边形,则四边形是__________.
10．△ABC绕一点旋转到△A′B′C′，则△ABC和△A′B′C′的关系是_______.
11．钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度.
12．图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______.
13．如图3-56所示，△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C与△A′B′C，是全等三角形，那么△A′B′C，可以看做是由△ABC以O为旋转中心，旋转 度形成的．
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14．等边三角形至少要旋转 度才能与自身重合．
15．如图3-57所示，钟表的指针AO ( http: / / www.21cnjy.com )BC绕中心O沿顺时针方向旋转60°得到四边形DOEF，那么四边形DOEF绕中心O沿顺时针方向旋转 度才能得到四边形AOBC.
三、探索·创新
16．下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度.
17.在四边形ABCD中,∠ADE=∠B=900,DE⊥AB,垂足为E,且DE=EB=5,请用
旋转图形的方法求四边形ABCD的面积.
18．如图3-58所示，分析下列图形中阴影部分的分布规律，按此规律在图(3)中画出其中的阴影部分．
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19．如图3-59所示，边长为4的正方形ABCD绕点D逆时针旋转30°后能与四边形A′B′C′D′重合．
(1)旋转中心是哪一点
(2)四边形A′B′C′D′，是怎样的图形 面积是多少
(3)求∠C′DC和∠CDA′的度数；
(4)连接AA′，求∠DAA′的度数．
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20．如图3-60所示，△ABC外侧有正方形ABDE与正方形ACFG，请你设计一个方案，将△ABC旋转一个角度，使得△AEG与由△ABC旋转得到的三角形的一边重合，另一边在同一条直线上．
21．如图3-61所示，画出△ABC绕点O逆时针旋转60°后得到的△DEF，使A，B，C的对应点分别为D，E，F．
答案
1. A （旋转的性质）
2. D
3. B
4．C
5．D
6． B
7．B
8. 旋转
9. 菱形
10. 全等
11. 10 （时针每小时旋转30度）
12. 位置 形状和大小
13．180
14．120
15．300[提示：都按顺时针方向旋转，由 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形AOBC到DOEF的旋转角度为60°，则由四边形DOEF到AOBC的旋转角度为360-60°＝300°.]
16. △OAE和△OBF，△OEB和△OFC，△OAB和△OBC，旋转的角度为90°
17. 25（使三角形ADE绕点D旋转，使得旋转后边AD与边DC重合，通过割补则原图形变换为一个正方形，求出正方形的面积即可。）
18．解：如图3-62所示．
19．解：(1)旋转中心是点 ( http: / / www.21cnjy.com )D. (2)四边形A′B′C′D′是正方形，旋转不改变图形的大小，四边形A′B′C′D′是正方形ABCD旋转得来的，而正方形ABCD的面积为16，所以四边形A′B′C′D′的面积是16． (3)因为C与C′是对应点，而对应点与旋转中心连线所成的角即是旋转角，由题意知图形绕点D旋转30°，所以∠C′DC＝30°．又因为四边形A′B′C′D′是正方形，所以∠C′DA′＝90°，而∠C′DC＝30°，所以∠CDA′＝60°． (4)根据旋转的特征，对应点到旋转中心的距离相等，所以由点D，A，A′所确定的三角形是等腰三角形，AD＝A′D，而∠ADA′＝30°，所以∠DAA′＝∠DA′A＝75
20．解：可把△ABC绕点A顺时针旋转90°得图3-63(1)或逆时针旋转90°得图3-63(2)．
21．解：如图3-64所示．
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D
C
A E B
┌
┌3.1生活中的平移
一、选择题
1．下列说法正确的是 ( )
A．两个全等的图形可看做其中一个是由另一个平移得到的
B．由平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线)
C．由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等，但面积未必相等
D．边长相等的两个正方形一定可以通过平移得到
2．如图3-10所示，下列每组图形中的两个三角形不是通过平移得到的是 ( )
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3．一个三角形最初的一个顶点为A，把它先向下平移4个单位长度时的位置记为B，再向左平移3个单位长度时的位置记为C，则由A，B，C三点所组成的三角形的周长为 ( )
A．7 B．14 C．12 D．15
二、填空题
4．如图3-11所示，△DEF是由△ABC经过平移得到的，若∠B=50°,∠C=75°,则∠D= ，∠E＝ .
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5．如图3-12所示，△ABC经过平移得到△DEF，已知CE＝2 cm，AC＝3 cm，AB＝4 cm，∠A＝90°，则CF＝ cm，平移的距离是 ．
6．下列现象：(1)电风扇的转动；(2) ( http: / / www.21cnjy.com )打气筒打气时，活塞的运动；(3)钟摆的摆动；(4)传送带上瓶装饮料的移动．其中属于平移的是 ．
7．如图3-13所示，△EFG是由△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )沿水平方向平移得到的，如果∠ABC＝90°，AB=3 cm，BC＝2 cm，则EF＝ ，FG= ，EG＝ ．
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三、能力提升
8．如图3-14所示，一张白色正方形纸片的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长是10 cm，被两张宽为2 cm的阴影纸条分为四个白色的长方形部分，请你利用平移的知识求出图中白色部分的面积．
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9．如图3-15所示，AD∥BC，∠ABC＝80°，∠BCD＝50°，利用平移的知识讨论BC与AD+AB的数量关系．
10．如图3-16所示，将Rt△ABC沿直角边AB的方向向右平移2个单位得到△DEF，如果AB＝4，∠ABC＝90°，且△ABC的面积为6，试求图中阴影部分的面积．
11．如图所示，△ABC沿射线MN方向平移一定距离后成为△A′B′C′．找出两个三角形中平行且相等的线段以及全等的三角形．
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12．如图，这是由一个边长为a的正方形沿一条对角线的方向平移得到的图形，
① 数一数这个图案中共有几个正方形；
② 若按此方法连续做4次平移，可得怎样的图案？该图案中共有几个正方形？
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13．菱形以特殊的对称美而深受人们的喜爱，在生产生活中有着广泛的应用，小龙家里有一面长4.2m、宽2.8m的墙壁准备装修，现有如图甲所示的型号瓷砖，其形状是一块长30cm、宽20cm的矩形，中间白色部分为菱形，阴影部分为带淡蓝色花纹的全等的四个直角三角形，解答下列各问：
（1）小龙家里的墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？
（2）全部贴满后，这面墙壁上有多少个有淡蓝色花纹的菱形？
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14．在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，请你计算空白部分的面积．
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15．A，B两点间有一条传 ( http: / / www.21cnjy.com )输速度为每分钟5米的传送带，由A点向B点传送货物．一只蚂蚁不小心爬到了传送带上，它以每分钟1.5米的速度从A点爬向B点，3分钟后，蚂蚁爬到了B点，你能求出A，B两点间的距离吗
参考答案
1．B
2．B
3. C
4．55° 50°
5．7 7 cm
6．(2)(4)
7．3 cm 2 cm cm
8．提示：图中白色部分的面积为64 cm2．
9．解：如图3-17所示，由于AD∥BC，所以可平移AB到DE的位置(即过D点作DE∥AB交BC于点E)，则AD＝BE，∠DEC＝∠ABC＝80°，在△DEC中，由于∠BCD＝50 °，所以∠CDE=∠BCD＝50°，因此DE＝EC，所以BC＝BE+EC＝AD+DE＝AD+AB．
10．提示：因为S△ABC＝AB·BC＝6，所以BC＝3，又由BD＝4-2＝2，可知BG＝，所以S△BDG＝BD·BG=×2×=．
11． AB、A′B′；BC、B′C′；AC、A′C′；△ABC≌△A′B′C′
12．3；15
13．（1）（420×280）÷（30×20）＝196；（2）13×13＝169；长贴14块，宽也贴14块
14．如图，将四块草地向中间拼拢（即平移），这样就形成了一个长为a－c，宽为b－c的矩形．
( http: / / www.21cnjy.com )∴S空白＝（a－c）×（ b－c）＝ab – ac – bc ＋ c2
15．19.5米．3.3中心对称
一．判断题
1．.三角形一定不是中心对称图形 （ ）
2．中心对称图形的对称中心是唯一的 （ ）
3．如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定是平行四边形 （ ）
4．一个四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，则这个四边形一定是矩形（ ）
5．如果关于中心对称的两个图形只有一个交点，那么这个点一定是对称中心 （ ）
三、填空题
6.如图，线段AB、CD互相平分于点O，过O作EF交AC于E，交BD于F，则这个图形是中心对称图形，对称中心是O.指出图形中的对应点_______，对应线段_______，对应三角形_______.
7.一个正方形绕着它的中心至少旋转________度，能够和原图形重合.
8.中心对称图形的对应点连线经过_______，并且被_______平分.
9.中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是__________.
10.已知六边形ABCDEF是中心对称图形，AB=1，BC=2，CD=3，那么EF=_______.
11．如图，线段AB、CD互相平分于点O，过O作EF交AC于E，交BD于F，则这个图形是中心对称图形，对称中心是O．指出图形中的对应点_______，对应线段_______，对应三角形_______．
12．一个正方形绕着它的中心至少旋转________度，能够和原图形重合．
13．中心对称图形的对应点连线经过_______，并且被_______平分．
14．中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是__________．
15．已知六边形ABCDEF是中心对称图形，AB＝1，BC＝2，CD＝3，那么EF＝_______．
16．正方形是中心对称图形，它的对称中心是 ；．
17．线段的对称中心是 ．
18．下面的图形中，仅是中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com )的是 ；仅是轴对称图形的是 ；既是中心对称，又是轴对称图形的是 （填写序号即可）．
①矩形，②菱形，③平行四边形，④正方形，⑤B，⑥线段，⑦等边三角形，⑧H，⑨M，⑩S．
三、选择题
19.下列语句正确的是（ ）
A.线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合，那么线段是中心对称图形
B.正三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合，那么正三角形是中心对称图形
C.正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合，则正方形是中心对称图形
D.正五角星绕着它的中心旋转72°后与原图形重合，则正五角星是中心对称图形
20.下列图形中是中心对称图形，而不是轴对称图形的是（ ）
A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形
21.在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
22.菱形、矩形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它们的对称中心只有一个，而对称轴的个数依次是（ ）
A.1，1， 1 B.2，2，2 C.2，2，4 D.4，2，4
23．观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有（ ）
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2题图 10题图
A．2个 B．1个 C．4个 D．3个
24．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A．角 B．等边三角形 C．线段 D．平行四边形
25．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
26．已知下列命题：
①关于中心对称的两个图形一定不全等；
②关于中心对称的两个图形是全等形
③两个全等的图形一定关于中心对称
其中正确的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
27．下列语句正确的是（ ）
A．线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合，那么线段是中心对称图形
B．正三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合，那么正三角形是中心对称图形
C．正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合，则正方形是中心对称图形
D．正五角星绕着它的中心旋转72°后与原图形重合，则正五角星是中心对称图形
28．在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．菱形、矩形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它们的对称中心只有一个，而对称轴的个数依次是（ ）
A．1，1，1 B．2，2，2 C．2，2，4 D．4，2，4
四、解答题
30．作出与已知△ABC关于顶点A成中心对称图形的△AB′C′．
你能说明四边形B′C′BC是平行四边形吗？
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31．如图，线段AC、BD相交于点O，且AB∥CD，AB＝CD，此图形是中心对称图形吗？试说明你的理由．
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32．如图，正方形纸片ABCD和正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )纸片EFGH的边长都是1，点E是正方形ABCD的对称中心，在正方形EFGH绕着点E旋转的过程中，观察两个图形的重叠部分的面积是否不变 若保持不变，求出它的面积；否则，请说明理由．
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中心对称答案
1．√2.√3√4×5√
6.A和B，C和D，E和F OA和OB，OC和OD，OE和OF，AC和BD，AE和BF，CE和DF △AOC和△BOD，△AOE和△BOF，△COE和△DOF
7. 90°
8.对称中心 对称中心
9.平行且相等
10. 2
11．略
12．90
13．对称中心，对称中心
14．平行且相等
15．1
16．对角线的交点
17．线段的中点
18．③⑩，⑤⑦⑨，①②④⑥⑧
19.A 20.B 21 ( http: / / www.21cnjy.com ).D 22.C 23．D 24．C 25．A 26．B 27．A 28．D 29．C 30．略
31．是
32．重叠部分面积=正方形面积的一半= 20．作图方法如图所示（方法不唯一）．MN即为所求．3.4简单的图案设计
一、基础训练题
1．如图3-120所示，△ABC为不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以有 ( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
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2．如图填空题3-121所示，P是正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB＝2，则PP′＝ .
3．某产品的标志图案如图3-122(1 ( http: / / www.21cnjy.com ))所示，要在所给的图3-122(2)中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图(1)一样的图案．
(1)请你在图3-122(2)中作出变换后的图案；(最终图案用实线)
(2)你所用的变换方法是 .(填序号)
①将菱形B向上平移；②将菱形B绕点O顺时针旋转120°；③将菱形B绕点O旋转180．
4．将点A绕另一个点O旋转一周，点A在旋转过程中所经过的路线是 ．
5．我国国旗上的四个小五角星，通过 移动可以相互得到．
二、能力提高题
6．老师拿出6根小木棒，3根长的相同，3根短的也相同，且长的是短的的长度的2倍，请用这6根木棒摆成四个完全相同的三角形．
7．为了美化绿地，要在给定的一块长方形的空地上设计一个花坛，只允许用正方形和圆两种图形，并使整个图案成轴对称，请画出两个图形．
8．如图3-123所示的四个图形中，从几何图形变换的角度考虑，哪一个与其他三个不同 请指出这个图形，并简述你的理由．
9．你能用一张长方形的纸片折出一个正三角形吗？动手试一试，简单叙述你的折法．
10．作线段AB和CD，且AB和CD互相垂直平分，交点为O，AB＝2CD．分别取OA、OB、OC、OD的中点A′、B′、C′、D′，连结CA′、DA′、CB′、DB′、AC′、AD′、BC′、BD′得到一个四角星图案．将此四角星沿水平方向向右平移2厘米，作出平移前后的图形．
11．请充分发挥你的想象力，任选其一完成下面的设计
（1）以一直角三角形为“基本图形”，利用旋转而得到一个风车或风轮图案．你能设计出几种风车风轮图案呢？请将你的图案画出来，完成后与同学进行交流．
（2）利用圆、三角形、正六边形，通过平移或旋转来设计一个图案，完成后与同学交流你的作品，说明你的设计意图．
12．请你用所学的知识，在下面两项中任选其一作图．[中国~教@育&#出^版网]
（1）参考下图，为班级的黑板报设计一组花边图案．
（2）以三角形、矩形、圆形为“基本图案”通过平移、旋转、轴对称为班级设计一个班徽．
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参考答案
1．B
2．2 [提示：由旋转的特征可知∠PBP′＝∠ABC＝90°，BP′＝BP＝2，在
Rt△BPP′中，PP′2＝BP2+BP′2＝22+22＝8，∴PP′＝2.]
3．解：(1)如图3-124所示． (2)①或③
4．一个圆
5．旋转或旋转和平移
6．解：如图3-125所示．
7．解：如图3-126所示．
8．解：图(2)，仅它不是轴对称图形．
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9．如图，先把矩形纸片对折，然后在沿着BM对折使C落在EF上的N点，再折出BM和CN即可．
10．略
11．略
12．略
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12题图
