江苏省盐城市2007-2008学年度高三第三次调研考试数学试题(含命题意图等)

江苏省盐城市2007/2008学年度高三第三次调研考试
数学学科命题意图和试题说明
徐卫东 王克亮 蔡广军 韩卫标
一、 命题概况
1、命题思想
2008年高考是江苏省实行新课改后的首次高考，“在平稳中过渡、在创新中发展”必然是08高考命题的基本点和出发点。根据市局领导对命题小组提出的结构、难度、内容、品质等四个方面的仿真要求，结合省内各方面信息以及今年参加江苏高考命题的专家构成情况，我们命题小组认真学习了《新课程标准》、《08国家考试大纲》、《考试说明》、《省教学要求》，认真研究了江苏近三年和去年实验区（四省市）的高考试卷和现行苏教版教材，仔细研摩了外市的模拟试卷，在一模、二模命题的基础上，拟定本次试卷命题思路为“稳定中寻求突破，仿真中体现互补。”
2、试卷难度
从江苏高考数学学科近三年的难度系数看，05年，06年，07年，均在0.55左右。我们分析，今年的试卷难度仍会维持这一水平，均分可能在85～90之间，由于今年江苏高考的特点（语数外三门总分440分）和命题专家的组成情况（有三位是奥赛金牌教练），今年的高考数学试卷的区分度必然有所增强，中档题的地位将凸显。所以，我们在命题时呈现了较多学生易于上手，但不容易完全解对的题目，“易于上手”提高学生信心，“不易完全解答”提升区分度，做到多题把关。
3、C级分布
根据考试说明中明确的8个C能级知识点，我们先确定6道解答题：解几与向量综合题（3C），数列综合题（2C），不等式综合题（2C），三角应用题（1C）。而立体几何综合题、函数综合题虽为B级，但为必考内容。
4、大题风格
对于解答题的设计，我们力图做到以下几点：
（1）布局更大胆。第一题安排基本不等式题，第三题的实际应用题考查三角函数求导；
（2）探究更凸显。有三个大题中设有探究性的小问题；
（3）设问更新颖。设计了正难则反的问题，注重了命题的等价设问等；
（4）考点更合理。不仅注重了8个C能级知识点的考查，还将数列与高等数学的取整函数相联系，以体现与高等数学的接轨。
5、小题设想
通过填空题体现知识的覆盖面。
（1）新增内容个个涉及。新增知识点几乎都涉及到，如算法、几何概型等、三视图、幂函数、复数等；
（2）C级要求再次强化。在填空题中进一步强化一些C级知识点的考查，如两角和与差的三角函数、向量的数量积等；
（3）竞赛试题有所体现。从重点、热点中选择与高校教师命题风格对路的能力点上出题，如填空题的第10题就是根据08江苏数学竞赛初赛试题改编；
（4）前呼后应形成互补。根据06、07江苏命题趋向，对前面一调、二调考试没有覆盖的相关知识点进行补充。
二、试题分析
（必做题部分）
1.直线与垂直的充要条件是= ▲ .
此题系课本题改编，容易题，涉及直线的位置关系、充要条件等知识，讲解时可结合直线平行、向量的垂直、向量共线的充要条件等问题讲解。
2.如果复数的实部与虚部互为相反数,则= ▲ .
此题系课本题改编，容易题，涉及复数的运算、复数的基本概念。复数部分为新增知识点，要求为A级，讲解时不必挖得太深，也可提及的几何意义，但要以复数的四则运算为主，可适当多巩固除法运算。
3. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
为 ▲ .
此题系课本题改编，容易题，是新增知识点，要求为A级，讲解时必须要求学生判别是什么几何体？怎样放置？注意与其它的柱、锥、台的联系，强化体积公式的应用，尤其是公式中的高不要与斜高混淆，也可与大题结合起来，以三视图为背景，构建立体图形。
4. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图
所示）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面
的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人
作进一步调查，则在（元/月）收入段应抽
出 ▲ 人.
此题是统计中的实际应用题，容易题，涉及抽样和统计中的多个知识点，是前两次模拟考试的补充，讲解时不要展开，后期复习中可联系线性回归、检验进行简单回顾。
5.向圆所围成的区域内随机地丢一粒豆子,则豆子落在直线上方的概率是 ▲ .
此题涉及圆的方程、线性规划、几何概型、点到直线的距离公式等多个知
识点，考查学生的数形结合能力、运算能力，属于中档题，讲解时要将几何概型
的常见问题作简单小结，主要是一维测度和二维测度，它是新增知识点，必考内
容。
6.计算机执行如图所示程序后,输出的结果是 ▲ .
此题考查新增知识点的算法语句，是A级要求，涉及While循环语句、
赋值语句等，讲解时要与程序框图联系起来，注意与语句的异同，
同时，后期复习中还得提醒一下当型循环和直到型循环的区别和联系，引导学生读懂语句。
7. 已知是两个平面,是两条直线,给出如下四个论断:
①；②；③；④.现以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,请写出一个正确的命题 ▲ .
此题考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，涉及线面垂直、线面平行、面面垂直等位置关系的判断，此类题的设计比较开放，可在原来的基础上进行改编，考查学生思维的严密性和简约性，可做适当补充。
8.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: ….
仿此,若的“分裂数”中有一个是59,则的值为 ▲ .
此题为中档题，考查等差数列的相关内容，主要是由特殊到一般的思考方法，老师讲解时要总结出一般规律，培养学生观察、归纳、概括的能力。
9.设双曲线的中心关于其右焦点的对称点为,以为圆心作一个与双曲线的渐近线相切的圆,则双曲线的右准线与圆的位置关系是 ▲ .
中档题，考查双曲线的基础知识、直线和圆的位置关系（C能级）等知识点，考查学生数形结合的数学思想方法和符号运算的能力。
10.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为 ▲ .
中档题，该题系08数学竞赛初赛试题改编，条件的形式改得简单了，学生易于上手，要求的结论复杂了，能力要求提高了，此题涉及两角和差的正余弦公式、正、余弦定理、基本不等式等多个B级C级知识点，此处要作适当拓展迁移。
11.某市一工艺品加工厂拟生产2008年北京奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵金属，已知生产一套“中国印”需用原料A和原料B的量分别为1盒和2盒，生产一套“福娃”需用原料A和原料B的量都为3盒.若“中国印”每套可获利200元，“福娃”每套可获利400元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为90盒和120盒,则该厂这个月的最大利润可达 ▲ 元.
这是一道紧扣生活的实际应用题，考查线性规划知识，中档题，在新一轮课改中，生活中的数学这一理念得到凸显，估计今年高考不仅在大题有应用题，小题中也将有1－2道应用题，后期复习中可考虑适当进行应用题专题复习。
12.若函数的零点在区间上,则的值为 ▲ .
此题为中档题，考查函数零点、函数与方程、幂函数等新增知识点，考查学生数形结合、和分类讨论的数学思想以及估算能力。
13.已知向量，，其中为坐标原点，若对任意实数、都成立，则实数的取值范围是 ▲ .
此题为较难题，考查向量的基本概念、向量的线性运算、两角和差公式等相关知识，对学生数形结合能力、函数方程的意识考查要求较高，用不同的解决方法繁简程度不同，应该有较好的区分度。
14.设函数，其中是给定的正整数，且，如果不等式在区间有解，则实数的取值范围是 ▲ .
此题为难题，为过去一道高考题改编，要求学生具有较好的阅读能力和符号处理能力以及较强的化归意识，侧重于函数单调性和不等式知识的综合考查。
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(本小题满分14分)
设集合为函数的定义域,集合为函数的值域,集合为不等式的解集．
（Ⅰ）求；(7分)
（Ⅱ）若,求的取值范围．(7分)
高考命题趋势分析：江苏卷对函数题的考查情有独钟，且往往与不等式联系起来，从教学情况看函数、方程、不等式结合问题学生感到困难很大，原因当然是这类问题对思维能力的要求高，今年总共8个C能级知识点，不等式占了2个，今年高考将不等式作为大题单独考查或与其它知识融合综合，势在必然。
命题意图：指导思想是以集合为背景，表层是对集合运算、集合之间的包含关系的考查，实质是考查学生对一元二次不等式的掌握情况，只要学生具备处理基本不等式、一元二次不等式的能力，此题不难，第二问中，学生只要具有基本的分类思想和数形结合的意识，解决的难度也不大，但是解题后需要反思，否则容易出错。本题是有猜测性的命题，以凸显我们对不等式这一内容的重视。
思考与建议：不等式如何考查？考查到什么程度？教师师要适当补充相应的问题进行讲解，尤其是分类讨论的要求不能降低，后期复习中还要渗透不等式的实际应用题，特别是建模后划归为不等式的求解问题不能出错。
16.(本小题满分14分)
如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为().
（Ⅰ）试将水槽的最大流量表示成关于函数；(7分)
（Ⅱ）求当多大时，水槽的最大流量最大.(7分)
高考命题趋势分析：江苏自主命题四年，每年的解答题都有一道应用题，分别是线性规划、概率、函数导数（以立体几何为载体），与以往（全国卷）考查的本质区分是回归课本，从课本中寻找应用问题的载体，考查的难度不大，对学生的数学建模能力要求不是太高，试题比较平稳，容易上手，考查的关键是如何将实际问题转化成数学问题，以及转化以后如何综合运用学科内知识解决数学问题，预计08年对应用问题的考查力度不仅不会减弱，还将在继承中有所创新，其载体可能是三角、数列、概率、统计或不等式，考查三角的可能性更大（多年没有考查，而且苏教版教材中三角的实际应用很多），题目不难，但能突出对主干知识的考查并注重学科内知识的联系．
命题意图：此题着重考查学生的阅读能力、数学建模能力和运用数学知识分析问题解决问题的能力，本题涉及的知识点很多，主要有：二倍角公式，三角形内的三角函数、三角函数求导，试题贴近新教材，在审题上没有人为制造难点，入手易，但在解答进程中对学生问题的分析能力的要求逐步提高，有非常好的区分度．
思考与建议：对于中学老师而言，要命制出有品位的应用题困难很大，江苏三年的考题对中学老师应有一定的启发，从课本中如何寻找应用题的载体需要发挥集体力量研磨，另一个需要重视的是统计中线性回归方程和检验的考查．（市一、二调均已考查）
下面也是一道课本题改编成的三角应用题，供老师们讲解时参考：
如图,矩形纸片的边24,25,点、分别在边与上.现将纸片的右下角沿翻折,使得顶点翻折后的新位置恰好落在边上.设,,关于的函数为,试求:
(1)函数的解析式；(2)函数的定义域； (3)的最小值.
解：(1)设,则.
由于,,
则,即.
而,,
所以,解得
. 故.
(2)因为,故当点E与点A重合时, =1.
当点E向右运动时,BE长度变小,为保持点B1在边AD上,则点F要向上运动,从而BA的长度变大,则就变小,当点F与点C重合时, 取得最小值.
又当点F与点C重合时,有,即,解之得
或(舍). 所以,又是锐角,所以.
综上,函数的定义域为.
(3)记,因为,所以函数上单调递减,则当时,取得最大值为.
从而的最小值为.
下题是根据05上海高考题改编的一道数列应用题：
假设某地区2007年教育投入400万元，其中有240万元用于义务教育．预计在今后的若干年内，该地区每年教育投入平均比上一年增长10%．另外，每年教育投入中，义务教育的投入资金均比上一年增加60万元，那么，到哪一年底，
(Ⅰ)该地区历年义务教育投入的累计资金(以2007年为累计的第一年)将首次不少于3600万元
(Ⅱ)当年用于义务教育的资金占该年教育投入资金的比例首次大于80% (参考数据： ，)
17.(本小题满分15分)
已知点是正方形两对角线的交点，⊥平面，⊥平面，且.
（Ⅰ）求证：平面；(5分)
（Ⅱ）在线段上找一点，使三棱锥为正三棱锥；(5分)
（Ⅲ）试问在线段(不含端点)上是否存在一点,使得∥平面,若存在,请指出点的位置；若不存在,请说明理由.(5分)
高考命题趋势分析：江苏05、06两年卷中立体几何解答题的考查难度偏大，构图不易，主要问题是图形的背景不常规，是典型的人为制造难点，07年已经变得简单，08年由于立体几何整体教学要求的降低，估计今年难度不大，但由于考试说明中要求有探究性问题的出现，因此今年可能以探究性问题为主，加强线面垂直、平行位置关系的考查。
命题意图：指导思想是以正方体内的线面关系作为出发点，不给出完整的正方体，只给出局部图形，考查学生整理化归的能力，鉴于前几次从正面探究线面平行、线面垂直问题，这次从几何体形状的判断、如何说明不平行、不垂直这些角度入手命制题目，考查学生思维的严谨性和说理能力，也更贴近新增内容“推理与证明”中反证法的思想。在近期的模拟试卷中，也有探究与两个相交平面同时平行的直线的。
思考与建议：作为四大能力之一，对空间能力的考查是其它学科知识代替不了的，其在解答题中所处的位置（第三道，中间位置）清楚表明数学要取得较好的成绩，立体几何这一题必须要有突破，具体的训练方法，一是熟悉常见几何体中的位置关系，二是退到初始状态如何从线线平行到线面平行再到需要的线线平行，如何从线线垂直构造线面垂直、面面垂直直至需要的线线垂直、线面垂直．
18.(本小题满分15分)
已知椭圆的右焦点为,上顶点为,为上任一点, 是圆的一条直径.若与平行且在轴上的截距为的直线恰好与圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；(7分)
（Ⅱ）若的最大值为49，求椭圆的方程.(8分)
高考命题趋势分析：以前解析几何的解答题多是求曲线方程与动点轨迹、求参数范围、确定定值或最值等，且常与向量知识相结合．由于解几这一章教学要求的变化，常见的三大曲线将逐渐淡出历史舞台，取而代之的是直线和圆，这里有2个C能级知识点，要引起我们重视．
命题意图：本题考查了直线方程、椭圆的方程和几何性质、圆的方程、直线和圆的位置关系、向量的数量积等多个知识点，本题立意较新，强化解几中的数形结合、转化化归、二次齐次式的运算等基本方法，讲评时可用多种方法讲解，理科考生还可用参数方程的方法求解。
思考与建议：江苏卷连续3年解析几何的解答题处于前3题，且05与06两年都放在解答题的第1题，07年的高考在解答题的第三题，08年解几中的C能级知识点只是由传统的三大曲线变成了现在的直线和圆，考试的难度会不会降低值得思考。
请看下面的这道原创题：
已知椭圆,直线为圆一条切线,记椭圆的离心率为.
(Ⅰ)若直线的倾斜角为,且恰好经过椭圆的右焦点,求的大小；
(Ⅱ)是否存在这样的,使得 (ⅰ) 椭圆的右焦点在直线上；(ⅱ)原点关于直线的对称点恰好在椭圆上同时成立.若存在,请求出的大小；若不存在,请说明理由.
分析：此题虽然以椭圆为背景，但实际考查的是直线和圆的重点知识，题目立意较新，难度较大，大家可适当挖掘这种类型的题目，以备不时之需。
19.(本小题满分16分)
已知函数.
（Ⅰ）当时,是否存在最小值,若存在,请求出相应的值；若不存在,请说明理由.(8分)
（Ⅱ）当时,若的图象上存在两点,使得直线轴，求实数的取值范围.(8分)
高考命题趋势分析：由于导数的内容有所增加，江苏卷对导数与函数结合题的考查份量可能会有所加重，在这份试卷中，我们考查了两道用导数方法解决问题的题目，目的是引起大家注意，结合前几年考查的函数大题，我们认为函数综合问题应该常与不等式知识结合，突出考查多种数学语言的转换、整体考虑函数的性质等重要思想．
命题意图：指导思想是从常见函数入手，表层是对导数工具作用（切线和单调性）的考查，深层是对二次函数不等式结合点的考查，但题目情境新，考查了学生的审题和转化能力，理清本题中的函数与方程的关系、函数与不等式的关系是顺利求解的关健．第（１）问的入手难度不高，但后续工作比较困难的，学生如果不能对该函数有整体把握，错误在所难免；第（２）问需要理解转化，否则无从下手或求解混乱。
思考与建议：导数方法如何考查？三次函数如何考查？二次函数还能从什么角度考查？导数方法的考查无非是该对哪一个函数求导数，即导数作用于哪一个函数，受求导法则的限制，导数方法考查的突破可能性不大，而三次函数的考查受分解因式代数变形等制约，试题的命制困难很大，需要集体研磨的是二次函数还能从什么角度进行考查？对学生的最后备考做哪些准备？另一个重要的是一般函数的考查，考查函数的性质图像？还是其性质与不等式有机结合问题？或与绝对值结合的问题？层次较高的学校应该做好这方面的备考工作．
20.(本小题满分16分)
已知数列的前项和满足：为正整数，（其中表示不大于的最大整数）.
（Ⅰ）试证数列为等差数列，并求；(4分)
（Ⅱ）求数列的前和；(6分)
（Ⅲ）求证：.(6分)
高考命题趋势分析：高考对数列的考查是必不可少的，这是后继学习的需要．从其它省的考题来看对递推关系的考查突破了以往的仅写前几项的要求，但全国卷和江苏卷依然坚持这一限度，其考查的是等差、等比和的关系，江苏卷这二年都是与不等式结合考查的，其难在不等式的解决方法思考上．今年对数列的考查会不会仍然坚持从考查等差或等比数列的基本量入手，值得重视．
命题意图：指导思想是考查等差等比数列本质的知识和的关系，依然将江苏卷近两年考查的思想方法包含进去，实际上这也是对数列最根本的考查．其第（1）问是对的关系进行考查，全国卷和江苏卷多次考到，由易入手，第（2）问是对等差数列求和公式和求和方法的考查，要求有所提高，解决方法通过分类的方法弄清数列的构成，再选用合适的公式，而第（3）问的难度加大，是对学生思维高要求的考查，但其方法依然是数列中裂项求和，需要化成部分分式后实施不等变形．
思考与建议：在二轮的复习中，每个学校对数列综合题的训练力度较大，临近高考建议回归到数列基本运算，对用基本量和用性质运算一定要让学生掌握清楚,关系的多种变形要让学生理清楚．
（附加题部分）
一、选做题：请在下列4小题中任做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内,多做者按所做的前2题给分.
1.（选修4—1：几何证明选讲）如图，是圆的内接三角形，，为圆中上一点，延长至点，使得．
(Ⅰ)求证：；(6分)
(Ⅱ)若，求证：．(4分)
2.（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并有特征值及对应的一个特征向量.
(Ⅰ)求矩阵；(5分) (Ⅱ)求.(5分)
3.（选修4—4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合.直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角)，圆的极坐标方程为.
(Ⅰ)若直线与圆相切,求的值；(7分) (Ⅱ)若直线与圆有公共点,求的范围.(3分)
4.（选修4—5：不等式选讲）已知均为实数.
（Ⅰ）若,求证:；(5分)
（Ⅱ）若,求的最小值.(5分)
分析：关于系列4的内容，各校要加强训练，这一部分的考查难度应该不大，（选修4—1：几何证明选讲）多从圆里面挖掘一些相似形，让学生多练习就可以了；（选修4—2：矩阵与变换）会求矩阵的特征值和特征向量以及秩，也要会用矩阵表示几种变换。（选修4—4：坐标系与参数方程）一是互化，二是处理简单的弦长及最值问题，（选修4—5：不等式选讲）能记住几个典型的不等式并进行简单应用。后期复习中以练习为主。
2、 必做题：本大题共2小题,每小题10分,计20分,请把答案写在答题纸的指定区域内.
5.袋子里有大小相同但标有不同号码的3个红球和4个黑球，从袋子里随机取出4个球.
（Ⅰ）求取出的红球数的概率分布列及数学期望；(5分)
（Ⅱ）若取到一个红球得3分，取到一个黑球得2分，求得分不超过10分的概率.(5分)
6、设表示区间()上自然数的个数,.
(Ⅰ)求的表达式；(5分)
(Ⅱ)设,试比较与的大小.(5分)
分析：关于系列2的内容，要认真排查知识点，空间向量、复合函数的导数、定积分、排列组合二项式定理、概率（二项分布）、抛物线、数学归纳法、曲线和方程等，这其中有4-5分不好得，要提醒学生注意。
三、对综合复习的几点建议
1、怎样指导学生看书？看什么有价值？
①老师要专门安排时间让学生看书;
②做到有计划地回归教材，每次看书时,要规定进度;
③要看相关的概念,公式的推导过程,例题的解题格式;
④书后里自己觉得较陌生的题目要动笔做一做;
⑤要注重课本中一些好的问题素材,特别要注重一些在考试范围里的探究性问题；
⑥每一章看完后,要进行系统回顾,进一步巩固已形成的知识网络与方法网络。
2、以前做的讲义如何看？
①平时坚持搞错题集的，只要看错题集即可。回头看时，着重分析出错的原因，并从中得到启示；
②若没有很好整理错题集的，要着重看几次月考的试卷。除了看以前做错的题目外，每位学生要根据自己的实际情况有选择性的看一些题目，以进行补缺。
③回头看题时，切忌只看不做。最好先将答案遮起来，做了之后再与答案进行对比，这样更能达到纠错的效果。
3、怎样讲评试卷？
①用专业的统计数据对试题进行分析；
②突出中等题讲评，以试题来强化主干知识回顾与复习；
③引导学生学会分析问题：分析怎样审题，怎样打通思路，是什么促使我们这样想、这样做
④注重归纳与反思：主要运用了哪些方法和技巧 关键步骤在哪里 最本质的步骤有哪些 应试策略和技巧是什么
⑤介绍试题评分标准及分步得分要领；
⑥指出学生答题中的典型错误与新颖解法等。
3
3
2
主视图
3
3
2
左视图
3
3
俯视图
第3题图
第4题图
a ← 1
b ← 3
While a<8
a ← a＋b
b ← a－b
End while
Print b
End
θ
a
a
a
A
B
C
D
E
F
B1
A
B
C
D
E
F
O
O
A
B
C
D
E