苏科版八年级数学上册试题 第3章 勾股定理 单元检测卷（含答案）

第3章《勾股定理》单元检测卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）．
1．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（ ）
A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形
3．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　）
A．16 B．17 C．25 D．64
4．如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（ ）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
5．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（　　）
A．8 B．16 C．32 D．64
6．如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　）
A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm
7．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（　　）
A．5 B．7 C．12 D．
8．已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（ ）cm．
A．5 B．6 C． D．
9．如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
11．如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为__尺．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为是网格上的格点三角形，则它的边上的高等于_______．
15．如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．
16．如图，在中，，BD平分，将沿折叠，点A落处，则的面积是_____．
17．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．
18．如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．）
19．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段分割成AM、MN、NB，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）已知M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长.
20．年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
21．今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心
位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A，台风中心O正以每小时的速度向北偏西60°的方向移动，经监测得知台风中心的范围内将会受台风影响，．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由；若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．
22．勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数．
（探究1）
（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
（探究2）
观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _；
（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _；
（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．
_；请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．
23．在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有．（1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；（2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．
24．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________．
迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________．
（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________．
迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________．
（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
25．如图，在公路的同侧有两个居民点、，居民点、分别到公路的距离千米和千米，且两个居民点、相距千米．
（1）要在公路边修一个污水处理站来收集处理居民点、的污水，污水处理站修在什么地方到居民点、所用的水管最短；请你在图中设计出污水处理站的位置．（保留作图痕迹，不要证明）
（2）如图铺设水管的工程费用为每千米万元，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元？（3）要在公路边修一个汽车站，使汽车站到两个居民点、的距离相等，则点应该修在距点多远的地方（另画图并写出解答过程）
26．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为　 　，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：　 　．
尝试探究：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系，BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝7，CE＝5，直接写出线段ED的长．
答案
一、选择题
A.B．B．A.D．B．B．A．D．C．A．A．
二、填空题
13．12．
14．
15．（
16．
17．3或2或．
18．17或
三、解答题
19．解：（1）是．理由：，， ，，，
，、、为边的三角形是一个直角三角形．
即：点M、N是线段AB的勾股分割点.
（2）设，则，
①当为最长线段时，依题意，即，解得，
②当为最长线段时，依题意．即，解得，
综上所述的长为或．
20．（1）测量的是点，之间的距离；
依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理）．
（2）如图，连接，
，，，，由勾股定理，得，
又，，，是直角三角形，
．．
绿化费用为：（元）．答：绿化这片空地共需要元．
21．解：如图，过点A作于点C，
由题得，，∴，
∵，∴会受到台风影响． 以A为圆心，以200米长为半径画弧交OB与D、G两点，
∴AD＝AG＝200千米，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得，（千米），同理可得CG=120，则DG＝240千米，
∴A城遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．
22．探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·
（2）证明：
，
，满足以上公式的是一组勾股数；
（3）∵＝∴满足以上公式的是一组勾股数；
当时，，
∴构成一组勾股数．(答案不唯一）
探究2：（1）依据规律可得，如果勾为，则股，弦，
（2）如果勾用，且为奇数）表示时，
则股， 弦
（3）①b＝80．②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，
则另一条直角边 弦
23．解：（1）猜想： ，
证明：如图2，过点作于点，设，则，
在Rt中，有, 在Rt中，有 ，
∴ ，解之：，
∵均为正数，∴ ；
（2）猜想： 证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则，
在Rt中，有，在Rt中，有 ，
∴，解之：，∵均为正数，∴ ；
（3）如图4，连接．在Rt中，有，∴，
∵，∴ ，过点作于点E，设，则EC=100-x，
在Rt中，有，即，
在Rt中，有，即 ，∴，解之：，
在Rt中，有，∴DE=（取正），∴DE=，
∴，=（米2），
∴四边形ABCD的面积是米2．
24．解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+2ab=a2+b2+ab；
图③的面积为c2+2ab=c2+ab，
∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2；
【探究二】S1+S2=S3．
证明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，
∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知
SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案为：47；
【探究三】S1+S2=S3．
证明如下：∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2，
∴S1+S2= πa2+πb2=πc2=S3；故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：阴影部分面积和=S1+S2+ab-S3=ab，
∵a=5，c=13，∴12，
∴阴影部分面积和=×5×12=30，故答案为：30；
【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=，
答：绳索长为尺．
25．（1）如图1所示，点即为所求．
（2）如图1，过点作于点，过点作，交延长线于点，
则四边形和四边形均为矩形，
，，则，，
在中，，，
则，所以最节省的费用为（万元）．
（3）如图，作的中垂线，交于点，则点即为所求；
连接、，设，则，
，，即，
解得：，即点在距离点的地方．
26．解：(1)如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，即BD⊥CE．
∴BC＝BD+CD＝CE+CD，
故答案为：BD⊥CE（或“垂直”），BC=CE+CD （或CE = BC –CD或CD = BC- CE）；
(2)BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，∴BC＝CE﹣CD；BD⊥CE；
(3)如图3中，由（1）同理可得，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝5，∠ACE＝∠ABD＝135°，∴CD＝BC+BD＝BC+CE＝12，
∵∠ACB＝45°∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2＝DC2+CE2＝122+52＝132，∴DE＝13．