课题 1.2.4 绝对值
教学目标
教学目标：了解绝对值在实际生活中的应用； 会比较有理数的大小 教学重点： 比较有理数的大小 教学难点： 比较两个负数的大小
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
复习 回顾 同学们，大家好，上一节课，我们学习了绝对值的定义， 以及如何求一个有理 数的绝对值。我们一块来回顾一下上节课的知识。 1.什么叫有理数的绝对值？ 一般地，数轴上表示数 “ 的点与原点的距离叫做数 “ 的绝对值，用这样的符号来表 示，记作 “ ，读作 “ 的绝对值。 学习了绝对值之后，我们可以说一个有理数都是由它的符号和绝对值组成的。如+3， 2 ，“+”和“ ”是它们的符号，数字 3,2 是它们的绝对值。 2.求一个有理数的绝对值的方法： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0. 数学符号表达：
引入 新知 (1)若“ > 0, 则 “ = “； (2)若“ < 0, 则 “ = - ; (3)若“ = 0, 则 “ = 0. 3. 任何一个有理数 “ 的绝对值总是非负数，用数学符号表示为：|“ |≥0 学习了这么多绝对值的定义，性质，同学们可能会想了，求一个数的绝对值到底要 干什么呢？也就是说它能帮助我们解决什么问题呢？我们不妨先来看下面这个问 题。 例 1：如图，检测 5 个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负 数。从轻重的角度看，哪个球最接近标准？ 因为是从轻重的角度看，不用考虑是超出还是不足，所以只和质量相关，所以最接 近标准质量的，应该是绝对值最小的。|-0.6|＜|+0.7|＜|-2.5|＜|-3.5|＜|+5|, 所以最右边的球的质量最接近标准。这就是绝对值的一个简单实际应用。 下面，请同学们再考虑一个问题：小学时，我们学习过比较两个数的大小，现在引 入了负数，该怎样比较两个有理数的大小呢？例如-4 和-3 ，-2 和 0 ，- 1 和 1 谁大 谁小呢？ 我们不妨继续从熟悉的问题入手，课本第 12 页，给了这样一道思考题： 最低气温是零下 4℃ , 即-4℃ , 最高温度是 9℃ , 这七天中每天的最低气温按从低到 高的顺序排列为-4 ，-3 ，-2 ，- 1 ，0, 1, 2 。按照这个顺序排列的温度，在温度计上 所对应的点是从下到上。
解决 问题 按照这个顺序将这些数表示在数轴上，可以看到这些数对应的点的顺序是从左到右 的。 -4 -3 -2 -1 0 1 2 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序， 即左边的数小于右边的数。 由这个规定可知， 4< 3 ， 2＜0 ， 1＜1 。所以借助数轴可以比较两个有理数的 大小。请同学们尝试完成下面的例题。 例 2.将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“ ＜”连接 4 ，+2 ， 1.5, 0 ， ， -4 -3 - -2 -1.5 -1 0 1 2 在数轴上可以看出 4<< 1.5＜0＜＜2 但是如果每次比较大小都画数轴的话，就太麻烦了，因此，我们想可不可以借助数 轴，得到比较两个有理数大小的一般方法呢？ 要得到比较两个有理数大小的一般方法 首先要清楚比较两个有理数的大小，需要分几种情况考虑？需要分五种情况，分别 是：（1）正数与正数；（2）正数与 0；（3）正数与负数；（4）负数与负数；（5）负数 与 0 然后我们借助数轴，逐一比较这五种情况下两个数的大小关系 -4 -3 -2 -1 0 1 2 从数轴上看：（1）数轴上表示正数的点都在原点的右侧，表示负数的点都在原点的 左侧，数轴上左边的数小于右边的数 可得：正数大于 0,负数小于 0 ，正数大于负数 （2）数轴上表示的数越靠右边的数越大，绝对值也越大；越靠左边的数越小，但绝 对值反而越大 可得：（2）两个正数，绝对值大的较大； 两个负数，绝对值大的反而小。 可见，异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的
绝对值。 同学们尝试，用这样的方法来比较两个有理数的大小。 例 3. 比较下列各对数的大小： （1）3 和 5；（2） 3 和 5；（3） 和 ；（4） 和 解：（1）是异号两数，正数大于负数，所以 3＞ 5 （2）是两个负数比较大小，要先求它们的绝对值。 （2）因为| 3|=3 ，| 5|=5,3＜5 ，即| 3|＜| 5| 所以 3＞ 5 （3）仍然是两个负数比较大小， | ；| 因为＜ ，即| |＜| | 所以＞ （4）对于这一题，大家应该很熟悉流程了吧？ | ，| ，比较与的大小时需要通分吗？别忘了小学学过的，分子相同的情 况下，比较分母就可以了，因为＜，即| |＜|| ，所以 ＞ 熟悉了比较方法，我们来看复杂一点的题目。 例 4. 比较下列各对数的大小： （1） ( 1）和 （+2）；（2） ( 0.3）和|| 解：（1）先化简 ( 1）＝1 ； （+2）= 2 ∵1> 2 ∴ ( 1）> （+2） 或观察法就可知： ( 1）> （+2），因为 ( 1）是一个正数，而 （+2）是一个 负数。正数大于负数，所以 ( 1）> （+2） （2）先化简 ( 0.3） ＝0.3 | ≈0. (
.
)∵0 3＜0 3 ∴ ( 0.3）.< | | 现在，我们知道了具体的两个有理数如何比较大小，那么请同学们思考，我们有时
拓展 提高 归纳 小结 候会有字母表示数，这样的数比较大小可否用我们这节课的知识来解决？ 例 5.数轴上表示数 a 和数 b 的点如图所示： b O a 将 a ，－a ，b ，－b ，0 按从小到大的顺序用“<”号连接； 由数轴可以看出，a 为正数，b 为负数，且 a 离原点的距离比 b 远，a 的绝对值大于 b 的绝对值，我们将 a ，－a ，b ，－b ，表示在数轴上，从左至右为－a ，b ，－b ，a， -a b O -b a 所以，－a
教学目标
教学目标：从数和形两方面理解绝对值的意义，会求有理数的绝对值； 教学重点：求有理数的绝对值. 教学难点：绝对值的概念.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
一 、 问题 引入 两辆汽车从同一处 O出发，分别向东、西方向行驶 10 km，到达 A，B两处，它们的行 驶路线相同吗？它们的行驶路程相同吗？ 显然，它们行驶的路线不同，但行驶的路程相等。如果我们将道路抽象成数轴，点 O 为 原点，向东为正方向，那么点 A 表示+10，点 B 表示-10，如果我们不考虑方向，只考虑 路程，即点 A 与点 B 到原点 O 的距离都是 10，这个距离就是我们这节课要学习的概念： 绝对值。 一般地，数轴上表示数 “ 的点与原点的距离叫做数 “ 的绝对值，用这样的符号来表示， 记作 “ 。 (
R
)上图中，点 A 与点 B 分别表示 10 和- 10 ，它们与原点的距离都是 10 个单位长度，所
二、 剖析 概念 三、 新知 运用 四、 深入 理解 (
解：
因为
6
在原点右侧,到原点的距离是
6
个单
位长度,所以
6
的绝对值是
6，即|6
|=6;-8
) (
其次，我们再来看：
|-8|=8，它表明-8
的绝对值是
8，根据上节课学习的知识，我们知
道
8
和-8
是互为相反数的，所以我们得到结论：-8
的绝对值是它的
相反数
8，类似的
因为|-3
.
9|=3
.
9
，
所以-3
.
9
的绝对值是它的相反数
3
.
9；因为|
|=
，
所以
的绝
) (
首先，
|6|=6，发现正数
6
的绝对值等于它本身。
|
|
=
，正数
的绝对值等于它
本身；
)以 10 和- 10 的绝对值都是 10 ，即 10= 10 ， 10 = 10 。再看上图，点 O 表示的数是 0， (
于
0
，即
|0|=0.
R
)那么 0 的绝对值等于多少呢？ 由于点 O 是原点，它与原点距离是 0，所以 0 的绝对值等 现在请同学们用刚刚学习的绝对值的概念，尝试完成下面的练习。 练习 写出下列各数的绝对值。 6，-8，-3.9， ， , 100, 0 在原点左侧,到原点的距离是 8 个单位长度,所以-8 的绝对值是 8， |-8|=8; 同理可得,-3.9 的绝对值是 3.9 ；的绝对值是 ; 的绝对值是 ;100 的绝对值是 100;0 的绝对值是 0。请同学们尝试自己用符号语言来描述这四个绝对值。 上述各数的绝对值，与原数有什么关系？ |100|=100，正数 100 的绝对值等于它本身， 由此我可以得出结论：一个正数的绝对值 是它本身。 (
负数我们都考虑完了，还差谁呢？对，还有
0.我们看到：0
的绝对值是
0。
)对值是它的相反数 ，由此我可以得出结论：一个负数的绝对值是它的相反数。正数与 由于有理数分为正数，负数和 0，结合数轴，我们就可以得到如下结论： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0 的绝对值是 0. 符号表示： 例 1.计算：
四、 总结 反 思： (
按照求一个有理数的绝对值的方法，我们知道要求一个数的绝对值，首先需要判断这个
设
)（1） |-125|；（2） |+23|；（3） |-3.5|；（4） | |；（5） |- |；（6） |0|
数是正数，负数还是 0，然后再按照这个方法具体求就可以了。 解：（1）-125 是负数，它的绝对值应是它的相反数，所以|-125|=-（-125）=125； （2）+23 是正数，它的绝对值是它本身，所以|+23|=23； （3）-3.5 是负数，它的绝对值应是它的相反数， |-3.5|=- (-3.5)=3.5 （4） | |= ；（5） |- |=-（-）=；（6） |0|=0 通过上面的练习，请同学们思考下面的问题： （1）一个数的绝对值会是负数吗？为什么？ 比如说有没有绝对值等于－2 的数？显然没有，因为距离不能是负数； 同样因为距离不能为负，所以没有一个数的绝对值是负的。 （2）不论有理数 a 取何值，它的绝对值总是什么数？ 绝对值的性质：有理数 a 的绝对值总是非负数。 符号表示： |a |≥0 （3）互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？ 表示一对相反数的两个点虽然分别在原点两侧，但它们到原点的距离是相等的．所互 为相反数的两个数的绝对值相等. 例 2. 判断下列说法是否正确： （1）符号相反的数互为相反数；(×) （2）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；(×) （3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远。( √ ) （4）当 a≠0 时，|a|总是大于 0 。( √ ) 例 3. 判断下列各式是否正确： （1） |5|= |-5|；（2）- |5|= |-5|； (
（1）绝对值等于它本身的数有哪些？
绝对值等于它本身的数包含正数和
0，正数与
0
我们统称为非负数，所以，绝对值等于
它本身的是非负数。
)现在，我们比较熟悉绝对值的概念了，请同学们先思考，再回答下面的问题： （2）绝对值等于它的相反数的数有哪些？
同学们会马上说出负数，只有负数吗？其实 0 的绝对值也可是它的相反数， 所以，绝对值等于它的相反数是数是负数和 0.
例 4. 填空： （1）若|a|=2, 则 a= ±2 若|x|=|y|, 则: x = y 或 x =-y .（2）若|a|=a 则 a ≥ 0; 若|a|=-a, 则 a ≤ 0; 总结反思： 一、知识汇总：
1.绝对值的概念：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 “ , 2.绝对值的求法：（1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0 的绝对值是 0. 符号表示： 二、数学思想： （1）在得到绝对值定义的过程中，借助了数轴这个工具帮助我们直观的理解绝对值定
义，这体现了数形结合的思想；
(
数还是
0，体现了分类讨论的思想；
（3）符号意识。
上述两个过程我们都采用数学的符号来表示，
以体
现
数学符号
的简洁
) (
性，在今后的数学学习中，我们还将会大量地用数学符号表示数
学的定义、法则、结论
)（2）在总结、概括求一个有理数的绝对值的方法时，首先需要判断这个数是正数，负 等。