课题 整式（四）——多项式
教学目标
教学目标： (1) 理解多项式、多项式的项和次数的概念．会判断一个代数式是否是多项式，能准确的说出一个 多项式的项和次数； (2) 了解整式的概念； (3) 经历多项式概念的形成过程，提高观察、分析、归纳、概括能力. 教学重点：理解多项式及相关概念. 教学难点：会准确迅速地确定一个多项式的项和次数.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3 ′ 1.复习引入 列式表示： 1.一条河的水流速度是 2.5 km/h ，船在静水中的速度是 v km/h ，则船在这 条 河 中 顺 水 行 驶 速 度 是 km/h ， 在 逆 水 行 驶 时 的 速 度 是 km/h ； 2.买一个篮球需要 x 元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要 z 元，买 3 个 篮球、5 个排球、2 个足球共需要 元；
3.如图三角尺的面积为 ； 4.如图是一个建筑平面图（图中长度单位：m）， 则该住宅的建筑面积是 m .
解：（1）（v+2.5）,（v-2.5）；（2）(3x+5y+2z)；（3）（ ab π2）；（4）（x2 + 2x +18） 师：观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？并说明理由.若不 是，这些代数式的特点是什么？ 分析：它们不是单项式，因为数或字母的积的式子叫做单项式. 分析式子的特点， 例如，v - 2.5 = v +（- 2.5）；x2 + 2x +18 = x2 + (2x) + (18) 观察总结：上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的.
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引入课题：这些式子叫做多项式，这节课我们来学习多项式.
5 ′ 2 ．讲授新知 一、像这样,几个单项式的和叫做多项式.其中,每个单项式叫做多项式的项 ; 不含字母的项叫做常数项. 一个多项式含有几项,就叫几项式. 例如，多项式x2 + 2x +18的项是x2 ，2x与18 ，其中18是常数项； 多项式v - 2.5项是v与- 2.5，其中- 2.5是常数项. 说明：（1）多项式必含加、减运算； （2）多项式的各项应包括它前面的符号. 二、多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数. 例如，x2 + 2x +18含有三项x2，2x与18，x2是二次项，2x是一次项，18是常数项， 次数最高项是二次项x2，多项式x2 + 2x +18的次数是2. 例如，多项式v - 2.5含有两项v与- 2.5，v是一次项，- 2.5是常数项, 次数最高项是一次项v ，多项式v - 2.5的次数是1. 三、单项式与多项式统称整式.
如mn ，a2 h， v + 2.5， ab- πr2， x2 + 2x +18都是整式.
15 ′ 3.巩固落实 例 1 指出下列多项式的项和次数，是几次几项式？ （1）3x4 - 2x2 +1 解：3x4 - 2x2 +1的项是：3x4，- 2x2与1；次数最高项是 3x4 ，所以这个多项式 的次数是 4 ，一共有 3 项，所以是四次三项式； （2）3x2 - 2xy2 - 8 解：3x2 - 2xy2 - 8的项是：3x2，- 2xy2与- 8；次数最高项是 - 2xy2 ，所以这个 多项式的次数是 3 ，一共有 3 项，所以是三次三项式； （3）3x2 - 2x + 26 解：3x2 - 2x + 26 的项是：3x2，- 2x ，与26；次数最高项是 3x2 ，所以这个多 项式的次数是 2 ，是二次三项式；这个多项式的次数是个易错点，估计会有同 学回答是六次。把 2 的指数 6 作为多项式的次数了，注意 26 是常数项，它的 次数是 0 ，不是 6. （4）x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 解：x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3的项是：x3，3x2 y，3xy2 与y3；这四项的次数都是 3 ，一个多项式的最高次项可以不唯一，所以这四项都是这个多项式的最高次 项，这个多项式的次数是 3 ，是三次四项式. 这道题目巩固落实多项式的项、次数的概念.
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如何准确地找出多项式的项和次数，下面我们小结一下 （1）多项式的各项应包括它前面的符号；例如v 2.5 的项是 v 与 2.5 （2）多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数. 要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后 找次数最高的； 例如多项式3x4 - 2x2 +1的次数是4； (3)一个多项式的最高次项可以不唯一.例如ab πT2 的项是ab与 πT2，这 两项的次数都是 2. 想一想： 已知多项式xn - 3x2 + 3x - 1 的次数是3 ，n 的值为 . 分析 ∵多项式xn - 3x2 + 3x - 1 的次数是3 xn 的次数是3 n = 3 这个题目是利用多项式次数的概念逆推出 n 的值来. 例 2：判断下列说法是否正确，并说明理由. （1） x2 2x + 1 的一次项系数为-2; ( ) （2） 24 x3 的次数是 4; ( ) （3） 是多项式 ; ( ) （4） x3 + x2 + x的次数是 6 次. ( ) 分析：（1）x2 2x + 1 有三项x2 ， 2x ，1.其中 2x是一次项，一次项系数 是-2； (2) 24 x3 有两项：24 ， x3 ，24 是常数项， x3 次数为 3，所以24 x3 (3) = x + 1 = + 是多项式； （4）x3 + x2 + x的最高次项是x3 ，次数为 3，x3 + x2 + x的次数为 3. 的次数是 3. 这道题抓住概念易混淆处，强化认识，帮助学生深入准确理解多项式的项、 次数的概念. 我们学习了单项式和多项式，我们把它们的概念要区分开请同学们和我一起 来说一说： (1)多项式与单项式概念的区别与联系； 数或字母的积的式子叫做单项式. 如0.8p, mn, a2h, - n, - 3, x等； 几个单项式的和叫做多项式. 如2x + 3y + 5z, v-2.5, x2 + 2x + 8等； 它们的运算结构不同。 (2)多项式与单项式次数的区别； 单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. (
x
y
)如2 3 2的次数是5； 多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.
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如x3 + x2 + x的次数是3； 次数的计算方法不同。 例 3 如图，用式子表示圆环的面积，当 R=15cm，r=10cm 时， 求圆环的面积 ( π取3. 14）. 解：外圆面积减去内圆面积就是圆环的面积， 当 R=15cm,r=10cm 时，圆环的面积（单位：cm ) 是 πR2 πr2 = 3.14 152 3.14 102 = 392.5 这个圆环的面积是392.5cm2 . 下面我们做两个练习： 填空：（1） a，b 分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长 l = , 面积 s ＝ ，当 a ＝2 cm ，b ＝3 cm 时，l ＝ cm ， s = cm ; _______ 分析：根据周长公式可得长方形地周长 l 等于 2a+2b，面积 s = ab；当 a ＝2 cm ，b ＝3 cm 时，l ＝10cm ， s ＝6 cm . （2） a ，b 分别表示梯形的上底和下底， h 表示梯形的高，则梯形面积 s = , 当 a ＝2 cm ， b ＝4 cm ， h ＝5 cm 时，s ＝ cm .
分析：根据梯形面积公式可得梯形面积s = h ＝5 cm 时，s ＝15cm . （a + b）h 2 , a ＝2 cm ， b ＝4 cm，
2 ′ 4 ．课堂小结 一、几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常 数项.注意：多项式的每一项要包括前面的符号. 如x2 2x 18含有三项x2， 2x与 18；其中 18是常数项. 二、多项式的次数地概念：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数. 如多项式3x4 2x2 26 的次数是4； 三、单项式与多项式统称为整式.
4课题 整式（二）
教学目标
教学目标：进一步掌握用含字母的式子表示数量关系，能够从数、形两方面观察规律， 并列代数式；体会从具体到抽象的认识过程，发展符号意识. 教学重点：会用含字母的式子表示规律. 教学难点：分析数字、式子的规律，并用含字母的式子表示.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
5 ’ 回顾已学 引入课题 （1） 某种商品每袋 4.8 元，在一个月内的销售量是 m 袋，用式子表 示在这个月内销售这种商品的收入是 元； （2） 一辆长途汽车从杨柳村出发，3 h 后到达距出发地 s km 的溪河 镇，这辆长途汽车的平均速度是 km/h； （3） 有两片棉田，一片有 m hm2 (公顷，1 hm2 ＝104 m2 ) ，平均每公 顷产棉花a kg；另一片有 n hm2 ，平均每公顷产棉花 b kg ，用 式子表示两片棉田上棉花的总产量是 kg. 回顾：用含有字母的式子表示数量关系时需要关注什么？
3 ’ 分析问题 列式表达 例 1 列式表示 （1）一个长方体包装盒的长和宽都是 a cm ，高是 h cm ，用式子表示它 的体积； （2）如左下图（图中长度单位：cm），用式子表示三角尺的面积； （3）右下图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），用式子表 示这所住宅的建筑面积.
9 ’ 例 2 设 n 是整数，用 n 表示下列各数： （1）偶数 ； （2）奇数 ； （3）能被 3 整除的数 ； （4）被 3 除余 1 的数 ； （5）三个连续整数 ； （6）两个连续奇数 . 例 3 找规律 观察下列等式： 第一行： 8 = 9 - 1 第二行： 12 = 16 - 4 第三行： 16 = 25 - 9 第四行： 20 = 36 - 16 第五行： … ， … 按照上述规律，第 n 行： （n 为正整数）. 练习 礼堂第一排有 20 个座位，后面每排都比前一排多一个座位．用式 子表示第 n 排的座位数. 排数1234…n座位数2020+120+220+3…20+(n-1)
· 归纳：先利用列表等方式将问题具体化，由特殊到一般，找出规律再列 出代数式. 从“定 ”与“变 ”两个角度找规律： “定 ”：等式中“差=被减数－减数 ”的结构； “变 ”：等式中各项的数值.
2 ’ 归纳小结 完善提升 归纳小结： 1.几何背景下，依据公式列式; 2.掌握常用的代数表示; 3.从“定 ”与“变 ”两个角度找规律. 体会数式通性，感受数形结合课题 整式（ 一）——用字母表示数
教学目标
教学目标：进一步理解用字母表示数的意义，初步掌握用含字母的式子表示实际问题中 的数量关系；体会从具体到抽象的认识过程，发展符号意识，体会数式通性. 教学重点：会用含字母的式子表示实际问题中的数量关系. 教学难点：正确分析题目中的数量关系，并用含字母的式子表示.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
3 ’ 创设情境 引出问题 教师展示图片，提出问题：
引例 青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列 车在冻土地段的行驶速度是 100 km/h ．列车在冻土地段行驶时，根据已 知回答下列问题. （1）2 h 行驶多少千米？3 h 呢？8 h 呢？t h 呢？ （2）字母 t 表示什么 如果用 v 表示速度，列车行驶的路程是多少？ 学生思考独立完成. 教师归纳： 用字母 t 表示时间，字母 t 可以像数一样参与运算； 数量关系：路程=速度× 时间； 书写常规：数字与字母相乘，字母与字母相乘，通常将乘号写作“ ” 或省略不写. 数字与字母相乘时数字在前.
6 ’ 9 ’ 2 ’ 解决问题 形成新知 例 1 用含有字母的式子表示： （1） 比 m 多 1 的数 ； （2） 比 k 少 30%的数 ； （3）a 与 5 的和的 3 倍 ； （4）b 与-6 的差的 1 ； 4 ______________ （5）x 与y 的平方和 ； （6）n 的相反数 ； 小结 圈画关键词，确定数量关系：和、差、积、商、平方等 思考 n 可以取哪些数？ 例 2 用含有字母的式子表示： （1）苹果原价是每千克 p 元，按 8 折优惠出售，用式子表示现价； （2）7 个人共同完成一项工作，若每个人的工作效率相同，总工作量为 m ，用式子表示每个人需要完成的工作量； （3）某产品前年的产量是 n 件，依据下列条件用式子表示去年的产量； ①去年的产量比前年提高了； ②若去年的产量是前年产量的 m 倍. 思考 m 、n 能取哪些数呢？ （4）买一个篮球需要 x 元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要 z 元，用式子表示买 3 个篮球、5 个排球、2 个足球共需要花费多少钱； （5）一条河的水流速度是 2.5 km/h ，船在静水中的速度是 v km/h， ①用式子表示船在河中顺水行驶和逆水行驶时的速度； ②如果船在河中顺水行驶，用式子表示 3h 行驶的路程. 思考 若 v= 12.5 ，此时船顺水行驶的路程是多少千米？ 试一试 用更具有一般性的式子描述这类情况. 小结 圈画关键词句，比…提高/降低、顺水/逆水、打折等 说一说 请赋予式子 一个含义；请赋予式子 3x + 5y + 2z 一个含义
3 ’ 归纳小结 自我完善 一、用含有字母的式子表示数量关系 审题时 ①抓关键词，明确它们的意义以及它们之间的关系，如：和、差、积、 商；大、小、倍、分等； 如： 比…提高/降低、顺水/逆水、打折等 ; ②理清语句层次，明确运算顺序； ③牢记概念和公式.
书写时 ①数与字母、字母与字母相乘省略乘号； ②数与字母相乘时，数字在前； ③除法运算时，一般按分数形式写； ④带分数与字母相乘时，可以化成假分数； ⑤带单位时，和的形式要加括号. 二、用字母表示数 特殊到一般 数式通性课题 整式（三）——单项式
教学目标
教学目标： (1) 分析实际问题中的数量关系，并用含字母的式子表示出来； (2) 理解单项式、单项式的系数和次数的概念；会判断一个代数式是否是单项式，能准确的说出一 个单项式的系数和次数； (3) 经历单项式概念的形成过程，提高观察、分析、归纳、概括能力. 教学重点：理解单项式、单项式的系数和次数的概念. 教学难点：会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2 ′ 1.复习引入 用含字母的代数式表示下列量： （1） 苹果每千克p 元，按 8 折优惠出售，用式子表示现价； （2） 某产品前年的产量是 n 件，去年的产量是前年产量的 m 倍，用式子表 示去年的产量； （3） 一个长方体包装盒的长和宽都是 a 厘米，高是 h 厘米，用式子表示它 的体积； （4） 用式子表示数 n 的相反数; 师：通过分析题意给出结果.强调代数式的书写格式.
6 ′ 2.讲授新知 引导学生分析归纳上面列出的代数式 0.8p, mn, a2 , n, πT2 的共同特点. 启发学生观察这些代数式的特点.并尝试归纳出单项式的概念. 板书单项式的概念； 单项式：数或字母的积的式子叫做单项式. 单独的一个数或字母也是单项式. 例如：xy,-3,x 等都是单项式. 注意： x +1, x - y 等都不是单项式.因为 x 参与的运算不是乘法运算.
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下面我们进一步来研究单项式： 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如： 100t 的数字因数是 100，所以系数是 100； 0.8p 的数字因数是“0.8 ”，所以系数是 0.8； - xy2 的数字因数是“ - ”，所以系数是 - . 单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 例如 2x2y3的次数是5; 5a4的次数是4. 一个单项式是几次的，就说它是几次单项式，比如我们说 a2 h 这个单项式是三 次单项式. 对于单独一个非零的数，规定它的次数为 0. 例如：3 的次数是 0.
12 ′ 3.巩固落实 例 1：写出下列各单项式的系数和次数： （1） 2a2的系数是 , 次数是 ； （2） -1.2h的系数是 , 次数是 ； （3） xy2的系数是 , 次数是 ； （5） - 2vt 的系数是 , 次数是 ； 3 ______ （6） 23 x2 y的系数是 , 次数是 ； （7） 2πab2的系数是 , 次数是 ； 通过例 1 巩固落实对单项式系数及次数的理解. 例 2.判断下列说法是否正确并说明理由： （1） 的系数是 ；( ) （2） 的系数是； ( ) （3） ab3c2 的次数是 5 次；( ) （4）32x2y3 的次数是 5 次. ( ) 这道题抓住概念易混淆处，强化认识，帮助学生深入准确理解单项式系数、次 数. 根据前面的例题分析总结归纳快速准确的找出单项式的系数、次数的注意事 项： 1. 单项式的系数是“ 1 ”或“-1 ”时，1 通常省略不写. 比如: t2 的系数是 1.
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2. 圆周率π是常数，不是字母. 比如: 的系数是 π . 3. 单项式的系数包括前面的符号,分子、分母中的数字，及数字的乘方. 比如的系数是 . 比如 23x2y的系数是 23 . 4.单项式的次数是所有字母的指数和，省略 1 的字母指数不能漏加 . 比如：a b3c2 的次数是 6 次. 5.单项式次数只与字母指数有关，不能把数字的指数加上. 比如：32x2y3 的次 数是 5 次. 例 3.用单项式填空，并指出它们的系数和次数： （1） 每包书有 12 册，n 包书有 册； （2） 底边长为 a cm ，高为 h cm 的三角形的面积是 cm ; （3） 棱长为 a cm 的正方形的体积是 cm ; （4） 一个长方形的长是 0.9m ，宽是 b m,这个长方形的面积是 m . （5）一个半径为 r 的圆的面积是 ； 周长是 . 解：（1）12n，它的系数是 12，次数是 1； （2）a , 它的系数是 ，次数是 2； （3）a , 它的系数是 1，次数是 3； （4）0.9b，它的系数是 0.9，次数是 1. （5）圆的面积是πT2 ， πT2 的系数是π , 次数是 2. 周长是 2πT ，2πT的系数是 2π , 次数是 1. (用含字母的式子表示实际问题的数量关系，巩固落实单项式系数、次数的概 念.) 议一议.你能写出一个只含有 x、y，次数是 4 的单项式吗？ 解： 3xy3 或 2xy3 ；x2y2y3 或 x2y2 ；x3y 或 10x3y 等 这道题考查了对单项式及系数、次数概念的理解，培养学生的发散思维.
2 ′ 4．课堂小结
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