课题 解一元一次方程（ 一） (2)
教学目标
教学目标：1.掌握移项变号的基本原则，会用移项的方法解有关的一元一次方程. 2. 在将方程 ax + b = cx + d 转化为 x = a 过程中，通过先观察、发现原方程与目 标之间的差异，分析、寻找消除差异的方法，深入体会转化的数学思想方法的应用； 3. 在问题的解决中，体会数学学习的过程与方法，提升对数学问题学习与研究 的兴趣. 教学重点：掌握移项变号的基本原则，会用移项的方法解有关的一元一次方程. 教学难点：将形如 ax + b = cx + d 的方程转化为x = a 时，如何思考？如何操作？
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
2 分 钟 复习回顾 复习如何利用合并同类项解有关的一元一次方程. 解下列方程： （1）5x - 12x = - 14 + 21 （2）2y - 2.5y + y - 1.5y = - 15 + 6 解：（1）合并同类项，得-7x = 7 . 系数化为 1 ，得x = 1 . （2）合并同类项，得 y = -9 . 系数化为 1 ，得x = -27 .
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如何解方程3x + 20 = 5x - 70 ？
2-3 分 学习新知 思考 2：如何解方程3x + 20 = 5x - 70 呢？ 怎样把方程3x + 20 = 5x - 70 转化为 x=a(其中 a 是常数)的形式 呢？ 分析： 确定目标 x = a 比较差异 3x + 20 = 5x - 70 分析、消除差异：对方程进行转化使方程的左边没有常数项， 方程的右边没有未知项，怎样实现这个目标？ 3x + 20 - 5x - 20 = -70 - 20（等式性质 1，等号两边同时减 20） 3x + 20 - 20 - 5x = 5x - 70 - 20 - 5x （等式性质 1 ，等号两边同 时减5x ） 3x - 5x = -70 - 20 思考 3： 观察从原方程3x + 20 = 5x - 70 到转化后的方程 3x - 5x = -70 - 20 ，有怎样的变化？ 原方程中的未知项移到到等号的一边，常数项移到等号的另 一边； 思考 4：原方程中，方程中的每一项从等号的一边移到等号 的另一边时发生了怎样的变化？ 等号左边的 20 移到右边变为-20 ，等号右边的5x移到左边 变为-5x ，移项后原来的项要变号. 像上面这样把等式一边的某项变号 后移到另一边，叫做移项. 展示解方程的流程： 3x + 20 = 5x - 70 . 移项，得 3x - 5x = -70 - 20 .（简化描述变形过程） 合并同类项，得 -2x = -90 . 系数化为 1 ，得 x = -90 (-2 ) x = 45 . 则3x + 20 = 3 45 + 20 = 155 可知，这个班有 45 名学生，共有 155 本书. 思考 5：上面解方程中“移项 ”起了什么作用？移项的依据是 什么？移项时需要注意什么问题？ 通过移项，可以简化方程，使含有未知数的项和常数项分别位 于方程两边，使方程更接近 x=a(其中 a 是常数)的形式. 移项是依据等式性质 1 对方程进行的等价转化
5-6 分
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移项时需要注意变号：即方程中的某项包含它前面的性质 符号，“符号 ”加“绝对值 ”是一个整体，将某一项从方程的 一边移到另一边后其符号与原来相反，绝对值相同
8 分 例题讲解 例 1.解下列方程 (1) 3x + 7 = 32 - 2x ; (2) x - 3 = x +1 . 解：（1）3x + 7 = 32 - 2x . 移项，得 3x + 2x = 32 - 7 . 合并，得 5x = 25 . 系数化 1，得 x = 5 . (2) x - 3 = x +1 .
移项，得 合并，得 x - x = 1+ 3 . - x = 4 .
系数化 1，得 x = -8 . 例 2.下面是某同学解方程5 - 5x - 2 = 2 - x + 6x 的过程 请你把他的解答过程中出现错误的地方圈画出来，并给出这道 题目正确的解答过程。 解：小明在移项时忘了变号. 5 - 5x - 2 = 2 - x + 6x 合并，得 3 - 5x = 2 + 5x . 移项，得
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-5x - 5x = 2 - 3 . 合并，得 - 10x = - 1 . 系数化 1，得 1 x = . 10 小结： 1. 当方程两边各有可以合并的项时，可以根据情况先合并再 移项，减少出错机会. 2.移项时注意被移项的符号要改变.
3 分 课堂练习 练习：解下列方程 （1）6x - 7=5 - 4x ； （2）3y + 5 = 4y +1； (3) x - 1 = x - ;（4）10x - 6x - 0.5 = 15 - 21.5 - 2x . 解：（1）移项，得6x + 4x=5+7 合并，得10x= 12 系数化 1，得x= . （2）移项，得3y - 4y = 1- 5 合并，得-y = -4 系数化 1，得y = 4 . (3)移项，得 x - x = 1- 合并，得- x = 系数化为 1，得x = - (4)合并，得4x - 0.5 = -6.5 - 2x 移项，得4x + 2x = -6.5 + 0.5 合并，得6x = -6 系数化 1，得x = 1
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2-3 分 课堂小结 思考 6：这节课我们学习了通过移项变形解一元一次方程，那 么移项的目的是什么？移项的依据是什么？移项中需要注意 哪些问题？ ①通过移项，可以简化方程，使含有未知数的项和常数项分别 位于方程两边，使方程更接近 x=a(其中 a 是常数)的形式. ②移项是依据等式性质 1 对方程进行的等价转化. ③移项时需要注意变号：即方程中的某项包含它前面的性质符 号，“符号 ”加“绝对值 ”是一个整体，将某一项从方程的一 边移到另一边后其符号与原来相反，绝对值相同. ④当方程两边各有可以合并的项时，可以根据情况先合并再移 项，减少出错机会. 思考 7： 目前对于解ax + b = cx + d 这种类型的一元一次方程， 一般步骤是什么？ 移项、合并同类项、系数化为 1.
2-3 分 课堂思考 问题：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3 本，则剩 余 20 本；如果每人分 4 本，则还缺 25 本. 这个班有多少学生？ 共有多少本书？ 分析：关键词涉及的有关量 一批图书， 每人 3 本，剩余 20 本 每人 4 本，缺少 25 本 涉及的未知量 一批图书，共多少学生？ 为 x 寻找等量关系：一批图书=3×学生数+20 一批图书=4×学生数-25 这个问题中班级人数和书本的数量都是未知数，选择题目中哪 些量为 x？ 设这个班有 x 名学生. 我们设这个班有 x 名学生.然后根据书本数量的两种不同表达 形式，得到方程：3x + 20 = 4x - 25 . 移项，得 3x - 4x = -25 - 20 .（简化描述变形过程） 合并同类项，得 -x = -45 . 系数化为 1 ，得 x = 45 x = 45 . 则3x + 20 = 3 45 + 20 = 155 可知，这个班有 45 名学生，共有 155 本书. 能否设共有 x 本书，利用学生人数的不同表达形式来列方程？ 若设共有 x 本书，则根据“如果每人分 3 本，则剩余 20 本 ” 可得学生人数为： ；根据“如果每人分 4 本，则还缺
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25 本 ”有可得学生人数为： . 由此得到方程： = .② 这个方程怎么解呢？ 解方程： =
等价于： - = + 移项，得 - = + 合并，得 = 系数化 1 ，得x = 155 所以= = 25 4 25 4 45
则共有 155 本书，学生人数 45 人. 可以看到：根据实际问题列方程时，就是在题目描述的过程中， “拉出一个量 ”，依据题意用两种方式表达它，中间用“= ”连 接，方程即列成. 比较这里的方程①和② , 可以看到，显然①比②要简洁、解起 来也更容易，所以在具体选择“一个量 ”作为等量关系列方程 时，也要根据具体情况有所选择. 对于方程= 的解法，后面的课程中同学们也将会 系统地学习这种带有分母的方程的具体解法.
6课题 解一元一次方程（ 一）（1）
教学目标
教学目标：1.会用合并同类项的方法解有关的一元一次方程. 2. 在将方程 ax + bx = c 转化为 x = a 的过程中，学会观察、发现原方程与目标 之间的差异，能分析、寻找消除差异的方法，初步体会转化的数学思想方法的应用； 3. 在问题的解决中，体会数学学习的过程与方法，提升对数学问题学习与研究 的兴趣. 教学重点：会用合并同类项的方法解有关的一元一次方程. 教学难点：将形如 ax + bx = c 的方程转化为 x = a 时，如何思考？如何操作？
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
2 分 复习回顾 请学生回顾等式的性质有哪些？并利用等式的性质解下列方 程： （1）x - 4 = 29 （2）2 - x = 3 沿着“确定目标→观察、比较差异→分析、消除差异 ”的思维 脉络,实现已知与未知的分离。 解以 x 为未知数的方程，就是把方程逐步转化为 x=a ，(其中 a 是常数)的形式，等式的性质是转化的重要依据.
5-6 分 学习新知 问题：某校三年共购买计算机 140 台，去年购买数量是前年的 2 倍，今年购买数量是去年的 2 倍，前年这个学校购买了多少 台计算机？
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分析：①画关键词进行分析问题中涉及了哪些量？ 问题涉及了四个量： 三年总量， 去年， 前年，今年， . ②推理 分析这四个量之间有怎样的关系？ 去年与前年有关， 今年与去年有关 三年总量=前年+去年+今年 ③选谁为未知数，并表示相关的未知量. 法 1：设今年为 x 个 法 2：关键的量是哪个？前年，设前年为 x 个 法 3：也可以设去年为 x 个 解：法 1.设前年购买计算机 x 台，则去年购买2x 台，今年购买 4x 台. 根据“三年共购买计算机 140 台” ，可列方程： 4x + 2x + x = 140 .
法 2.设去年购买计算机 x 台，则今年购买2x 台，前年购买 根据“三年共购买计算机 140 台” ，可列方程： 台.
2x + x + x 2 = 140 .
法 3.设今年购买计算机 x 台，则去年购买 台，前年购买 台. 根据“三年共购买计算机 140 台” ，可列方程：
x + + = 140 .
思考 1：三种设法，列出来的方程你打算选哪一个呢？并说明 理由. 相比之下，法 1 列出的方程，未知数x 的系数都是整数便于求 解. 思考 2：如何解方程4x + 2x + x = 140 ？ 即如何将方程化成x = a ( a 为常数)的形式. 分析： 确定目标 x = a 比较差异 4x + 2x + x = 140
分析、消除差异 7x = 140
项合并为一项）
x = 20 知数的系数化为 1） （合并同类项法则，把含未知数的 （等式性质 2，两边同除以 7，把未
合并同类项，得7x = 140 （简化描述变形过程） 系数化为 1 ，得x = 20 （简化描述变形过程） 则：4x = 80 由上可知，今年这个学校购买了 80 台计算机.
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思考 3： 1 解方程中“合并同类项”起了什么作用？ ②“系数化为 1” 的依据是什么？ ③如何检查所解得数是否正确？ 小结：解方程能合并同类项时先合并同类项，使方程向着 x = a ( a 为常数)的形式转化；将得数代入原方程可以检验解是 否正确.
5-6 分 例题解答 例 1. 解下列方程 （1）2x - x = 6 - 8 （2）7y - 2.5y + 3y - 1.5y = - 15 4 - 6 3 分析： 目标---分析差异---消除差异 解：(1) 2x - x = 6 - 8 合并同类项，得- x = -2 . 系数化为 1 ，得x = -2 - . x = -2 (-2) (
x
=
.
)4 法 2：系数化为 1 ，x = -2 (-2) .（两边同乘-2） (2) 7y - 2.5y + 3y - 1.5y = - 15 4 - 6 3 合并同类项，得6y = -78 . 系数化为 1 ，得y = -78 6 . y = - 13 . 思考 4：在合并同类项和系数化为 1 时，分别需要注意什么？ 合并同类项要注意每项系数的符号，合并时是要将系数进行相 加； 系数化为 1 时特别注意是在方程两边同时除以未知数的系数 （或者乘以未知数系数的倒数）； 将所解得数代入原方程可以检验是否正确.
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例 2. 有一列数，按一定规律排列成 1 ，﹣3 ，9 ，﹣27 ，81 ， ﹣243 … … .其中某三个相邻数的和是﹣1701 ，这三个数 各是多少？ 分析：观察这列数，你发现什么规律？ 从数的符号和绝对值两方面观察，可以发现这列数的排列规律： 后面的数是它前面的数与-3 的乘积. 根据发现的规律：只要知道了三个数中的某个数就能知道另外 两个，那么该如何设未知数呢？ 解：设三个相邻数中的第 1 个为 x ，则第 2 和第 3 个分别为： ﹣3x ，9x 由“三个数的和为﹣1701 ”，得 x - 3x + 9x = - 1701. 合并同类项，得7x = - 1701 . 系数化为 1 ，得x = - 1701 7 . x = -243 . 所以 -3x = 729 ，x = -2187 . 答：这三个数是-243 ，729 ，-2187 . 小结：我们还可以设第 2 个数为 x，则第 1 个数为- ，第 3 个 数为-3x ；若设第 3 个数为为 x ，则第 2 个数为- ，第 1 个数 为 . 相比较而言，设第一个数为 x，所得方程中 x 的系数都是 整数，更易于求解.
5-6 分 练习巩固 练习：解下列方程： （1）5x - 2x = - 12+21； （2）-3x + 0.5x = 10 ； (3) b- b + b = 6 - 1. 解：（1）3x = 9 ， x = 3 . (2) -2.5x = 10 , x = -4 . (3) - +1b = 4 - 1，
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b = 3 ， b = .
2-3 分 课堂小 结，布置 作业 思考 5：通过这节课的学习，关于列方程和解方程你有哪些收 获？ 1. 根据实际问题列方程时，若有多个未知量，通常可以设其中 一个是 x ，再根据其他未知数与 x 的关系，用含 x 的式子表 示这些未知数.也要根据不同的问题情境，选择最佳的设未 知数的方式，使得所列方程尽量简洁便于求解. 2. 关于解方程，能合并同类项时要先合并同类项，使方程向着 x = a ( a 为常数)的形式转化；将得数代入原方程可以检验是 否正确. 3. 合并同类项要注意每项系数的符号，合并时是要将系数进行 相加； 系数化为 1 时特别注意是在方程两边同时除以未知数的系 数（或者乘以未知数系数的倒数）. 思考 6:回顾本节课开始提出的问题 问题：某校三年共购买计算机 140 台，去年购买数量是前年的 2 倍，今年购买数量是去年的 2 倍，今年这个学校购买了多少 台计算机？ 问题中涉及到的量有：三年购买的计算机总台数、今年、去年、 前年每年购买的计算机台数，共 4 个量.在法 3 中，我们设前年 购买计算机 x 台，则去年购买2x 台，今年购买4x 台. 根据“三 年共购买计算机 140 台” ，可列方程： 4x + 2x + x = 140 . 其中，式子4x + 2x + x和数据 140 是“三年购买的计算机总量 ” 的两种不同表达形式，所以可以画上“= ”，得到方程. 那么“今年、去年、前年每年购买的计算机台数 ”这三个量是 否每一个也都可以有两种表达形式呢？ “今年购买的计算机台数 ”的两种不同表达形式： 4x = 140 - x - 2x ① “去年购买的计算机台数 ”的两种不同表达形式： 2x = 140 - x - 4x ② “前年购买的计算机台数 ”的两种不同表达形式：
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x = 140 - 2x - 4x③ 可以发现：根据实际问题列方程时，就是在题目描述的过程中， “拉出一个量 ”，依据题意用两种方式表达它，中间用“= ”连 接，方程即列成. 上面所得的方程该如何解呢？请同学课下思考，下节课探讨！ 布置作业： 1. 完成数学书第 87 页：练习 2. 完成数学书第 91 页：习题 3.2 复习巩固第 1 题 3. 在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和 能否为 60？如果能，这三个数分别是多少？
6课题 解一元一次方程（ 一）（4）
教学目标
教学目标： 1.灵活运用移项、合并同类项解形如“ax+b=cx+d ”类型的一元一次方程； 2.在具体问题的分析与解决的过程，经历利用字母表示未知量，借助数学式子寻找量与量之 间的关系过程，体会“方程 ”是解决实际问题的有效模型； 3.在问题的解决中，体会数学学习的过程与方法，提升对数学问题学习与研究的兴趣. 教学重点、难点： 能按要求的方式、有一定的方法，把一个实际问题转化为方程有关的问题；能灵活运用移项、 合并的方法解简单的一元一次方程.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
5 分 钟 复习回顾 梳理旧知 本环节主要是利用具体方程复习上节所学重点知识. 解方程 8x = 3 x 本题采用老师口述并板演的方法引导学生回顾解形如“ax+b=cx+d ”类 型的一元一次方程的步骤、理论依据以及注意事项，同时强调解题的规 范步骤和格式 解方程：就是将方程，运用等式的性质转化为 x ＝a； 方程特征：形如“ax+b=cx+d ” ；
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基本步骤：移项、合并同类项的方法，可以解决问题. 解 ：移项 ，得： - 8x+ x = 3 - 合并同类项 ，得： - x = 系数化为1，得： x = - 注意的问题：移项要变号；系数化为 1 时，不要把分子、分母写颠 倒. 设计意图：通过解方程的过程，回顾解一元一次方程的基本步骤、变形 依据以及注意事项．渗透方程所有变形的目的就是使以 x 为未知数的方 程转化为 x ＝a . 练习 1 解方程(1)9-3y=5y+5;(2)0.5x-0.7=6.5- 1.3x 注意：看清题目未知数；解的书写格式一般未知数放在等号左边；解一 元一次方程的步骤一般为：移项、合并同类项和系数化为 1. 答案：（1）y= 1/2；（2）x=4
6 分 学习新知， 问题引申 本环节主要是引导学生注意区分“移项” 与“项的换序” 的不同及灵活解决 求解问题. 例 1（1）解方程 x + x 9 + x = x 2 活动：引导学生回顾解方程的步骤、理论依据以及注意事项. 设计意图：正确理解移项法则，移项中常犯的错误是忘记变号， 还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质区别，移项的依据 是等式性质，在方程的一边交换两项的位置是根据交换律. 答案：x=7. （2）解方程 x + x + x = x 2 +x x 活动： 问题 1：它与前面研究方程有何不同？ 问题 2：怎样才能使它向 x=a 的形式转化呢？可以先合并再移项， 也可以先移项再合并.比较两种方法优劣性. 设计意图：上面方程中，若先合并同类项比先移项要简单一些．因 此所总结的解方程的步骤，顺序是可以改变的，这就要求同学们认真分 析方程，采用适当的变形步骤，灵活解决一元一次方程的求解问题.
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答案：x=-27/8.
10 分 实验探究、 加深巩固 本环节主要是通过具体例子反复强调方程在解决实际问题中的工具作 用，渗透建立数学模型的思想． 例 2 无限循环小数写成分数形式应怎样写？ 设计意图：这个实验探究按照从具体到抽象，由低位到高位的顺序展开， 在特例的引导下，启发学生可以自己发现一般规律 我们知道分数写成小数形式即 0. ，反过来，无限循环小数 0. 写成分 数形式即 ，用一元一次方程可以严谨推导出具体表示方法. 想一想： (1) 如何把像 0. ，0. ， … ，0. 这样的无限循环小数化为分数形式？ (2) 类比上面的讨论如何把 0. 3化为分数形式？ (3) 如何把无限循环小数 0. 3化为分数形式？动手试一试，并总结把 无线循环小数化为分数形式的一般规律.
2-3 分 课堂小结， 布置作业 在这节课的最后，让学生思考“这节课你的收获是什么？ ”，引导学生 从知识、方法等角度进行总结： 1． 解方程移项要变号； 2． 灵活利用移项法则求解项数较多的一元一次方程； 3． 会用一元一次方程解决无限循环小数化分数问题. 布置作业
3课题 解一元一次方程（ 一）（3）
教学目标
教学目标： 1.灵活运用移项、合并同类项解形如“ax+b=cx+d ”类型的一元一次方程； 2.在具体问题的分析与解决的过程，经历利用字母表示未知量，借助数学式子寻找量与量之 间的关系过程，体会“方程 ”是解决实际问题的有效模型； 3.在问题的解决中，体会数学学习的过程与方法，提升对数学问题学习与研究的兴趣. 教学重点、难点： 能按要求的方式、有一定的方法，把一个实际问题转化为方程有关的问题；能灵活运用移项、 合并的方法解简单的一元一次方程.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
2 分 钟 复习回顾 梳理旧知 本环节主要是利用具体方程复习上节所学重点知识. 解方程 x - 1 = x - 问题 1：先观察方程的特点，然后思考准备怎样解决这个问题？ 为什么这样解决问题？ 看看你的想法，与老师的想法是否一样呢？ 分析： 解方程：就是将方程，运用等式的性质转化为 x ＝a；
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方程特征：形如“ax+b=cx+d ” ； 基本步骤：移项、合并同类项的方法，可以解决问题. 解：移项，得： x - x=1 - 合并同类项，得：- x= 系数化为1，得：x=- 注意的问题：移项要变号；系数化为 1 时，不要把分子、分母写颠 倒. 设计意图：以一道具休问题的求解过程，回顾解一元一次方程所学的相 关知识，并关注培养学生良好的数学学习习惯.
15 分 学习新知， 问题引申 例 1. 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制 的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量 少 100 t.新、 旧工艺的废水排量之比为 2： 5，两种工艺的废水排量各 是多少？ 分析： ①画关键词再理解题意，用数学的形式再描述 ; 旧工艺废水排量=环保限制的最大量+90， 新工艺废水排量=环保限制的最大量-100. 新工艺废水排量： 旧工艺废水排量=2：5 ②怎样设未知数，并表示相关的未知量更好？ 设新、旧工艺的废水排量分别为 2x t 和 5x t. 并表示有关的量 2x=环保限制的最大量+90. 5x=环保限制的最大量-100. ③寻找等量关系： 环保限制的最大量=90 - 2x. 环保限制的最大量=-100 -5x. 解：设新、旧工艺的废 水排量分别为 2x t 和 5x t 依题意可得：5x-200=2x+100. 移项，得 5x-2x= 100+200. 合并同类项，得 3x=300. 系数化为 1，得 x= 100. 所以 2x=200, 5x=500.
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答：新工艺的废水排量是 200 吨， 旧工艺的废水排量是 500 吨. 问题 2：还可以怎样列方程？还可以怎样设未知数？ 小结 1.列方程解应用题的步骤： ①审题—勾画关键词，找出相等关系； ②表示相等关系； ③设未知数，列方程； ④解方程、检验，并答题. 2.观察未知量的特点，选择合适的方式设未知数.
5 分 巩固练习 练习 1 洗衣机厂今年计划生产洗衣机 25500 台，其中Ⅰ型、 Ⅱ型、Ⅲ型三种洗 衣机得数量比为 1:2:14，计划生产这三种洗衣机各多少台？ 练习 2 把一根长 100 cm 的木棍锯成两段，要使其中一段长比另一段长的 2 倍 少 5 cm，应该在木棍的哪个位置锯开？ 设计意图：练习 1 体会“遇比设 k ”的方法能简明表示这几个量，大大 减少未知数的个数.练习 2 通过对问题的解决，培养学生用数学的意识， 加深对方程的理解.
2-3 分 课堂小结， 布置作业 问题 3 这节课你有什么收获？ 1. 列方程解应用题一般步骤：审题；表示相等关系；设未知数 列方程；求解检验并答题； 2. 解方程移项要变号； 3. 转化与化归的思想. 布置作业
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