课题 角（二）
教学目标
教学目标： 1.会比较角的大小； 2. 能进行角的和 、 差运算, 3. 能根据题目要求画出相应图形. 教学重点： 1. 比较角的大小； 2. 角的和 、 差运算. 教学难点 ：根据题目要求画出相应图形.
教学过程
教 学 环 节 主要师生活动 一 、 复习巩固 复习角的两种定义、 角的表示方法和角的单位度、分 、秒之间的换算 ，进行 角的和差倍分运算. 例 1 计算： （ 1）48 39 +67 31 ; （2）75 18 - 37 30 ; （3）21 17 ×5； （4）360 ÷7（精确到分） 二 、 学习新知 从研究线段得到启发 ，接下来将要研究什么？ 问题 1： 请同学们回忆 一 下. 前面我们学习了线段的哪些内容？
1. 角的大小比较 问题 2:类比线段大小的比较, 你认为该如何比较两个角的大小？在练习本上画两 个角， 比较它们的大小， 并说明你是怎样比较的.
O (
A
) B (
A
′
) O ′ B ′
用量角器分别量出∠AOB 和∠A ′O ′B ′ 的具体度数， 然后比较它们的大小. 也可以类似线段大小的比较， 用叠合法. 叠合法： 将两个角的 一 边叠合在 一起， 两个角的另 一 边在重合边的同 一侧， 观察这两边的位置， 就可以确定两个角的大小了. 强调 1. 两个角的顶点必须重合；2. 一 边必须重合 ，另 一 边落在第 一 边的同 一侧. 两个角的大小关系有几种？ 你能用图形和符号表示吗？ 两个角的大小关系有三种： 大于， 等于或小于.
B B′ O A(A ′) A ′O ′B ′
B
) O A(A ′) A ′O ′B ′>AOB
比如固定∠AOB 的位置，让∠A ′O ′B ′ 的边 O ′A ′ 与 OA 重合，O ′B ′ 与 OB 在 OA 的同 一侧，若 O ′B ′在∠AOB 内部，则∠A ′O ′B ′< ∠AOB；若 O ′B ′ 与 OB 重合，则∠A ′O ′B ′= ∠AOB； 若 O ′B ′在∠AOB 外部， 则∠A ′O ′B ′ ＞ ∠AOB. 角的大小与角的两边张开的大小有关； 与角的边画出的长短无关.
例 2 如图， 用“ ＜ 、= 或＞ ”填空 （ 1） ∠AOD ∠AOC （2） ∠AOB ∠BOC （3） ∠COD ∠BOC （4） ∠AOC+∠BOD ∠AOB A C D O B
2. 角的和差 如图， ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和， 记作∠AOC=∠AOB+∠BOC； ∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差， 记作∠AOB=∠AOC-∠BOC； 类似地， ∠AOC-∠AOB=∠BOC. 例 3 如图， 填空 C B O A
（1） ∠AOC+∠COD＝ . （2） ∠AOD+∠COD+∠AOC＝ . （3） ∠COD=∠AOD- = -∠BOD =∠AOB－ － . （4） ∠AOD= + = - . A C D O B
例 4 用一副三角尺可以画出哪些度数的角？这些角有什么共同点？ 解 ：15° , 30° , 45° , 60° , 75° , 90° , 105° , 120° , 13° , 150 ，165° , 这些角的度数都是 15 的倍数. 例 5 已知射线 OA， 若从点 O 再引两条射线 OB ，OC ，使∠AOB=80° , ∠BOC=30° , 求∠AOC 的度数. 解：根据题意，射线 OC 可能在∠AOB 内部或外部，
C B (
B
) C (
O
)A 图 2
O 图 A 1
（1）如图 1 ，当 OC 在∠AOB 外部时， 因为∠AOC= ∠AOB+∠BOC ， ∠AOB=80° , ∠BOC=30° , 所以∠AOC= 80°+30° = 110 ° ; （2）如图 2 ，当 OC 在∠AOB 内部时， 因为∠AOC= ∠AOB-∠BOC ， ∠AOB=80° , ∠BOC=30° , 所以∠AOC= 80° -30° =50 ° ; 答： ∠AOC 的度数为 110 °或 50 ° .
课 堂 小 结 数学知识： 1. 角的度数的和差倍分计算 2. 角的大小比较： 度量法和叠合法 3. 角的和差运算 数学思想方法：分类讨论和类比
课后思考： 已知如图，从 O 点引四条射线 OA，OB，OC，OD，若∠AOB ， ∠BOC， ∠ COD ， ∠DOA 度数之比为 1:2:3:4. 求∠BOC 的度数.
解：设∠AOB=x ° , 则根据∠AOB ， ∠BOC， ∠COD ， ∠DOA 度数之比为 1:2:3:4， 可得∠BOC=2x ° , ∠COD=3x ° , ∠DOA=4x ° , 因为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360 °（周角 定义） 所以 x+2x+3x+4x=360 解得 x=36 ， 故∠BOC=2x °=72 ° 答： ∠BOC 的度数为 72 °. (
A
) (
B
)C (
O
) D课题 角（ 一）
教学目标
教学目标：1.理解和掌握角的度、分、秒及其换算. 2.借助生活中含有角的实例，经历图形的抽象的过程，通过观察、比较， 能主动尝试用语言描述角的特征. 3.在新知识的学习过程中，借助学习线段、射线、直线的经验，体会角的 有关知识的学习过程，体会数学的学习特点，养成主动参与数学活动，积 极思考，反思的学习习惯. 教学重点：理解角的概念，掌握角的表示方法；会对度、分、秒进行简单的换算. 教学难点：经历图形的抽象的过程，能用语言描述角的特征；会对度、分、秒进行简单 的换算.
教学过程
教 学 环 节 主要师生活动 一、引入新课 前面我们学习了直线、射线和线段，知道它们都是几何图形，而且都是基本 的几何图形. 今天，我们来学习一个另一种几何图形——角. 小学时我们学习过 角，知道角也是一种基本的几何图形. 在我们的生活中，有很多实物都给我们以角的形象，比如，一把打开的扇子， 钟面上的时针与分针， 自行车的车架，有斜坡的屋顶，墙角等.
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在我们前面的学习过的一些几何图形中，如，棱锥相交的两条棱，三角尺两 条相交的边线，也给我以角的形象.
教 学 环 节 二、学习新知 （一）角的定义 根据生活中我们所看到的有关角的形象，你能说说角有什么共同的特点 吗？ 通过观察，我们发现：这些角它们都有一个点，还有两条线. 由此，我们得到角的如下定义： 定义 1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶 点，这两条射线是角的两条边. 思考：一把扇子在打开的过程中，扇子的柄每停在一个位置，就得到一个角， 这些角是怎么形成的呢 定义 2：角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
当边继续旋转，终边与始边成一条直线时，形成什么角？继续旋转，终边与 始边重合时，又形成什么角？ 当终边 OB 和始边 OA 成一条直线时，成平角； 当终边 OB 和始边 OA 重合时，成周角. 根据角的两个定义的不同特点，我们把定义 1 称为角的静态定义，由于定义 2 形象地说明了角的形成过程，因此把它称为角的动态定义.
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（二）角的表示方法 思考：如何用字母来表示一个角呢？ 一个角，我们要掌握它的多种表示方法： 记法 1：用三个大写英文字母表示，当该顶点只有一个 角时，也可用一个大写英文字母表示； 记作： ∠AOB 或 ∠BOA 或 ∠O
记法 2：用一个数字表示； 记作： ∠1
记法 3：用一个小写希腊字母表示； 记作： ∠α
例 1 将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
∠1 ∠3 ∠4 ∠α
∠BCA ∠ABF
解：
∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠α ∠β
∠BCE ∠BCA ∠BAD ∠ABC ∠BAC ∠ABF
例 2 用适当的方法表示下图中的每个角.
(
2
1
)
（1） （2） 解：（1） ∠ABC 或∠B （2）图中的三个角分别表示为∠1 ， ∠2 ， ∠ABC 注意：能用一个字母或数字表示的角，尽量不用三个字母表示.
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（三）角的度量 思考：线段的长短用长度单位米、厘米等来表示，那么角的大小用什么表示 呢？ 。 把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作 1 ; 1 周角=360 , 1 平角=180 , 把 1 度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，记作 1 ; 1 =60 , 把 1 分的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，记作 1 . 1 =60 1 =3600 例如∠“ 的度数是 48 度 56 分 37 秒， 记作∠α=48 56 37 . 角的度、分、秒是六十进制的，这和计量时间的时、 分、秒是一样的. 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 此外还有其他的度量角的单位制，例如我们以后将 要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，比如π弧 度等于 180 , 1 弧度= ~ 57 17 44 . 在军事上经常使用角的密位制， 把一个圆角 6000 等分， 每一份是 1 密位，1 密位=。= 。=0.06。. 除了量角器以外，在工程测量中，还经常用经纬仪来测量角的大小.
经纬仪
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电子测角仪
钟表是我们生活中常见的物品，请你算出相应钟表上时针与分针构成的角.
120 例 3 计算： 90 30 0
（1）1.45 = = ; 解：1.45 = (1.45×60) =87 , 87 = (87×60) =5220 ; （2）1800 = = ; 解：1800 ÷60=30 , 30 ÷60=0.5 ; （3）58.37 = ; 解：0.37 = (0.37×60) =22.2 , 0.2 = (0.2 ×60) = 12 ; （4）15 32 24 = = . 解：24 ÷60=0.4 , (32 +0.4 ) ÷60=0.54 , 15 +0.54 = 15.54 , 15.54 = (15.54×3600) =55944 . 练习 1： （1）5400 = = ; （2）27.08 = ; （3）18 43 12 = = .
课 堂 小 结 知识方面：角的定义和表示方法，角的度量和换算. 思想方法：在结合实际生活情境抽象图形的过程中，发现了角的图形特征；在角 的知识的学习过程中，类比了线段、射线、直线的学习经验.
5 / 5课题 角（五）
教学目标
教学目标： 1． 理解补角的概念，掌握同角（等角）的补角相等的性质，并能运用 性质解决简单的数学问题； 2．在认识补角的过程中， 经历观察、画图、交流、说理等过程，学习用几 何语言有条理地表达； 3. 认识方位角，并能用方位角解决相关实际问题. 教学重点：补角的定义和性质的运用 教学难点：文字语言、图形语言与符号语言的相互转化。
教学过程
时 间 教学环 节 主要师生活动
5 复习 回顾 我们上节课学习了余角的定义和性质： 1.余角的概念 2.余角的性质
5 提出 问题 问题 图中的∠1 和∠2 有怎样的数量关系？ 思考： （1） 在上面的问题中的两个角有什么特殊的数量关系？ 满足这样的要求的两个角，你还能举出例子吗？
3 学习 新知 补角概念： 如果两个角的和等于 180 °（平角），就说这两个角互为补角，其 中一个角是另一个角的补角。 如图， 因为∠1 与∠2 互为补角， 所以∠1+∠2=180 ° . 反之， 因为∠1+∠2=180 ° , 所以∠1 与∠2 互为补角.
5 探究 性质 类比得出猜想： “等角的补角相等 ” 已知： ∠1 与∠2 互补， ∠3 与∠4 互补，且∠1= ∠3, 求证： ∠2= ∠4. 证明：因为∠1 与∠2 互补， 所以∠1+∠2=180 , 所以∠2=180 -∠1. 同理，因为∠3 与∠4 互补，
所以∠3+∠4=180 , 所以∠4=180 -∠3. 因为∠1= ∠3， 所以∠2= ∠4. 得到结论：等角的补角相等. 符号表示： 因为∠1+∠2=180 , ∠3+∠4=180 , 且∠1= ∠3， 所以∠2= ∠4. 特殊的，当∠1 与∠3 就是同一个角时，结论依然成立 得到结论：同角的补角相等. 符号表示： 因为∠1+∠2=90 ° , ∠1+∠3=90 ° , 所以∠2= ∠3. 得出性质：同角（等角）的补角相等.
10 应用 新知 例 1 一个角是 70 °39 ′ ，求它的补角. 例 2 ∠α的补角是它的 3 倍， ∠α是多少度？ 例 3 如图，两条直线相交，图中有哪些相等的角？说明理由。 例 4 一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？ 猜想：一个锐角的补角比这个角的余角大 90 . 请证明你的结论.
例5： 如图，货轮 O 在航行过程中，发现灯塔 A 在它南偏东 60 ° 的方向 上.同时，在它北偏东 40 ° , 南偏西 10 ° , 西北（即北偏西 45 度） 方向上又分别发现了客轮 B、货轮 C 和海岛 D.仿照表示灯塔方位的 方法，画出表示客轮 B、货轮 C 和海岛 D 方向的射线。
画图：
画法：以点 O 为顶点，表示正北方向的射线为角的一边画 40 ° 的 角，使它的另一边 OB 落在东与北之间，射线 OB 的方向就是北偏东 40 ° , 即客轮 B 所在的方向； 以点 O 为顶点，表示正南方向的射线为角的一边画 10 ° 的角，使 它的另一边 OC 落在西与南之间，射线 OC 的方向就是南偏西 10 ° , 即货轮 C 所在的方向； 以点 O 为顶点，表示正北方向的射线为角的一边画 45 ° 的角，使 它的另一边 OD 落在西与北之间，射线 OD 的方向就是西北方向（即 北偏东 45 ° ), 即海岛 D 所在的方向
2 课堂 小结 1.补角的概念； 2.补角的性质. 3.方位角的应用
课后 练习 1. 数学书第 138 页练习第 1 题. 2. 数学书第 139 页习题 4.3 第 8 题. 3. 数学书第 140 页习题 4.3 第 11 题. 4. 数学书第 140 页习题 4.3 第 12 题.课题 角(三)
教学目标
教学目标：1.理解角的平分线概念及三种语言表示； 2.会用量角器或折纸作出角的平分线； 3.能运用角平分线进行角度的相关计算和证明. 教学重点：角的平分线概念及三种语言表示； 教学难点：运用角平分线进行角度的相关计算和证明.
教学过程
教 学 环 节 主要师生活动 类比线段的中点，如图，如果∠1 = ∠2， 思考：射线 OB 与∠AOC 的位置关系？ 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角 射线，叫做这个角的平分线. 注意：角平分线是一条射线. 你能用符号表示图中每个角之间的关系吗？ 用法一：因为 OC 平分∠AOB 所以∠1 = ∠2 ＝ ∠AOB ∠AOB ＝2∠1 ＝2∠2 （角平分线定义） 用法二：因为∠1 = ∠2 或∠1 ＝ ∠AOB 或∠AOB ＝2∠1 所以 OC 平分∠AOB（角平分线定义） 的
类似角的平分线，还有角的三等分线，
(
D
C
B
) O A (
E
D
C
B
) O A
思考：如何能得到一个角的平分线呢？ 方法一:利用量角器画角分线 方法二:通过折纸作角平分线. 例 1 如图，已知 OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠BOC 的平分线， 若∠COD=25 , 求∠AOB 的度数. 解：因为射线 OC，OD 分别是∠AOB ， ∠BOC 的角平分线，
所以∠AOB=2∠BOC， ∠BOC=2∠COD， 因为∠COD=25 , 所以∠BOC=2∠COD=50 , ∠AOB=2∠BOC= 100 . B D C O A
例 2 如图， ∠AOB ＝128° , OC 在∠AOB 的内部， OD 平分∠AOC，OE 平分∠
BOC，求∠DOE 的度数. 解：因为 OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC， 所以 COD = AOC ， COE = BOC , E
B C D
O A
所以∠DOE=∠COD+∠COE= AOC+ BOC ,
因为∠AOB= 128 ° , 所以∠DOE= AOB = × 128。=64 °. 例 3 如图，∠AOB 是直角，∠BOC=α , OD 平 分∠AOC，OE 平分∠BOC，求∠DOE 的度数. 解：因为 OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC， 所以∠COD= AOC ， (
B
)E D C O A
∠COE= BOC , 所以∠DOE=∠COD-∠COE = AOC － COB = ( AOC - BOC)= AOB , 所以∠AOB=90 ° , 所以∠DOE= × 90 °=45 °.
例 4 如图，直线 AB ，CD 交于点 O ， ∠ BOC=50° , OE 平分∠BOC，OF 为 OE 的 反向延长线. （1）求∠2 ， ∠3 的度数； （2）OF 平分∠AOD 吗？ 解：（1）因为直线 AB ，CD 交于点 O， 所以∠COD= 180 ° , 因为∠BOC=50 ° , 所以∠2=∠COD-∠BOC = 180 ° -50 ° = 130 ° 因为 OE 平分∠BOC， 所以∠1= BOC = × 50 °=25 ° , 因为 OF 为 OE 的反向延长线， 所以∠EOF= 180 ° ,
所以∠3=∠EOF-∠1-∠2= 180 ° -25 ° -130 °=25 ° , （2）因为 AB 是直线， 所以∠AOB= 180 ° , 所以∠4=∠AOB-∠2-∠3= 180 ° -130 ° -25 °=25 ° , 所以∠4=∠3， 所以 OF 平分∠AOD.
课 堂 小 结 请学生谈谈这节课学习的体会和收获 知识： 角的平分线的定义及其三种语言表示 数学思想方法： 类比
课 后 拓 展 如图，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，已知任意三角形的内角和为 180° , 若
∠A=60° , 求∠O 的度数. 解：因为 BO 平分∠ABC， 所以∠1= ABC ， CO 平分∠ACB， ∠2= ACB ,
因为任意三角形的内角和为 180° , 所以∠A+∠ABC+∠ACB= 180 ° , ∠O+∠1+∠2= 180 ° , 因为∠A=60 ° , 所以∠ABC+∠ACB = 120 ° , 所以∠1+∠2= ABC + ACB = = × 120 °=60 ° ,
所以∠O= 180 ° -(∠1+∠2)=180 ° -60 °= 120 °.课题 角（四）
教学目标
教学目标： 1． 理解余角的概念，掌握同角（等角）的余角相等的性质，并能运用 性质解决简单的数学问题； 2．在认识余角的过程中， 经历观察、画图、交流、说理等过程，学习用几 何语言有条理地表达； 3. 在参与数学活动的过程，积极主动地参与问题的解决，提升学习数学的 乐趣。 教学重点：余角的定义和性质的运用 教学难点：在认识余角的过程中，经历观察、画图、交流、说理等过程，学 习有条理地表达。
教学过程
时 间 教学环 节 主要师生活动
引入 新知 教师和学生一起观察三角板，并引导学生计算两个锐角之和. 问题 1 图中的∠A 和∠B 有怎样的数量关系？
5 ∠A+∠B=90 °. 问题 2 观察图中的∠1 和∠2 有怎样的数量关系？ 思考： （1） 在上面的问题中所给的两个角，它们有什么特殊的数量关 系？ （2） 满足这样的要求的两个角，你还能举出例子吗？ 就给两个满足这种要求的角起个名字，叫作互为余角。
3 学 习 新知 余角概念： 如果两个角的和等于 90 °（直角），就说这两个角互为余角，即其 中一个角是另一个角的余角。 如图， 因为∠1 与∠2 互为余角， 所以∠1+∠2=90 ° . 反之， 因为∠1+∠2= 90 ° , 所以∠1 与∠2 互为余角.
5 探究 性质 问题 3 如图，已知∠1=35 ° , （1） ∠1 的余角是多少度？ （2）能试着画出∠1 的余角吗？ 思考： ∠1 与∠2 互为余角， ∠1 与∠3 互为余角， 那么∠2 与∠3 有怎样的数量关系呢？ 已知： ∠1 与∠2 互余， ∠1 与∠3 互余 求证： ∠2= ∠3 证明：因为∠1 与∠2 互余, 所以∠1+∠2= 90 °, 所以∠2=90 ° -∠1. 同理，因为∠1 与∠3 互余, 所以∠1+∠3=90 ° , 所以∠3=90 ° -∠1. 由等式性质可得 ∠2= ∠3. 得到性质：同角的余角相等. 表示： 因为∠1+∠2=90 ° , ∠1+∠3=90 ° , 所以∠2= ∠3. 问题：如果∠1+∠2=90 ° , ∠3+∠4=90 ° , 且∠1= ∠3，那么∠2= ∠4 吗？ 证明你的结论。 同理，可以得到性质：等角的余角相等. 表示： 因为∠1+∠2=90 ° , ∠3+∠4=90 ° , 且∠1= ∠3， 所以∠2= ∠4. 性质：同角（等角）的余角相等.
10 应用 新知 例 1 已知∠“=53 27 ′ ， ∠“与∠β互为余角，求∠β的度数. 例 2 一个角比它的余角大 10 ° , 求这个角的度数. 例 3 如图，点 A,O,B 在同一直线上射线 OD 和射线 OE 分别平分∠ AOC 和∠BOC， （1）求∠DOE 的度数； （2）图中哪些角互为余角 D C E A · · · B O
2 课堂 小结 1.余角的概念； 2. 余角的性质.
5 课 后 思考 已知如图，△ABC 中， ∠ACB=90 ° , ∠ADC=90 ° , ∠1=55 ° , 求∠B 的度数
(
2
)C 1 A D B
图中互余的角有哪些 相等的角有哪些
课后 练习 1.类比余角的学习， 自学补角部分内容，做好自学笔记； 2. 数学书第 140 页：习题 13（1）. 互余且相等的两个角，各是多少度？ 3.已知，AOB 是直线， ∠AOC= ∠EOD=90 ° , 写出图中互余的角
A (
D
) (
E
) (
2
1
)C (
3
4
) (
B
)O