四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试数学（文）试题

遂宁市2015届高三第二次诊断考试数学文试题
一、选择题
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各
5名学生的听力成绩（单位：分）.
甲组
乙组
9
0
9
5
1
3
8
7
1
2
7
已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则、的值分别为
A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7
3．已知复数满足：（是虚数单位），则的虚部为
A． B． C． D．
4．为了得到函数的图象，可以将函数 的图象
A．向右平移个单位长 B．向右平移个单位长
C．向左平移个单位长 D．向左平移个单位长
5．设、是实数，则“”是“”的
A．充分必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知向量，，若，则实数的值为
A．1 B．
C．2 D．
7．在区间上随机选取一个数M，
不变执行如右图所示的程序框图，且
输入的值为1，然后输出的值为N，
则的概率为
A． B．
C． D．
8．如右下图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
9．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若，则=
A．14 B．16 C．18 D．20
10．函数的定义域为D，若函数满足：（1）在D上为单调函数；（2）存在区间，使得在上的值域为，则称函数为“取半函数”。若，且为“取半函数”，则的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）
11．圆心在原点且与直线相切的圆的方程为 ▲
12．已知偶函数在单调递减，且，
若，则的取值范围是 ▲
13．已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于 ▲
14．如右图，为测量坡高，选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点。从A点测得点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得。已知坡高米，则坡高 ▲ 米
15．若函数满足（其中不同时为0），则称函数为“准奇函数”，称点为函数的“中心点”。现有如下命题：
①函数是准奇函数；
②函数是准奇函数；
③若准奇函数在上的“中心点”为，则函数为上的奇函数；
④已知函数是准奇函数，则它的“中心点”为；
其中正确的命题是 ▲ 。（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。答在答题卷指定位置。
16．(本小题满分12分)
已知函数，且满足，
（1）求的值；
（2求的最大值。
▲
17．(本小题满分I2分)
某学校有男老师45名，女老师15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组。
（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个学科攻关小组决定选出2名老师做某项实验，方法是先从小组里选出1名老师做实验，该老师做完后，再从小组内剩下的老师中选1名做实验，求选出的2名老师中恰有1名女老师的概率；
▲
18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，平面ABCD， ，，E为BC中点。
（1）求证：平面平面PDE；
（2）线段PC上是否存在一点F，使PA//平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.
▲
19．（本小题满分12分）
已知数列为等差数列，其中
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，为数列的前项和，当不等式（）恒成立时，求实数的取值范围。
▲
20．(本小题满分13分)
已知定点，，定直线：，动点与点的距离是它到直线的距离的.设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、与直线分别相交于、两点。
（1）求的方程；
（2）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由。
▲
21．(本小题满分14分)
已知函数，（为常数，是自然对数的底数），为的导函数，且，
（1）求的值；
（2）对任意证明：；
（3）若对所有的≥0，都有≥ax成立，求实数a的取值范围。
▲
遂宁市高中2015届第二次诊断性考试
数学（文科）参考答案及评分意见
一、选择题：每小题5分，满分50分
二、填空题：每小题5分，满分25分
11． 12．（0，4） 13．4 14．75 15．①③④
三、解答题：满分75分
16．(本小题满分12分)
解：（1）因为，所以，又，
所以 ................3分
所以。
..............6分
（2），因为
所以，从而当时取得最大值 ...............12分
18．（本小题满分12分）
证明: (1)连结
所以
为中点
所以 ……………3分
又因为平面,
所以
因为 ……………4分
所以平面 ……………5分
因为平面,所以平面平面 ……………6分
(2)当点位于三分之一分点(靠近点)时, 平面 ……………7分
连结交于点
,所以相似于
又因为，所以
从而在中, ……10分
而
所以 ………11分
而平面
平面
所以平面 ………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）∵
所以 ...............5分
（2）∵数列满足
∴，
∴ ...............8分
要使不等式（）恒成立，只需不等式
恒成立即可 ...............10分
∵，等号在时取得，∴ ...............12分
20．(本小题满分13分)
解：（1），设为E上任意一点，依题意有
∴ 。 ..............5分
21．(本小题满分14分)
解：（1） 所以 .............3分
（2）证明：令，，当，
所以当时单调递增，从而有；
所以，
所以当 ..............8分
（3）令，
则 ，令解得
（i）当时，所以，从而对所有，;在 上是增函数.
故有
即当时，对于所有，都有.
（ii）当，
，
即，
所以，当
综上，的取值范围是 ..............14分