2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习（含解析）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知关于的不等式的解集为，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）
A．，方程有无限组整数解
B．，方程有且只有两组整数解
C．，方程至少有一组整数解
D．，方程至多有有限组整数解
6．若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
7．“关于x的不等式的解集为R”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．已知．给出下列四个命题：
①对任意实数x，存在k，使得； ②对任意k，存在实数x，使得；
③对任意实数k，x，均有成立； ④对任意实数k，x，均有成立．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
二、多选题
9．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
10．设区间的长度为.已知一元二次不等式的解集的区间长度为l，则（ ）
A．当时， B．l的最小值为4
C．当时， D．l的最大值为4
11．二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（ ）

A． B．
C． D．当时，
12．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（ ）
A．18 B．15 C．16 D．20
三、填空题
13．关于的不等式的解集为，则 .
14．关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则不等式的所有整数解的和为 ．
15．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 .

16．已知关于的一元二次不等式的解集为，且，则的最小值为 ；的最小值为 .
四、解答题
17．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围；
(3)若，求关于的不等式的解集.
18．设．
(1)若不等式有实数解，试求实数的取值范围；
(2)当时，试解关于的不等式.
19．已知，关于x的不等式的解集为．
(1)求m，n的值；
(2)正实数a，b满足，求的最小值.
20．某公司生产某种产品，其年产量为x万件时利润为万元.
(1)当时，年利润为，若公司生产量年利润不低于400万时，求生产量x的范围；
(2)在（1）的条件下，当时，年利润为.求公司年利润的最大值.
21．已知函数，．
(1)恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，求不等式的解集；
(3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据一元二次函数的图象和性质求解即可.
【详解】因为表示对称轴为，开口向下的抛物线，
所以当时取最大值，
故选：C
2．A
【分析】利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】因为，所以，
则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
3．C
【分析】根据的解集为得到，是方程点的两个根，然后根据韦达定理和得到，最后利用基本不等式求最值即可.
【详解】由题意得，是方程点的两个根，所以，，
，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：C.
4．C
【分析】根据不动点的定义列出方程，然后根据二次函数零点的分布列不等式求解即可.
【详解】函数在区间上恰有两个不同的不动点，
即在区间上恰有两个解，
即在区间上恰有两个零点，
所以或者，
解得：或，
故选：C
5．C
【分析】由，结合整数的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可.
【详解】选项A，当时，由得，
解得，
，都是方程的整数解，
故，方程有无限组整数解. A项判断正确；
选项B，当时，由，
由，则，，
又，
由与，仅有这种整数分解的方法，
所以（舍），或；
解得 或，故方程有且仅有两组整数解，
即，方程有且只有两组整数解，故B项判断正确；
选项C，当时，由，，，，
仅有这种整数分解的方法，又，
所以（舍），或（舍），
或①，或②；
方程组①消得，，，无整数解；
方程组②消得，，此方程无解；
故当时，方程无整数解，所以选项C判断不正确；
选项D，若关于x，y的方程不存在整数解，
则满足至多有有限组整数解；
若关于x，y的方程存在整数解．
由，则，
，整数至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为，
由，
得，
消得，，，
对于的每一个确定取值，此关于的二次方程最多有个整数解，
即方程组至多有组整数解；
故，方程至多有组整数解，故D项判断正确.
故选：C.
6．D
【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合.
【详解】当时，不等式化为对恒成立；
当，要使得不等式对恒成立，则，解得
综上，a的取值集合为.
故选：D.
7．B
【分析】将“关于x的不等式的解集为R”转化为“，在R上恒成立”，再分类讨论，求参即可.
【详解】因为关于x的不等式的解集为R，
即，在R上恒成立，
所以当时恒成立，则符合；
当时解得，
综上，，
所以“关于x的不等式的解集为R”的充要条件是，
故选：B.
8．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式及二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】令，
所以，
因为二次函数图像为开口向上的抛物线，
所以对任意，总存在使得，故②正确，④错误；
因为当时，，
所以方程，无解，
所以恒成立，故①正确；
因为当时，，
所以方程，有一根或两根，
所以对任意，不恒成立，故③错误．
故选：A．
9．AC
【分析】由题意可得是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系表示出，再逐个分析判断即可.
【详解】关于x的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为－3、4，由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
10．BC
【分析】利用一元二次不等式的解法，求得不等式的解集，再利用区间的长度为求解.
【详解】解：当时，一元二次不等式为 ，解得，
则 ，故A错误，C正确；
由一元二次不等式，解得 ，则 ，
由对勾函数的性质得，故B正确，D错误，
故选：BC
11．ABC
【分析】利用二次函数的图像和性质逐个选项判断即可.
【详解】根据图像可得，，，A正确；
由对称性和时，，所以时，，
即，，
当时，，BC正确，D错误.
故选：ABC
12．ABC
【分析】由实际问题列出不等式，解出不等式的解集，逐项判断即可.
【详解】设这批台灯的售价为x（元），
则为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，
所以，化简得：,
解得：.
故选：ABC.
13．2
【分析】由一元二次不等式的解集知是方程的两个根，结合根与系数关系求参数，即可得答案.
【详解】由题设是方程的两个根，则，
所以.
故答案为：2
14．
【分析】根据题意，先确定，再利用0为其中的一个解，分析a可取的值，据此求出不等式的整数解，相加可得答案．
【详解】时，不等式，不满足只有有限个整数解.
时，设，函数图象为抛物线．
对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下，才能满足整数解只有有限个，所以．
因为0为其中的一个解，所以，解得，
又因为，所以，
当时不等式为，解不等式得，
因为x为整数，所以不等式解集为
综上知，全部不等式的整数解的和为．
故答案为：．
15．
【分析】根据一元二次函数的图象与的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解.
【详解】由二次函数的图象，可得函数的图象与的交点的横坐标分别为，
即方程的两根分别为
结合函数的图象，可得不等式的解集为.
故答案为：.
16． 9 /
【分析】根据题意转化为一元二次方程有唯一的实根，且，得到，再对和化简，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意可知，一元二次方程有唯一的实根，
所以，所以，
因为，
则，
当且仅当，即时等号成立, 的最小值为9.
,
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以，
的最小值为.
故答案为：9；.
17．(1)
(2)
(3)答案见详解
【分析】（1）代入，直接解一元二次不等式即可；
（2）由题意可得对任意恒成立，分和两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题分析求解；
（3）整理可得，分类讨论最高项系数以及根的大小解不等式.
【详解】（1）若，则，整理的，
解得，所以不等式的解集为.
（2）因为，则等价于，
即对任意恒成立，
若，即时，则，符合题意；
若，即时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围.
（3）因为，
（i）若，则，解得，即不等式解集为；
（ⅱ）若，令，解得或，
若，不等式解集为；
若，则，
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
综上所述：若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若时，不等式解集为；
若时，不等式解集为；
若时，不等式解集为.
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意不等式有实数解，分、、三种情况讨论，当时需，即可求出参数的取值范围；
（2）原不等式可化为，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则符合题意.
当时，取，则成立，符合题意.
当时，二次函数的图像开口向下，
要有解，当且仅当，所以.
综上，实数的取值范围是.
（2）不等式，
因为，所以不等式可化为，
当，即时，不等式无解；
当，即时，；
当，即时，；
综上， 当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
19．(1)
(2)18
【分析】（1）根据不等式的解集，利用基本不等式即可求解.
（2）先计算的值，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】（1）根据题意，不等式的解集为，
即方程的两根为和10，
由韦达定理得，解得，
故.
（2）正实数a，b满足，即，
所以
当且仅当,即时等号成立.
故的最小值为18．
20．(1)
(2)480万元
【分析】（1）令，解之即可；
（2）根据二次函数的性质和基本不等式即可得解.
【详解】（1）当时，令，
即，解得：，
所以生产量x的范围是；
（2）当时，，
则，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
则此时最大值为万元，
综上，公司年利润的最大值为480万元.
21．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）将不等式化为；当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果；
（2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果；
（3）由基本不等式可求解得，根据题意，将题中条件转化为有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由求解的取值范围.
【详解】（1）由得恒成立，恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）当时，；
令，解得：，；
当，即时，恒成立，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3）当时，令，
当且仅当时取等号，
依题意可得关于的方程有四个不等实根，
令，则转化为存在使得关于的方程，
即有两个不同正根，
则 ，由第二个与第三个不等式可得，
由知，存在使不等式成立，
把看成主元代入，故，即，
解得或，综合可得，
故实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号四个方面分析．
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