3.1函数的概念及其表示 同步练习（含解析）

3.1函数的概念及其表示同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．函数的图象与直线的公共点数目是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知，其中，若，则正实数a的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
6．已知函数则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
7．若，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若函数的值域为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．0
10．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
11．已知函数，则（ ）
A．
B．若，则或
C．函数在上单调递减
D．函数在上的值域为
12．下列叙述中正确的是（ ）
A．设，则“且”是“”的必要不充分条件
B．“”是“关于的一元二次方程有两个不等实数根”的充分不必要条件
C．命题“”的否定是：“”
D．函数的定义域为的子集，值域，则满足条件的有3个
三、填空题
13．已知是一次函数，若，则的解析式为 .
14．已知函数，，.设集合，若中的所有点围成的平面区域的面积为，则的最小值为 .
15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
16．已知函数.若存在，对于任意的，，则a的一个取值可以是 ；满足条件的a值共有 个.
四、问答题
17．已知数.
(1)求函数的定义域
(2)求；
(3)已知，求的值.
18．已知函数．
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
19．设函数在其图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的稳定点．
(1)求函数的稳定点；
(2)若函数有两个关于原点对称的稳定点A，B，求a的值及函数的稳定点；
(3)已知函数，．若，函数恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围．
20．解答下面两题
(1)已知，求的函数解析式；
(2)已知函数是一次函数，若，求
21．（1）已知，求函数的解析式.
（2）已知函数满足，求函数的解析式.
22．小王大学毕业后，决定自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流利成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】由的定义域求出，再令，解得即可.
【详解】函数的定义域为，即，所以，
令，解得，所以函数的定义域为.
故选：A
2．D
【分析】函数相等要求定义域，解析式，值域都相等.
【详解】A、B、C选项中的定义域为R，而A选项的定义域为，
B、C选项中的定义域为，
所以A、B、C选项中两个函数的定义域不一样，不是同一函数，故A、B、C选项都错误；
对于 D选项，定义域都为，解析式，值域都相同，D正确.
故选：D
3．AB
【分析】根据函数的定义判断公共点数目即可.
【详解】因为函数，定义域内的每一个值都有唯一对应的值，
若不在定义域内，则图象与直线无公共点；
若在定义域内，则图象与直线有一个公共点.
综上所述，函数的图象与直线的公共点数目是0或1.
故选：AB.
4．B
【分析】根据题意得出分段函数，分类解不等式即可.
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得或（舍去）；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，因为为正实数，所以此种情况无解.
综上正实数a的取值范围为：或.
故选：B.
5．C
【分析】通过验证定义域和对应法则，判断两个函数是否为同一函数.
【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；
②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；
③与的定义域都是，并且定义域内，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数；
所以是同一函数的是③④．
故选：C．
6．B
【分析】根据的值及函数的解析式，代入计算可得答案．
【详解】由题意得．
故选：B．
7．A
【分析】分离常数后求其值域即可.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以，所以函数的值域为.
故选：A.
8．C
【分析】根据解析式求函数值即可.
【详解】，所以.
故选：C.
9．BCD
【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】①时，，值域为，满足题意；
②时，若的值域为，
则；
综上，．
故选：BCD
10．CD
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,的定义域为的定义域为，两函数的定义域不相同，
所以不是同一个函数，故A错误；
对于B，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，
因为，所以两函数的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故B错误；
对于C，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，
所以是同一个函数，故C正确；
对于D，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同，
所以两函数是同一个函数，故D正确.
故选:CD.
11．AD
【分析】根据分段函数的定义及性质依次判断各选项即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，由，若，则，解得，不合题意，
若，则，解得，故B错误；
对C，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对D，当时，的值域是，
当时，的值域为，
所以函数在上的值域为，故D正确.
故选：AD.
12．BD
【分析】根据充分必要条件的定义判断AB，由命题的否定的定义判断C，根据值域求出定义域可判断D．
【详解】对A，且时一定有，但时，
且不一定成立，如，A错误；
对B，关于的一元二次方程有两个不等实数根，
即，
所以能推出“关于的一元二次方程有两个不等实数根”，
当时有两个不等实根，不能推出，所以是“关于的一元二次方程有两个不等实数根”的充分不必要条件，B正确；
对C，全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意，则”的否定是“存在，”，C错误；
对D，由，可得，所以函数的定义域可为或或，D正确.
故选：BD
13．或
【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法求解即得.
【详解】依题意，设，于是，
而，因此，解得或，
所以的解析式为或.
故答案为：或
14．2
【分析】设,则面积为，再分情况讨论二次函数的对称轴与区间的关系，求出的值域，并表示出S，即可求出S的最小值.
【详解】显然，
当，即时，在上单调递减，，
而，，
即有，此时，
；
当时，即时，在上单调递增，则有，
此时, ；
当时, 在上单调递减, 在上单调递增，
且，，则有，
此时, ；
当时, 在上单调递减，在上单调递增，
且，，则有，
此时, ，
综上所述，，所以S的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解决问题的关键在于讨论二次函数的对称轴与所给的区间的关系，得出二次函数在该区间上的值域求解.
15．
【分析】根据复合函数的定义域的性质进行求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以满足，即，
又函数有意义，得，解得.
所以函数的定义域为.
故答案为：
16． （答其中一个即可） 4
【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再由函数图像具有对性逐段分析求出即可.
【详解】任意的，，即函数图像关于对称，
当时，，当时，，
所以，当或时，函数的图象关于直线对称，
当时，，
图像具有对称性，则对应函数的中间部分也要对称，即应恒为常数，
即当且仅当，即时，
函数的图象关于直线对称，
当时，，
当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，
当时，，
当且仅当，即时，但，取不到，
故不存在直线，使得函数的图象关于直线对称，
则当时，对于任意的，成立，此时，所以a的一个取值可以是（答其中人一个即可），满足条件的a值共有4个.
故答案为：（答其中一个即可） 4
17．(1)或
(2)，
(3)
【分析】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案.
（2）根据函数的解析式求得正确答案.
（3）根据已知条件解方程来求得.
【详解】（1）由解析式知：，可得且，
故定义域为或，
（2），
.
（3）由，，
所以，显然在定义域内，
所以.
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）将问题转化为时，恒成立，分类讨论的值，即可得出范围；
（2）分为3种情况讨论，即，，，分别求解不等式即可．
【详解】（1）∵函数的定义域为，
∴时，恒成立．
当时，不等式化为：，解得，不符合题意，舍去；
当时，则时，恒成立，
所以，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
（2）1）当时，关于的不等式化为：，
对进一步分类讨论：
①时，，则不等式的解集为；
②时，，则不等式的解集为；
③时，，则不等式的解集为．
2）当时，关于的不等式化为，
则不等式的解集为
3）当时，关于的不等式化为：，
则不等式的解集为．
综上所述，，不等式的解集为；
，不等式的解集为；
，不等式的解集为；
，不等式的解集为，
，不等式的解集为．
19．(1)
(2)；，，
(3)
【分析】（1）根据定义直接列出方程求解；
（2）根据题意知方程有两个互为相反数的根，由根与系数关系求解即可；
（3）根据题意，方程恒有两个不相等实数根，利用判别式恒成立求解即可.
【详解】（1）由题意可知，得，故函数的稳定点为
（2）设点是稳定点，则有即，
由题意知方程有两个根，且这两个根互为相反数．故，且，
解得．
得，则稳定点为，
（3）对任意实数b，函数恒有两个相异的稳定点，
即恒有两个不相等实数根，
即有两不等实数根，
恒成立，
令，视作关于b的不等式恒成立，
所以，解得．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）用换元法解方程即可；
（2）用待定系数法列方程并解出即可.
【详解】（1）令，则，
代入原式有，
所以.
（2）由题意可设，
则
又，
所以，
即
解得或
所以或.
21．（1）；（2）
【分析】（1）利用换元法或配凑法运算即可得解.
（2）利用方程组法运算即可得解.
【详解】（1）解法一（换元法）：令, 则，
则有，
所以函数的解析式为.
解法二（配凑法）：.
因为，所以函数的解析式为.
注：未写范围扣2分.
（2）解：因为 ①
所以 ②
联立①②式消去可解得：.
22．(1)
(2)年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元
【分析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分和两种情况得到与的解析式.
（2）当时，借助二次函数求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，然后比较，得到结果.
【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则万件商品销售收入为万元，
当时，，
当时，，
综上所述，
（2）由（1）得
则当时，，
所以当时，取得最大值9；
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值15；
因为，
所以，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
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