3.2函数的基本性质 同步练习（含解析）

3.2函数的基本性质同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数是偶函数，且在区间上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
2．函数，若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．为上的偶函数，且，当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
8．“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．为上的减函数
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．值域为
C．若，且，则
D．当时，恒有成立
11．如图所示的是一元二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为直线，则以下选项中正确的为（ ）

A． B．
C． D．
12．已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．
C．不等式的解集为
D．
三、填空题
13．若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为 .
14．设函数，．用表示，中的较大者，记为，则的最小值 ．
15．设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则 ．
16．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ，当时， .
17．已知是定义在上的单调递增函数，且.
(1)解不等式；
(2)若对和恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数，都是定义在上的函数，且，在上单调递增.在上单调递增，，且对，，都有.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
19．函数的图象过点
(1)求实数的值，并判断函数的奇偶性；
(2)利用单调性定义证明在区间上是增函数；
(3)直接写出函数的单调递减区间
20．已知函数．
(1)解不等式；
(2)若，满足，且，求证：．
21．已知函数.
(1)若为奇函数，求实数a的值；
(2)在（1）的条件下，试判断在上的单调性并用定义法给出证明，写出此时的值域.
22．电动汽车革命已经成为全球汽车产业发展的新趋势.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2018年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系；（利润=销售额-成本）
(2)2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解.
【详解】由于是偶函数，所以，
又在上单调递减，所以，进而可得，
故选：A
2．A
【分析】确定函数单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案.
【详解】因为对任意，（），都有成立，所以是减函数，
则，解得.
故选：A.
3．A
【分析】根据函数为偶函数，得到，，再利用时，是增函数求解.
【详解】解：因为函数为偶函数，
所以，，
因为当时，是增函数，又，
所以，即，
故选：A.
4．A
【分析】根据函数的奇偶性与函数值的正负确定选项.
【详解】设，则，
故为奇函数，A，D符合，排除B，C.
又，所以当时， 恒成立，故A满足，D排除.
故选：A
5．A
【分析】根据题意由求解.
【详解】解：因为为上的偶函数，且，
所以，
又因为时，，
所以，
所以，
故选：A
6．D
【分析】根据函数奇偶性，将所求不等式化为；再由函数的单调性，以及，即可求出结果.
【详解】∵为偶函数，∴，
∴可转化为．
而在上是减函数，且，
故时，
或，
故的解集为．
故选：D.
7．A
【分析】根据得到，，然后根据单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以，，
因为在上单调递减，所以.
故选：A.
8．D
【分析】利用复合型函数的单调性求参数范围，结合充分、必要条件的定义确定一个充分不必要条件即可.
【详解】解：设，则该函数开口向上且对称轴为，
所以在上递增，
又在定义域上递增，要使在上单调递增，
则，即，
且，
综上，是函数在上单调递增的充要条件，
显然D是充分不必要条件，A、B、C都不是.
故选：D.
9．ACD
【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，经过变换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确.
【详解】对于A，由题可知，故，故A正确；
对于B，由题可知，，故B错误；
对于C，，故，为奇函数，故C正确；
对于D，当时，，
，
是上的减函数，故D正确.
故选：ACD
10．AC
【分析】应用奇偶性定义判断A；在上，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断B；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将代入判断D.
【详解】由解析式知：函数定义域为，且，
所以为奇函数，A对；
当时，令，当且仅当时等号成立，
由对勾函数性质知：在上递减，在上递增，且值域为，
而在上递增，故在上递减，在上递增，且，
由奇函数的对称性知：在上递增，在上递减，且，
所以值域为，B错；
由，若且，
所以，故，当且仅当时等号成立，
而时，故等号不成立，所以，C对；
由，即时，D错；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据解析式推导出，进而得到为关键.
11．BCD
【分析】根据题意，由二次函数的图像与性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】结合图像，当时，，即，故A错误；
因为图像与轴交于两点，所以，即，故B正确；
因为抛物线过点，对称轴为直线，则抛物线与轴另一个交点为，于是有，故C正确；
对称轴为，即，所以，
根据抛物线开口向下，知，则，即，故D正确．
故选：BCD．
12．AB
【分析】根据奇函数的定义，并结合条件，即可判断A；根据奇函数的性质求的值，即可判断B；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式，判断C；根据奇函数的性质求和，判断D.
【详解】对于A中，令，可得，所以，
令，得到，即，
所以为奇函数，故A正确；
对于B中，因为为奇函数，所以，故B正确；
对于C中，设，可得，
所以，
又因为，所以，所以，即，
所以在R上单调递增，因为，所以，由，可得，
所以，所以，得到，
所以的解集为，所以C错误；
对于D中，因为为奇函数，所以，
所以，
又，故，所以D错误.
故选：AB
13．
【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】不妨设，则，
由，得，则，
构造函数，则，，
所以函数在上单调递减，
因为为偶函数，所以，
则，
所以函数为偶函数，且函数的定义域为，
由，得，即，
所以，解得且，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数.
14．
【分析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值.
【详解】因为是一次函数，且单调递增，
开口向上，对称轴为，
令，解得或，
作出的图象（实线部分）如图所示，

由图象可知，当时，有最小值，此时，
故答案为：.
15．
【分析】根据函数的奇偶性，先求得，然后求得.
【详解】因为是偶函数，所以①，
因为是奇函数，所以②，
令，由①得：，
由②得：，
因为，所以，
令，由②得：，
所以当时，，
.
故答案为：
16．
【分析】根据题意结合奇函数的定义分析求解.
【详解】由题意可得：；
当时，则，
所以；
故答案为：；.
17．(1)解集为
(2)
【分析】（1）由，不等式，化为，结合单调性，即可求；
（2） 恒成立问题较为最值问题，即在恒成立，进而转化为求在恒成立，对和讨论即可.
【详解】（1）是定义在上的单调递增函数，且，
则，即.
有,解得，
故所求解集为.
（2）在上单调递增，
当时，.
问题转化为，
即，对成立.
接下来求的取值范围.
设，
①若，则，对成立；
②若，则是关于的一次函数，要使，对成立，必须，且，
或.
或或，即的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用反证法，结合函数的单调性证得，从而得解；
（2）利用赋值法证得是奇函数，从而将问题转化为解不等式，再分类讨论即可得解.
【详解】（1）因为在上恒成立，则，
假设存在，使得，
因为在上单调递增，
若，则，不满足题意；
若，则，不满足题意；
所以假设不成立，即，所以对任意，.
（2）因为，
令，则，所以，
令，则，故，
又是定义在上的函数，所以是奇函数，则，
由（1）知，
所以等价于，
又在上单调递增，，
则在上单调递增，，
所以当时，，则，故；
综上：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用反证法，结合单调性证得，从而得到，从而得解.
19．(1)，为奇函数
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）代入点，求得，再利用奇函数的定义进行判断即可；
（2）利用单调性的定义，结合作差法即可得证；
（3）结合（2）中的结论与的奇偶性即可得解.
【详解】（1）因为的图象过点，
所以，则.
此时，则为奇函数，理由如下：
易知的定义域为，关于原点对称，
又，则，所以，
所以是奇函数．
（2）取任意，
则，
又，，，所以，
所以，即，
即在区间上是增函数.
（3）由（2）易知，当时，，
所以在上单调递减，
又是奇函数，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的单调递减区间为，.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分段讨论x的取值范围，化简，分别解一元二次不等式，即可得答案；
（2）作出函数大致图象，结合图像确定的范围，讨论当，成立；时，转化为证明，则可构造函数，，利用其单调性证明结论.
【详解】（1）由题意，，
①，不等式即，
，
②，不等式即，；
综上，.
（2）函数大致图象如图，

当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
∴若，满足，则，
由图象知，
①若，则显然；
②若，要证明，则要证，
注意到，，且在递减，
则可证明，
∵，则可证明，
构造函数，，则，
，，
，∵，，，∴，
∴，∴在上单调递减，
∵，∴时，，即，
∴，从而得证．
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于证明；解答时利用函数的图像确定的范围，再结合范围分类讨论。进而构造函数，利用函数的单调性解决问题.
21．(1)1
(2)单调递增，证明见解析，
【分析】（1）利用函数为奇函数的性质求解即可；
（2）根据函数单调性的定义证明并利用单调性求值域.
【详解】（1）因为，定义域为，且为奇函数，
所以，
所以，
即，解得.
（2）由（1）知，，在上单调递增，
证明如下：
设，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
由的单调性可知，，即，
所以的值域为.
22．(1)
(2)当2018年产量为100百辆时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元
【分析】（1）利用题中给定分段函数及利润等于销售额减去成本即可求解；
（2）利用二次函数及基本不等式求出各段的最大值，再比较大小即可求解.
【详解】（1）根据题意，当时，
；
当时，；
故；
（2）根据题意，当时，，
当时，；
当时，，
当且仅当时等号成立，则有；
由，故；
故当时，即当2018年产量为为100百辆时，
该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元.
答案第1页，共2页
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