3.3幂函数 同步练习（含解析）

3.3幂函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，下列解析式中能用来造同族函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数在上单调递减，则函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
二、多选题
9．下列函数既是定义域上的增函数又是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A． B．恒过定点
C．若时， D．若时，关于轴对称
11．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．函数表示幂函数
C．若表示递增的幂函数，则
D．幂函数的图像都过点，
12．下列四个命题中真命题为（ ）
A．
B．函数是幂函数
C．为28的约数
D．对实数m，命题．命题．则是的必要不充分条件
三、填空题
13．已知幂函数的图象经过点，则 ．
14．已知幂函数的图像过点，且，则实数的取值范围是 .
15．设a、b、c是实数，对于下列命题：①如果，那么，其中是正整数；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，其中是正整数；⑤如果，那么；⑥如果，那么.其中真命题的序号为 .
16．已知幂函数的图象经过点 ，那么的解析式为 ；不等式的解集为 .
17．已知幂函数．
(1)求的解析式；
(2)若图象不经过坐标原点，判断奇偶性并证明；
(3)若图象经过坐标原点，解不等式．
18．已知幂函数的图象经过点，函数.
(1)求函数的定义域，并判断它的奇偶性；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明.
19．已知幂函数在上单调递增.
(1)求的解析式及其值域；
(2)若，求的取值范围.
20．已知幂函数为偶函数．
(1)求幂函数的解析式，判断在上的单调性，并用定义证明；
(2)解不等式．
21．已知幂函数在上是增函数，函数为偶函数，且当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)求当时，函数的解析式．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据初等函数的性质，结合奇偶性的定义与判定，以及初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为定义域上的偶函数，
再由幂函数的性质，可得函数在为减函数，所以A正确；
对于B中，函数，可得函数为定义域上的奇函数，所以B不正确；
对于C中，函数在为单调增函数，所以C错误；
对于D中，函数的定义域，其中定义域不关于原点对称，
所以为非奇非偶函数，所以D不正确.
故选：A.
2．C
【分析】根据幂函数的定义和单调性列方程和不等式，然后求解即可.
【详解】因为幂函数在区间上单调递增，所以，
解得.
故选：C.
3．D
【分析】利用函数的定义域和值域的概念求解.
【详解】对A，由反比例函数的图像性质可知，的值域确定时，定义域也唯一确定，
所以函数不能用来造同族函数，A错误；
对B，由正比例函数的图像性质可知，的值域确定时，定义域也唯一确定，
所以函数不能用来造同族函数，B错误；
对C，由幂函数的图像性质可知，的值域确定时，定义域也唯一确定，
所以函数不能用来造同族函数，C错误；
对D，二次函数在上值域相同，
所以二次函数能用来造同族函数；
故选:D.
4．D
【分析】由已知求得，代入得出的解析式以及单调性，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，解得，
所以，，.
所以，在区间上单调递增，
所以，在处取得最小值.
故选：D.
5．B
【分析】首先根据直线过定点排除选项，再根据直线斜率确定的范围，进而判断选项即可.
【详解】由于恒过点，故排除A、D选项；
又观察B，C选项中的直线斜率为正，即，
所以经过二、四象限，B选项符合要求.
故选：B
6．D
【分析】先将点代入，解得，再利用幂函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，，解得，，
故，其定义域为，
所以在上单调递减，
因为，
所以为偶函数，
所以，
所以由，得，
所以，所以或，解得，或．
故的取值范围为．
故选：D．
7．C
【分析】根据函数单调性及，比较出大小关系.
【详解】因为，所以在上单调递增，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
8．B
【分析】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小关系即可
【详解】已知幂函数经过点，可得：，解得：.
即，易知在上为单调递减函数.
由于，可得：，即；
又因为，，可得：，即；
综上所述：.
故选：B
9．BD
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性对各个选项判断即可.
【详解】对于A，的定义域是，，所以是定义域上的偶函数，不满足题意；
对于B，的定义域为，，所以在定义域上是奇函数，且是增函数，满足题意；

对于C，反比例函数在定义域上是奇函数，且在区间和上都是增函数，
但不能说函数在定义域上是增函数，所以不满足题意；
对于D，，在定义域上是奇函数，且是增函数，满足题意．

故选：BD．
10．ABD
【分析】根据幂函数的定义可求得的值判断出；根据幂函数的性质可判断；根据幂函数的单调性可判断；根据函数的奇偶性定义可判断.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，则，故正确；
根据幂函数的图象恒过定点，故正确；
当时，，故函数上单调递增，
则，故错误；
当时，，定义域为，且，
故为偶函数，关于轴对称，故正确.
故选：
11．AC
【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；
对于B，函数不是幂函数，B错误；
对于C，是幂函数，则，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意，
当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；
对于D，幂函数不过点，D错误.
故选：AC
12．ACD
【分析】利用配方法以及逻辑语概念可知A正确；由幂函数定义可知B错误；28的约数有等，可知C正确；求出使得命题成立的的取值范围，即可得出D正确.
【详解】对于A，易知，即可知对于恒成立，所以A正确；
对于B，根据幂函数定义可知幂函数的系数必须为1，而的系数为2，所以函数不是幂函数，即B错误；
对于C，易知等都是28的约数，因此为28的约数，即C正确；
对于D，若命题成立可得，解得，显然，
即，所以是的必要不充分条件，即D正确.
故选：ACD
13．/
【分析】根据幂函数定义，设幂函数，带入点求出参数a，求出函数解析式，再带入计算即可.
【详解】设幂函数，所以，解得，所以，所以．
故答案为：
14．
【分析】根据可求得，由此可得解析式；将所求不等式化为，根据幂函数的单调性解不等式即可求得结果.
【详解】，，即，在上单调递增，
又，可化为，，
解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
15．①③⑥
【分析】①结合的乘方的性质进行考虑；②考虑的情况；③考虑的性质；④考虑的情况；⑤取特殊值考虑，⑥结合的单调性进行考虑
【详解】对①，因为表示个相乘，则，那么，①正确；
对②，当时，满足，但，②错误；
对③，若，则且，所以，③正确；
对④，取，则，，④错误；
对⑤，取，满足，但，⑤错误；
对⑥，函数在上单调递增，若，则，⑥正确.
故答案为：①③⑥
16．
【分析】计算得到幂函数为，解不等式得到答案.
【详解】设幂函数为，过点，所以解得，
所以，
，即，即解得，
故答案为：；
17．(1)或
(2)为奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义列式计算，即可得答案；
（2）结合幂函数的图象性质即可确定答案；
（3）由题意确定幂函数的解析式，由此列出不等式，即可求得答案.
【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或2，
故或.
（2）当时，的图象经过坐标原点，不满足要求，
当时，的图象不经过坐标原点，所以，
为奇函数.
证明：定义域为，关于原点对称，
，
（3）若图象经过坐标原点，则，
由可得，解得，
所以原不等式的解集为.
18．(1)函数的定义域为，为奇函数
(2)函数在上为增函数，证明见解析
【分析】（1）根据幂函数的定义利用待定系数法求出的解析式，进而可求得，即可的出函数的定义域，再判断的关系即可判断函数的奇偶性；
（2）利用作差法结合函数单调性的定义即可得解.
【详解】（1）设，
则，所以，
所以，
故，定义域为，
因为，
所以函数为奇函数；
（2）函数在上为增函数，证明如下：
令，
则
，
因为，
所以，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
19．(1)，函数值域为
(2)
【分析】（1）根据幂函数定义得到，再验证单调性得到答案.
（2）变换得到，计算二次函数的最大值得到答案.
【详解】（1）幂函数在上单调递增，则，
解得或，
当时，，函数在上单调递减，不满足；
当时，，函数在上单调递增，满足；
综上所述：，函数值域为.
（2），即，即，
，当时，，故，即.
20．(1)，在上单调递增，证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据幂函数定义解出，再根据偶函数的性质验证即可；
（2）根据函数单调性和奇偶性列出不等式组解出即可.
【详解】（1）由题意得，解得或，
当时，，显然不是偶函数，
当时，，定义域为，关于原点对称，
且，所以为偶函数.
在上单调递增，证明：
任取，且，则，
因为，所以，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）因为为偶函数且在上单调递增，所以在单调递减，
所以，即，解得，又因为，解得，且，
综上不等式得解集为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；
（2）利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或，
又在上是增函数，则，即，
所以，则.
（2）因为，所以当时，，
当时，，则
又因为是上的偶函数，所以，
即当时，，
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