2023-2024学年苏科版数学九年级上册 第2章圆 圆中常见的全等三角形模型之切线长模型 学案（无答案）

第2章圆（圆中常见的全等三角形模型
之切线长模型）
【学习目标】
掌握圆与全等三角形的综合
掌握切线长模型在圆中的运用
【典型例题】
类型一、切线长模型
【知识梳理】
切线长模型
图1 图2
（1）切线长模型（标准类）
条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
（2）切线长模型（拓展类）
条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
【例1】 如图，切于，若的半径为3，则线段的长度为（ ）

A． B．6 C．8 D．10
举一反三：
【变式1】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，求△PCD的周长．以下是排乱的解题过程：（1）∵PA，PB为圆的两条相交切线，∴PA＝PB，同理可得CA＝CE，DE＝DB；②△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA；③△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD；④△PCD的周长＝10，则正确的顺序是（　　）
A．①②③④ B．①③②④ C．③②①④ D．②③①④
【变式2】如图，已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的切线，D，B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD，BD，给出以下四个结论：①AD∥OC；②E为△CDB的内心；③FC＝FE．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【变式3】如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．
【变式4】如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，AD＝1，求线段CE的长．
【变式5】小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现、分别切于点、，直径所在的直线经过点，连接．

小倩发现垂直平分，请说明理由；
(2)若的半径为，①当______时，四边形为菱形；②当______时，四边形为正方形．
【巩固练习】
1.如图，、是的切线，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（　　）
A． B． C．5 D．5
3.如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°﹣α B．α C．2α D．90°﹣α
4.如图，已知、是的两条切线，、为切点，连接交于，交于，连接、，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2 B．2，2 C．2，6 D．1，6
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=_____．
6．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．
7.如图⊙O与平行四边形ABCD的两边相切于点B和点D，OE⊥AB于点E，若AD＝6，则OE＝　 　．
8.已知的三边长分别为，Ⅰ为的内心，且Ⅰ在的边上的射影分别为．
（1）若，求内切圆半径r；
（2）求证：．
9.如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．
(1) 求证：AD平分；
(2) 若AD=5，AB=9，求线段DE的长．
10.如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．