21.1 一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·吉林通化·九年级统考期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3
2．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·吉林长春·九年级期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
4．（2022秋·吉林长春·九年级期末）将方程化成一般形式，其一次项系数是（ ）
A．5 B． C． D．3
5．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·吉林长春·九年级期末）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
7．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）在一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0中，常数项是（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
8．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
9．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A．1 B．1011 C．2020 D．4041
10．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）若一元二次方程的一个根是x=1，则的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．不能确定
11．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）方程的一个实数根为m，则的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
12．（2022秋·吉林·九年级统考期末）我们知道，一元二次方程的一般形式为．对于一元二次方程中的a，b，c，确定正确的是（ ）
A． B．
C． D．，，
13．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ）
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ……
…… 12 6 2 0 0 2 6 12 ……
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是一元二次方程，那么m的值为
15．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ．
16．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程的一个根是m，则的值为 ．
17．（2022秋·吉林长春·九年级期末）将方程化成一般形式为 ．
18．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）已如实数是方程的一个根，则代数式的值为 ．
19．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）把一元二次方程（x-3）2=4化成一般形式为：
20．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如果a是一元二次方程x2-3x-3=0的一个解，那么代数式2a2-6a-8的值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．2x﹣2＝3，是一元一次方程，故A不符合题意；
B．x2＝2x，是一元二次方程，故B符合题意；
C．x+y＝2，是二元一次方程，故C不符合题意；
D．+x＝3，是分式方程，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是分式方程，选项说法错误，不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、，即是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；
D、是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程．
3．B
【分析】由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得的值可求．
【详解】解：是关于的一元二次方程，，即
由一个根是，代入，可得，解之得；
由得
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．
4．C
【分析】通过移项，将一元二次方程化为一般形式，即可求解．
【详解】解：将化成一般形式为，
一次项为，系数为，
故选：C
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是正确将方程化为一般形式．
5．B
【分析】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，根据定义分析即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解本题的关键．
6．B
【分析】根据题意，得且，计算判断即可．
【详解】因为关于的一元二次方程的常数项为0，
所以且，
解得．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式即形如，其中c叫做常数项，正确理解定义是解题的关键．
7．C
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：一元二次方程的常数项是-1，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．A
【分析】把代入方程可得到关于k的方程，然后求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为1，
∴，解得：．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右两边成立的未知数的值是解题的关键．
9．B
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程得，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．B
【分析】直接把x=1代入方程就看得到a+b+c的值．
【详解】解：把x=1代入方程（a≠0）得a+b+c=0．
故选B ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．A
【分析】根据一元二次方程解的定义，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵方程的一个实数根为m，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
12．A
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项是解题的关键．
13．B
【分析】根据表中的对应值得到当时，；当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解．
【详解】解：由表中数据得当时，；
当时，；
所以方程的解为．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．-3
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可.
【详解】∵关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是一元二次方程，
∴ ，m-3≠0，
解得m=-3.
故答案为-3.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要特别注意二次项系数m-3≠0这一条件，当m-3=0时，上面的方程就是一元一次方程了．
15．2020
【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入可得，然后代入代数式求值即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解是，
∴
故答案为：2020
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
16．-2011
【分析】由关于x的一元二次方程的一个根是m，可得，再由求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是m，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-2011．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和代数式求值，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
17．
【分析】把一元二次方程化成一般形式即可解答．
【详解】解：一元二次方程化成一般形式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式为（a，b，c为常数，且a≠0）．
18．4
【分析】由方程的解的含义可得 再整体代入代数式进行求值即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，求解代数式的值，掌握“整体代入求值的方法”是解本题的关键．
19．x2-6x+5=0
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），据此即可求解．
【详解】移项得：（x-3）2-4=0，展开完全平方得：x2-6x+9-4=0，整理得：x2-6x+5=0.
【点睛】理解一元二次方程的一般形式，正确对方程进行变形是解决本题的关键．
20．–2
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2-3a=3，再把2a2-6a-8变形为2（a2-3a）-8，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】把x=a代入x2-3x-3=0得a2-3a-3=0，
所以a2-3a=3，
所以2a2-6a-8=2（a2-3a）-8=2×3-8=-2．
故答案为-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．21.2 解一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·吉林·九年级期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·吉林·九年级期末）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
3．（2022秋·吉林长春·九年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·吉林·九年级期末）一元二次方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
5．（2022秋·吉林·九年级统考期末）已知关于x的方程可以配方成，则
6．（2022秋·吉林长春·九年级期末）若关于x的方程有两个实数根，则k的值可能是 ．（写出一个即可）
7．（2022秋·吉林·九年级期末）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是 ．
8．（2022秋·吉林长春·九年级期末）一元二次方程的根的判别式△ 0．（填“>”“=”或“<”）
9．（2022秋·吉林长春·九年级期末）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值等于 ．
10．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）解一元二次方程x2﹣7x＝0的最佳方法是 ．
11．（2022秋·吉林·九年级期末）解方程：．
12．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2＋2b－3.例如把(2，－5)放入其中就会得到22＋2×(－5)－3＝－9.现将实数对(m，－3m)放入其中，得到实数4，则m＝ .
13．（2022秋·吉林长春·九年级期末）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则该方程的另一个根是 ．
14．（2022秋·吉林·九年级期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
三、解答题
15．（2022秋·吉林长春·九年级期末）解方程：．
16．（2022秋·吉林·九年级期末）解方程：．
17．（2022秋·吉林长春·九年级期末）解方程：．
18．（2022秋·吉林长春·九年级期末）解方程：．
19．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）关于x的一元二次方程有实数根．
(1)当是方程的一个根，求m的值；
(2)求m的取值范围．
20．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）解方程：
21．（2022秋·吉林四平·九年级期末）若规定两数a、b通过运算△得3ab，即a△b＝3ab，如2△6＝3×2×6＝36
（1）求3△5的值；
（2）若x△x＋2△x﹣2△4＝0，求x的值．
22．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）已知关于的方程
①求证：方程有两个不相等的实数根．
②若方程的一个根是求另一个根及的值．
参考答案：
1．A
【分析】根据配方法的步骤，进行配方后再进行判断即可．
【详解】解：，
移项，得：
配方，得：，
即：；
故选A．
【点睛】本题考查配方法．熟练掌握配方法的步骤：1化，2移，3配，是解题的关键．
2．C
【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，
解得：
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
3．D
【分析】先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：原方程整理得：，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
4．A
【分析】因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
解得：；
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
5．1
【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m、n的值，由此可求得答案．
【详解】解：由（x+m）2＝3，得：x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，
∴n＝1，
∴（m﹣n）2＝1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．（答案不唯一）
【分析】根据方程有两个实数根，得到，求出的取值范围，写出一个值即可．
【详解】解：∵有两个实数根，
∴，
∴，
∴k的值可能是（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键．
7．0，（答案不唯一，即可）．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案．
【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根，
所以
解得
故答案为：0，（答案不唯一，即可）
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．＞
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，此题得解．
【详解】解：在方程中，．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式为是解题的关键．
9．1
【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再根据方程的根的定义可得一个关于m的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可得．
【详解】解：由一元二次方程的定义得：，
解得，
关于x的一元二次方程有一个根为0，
∴，
解得或（与不符，舍去），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及其定义、利用因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义和方程的解法是解题关键．
10．因式分解法
【分析】将一元二次方程先提公因式然后计算即可．
【详解】解：一元二次方程，即，
解得：，，
∴应采用因式分解法，
故答案为：因式分解法．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题关键．
11．x1=－1，x2=．
【分析】根据因式分解法即可求解．
【详解】解：
，
∴或.
∴x1=－1，x2=．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
12．7或－1/-1或7
【详解】根据题意得，m2+2×（-3m）-3=4，
解得m1=7，m2=-1，
∴m的值为7或-1．
故答案为：7或-1
13．
【分析】设另一个根为，根据计算即可．
【详解】设另一个根为，
因为关于的一元二次方程的一个根是2，
所以，
解得．
故答案为: ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
14．＞
【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜ 再列不等式，解不等式可得答案．
【详解】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，
＜
＜
＜
＜
＞
故答案为：＞
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
15．，
【分析】用配方法解方程即可．
【详解】解：
或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程；根据系数特点选择恰当的方法是解题的关键．
16．，
【分析】原方程运用配方法求解即可．
【详解】解：
∴，
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17．，
【分析】先计算出，然后代入一元二次方程的求根公式进行求解．
【详解】解：，
，
，
．
【点睛】本题解一元二次方程—公式法：一元二次方程（为常数，）的求根公式为．
18．，
【分析】利用求根公式法求解即可．
【详解】解：，
，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解法是关键．
19．(1)；
(2)．
【分析】（1）先根据方程的解的定义把代入原方程求出m的值；
（2）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：把代入原方程得，
解得；
（2）解：根据题意得，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．
20．，
【分析】利用因式分解法解二元一次方程．
【详解】解：，
变形，得：，
因式分解，得：，
或，
解得：，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程—因式分解法是解题的关键．
21．（1）45；（2）x=2或x=-4．
【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中新定义变形，计算即可求出x的值．
【详解】解：（1）根据题中的新定义得：3△5=3×3×5=45；
（2）已知等式利用题中新定义化简得：3x2+6x-24=0，即x2+2x-8=0，
分解因式得：（x-2）（x+4）=0，
解得：x=2或x=-4．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．①详见解析；②，k=1
【分析】①求出，即可证出结论；
②设另一根为x1，根据根与系数的关系即可求出结论．
【详解】①解：=k2+8＞0
∴方程有两个不相等实数根
②设另一根为x1，由根与系数的关系：
∴，k=1
【点睛】此题考查的是判断一元二次方程根的情况和根与系数的关系，掌握与根的情况和根与系数的关系是解决此题的关键．21.3 实际问题与一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·九年级期末）2021年2月，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国贫困人口仅有551万人．若设贫困人口的年平均下降率为 x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）《长津湖》以抗美援朝战争中长津湖战役为背景，影片一上映就获得追捧，目前票房已突破48亿．第二天票房为4.1亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第四天的票房为4.7亿元，若把增长率记作．则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场），单循环比赛共进行了场，共有多少支队伍参加比赛？设共有支队伍参加比赛，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·吉林·九年级期末）如图是我国古代著作《四元玉鉴》．它里面记载一个“买椽多少”问题：购买这批椽的价钱为6210文．若每株椽的运费是3文，则少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设购买椽的数量为株，则所列的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022秋·吉林·九年级期末）已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染 个人．
6．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了40元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程是 ．
7．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为 ．
8．（2022秋·吉林·九年级期末）某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽，则可列方程 ．
9．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要比赛一场．若共赛了28场，设有个球队参赛，根据题意列出满足的关系式为 ．
三、解答题
10．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
11．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．某市2020年销售烟花爆竹20万箱，到2022年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求该市2020年到2022年烟花爆竹年销售量的平均下降率．
12．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）某地区2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3025万元．求2019年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率．
13．（2022秋·吉林·九年级统考期末）去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元．
求：（1）该店第二季度的营业额；
（2）该店第三、第四季度营业额的增长率．
14．（2022秋·吉林长春·九年级期末）哈市某展览馆计划将长米，宽米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．求通道的宽为多少米？
15．（2022秋·吉林通化·九年级统考期末）如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为的矩形花园ABCD，求边AB的长．
16．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
17．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）（2016内蒙古包头市）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
18．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数．
19．（2022秋·吉林·九年级期末）某商品成本价为16元/瓶，当定价为20元/瓶时，每天可售出60瓶．市场调查反映：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．设销售单价上涨元，每天的利润为元．
(1)每天的销售量为______瓶，每瓶的利润为______元（用含的代数式表示）；
(2)若日销售利润达到300元，求的值．
20．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）“疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓．老板决定在抖音直播间降价促销，据调查发现，若每件商品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，可多售出20件，设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元后，可售出商品 件（用含x的代数式表示）；
（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，并能尽快清仓，则每件商品应降价多少元？
21．（2022秋·吉林四平·九年级期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x （x为偶数） 元，据此规律，请回答：
（1）降价后，商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商品日盈利可达到4200元？
22．（2022秋·吉林长春·九年级期末）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，是晋商数学家王文素的数学著作，书中研究了一元高次方程的数值解法，内容详实可贵，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》卷28中记载了这样一个问题“门厅一座，高广难知，长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两阴斜进，恰好方齐．”译文：现在有一座门，不知道宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过．问门的高度是多少尺？(列方程解应用题)
23．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）今年我县在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．某小区规划在长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中的小路分别与AB和AD平行，其余部分种草．如果使草坪的总面积为112m2，设小路宽为xm．如图所示，施工人员设计了两种方案，请你通过计算帮助选择一种数据准确且更容易测量和实施的方案．
24．（2022秋·吉林长春·九年级期末）A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示．
（1）前40天中，每天接种的人数为 人．
（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，
①请通过计算判断，第40天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？
②直接写出第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？
25．（2022秋·吉林·九年级期末）据了解，某年9月份某旅游区接待参观人数为10万人，11月份接待参观人数增加到14.4万人．
(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计12月份的参观人数是多少？
26．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的无盖的方盒的底面积为3600cm ，那么铁皮各角应该切去的正方形的边长是多少？
参考答案：
1．D
【分析】等量关系为：2018年贫困人口下降率年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
2．C
【分析】设增长率为x，由题意得等量关系：第二天的票房收入×(1+增长率)2＝第四天的票房收入，然后列出方程即可．
【详解】解：设增长率为x，由题意得：
4.1（1＋x）2＝4.7，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
3．D
【分析】设共有支队伍参加比赛，利用比赛的总场数参赛球队数量参赛球队数量，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设共有支队伍参加比赛，
依题意得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．B
【分析】设购买椽的数量为株，根据题意可知株的运费刚好等于每株的单价，据此列式即可．
【详解】解：设购买椽的数量为株，
根据题意可知株的运费刚好等于每株的单价，即单价为：，
则根据题意可得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意列出方程是解答本题的关键．
5．5
【分析】设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案．
【详解】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得，
3（x+1）2=108，
解得：x1=5，x2=8（不合题意，舍去），
故答案为：5．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染x人，n轮共传染（x+1）n人．
6．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列一元二次方程即可．
【详解】设平均每次降价的百分率为x，根据题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列一元二次方程是解题的关键．
7．10%
【详解】设该公司缴税的年平均增长率是x，
则去年缴税40(1＋x) 万元， 今年缴税40(1＋x) (1＋x) ＝40(1＋x)2万元．
据此列出方程：40(1＋x)2=48.4，
解得x=0.1或x=－2.1（舍去）．
∴该公司缴税的年平均增长率为10%．
8．
【分析】设小路的宽，则绿化区域的长为，宽为，根据绿化区域的面积为广场总面积的80%，列出关于的一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：设小路的宽，则绿化区域的长为，宽为，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
9．
【分析】每支球队要和其他球队共比赛场，一共个球队，共需要 场比赛，但每两支球队之间重复了一次，故实际需要，根据题意，即可列出方程．
【详解】解：由题意可知：每支球队要和其他球队共比赛场，一共个球队，共需要 场比赛但每两支球队之间重复了一次，故实际比赛场数为，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要是考查了列一元二次方程，熟练地找到等式关系，根据等式关系列出对应方程，这是解决该类题目的关键．
10．(1)每轮传染中，平均一个人传染了10个人
(2)第三轮将新增1210名感染者
【分析】（1）设平均一个人传染了x个人，第一轮传染了x人，第一轮传染后一共有（1+x）名感染者；第二轮传染时这（1+x）人每人又传染了x人，则第二轮传染了x（1+x）人，列出方程求解即可；
（2）根据（1）中的结果进行计算即可．
【详解】（1）解：设平均一个人传染了x个人．
则可列方程：．
解得，（舍去）．
答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人．
（2）（名）．
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确地理解题意，找出题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键．
11．
【分析】根据题意列出等量关系：2022年销售烟花爆竹量（1平均下降率）（1平均下降率）2020年销售烟花爆竹量，即可解题．
【详解】解：设该市2020年到2022年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x，由题意得：，
解得，（不符合题意，舍去），
经检验：符合题意．
答：该市2020年到2022年烟花爆竹年销售量的平均下降率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确列出等量关系是解题的关键．
12．这两年投入教育经费的年平均增长率为
【分析】根据等量关系：2019年投入教育经费×（1+x）2=2021年投入教育经费列方程求解即可．
【详解】解：设2019年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率为，
根据题意，得，
解得：，或（不合题意舍去），
答：这两年投入教育经费的年平均增长率为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
13．（1）150万元；（2）20%
【分析】（1）根据某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，可以计算出第二季度的营业额；
（2）根据（1）中的结果和第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元，可以得到方程150（1＋x）2＝216，然后求解即可．
【详解】解：（1）由题意可得，
第二季度的营业额为：120×（1＋25%）＝120×＝150（万元），
答：该店第二季度的营业额为150万元；
（2）设该店第三、第四季度营业额的增长率为x，
150（1＋x）2＝216，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：该店第三、第四季度营业额的增长率是20%．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
14．通道的宽为4米．
【分析】设通道的宽为x米，则展区的长为米，宽为米，根据展区的长、宽均大于0，求而出x的取值范围，再根据展区面积列方程求解即可．
【详解】解：设通道的宽为x米，则展区的长为米，宽为米，
且
解得：
依题意列方程得：
整理得：
解得：或（不合题意，舍去）
答：通道的宽为4米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用；解题的关键是正确列方程求解，且关注x的取值范围．
15．5m
【分析】设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，根据矩形花园ABCD的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出边AB的长．
【详解】解：设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，
依题意得：x（20﹣2x）＝50，
整理得：x2﹣10x+25＝0，
解得：x1＝x2＝5．
答：边AB的长为5m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2．
【分析】设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长．
【详解】设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决此题的关键是读懂题意，列出方程并正确解出方程．
17．（1）；（2）横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；
（2）根据“三条彩条所占面积是图案面积的”，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解即可．
【详解】（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，
∴y=20×x+2×12 x﹣2×x x=﹣3x2+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；
（2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12，
整理，得：x2﹣18x+32=0，
解得：x1=2，x2=16（舍），
∴x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
【点睛】此题考查了根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．
18．原两位数为74．
【分析】等量关系为：原来的两位数-新两位数=27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可．
【详解】设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2－9）．
∴10（x2－9）+x－10x－（x2－9）=27，
解得x1=4，x2=－3（不符合题意，舍去）．
∴x2－9=7，
∴原两位数为74．
【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练的掌握一元二次方程的应用是解题的关键.
19．(1)；
(2)2或6
【分析】（1）根据题意，列代数式即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售数量，列方程进行计算即可；
【详解】（1）解：由题意得：
每天的销售量为：（瓶），每瓶的利润为：（元）；
故答案为：；；
（2）解：根据题意，得，
解得，．
答：若日销售利润达到300元，的值为2或6．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确地列出方程是解题的关键．
20．（1）20x （2）15
【分析】（1）降价1元，可多售出20件，降价x元，可多售出20x件，解答即可；
（2）根据日盈利=每件商品降价后盈利的钱数×降价后每天销售的商品件数（500 + 20x），列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵商品单价每下降1元，则可多售出20件．
∴每件商品降价x元，可多售出20x件，
∴每件商品降价x元后，可售出商品(500+20x)件，
故答案为：500+20x；
（2）依题意可列方程：(50 x)(500+20x)=28000
解得：x1=10，x2=15
∵尽快清仓，
∴x1=10舍去，
∴x的值为15 ，
所以每件商品应降价15元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
21．（1）x；100-x；（2）每件商品降价40元，商场日盈利可达4200元．
【分析】（1）根据降价2元，可多售出2件，得出降价x元，可多售出x件，盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数；
（2）根据每件商品的盈利×可卖出商品的件数=4200，列出方程，再求解即可．
【详解】解：（1）降价2元，可多售出2件，降价x元，可多售出x件，每件商品盈利的钱数=（100-x）元，
故答案为：x；100-x；
（2）由题意得：（100-x）（30+x）=4200，
解得：x1=30，x2=40，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴x=40，
答：每件商品降价40元，商场日盈利可达4200元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用；解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
22．8尺
【分析】设竹竿的长度为x尺，则门宽（x-4）尺，门高（x-2）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，取其符合题意的值代入（x-2）中即可求出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x尺，则门宽（x-4）尺，门高（x-2）尺，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴．
答：门的高度是8尺．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．应该选择方案二，理由见解析
【分析】分别计算出两种方案的小路宽，然后判断哪种方案数据准确且容易测量和实施即可．
【详解】解：方案一：设小路宽为xm，
由题意得：，
整理得：，
解得，
∴或（舍去），
方案二：设小路宽为xm，
由题意得：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴方案二的小路宽为1m，
∴为了数据准确且容易测量和实施，应该选择方案二．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
24．（1）3万；（2）①第40天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市；②52天接种完成后A，B两市接种人数恰好相同．
【分析】（1）根据前100天接种的总人数除以时间求解即可；
（2）①将代入计算比较即可；
②先由题意得到前40天市接种人数少于A市，求出40到100天间A市接种人数的函数解析式，再列等式求解问题．
【详解】解：（1）（万人），
∴故答案为：3万；
（2）①把代入得：
答：第40天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市．
②由题意前40天市接种人数少于A市，
设40天到100天这段时间A市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，
∴将（40，125）和（100，215）代入，
得：，解得：，
∴A市接种人数，，
（舍去），
答：52天接种完成后A，B两市接种人数恰好相同．
【点睛】此题考查一次函数的图像和求一次函数的解析式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
25．(1)这两个月参观人数的月平均增长率为
(2)17.28万人
【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，利用11月份接待参观人数9月份接待参观人数（这两个月参观人数的月平均增长率），可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用预计12月份的参观人数11月份接待参观人数（这两个月参观人数的月平均增长率），即可得出答案．
【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得，（不符合题意，舍去）；
答：这两个月参观人数的月平均增长率为；
（2）解：根据题意得：
（万人），
答：按照这个增长率，预计12月份的参观人数为17.28万人．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数的四则混合运算的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．5cm
【详解】解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）=3600，
展开得：x2﹣75x+350=0，
解得：x1=5，x2=70（不合题意，舍去），
则铁皮各角应切去边长为5cm的正方形．
