22.1 二次函数的图象和性质
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·九年级期末）下列函数中（x是自变量），一定为二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·吉林·九年级期末）当时，二次函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
3．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）二次函数y = x2+2的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）当ab＜0时，y＝ax与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
5．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的（ ）
A．ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．4a+2b+c＜0 D．b＝2a
6．（2022秋·吉林白山·九年级统考期末）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或4
7．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如果函数是关于x的二次函数，则k= .
9．（2022秋·吉林长春·九年级期末）已知二次函数的图象如图所示，线段轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则的长度为 ．
10．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）已知二次函数，则其图像的开口向 ．（填“上”或“下”）
11．（2022秋·吉林白山·九年级统考期末）二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是 ．
12．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）二次函数的图象的顶点在x轴上，那么满足条件的实数 ．
13．（2022秋·吉林长春·九年级期末）已知二次函数，当时，y有最大值4，则a的值为 ．
14．（2022秋·吉林长春·九年级期末）已知二次函数的图象上有两点，则 ．（填“>”、“=”或“<”）
15．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴，点A的坐标为，若抛物线在矩形内部的图象中，随的增大而减小，则的取值范围是 ．
16．（2022秋·吉林·九年级期末）抛物线的顶点坐标是 ．
17．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是 ．(用“<”连接)
18．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）写出一个顶点坐标是(1，2)且开口向下的抛物线的解析式 ．
19．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
20．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数解析式为 ．
21．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）将二次函数的图象向上平移3个单位长度后所得到的图象的解析式为 ．
三、解答题
22．（2022秋·吉林·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）．
（1）直线BC的解析式为________．
（2）求抛物线所对应的函数解析式．
（3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________．
（4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值．
23．（2022秋·吉林长春·九年级期末）已知二次函数(m为常数)
(1)当m=2时
①求函数顶点坐标，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
②若点和在其图象上，且时，则实数t的取值范围是 ．
(2)记二次函数的图象为G．
①当图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2时，求m的取值范围．
②已知矩形ABCD的对称中心为(0，1)，点A的坐标为(-3，3)．记图象G在矩形ABCD内部(包含边界)的最高点P的纵坐标为p，最低点的纵坐标为q，当p-q=4时，直接写出m的取值范围．
24．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C(0，4)，与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ，A （ ， ），B （ ， ）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M(m，0)，试求PQ+PN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，抛物线的对称轴l经过点B，且点B在抛物线上，作直线．P是该抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交于点Q，过点P作于点N，以为边作矩形．
(1)求b的值；
(2)当点P在抛物线A，B两点之间时，求线段长度的最大值；
(3)矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n．当时，直接写出点P的坐标．
26．（2022秋·吉林·九年级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．
(1)求c的值，并用含a的代数式表示b；
(2)当a＝时．
①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，某矩形花园ABCD一边靠墙，墙长35m，另外三边用长为69m的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为1m的门（不包括篱笆）．设矩形花园ABCD垂直于墙的一边AB长为xm，面积为．
（1）BC的长为______m（用含x的代数式表示）．
（2）求S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
（3）求花园面积S的最大值．
28．（2022秋·吉林白山·九年级统考期末）如图，点都在二次函数的图象上．
(1)求a，b的值．
(2)若二次函数的图象经过点，，，比较，，的大小，并简述理由．
29．（2022秋·吉林·九年级期末）已知抛物线的顶点坐标为，并且经过点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若、是抛物线上的两点，且，直接写出与的大小关系．
30．（2022秋·吉林·九年级期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直线BC的解析式为 ；
(3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值；
(4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解： A：是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
B： 当时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
C：是二次函数，故此选项正确；
D：是三次函数，不是二次函数，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（，，是常数，）的函数叫做二次函数．
2．D
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：，
故选D．
【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．B
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】二次函数y = x2+2的对称轴为直线．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．
4．A
【分析】根据题意，ab＜0，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，ab＜0，
当a＞0时，b＜0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、三、四象限；
此时，A选项符合，
当a＜0时，b＞0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过一、二、四象限；
此时，没有选项符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
5．C
【分析】抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
【详解】解：A、由抛物线的开口方向向下知，抛物线与y轴交于负半轴知，则，故本选项错误；
B、由抛物线与x轴有两个交点知，故本选项错误；
C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点（3，0），所以当时，，即，本选项结论正确；
D、由图象可得：对称轴是直线，即，故本选项结论错误；
故选：C．
【点睛】题目主要考查了抛物线图象的基本性质及与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的基本性质是解题关键．
6．B
【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性可进行求解．
【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，开口向上；
∵当时，
∴当时，y有最小值1，即，所以；
当时，二次函数在上y随x的增大而增大，即当时，有最小值；则有，方程无解；
当时，二次函数在上y随x的增大而减小，即当时，有最小值；则有，解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：a的值为0或4；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．B
【分析】将解析式配方成顶点式即可求解．
【详解】解：，
∴对称轴为直线，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
8．0
【分析】根据二次函数的定义得到k-1≠0且k2-k+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值.
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴k2-k+2=2，解得k=0，或k=1，
∵k-1≠0，∴k≠1，
所以k=0.
故答案为0.
【点睛】本题考查了二次函数的定义.
9．4
【分析】先求出二次函数对称轴为y轴，再推出A、B关于y轴对称，进而求出点B的横坐标即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴，
∵线段轴，且A、B在二次函数图象上，
∴A、B关于y轴对称，
∵点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，根据二次函数的对称性求出点B的横坐标是解题的关键．
10．上
【分析】根据二次项系数得出抛物线的开口方向．
【详解】，
∵，
∴该二次函数的图像开口向上，
故答案为上．
【点睛】此题考查二次函数图像的性质，熟知二次函数图像的性质是解题的关键．
11．（0，1）
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1），
故答案为：（0，1）．
12．1
【分析】化为顶点式，求出顶点坐标，利用顶点纵坐标等于0列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为．
∵图象的顶点在x轴上，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，求出顶点坐标是解答本题的关键．
13．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值，结合当时函数有最大值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当时，，
解得：，
∵当时，函数有最大值4，
∴，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值是解题的关键．
14．>
【分析】根据抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，进行比较即可．
【详解】解：，
∵，对称轴为：，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴；
故答案为：>．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
15．
【分析】求出抛物线经过C，B两点时，m的值，可得结论．
【详解】解：由题意，A的坐标为，
∴C，B，
当抛物线经过点C时，，
∴．
当抛物线经过点B时，，
∴，
观察图象可知满足条件m的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用数形结合思想．
16．
【分析】根据抛物线顶点式直接写出顶点坐标即可得到结论．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】考查二次函数图像与性质，熟记抛物线顶点式求顶点坐标是解决问题的关键．
17．a＜b＜c
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答.
【详解】由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x=-1，且图象开口向上，
∴点离对称轴距离越远函数值越大，
∵-1-（-2）=1，
1-（-1）=2，
2-（-1）=3，
∴a＜b＜c，
故答案为：a＜b＜c.
【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式以及图象上点的坐标特征是解答的关键.
18．y=-(x-1)2+2
【分析】利用顶点式可设抛物线解析式为y=a(x-1)2+2，然后根据a的作用确定a的值即可．
【详解】解：设抛物线解析式为y=a(x-1)2+2，
∵抛物线y=a y=-(x-1)2+22+2的开口向下，
∴可令a=-1，
∴抛物线解析式y=-(x-1)2+2．
故答案为y=-(x-1)2+2．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
19．
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可．
【详解】过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3．
∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣．
∴点P的坐标是（－3，﹣）．
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．
20．
【分析】根据函数的平移规律代入运算，即可得出平移后的函数解析式．
【详解】解：由题意根据函数平移的规律左加右减，上加下减可得，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，主要是函数平移的规律左加右减，上加下减．
21．
【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解：二次函数的图象向上平移3个单位长度后所得到的图象的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．
22．（1） ；（2） ；（3）① ；②4，-5；（4）
【分析】（1）设直线BC的解析式为 ，把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解；
（2）把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解；
（3）①将抛物线解析式化为顶点式，即可求解；
②根据抛物线的顶点式，可得当 时，有最大值4，再由二次函数的增减性，即可求解；
（4）设点 ，则，可得，即可求解．
【详解】解：（1）设直线BC的解析式为 ，
把点B（3，0）和C（0，3）代入得：
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ；
（2）把点B（3，0）和C（0，3）代入得：
，
解得： ，
∴抛物线所对应的函数解析式为 ；
（3）①，
∴点 ；
②∵ ，
∴当 时，有最大值4，
∴在直线的左侧时， 随 的增大而增大；在直线的右侧时， 随 的增大而减小，
当 时， ，
当 时， ，
∴当0≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为-5；
（4）设点 ，则，
∴ ，
∴当 时， 的值最大，最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
23．(1)①顶点坐标为（2，0）；当x≤2时，函数值y随x的增大而减小；②t＞3或t＜1
(2)①或，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；②或时，满足题意
【分析】（1）①将解析式化为顶点式y＝x2 4x＋4＝（x 2）2，即可求解；
②由抛物线开口向上，则点离对称轴越远，所对应的函数值越大；
（2）①分两种情况讨论：当m＞0时，2m＝2，此时G上有两个点到x轴的距离为2，当 m2＋2m＝ 2时，，此时G上有三个点到x轴的距离为2，则时，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；当m＜0时， m2＋2m≤ 2，可得时，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；
②由题意可求矩形的顶点坐标C（3，3），B（ 3， 1），D（3， 1），分两种情况讨论：当m＞0时， m2＋2m≤ 1，解得时，满足题意；当m＜0时，2m≤ 1解得m≤ ，当图象G经过A点时，解得m＝ ，求得≤m≤ 时，满足题意．
【详解】（1）解：当m＝2时，y＝x2 4x＋4，
①∵y＝x2 4x＋4＝（x 2）2，
∴顶点坐标为（2，0），
当x≤2时，函数值y随x的增大而减小；
②∵y＝x2 4x＋4＝（x 2）2，
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∵y1＞y2，
∴|t 2|＞|3 2|，
∴|t 2|＞1，
∴t＞3或t＜1，
故答案为：t＞3或t＜1．
（2）解：y＝x2 2mx＋2m＝（x m）2 m2＋2m，
∴抛物线的顶点坐标为（m， m2＋2m），
当x＝2m时，y＝2m，
①如图1，当m＞0时，2m＝2即m＝1，此时G上有两个点到x轴的距离为2，
当 m2＋2m＝ 2时，或（舍去），
此时G上有三个点到x轴的距离为2，
∴当时，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；
如图2，当m＜0时， m2＋2m≤ 2，
解得或，
∴当时，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；
综上所述：或，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；
②∵矩形ABCD的对称中心为（0，1），点A的坐标为（ 3，3），
∴C（3，3），B（ 3， 1），D（3， 1），
当x＝m时，y＝ m2＋2m，
当x＝2m时，y＝2m；
如图3，当m＞0时， m2＋2m≤ 1，
解得：或（舍去），
∴时，图象G与矩形ABCD交AD、BC边于两点，p＝3，q＝ 1，
∴p q＝4，
∴时，满足题意；
如图4，当m＜0时，2m≤ 1，
解得m≤，
当图象G经过A点时，9＋6m＋2m＝3，
解得m＝，
∴时，图象G与矩形ABCD交AD、BC边于两点，p＝3，q＝ 1，
∴时，满足题意；
综上所述：或时，满足题意．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
24．（1）﹣，﹣3，0，4，0；（2）；（3）存在，Q(1，3)或Q(，)
【分析】（1）先将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a可得a的值，然后令y＝0即可求得A、B坐标；
（2）由OB＝OC可得∠CBO＝45°，即△PNQ是等腰直角三角形，PQ＝PN，故求PQ+PN最大值，只需求出PQ最大值，并用m表示出PQ，再求最值即可；
（3）用m表示出△ACQ三边的长，分AC＝AQ、AC＝CQ 、AQ＝CQ三种情况解答即可．
【详解】解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0得0＝﹣x2+x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
故答案为：﹣；﹣3，0；4，0；
（2）∵y＝﹣x2+x+4，
∴令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
而B（4，0）有OB＝4，
∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PM⊥x轴，
∴∠BQM＝45°＝∠PQC，
∵PN⊥BC，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQ＝PN，
∴PQ+PN＝2PQ，
∴PQ+PN取最大值即是PQ取最大值，
由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4，
∵M（m，0），
∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+，
∴m＝2时，PQ最大值为，
∴PQ+PN的最大值为；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4），
∴AC＝＝5，AQ＝＝，CQ＝＝，
以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①AC＝AQ时，＝5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1，
∴Q（1，3）；
②AC＝CQ时，＝5，解得m＝或m＝﹣（此时M不在线段OB上，舍去），
∴Q（，）；
③AQ＝CQ时，＝，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去），
综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q(1，3)或Q(，)．
【点睛】本题主要考查二次函数综合运用，解题的关键在于根据题意表示相关点的坐标、线段长度并运用列方程求解．
25．(1)
(2)当时，的最大值为
(3)或
【分析】（1）直接把点A的坐标代入抛物线解析式中解析求解即可；
（2）设点P的坐标为，先求出点B的坐标，进而求出直线的解析式为，则，从而求出，据此求解即可；
（3）分点P在对称轴左侧和右侧两种情况，分别找出对应情况的最高点和最低点，再结合已知条件建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
∴，
∴；
（2）解；设点P的坐标为，
∵抛物线解析式为，
∴顶点B的坐标为
设直线的解析式为：，
∴
解得，
∴直线的解析式为：．
∵轴交直线于点Q，
∴，
∵点P在之间，
∴
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：如图1所示，当点P在直线l左侧时，此时，G从左到右上升，图象最高点为B，最低点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍），
∴此时点P的坐标为；
当点P在直线l右侧时，此时（当时矩形与抛物线，没有交点），G从左到右下降，图象最高点为Q，最低点为．
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍），
∴此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．
26．(1)c=6；b=2a+4
(2)①最小值为 ，最大值为20；②D( 3， )．
【分析】（1）分别把 A（0，6）和B（-2，-2）代入解析式，可得c和b的值．
（2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值．②令y=0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（0，6），C（-6，0）代入可得直线AC解析式，设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值．
【详解】（1）把（0，6）代入y=ax2+bx+c，
得c=6．
把（-2，-2）代入y=ax2+bx+6，
得4a-2b+6=-2，
∴b=2a+4．
（2）①当a＝时，
∴，且c=6
∴函数表达式为y＝x2+x+6=，图象开口向上．
∴顶点坐标为，
∵-4≤x≤2，
∴当x＝ 时，y的最小值为 ．
观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值，
把x=2代入y＝x2+x+6，
y的最大值为20．
②∵y＝x2+x+6，
令y=0，则x=-6或x＝ ，
∵点C在左侧，
∴C（-6，0）
设直线AC的解析式为y=kx+m，
把A（0，6），C（-6，0）代入y=kx+m，得
解得k=1，m=6，
∴y=x+6
设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6）
∴FD＝x+6 (x2+x+6)＝ x2 x，
∵OA=OC=6，∠AOC=90°，
∴∠COA=90°，
∵DF∥AO，
∴∠DFM=∠CAO=45°，
DM＝FM＝FD，
设△FDM的周长为l，
则l＝DF+DM+MF＝
当FD最大时，周长最大，
又∵，
又∵ ＜0且-6＜x＜0，
∴x=-3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．
把x=-3代入y＝x2+x+6，
得y＝ ，
∴D( 3， )．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题要熟练掌握二次函数的性质，求二次函数的解析式、待定系数法，数形结合是解题关键．
27．（1）；（2），；（3）花园面积S的最大值为．
【分析】（1）用（69+1－2x）化简即可；
（2）矩形的面积＝长×宽，代入即可表示，BC的范围为，化简即可得出答案；
（3）用对称轴公式求出对称轴，根据二次函数的性质得知顶点坐标时得出最大值．
【详解】解：（1）由题意知：BC＝69+1－2x＝．
（2）∵，
∴．
∵，，
∴．
（3）∵，，
∴开口向下，．
∴当时，．
∴花园面积S的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式和一元二次方程是解题的关键．
28．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据函数的性质解答．
【详解】（1）解：将代入中，得
，解得，
∴
（2）∵，
∴二次函数的解析式为，
∵，对称轴为直线，
∴当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大，
∵二次函数的图象经过点，，，且
∴．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
29．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）根据题意，得，解得，
∴所求的抛物线的解析式为；
（2）∵，，
∴对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法解析式，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数性质是解题关键．
30．(1)
(2)
(3)h与t之间的函数关系式为：，h的最大值为4
(4)在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）把A(﹣1，0)，B(4，0) 代入抛物线解析式，即可求解；
（2）根据抛物线解析式求出点C的坐标，再利用待定系数法，即可求解；
（3）根据题意可得点，点，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解；
（4）分三种情况：当PC=BC时，当PB=BC时，当PC=PB时，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，
∴，
解得： ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点，
设直线BC的解析式为，
把点B(4，0)，代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为；
（3）解：如图，
∵点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，
∴点，
∵MN⊥x轴，
∴点，
∴，
∴，
∴当时，h的值最大，最大值为4；
（4）解：在x轴的负半轴上存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下：
当PC=BC时，
∵OC⊥BP，
∴OP=OB，
∵点B(4，0)，点P在x轴的负半轴上，
∴点；
当PB=BC时，
∵B(4，0)，，
∴OC=4，OB=4，
∴，
∴，
∵点P在x轴的负半轴上，
∴点；
当PC=PB时，点P位于BC的垂直平分线上，
∵OB=OC=4，
∴点O位于BC的垂直平分线上，
∴此时点P与点O重合，不合题意，舍去；
综上所述，在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．22.2 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2022秋·吉林·九年级期末）抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6
3．（2022秋·吉林长春·九年级期末）已知二次函数的图象如图所示，与x轴有个交点，有以下结论：①；②；③；④其中．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线与新函数的图象有3个公共点，则的值是（ ）
A．0 B．-3 C．-4 D．-5
5．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
二、填空题
6．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
7．（2022秋·吉林通化·九年级统考期末）已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为(﹣1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是 ．
8．（2022秋·吉林·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的最大值是 ．
9．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）抛物线与y轴的交点坐标是 ．
10．（2022秋·吉林·九年级统考期末）抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为 ．
11．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．
12．（2022秋·吉林白山·九年级统考期末）如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为 ．
13．（2022秋·吉林通化·九年级统考期末）二次函数y＝ax2+bx+c图像上部分点的坐标满足下表：
x … ﹣1 1 2 3 4 …
y … ﹣6 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为 ．
14．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）点是抛物线与轴的一个交点，则的值是 ．
15．（2022秋·吉林·九年级期末）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，则线段AB的长为 ．
16．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于C、BD⊥y轴于D，则图中阴影部分图形的面积和为 ．
17．（2022秋·吉林四平·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围为 ．
18．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）若方程的两个根是和1，则对于二次函数，当时，的取值范围是 ．
三、解答题
19．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点．直线的解析式为．
(1)求抛物线y1的解析式；
(2)当时，的取值范围是 ___________；
(3)当的取值范围是 ___________时，和都随着x的增大而减小；
(4)当时，的取值范围是 ___________；
(5)当时，的取值范围是 ___________．
20．（2022秋·吉林长春·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、
(1)这条抛物线所对应的函数表达式___________．
(2)这条抛物线与轴的交点坐标___________．
(3)当时，的取值范围为___________．
21．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，过点的直线与该抛物线交于另一点，且点的横坐标为．动点在该抛物线上，其横坐标为，且点不与重合．作点关于轴的对称点，过点作轴的垂线交直线于点，以、为一组邻边作矩形．
(1)点的坐标为______；直线的解析式为______；抛物线的顶点坐标为______．
(2)当抛物线的顶点落在该矩形内部时，求的取值范围．
(3)若点在点、点之间运动，当线段的长取最大值时，求出的值，并求出此时矩形的周长．
(4)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大先减小后增大时，直接写出取值范围．
22．（2022秋·吉林·九年级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（2，3），且交x轴于A（﹣1，0）、B（m，0），求m的值及二次函数图象的对称轴.
23．（2022秋·吉林·九年级期末）如图，已知抛物线y1＝ax2+（a﹣1）x+3（a≠0）与x轴交于A、B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)直接写出点C的坐标；
(2)将抛物线y1＝ax2+（a﹣1）x+3（a≠0）平移，使平移后的抛物线仍经过点B，与x轴的另一个交点为B′，且点B′（3，0），求平移后的解析式．
24．（2022秋·吉林长春·九年级期末）平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．
(1)点的“可控变点”坐标为_____________．
(2)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求出“可控变点”Q的横坐标．
25．（2022秋·吉林·九年级统考期末）某书店销售一批教辅书籍，每天可售出20套，每套可盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一套书每降价1元，每天可多售出2套．请解答下列问题：
(1)设每套降价x元，每天盈利y元（不计其他书籍），求y与x之间的函数关系式
(2)若书店每天想要在此教辅书上盈利1200元，每套应降价多少元？
(3)每套降价多少元时，书店每天销售这套教辅书的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
26．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如图，二次函数的图象顶点坐标为，且过．
(1)求该二次函数解析式；
(2)当时，则函数值的取值范围是 ．
27．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)点B的坐标为_____________．
(3)当时，x的取值的范围是_____________．
(4)当时，的取值的范围是_____________．
28．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）当时，的取值范围是______．
参考答案：
1．B
【分析】设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，又x2+bx+c=0时，△=0，列式求解即可．
【详解】抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴△=b2-4ac=0，
∴b2-4c=0，
设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，
(x1+x2)2 4x1x2＝(x1 x2)2
可得：b2-4（c-m）=9，
解得：m=．
故选B．
2．C
【分析】根据二次函数的性质，对称轴为，求出抛物线的另一个交点，根据二次函数图象的性质，即可
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
∴
∴
∴
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）
∵抛物线开口向下
∴当，．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，对称轴．
3．A
【分析】观察图象：根据图象开口方向得到a的范围；根据对称轴及a的范围可得b；抛物线与y轴的交点的位置确定c，从而可判断①；当时，即，从而可判断②；根据对称性，可得时图象在x轴上方，则，从而可判断③；根据二次函数在顶点处取得最值列式，可确定④的正误
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵对称轴为直线，在y轴的右侧，
∴a、b异号，
∴；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵当时，则，即，所以②不正确；
∴对称轴为直线，
∴时图象在x轴上方，
∴，所以③正确；
∵抛物线开口向下，
∴当，y有最大值；当时，，
∴，即，所以④正确．
∴正确的结论是①③④，共3个
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数的图象，当，开口向上，函数有最小值，，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c>0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当，抛物线与x轴有两个交点．
4．C
【分析】由图可知，当与新函数有3个交点时，过新函数的顶点，求出点的坐标，其纵坐标即为所求．
【详解】解：原二次函数，
∴顶点，
翻折后点对应的点为，
∴当直线与新函数的图象有3个公共点，直线过点，此时．
故选：C.
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，抛物线的性质，确定翻折后的顶点坐标；利用数形结合的方法是解本题的关键．
5．A
【详解】试题分析：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．
设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0， ∴﹣＞0．
设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+， ∵a＞0， ∴＞0，
∴a+b＞0．
考点：抛物线与x轴的交点
6．
【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
【详解】∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
7．(﹣5，0)
【分析】利用交点（﹣1，0），求出函数解析式中c=5，解一元二次方程求出图象与x轴的另一个交点．
【详解】解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
【点睛】此题考查了求二次函数与x轴的交点，正确掌握二次函数与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．
8．4
【分析】根据抛物线的解析式求得A、B的坐标，和对称轴方程，根据BC∥x轴，AD∥y轴对称B、C是抛物线上的对称点，所以BD=DC=2，因为顶点A到直线BC的距离最大，所以点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为DC AD=×2×4=4．
【详解】∵抛物线y=(x 2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.
∴A(2,0),B(0,4)，
∵抛物线y=(x 2)2与的对称轴为x=2,BC∥x轴,AD∥y轴，
∴直线AD就是抛物线y=(x 2)2与的对称轴，
∴B、C关于直线BD对称，
∴BD=DC=2，
∵顶点A到直线BC的距离最大，
∴点P与A重合时,△PCD面积最大,最大值为DC AD=×2×4=4.
故最大值为4.
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征.
9．
【分析】把代入求出y的值即可解答．
【详解】解：把代入可得，
故与轴的交点坐标是．
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟知函数与y轴交点坐标的求法是解题的关键．
10．（0，﹣3）
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标.
【详解】解：当x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
11．或
【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）
而对称轴x＝1
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）
当＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣1或x＞3
故答案为x＜﹣1或x＞3．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
12．
【分析】根据图象可直接进行求解．
【详解】解：由图象可得：当时，则有；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．
13．0＜x＜2
【分析】根据二次函数图像的对称性，找出对称轴、顶点，确定函数图像开口方向向下，进而找出点（2，-3）关于对称轴的对称点，则两个点之间的部分就是函数值>-3的部分，从而可以确定x的范围．
【详解】解：∵x＝﹣1和x＝3时，y＝﹣6，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝1，抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），抛物线开口方向向下，
∴点（2，﹣3）关于对称轴直线x＝1对称的点为：（0，﹣3），
∴不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为：0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性是解题的关键．
14．8
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点为（m,0），代入函数解析式得出，得出，代入即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（m,0），
∴将点（m,0）代入得，，
即
∴代数式的值为：
．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是用整体代入法求值．
15．4
【分析】令y＝0，求得抛物线在x轴上的交点坐标，即可求解．
【详解】当y＝0时，＝0，
解得：x＝5或1，
∴点A（5，0）和点B（1，0），
∴线段AB的长＝5-1＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16．18
【分析】先把原点坐标代入解析式求出k得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD，从而根据矩形面积公式计算即可．
【详解】把（0，0）代入y（x﹣3）2+k得：（0﹣3）2+k=0，解得：k=6，∴抛物线解析式为y（x﹣3）2+6，∴B点坐标为（3，6）．
∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD=3×6=18．
故答案为18．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
17．4≤t＜13．
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数y=t的有交点，再由-1＜x＜4的范围确定y的取值范围即可求解．
【详解】解：∵的对称轴为直线x=1，
∴，
∴，
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数y=t的有交点， ∵方程在-1＜x＜4的范围内有实数根，
如图，
当时，y=8； 当x=4时，y=13；
函数在x=1时有最小值4；
∴4≤t＜13．
故答案为4≤t＜13．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．
18．或
【分析】当时，抛物线开口向上，由题意可知，抛物线与轴的两个交点为，，进而根据图象即可求解．
【详解】解：，
抛物线开口向上，
方程的两个根是和1，
抛物线与轴的两个交点为，，因此抛物线的大致图象为：
由图可知，当时，的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象的特征是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，将点，代入解析式即可求解；
（2）在中，令，解得，得出,结合函数图像，即可求解；
（3）根据一次函数与二次函数的性质，结合函数图像即可求解；
（4）根据函数图像即可求解；
（5）由，令，求得抛物线与坐标轴的交点坐标，结合函数图像即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为
∵与轴交于点，
∴
解得：，
∴
（2）∵在中，令，解得，
∴,
结合函数图像可得，
当时，的取值范围是；
故答案为：；
（3）∵，,对称轴为，
∴当时，随的增大而减小，
将点，代入，
∴，
解得：，
∴，随的增大而减小，
∴当时，和都随着的增大而减小；
故答案为：；
（4）根据函数图像可知：当时，的取值范围是，
故答案为：；
（5）由，令，
即，
解得：，
根据函数图像可知，抛物线开口向下，
∴当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据函数图像求自变量或函数值的取值范围，掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
20．(1)；
(2)或；
(3)
【分析】（1）将点、代入抛物线解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，令，解方程即可求解；
（3）根据解析式配方成顶点式，求得最大值，进而根据与与抛物线对称轴的距离判断出最小值，即可求得的取值范围，即可求解．
【详解】（1）将点、代入抛物线解析式，得，，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
故答案为：；
（2）令中，，即：，
解得：，
∴这条抛物线与轴的交点坐标为或
故答案为：或；
（3）∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴当时，最大值为，
当时，当时，
∴当时，的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．(1)；；
(2)
(3)；矩形的周长为
(4)
【分析】（1）根据题意求得抛物线与轴的交点即可，将点代入直线解析式求得，将抛物线化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意，画出图形，当的横坐标大于顶点的横坐标即可求解；
（3）根据题意，画出图形，表示出的长度，根据二次函数的性质求得最值，进而即可求解；
（4）根据题意，可知当点在点的右侧时，符合题意，据此即可求解．
【详解】（1）解：由，令，
则，
解得：，
∴，
将点代入，即，
解得：，
∴一次函数解析式为，
由
∴顶点坐标为 ；
故答案为：；；；
（2）解：设抛物线顶点为，则，
∵的横坐标为，则的横坐标为，
∴的横坐标也为，
当落在矩形内部时，
∴
（3）解：如图，点在点、点之间运动，
∵的横坐标为，则，
∵在上，∴，
∴，
∴当时，线段的长取最大值，
此时，，
∴矩形的周长为；
（4）解：如图，
依题意，当点在点的右侧时，矩形内部的点的纵坐标随的增大先减小后增大
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，线段最值问题，矩形的性质，数形结合是解题的关键．
22．m=3，对称轴为直线x=1
【分析】先根据待定系数法求出二次函数的解析式，令y=0求解x即可求得m，进而可求得二次函数图象的对称轴．
【详解】解：将（2，3）和（－1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3，
令y=0，则﹣x2+2x+3=0，即x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=－1，x2=3，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为A（－1，0）和B（3，0），
∴m=3，
该二次函数图象的对称轴为直线x=1．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点问题、二次函数图象的对称轴，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤是解答的关键．
23．(1)C（0，3）
(2)
【分析】（1）令x＝0，求得函数y =ax2+（a﹣1）x+3的值即可求得；
（2）把B的坐标代入y =ax2+（a﹣1）x+3求得a＝-1，设平移后的解析式为，然后把B和B＇的坐标代入，利用待定系数法即可求得平移后的抛物线的解析式．
(1)
解：令x＝0，则y =ax2+（a﹣1）x+3＝3，
∴C（0，3）；
(2)
解：∵抛物线y1＝ax2+（a﹣1）x+3（a≠0）与x轴交于B（1，0），
∴a＋a-1＋3＝0，
∴a＝-1，
∴抛物线为：y1＝-x2-2x+3，
设平移后的解析式为，
∵平移后的抛物线经过B和B＇，
∴，解得，
∴平移后的解析式为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
24．(1)
(2)“可控变点”Q的横坐标为： 或．
【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案；
（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
【详解】（1）解：∵点，，
∴，
即点的“可控变点”坐标为，
（2）由题意得的图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上，
∵“可控变点”Q的纵坐标的是7，
当时，则时，解得，
∴“可控变点”Q的横坐标为：，
当时，时，解得，
∴“可控变点”Q的横坐标为：，
∴“可控变点”Q的横坐标为： 或．
【点睛】本题是新定义题，根据可控变点的定义，可得解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案，理解题意是解本题的关键．
25．(1)
(2)20元
(3)当每套降价15元时，盈利最大为1250元
【分析】（1）降价x元，则多卖出2x本资料，此时单本资料的利润减少为(40-x)，销售的总数量为(20+2x)本，据此即可作答；
（2）令y=1200，解一元二次方程即可求解；
（3）将函数关系式化成顶点式，即可求解．
【详解】（1）根据题意有：，
即y与x之间的函数关系为：；
（2）令y=1200，则有方程：，
整理，得：，
解得，，
∵要减少库存，扩大销售，
∴x=20，
答：每套要降价20元；
（3）将函数关系式变形为：，
∵，
∴当x=15时，y值最大，且最大值为y=1250，
即：当每套降价15元时，盈利最大为1250元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意列出函数关系式是解答本题的关键．
26．(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，将点代入求解即可；
（2）根据二次函数求出相应的值及二次函数的图象进行求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵二次函数的图象过，
∴代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，
由函数图象得：图象开口向上，
有最小值：即当时，；
∴的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
27．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）由图可知抛物线的顶点坐标为，即，然后将抛物线上的点代入即可求出的值，从而得解；
（2）对于抛物线的解析式，令，求出的值，即可求出点的坐标；
（3）观察图形，由数形结合即可得出答案；
（4）根据，观察抛物线求出的最大值与当时的函数值，即可得出答案．
【详解】（1）解：观察抛物线图像可知：抛物线的顶点为即，
，
又抛物线与x轴交于点，
，
，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
；
故答案为：；
（3）解：由 可知，抛物线的图像在直线的图像的上方，
；
故答案为：；
（4）解：，，
当时，的最大值为4；
当时，，
的取值的范围为：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质、求二次函数的解析式、抛物线与直线的交点问题等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质与数形结合的思想方法是解答此题的关键．
28．（1）；（2）或
【分析】（1）把，代入中求出，，即可得出答案；
（2）由二次函数的图像与性质即可得出答案．
【详解】（1）把，分别代入，得，
解得：，
∴；
（2）令得：，
解得：或，
∵，
∴开口向上，
∴当时，或．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的关键．22.3 实际问题与二次函数
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为 米．
3．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 米．
4．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）烟花厂为建党100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ．
三、解答题
5．（2022秋·吉林白山·九年级统考期末）康康发现超市里有一种长方体包装的果冻礼盒，四个果冻连续放置（如图2）．每个果冻高为6cm，底面直径为4cm，其轴截面的轮廓可近似地看作一段抛物线，如图1所示．
(1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出左侧第一条抛物线的函数表达式．
(2)为了节省包装成本，康康设计了一种新的包装方案：将相邻的果冻上下颠倒放置（相邻果冻紧贴于一点，但果冻之间无挤压），如图3所示．
①康康发现相邻两条紧贴于一点的抛物线成中心对称．请在你建立的坐标系中，求左侧两条抛物线的对称中心的坐标．
②按照康康的方案，包装盒的长度节省了多少厘米？
6．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）如图，在中点P从A点开始沿边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．设P，Q两点移动的时间为t秒，的面积为．
(1) cm；
(2)求S与t的函数关系式，并求出面积的最大值．
7．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如图，学校要用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．
(1)若矩形的面积为150平方米，求矩形的边的长．
(2)要想使花圃的面积最大，边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
8．（2022秋·吉林长春·九年级期末）已知抛物线L：y＝﹣x2+4x+a（a≠0）．
(1)抛物线L的对称轴为直线______．
(2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．
(3)当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部（包含边界）最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．
(4)点M的坐标为（4，﹣1），点N的坐标为（﹣1，﹣1），当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
9．（2022秋·吉林通化·九年级统考期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．P为抛物线上一点，横坐标为m．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)△ABP面积记为S，当0≤m≤时，求S的取值范围．
(3)当此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
10．（2022秋·吉林·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝8cm，点P以1cm/s的速度沿DA向终点A运动；同时点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BA向终点A运动；当一个点到达终点时，另一个点同时停止运动．设点P的运动时间为t ，线段PQ扫过的面积．
(1)AQ＝ cm（用含t的代数式表示）；
(2)求y与t之间的函数关系式；
(3)当线段PQ扫过的面积为矩形ABCD面积的时，求t的值．
11．（2022秋·吉林·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当轴时，求的面积；
（3）当该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值；
（4）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围．
12．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），第一象限内的点C在该抛物线上．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）若的面积为12，求点C坐标；
（3）在（2）问的条件下，直线y＝mx+n经过点A、C，（x﹣1）2﹣2＞mx+n时，直接写出x的取值范围．
13．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）将两个能完全重合的等腰直角三角板按图①所示的位置放置，其中，边在同一条直线上，点A与点F重合，点E与点B在点的两侧．现将三角板沿射线方向平移，如图②所示，在平移的过程中始终保持边在同一条直线上，平移至点F和点B重合时停止运动．设平移的距离为．
(1)________；
(2)当________时，点C落在边上；当________时，点C落在边上；
(3)设在平移的过程中，两个三角板重合部分的图形的面积为，求出S关于x的函数关系式．
14．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
(1)当点在边上时，正方形的边长为______（用含的代数式表示）．
(2)当点落在边上时，求的值．
(3)当点在边上时，求S与之间的函数关系式．
15．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿A→B→C向终点C匀速运动，在边AB，BC上分别以4cm/s，3cm/s的速度运动，同时点Q从点A出发，沿A→D→C向终点C匀速运动，在边AD，DC上分别以3cm/s，4cm/s的速度运动，连接PQ，设点P的运动时间为t（s），四边形PBDQ的面积为S（cm2）．
（1）当点P到达边AB的中点时，求PQ的长；
（2）求S与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
16．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如图，点、分别为抛物线、与轴交点，两条抛物线都经过点．点、分别在抛物线、上，点在点的上方，平行轴．设点的横坐标为．
（1）求和的值．
（2）求以、、、为顶点的四边形是平行四边形时的值．
（3）当为何值时，线段的长度取得最大值？并求出这个最大值．
（4）直接写出线段的长度随增大而减小的的取值范围．
17．（2022秋·吉林长春·九年级期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，她对此展开研究：测得喷水头距地面m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.5m；建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式（结果化为一般式）；
(2)小红站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4m，身高1.9m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离．
18．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个纪念品的进价是30元．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量，商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问：商家将该纪念品每个降价多少元时，能使每天获利最大，最大利润是多少？
19．（2022秋·吉林·九年级期末）如图，某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，每个蒸蛋器进价为20元，在销售过程中发现：当这款蒸蛋器销售单价为40元时，每星期卖出100台．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2台，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为台．
(1)请直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是1200元；
(3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大，并求最大利润．
20．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元）．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）求与之间的函数关系式．
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
21．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx-75．其图象如图所示．
⑴a＝ ；b＝ ；
⑵销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
⑶由图象可知，销售单价x在 时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
22．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元） 15 20 30 …
y（袋） 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
23．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）我市“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日纯收入．（日纯收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）
（1）若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的纯收入不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？
（2）该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？
24．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）如图，小明站在点O处练习发排球，将球从O点正上方的A点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球网与O点的水平距离为，高度，球场的边界距O点的水平距离为．
(1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式；
(2)请判断排球是否过网？是否出界？
25．（2022秋·吉林·九年级期末）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时，身体离地面最高4.75米，已知OA=1．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若人梯到起跳点A的水平距离为4米，求人梯BC的高．
26．（2022秋·吉林·九年级期末）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程．
(2)下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标为________．
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围．
27．（2022秋·吉林长春·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，．
(1)抛物线的解析式为___________；
(2)抛物线的顶点坐标为___________；
(3)若此抛物线上有3个点到直线的距离等于，求此3个点坐标；
(4)以，，，四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为，当时，直接写出的值．
四、计算题
28．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m，宽为4m，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为
（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E到地面BC的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米
29．（2022秋·吉林·九年级期末）某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表：
时间（秒） 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
相邻各点的距离（厘米） 0 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0
(1)当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米；
(2)请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来；
(3)通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度．
参考答案：
1．D
【分析】把代入解析式，再解方程即可得结论．
【详解】解：根据题意，当时，则，
解得：，，
∴两排灯的水平距离是．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
2．12
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
【详解】解：设铅球出手点为点A，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
∵当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，
∴抛物线的对称轴为直线x＝5，
∴﹣＝﹣＝＝5，
则b＝，
又∵抛物线经过（0，），
∴c＝，
∴，
当y＝0时，＝0，
整理得：x2﹣10x﹣24＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
3．8
【分析】水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-2x2+8x的顶点纵坐标，将y=-2x2+8x写成顶点式即可得出顶点坐标，从而求得答案．
【详解】解：由题意可知，水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-2x2+8x的顶点纵坐标，
∵y=-2x2+8x
=-2（x2-4x）
=-2（x-2）2+8，
∴顶点坐标为（2，8），
∴水喷出的最大高度是8米．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将实际问题与数学模型联系起来是解题的关键．
4．
【分析】根据题意求得顶点的横坐标即可求解．
【详解】解：依题意，，当时，取得最大值，
即从点火升空到引爆需要的时间为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意求得顶点的横坐标是解题的关键．
5．(1)
(2)①；②
【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将点A，B，C坐标代入求解即可；
（2）①根据左侧两条抛物线成中心对称，得到对称中心的纵坐标为3，将代入，求出x值即可得到对称中心的坐标；②计算出原包装盒的长度，及相邻两个果冻对称轴之间的距离，即可得到康康的方案中包装盒的长度，由此得到节省的长度．
【详解】（1）解：建立如图所示的直角坐标系，
由题意得，
∴，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
∴左侧第一条抛物线的函数表达式为．
（2）①∵左侧两条抛物线成中心对称，
∴对称中心的纵坐标为3，
当时，，
解得或（舍去），
∴对称中心的坐标为；
②原包装盒的长度为，
∵，
∴康康的方案中包装盒的长度为，
∴节省了．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意建立函数关系模型是解题的关键．
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据运动速度和运动方向写出BP长即可；
（2）利用三角形面积公式表示，利用二次函数的性质解题．
【详解】（1）由题可知，
，
故答案为：；
（2）经过t秒后，
∴，
∴在移动过程中，的最大面积是．
【点睛】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意，列出相应的函数关系式，运用二次函数的性质解题．
7．(1)10米
(2)边的长应为16米时，花圃面积最大为平方米
【分析】（1）设矩形的边米，则可表示矩形的边，由面积关系建立方程，解方程即可；
（2）设矩形的面积为平方米，矩形的边米，则可用含的代数式表示，且是一个二次函数关系，则可求得此二次函数的最大值，从而可得边的长．
【详解】（1）解：设矩形的边米，则边米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
由于可利用的墙长为16米，即，
不符合题意，应舍去，
，
即边的长为米；
（2）解：设矩形的面积为平方米，矩形的边米，则边米，
由题意得：，
，
，且，
当时，函数值S随自变量的增大而增大，
时，S有最大值，且最大值为，
所以边的长为米时，花圃的面积最大，最大面积为平方米．
【点睛】本题是函数与方程的综合应用，考查一元二次方程的实际应用及二次函数的实际应用，读懂题意，根据面积关系列出方程或函数关系式是解题的关键．求面积最大值时，要注意最大可利用的墙长为16米这个条件，即注意函数自变量的取值范围．
8．(1)x＝2
(2)﹣7＜a＜1
(3)矩形ABCD的周长为24或
(4)a的取值范围为﹣1＜a＜4或a＝﹣5时，抛物线L与线段MN有且只有一个公共点
【分析】（1）由y=-x2+4x+a=-（x-2）2+4+a，即可求解；
（2）由题意可得3＜4+a＜3，即可求解；
（3）分别求出A、B、C、D四点坐标，由题意可得-9a2-11a=2，求出a值即可求解；
（4）当4+a=-1时，a=-5，此时抛物线L与线段MN有且只有一个公共点；当或时，抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，解得-1＜a＜4．
【详解】（1）解：∵y＝﹣x2+4x+a＝﹣（x﹣2）2+4+a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
故答案为：x＝2；
（2）解：∵抛物线开口向下，
∴y＝﹣3与抛物线有两个不同的交点，
∵抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个，
∴，
解得：；
（3）解：如图：
由题意可知A（a，﹣a2+5a），B（﹣3a，﹣a2+5a），C（﹣3a，﹣9a2﹣11a），D（a，﹣9a2﹣11a），
由题意可得：﹣9a2﹣11a＝2，
解得：a＝﹣1或a，
当a时，AB＝﹣4a，AD＝﹣9a2﹣11a+a2﹣5a＝﹣8a2﹣16a，
∴矩形ABCD的周长＝2×（）；
当a＝﹣1时，AB＝4，AD＝8，
∴矩形ABCD的周长＝2×（4+8）＝24；
综上所述：矩形ABCD的周长为24或；
（4）解：∵M（4，﹣1），N（﹣1，﹣1），
∴MN∥x轴，
当x＝4时，y＝a，
当x＝﹣1时，y＝a﹣5，
当4+a＝﹣1时，a＝﹣5，此时抛物线L与线段MN有且只有一个公共点；
当或时，抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，
解得：﹣1＜a＜4；
综上所述；a的取值范围为﹣1＜a＜4或a＝﹣5时，抛物线L与线段MN有且只有一个公共点．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
9．(1)抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3
(2)S的取值范围为：≤S≤8
(3)m的值为：或
【分析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)过点P作PE⊥AB于点E,利用点P的纵坐标设出高PE的值，利用三角形的面积公式，求得三角形ABP的面积，利用配方法求得三角形ABP面积的最大值，则结论可求；
(3)由已知条件得到点P的纵坐标，列出关于m的方程，解方程即可求得结论．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），
∴ ，
解得： ．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过点P作PE⊥AB于点E，如图，
∵0≤m≤，
∴P（m，m2﹣2m﹣3）在第四象限，
∴PE＝﹣m2+2m+3．
∵A（﹣1，0），（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝4．
∴S△PAB＝AB PE
＝×4×（﹣m2+2m+3）
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8．
∴当m＝1时，S△PAB有最大值8．
∵0≤m≤，
∴当m＝时，S△PAB有最小值．
∴S的取值范围为：≤S≤8．
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4）．
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∵点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴点P不可能在点C的下方．
∴点P在点C的上方．
∴点P的纵坐标为﹣1，
令y＝﹣1，则m2﹣2m﹣3）＝﹣1．
解得：m＝1±．
∴m的值为：1+或1﹣．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，二次函数的极值，利用点坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意知动点P和Q同时出发，同时停止，故运动时间相同都是t（s），是Q点的运动路程，根据速度城市间等于路程求出BQ， AQ就是AB与BQ的差；
（2）线段PQ扫过的面积就等于四边形PQBD的面积，也就是直角三角形ABD和直角三角形APQ面积之差，所以计算出两个三角形的面积再相见便可得出答案；
（3）先求出矩形ABCD面积，再根据“线段PQ扫过的面积为矩形ABCD面积的”建立方程求解即可．由于两点运动到A就停止了，因此，求解后要进行取舍．
【详解】（1），
．
（2）
．
（3）
令，
解得或者，
∵点P运动的点A的时间为
∴，
∴舍去，答案为．
【点睛】本题主要考查了几何上的动点问题、面积问题以及解二次方程，能理解动点的运动轨迹和正确的解二次方程并根据具体问题对解进行取舍是做出本题的关键．
11．（1）；（2）的面积为1；（3）此时的取值范围为，定值为4；（4）的取值范围为或．
【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式；
（2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道BP∥x轴，根据三角形的面积公式可得结论；
（3）根据图象可得当抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时，点P的位置，从而确定m的取值范围；
（4）分三种情况讨论满足d-n=1时，m的取值范围．
【详解】解：（1）把点、代入得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，
点为，
当轴时，点与点关于对称轴对称，
点，
，点到的距离为1，
，
的面积为1；
（3）设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示，
点与点关于直线对称，
点为
当点在点和点之间时，点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值4，
此时的取值范围为：；
（4）过点作轴交抛物线于点，此时点与点关于对称轴对称，，如图所示：
①当点在点和点之间时，即时，，，
，
，
解得：（不合题意）；
②当点在点和点之间时，即时，，，
符合题意，
，
③当点在点下方时，即时，，
，
，
，
或，
解得：或或，
，
．
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质等知识；会利用待定系数法求函数解析式；关键是根据已知条件讨论点P的位置．
12．（1）A（-1，0），B（3，0）；
（2）C（5，6）；
（3）x＜-1或x＞5，
【分析】（1）根据题意令y=0，列出方程然后解方程即可求得A、B两点的坐标；
（2）由题意根据三角形ABC的面积求得C的纵坐标，进而代入解析式即可求得C的坐标；
（3）由题意直接根据图象进行观察分析即可求得x的取值范围．
【详解】解：（1）令y=0，则（x-1）2-2=0，
解得，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵，
∴×4×yC=12，
解得yC=6，
∴，
解得（不符题意，舍去），
∴C（5，6）；
（3）由图象可知，当时，x的取值范围是x＜-1或x＞5，
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，注意掌握二次函数图象的基本性质以及利用数形结合是解题的关键．
13．(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解；
（2）根据点的位置，分4种情况讨论，分别求得重叠面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
（2）∵，
∴当点在的中点时，即当时，点C落在上，
当点C落在边上时，；
即当时，点C落在边上；
故答案为：，．
（3）解：如图所示，
设交于点，
由（2）可得，当时，重合面积为的面积，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
当时，如图所示，
；
当重合时，此时，
当时，
如图所示，设交分别为，依题意，是等腰直角三角形，
当时，
如图所示，
∴
∴
【点睛】本题考查了动点问题的 二次函数关系式，勾股定理，平移的性质，分类讨论是解题的关键．
14．(1)
(2)
(3)当时，；当时，
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：，可得；
（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：，即，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；
【详解】（1）解：∵，，
∴，且，
∴，
∴，
（2）如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）当时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积，
即，
当时，如图，正方形与重叠部分图形的面积为五边形的面积，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，
而，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
综上所述，S与t之间的函数关系式为．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、重叠部分的面积等知识．先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，再利用数形结合的思想，确定重叠部分图形的形状是解题的关键．
15．（1）；（2）S＝﹣6t2+24t﹣18（1＜t＜2）
【分析】（1）根据题意用t表示出AP、AQ，求出AP，计算即可；
（2）分点P在边AB上、点P在边BC上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算．
【详解】解：（1）由题意得，当点P在线段AB上时，AP＝4t，AQ＝3t，
当点P到达边AB的中点时，AP＝2，即4t＝2，解得，t＝ ，∴AQ＝，
∴PQ＝（cm）；
（2）当点P在边AB上时，
S＝×AB×AD﹣×AP×AQ，＝6﹣6t2（0＜t＜1）；
当点P在边BC上时，
CP＝3﹣3（t﹣1）＝6﹣3t，CQ＝4﹣4（t﹣1）＝8﹣4t，
S＝×BC×CD﹣×CP×CQ，＝﹣6t2+24t﹣18（1＜t＜2）．
【点睛】本题考查了四边形的动点问题，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
16．（1），．（2）m值为或．（3）．（4）≤m＜6.
【分析】（1）把点的坐标代入两抛物线解析式，计算即可求出、的值；
（2）求出、的坐标，然后求出的长度，再根据点的横坐标利用抛物线解析式表示出点、的坐标，然后表示出的长度，根据平行四边形的对边平行且相等列出方程，然后求解即可得到的值；
（3）根据线段的表达式转化为顶点式解析式，再利用二次函数的最值问题解答即可；
（4）根据的表达式的顶点式形式，利用二次函数的增减性解答即可．
【详解】解：（1）两条抛物线都经过点，
，
解得，
，
解得；
（2）根据题意，点的坐标为，点的坐标为，
所以，，
点的横坐标为，
，
轴，
点，
，
当时，，
整理得，，
解得，，
故以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或；
（3）由（2）知，，
所以，当时，线段的长度最大，线段的最大长度为；
（4）由（3）知，，
所以，线段的长度随增大而减小的的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对边平行且相等的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，综合性较强，但难度不大，把点的坐标代入函数解析式求出、的值是解题的关键，也是本题的突破口．
17．(1)
(2)小红与哥哥的水平距离是3m或5m
【分析】（1）由题意可知，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为：，将代入抛物线解析式中，用待定系数法求解即可；
（2）当时，将其代入抛物线解析式中求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为：，将代入得，
，
解得：，
∴，
答：抛物线的表达式为；
（2）解：当时，
，
解得：或，
∴她与哥哥的水平距离为（m），或（m），
答：当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，小红与哥哥的水平距离是3m或5m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
18．商家将该类纪念品每个降价5元时，能使每天获利最大，最大利润为405元
【分析】根据等量关系：单件利润×销售量=总利润，列二次函数解答即可．
【详解】解：设每个降价x元，每天获得利润为y元
由题意得：
∴y是x的二次函数，当时，y最大值为405．
答：商家将该类纪念品每个降价5元时，能使每天获利最大，最大利润为405元．
【点睛】本题考查二次函数的应用——销售问题，解题的关键是正确理解题意，掌握基本等量关系：单件利润×销售量=总利润．
19．(1)
(2)当销售单价是元时，该网店每星期的销售利润是1200元
(3)当销售单价是元时，该网店每星期的销售利润最大，最大是元
【分析】（1）利用每涨价1元，每星期少卖出2台，列出函数关系式即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可；
（3）设该网店每星期的销售利润为元，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出二次函数，求最值即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∵，
∴，
∵提价销售，
∴，
∴；
（2）解：由题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）；
∴当销售单价是元时，该网店每星期的销售利润是1200元；
（3）解：设该网店每星期的销售利润为元，
则：，
∵，
∴当时，有最大值：元；
∴当销售单价是元时，该网店每星期的销售利润最大，最大是元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，二次函数解析式，是解题的关键．
20．（1）；（2）；（3）当每件商品的售价定为36元时，每天销售利润最大，最大利润是768元.
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，然后运用待定系数法解答即可；
（2）根据“每件利润×销售量=总利润”列出w与x之间的函数关系式即可；
（3）根据（2）w与x之间的函数关系式，然后利用二次函数性质求最值即可.
【详解】解：（1）设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得，
故与的函数关系式为；
（2）∵，
∴
，
即与之间的函数关系式为；
（3）
，
∵，，
∴当时，取得最大值，
.
答：当每件商品的售价定为36元时，每天销售利润最大，最大利润是768元.
【点睛】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式、理解题意确定相等关系并据此列出函数解析式是解答本题的关键.
21．（1）-1，20；（2）当x=10时，该商品的销售利润最大，最大利润是25元；（3）7≤x≤13
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用配方法求出二次函数最值即可；
（3）根据题意令y=16，解方程可得x的值，结合图象可知x的范围．
【详解】解：（1）y=ax2+bx-75图象过点（5，0）、（7，16），
∴
解得：
故答案为-1，20
⑵∵
∴当x=10时，该商品的销售利润最大，最大利润是25元．
⑶根据题意，当y=16时，得：-x2+20x-75=16，
解得：x1=7，x2=13，
即销售单价7≤x≤13时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键．
22．（1）y＝﹣x+40；（2）要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.
【分析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可
(2)利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可.
【详解】(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝kx+b得
，解得，
故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y＝﹣x+40；
(2)依题意，设利润为w元，得
w＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣x2+50x-400，
整理得w＝﹣(x﹣25)2+225，
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
23．（1）①y=400（x﹣5）﹣600；②9；（2）每份套餐的售价为12元时，日纯收入为1640元．
【分析】（1）①利用每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），以及每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份得出等式求出即可；
②由题意得400（x﹣5）﹣600≥800，解出x的取值范围即可．
（2）由题意可得y与x的函数关系式，由二次函数的性质即可得到每份套餐的售价应定为多少元，并且此时日纯收入的钱数可计算得出．
【详解】（1）①y=400（x﹣5）﹣600．
②依题意得：400（x﹣5）﹣600≥800，解得：x≥8.5，∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x（元）取整数，∴每份套餐的售价应不低于9元．
（2）当5＜x≤10时，销量为400（份），x=10，日净收入最大为y=400×10﹣2600=1400 （元）
当x＞10时，y=（x﹣5） [400﹣（x﹣10）×40]﹣600=﹣40（x﹣12.5）2+1650，又∵x只能为整数，∴当x=12或13时，日销售利润最大，但为了吸引顾客，提高销量，取x=12，此时的日利润为：﹣40（12﹣12.5）2+1650=1640元；
答：每份套餐的售价为12元时，日纯收入为1640元．
24．(1)；
(2)排球能过网；不会出界．
【分析】（1）根据题意列出抛物线的顶点式解析式，再把代入解析式求出，即可得到与的函数关系式；
（2）把代入解析式求出值与比较，把代入解析式，求出值与比较，即可得到答案．
【详解】（1）解：球与O点的水平距离为时，达到最高，
抛物线的解析式为，
抛物线经过点，
，
，
与的函数关系式为
（2）解：当时，，
排球能过网；
当时，，
解得：，（舍），
排球不会出界．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
25．（1）；（2）人梯BC的高为米．
【分析】（1）根据题意得：抛物线的顶点为（2.5，4.75），A（0，1），可设此抛物线的解析式为，再将A（0，1）代入，即可求解；
（2）把x=4代入，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：抛物线的顶点为（2.5，4.75），A（0，1），
可设此抛物线的解析式为，
把A（0，1）代入，得
，
解得 ．
∴ ；
（2）当x=4时，
．
∴人梯BC的高为米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确求出二次函数的解析式是解题的关键．
26．(1)，喷出水的最大射程为
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得；
（2）根据对称性求出平移分式，再根据平移方式即可求出点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可．
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
则设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点是由点向左平移得到，
∴点的坐标为，
故答案为：．
（3）解：如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
当抛物线恰好经过点时，．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
27．(1)，；
(2)
(3)，，．
(4)，
【分析】（1）根据待定系数法把，代入解得．
（2）把二次函数变成顶点式即可求得顶点坐标．
（3）根据图像性质分析出3个点距离为，包含顶点，求出，求出另外两个点的纵坐标，代入函数求出即可．
（4）结合函数图像，分情况讨论，把两个临界点的距离差表示出来，分别求出．
【详解】（1）把，代入解得
，
∴，；
（2）由(1)可得，
把顶点式，
顶点坐标为
（3）∵抛物线上有3个点到直线的距离等于，
∴顶点坐标到的距离为，
∴，
∴另外两点的纵坐标为，
∴
解得：，
，
∴3个点坐标，，．
（4）当时，即
结合函数图像可知，
为横坐标，为内部最低点，纵坐标为，
为横坐标，为内部最高点，纵坐标为，
∴
解得：（舍去），（舍去）；
当时，即，
第一种情况当离对称轴近
结合函数图像可知，
抛物线为内部最低点，纵坐标为，
为横坐标，为内部最高点，纵坐标为，
∴
解得：， （舍去）
第二种情况当离对称轴近
结合函数图像可知，
抛物线为内部最低点，纵坐标为，
为横坐标，为内部最高点，纵坐标为，
∴
解得：（舍去）， ；
当时
结合函数图像可知，
为横坐标，为内部最高点，纵坐标为，
为横坐标，为内部最低点，纵坐标为，
∴
解得：（舍去），（舍去）
故的值为：，．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，两点距离，求函数解析式，解题的关键是待定系数法，两点距离问题运用．
28．（1）抛物线的表达式为，拱顶E到地面BC的距离为10m；（2）这辆货车能安全通过；（3）两排灯的水平距离最小是米．
【分析】（1）先确定D点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，根据解析式可得出拱顶E到地面BC的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为y轴，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（4，0）或（-4，0），然后计算自变量为-4或4的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断．
（3）将y=8代入函数求得x，再结合函数的对称性即可求得最小距离．
【详解】解：（1）∵矩形的长为12m，宽为4m，
∴,
代入得，解得，
∴抛物线的表达式为，拱顶E到地面BC的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OC的交点为，与OB的交点为
将或代入到得，
所以这辆货车能安全通过．
（3）将y=8代入得，解得，
所以两排灯的水平距离最小是米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
29．(1)0.8
(2)见解析
(3)250米
【分析】（1）根据表格即可求得答案；
（2）设时间为x秒，滑行距离为y cm，计算出y的对应值，画出图象即可；
（3）根据图象求出二次函数解析式，再把x的值代入可得答案．
【详解】（1）解：由表格可知，，，
∴当时间为0.04秒时，滑行距离是0.8厘米；
（2）解：如图，
（3）根据图象设y=ax2+bx，
把（0.02，0.3）和（0.04，0.8）代入得
解得
∴y与x的关系式为y=250x2+10x，
当x=10时，y=250×100+10×10=25100，
答：滑行10秒时直线斜坡轨道的长度是251m．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练应用待定系数法确定函数关系式是解题关键．
