25.1 随机事件与概率
一、单选题
1．（2022秋·吉林·九年级期末）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
2．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．三角形的外心到三边的距离相等
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一个三角形，其内角和是 180°
D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
3．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水满则溢 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
4．（2022秋·吉林四平·九年级期末）下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买二张彩票，一定中奖 B．打开电视，正在播放极限挑战
C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
5．（2022秋·吉林·九年级统考期末）下列事件是随机事件的是（ ）
A．2021年全年有402天
B．4年后数学课代表会考上清华大学
C．刚出生的婴儿体重50公斤
D．袋中只有10个红球，任意摸出一个球是红球
6．（2022秋·吉林白山·九年级统考期末）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．一匹马奔跑的速度是100米/秒 B．射击运动员射击一次，命中10环
C．班里有两名同学的生日在同一天 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
7．（2022秋·吉林通化·九年级统考期末）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这3个球除颜色外完全相同，现从中随机抽取1个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抽到的是红球 B．抽到的是白球
C．抽到的是黑球 D．抽到的是红球或白球
8．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）任意转动如图的指针，指针（ ）
A．一定停在黑色区域 B．很有可能停在黑色区域
C．偶尔停在黑色区域 D．不可能停在黑色区域
9．（2022秋·吉林·九年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．“明天有雪”是随机事件
B．“太阳从西方升起”是必然事件
C．“翻开九年数学书，恰好是第35页”是不可能事件
D．连续抛掷100次质地均匀的硬币，55次正面朝上，因此正面朝上的概率是55%
10．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“6”的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）下列事件：①长春市某天的最低气温为-200℃；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，其中是随机事件的是 （只填写序号）．
13．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）转动如图所示的这些可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列为 ．
14．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）一个有理数的绝对值为负数”，这一事件是 事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”）
15．（2022秋·吉林·九年级期末）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，它们除了数字外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字大于4的概率是 ．
16．（2022秋·吉林·九年级期末）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．
17．（2022秋·吉林长春·九年级期末）一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为 ．
18．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
19．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）从3名男生和2名女生中随机抽取“支援江苏、抗击疫情”志愿者，若抽取1名，则恰好抽到1名男生的概率是 ．
20．（2022秋·吉林·九年级期末）某校九年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7个网络教室，3个是语文答疑教室．为了解九年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为 ．
21．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）在一个不透明的袋子中，装有若干个除颜色外都相同的小球，其中有8个红球和n个黑球，从袋中任意摸出一个球，若摸出黑球的概率是，则n＝ ．
22．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 ．
23．（2022秋·吉林长春·九年级期末）如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是 .
参考答案：
1．D
【分析】直接根据随机事件的概念即可得出结论．
【详解】购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件．
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵活作出判断．
2．C
【详解】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选C．
点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A．水满则溢，是必然事件，不符合题意；
B．水涨船高，是必然事件，不符合题意；
C．水滴石穿，是必然事件，不符合题意；
D．水中捞月，是不可能事件，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．D
【分析】由题意根据必然事件、随机事件，不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．
【详解】解：A．购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必然事件，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的意义是正确判断的前提．
5．B
【分析】随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、2021年全年有402天，是不可能事件，不符合题意；
B、4年后数学课代表会考上清华大学，是随机事件，符合题意；
C、刚出生的婴儿体重50公斤，是不可能事件，不符合题意；
D、袋中只有10个红球，任意摸出一个球是红球，是必然事件，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件的概念是解答的关键．
6．A
【分析】根据随机事件的相关概念可进行求解．
【详解】解：A、一匹马奔跑的速度是100米/秒，是不可能事件，故符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环；是随机事件，故不符合题意；
C、班里有两名同学的生日在同一天，是随机事件；故不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的相关概念是解题的关键．
7．D
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【详解】解：一个不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这3个球除颜色外完全相同，现从中随机抽取1个球，
A．抽到的是红球，这是随机事件，故A不符合题意；
B．抽到的是白球，这是随机事件，故B不符合题意；
C．抽到的是黑球，这是不可能事件，故C不符合题意；
D．抽到的是红球或白球，这是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】点评本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键.
8．B
【分析】观察图形，得到黑色区域要大于白色区域，即可求解．
【详解】解：观察图形，可以得到黑色区域要大于白色区域，
任意转动指针，则指针很可能停在黑色区域
故选B
【点睛】此题考查了概率的基本知识，熟练掌握概率的求解方法是解题的关键．
9．A
【分析】直接利用随机事件的定义以及概率的意义分别分析得出答案．
【详解】解：A、“明天有雪”是随机事件，该选项正确，符合题意；
B、“太阳从西方升起”是不可能事件，原说法错误，该选项不符合题意；
C、“翻开九年数学书，恰好是第35页” 是随机事件，原说法错误，该选项不符合题意；
D、连续抛掷100次质地均匀的硬币，55次正面朝上，因此正面朝上的概率是55%，说法错误，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率的意义以及随机事件，正确把握定义是解题关键．
10．D
【分析】直接用黑球的个数除以球的总个数即可得到答案．
【详解】解：由题意得：从袋子中随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是．
故选D．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式．
11．D
【分析】先弄清正方体骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出掷得“6”的概率．
【详解】解：因为抛掷一枚正方体骰子共有六种情况出现，
因此掷得“6”的概率是．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
12．②
【分析】根据随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件对各项进行判断即可得出答案．
【详解】解：①长春市某天的最低气温为-200℃，是不可能事件，故不符合题意；
②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票，是随机事件，符合题意；
③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，是必然事件，故不符合题意；
故答案为：②．
【点睛】本题考查了随机事件的定义，解题的关键在于正确掌握随机事件的定义．
13．①③②
【分析】指针落在白色区域内的可能性是：白色÷总面积，比较白色部分的面积即可．
【详解】解：指针落在白色区域内的可能性分别为：，，
∴从小到大的顺序为：①③②．
【点睛】此题主要考查了可能性大小的比较：只要总情况数目（面积）相同，谁包含的情况数目（面积）多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况（面积）相当，那么它们的可能性就相等．
14．不可能
【分析】根据不可能事件的概念判断即可．
【详解】∵有理数的绝对值一定大于等于零，即不可能是负数．
∴“一个有理数的绝对值为负数”是不可能事件．
故答案为：不可能．
【点睛】此题考查了不可能事件的概念，解题的关键是熟练掌握不可能事件的概念．
15．
【分析】根据概率的求法，用标有大于4的球的个数除以球的总个数即可得所标数字大于4的概率．
【详解】解：∵箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，
∴球上所标数字大于4的共有2个，
∴摸出的球上所标数字大于4的概率是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
16．
【分析】直接由概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光，
任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果，
小灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比．
17．
【详解】分析：首先确定阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
详解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为，
故答案为．
点睛：此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
18．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】∵共4+3+2=9个球，有2个红球，∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为.
故答案为.
考点：概率公式．
19．
【分析】先求出总人数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵总人数为：（人），其中男生有3名，
∴抽取1名，则恰好是1名男生的概率是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
20．
【分析】根据概率公式即可求出该教室是数学答疑教室的概率．
【详解】解：根据题意可知：
共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室，
管理人员随机进入一个网络教室，
则该教室是数学答疑教室的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解决本题的关键是掌握概率公式．
21．
【分析】根据概率公式计算即可
【详解】共有个球，其中黑色球个
从中任意摸出一球，摸出黑色球的概率是．
解得
经检验，是原方程的解
故答案为：
【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比．
22．1
【分析】设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：，
解得：x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
∴黄球的个数为1个．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．
【分析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．
【详解】解：小虫落到阴影部分的概率＝，
故答案为．
【点睛】本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．25.2 用列举法求概率
一、解答题
1．（2022秋·吉林·九年级期末）有四张背面完全相同的卡片、、、，其中正面分别写着不同的度数，小华将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，先随机抽出一张卡片（不放回），再随机抽出一张卡片．用画树状图（或列表）的方法求抽出两张卡片上所写角度恰好互补的概率．
2．（2022秋·吉林长春·九年级期末）小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取—张邮票是“立春”的概率是______．
(2)小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
3．（2022秋·吉林长春·九年级期末）今年是农历癸卯年，即兔年，如图，现有三张正面印有不同兔图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小希从中随机抽取一张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小希两次抽出的卡片图案相同的概率．
4．（2022秋·吉林长春·九年级期末）有四张背面完全相同的卡片、、、，其中正面分别画有几个不同的几何图形，小敏将这四张卡片背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．请用树状图（或列表法），求摸出两张卡片正面所画的几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
5．（2022秋·吉林长春·九年级期末）在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为上1，2，3，4的小球，这些球除标号外无其它差别，从布袋里随机取出一个小球，记下标号为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下标号为y，记点P的坐标为．
(1)请用面树状图或列表的方法，求两次取出的小球标号之和等于5的概率；
(2)点落在直线上的概率__________．
6．（2022秋·吉林·九年级期末）某班有四名重试近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的“爱眼护眼”座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和乙的概率．
7．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率．
8．（2022秋·吉林·九年级期末）如图是三个从外观看毫无差别的鸡蛋，其中有两个是熟鸡蛋，一个是生鸡蛋．若从中随机取出两个鸡蛋，请用画树状图或列表的方法求两个鸡蛋正好都是熟鸡蛋的概率．
9．（2022秋·吉林·九年级期末）小刚所在的社区为了做好应对新冠疫情的防控工作，特招募社区抗疫志愿工作者．小刚的爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到 A（体温检测），B（便民代购），C（环境消杀）其中一组．
(1)小刚的爸爸被分到 C 组的概率是 ；
(2)小明的爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的概率．
10．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
(1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
(2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点在函数的图象上的概率．
11．（2022秋·吉林长春·九年级期末）“冬奥在北京·体验在吉林”，第六届吉林国际冰雪产业博览会于2021年12月18日正式启幕．某大学团委决定从四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加，抽签规则：将作为四名志愿者的代号分别写在四张完全相同的、不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下代号，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下代号．请你用列表法或画树状图法求出两名志愿者同时被选中的概率．
12．（2022秋·吉林通化·九年级统考期末）在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4，甲、乙两名同学做摸球游戏游戏规则是：甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则甲胜，否则乙胜．
(1)用列表法或画树状图法，求甲胜的概率；
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
13．（2022秋·吉林长春·九年级期末）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字2、3、4，每个小球除数字不同外其余均相同．
(1)若融融同学从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是奇数的概率是______．
(2)若融融同学从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回，再随机摸出一个小球，记下数字．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球上的数字都是偶数的概率．
14．（2022秋·吉林四平·九年级期末）为了更好防控疫情，某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士指导某社区预防疫情工作．用树状图（或列表法）求恰好选中医生甲和护士A的概率．
15．（2022秋·吉林长春·九年级期末）某校围棋队共有4名队员，分别是：小明、小红、小聪、小丽，其中小明、小红来自八年级，小聪、小丽来自九年级，现准备抽取两名队员参加集训．
(1)若从八年级、九年级中各随机抽取一人，则小红和小丽恰好被抽到参加集训的概率为 ；
(2)若从四名队员中随机抽取两名队员，请用列表法或画树状图法求抽到小明和小聪的概率．
16．（2022秋·吉林·九年级期末）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字1、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同．甲先从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回；若两次摸出的小球上数字之和是奇数，则乙获胜．用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
17．（2022秋·吉林·九年级期末）现有甲、乙两个不透明的布袋，其中甲布袋里有3个红球，1个白球，乙布袋里有一个红球，1个白球．
(1)从甲布袋中随机摸出1个小球，摸出的小球是红球的概率是 ；
(2)从甲、乙两个布袋中各随机摸出1个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率（用列表法或画树状图的方法求解）．
18．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）不透明的口袋里装有2个红球和2个黄球（除颜色不同外，其它都相同）．现进行两次摸球活动，第一次随机摸出一个小球后不放回，第二次再随机摸出一个小球，请用树状图或列表法，求两次摸出的都是红球的概率．
19．（2022秋·吉林·九年级统考期末）从两副完全相同的扑克中，抽出两张黑桃5和两张梅花8，现将这四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌子上，
（1）问从中随机抽取一张扑克牌是梅花8的概率是多少？
（2）利用树状图或列表法表示从中随机抽取两张扑克牌成为一对的概率．
20．（2022秋·吉林白城·九年级统考期末）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同，现在两辆汽车经过这个十字路口．请用“树形图”或“列表法”求这两辆汽车都向左转的概率．
21．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）今年夏天，某市出现大暴雨，部分街区积水严重，小明和小亮所在的社区为了做好排涝工作，特招募社区抗涝志愿工作者．小明和小亮决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（淤泥清理），B（垃圾搬运），C（街道冲洗），D（消毒灭杀）其中一组．
（1）志愿者小明被分配到D组服务是 ．
A．不可能事件；B．随机事件；C．必然事件；D．确定事件．
（2）请用列表或画树状图的方法，求出志愿者小明和小亮被分配到同一组服务的概率．
22．（2022秋·吉林·九年级统考期末）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
23．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
24．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）第一盒中有个白球、个黄球，第二盒中有个白球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）若从第一盒中随机取出个球，则取出的球是白球的概率是 ．
（2）若分别从每个盒中随机取出个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好个白球、个黄球的概率．
25．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（）请直接写出袋子中白球的个数．
（）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
二、填空题
26．（2022秋·吉林白山·九年级统考期末）九（1）班同学到基地参加实践活动，第一天的活动安排如表．若每半天的活动项目随机抽签决定，则九（1）班同学上午抽到“旱地冰壶”，下午抽到“甜品派对”的概率是 ．
时间 活动项目
上午 高空拓展 旱地冰壶
下午 甜品派对 花样水饺
27．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，一人从中随机摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是
三、应用题
28．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求下列事件的概率：
（1）取出的2个球都是黄球；
（2）取出的2个球中1个白球、1个黄球．
参考答案：
1．
【分析】根据画树状图法解两步概率问题的方法步骤，画图、分析可能结果、再利用概率公式求解即可得到答案．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽出两张卡片上所写角度恰好互补的结果有2种，
∴抽出两张卡片上所写角度恰好互补的概率为．
【点睛】本题考查画树状图法解两步概率问题，熟练掌握列举法求两步概率问题是解决问题的关键．
2．(1)
(2)小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率
【分析】（1）根据概率公式解答；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的可能性有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：一共有三种可能，
小明从中随机抽取—张邮票是“立春”的概率是；
故答案为：；
（2）解：列树状图：
共有9种等可能情况，两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的可能性有5种，
故小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
3．
【分析】画出树状图，共有6个等可能的结果，小希两次抽出的卡片图案相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
共有6个等可能的结果，小希两次抽出的卡片图案相同的结果有3种，
所以，（小希两次抽出的卡片图案相同）．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．
【分析】先列表，再从中找出摸出的两张纸牌面上所画几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】、、、中既是轴对称图形又是中心对称图形的的是B、C．
列表为：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果数，其中摸出的两张纸牌面上所画几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果数为4，即：．
所以摸出的两张纸牌面上所画几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中确定符合事件的数目，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
5．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据题意画出树状图并分析求解即可；
（2）根据（1）中所画树状图并结合一次函数的图像与性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，作树状图如下，
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两次取出的小球标号之和等于5的有4种，
∴两次取出的小球标号之和等于5的概率为：
；
（2）由树状图可知，点落在直线上，
即的情况共计有2种，
∴点落在直线上的概率为：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了随机抽样求概率以及判断点是否在一次函数图像上；解题关键是根据题意正确画出树状图．
6．
【分析】根据列表法或树状图法得出所有的结果，然后找出满足条件的结果即可得出结果．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
7．
【分析】根据画出树状图，再用概率公式计算概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的结果有2种，
∴抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．
【分析】画树状图先得到所有的等可能性的结果数，然后找到取出的两个鸡蛋都是熟鸡蛋的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：用A、B分别表示两个熟鸡蛋，C表示一个生鸡蛋，画树状图如下所示：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中取出的两个鸡蛋都是熟鸡蛋的结果数有2种，
∴取出的两个鸡蛋都是熟鸡蛋的概率．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，熟练掌握树状图法或列表法求解概率是解题的关键．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，找出小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】（1）解：P（小刚的爸爸被分到C组）=，
故答案为;
（2）解：根据题意，可画树状图如下：
其中第一层表示小刚爸爸的分组结果，第二层表示小明爸爸的分组结果，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的结果有3种，
∴P（小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组）=．
【点睛】本题考查概率的求解，简单概率问题直接利用概率公式即可得出，复杂一些的概率题目可通过画树状图或列表来求得概率．
10．(1)P（奇数）
(2)P（点在函数的图象上）
【分析】（1）直接利用简单事件的概率公式计算可得；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与由x，y确定的点在函数的图象上的的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）解：P（奇数）
（2）解：列表得：
xy 1 2 3 4
1
2
3
4
共有12种等可能的结果，其中点在函数的图象上的有2种，
∴.P（点在函数的图象上）
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意区分所摸球是放回实验还是不放回实验是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者被选中的结果有2种，
∴A，B两名志愿者被选中的概率为．
【点睛】本题考查用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．(1)甲胜的概率为
(2)这个游戏不公平，理由见解析
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为奇数的结果有4种，再由概率公式求出乙胜的概率，比较大小即可．
【详解】（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有2种，
∴甲胜的概率为；
（2）这个游戏不公平，理由如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为奇数的结果有4种，
∴乙胜的概率为，
由（1）得：甲胜的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率计算公式，即可得到答案．
（2）运用树状图或者列表法，可以得到一共有9种等可能性，符合题意的有4种．
【详解】（1）解： ∵数字2、3、4中，只有3是奇数，
∴从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是奇数的概率是．
故答案为：．
（2）解：树状图如下：
所以P（两次摸出的小球上的数字都是偶数）=.
【点睛】本题考查了概率的计算方法，掌握概率公式，树状图或列表法求概率的方法，是解题的关键．
14．恰好选中医生甲和护士的概率为
【分析】先画出树状图，从而可得选取一位医生和一名护士的所有可能的结果，再找出恰好选中医生甲和护士的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意，画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能的结果，其中，恰好选中医生甲和护士的结果只有1种，
则恰好选中医生甲和护士的概率为，
答：恰好选中医生甲和护士的概率为．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
15．(1)；
(2)
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到小红和小丽恰好被抽到参加集训的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到小明和小聪恰好被抽到参加集训的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：（1）列表如下：
小明 小红
小聪 （小明，小聪） （小红，小聪）
小丽 （小明，小丽） （小红，小丽）
由表可知，共有4种等可能结果，其中小红和小丽恰好被抽到参加集训的有1种结果，
所以小红和小丽恰好被抽到参加集训的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
小明 小红 小聪 小丽
小明 （小红，小明） （小聪，小明） （小丽，小明）
小红 （小明，小红） （小聪，小红） （小丽，小红）
小聪 （小明，小聪） （小红，小聪） （小丽，小聪）
小丽 （小明，小丽） （小红，小丽） （小聪，小丽）
由表知，共有12种等可能结果，其中抽到小明和小聪的有2种结果，
∴抽到小明和小聪的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．这个游戏对双方不公平．
【分析】画树状图或者列表表示出所有等可能结果，从中找到和为奇数和偶数的结果数，再根据概率公式分别求出两人获胜的概率，从而求出答案．
【详解】画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果
（甲获胜）= ，（乙获胜）=
这个游戏对双方不公平．
列表如下：
列表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果
（甲获胜）= ，（乙获胜）=
这个游戏对双方不公平．
【点睛】本题考查的是游戏的公平性问题、用画树状图法或者列表法求概率．树状图法适合两步或者两步以上完成的事件，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件．
17．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所以等可能的情况数，找出摸出的2个球都是红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
(1)
解：∵甲布袋里有3个红球，1个白球，共有4个球，
∴摸出的小球是红球的概率是，
故答案为：；
(2)
解：根据题意，画树状图为：
所有等可能的结果有8个，其中摸出的两个球都是红球的有3个，
所以摸出的两个小球都是红球的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
18．两次摸出的都是红球的概率为．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
共有12种结果，并且每种结果出现的可能性相同，符合题意的结果有2种，
所以（两次摸出的都是红球）.
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据列表法求概率即可
【详解】（1）根据题意共有4张牌，两张梅花8，从中随机抽取一张扑克牌是梅花8的概率是；
（2）列表如下，
5 5 8 8
5 \ 55 85 85
5 55 \ 85 85
8 58 58 \ 88
8 58 58 88 \
共有12种等可能结果，其中凑成一对的有4种，
随机抽取两张扑克牌成为一对的概率为
【点睛】本题考查了概率公式求求概率和列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
20．
【分析】先画出树状图，然后找到所有的等可能性的结果数，再找到两辆汽车都向左转的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两辆汽车都向左转的结果数为1，
∴P这两辆汽车都向左转的概率．
【点睛】本题主要考查了用树状图法或列表法求解概率，解题的关键在于能够正确画出树状图．
21．（1）B；（2）志愿者小明和小亮被分配到同一组服务的概率．
【分析】（1）根据志愿者会被随机分到A（淤泥清理），B（垃圾搬运），C（街道冲洗），D（消毒灭杀）其中一组即可得出随机事件，随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(简称事件)；
（2）画树状图列出所有等可能的情况，从中找出符合条件的情况，然后利用概率公式计算即可．
【详解】解：（1）∵志愿者会被随机分到A（淤泥清理），B（垃圾搬运），C（街道冲洗），D（消毒灭杀）其中一组，
志愿者小明被分配到D组服务是：B．随机事件；
故答案为B；
（2）根据随机事件中出现所有等可能的结果共有16种，其中志愿者小明和小亮被分配到同一组共有4种情况，
∴志愿者小明和小亮被分配到同一组服务的概率．
【点睛】本题考查事件的识别，画树状图或列表求概率，掌握事件的识别方法，和画树状图方法，列举所有等可能的结果，熟记概率公式是解题关键．
22．（1）；（2）
【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种，
∴恰好选中乙的概率为；
故答案为：；
（2）分别用字母A，B表示女生，C，D表示男生
画树状如下：
4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种，
∴（1女1男）．
答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．．
【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，
∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．
【点睛】考核知识点：求概率.画树状图是关键.
24．（1） ；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出恰好个白球、个黄球的结果数，然后根据概率公式求解；
【详解】（1）若从第一盒中随机取出个球，则取出的球是白球的概率是，
故答案为 ；
（2）画树状图为：
，
共有种等可能的结果数，取出的两个球中恰好个白球、个黄球的有种结果，
所以取出的两个球中恰好个白球、个黄球的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
25．（1）袋子中白球有2个；（2）．
【分析】（1）设袋子中白球有x个，根据概率公式列方程解方程即可求得答案；
（2）根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
26．
【分析】画出树状图，得到所有可能数和符合条件数，即可求解．
【详解】解：画树状图如下，
共有4种可能，符合条件的有1种，
则上午抽到“旱地冰壶”，下午抽到“甜品派对”的概率是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了画树状图求概率；解题的关键是正确画出树状图．
27．/0.625
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，
两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键掌握：概率所求情况数与总情况数之比．
28．（1）；（2）
【分析】（1）先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出2个球都是黄球所占结果数，然后根据概率公式求解；
（2）找出1个白球、1个黄球所占结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中2个球都是黄球占1种，
所以取出的2个球都是黄球的概率＝；
（2）共有6种等可能的结果数，其中1个白球、1个黄球占3种可能，
所以取出的2个球中1个白球、1个黄球的概率＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．25.3 用频率估计概率
一、单选题
1．（2022秋·吉林长春·九年级期末）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，如表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是（ ）（结果精确到0.1）
A．0.902 B．0.90 C．0.89 D．0.9
2．（2022秋·吉林松原·九年级期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个．
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2022秋·吉林松原·九年级统考期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的3个白球，x个黑球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．13
4．（2022秋·吉林·九年级统考期末）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
二、解答题
5．（2022秋·吉林长春·九年级期末）一个不透明的箱子里装有个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于左右．
(1)请你估计箱子里白色小球的个数；
(2)现从该箱子里摸出个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树状图或列表的方法）
6．（2022秋·吉林白山·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的频数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______；
(3)小明用转盘来代替摸球做试验．下面是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数．
7．（2022秋·吉林长春·九年级期末）某数学小组在同一条件下做抛掷一枚质量分布均匀的硬币试验，试验数据如下：
抛掷次数 50 100 200 300 500 800 1000 1500
“正面向上”的频数 26 53 94 142 242 395 498 753
“正面向上”的频率 0.520 0.530 0.470 0.473 0.484 0.494 0.498 0.502
(1)根据上表估计抛掷该硬币“正面向上”的概率约为_________（保留两位小数）．
(2)小明在同一条件下抛掷一枚质量分布均匀的硬币两次，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抛掷的硬币都“正面向上”的概率．
8．（2022秋·吉林长春·九年级期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 800 1000 1500
“射中九环以上”的频数 15 49 71 137 264 534 666 1001
“射中九环以上”的频率 0.750 0.613 0.710 0.685 0.660 0.668 0.666 0.667
(1)根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为______．（结果保留两位小数）
(2)小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片上都写有“未中”的概率．
9．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）在课堂上，老师将除颜色外其余均相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学参与摸球试验，每人每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，如表是试验得到的一组数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 1000
摸到黑球的次数m 33 51 67 166 333
摸到黑球的频率 0.33 0.34 0.335 0.332 0.333
(1)估算口袋中白球的个数为______个．
(2)在（1）的条件下，小明从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出的小球颜色不同的概率．
10．（2022秋·吉林长春·九年级期末）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=_____，b=____，c=____．
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
三、计算题
11．（2022秋·吉林长春·九年级期末）在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色不放回搅匀，下表是试验得到的一组数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800
摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200
摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 0.25
(1)估算口袋中白球的个数为______．
(2)用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率．
四、填空题
12．（2022秋·吉林通化·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有质地大小都相同的红球和黑球共4个，将球搅后从中随机摸出一个记下颜色，放回，再重复进行下一次试验，如表是他们整理得到的．试验数据：
摸球的次数n 500 1000 2000 2500 3000 5000
摸到红球的次数m 351 722 1486 1870 2262 3760
摸到红球的频率 0.702 0.722 0.743 0.748 0.754 0.752
根据上表估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为 ．（精确到0.01）
13．（2022秋·吉林长春·期末）某数学小组在对某品种蔬菜的发芽情况进行试验后，将试验结果制成如下的表格：
实验次数 100 200 500 1000 2000 3000 5000
发芽次数 85 186 460 880 1820 2670 4500
发芽频率 0.85 0.93 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90
根据频率的稳定性，估计这批蔬菜种子发芽的概率是 （精确到0.1）．
14．（2022秋·吉林·九年级期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 个．
15．（2022秋·吉林四平·九年级期末）在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同．每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为 ．
16．（2022秋·吉林长春·九年级期末）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：
黄豆种子数（单位：粒） 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
发芽种子数（单位：粒） 762 948 1142 1331 1518 1710 1902
种子发芽的频率（结果保 留至小数点后三位） 0.953 0.948 0.952 0.951 0.949 0.950 0.951
那么这种黄豆种子发芽的概率约为 （精确到0.01）
参考答案：
1．D
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：∵幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，
∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．
故选：D．
【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
2．B
【分析】设黑球可能有个，根据摸到白球的频率稳定在25%附近得到口袋中摸到白球的概率为25%，根据概率公式即可求出黑球的个数．
【详解】解：设黑球可能有个
∵摸到白球的频率稳定在25%附近
∴口袋中摸到白球的概率为25%
∴
∴
经检验：x=11是原方程的解，也符合题意.
∴黑球可能有11个
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点，由频率估计概率是解答本题的关键．
3．C
【分析】根据题意易得，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
故选C．
【点睛】本题主要考查频率及分式方程的应用，熟练掌握频率及分式方程的应用是解题的关键．
4．D
【分析】直接由概率公式求解即可.
【详解】根据题意得=30%，解得：n=30，
经检验：n=30符合题意，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.
5．(1)
(2)
【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到白球的概率约为0.33，再利用概率公式列方程解答即可；
（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案；
【详解】（1）解：∵通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于左右，
∴估计摸到白球的概率为
设箱子里白色小球有个，
根据题意可得：
解得：
经检验，是该分式方程的根；
答：箱子里白色小球的个数为：
（2）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球颜色恰好不同的有钟；
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为：
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键．
6．(1)0.6
(2)0.6
(3)见解析，216°
【分析】（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可得到转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数．
【详解】（1）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
（3）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为360°×0.6=216°，
如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．
7．(1)0.50
(2)
【分析】（1）观察表格发现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，用这个常数表示概率即可；
（2）画出树状图，得出所有等可能出现的情况数和两次抛掷的硬币都“正面向上”的次数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）观察表格发现：随着实验次数的增多，正面向上的频率逐渐稳定到0.50附近，
故硬币出现“正面朝上”的概率为0.50，
故答案为：0.50；
（2）画树状图如下：
共有4种等可能的情况，其中两次抛掷的硬币都“正面向上”的有1种情况，
所以，两次抛掷的硬币都“正面向上”的概率为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．同时也考查了运用画树状图法求概率．
8．(1)0.67
(2)两次抽取的卡片上都写有“未中”的概率是．
【分析】（1）根据大量的试验结果稳定在0.67左右即可得出结论；
（2）根据题意列出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.67附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为0.67．
故答案为：0.67；
（2）解：根据题意列表如下：
共有9种等可能的情况数，其中两次抽取的卡片上都写有“未中”的有1种，
则两次抽取的卡片上都写有“未中”的概率是．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9．(1)2
(2)
【分析】（1）直接利用表格中数据估算出得到白球的频率，进而得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：由表格中数据可得出，摸到黑球的频率稳定在0.33，
故1÷0.33﹣1≈2（个）．
答：口袋中白球的个数约为2个．
故答案为2．
（2）解：画树状图：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的小球颜色不同的有4种情况，
∴P（小明两次摸出的小球颜色不同）＝．
【点睛】本题考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（1）7.5，8，8；（2）200人；（3）八年级的学生成绩更优异．
【分析】（1）由图表可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【详解】解：（1）由图表可得：，，，
故答案为：7.5，8，8；
（2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为：（人，
答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；
（3）八年级的合格率高于七年级的合格率，
八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
11．(1)口袋中白球的个数为3个
(2)
【分析】（1）先利用表格中数据估算出得到白球的频率，然后再求白球的个数即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：由表格中数据可得到，摸到黑球的频率稳定在0.25，
故1÷0.25﹣1＝3（个）．
答：口袋中白球的个数为3个．
（2）解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，
∴两次都摸到白球的概率为：．
【点睛】本题主要考查了频率与概率、树状图法与列表法求概率等知识点，解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
12．0.75
【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
【详解】解：根据上表知，当摸球的次数足够大时，摸到红球的频率约为0.75，
所以估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为0.75，
故答案为：0.75．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
13．0.9
【分析】当实验次数很大时，频率接近0.9，因为在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率，所以这种种子的发芽概率的估计值是0.9．
【详解】解：当实验次数很大时，频率接近0.9，所以这种种子的发芽概率的估计值是0.9．
故答案为：
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是知道大量反复试验下频率稳定值即概率．
14．24
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解．
【详解】解：小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，
口袋中白色球的个数很可能是个．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了利用用频率估计概率，解题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．
15．12
【分析】由已知可得从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.4，故摸到红球概率是0.6．
【详解】解：∵通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，
∴从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.4，
∴估计袋子中的红球的个数为20=12（个）
故答案为：12
【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．
16．0.95
【分析】大量重复试验下种子发芽的频率可以估计种子发芽的概率，据此求解．
【详解】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.95附近，
故种子发芽的概率约为0.95．
故答案为：0.95．
【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
