3.4函数的应用（一）同步练习（含解析）

3.4函数的应用（一）同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数满足，，，且在区间上单调，若函数在区间内有4个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知实数，记函数构成的集合．已知实数、，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
4．已知定义在上的函数满足，，在区间内单调且，则（ ）
A． B．5055
C． D．1011
5．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．函数关于直线对称
C．函数是偶函数
D．关于的方程在区间上所有根的和为0
6．形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（ ）
①函数的定义域为；
②；
③函数的图象关于直线对称；
④当时，；
⑤方程有四个不同的根（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线与构成，则（ ）
A．10 B．-10 C．2 D．-2
8．定义在R上的奇函数满足，且在[0,1上单调递减，若方程在[0,1上有实数根，则方程在区间[-1,7]上所有实根之和是（ ）
A．12 B．14 C．6 D．7
二、多选题
9．（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
10．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．函数的值域是
D．函数在上单调递增
11．已知函数定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数图象关于对称
B．函数与函数的图象关于对称
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
12．某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（ ）
A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
三、填空题
13．已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是 ．
14．已知函数满足， 若函数与图像的交点为，则它们的纵坐标之和等于 ．
15．若直线经过和两点，则不等式组的解集为 ．
16．在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m )随时间t(h)变化的规律可表示为如图所示，则a= ;
实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m 时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 小时方可进入.
四、解答题
17．已知是一元二次函数，满足且
(1)求函数的解析式．
(2)函数在数学史上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，，设若使成立的实数a，b，c有且仅有三个且互不相等．求的取值范围．
18．如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.
(1)证明：的周长为定值.
(2)求的面积的最大值.
19．在一个实验中，发现某个物体离地面的高度（米）随时间（秒）的变化规律可表示为.
(1)当时，若此物体的高度不低于4米时，能持续多长时间？
(2)当且仅当时，此物体达到最大的高度6，求实数满足的条件？
20．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
(1)求出的值，并将表示为的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
21．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，利用反函数的性质即可判断
【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，

由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
由题意知，也即,
由于函数和互为反函数，
二者图像关于直线对称，
而为和的图象与直线的交点,
故关于对称，
故.
故选：B.
2．C
【分析】由题意可得的图象关于中心对称，关于中心对称且周期为，由函数在区间内有4个零点，则与的图象在区间内有4个零点，，作出图象，结合图象即可得出答案.
【详解】因为，所以的图象关于中心对称，
又因为，所以的图象关于中心对称，
所以，即，
所以，所以，
所以的周期为，又因为，
所以令中，则，
所以，又因为在区间上单调，
所以，
又因为在区间内有四个零点，
令，即，即与的图象在区间有四个交点，
又因为直线过定点，斜率为，
如图所示：

为临界状态，
当处于时，此时直线的斜率为，
当处于时，此时直线的斜率为，
因为满足，不满足.
所以由图可知，a的取值范围是.
故选：C
3．D
【分析】根据，，结合其定义以及不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】因为，，设，
则，，
即有，
所以，故D正确，
由于，则，即，
所以，所以，故C错误，
根据，，
无法得到，故A错误，
由于，所以，
又，故无法得到，所以B错误，
故选：D
【点睛】思路点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
4．A
【分析】由题意可通过换元法将已知条件函数的奇偶性和对称性推导出函数的周期性，再由在区间内单调且，可得根据函数周期性即可解得的值.
【详解】由题知在内单调，且时，有，由此可知，
当 时. ，得 ,
且 在 内单调，可得
，令, 则 .又，
故 . 令. 则 的周期为 4 .
当 趋于0时，有 . 故 ，
有 ，
，
根据的周期性可知 ，
，
由，
故
.
故选：A.
【点睛】关键点睛：由奇函数性质，以及对称性性质推出函数周期是解题的必要步骤，再由在区间内单调且，用特值法得出的值为难点，本题考查的是函数的性质的综合应用，属于较难题.
5．C
【分析】由，取可判断A；由为偶函数结合可判断B；令，验证与的关系可判断C；画出在区间上的图象可判断D.
【详解】取，得，
所以，故A正确；
因为，则，即，
又由为偶函数，即，
所以函数关于直线对称，故B正确；
令，则，
所以为奇函数，即函数是奇函数，故C错误；
因为为偶函数，画出函数的图象可知，方程所有根的和为0，故D正确.
故选：C.
6．A
【分析】由求定义域、将自变量代入求值判断①②，应用特殊值得，，即可判断③，写出分段函数形式研究其单调性，进而求值域即可判断④，应用数形结合判断与在上交点个数即可判断⑤.
【详解】①由解析式知：，所以，故定义域为，错误；
②，所以，正确；
③由解析式知：，，即，故的图象不关于对称，错误；
④由，
所以有，在上递增，上递减，
则上，上，故值域为，
所以，正确；
⑤有两个根，即与在上有四个交点，
在上递增且值域为；
在上递增且值域为；
在上递减且值域为；
在上递减且值域为；
而在上递减，上递增且值域为，
所以它们的函数图象如下图示：
由图知：与在上有四个交点，正确.
正确的命题有②④⑤.
故选：A
7．A
【分析】由图可知点在曲线上，点，点在曲线上，将点代入计算可求，，的值，从而得到结果.
【详解】解：由得，其图象为x轴上方（包含x轴上的点）的两个半圆，由“爱心”图知经过点，即，．由“爱心”图知必过点与，所以，得，，从而．
故选：A．
8．A
【分析】由已知可知是周期为4的奇函数且关于对称，再利用奇函数、周期函数的性质判断在[-1,7]上各子区间的单调性及的根所在区间，结合对称性求所有实根之和.
【详解】由题设，，又为奇函数，
∴，即，
∴是周期为4的奇函数且关于对称，
又在[0,1上单调递减，则[-1,0上递减，(1,2、(2,3上递增，
∴由周期性知：(3,4、[4,5上递减，(5,6、(6,7上递增，
∵在[0,1上有实数根，则在[-1,0上有实数根，
∴综上，结合对称性知：在[-1,0 、(2,3、(3,4、(6,7各 有一个实数根，且关于对称，
∴在区间[-1,7]上所有实根之和为12.
故选：A
9．ABC
【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果.
【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，
显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点；
所以只有D正确.
故选：ABC
10．ABD
【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可.
【详解】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确；
对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确；
对C，函数，当时，，故C错误；
对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
11．ABC
【分析】由函数图像的对称性，根据关系式求出对称中心和对称轴进行判断既可.
【详解】若，，则函数图象关于对称，故A正确；
若点在上，则点在的图象上，
且点与点关于点对称，则函数与函数的图象关于对称，故B正确；
设，
则，
故函数的图象关于对称，故C正确；
令，
则不恒为0；
故函数的图象不关于对称，故D错误.
故选：ABC.
12．BC
【分析】由图（1）可设关于的函数为，，，分析出为票价，为固定成本，根据图（2）和图（3）图像的变化，即可分析出正确答案．
【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价，
当时，，则为固定成本；
由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确；
由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误；
故选：BC．
13．8
【分析】数形结合，结合函数的图像即可得出结论.
【详解】函数的图象, 如图所示,

关于 的不等式 ，
当 时, , 由于关于 的不等式 恰有 1 个整数解,
因此其整数解为 3 , 又 ,
所以 ,
则 , 所以实数 的最大值为 8 ,
故答案为：8.
14．4044
【分析】由函数则函数关于点对称，知函数关于点对称，又也关于点对称，关于点对称性即可求出纵坐标之和.
【详解】函数满足知，
函数关于点对称，
又也关于点对称
故函数与图像的交点也关于点对称
所以成对出现，且关于点对称
所以
故答案为：4044.
15．
【分析】将A、B两点坐标代入直线方程，求出k、b的值，再将k、b的值代入不等式组，解得即可.
【详解】因为直线经过和两点，所以 解得则不等式组可化为，解得 .
故答案为：
16．
【解析】根据函数图象当时，，即可求出，从而得到，再根据题意解不等式即可.
【详解】由题知：当时，，即，解得.
所以.
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
令，解得，
所以经过小时后方可进入房间.
故答案为：；
【点睛】本题主要考查函数的模型应用，考查学生分析问题的能力，属于简单题.
17．(1)
(2)
【分析】（1）设出二次函数解析式，由题意列出等式，用恒等思想即可求解；
（2）分类讨论再用数形结合思想即可得出结论.
【详解】（1）由题可设
所以得，
∴，，；
（2）当时，
当时，，所以，
当时，，所以，
不妨设，由题可得函数的大致图象，

由（1）可知函数的对称轴，，可得根据对称性知，
又由，可得，由，可得，
由图可知，
所以，
故.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可；
（2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值.
【详解】（1）设，，则，
由勾股定理可得，
即，由题意，，
即，可知∽，
设的周长分别为，则.
又因为，
所以，
的周长为定值，且定值为.
（2）设的面积为，则，
因为，所以，.
因为，则，
因为，所以，
当且仅当，即 时，等号成立，满足.
故的面积的最大值为.
19．(1)6秒
(2)，
【分析】（1）由题意可知：，分和两种情况解不等式即可；
（2）根据题意结合单调性可得当时，，且在内恒成立，分析求解即可.
【详解】（1）当时，则，
由题意可知：，
若，则，解得；
若，则，解得；
综上所述：，
所以若此物体的高度不低于4米时，能持续时间为（秒）.
（2）令，解得，可得，
因为在上单调递增，
由题意可得：当时，，解得；
且在内恒成立，则，解得；
综上所述：，.
20．(1)，
(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元
【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题知，时，，
于是，，解得.
所以，.根据题意，
即
所以
（2）
当且仅当，即时，等号成立.
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.
21．(1)
(2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）根据题意得，
当时，，
当时，，
故
（2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，
此时．
当时，，当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片．
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