2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学试卷
试卷满分：150分
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则的真子集个数为（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 复数满足虚数单位），则
A. 1 B. C. 2 D.
3. 已知，均为锐角，（）
A. B. C. D.
4. 已知为重心，，，则的最小值为（）
A. B. C. D.
5. 某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为，满盘时直径为，已知卫生纸的厚度为，则满盘时卫生纸的总长度大约为（）（，结果精确到）
A. B. C. D.
6. 将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定
8. 在中，，且的面积为1，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知a，b为正实数，且，则（）
A. 的最大值为4
B. 的最小值为18
C. 的最小值为4
D. 的最小值为
10. 是定义在上的连续可导函数，为其导函数，下列说法正确的有（）
A. 若，则
B. 若为偶函数，则为奇函数
C. 若是周期为的函数，则也是周期为的函数
D. 已知且，则
11. 已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
12. 正项数列前项和为，若，，数列的前项和为，下面结论正确的有（）
A. B. 是等差数列
C. D. 满足的最小正整数为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若向量与向量共线，则实数的值为_____.
14. 已知函数，若，则实数的解集为___.
15. 已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数___________.
16. 已知实数，对，恒成立，则的取值范围为____.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知函数，若函数图象相邻两条对称轴间的距离是
（1）求及单调递减区间.
（2）若方程在上有解，求实数m的取值范围.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）若是线段的中点，且，求的面积.
19. 已知为等差数列的前项和，若，.
（1）求数列通项公式；
（2）求数列的前项和.
20. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时，在恒成立，求的最大值.
21. 已知为等比数列，且，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）当为递增数列时，，数列的前项和为，若存在，求的取值范围.
22. 已知函数.
（1）若存在实数，使成立，求实数取值范围；
（2）若有两个不同零点，求证：.
12023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学答案
试卷满分：150分
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则的真子集个数为（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先将两个集合化简求其交集，然后根据集合元素个数与真子集个数关系求出真子集个数.
【详解】因为，
，
所以，
的真子集个数为.
故选：B.
2. 复数满足 为虚数单位），则
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后由复数模的公式计算得结果．
【详解】由，
得，
则，故选A．
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3. 已知，均为锐角，（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的余弦公式，即可求解.
【详解】由，，且为锐角，
则，，，
所以
.
故选：A
4. 已知为的重心，，，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点为，由重心的性质可知，再根据已知条件可知，又，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】取的中点为，连接，如下图所示：
因为G为三角形ABC的重心，所以，
因为，，
所以，
所以，
又
，当且仅当时取等号；
故选：D.
5. 某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为，满盘时直径为，已知卫生纸的厚度为，则满盘时卫生纸的总长度大约为（）（，结果精确到）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可知每一圈卫生纸的周长成等差数列，利用等差数列前项和公式即可得出结果.
【详解】根据题意，空盘时盘芯直径为，则半径为，
满盘时直径为，则半径为，
因为卫生纸的厚度为，所以满盘时共有层；
即可知每一圈卫生纸周长成等差数列，且项数为，
根据等差数列的求和公式可得，
将代入计算可得满盘时卫生纸的总长度大约为.
故选：B
6. 将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象变换得的解析式，则利用函数单调性列不等式即可求得的取值范围.
【详解】函数的图像先向右平移个单位长度，得到再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，
令，，
整理得，，
由于函数在上单调递增，
故，，
解得，，
所以，．
故选：B．
7. 函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数确定，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算，计算切线得到答案.
【详解】，故，，
，，
设切点为，则，且，
整理得到，解得，，
故切线方程为，
故选：A
8. 在中，，且的面积为1，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用三角形面积公式可得，由余弦定理可求得，利用辅助角公式和正弦函数的性质运算即可得解.
【详解】解：∵的面积为1，且，
∴，
∴，
∵根据余弦定理得：
，
即，可得：，
∴，，
则，∵，
∴，解得：，
∴的最小值为.
故选：B.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知a，b为正实数，且，则（）
A. 的最大值为4
B. 的最小值为18
C. 的最小值为4
D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，a，b为正实数，且，
对于A，因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，即，故的最大值为，所以A正确；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值18，所以B正确；
对于C，由，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，即的最小值为4，所以C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，所以D错误.
故选：ABC.
10. 是定义在上的连续可导函数，为其导函数，下列说法正确的有（）
A. 若，则
B. 若为偶函数，则为奇函数
C. 若是周期为的函数，则也是周期为的函数
D. 已知且，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，等式两边对进行求导即可得出，
对于B，列举反例，，
对于C，列举反例，
对于D，等式两边对进行求导，分别令和即可求出.
【详解】对于A，等式两边对进行求导，则，所以，选项A正确，
对于B，列举反例，若，所以，此时为偶函数，但，并不是奇函数，所以选项B错误，
对于C，若，则，此时是以为周期的函数，但并不是周期函数，所以选项C错误，
对于D，因为，等式两边对进行求导，即，令则，所以，又因为，等式两边对进行求导，则，令则，所以，所以，所以选项D正确.
故选：AD
11. 已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图像，结合图像对选项逐一分析即可得解.
【详解】对于A，当时，，则，
易得在上单调递减，且，
当时，，则，易得在上单调递增，
且，即，
当时，，
则由，的图像，可知在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
，，
从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示，
因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点，
所以，故A正确；
对于B，结合选项A中分析可得，所以，
则，故B错误；
对于C，D,由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称，所以，又当时，，令，得，
所以，，所以，得，
所以，故C正确；
又由图像可知同增同减，所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】函数零点的求解与判断有以下方法，（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
12. 正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，下面结论正确的有（）
A. B. 是等差数列
C. D. 满足的最小正整数为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用和的关系式即可判断选项B，再由和相减即可判断选项A，假设，转化为，利用导函数判断单调性即可得出假设不成立来确定选项C，利用，求出，结合对数运算求出，即可判断选项D.
【详解】因为，
所以，，
整理得，，
当时，，得，
当时，，得，
所以是首项为，公差为的等差数列，B正确；
由得，
所以，
两式相减得，
因为是正项数列，
所以，即，A错；
由选项B知，，
则，假设，
则，
令，（），
则，
所以在定义域内单调递减，
所以，与假设矛盾，C错；
由，，
所以
，
令，即，
解得，
当时，，
当时，，
所以的最小正整数为，D正确.
故选：BD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若向量与向量共线，则实数的值为_____.
【答案】0或
【解析】
【分析】根据平面向量共线向量坐标运算求解即可得实数的值.
【详解】向量，，若向量与向量共线
则，解得0或.
故答案为：0或.
14. 已知函数，若，则实数的解集为___.
【答案】
【解析】
【分析】通过计算可得，从而构造，并可知为奇函数，再根据的单调性列不等式求解即可.
【详解】由题意可知，
所以
，
所以，
令，则，即为奇函数，
不等式等价于，即，
令，则，
所以是奇函数，
又因为在单调递增，
所以根据指数函数的性质可知在上单调递增，
又由对数函数的性质可知在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，解得，
故答案为：
15. 已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数___________.
【答案】2023
【解析】
【分析】将已知条件恒等变换为，则有是等比数列，从而得，，根据的单调性，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以数列是等比数列，首项为，公比为，
所以，
所以，
所以
易知当时，单调递增，
又因为，
，
所以满足的最大整数为2023.
故答案为：2023
16. 已知实数，对，恒成立，则的取值范围为____.
【答案】
【解析】
【分析】将不等式变形可得，利用函数同构可令函数，得出其单调性可判断得出，由参变分离可求得，利用导数求出函数最小值即可得出的取值范围.
【详解】根据题意将不等式变形可得，
即，
所以，即，
又，可得，
也即；
构造函数，则；
不等式等价于，
易知当时，原不等式显然成立；
当时，易知在上恒成立，即函数在上单调递增，
所以，可得；
令，则，
所以可得在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得极小值，也是最小值，
因此可得；
即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，常用的方法是将不等式通过合理变形并根据已知条件利用函数同构思想进行构造函数，利用导数判断出单调性求出相应最值即可得出结论.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知函数，若函数图象相邻两条对称轴间的距离是
（1）求及单调递减区间.
（2）若方程在上有解，求实数m的取值范围.
【答案】（1），单调递减区间为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，然后利用题意得到周期，代入周期的计算公式可得，然后代入正弦函数即可求解；
（2）结合（1）的结论，求出函数在上的值域即可求解.
【小问1详解】
因为，
又图象相邻两条对称轴间的距离是，所以函数的周期为，
所以，则，所以，
令，解得，
所以函数单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知：，
因为，所以，则，
所以，要使上有解，则.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）若是线段的中点，且，求的面积.
【答案】18.
19. 4
【解析】
【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，再求解角即可；
（2）法一，取中点，连接，分割图形再用余弦定理即可解决；法二，利用向量构建三边关系求出，再算面积即可.
【小问1详解】
，
由正弦定理可得，
整理，即，
又，则，
，又.
【小问2详解】
法一：如图，取中点，连接，
是线段的中点，,
在中，,
由余弦定理可得,
.
法二：因为是线段中点，，
，即，
，.
19. 已知为等差数列的前项和，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可；
（2）分和两种情况求和.
【小问1详解】
设的公差为，则：，
.
【小问2详解】
，
令，
当时，，
，
当时，，
综上所述：.
20. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时，在恒成立，求的最大值.
【答案】（1）2 （2）0
【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用切线的斜率建立方程求解即可；
（2）把恒成立问题转化为，求出导函数，利用函数的单调性结合余弦函数求解最值范围，即可求解的最大值.
【小问1详解】
由得，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，所以；
【小问2详解】
因为在恒成立，所以，
当时，，则，
记，，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，
所以，使得，即，
故在上单调递减，上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，从而，
因为，所以，所以的最大值为0.
21. 已知为等比数列，且，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）当为递增数列时，，数列的前项和为，若存在，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）运用等差中项的性质和等比数列通项公式基本量运算，解方程即可得到通项.
（2）由递增可得，对通项进行裂项展开，当n为偶数、奇数时分别求出表达式，然后再分别求出的范围，由存在，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
设等比数列公比为q，
由或，
或.
【小问2详解】
当为递增数列时，
所以
当为偶数时，
在上单调递减，
，
当为奇数时，
在上单调递增，
，
.
22. 已知函数.
（1）若存在实数，使成立，求实数的取值范围；
（2）若有两个不同零点，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，转化为在有解，求导得最值，即可得到结果；
（2）根据题意，由函数的单调性可得，再构造函数，由其单调性可得，即可得，再由函数的单调性，即可证明.
【小问1详解】
由得即在有解，
令，只需，
，当时，递增，
当时，递减，
.
【小问2详解】
有两个不同零点有两个不同实根，
令，则，又，
当时，递增，当时，递减，
又，不妨设，
令，
，
在递增，，即，
又，
，
，
下证，
设，直线的方程在处的切线为，
设，则，
即，
设则.
在递增，，
，
.
综上.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数求解函数极值，以及利用导数证明不等式，难度较大，解决本题关键在于构造不同的函数，由函数单调性证明不等式.
1
