绝密★启用前 试卷类型：A
高 三 数 学
2023.11
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
2 x
1．已知集合 A = x∣(x 2) x +10 , B = x∣2 1 ，则 A B =（ ）
A． x∣x 6 B． x | 0 x 6
C．{x∣-1 x 0} D．{x∣x 1}
2．已知角 a 的始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点P( 1, 2) ,则 sin2 =( )
2 4 5 2 5
A． B． C． D．
5 5 5 5
3.已知向量a,b 满足 (a b ) b = 2，且b = ( 1,1)，则向量a 在向量b 上的投影向量为
（ ）
A. (2,2) B. ( 2,2) C. (1,1) D. ( 1,1)
4.近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，预计到 2060 年，纯电动汽车在整体汽车中
的渗透率有望超过70% ，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量
C（单位：A h），放电时间 t（单位：h）与放电电流 I（单位：A）之间关系的经验公式
为 n = log 2C = I n t ，其中 3 ．在电池容量不变的条件下，当放电电流 I =10A时，放电时
2
间 t = 57h ，则当放电电流 I =15A时，放电时间为（ ）
A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h
5．已知等差数列 a 的公差为d ，前n项和为 Sn ，则“ d 0 ”是“ S2 + S4 2Sn 3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3 3
6.函数 y = f (x)在 f (x) , 上的部分图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
2 2
第1页（共 4页）
sin x cos x
A． f (x) = xcos x B． f (x) = xsin x C． f (x) = D． f (x) =
ex x
7．正方形 ABB1A1的边长为 12，其内有两点 P，Q，点 P 到边 AA ， A1B1 1 的距离分别为
3，2，点 Q 到边BB1 ，AB 的距离也是 3 和 2．现将正方形卷成一个圆柱，使得 AB 和 A1B1
重合(如图)．则此时 P、Q 两点间的距离为（ ）
6 1+ π2
A． 2
π
6 2+ 2
B．
π
6 3+ π2
C．
π
6 4+ π2
D．
π
8.对于实数 x (0,+ ) x，不等式e ln(mx)+ (1 m)x 0恒成立，则实数 m 的取值范围
为（ ）
A. 0 m 1 B. m 1 C. 0 m e D. m e
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分．
9. 已知向量 AB = ( 5,1)，CD = (m + 4,n)，下列结论正确的是（ ）
A. 若 AB 与CD垂直，则n 5m为定值
B. 若 AB 与CD互为相反向量，则 m 与 n 互为倒数
C. 若 AB 与CD垂直，则m 5n 为定值
D. 若 AB 与CD互为相反向量，则 m 与 n 互为相反数
10. 已知函数 f (x) = sin 2x+ acos2x (a R)，且 x R ， f (x) f ，则下列
12
说法正确的是（ ）
A. f (x)在 0, 上单调递增
2
5
B. f (x)的图象关于点 ,0 对称
3
第2页（共 4页）
5
C. 将 f (x)的图象向左平移 个单位长度，得到函数 y = 2cos2x的图象
12
6 3+ 4 3
D. 若 0, ， f ( ) = ，则sin 2 =
2 5 10
11.在圆锥 SO 中，母线 SA = l ，底面圆的半径为 r ，圆锥 SO 的侧面积为3 ，则（ ）
2 2
A.当 r =1时，则圆锥 SO 的体积为
3
3 3 7
B.当 r = 时，过顶点 S 和两母线的截面三角形的最大面积为
2 4
81
C.当 l = 3时，圆锥 SO 的外接球表面积为
8
D.当 l = 3时，棱长为 2 的正四面体在圆锥 SO 内可以任意转动
12．设定义在 R 上的函数 f (x) 与 g(x) 的导函数分别为 f (x)和 g (x)，若 g(x)
f (3 x) = 2, f (x) = g (x 1)，且 g(x + 2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )
A．函数 g(x) 的图象关于 x =1对称 B． f (x) 的周期为 4
2023
C． g(k) = 0 D． f (2)+ f (4) = 4
k=1
第Ⅱ卷（共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知函数 f (x) = ax
3 + bsin x + 3，若 f (m) =1, 则 f ( m)= .
14．若函数 f (x) = sin(x+ )+ cos x的最大值为 2，则常数 的一个取值为 ．
2
15．已知数列 an 为递减数列，其前n项和S mn = n + 2n+m，则实数 的取值范围是 .
16.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其
形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边
缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是 ABC 的外接
5
圆和以 AB 为直径的圆的一部分，若 ACB = ，AB 的长
6
约为20 3 ，则该月牙泉模型的面积约为__________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）
2 1
已知向量a = (2cos x,sin x) ,b = , 3 cos x ，函数 f ( x) = a b．
2
(1)求 f (x)的最小正周期和单调递减区间；
7
(2)在 ABC 中， A+ B = π, f (A) =1, BC = 2 3 ，求边 AC 的长．
12
第3页（共 4页）
18. （本小题满分 12 分）
4x
已知函数 f (x) = + a ，且 fx (lg 2)+ f (lg5) = 3 . 4 + 2
（1）求 a 的值；
x
（2）当 x 1,1 时， f (x) 4 +m 恒成立，求 m 的取值范围.
19. （本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱中 ADE BCF ，平面 ABCD ⊥平面 ABFE ，四边形 ABCD是矩形，四
边形 ABFE 是平行四边形，且 AB = 4, BF = 2, BC = 2 3 ，
以 AB为直径的圆经过点 F .
（1）求证：BF ⊥平面 ADF ；
（2）求平面DEF 与平面 ABCD的夹角的余弦值.
20. （本小题满分 12 分）
如图，在△ABC 中， AB ⊥ AC ，点 M 在边 BC 上，且 BAM = 30 ， AM = 2 .
3
（1）若 AC = ，求 CM 的长；
2
（2）求 AB AC 的最小值.
21．（本小题满分 12 分）
设数列 a 的前n项和为 Sn ，已知a1 =1, Sn+1 2S =1(n N*n n ) .
(1)求数列 an 的通项公式；
4an *
(2)若数列 bn 满足bn = ，数列 b 的前n项和为T , n N ，都有(an+1 1)(an+2 1)
n n
4
m2 m Tn，求m 的取值范围.
3
22．（本小题满分 12 分）
ln x + k 1 x
己知函数 f (x) = , g(x) = 2e +1，其中 k 为实数．
x
(1)求 f (x) 的极值；
(2)若h(x) = g(x) f (x) 有 4 个零点，求 k 的取值范围．
第4页（共 4页）高三数学期中考试模拟数学参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】D【解析】由题意 A ={x | (x 2)2 x +10} ={x | 1 x 6}，
B ={x | 2x 1}={x | x 0}，所以 A B ={x | x 1}，故选：D．
2．【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B【解析】由题意可得：C = 57 10n ，当 I =15A 时，则57 10n =15n t ，
∴
log 2 1
n log3 2 1
3 log3 2
10 2 2 3 2 3 2 57
t = 57 = 57 = 57 = 57
1
= 57 2 = = 28.5 .
15 3 2 2 2
5．【答案】C【解析】因为等差数列 an 的公差为d ，前n 项和为 Sn ，
S2 + S4 = 6a1 +7d,2S3 = 2(3a1 +3d ) = 6a1 +6d ，
所以 S2 + S4 2S3 6a1 + 7d 6a1 + 6d ，即d 0 ，
反之，当 d 0 时， S2 + S4 = 6a1 + 7d 2S3 = 6a1 + 6d ，
所以，“ d 0 ”是“ S2 + S4 2S3 ”的充分必要条件，故选：C
6.【答案】A【解析】由图象可知 y = f (x) 为奇函数，且过坐标原点．
A： f ( x) = xcos x = f (x)，且 f (0) = 0，所以 f (x) 的解析式可能是本选项；
B：因为 f ( x) = xsin( x) = xsin x = f (x)，所以该函数是偶函数，因此 f (x) 的解析式不可能
是本选项；
sin( x) sin x
C：因为 f ( x) = = f (x)，所以该函数不是奇函数，因此 f (x) 的解析式不可
e x e x
能是本选项；
cos x
D：因为当 x = 0 时，对于函数 f (x) = 来说没有意义，所以 f (x) 的解析式不可能是本选项；
x
故选：A
7．【答案】C【解析】如图，设过点 P 且平行底面的截面圆心为O1 ，
过点Q且平行底面的截面圆心为O2 ，
高三数学期中模拟参考答案 第1页（共 8 页）
6
设圆柱底面半径为 r ，则 2πr =12，所以 r = ，则
π
2+ 2 2π
O1P,O2Q = =6 3 ，
π
PQ = PO1 +O1O +O ， 2 2Q
PQ |2= PO +O O +O Q |2 = 2r21 1 2 2 + | O
2
1O2 | +2PO1 O2Q
6
= 2 ( )2
6 π 36
+ 62 + 2 ( )2 cos = 3 +36，
π π 3 π2
6 3+ π
3
PQ = ．故选：C．
π
8.【答案】C
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分．
9. AD 若 AB 与CD 垂直，则 AB CD = 5(m + 4)+ n = 0，则n 5m = 20 ，A 正确，
C 错误.若 AB 与CD 互为相反向量，则 AB = CD ，则m = n =1，B 错误，D 正确.
10. BCD f (x) = sin 2x + acos 2x = 1+ a2 sin (2x + )，其中 tan = a .因为
x R ， f (x) f ，所以2 + = + 2k ， k Z ，则
12 12 2
= + 2k ， k Z ， tan = a = 3 ， f (x) = 2sin 2x .当0 x
3 3 2
2 5
时， 2x ， f (x)不单调，A 不正确.当 x = 时，2x = 3 ，故
3 3 3 3 3
5 5
f (x)的图象关于点 ,0 对称，B 正确. f x + = 2sin 2x + = 2cos 2x ，所
3 12 2
5
以将 f (x)的图象向左平移 个单位长度，得到函数 y = 2cos2x 的图象，C 正确.
12
6 3
f ( ) = 2sin 2 = ，则 sin 2 = .因为 0, ，所以
3 5 3 5 2
2 3 3 4
2 , .由 ，得2 0, ，所以cos 2 = .
3 3 3 5 2 3 2 3 5
高三数学期中模拟参考答案 第2页（共 8 页）
sin 2 = sin 2 +
3 3
3+ 4 3
= sin 2 cos + cos 2 sin = ，D 正确.
3 3 3 3 10
11.【答案】AC
12．【答案】ABC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．【答案】5
14．【答案】 （2k + ,k Z 均可）
2 2
2
【解析】因为 f (x) = cos sin x + (sin +1)cos x = cos2 + (sin +1) sin (x + )，
2
所以 cos2 + (sin +1) = 2，解得 sin =1，故可取 = .填 （2k + ,k Z 均可）.
2 2 2
15．【答案】 ( 2,+ )【解析】①当 n =1时，a1 = S1 = 1
2 + 2+m =1+m，
a = S S = n2 + 2n+m (n 1)2②当 n 2 时， n n n 1 + 2(n 1)+m = 2n+ 3，
a a = n+1 n 2(n+1)+3 ( 2n+3) = 2 0
∴当 n 2 时， an+1 an ，数列 an 递减，
综上所述，若使 an 为递减数列，只需满足 a2 a1 ，即 2 2+3 1+m ，解得m 2，
16.【答案】300 3 50
AB 20 3
2R = = = 40 3
【详解】设 ABC 外接圆圆心为O ，如图，半径为 R ，则 sin ACB 5 ，
sin
6
R = 20 3 = AB，因此 AOB = ， ABC 中弓形面积为
3
1 2 3 3S = R R2 = (20 3)2 (20 3)2 = 200 300 3 ，
6 4 6 4
1
从而阴影部分面积为 S = (10 3)2 S = 300 3 50 ．
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．（1）由题意得 f (x) = a b = cos2 x + 3sin xcos x
1 1 3 π 1
= + cos 2x + sin 2x = sin 2x + + ，……………………………………2 分
2 2 2 6 2
高三数学期中模拟参考答案 第3页（共 8 页）
2π
所以 f (x) 的最小正周期T = = π，……………………………………………………3 分
2
π π 3π π 2π
令 + 2kπ 2x + + 2kπ (k Z)，解得 + kπ x + kπ (k Z)，
2 6 2 6 3
π 2π
所以 f (x) 的单调递减区间为 + kπ, + kπ (k Z) ………………………………6 分
6 3
π 1
（2）由（1）知， f (A) = sin 2A+ + =1，
6 2
π 1 π π 13π
则 sin 2A+ = ，由 A (0,π)，得 2A+ , ，
6 2 6 6 6
π 5π π
则 2A+ = ，解得 A = ，……………………………………………………8 分
6 6 3
7π π
又由 A+ B = ，得 B = ，已知 BC = 2 3 ，
12 4
AC BC
则由正弦定理 = ，
sin B sin A
2
2 3
BC sin B
得 AC = = 2 = 2 2 .……………………………………………………10 分
sin A 3
2
4x
18 解：（1）因为 f (x) = + a ，
4x + 2
4x 41 x
所以 f (x)+ f (1 x) = + a + + a =1+ 2a .……………………3 分
4x + 2 41 x + 2
因为 lg 2+ lg5 =1，所以
f (lg 2)+ f (lg5) =1+ 2a = 3，…………………………………………5 分
则 a =1 .……6 分
2
f (x) 4x +m (4x（2）由（1）可知， 等价于 ) +m 4x + 2m 2 0 .……………7 分
1
令 t = 4x ，则 t , 4 ，………………………………………………………………………8 分
4
2 1
原不等式等价于 t +mt + 2m 2 0在 , 4 上恒成立，……………………9 分
4
高三数学期中模拟参考答案 第4页（共 8 页）
1 1
+ m + 2m 2 0
则 16 4 ，…………………………………………………………11 分
16+ 4m + 2m 2 0
7 7
解得m ，故 m的取值范围为 , .………………………………12 分 3 3
19.（1）因为以 AB 为直径的圆经过点 F ，所以 AF ⊥ BF .
因为四边形 ABCD为矩形，所以 AD⊥ AB，
因为平面 ABCD ⊥平面 ABFE ，平面 ABCD 平面 ABFE = AB，
AD 平面 ABCD，所以 AD ⊥平面 ABFE .
因为 BF 平面 ABFE ，所以 AD⊥ BF ，
又因为 AF 平面 ADF, AD 平面 ADF, AF AD = A, AF, AD 平面 ADF ，
所以 BF ⊥平面 ADF ，……………………………………………………………………5 分
（2）因为 AD ⊥平面 ABFE ，
又因为 AF 平面 ABFE, AE 平面 ABFE ，所以 AD ⊥ AE, AD ⊥ AF ，
又因为 AE∥ BF ，所以 AF ⊥ AE，则 AD AE AF 两两互相垂直，…………7 分
以点 A为原点， AE 为 x 轴， AF 为 y 轴， AD为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.8 分
因为 AB = 4, BF = 2, BC = 2 3 ，所以 AD = 2 3 ，
所以在 Rt AFB中，由勾股定理得 AF = AB2 BF 2 = 42 22 = 2 3 ，
则点 A(0,0,0) , D(0,0,2 3) , F (0,2 3,0)，
B( 2,2 3,0),C ( 2,2 3,2 3)
则 DC = ( 2,2 3,0) ,CF = (2,0, 2 3)，
AD = (0,0,2 3) , AB = ( 2,2 3,0) .……9 分
设平面 ABCD的法向量为m = (x1, y1, z1 )，
平面 DEF 的法向为n = (x2 , y2 , z2 )
2 3z 1 = 0 2x2 + 2 3y2 = 0
则得 , 取m = ( 3,1,0) ,n = ( 3,1,1)……10 分
2x1 + 2 3y1 = 0 2x2 2 3z2 = 0
设平面 DEF 与平面 ABCD的夹角为 ，
高三数学期中模拟参考答案 第5页（共 8 页）
m n 4 2 5
则 cos = = =
m n 2 5 5
2 5
所以平面 DEF 与平面 ABCD夹角的余弦值为 ………………………………………12 分
5
20. 解：（1）因为 AB ⊥ AC ， BAM = 30 ，所以 CAM = 60 .………………1 分
3
又 AM = 2， AC = ，
2
2 2 2 9 3 1 13
所以CM = AC + AM 2AC AM cos CAM = + 4 2 2 = ，4 分
4 2 2 4
13
所以CM = ………………………………………………………………………….……5 分
2
AB AM 2sin (150 B)
（2）在△ABM 中， = ，则 AB = ，……6 分
sin (150 B) sin B sin B
AC AM 2sin (120 C )
在△ACM 中， = ，则 AC = ，…………7 分
sin (120 C ) sin C sin C
2sin (150 B) 2sin (120 C )
所以 AB AC =
sin B sin C
2sin (150 B) 2sin (30 + B) 3sin2 B + cos2 B
= = + 2 3 ……………………9 分
sin B cos B sin B cos B
1
= 3tan B + + 2 3 4 3 ，………………………………………………11 分
tan B
3
当且仅当 tan B = ，即 B = 时，等号成立.故 AB AC 的最小值为 4 3 .……12 分
3 6
* *
21．（1）一方面：因为 Sn+1 2Sn =1(n N )，所以 Sn+2 2Sn+1 = Sn+1 2Sn =1(n N )，
所以 Sn+2 Sn+1 = 2(Sn+1 Sn )(n N* ) *，即 an+2 = 2an+1 (n N )；………………2 分
另一方面：又 n =1时，有 S2 2S1 =1，即 a2 a1 =1，且a1 =1，
所以此时 a2 = 2a1；…………………………………………………………………………………4 分
结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列 a 是首先为a1 =1，公比为q 2n 的等比数列，
所以数列 an 的通项公式为 a
n 1 n 1
n =1 2 = 2 .………………………………………………5 分
n 1
（2）由（1）可知an = 2 ，
高三数学期中模拟参考答案 第6页（共 8 页）
4a 2 2n 1 1
又由题意b =
n
n = = 2 n n+1 n n+1 ，………6 分 (an+1 1)(an+2 1) (2 1)(2 1) 2 1 2 1
数列 b nn 的前 项和为
1 1 1 1 1 1 1
Tn = 2 + + + = 2 1 ，……8 分
21 1 22 1 22 1 23
1 2
n 1 2n+1 1 n+1 2 1
2 4 2 4
又 n N*，都有m m Tn，故只需m m (Tn ) ，
3 3 min
n+1
而 y1 = 2 1关于 n 单调递增，
1 1
所以 y n y =T = 2 1 n2 = 关于 单调递减，n+1 3 n 关于 单调递增， n+12 1 2 1
1 4
所以当 n =1时，有 (Tn ) =T1 = 2 1 = ，………………………………10 分 min 22 1 3
2 4 4 2 2
因此m m (T m+ m 2 0 m 2 n ) = ，即 ( ) ，解得 ，
3 min
3 3 3
2
综上所述：m 的取值范围为 , 2 .……………………………………………………12 分
3
ln x + k
22 解：(1)因为 f (x) = ， x (0,+ ),
x
1nx +1 k
0 x e1 k所以 f (x) = , 令 f x 0,解得 ,
x2
令 f (x) 0，解得 x e
1 k , …………………………………………………………2 分
1 k 1 k
所以， f (x) 在 (0,e )上单调递增，在 (e ,+ )上单调递减，
f (x) x = e1 k所以 在 处取得极大值，
f (x) 1 k k 1即 极大值 = f (e ) = e 无极小值………………………………………………4 分
1nx + k 1 x
(2)由h(x) = 0即 (2e1 x +1) = 0,可得2xe + x 1nx k = 0,
x
令 F(x) = 2xe
1 x + x 1nx k ，则
1 (1 x)(2x e
x 1)
F (x) = (1 x) 2e
1 x = ……………………………………5 分
x xex 1
设 p(x) = 2x e
x 1
，则 p (x) = 2 e
x 1,
由 p (x) 0 得0 x 1n2+1, 由 p (x) 0得 x ln 2+1,
高三数学期中模拟参考答案 第7页（共 8 页）
所以 p(x)在 (0,1n2+1)上单调递增，在 (ln 2 +1,+ ) 上单调递减，
4
1 2 1
且 p(1) =1, p(3) = 6 e
2 0，p = e5 0，即 p p(1) 0，p(1)p(3) 0,
5 5 5
1
所以存在 x ,1 ， x2 (1,3) 使得 p(x1) = 0, p(x2 ) = 0, 1
5
x1 1 x 1即 2x1 = e ， 2x = e
2
2 ①，…………………………………….7 分
故 F(x)在(0，x1)上单调递减，在 (x1,1)上单调递增，在 (1, x2 ) 上单调递减，在 (x2 ,+ )
上单调递增，故 F(x)的极大值为 F(1) = 3 k,极小值为 F (x1) 和 F (x2 )
对①式两边取对数可得1nx1 = x1 1 1n2，1nx2 = x2 1 1n2②
将①②代入 F (x1) 得
1 x x 1 1 x
F(x1) = 2x
1
1e 1nx1 + x1 k = e
2 e 1 (x1 1 1n2) + x1 k = 2+1n2 k
同理可得 F (x2 ) = 2 +1n2 k, ……………………………………………………9 分
F(x1) = F(x2 ) = 2 + ln 2 k 0
要使 F(x)有四个零点，则必有
F(1) = 3 k 0
解得 2+ ln 2 k 3…………………………………………………………10 分
3 3 1 e 3 3 3
而 F(e ) = 2e e + e lne k 3 k 0,
F(5) =10e 4 1n5+ 5 k 5 1n5 k 2 1n5 0 ……………………………11 分
由零点存在定理可知，当 2+ ln 2 k 3时 F(x)有且仅有 4 个零点，即h(x) 有 4 个零点，
所以实数 k的取值范围为 (2+1n2,3) …………………………………12 分
高三数学期中模拟参考答案 第8页（共 8 页）
