4.1指数 同步练习（含解析）

4.1指数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，给出下列4个式子：①；②；③；④，其中无意义的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．若有意义，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，则（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．若x，，，则的最大值为4
B．若，则函数的最小值为3
C．若，，，则的最大值为1
D．函数的最小值为
7．将化成分数指数幂的形式是（ ）
A． B． C． D．
8．设，将表示成指数幂的形式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
10．（多选）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（　　）
A． B．﹣ C． D．
11．[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
12．下列说法正确的是（　　）
A．16的4次方根是2
B．的运算结果是±2
C．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义
D．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义
三、填空题
13．已知，，，且，则 .
14．已知函数，若实数m，n满足，且，则 .
15．已知正数、满足，则的最小值为 .
16．已知函数，，则 ；满足不等式的实数b的取值范围为 .
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)；
18．已知函数.
(1)讨论函数在定义域R上的奇偶性；
(2)讨论函数在单调性.
(3)结合（1），（2）的讨论结果，写出一个新结论（只写思考成果，不用论证）.
19．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上是减函数.
(1)求函数的解析式，并画出它的图象；
(2)讨论函数（）的奇偶性.
20．设，函数.
(1)求a的值，使得为奇函数；
(2)求证：时，函数在R上单调递减.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】利用指数幂的运算法则即可得解.
【详解】.
故选：A.
2．A
【分析】根据题意，由根式的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】①中，所以有意义；
②中5为奇数，所以有意义；
③中，因此无意义；
④9为奇数，所以有意义．
故选：A．
3．B
【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得.
【详解】由有意义，得，解得，
所以a的取值范围是.
故选：B
4．A
【分析】根据指数幂的运算性质直接化简即可.
【详解】.
故选：A.
5．C
【分析】利用指数幂公式化简，进而判断大小即可.
【详解】由，，，
所以.
故选：C.
6．C
【分析】举反例得到AB错误，利用均值不等式计算得到C正确，根据双勾函数的单调性计算得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：取，，则，错误；
对选项B：取得到，错误；
对选项C：，则，即，
解得，当且仅当时等号成立，正确；
对选项D：，设，，
函数在上单调递增，故最小值为，错误.
故选：C.
7．A
【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可.
【详解】.
故选：A
8．C
【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C
9．BC
【分析】根据指数幂和根式的的概念相互转化.
【详解】对于A，（），故A错误；
对于B，（），故B正确；
对于C，（），故C正确；
对于D，，而无意义，故D错误.
故选：BC
10．ACD
【分析】由式，通过配方可得，已知，进而分别用a，b表示c，根据实数的性质即可得出c的范围．
【详解】由式，可得，
，则，，
所以，，
又，则，
，
，，
则c的值可能为．
故选：ACD．
11．BD
【分析】利用根式与指数幂的关系求解.
【详解】当时，，，故A错误．
（），故B正确．
（），故C错误．
（），故D正确．
故选： BD
12．CD
【分析】根据根式的概念和性质求解.
【详解】对于A，由于，所以16的4次方根是，故A不正确．
对于B，，故B不正确．
对于C，由根式的意义知，当为大于1的奇数时，对任意都有意义，故C正确．
对于D，由根式的意义知，当为大于1的偶数时，只有当时才有意义，故D正确．
故选：CD．
13．
【分析】根据指数运算法则计算出答案.
【详解】.
故答案为：
14．
【分析】由题设可得，结合得，即可求.
【详解】由题设，则，故，
又，则，
所以.
故答案为：
15．
【分析】利用指数运算可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，所以.
因为、均为正数，所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为:.
16． 3
【分析】取代入得可得，分析函数单调性结合不等式即可求解．
【详解】由的定义域为R，且知，，
所以，故，
又函数在R上单调递减，
由，得，则，解得，
故b的取值范围为，
故答案为：3；．
17．(1)12
(2)
(3)
(4)100
【分析】（1）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果；
（2）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果；
（3）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果；
（4）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
（2）
（3）原式
（4）原式==
18．(1)函数在定义域R上为偶函数；
(2)函数在上为增函数；
(3)函数在值域为.
【分析】（1）利用奇偶性定义即可判定函数在定义域R上的奇偶性；
（2）利用函数单调性定义即可判定函数在单调性；
（3）结合函数的单调性和奇偶性即可求得其值域.
【详解】（1）定义域为R，
则函数在定义域R上的偶函数.
（2）设任意
则
由，可得，则，，
由，可得，
由，可得，，
则，
则，则函数在上单调递增；
（3）由（1）（2）知函数在值域为.
19．(1)，作图见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据幂函数的奇偶性和单调性求解m，即可求出解析式，结合幂函数的图象与性质作图即可；
（2）化简解析式，根据的取值结合奇偶性结论判断即可.
【详解】（1）由幂函数在区间上是减函数，得，
即.又，得.
因为函数的图象关于y轴对称，所以是偶函数，所以是偶数.
将分别代入检验，得，所以.
的图象如下图所示.

（2）把代入的解析式，得，
则.
所以当，时，为非奇非偶函数；
当，时，为奇函数；
当，时，为偶函数；
当，时，既为奇函数又为偶函数.
20．(1)时，为奇函数
(2)证明见解析.
【分析】（1）结合指数运算，根据求解即可；
（2）根据单调性的定义证明即可.
【详解】（1）解：函数的定义域为，
当为奇函数时，，即
因为，
所以，解得，
所以，当时，为奇函数
（2）证明：，
设且，
，
因为，，
所以，，，
所以，即，
所以，时，函数在R上单调递减.
答案第1页，共2页
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