2023-2024学年广东省深圳市南山区高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市南山区高二（上）期中数学试卷
一、单选题
1．（5分）直线x+y﹣2＝0的斜率为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）已知，，若，则y＝（　　）
A．4 B．6 C．5 D．3
3．（5分）圆（x﹣1）2+y2＝3的圆心坐标和半径分别是（　　）
A．（﹣1，0），3 B．（1，0），3 C． D．
4．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，点N为BC中点，则＝（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k1＜k3＜k2 C．k2＜k1＜k3 D．k3＜k2＜k1
6．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）设直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是（　　）
A．[0，π] B．
C． D．
8．（5分）已知点A（1，0），B（1，6），圆C：x2+y2﹣10x﹣12y+m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m＝（　　）
A．﹣3或3 B．57 C．﹣3或57 D．3或57
二、多选题
（多选）9．（5分）已知向量，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．（5分）已知直线l：（a+2）x+ay﹣2＝0与n：（a﹣2）x+3y﹣6＝0（　　）
A．若l∥n，则a＝6或a＝﹣1
B．若l⊥n，则a＝1
C．直线l恒过点（1，﹣1）
D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为
（多选）11．（5分）已知空间中三个点A（0，0，0），B（2，1，0），C（﹣1，2，1），则下列说法正确的是（　　）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是（﹣2，﹣1，0）
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
（多选）12．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0 与直线l：（2k+1）x﹣ky﹣3＝0，若直线l和圆C交于A、B两点，则（　　）
A．直线l必过定点P（3，6）
B．弦长AB最短为
C．直线与圆可能没有交点
D．S的最大值为16
三、填空题
13．（5分）已知＝（1，3，m），＝（2n，6，﹣4），若∥，则 ＝　 　．
14．（5分）已知两条直线l1：2x﹣4y+7＝0，l2：x﹣2y+5＝0．则l1，l2间的距离 　 　．
15．（5分）已知A（2，0），B（﹣2，﹣4），直线l：x﹣2y+8＝0上有一动点P，则|PA|+|PB|的最小值为　 　．
16．（5分）若直线l：kx﹣y+4+2k＝0与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是 　 　．
四、解答题
17．（10分）若＝（1，2，﹣1），＝（﹣2，3，4）．
（1）若（k+b）∥（﹣2b），求实数k的值；
（2）若（k+b）⊥（﹣2b），求实数k的值．
18．（12分）已知△ABC三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边上的垂直平分线的直线方程；
（2）求点A到BC边所在直线的距离．
19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形
（1）设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点；
（2）若PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，求点P到平面ABE的距离．
20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0，直线l恒过点P（4，1）．
（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB＝2CD，BD＝4，PB＝PC＝PD＝．
（1）证明：OP⊥平面ABCD；
（2）若BC＝CD，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，3），且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点．
（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；
（2）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值；
（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使|MO|＝|MQ|，求出直线l的方程，若不存在说明理由．
2023-2024学年广东省深圳市南山区南头中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）直线x+y﹣2＝0的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知先化成斜截式，进而可求直线的斜率．
【解答】解：由x+y﹣2＝2可得y＝+，
故直线的斜率为﹣．
故选：D．
2．（5分）已知，，若，则y＝（　　）
A．4 B．6 C．5 D．3
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合空间向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵，，，
∴﹣2+2y﹣5＝3，解得y＝4．
故选：A．
3．（5分）圆（x﹣1）2+y2＝3的圆心坐标和半径分别是（　　）
A．（﹣1，0），3 B．（1，0），3 C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的标准方程，直接可以得出结论．
【解答】解：圆（x﹣1）2+y6＝3的圆心坐标是（1，7），
故选：D．
4．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，点N为BC中点，则＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．
【解答】解：由题意
＝++
＝+﹣+
＝﹣++﹣
＝﹣++
又＝，＝，＝
∴＝﹣++
故选：B．
5．（5分）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k1＜k3＜k2 C．k2＜k1＜k3 D．k3＜k2＜k1
【答案】B
【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果．
【解答】解：根据函数的图象：k1＜0，k8＞k3＞0；
故k5＞k3＞k1．
故选：B．
6．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先建立空间直角坐标系，再列出点的坐标，再结合向量法求异面直线所成的角得：设，的夹角为θ，求出θ的余弦值，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值，得解．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设DA＝1，AB＝BC＝1，，
则D（0，3，0），0，8），D1（0，7，），B1（8，1，），
所以＝（1，1，），，0，），
设AD1与DB1的夹角为θ，
则cosθ＝＝，
即异面直线AD8与DB1所成角的余弦值为，
故选：C．
7．（5分）设直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是（　　）
A．[0，π] B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围；
【解答】解：直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，
当sinθ＝6时，，
当sinθ≠0时，直线的斜率k＝tan，
所以tanα∈（﹣∞，﹣1]∪[1，
所以，
综上所述：；
故选：C．
8．（5分）已知点A（1，0），B（1，6），圆C：x2+y2﹣10x﹣12y+m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m＝（　　）
A．﹣3或3 B．57 C．﹣3或57 D．3或57
【答案】C
【分析】根据∠APB＝90°，得到P在以AB为直径的圆上；再根据在圆C上存在唯一的点P使得∠APB＝90°，得到两圆相切即可求解．
【解答】解：由题意，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点．其中A（1，B（1，
所以以AB为直径的圆M的方程为（x﹣8）2+（y﹣3）6＝9，圆C：（x﹣5）7+（y﹣6）2＝61﹣m．
由两圆相切，则，即，
所以m＝57或﹣4．
故选：C．
二、多选题
（多选）9．（5分）已知向量，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据向量运算法则、向量数量积公式、向量平行的性质求解．
【解答】解：对于A，∵向量，，
∴，故A正确；
对于B，∵向量，，
∴，∴，故B正确；
对于C，≠﹣10；
对于D，，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）已知直线l：（a+2）x+ay﹣2＝0与n：（a﹣2）x+3y﹣6＝0（　　）
A．若l∥n，则a＝6或a＝﹣1
B．若l⊥n，则a＝1
C．直线l恒过点（1，﹣1）
D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为
【答案】AC
【分析】A选项，由直线平行得到方程，求出a＝﹣1或a＝6；B选项，由直线垂直得到方程，求出a＝1或a＝﹣4；C选项，变形得到a（x+y）+2x﹣2＝0，从而得到方程组，求出定点坐标；D选项，根据x轴上的截距得到方程，求出a＝3，求出直线方程的斜截式．
【解答】解：A选项，若l∥n，解得a＝﹣1或a＝6，
经检验，均符合要求；
B选项，若l⊥n，解得a＝7或a＝﹣4；
C选项，l：（a+2）x+ay﹣6＝0变形得到a（x+y）+2x﹣7＝0，
由得所以l恒过点（1，故C正确；
D选项，令（a﹣8）x+3y﹣6＝5中y＝0得，
故，解得a＝3，
所以直线n的方程为x+3y﹣8＝0，斜截式为．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知空间中三个点A（0，0，0），B（2，1，0），C（﹣1，2，1），则下列说法正确的是（　　）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是（﹣2，﹣1，0）
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
【答案】BCD
【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在λ使＝λ；
B：与同向的单位向量是即可判断；
C：由投影向量的定义可解；
D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断．
【解答】解：由题意得，＝（2，1，＝（﹣2，2，＝（﹣3，3，
A：若与共线＝λ，则，故不共线；
B：与同向的单位向量是，，0）；
C：由cos＜，＞＝＝，
则在方向上的投影向量是|，＞＝＝（﹣2，5）；
D：若＝（x，y，则，令y＝﹣2，则，﹣2，D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0 与直线l：（2k+1）x﹣ky﹣3＝0，若直线l和圆C交于A、B两点，则（　　）
A．直线l必过定点P（3，6）
B．弦长AB最短为
C．直线与圆可能没有交点
D．S的最大值为16
【答案】AB
【分析】根据直线方程可得直线恒过定点，即可判断AC，然后求得圆心C到直线l的距离d，即可求得弦长，及△ABC的最大值．
【解答】解：圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣6）2＝16，
∵直线k（2x﹣y）+（x﹣2）＝0．令，解得，
∴不论k取何值，直线l必过定点P（3，
且（4﹣2）2+（6﹣3）2＜16，则点P在圆内，
∴直线与圆一定相交，故A正确．
圆心C（2，3），
当CP的连线垂直于直线l时，dmax＝＝，
∴，，
∴当d最大时，弦长AB最短为；
 S△ABC＝|AB| d＝，
∵，∴时，△ABC面积的最大值为8．
故选：AB．
三、填空题
13．（5分）已知＝（1，3，m），＝（2n，6，﹣4），若∥，则 ＝　28　．
【答案】见试题解答内容
【分析】∥，可得，解得m，n．再利用数量积运算性质即可得出．
【解答】解：∵∥，∴，解得m＝﹣7．
∴＝2+18+（﹣2）×（﹣6）＝28．
故答案为：28．
14．（5分）已知两条直线l1：2x﹣4y+7＝0，l2：x﹣2y+5＝0．则l1，l2间的距离 　　．
【答案】．
【分析】转化为系数一致，再代入求解即可．
【解答】解：两条直线l1：2x﹣6y+7＝0，l6：x﹣2y+5＝2，即2x﹣4y+10＝3，
故l1，l2间的距离d＝＝．
故答案为：．
15．（5分）已知A（2，0），B（﹣2，﹣4），直线l：x﹣2y+8＝0上有一动点P，则|PA|+|PB|的最小值为　12　．
【答案】见试题解答内容
【分析】设点A关于直线l的对称点A′（a，b），则，可得A′，可得|PA|+|PB|的最小值为|A′B|．
【解答】解：设点A关于直线l的对称点A′（a，b），
则，解得．
∴A′（﹣2，8），
∴|A′B|＝＝12．
∴|PA|+|PB|的最小值为|A′B|，即为12．
故答案为：12．
16．（5分）若直线l：kx﹣y+4+2k＝0与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是 　　．
【答案】．
【分析】先求出直线l所过定点A（﹣2，4），再将曲线转化为x2+y2＝4（y≥0），可知其为半圆，结合图像，即可求出k的取值范围．
【解答】解：由题意得，直线l的方程可化为（x+2）k﹣y+4＝2，
易知直线l恒过定点A（﹣2，4），
又曲线可化为x2+y2＝4（y≥0），其表示以（6，半径为2的圆的上半部分，
当l与该曲线相切时，圆心（0，解得，
设B（2，0），则，
由图像可知，要使直线l与曲线，需，
综上，实数k的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题
17．（10分）若＝（1，2，﹣1），＝（﹣2，3，4）．
（1）若（k+b）∥（﹣2b），求实数k的值；
（2）若（k+b）⊥（﹣2b），求实数k的值．
【答案】（1）﹣；（2）．
【分析】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值；
（2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值．
【解答】解：（1）由于＝（1，2，＝（﹣7，3，
所以，，
所以，解得k＝﹣．
（2）由于＝（1，2，＝（﹣2，3．，
所以，，
故5（k﹣2）﹣5（2k+3）﹣8（﹣k+4）＝0，
解得．
18．（12分）已知△ABC三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边上的垂直平分线的直线方程；
（2）求点A到BC边所在直线的距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由直线的斜率公式算出BC的斜率，再用垂直关系算出BC垂直平分线的斜率为﹣1．根据中点坐标公式算出BC的中点D的坐标为（0，1），利用点斜率列式可得BC边的垂直平分线方程，再化成一般式即可．
（2）利用点斜式求出直线BC方程为x﹣y+1＝0，再用点到直线的距离公式即可算出点A到BC边所在直线的距离．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣1），4）
∴BC的中点D的坐标为（，）即（0，
直线BC的斜率为：，…（2分）
因此，BC边的垂直平分线的斜率为：k＝
又∵BC的中点D的坐标为（3，1），
∴BC边的上的中垂线所在的直线方程为：y﹣1＝﹣（x﹣8），
化成一般式，得x+y﹣1＝0…（5分）
（2）∵直线BC的斜率为1，且经过点C（2
∴直线BC方程为y﹣6＝x﹣2，化成一般式得x﹣y+1＝7
因此，点A（﹣1
…（10分）
19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形
（1）设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点；
（2）若PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，求点P到平面ABE的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）点P到平面ABE的距离为．
【分析】（1）连结EF，AF，根据线面平行的性质和判定，即可证明结论；
（2）建立以A为原点，以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．
【解答】（1）证明：连结EF，AF
在正方形ABCD中，AB∥CD，
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又平面ABE∩平面PCD＝EF，
∴AB∥EF，
又AB∥CD，
∴CD∥EF，
E为侧棱PC的中点
∴F为PD的中点；
（2）建立以A为原点，以AB、AP所在的直线分别为x轴、z轴的空间直角坐标系A﹣xyz
则A（0，0，6），0，0），8，0），0，6），1，1），
设平面ABE的一个法向量为＝（x，y，＝（6，0，＝（1，2，
则，即，取y＝4，x＝0，
∴平面ABE的一个法向量为＝（0，5，
又＝（0，0，
∴点P到平面ABE的距离为＝＝，
故点P到平面ABE的距离为．
20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0，直线l恒过点P（4，1）．
（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时
【答案】（1）直线l的方程为x＝4或3x+4y﹣16＝0；
（2）直线l的方程为y＝1或4x﹣3y﹣13＝0．
【分析】（1）由圆的方程求得圆心坐标与半径，当直线l的斜率不存在时，求得l的方程为x＝4时；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程为kx﹣y+1﹣4k＝0，由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，可得直线l的方程；
（2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，可得直线方程kx﹣y+1﹣4k＝0，由垂径定理列式求解k，则直线方程可求．
【解答】解：（1）由题意可知，圆C的圆心为（2，半径r＝2．
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝2时，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
化为一般式：kx﹣y+1﹣4k＝2，若直线l与圆相切，
则d＝，即6﹣4k+4k6＝4k2+5，解得k＝．
∴l：，即l：3x+4y﹣16＝4．
综上，当直线l与圆C相切时；
（2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，
∴直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0．
设圆心到直线l的距离为d，则d＝，
，即，
整理得，3k2﹣4k＝5，解得k＝0或k＝．
则直线l的方程为y＝1或4x﹣3y﹣13＝0．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB＝2CD，BD＝4，PB＝PC＝PD＝．
（1）证明：OP⊥平面ABCD；
（2）若BC＝CD，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OC，利用勾股定理证明OP⊥OC，又可证明OP⊥BD，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBC和平面PAD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
在Rt△BCD中，由BD＝4，
∵PB＝PD＝，OB＝OD＝2，
∴OP⊥BD，OP＝，
∵OP＝6，OC＝2，
则PC7＝OP2+OC2，
故OP⊥OC，
∵OP⊥BD，BD∩OC＝O，OC 平面ABCD，
∴OP⊥平面ABCD；
（2）解：由（1）可知，OC，OP两两垂直，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则O（6，0，0），7，0），0，3），2，0），3，1），
∴＝（2，4，＝2，4，4），
则A（﹣2，﹣4，
又＝（﹣8，2，＝（﹣2，7，
设平面PBC的法向量为＝（x，y，
则，令x＝4，z＝2，
故＝（1，6，
设平面PAD的法向量为＝（a，b，
＝（2，0，4），，4，0），
则，令a＝1，c＝﹣2，
故＝（7，0，
∴|cos＜＞|＝＝＝，
故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，3），且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点．
（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；
（2）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值；
（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使|MO|＝|MQ|，求出直线l的方程，若不存在说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意可得直线l的方程，求出圆心O到直线l的距离d及圆的半径，再由弦长与半径即圆心到直线的距离的关系求出弦长；
（2）设直线l的方程与圆O联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线QA，QB的斜率之和，可证得斜率之和为定值0；
（3）由（2）可得线段AB的中点M的坐标，由|MO|＝|MQ|，可得k的表达式，进而求出k的值，求出直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意可得直线l的方程为：y＝+3，
所以圆O到直线l的距离d＝＝，
圆O的半径r＝6，所以弦长|AB|＝2＝2；
（2）证明：设直线l的方程为：y＝kx+6，设A（x1，y1），B（x3，y2），
将直线l的方程与圆联立，整理可得：（5+k2）x2+8kx+5＝0，
Δ＝36k2﹣20（k2+1）＞3，可得：k2，
x1+x2＝，x4x2＝，
k1+k2＝+＝＝7k+＝2k﹣2k＝0，
所以可证得：k7+k2为定值0．
（3）由（2）可得AB的中点M（，），即（，），
因为|MO|＝|MQ|+＝[+（﹣）2]，
整理可得：＝，解得k8＝，满足k2
所以k＝±，
所以直线l的方程为：y＝x+8．