《新学案》2015年春高中数学苏教版必修二名师导学：第二章 平面解析几何初步（含解析）
文档属性
| 名称 | 《新学案》2015年春高中数学苏教版必修二名师导学：第二章 平面解析几何初步（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 983.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-20 22:28:30 | ||
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文档简介
第 2 章 平面解析几何初步
第1课时 直线的斜率(1)
教学过程
一、 问题情境
1. 情境:
多媒体投影现实世界中的一些美妙曲线,这些曲线都和方程息息相关,在数学中,我们可以通过研究这些曲线的方程来认识这些曲线.
2. 问题:
在平面直角坐标系中,用一对有序实数(x, y)可确定点的位置,那么用什么来确定直线的位置呢
两点可以确定一条直线.还有什么样的条件可以确定一条直线
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 探究活动
学生进行思考、联想、讨论.
学生回答并演示(①过两点;②过一点及确定的方向)
观察:直线的方向与直线在坐标系倾斜度的关系.
问题1 我们熟悉的坡度是怎样确定的
利用木板进行演示,让学生有一个感性认识,体验坡度是由什么来确定的.
问题2 如果给你直线上两点,你能用它们的坐标来刻画其倾斜度吗
由学生讨论引出课题:直线的斜率.
2. 数学概念
直线斜率的定义:已知两点P(x1, y1), Q(x2, y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为:
k= (x1≠x2).
(二) 理解概念
1. 因为k==(x1≠x2),所以斜率公式与P, Q两点的顺序无关.
2. 如果x1=x2,直线PQ与x轴垂直,公式中分母为0,那么直线PQ的斜率不存在.所以,在坐标系中,不是所有的直线都有斜率.
3. 对于与x轴不垂直的直线PQ,斜率可看作:k===.
*问题3 对于不垂直于x轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置是否有关 为什么
设直线l不与x轴垂直.在直线l上有P(x1, y1), Q(x2, y2),其斜率为k=,在直线l上再取两点M(x3, y3), N(x4, y4),根据定义,直线l斜率应为k'=, ≠0,因为与共线,所以=λ,即(x4-x3, y4-y3)=λ(x2-x1, y2-y1), x4-x3=λ(x2-x1), y4-y3=λ(y2-y1), k'===k.
这表明,对于一条与x轴不垂直的定直线而言,它的斜率是一个定值.[4]
(三) 巩固概念
问题4 一次函数y=-2x+1的图象是一条直线,它的斜率是多少
解答 在直线上取两点(0, 1)与,根据斜率公式知,其斜率为-2.
三、 数学运用
【例1】 (教材P78例1)如图1,直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l1, l2, l3都经过点P(3, 2),又l1, l2, l3分别经过点Q1(-2, -1), Q2(4, -2), Q3(-3, 2),试计算直线l1, l2, l3的斜率.[5]
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
解 根据斜率的定义,直线l1的斜率为k1==,直线l2的斜率为k2==-4,直线l3的斜率为k3==0.
变式1 若点Q1的坐标变为(m, -1),(1)求直线l1的斜率.(2)若此时l1的斜率为2,求m的值.[6]
解 (1) 当m=3时,l1的斜率不存在;当m≠3时,直线l1的斜率为k1==.
(2) 若直线l1的斜率为2=,则m=.
变式2 在例1的坐标系中画出经过点(3, 2),斜率不存在的直线l4,并比较这些直线相对于x轴的倾斜程度与斜率的关系.[7]
解 从图中可以看出当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(l1);
当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(l2);
当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(与y轴垂直)(l3);
当直线的斜率不存在时,直线与x轴垂直(l4).
【例2】 (教材P78例2)经过点(3, 2)画直线,使直线的斜率分别为:(1); (2)-.[8]
[处理建议] 让学生板演,在出现困难时作适当的提示:画直线需要两点,如何找另一点呢.
解 (1) 根据斜率=,斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上,将点(3, 2)沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后得点(7, 5),因此经过点(7, 5)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图2所示.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2) ( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
(2) ∵ -=,∴ 将点(3, 2)沿x轴方向向右平移5个单位,再沿y轴方向向下平移4个单位后得点(8, -2),因此经过点(8, -2)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图3所示.
[题后反思] 画一条直线,关键先找出两点,此题结合画图,让学生如何找点.
【例3】 已知三点A(a, 2), B(3, 7), C(-2, -9a)在一条直线上,求实数a的值.[9]
解 因为3≠-2,所以直线BC的斜率存在,据题意可知直线AB与直线BC的斜率相等,即=,解得a=2或.
[题后反思] 利用斜率构造等式,先要分析斜率是否存在,防止犯以偏概全的错误,对斜率不能确定是否存在,要进行分类讨论.
问题5 两个点可以确定一条直线,一个点及直 ( http: / / www.21cnjy.com )线的斜率也可以确定一条直线,斜率既能反映直线的倾斜程度,也能反映直线的方向,方向还可以用什么来描述
让学生分组讨论.通过讨论认为:选用直线的上方与x轴正方向所形成的角α能最自然、最简单的刻画直线的方向,从而引出倾斜角的概念.
四、 数学概念
1. 直线的倾斜角的定义:
在平面直角坐标系中,对于与x轴相交的直线, ( http: / / www.21cnjy.com )把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
巩固概念
指出下列图中直线的倾斜角:[10]
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
( http: / / www.21cnjy.com )(3) ( http: / / www.21cnjy.com )(4)
(图4)
问题6 直线的倾斜角能不能是锐角 能不能是直角 能不能是钝角 能不能是平角 能否大于平角 倾斜角的取值范围如何
引导学生观察,当直线从x轴位置旋转180°后又回到x轴位置的过程中,直线的倾斜角如何变化,从而得出结论.
2. 直线的倾斜角的范围是: 0°≤α<180°.[11]
五、 课堂练习
1. 分别求经过下列两点的直线的斜率.
(1) (3, 2), (5, 4).
(2) (-1, 2), (3, 0).
(3) (-2, -2), (3, -2).
(4) (-2, 6), (2, -2).
2. 根据下列条件,分别画出经过点P,且斜率为k的直线.
(1) P(1, 2), k=;
(2) P(2, 4), k=-2;
(3) P(-1, 3),斜率不存在;
(4) P(-2, 0), k=0.
3. 分别判断下列三点是否在同一条直线上.
(1) (1, 0), (3, 3), (4, 5).
(2) (0, 2), (3, -1), (-1, 3).
解答 1. (1) 1; (2) -; (3) 0; (4) -.
2. 略.
3. (1) 不在同一条直线上;(2) 在同一条直线上.
六、 课堂小结
1. 在本节课中,你学到了哪些新的概念
2. 怎样求出已知两点的直线的斜率
3. 斜率与倾斜角在刻画直线倾斜程度方面有什么区别
(直线的倾斜角侧重于几何直观形象,而直线的斜率侧重于用数来刻画直线的方向)[12]
第2课时 直线的斜率(2)
教学过程
一、 问题情境
1. 经过点原点(1, 0)与B(2, )两点的直线斜率为 ,倾斜角为 60° .
2. 已知两点P(x1, y1), Q(x1, y1),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率与倾斜角有什么关系
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 分直线的倾斜角为锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )(见图①)和直线的倾斜角为钝角(见图②)启发学生利用斜率的定义发现:k=tanα(注:tan(180°-α)=-tanα).
( http: / / www.21cnjy.com )① ( http: / / www.21cnjy.com )②
(图1)
2. 用几何画板演示,引导学生观察,当直线绕一定点旋转时,斜率与倾斜角的变化关系.
(二) 理解概念
(1) ① 当α≠90°时,k=tan ( http: / / www.21cnjy.com )α;② 当α=90°时,k不存在;③ 当α=0°时,k=0;④ 当α为锐角时,k>0;⑤ 当α为钝角时,k<0.
(2) 当倾斜角α=90°时,斜率k不存在,这就是说任何直线都有倾斜角,但不是任何直线都有斜率,与x轴垂直的直线就没有斜率.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
(三) 巩固概念
判断下列命题的真假:
(1) 若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;
(2) 若两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等;
(3) 若两条直线的倾斜角不等,则它们中倾斜角大的,其斜率不一定大;
(4) 若两条直线的斜率不等,则它们中斜率大的,其倾斜角不一定大.
答 (1)假;(2)真;(3)真;(4)真.
三、 数学运用
【例1】 (1) 直线l1, l2 ( http: / / www.21cnjy.com ), l3如图2所示,则l1, l2, l3的斜率k1, k2, k3的大小关系为 ,倾斜角α1, α2, α3的大小关系为 .
(2) 填写下表[2]
直 线 平行于x轴 从左向右上升 垂直于x轴 从左向右下降
倾斜角α的大小
斜率k的范围
斜率k的增减性
[处理建议] 可以利用几何画板动态地显示斜率与倾斜角的关系.
解答 (1) k1>k2>k3, α3>α1>α2.
(2) 填写下表
直 线 平行于x轴 从左向右上升 垂直于x轴 从左向右下降
倾斜角α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
斜率k的范围 0 k>0 不存在 k<0
斜率k的增减性 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
[题后反思] 这道题阐明倾斜角与斜 ( http: / / www.21cnjy.com )率在变化过程中的关系,讲解中注意用从特殊到一般的方法.如果学过必修4课本,可以从正切函数的单调性上去分析.
【例2】 已知直线过点A(2m, 3), B(2, -1),根据下列条件,求实数m的值(或范围):
(1) 直线的倾斜角为135°.
(2) 直线的倾斜角为90°.
(3) 直线倾斜角为锐角.
(4) 直线倾斜角为钝角.[3]
[处理建议] 此题让四个学生板演.
解 (1) 斜率为k=tan135°==-1,解得m=-1.
(2) 因为AB⊥x轴,所以2m=2,解得m=1.
(3) 据题意,k=>0,解得m>1.
(4) 据题意,k=<0,解得m<1.
【例3】 已知直线l的斜率的取值范围为[-1, 1],求其倾斜角的取值范围.[4]
[处理建议] 可以利用数形结合的思想(如图3)及例1的结果,分两段直接写出,也可利用正切函数的性质解题.
解 ① 当斜率k∈[-1, 0)时,倾斜角α为钝角,且-1≤tanα<0,所以135°≤α<180°;
② 当斜率k∈[0, 1]时,倾斜角α为0°或锐角,且0≤tanα≤1,所以0°≤α≤45°.
综上所述:倾斜率的取值范围是{α|0°≤α≤45°或135°≤α<180°}.
[题后反思] 此题需要分类讨论,注意倾斜角的 ( http: / / www.21cnjy.com )固定范围是0°≤α<180°,如果学过必修4,可以从正切函数的单调性或从图象上观察分析,如果没学过必修4,此题可以不讲.
( http: / / www.21cnjy.com )(图3) ( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
*【例4】 若过原点的直线l与连结P(2, 2), Q(-6, 2)两点的线段相交,求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.[5]
[处理建议] 首先要带领学生认真审题,注意跟线段相交与跟直线相交的区别,然后结合例3的方法,引导学生用数形结合的方法去处理.
解 如图4, OP的斜率k1==1, OQ的斜率k2==-.
当直线l由OP位置逆时针旋转到y轴位置时,直线l与线段PQ相交,倾斜角α由45°增大到90°,斜率k由1增大到正无穷.当直线l由y轴位置逆时针旋转到OQ位置时,直线l与线段PQ相交,倾斜角α由90°增大到150°,斜率k由负无穷增大到-,因此,直线l斜率的取值范围为∪[1, +∞),倾斜角的取值范围是{α|45°≤α≤150°}.
[题后反思] 此题利用数形结合方法较好,直线的旋转,引起直线的斜率、倾斜角的变化:在不同的两段上,都是随直线的逆时针旋转而增大的.
四、 课堂练习
1. 已知y轴上的点B与点A(-, 2)连线所成直线的倾斜角为60°,则点B的坐标是 (0, 5) .
2. 已知直线l1的倾斜角α1=30°,直线l2垂直于l1,则l2的斜率为 - .
3. 直线l的倾斜角的正弦值为,求直线l的斜率.
4. 已知A(4, 2), B(-8, 2), C(0, -2),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是什么角
解答 3. 设直线l的倾斜角为α,则sinα=.当α为锐角时,cosα==,斜率为k=tanα==;当α为钝角时,cosα=-=-,斜率为k=tanα==-.综上所述,直线l的斜率为或-.
4. 直线AB的斜率为kAB==0,直线AB的倾斜角为0°;直线BC的斜率为kBC==-,直线BC的倾斜角是钝角;直线CA的斜率为kCA==1,直线CA的倾斜角是45°.
五、 课堂小结
1. 直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么
2. 倾斜角为特殊角时与直线斜率的对应关系.
倾斜角 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
斜率
3. 为什么不用直线的倾斜角的正弦来作直线的斜率呢
解答:
1. 当倾斜角α≠90°时,斜率k=tanα,此时倾斜角与斜率一一对应;当倾斜角α=90°时,斜率不存在.
2.
倾斜角 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
斜率 1 不存在 - -1 -
3. 倾斜角的正弦与倾斜角不能一一对应,互补的两个倾斜角的正弦相等.
第3课时 直线的方程(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 确定一条直线需要几个独立条件 请举例说明.
归纳得出:1.直线上的两个点;2.直线上的一个点及直线的斜率.
问题2 给出直线l上一点及 ( http: / / www.21cnjy.com )斜率两个条件:经过点A(-1, 3),斜率为-2, (1)你能在直线l上再找一点,并写出它的坐标吗 (2)这条直线l上的任意一点P(x, y)的横坐标x和纵坐标y满足什么关系呢 [1]
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 探究问题情境中的问题.
2. 直线l经过点P1(x1, y1),且斜率为k.设点P(x, y)是直线l上的任意一点,请建立x, y与k, x1, y1之间的关系.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
学生根据斜率公式,可以得到,当x≠x1时,
k=,
故
y-y1=k(x-x1)①[2]
问题3 过点P1(x1, ( http: / / www.21cnjy.com ) y1),斜率是k的直线l上的点(包括点P1),其坐标都满足方程①吗 坐标满足方程①的点都在经过P1(x1, y1),斜率为k的直线l上吗
答 过点P1(x1, y1),斜率是k ( http: / / www.21cnjy.com )的直线l上的点,其坐标都满足方程①,且坐标满足方程①的点都在经过P1(x1, y1),斜率为k的直线l上.[3]
3. 直线的点斜式方程.
我们把方程y-y1=k(x-x1)叫做直线的点斜式方程.
问题4 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢
答 因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用点斜式方程表示.
问题5 经过点P1(x1, y1)且垂直于x轴的直线方程是什么 经过点P1(x1, y1)且垂直于y轴的直线方程又是什么
4. 两种特殊的直线方程.
经过点P1(x1, y1)且垂直于x轴的直线方程是x=x1;
经过点P1(x1, y1)且垂直于y轴的直线方程是
(二) 理解概念
1. 为什么方程=k不称为直线l的点斜式方程
因为直线l上的点P1(x1, y1)不满足方程=k.
2. 把直线方程y=kx+6k-5写成点斜式方程,并说明此直线过哪个定点
方程y=kx+6k-5可变形为y-(-5)=k[x-(-6)],这即为点斜式方程,此直线恒过定点(-6, -5).
三、 数学运用
【例1】 一条直线经过点P1(-2, 3),斜率为2,求这条直线方程.[5]
解 根据点斜式方程的形式,这条直线的方程为y-3=2(x+2)即2x-y+7=0.
【例2】 直线l斜率为k,与y轴的交点是P(0, b),求直线l的方程.[6]
解 根据点斜式方程形式,直线l的方程为y-b=k(x-0),即y=kx+b.
数学概念
(1) 直线l与x轴交点(a, 0),与y轴交点(0, b),称a为直线l在x轴上的截距,称b为直线l在y轴上的截距(截距可以大于0,也可以等于或小于0).
(一定要讲清楚截距的概念,“第一印象”非常重要)
(2) 方程y=kx+b由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定,叫做直线的斜截式方程.
问题6 你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b 一次函数中k和b的几何意义是什么
一次函数y=kx+b中,常数k是直线的斜率,常数b为直线在y轴上的截距.
问题7 直线的斜截式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢
答 因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用斜截式方程表示.
【例3】 在同一坐标系中作出下列直线,分别说出这两组直线有什么共同特征
(1) y=2, y=x+2, y=-x+2, y=3x+2, y=-3x+2.
(2) y=2x, y=2x+1, y=2x-1, y=2x+4, y=2x-4.[7]
解 (1)图略,这组直线的共同特征是都过点(0, 2),斜率不同.
(2) 图略,这组直线的共同特征是斜率都相同,截距互不相同,它们是一组平行直线.
[题后反思] 画直线关键是找出两点,常常找直线与坐标轴的交点,此题意在说明共点直线或平行直线在方程形式上的联系(相同点).
【例4】 (1) 求直线y=-(x-2)的倾斜角.
(2) 求直线y=-(x-2)绕点(2, 0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.[8]
解 (1) 设直线的倾斜角为α,从方程可知,直线的斜率是-,所以tanα=-,又因为0°≤α<180°,所以直线y=-(x-2)的倾斜角为120°.
(2) 所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°,且经过点(2, 0),所以,所求的直线方程为x=2.
[题后反思] 方程为y=k(x+a)+b的直线的斜率为k,第(2)题注意直线的旋转的方向.
*【例5】 已知直线l经过点P(4, 1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8,求直线l的点斜式方程.[9]
[处理建议] 引导学生分析,要求出方程,先求出斜率,如何把“面积为8”用上,能否转化为关于斜率k的方程,用点斜式方程要注意哪些呢
解 根据题意,直线l不垂直于x轴,其斜率存在且为负数,故可设直线l的方程为y-1=k(x-4), (k<0),在方程中令y=0得x=4-,令x=0得y=1-4k,故直线l与两坐标轴交于点与(0, 1-4k),与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为S=(1-4k)=8,解得k=-,故直线l的点斜式方程为y-1=-(x-4).
[题后反思] 利用点斜式或斜截式设 ( http: / / www.21cnjy.com )直线方程,首先要分析直线的斜率是否存在,如不能确定,一般要分类讨论,此题不仅分析了斜率是存在的,而且还挖掘出隐含条件:斜率小于0,为下面的求解避免了分类讨论,如果解出两解,还要注意取舍.
四、 课堂练习
1. 经过点(3, -1),斜率为3的直线的点斜式方程为 y+1=3(x-3) .
2. 经过点(2, 2),斜率为的直线的点斜式方程为 y-2=(x-2) .
3. 斜率为-3,在y轴上的截距为-4的直线的斜截式方程为 y=-3x-4 .
4. 斜率为,在x轴上的截距为6的直线的方程为 y=(x-6) .
5. 直线x=m(y+1)的图象恒过定点 (0, -1) .
五、 课堂小结
1. 本节课我们学了哪些知识
2. 直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么
3. 求一条直线的方程,要知道多少个条件
4. 如何根据直线方程求出直线的斜率及y轴上的截距
第4课时 直线的方程(2)
教学过程
一、 问题情境
1. 情境:能否根据我们已经学过的直线的点斜式、斜截式方程求出符合下列条件的直线方程(学生活动):
(1) 直线经过点(1, 2), .
(2) 直线经过点(1, 2), (-1, 2).
(3) 直线经过点(0, 2), (1, 0).
(4) 直线经过点(x1, y1), (x2, y2),其中x1≠x2.
2. 问题:如果已知直线经过的两个点,或已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,如何求直线方程 [1]
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生研究上面的问题.
根据直线的点斜式方程,经过两点(x1, y1), (x2, y2)(x1≠x2)直线l的方程为:y-y1=(x-x1).
2. 直线的两点式方程.
若x1≠x2, y1≠y2,经过两点P1(x1, x2), P2(x2, y2)的直线l的方程为=,我们把方程=叫做直线的两点式方程.
(二) 理解概念
1. 方程=的左右两边各具有怎样的几何意义 它表示什么图形
答 左边是动点和一个定点的连线的斜率,右边是两个定点的连线的斜率,这两者始终相等,因而方程表示除去点(x1, y1)的一条直线.
2. 方程=和方程=表示同一图形吗
前者表示经过两定点(x1, x2), (x2, y2)但除去点(x1, y1)的一条直线,后者表示经过两定点(x1, x2), (x2, y2)完整的一条直线.所以才把后者称为两点式方程.
3. 若两点P1(x1, x2), P2(x2, y2)中有x1=x2或y1=y2,此时直线P1P2方程能否用两点式方程表示 如果不能,应该如何表示 这说明了什么
答 因为有分母为0,所以不能用两点式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程表示,若x1=x2,直线P1P2方程为x=x1,若y1=y2,直线P1P2方程为y=y1,这说明两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.
(三) 巩固概念
已知直线分别经过下面两点,求直线的两点式方程.
①A(3, 1), B(2, -3);②A(2, 1), B(0, -3);③A(0, 5), B(4, 0).
解答 ① 直线的两点式方程为:=;
② 直线的两点式方程为:=;
③ 直线的两点式方程为:=.
三、 数学运用
【例1】 (教材P84例1)已知直线l经过两点A(a, 0), B(0, b),其中ab≠0,求直线l的方程(如图1).[2]
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
解 根据两点式方程形式,直线l的方程为=,即+=1.
数学概念
直线的截距式方程及适用范围:
我们把方程+=1叫做直线的截距式方程.因为ab≠0,所以截距式方程不能表示过原点的直线,因为纵、横截距必须存在,所以截距式方程也不能表示与坐标轴垂直的直线.
【例2】 (教材P84例2)已知三角形的顶点是A(-5, 0), B(3, -3), C(0, 2)(图2),试求这个
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(图2)
三角形三边所在直线的方程.[3]
解 根据两点式方程,直线AB的方程为=,即3x+8y+15=0;
直线BC的方程为=,即5x+3y-6=0;
根据截距式方程,直线CA的方程为+=1,即2x-5y+10=0.
[题后反思] 用直线的两点式或截距式写直线方程只需一步到两步,但要先分析两点式或截距式的使用条件是否满足.
【例3】 求过点(3, -4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.[4]
[处理建议] 在做此题之前,画 ( http: / / www.21cnjy.com )一条通过原点的直线,问问学生:直线在x, y轴上的截距是什么 相等吗 横截距是纵截距的几倍 根据以往经验,采取先错后纠正的方法不理想,以后还会错,所以截距的概念“第一印象”非常重要.
解 ①当截距不为0时,设所求直线的方程为+=1,将坐标(3, -4)代入这个方程得+=1解得a=-1,此时所求直线的方程为+=1;②当截距为0时,直线过原点(0, 0),根据两点式方程,此时所求直线的方程为=,即y=-x.
综上,所求直线的方程为x+y+1=0或y=-x.
[题后反思] 要准确理解截距的概念,直 ( http: / / www.21cnjy.com )线过原点时,它在x, y轴上截距都为0,当然相等,当直线斜率为1且不过原点时,截距互为相反数,当然不等.
【例4】 求过点P(2, -1),在x轴和y轴上的截距分别为a, b,且满足a=3b的直线方程.[5]
[处理建议] 先引导学生分析,此题会有几解
解 ① 当a=0时,b=0,此时直线方程为y=-x;
② 当a≠0时,b≠0,根据截距式方程,此时直线方程为+=1,把P(2, -1)代入方程得+=1,解得b=-,此时a=-1.
综上,所求直线方程为x+3y+1=0或y=-x.
[题后反思] 当截距不能确定是否为0时,使用截距式方程,要注意分类讨论.
四、 课堂练习
1. 过两点(2, 2), (-1, 3)的直线的两点式方程为 = .
2. 过两点(0, 3), (-1, 0)的直线的截距式方程为 -x+=1 .
3. 已知两点A(5, 1), B(10, 11).
(1) 求出直线AB的方程.
(2) 若点C(-2, a)在直线AB上,求实数a的值.
解 (1) 根据两点式方程,直线AB的方程为=,即2x-y-9=0.
(2) 因为点C(-2, a)在直线AB上,所以2×(-2)-a-9=0,因此实数a的值为-13.
4. (1) 如果两条直线有相同的斜率,但在x轴上的截距不同,那么它们在y轴上的截距可能相同吗
(2) 如果两条直线在y轴上的截距相同,但是斜率不同,那么它们在x轴上的截距可能相同吗
解答 (1) 假设它们在y轴上的截距也相同 ( http: / / www.21cnjy.com ).则它们的方程都可写成y=kx+b,而这只表示一条直线,与前提矛盾,所以假设不成立.因此它们在y轴上的截距不相同.
(2) 它们在x轴上的截距可能相同,如:直线y=2x与直线y=x.
五、 课堂小结
1. 任何一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距吗
2. 什么样的直线不能用两点式、截距式方程
第5课时 直线的方程(3)
教学过程
一、 问题情境
问题1 直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于x, y的什么方程
问题2 关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)是否一定表示一条直线
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生研究上面的问题.
(1) 直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程都是关于x, y的二元一次方程.
(2) 关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)是否一定表示一条直线呢
这个方程是否表示直线,就看此方程能否转化为点斜式、斜截式、截距式、两点式、x=x1这五种形式之一.
(1) 当B≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-x-,它表示斜率-,在y轴上的截距为-的直线.
(2) 当B=0时,方程Ax+By+C=0可化为x=-,它表示垂直于x轴的直线.
综上:关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)都表示一条直线.
问题3 平面直角坐标系内的任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示呢
平面直角坐标系内的直线可分为两类,第一类是与x轴垂直的直线,第二类是与x轴不垂直的直线.
与x轴垂直的直线的方程为x=x1,可化为x+0·y-x1=0,(1与0不全为0)
与x轴不垂直的直线可用斜截式方程表示,而y=kx+b可化为kx-y+b=0,(k与-1不全为0)
所以平面直角坐标系内的任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示.
2. 数学概念
直线的一般式方程
方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)叫做直线的一般式方程.
(二) 理解概念
1. 直线方程的一般式Ax+By+C=0中,A, B满足条件 不全为0 ;
当A=0, B≠0时,方程表示垂直于 y轴 的直线;
当B=0, A≠0时,方程表示垂直于 x轴 的直线.
2. 直线方程的一般式Ax+By+C=0(A, B不全为0)没有局限性,它能表示平面内任何一条直线.
3. 直线方程的一般式Ax+ ( http: / / www.21cnjy.com )By+C=0中,因为A, B不全为0,总可以两边同除以A, B之一,从而转化为只有两个参量的方程:mx+y+n=0或x+my+n=0.不与y轴垂直的直线方程可设为x=py+t.
4. 因为方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示一条直线,所以它也称为线性方程.
(三) 巩固概念
1. 把方程y-y1=k(x-x1)化为一般式为 kx-y+y1-kx1=0 .
2. 把方程+=1(ab≠0)化为一般式为bx+ay-ab=0.
3. 把方程=化为一般式为(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0.[2]
三、 数学运用
【例1】 (教材P86例1)求直线l:3x+5y-15=0的斜率及它在x轴、y轴上的截距,并作图.[3]
[处理建议] 可以把例1、例2放在一起让学生板演.
解 直线l的方程可化为y=-x+3,也可化为+=1,直线的斜率为-,它在x轴、y轴上的截距分别为5和3.(图略)
[题后反思] 根据方程求斜率,可把方程化斜截式.
【例2】 (教材P86例2)设直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:
(1) 直线l在x轴上的截距为-3.
(2) 直线l的斜率为1.[4]
解 (1) 据题意直线l过点(-3, 0),把坐标(-3, 0)代入直线l的方程得-3-2m+6=0,解得m=.
(2) 据题意,直线l的斜率存在,所以m≠0,直线l的方程可化为y=-x+2-,所以-=1,解得m=-1.
【例3】 求斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程.[5]
[处理建议] 引导学生分析,求直线方程,差什么量 如何构造此量的方程,如何设出直线方程,设直线方程需要注意什么
解法一 据题意可设所求直线的方程为y=x+m,(m≠0),在方程中令y=0得x=-m,直线与两坐标轴交于A与B(0, m)两点,△AOB的面积为|m|=6.
解得m=3或m=-3.因此,所求直线的方程为y=x+3或y=x-3,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.
解法二 据题意可设所求直线的方程为+=1(ab≠0),此方程可化为y=-x+b,据题意可知解得或
因此,所求直线的方程为+=1或+=1,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.
[题后反思] 根据条件,恰当选择方程的形式,可简化解题,最后形式常化为一般式方程,解法二对解方程组的要求较高.
*【例4】 已知直线l: +=1.
(1) 如果直线l的斜率为2,求m的值.
(2) 如果直线l与两坐标轴的正半轴相交,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.[6]
[处理建议] 引导学生审题:“正半轴相交”是什么意思 “三角形面积最大时”是什么意思,为什么三角形面积会有最大值
解 (1) 直线l的方程可化为y=x+m,所以=2,解得m=4.
(2) 直线l与两坐标轴的交点为(2-m, 0), (0, m),据题意直线l与两坐标轴围成三角形面积为S=m(2-m)=-(m-1)2+,因为0[题后反思] 注意挖掘条件此题可变为“已知直线l与两坐标轴的正半轴相交,在两坐标轴上的截距之和为2,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.”这样解法就多了,可以设斜截式方程,利用基本不等式求解.
四、 课堂练习
1. 直线3x+4y=6的斜率为 - ,在y轴上截距为 .
2. 直线4x-3y-12=0在x轴、y轴上的截距分别为 3 , -4 .
3. 填写下表
直线l:Ax+By+C=0(A, B不全为0)与坐标轴的关系 直线过原点 直线l垂直于x轴 直线l垂直于y轴 直线l与两坐标轴都相交
A, B, C满足的关系 C=0 B=0 A=0 AB≠0
4. 过两点(-4, 0)和(0, 2)的直线的一般式方程为 x-2y+4=0 .
5. 过两点(3, 0)和(0, -1)的直线的一般式方程为 x-3y-3=0 .
五、 课堂小结
1. 到目前为止研究了直线方程的五种形 ( http: / / www.21cnjy.com )式:点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,要掌握五种形式的适用范围,并能在直线方程的各种形式之间熟练转化.
2. 学会根据条件选用恰当的形式求直线的方程,用一般式设方程,往往并不简单,因为一般式中有三个参量A, B, C.
第6课时 两条直线的平行与垂直(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 平面内两条不重合直线的位置关系有几种 如何判断这种关系
问题2 初中学面内两条直线的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )关系,学习过两条直线的平行的判定,如同位角相等得到两条直线平行,这种方法是将一个几何问题转化为另外一个几何问题来解决它,我们能否用代数方法(代数量)来判定两条直线的平行与垂直(几何量)呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生探究两直线平行的判定条件
问题3 直线有哪些代数量
直线的倾斜角、斜率、在x轴、y轴上的截距.
问题4 当l1∥l2时,它们的代数量满足什么关系
l1∥l2,首先想到平行线的判定方法:同 ( http: / / www.21cnjy.com )位角相等,内错角相等,同旁内角互补,三角形中位线平行于第三边.在直线的代数量中,直线的倾斜角是同位角,所以得到:若l1∥l2,则它们的倾斜角相等,如果倾斜角不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到,它们的斜率相等;再来考察它们在x轴、y轴上的截距,如果倾斜角不是0°也不是直角,因为l1, l2不重合,所以,它们在x轴上的截距不等,在y轴上的截距也不等.于是l1∥l2时有如下表格:
倾斜角 零 角 锐角或钝角 直 角
l1, l2的图象分类(l1∥l2) 垂直于y轴 不垂直于坐标轴 垂直于x轴
倾斜角α1与α2的关系 α1=α2=0° α1=α2 α1=α2=90°
斜率k1与k2的关系 k1=k2=0 k1=k2 斜率都不存在
在x轴、y轴上的截距的关系 纵截距不等 横截距不等,纵截距不等 横截距不等
问题5 如何用代数量判断l1∥l2;
当它们斜率都存在时,若斜率k1=k2,且纵截 ( http: / / www.21cnjy.com )距不等,则倾斜角正切tanα1=tanα2,又0°≤α1, α2<180°,所以α1=α2,从而l1∥l2;
当它们斜率都不存在时,它们倾斜角相等,若横截距不等,则l1∥l2;
当它们斜率有一个存在,另一个不存在时,因为倾斜角不等,即同位角不等,所以l1, l2不平行.[1]
2. 两直线平行的判定条件
当l1, l2斜率都存在时,l1∥l2 k1=k2且纵截距不等;
当l1, l2斜率不存在时,l1∥l2 横截距不等.
(二) 理解概念
1. 仅有k1=k2能推出l1∥l2吗 平面内有A, B, C, D四点,若KAB=KCD能得到AB∥CD吗
不能,还要看两直线是否重合,若再加条件“纵截距不等”,即直线不重合,这时才有l1∥l2.
2. 对于不能确定斜率是否存在时,就要分类讨论.
3. 由此可得:k1=k2 l1∥l2或l1, l2重合.
三、 数学运用
【例1】 已知直线方程l1: 2x-4y+7=0, l2: x-2y+5=0,证明:l1∥l2.[2]
证明 设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2,纵截距分别为b1, b2,直线l1, l2方程可分别化为y=x+和y=x+,因此所以l1∥l2.
[题后反思] 注意一定要交代截距不等.
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(图1)
【例2】 (教材P89例1)求证:顺次连结A(2, -3), B, C(2, 3), D(-4, 4)四点所得的四边形是梯形(如图1).[3]
证明 直线AB的方程为=,即y=-x-,直线CD的方程为=,即y=-x+,因此,直线AB与直线CD的斜率相等,纵截距不等,所以AB∥CD.
直线BC的斜率为kBC==-,直线AD的斜率为kAD==-, kBC≠kAD,因此BC不平行于AD.
综上,四边形ABCD为梯形.
[题后反思] 本题也可用向量方法证明:=(3, -), =(6, -1), =(-3, ), =(-6, 7),所以=,即, 平行且同向.又知和不平行,所以ABCD是梯形.
【例3】 (教材P90例2)求过点A(2, -3),且与直线2x+y-5=0平行的直线方程.[4]
解法一 直线2x+y-5=0的斜率为-2,据题意,所求直线的方程为y+3=-2(x-2)即2x+y-1=0.
解法二 据题意,可设所求直线的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )2x+y+C=0 (C≠-5),把A的坐标代入方程得4-3+C=0,解得C=-1,故所求直线的方程为2x+y-1=0.
变式 求与直线2x+y-5=0平行,在两坐标轴上的截距之和为的直线l的方程.
解法一 直线2x+y-5=0的斜率为-2,故可设所求直线的方程为y=-2x+m.令y=0可得横截距为,由题意+m=,解得m=1.故所求直线的方程为y=-2x+1.
解法二 据题意可设所求直线l的方程为2x+y+C=0 (C≠-5).在此方程中分别令y=0及x=0可得横、纵截距分别为-, -C,由题意--C=,解得C=-1.故所求直线的方程为2x+y-1=0.
[题后反思] 这两种解法本质是一样的,都是待定系数法.
【例4】 (1) 两直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是 .
(2) 若直线l1: ax+3y+1=0与l2: 2x+(a+1)y+1=0互相平行,则a的值为 .
(3) 若直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行,则实数a的取值为 .[5]
[处理建议] 先分析,直线平行的条件是什么 斜率存在吗 不存在怎么办
解 (1) 平行或重合.(2)因为直线l1的斜率存在,所以l2的斜率也存在,l1∥l2的条件是解得a=-3.(3) 当直线x-2ay=1的斜率不存在时,即a=0时,两条直线平行;当直线x-2ay=1的斜率存在时,即a≠0时,两条直线的纵截距相等,都为-,此时两条直线不平行.综上, a的取值为0.
[题后反思] 这种带参数的问题往往是学 ( http: / / www.21cnjy.com )生的难点,要注意对斜率是否存在的讨论,不能仅利用k1=k2,还要检验两条直线是否重合.讲解时一定注意条理性.
四、 课堂练习
1. 分别判断下列直线AB与CD是否平行:
(1) A(2, 1), B(-2, 3); C(-4, 7), D(4, 3).
(2) A(1, -2), B(--1, -2); C(-1, 3), D(3, 3).
解 (1) kAB==-,直线AB方程为y-3=-(x+2),令x=0得直线AB的纵截距为bAB=2; kCD==-,直线CD方程为y-3=-(x-4),令x=0得直线CD的纵截距为bCD=5.所以kAB=kCD, bAB≠bCD,所以AB与CD平行.
(2) kAB=0,直线AB的纵截距为-2; kCD=0,直线CD的纵截距为3.所以kAB=kCD, bAB≠bCD,所以AB与CD平行.
2. 直线mx+y-n=0和x+my+1=0平行的条件是 或
五、 课堂小结
1. 如何用直线的斜率、截距判断两直线平行 判定的程序是什么
当l1, l2斜率都存在时,l1∥l2 k1=k2且纵截距不等;
当l1, l2斜率不存在时,l1∥l2 横截距不等.
判定程序:(1)分析(讨论)斜率存在的情况;(2)直线斜率不存在的情况.
2. 本节课是如何研究“数”和“形”的等价性的
从问题正反两个方面去研究:平行→条件,条件→平行.
第7课时 两条直线的平行与垂直(2)
教学过程
一、 问题情境
问题1 我们能否用代数方法(代数量关系)来判定两直线的垂直(几何关系)呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生探究两直线垂直的判定条件
问题2 l1⊥l2时,它们的代数量满足什么关系
设l1, l2的倾斜角分别α1, α2,若l1⊥l2,首先想到垂直的定义,它们所成的角为90°,所以α1=α2+90°(或α2=α1+90°),如果它们倾斜角都不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到k1=tanα1=tan(α2+90°)=-=-(或k2=tanα2=tan(α1+90°)=-=-),所以k1k2=-1.
问题3 如何用代数量判断l1⊥l2
当它们斜率都存在时,若斜率k1k2=-1, tanα1tanα2=-1,又0°≤α1, α2<180°,所以tanα1=-=tan(90°+α2)=tan(α2-90°).当0°<α2<90°时,因为0°≤α1, α2+90°<180°,所以α1=α2+90°;当90°<α2<180°时,因为0°≤α1, α2-90°<180°,所以α1=α2-90°.综上,α1=α2+90°或α1=α2-90°,所以l1⊥l2.
当它们斜率有一个不存在时,若另一条的斜率为0,则它们倾斜角一个是90°,一个是0°,此时
2. 两直线垂直的判定条件
当l1, l2斜率都存在时,l1⊥l2 k1k2=-1;
当l1, l2斜率中有一个不存在时,l1⊥l2 另一个斜率为0.
(二) 理解概念
1. 由l1⊥l2能否推出k1k2=-1
不能,由l1⊥l2推出k1k2=-1或一个斜率不存在,另一个为0.
2. 判断两直线垂直时,如果利用k1k2=-1,则要先讨论斜率是否存在.
3. 对于不能确定斜率是否存在时,就要分类讨论.
(三) 巩固概念
下列说法中不正确的是 ② (填序号).
①斜率均不存在的两条直线可能重合;②若两 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线垂直,则两条直线的斜率互为负倒数;③若两条直线的斜率互为负倒数,则这两条直线垂直;④若两条直线中,有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则这两条直线垂直.
三、 数学运用
【例1】 (教材P91例3)(1) ( http: / / www.21cnjy.com ) 已知四点A(5, 3), B(10, 6), C(3, -4), D(-6, 11),求证:AB⊥CD.
(2) 已知直线l1的斜率为k1=,直线l2经过点A(3a,-2), B(0, a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值.[2]
[处理建议] 例1、例2可以同时让学生板演.
解 (1) 直线AB的斜率为kAB==,直线CD的斜率为kCD==-,所以kABkCD=-1,因此AB⊥CD.
(2) 设直线l2的斜率为k2,因为l1⊥l2,所以k2=-=-=,解得a=1或3.故实数a的值为1或3.
[题后反思] 这两道题中,直线的斜率都存在,虽不必讨论,但要跟学生交代清楚不讨论的理由.
【例2】 (教材P91例4)已知三角形的三个顶点为A(2, 4), B(1, -2), C(-2, 3),
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(图2)
求BC边上的高AD所在的直线方程.[3]
解 直线BC的斜率为kBC==-,据题意AD⊥BC, kAD=-=,故AD所在的直线方程为y-4=(x-2),即3x-5y+14=0.
【例3】 若直线l1: (a+2)x+(1-a)y-3=0与直线l2: (a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,求实数a的值.[4]
[处理建议] 此题有两种解法,第一种 ( http: / / www.21cnjy.com ),利用斜率关系,需分类讨论,重点讲解,第二种利用A1A2+B1B2=0,可以暂时不讲,但以后最好讲一下,如果有时间讲例5,讲完后,再回到此题讲解法二.
解法一 ① 当直线l1的斜率不存在时,1-a=0,即a=1,此时直线l2的斜率为0,所以此时l1⊥l2;
② 当直线l2的斜率不存在时,2a+3=0, a=-,此时直线l1的斜率为=-,此时l1不垂直于l2;
③ 当直线l1和l2的斜率都存在时,即a≠1且a≠-时,l1和l2的斜率分别为, ,因为l1⊥l2,所以·=-1,解得a=-1.
综上,实数a的值为1或-1.
解法二 l1⊥l2 (a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=-1或1.
[题后反思] 一定要引导学生有条理地分类讨论,说清楚如何确定讨论的标准.
【例4】 (教材P92例5)在路边安装 ( http: / / www.21cnjy.com )路灯,路宽23m,灯杆长2.5m,且与灯柱成120°角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h为多少米时,灯罩轴线正好通过道路路面的中线 (精确到0.01m)[5]
[处理建议] 引导学生认真审 ( http: / / www.21cnjy.com )题,分析其中直线与直线的垂直关系,垂直关系对应着等式k1k2=-1,要知道k1, k2,就需要知道点的坐标,这样就需要建立坐标系,学会思考很重要.
解 以灯柱与地面的交点为原点,以灯柱所在的铅垂线为y轴,垂直于路面中线的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
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(图3)
灯柱上端点即为点B,灯杆端点记为点A,路面中线与x轴的交点记为点C,据题意,∠OBA=120°, AB=2.5, AB⊥AC.
A距y轴的距离为ABcos(120°-90°)=,A距x轴的距离为h+ABsin(120°-90°)=h+,直线AB的斜率为kAB=tan(120°-90°)=,点A, C的坐标分别为, ,直线AC的斜率为kAC=-=-=,解得h≈14.92(m).
答 当灯柱高h约为14.92m时,灯罩轴线正好通过道路路面的中线.
[题后反思] 本题也可以用相似三角形来解,参考图形如下:
( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
由Rt△EOB∽Rt△CAB,可得=,即=,即可求得h的值,这种方法虽巧,但不是通法,解析味很淡,不能很好地体现解析几何的思想.
*【例5】 (据教材P97 ( http: / / www.21cnjy.com )第12(2)题改编)直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0,其中A1, B1不全为0, A2, B2也不全为0,试探求l1和l2垂直的条件.[6]
解 ① 当B1, B2都不为0时,l1, l2的斜率分别为-, -.若l1⊥l2,则-·=-1,从而A1A2+B1B2=0;反之,若A1A2+B1B2=0,则-·=-1,从而l1⊥l2.因此此时:l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
② 当B1, B2有一个为0时,不妨设B1 ( http: / / www.21cnjy.com )=0,则A1≠0,此时l1垂直于x轴.若l1⊥l2,则l2垂直于y轴,从而A2=0,所以仍有A1A2+B1B2=0;反之,若A1A2+B1B2=0,因为B1=0, A1≠0,所以A2=0, l2垂直于y轴,所以仍有l1⊥l2.因此此时:l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
综上,l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
[题后反思] 此题较难,对分类讨论的要求较高,但结论要求学生记住.
四、 课堂练习
1. 过点A(2, 1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程是 x-2y=0 .
2. 以A(1, 2), B(4, 0), C(3, 5)为顶点 (B)
(A) 构成锐角三角形
(B) 构成直角三角形
(C) 构成钝角三角形
(D) 不构成三角形
3. 过原点作直线l的垂线,若垂足为(-2, 3),则直线l的方程是 2x-3y+13=0 .
五、 课堂小结
如何从代数量上去判断两条直线垂直呢
当l1, l2斜率都存在时,l1⊥l2 k1k2=-1;
当l1, l2斜率中有一个不存在时,l1⊥l2 另一个斜率为0.
第8课时 两条直线的交点
教学过程
一、 问题情境
由直线方程的概念,我们知道直线上的一点坐标与 ( http: / / www.21cnjy.com )二元一次方程的解的关系,那么,如果两直线相交于一点,这一点坐标与这两条直线的方程有何关系 你能求出它们的交点坐标吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 探究问题情境中的问题:
设两条直线l1, l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0.如果它们有交点P(x0, y0),则P的坐标应同时满足两直线的方程,即A1x0+B1y0+C1=0, A2x0+B2y0+C2=0,所以(x0, y0)是方程组的解;
反之,若方程组有唯一一个解(x0, y0),即P(x0, y0)同时满足两直线的方程,所以P(x0, y0)是两直线的唯一公共点,即交点.
2. 两直线方程与两直线位置关系的对应关系为:
设两条直线的方程分别是l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0.
方程组的解 一组 无数组 无解
两条直线l1, l2的公共点 一个 无数个 零个
直线l1, l2的位置关系 相交 重合 平行
(二) 理解概念
根据上面结论可知:研究两条直线l1, l2的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题,这样就把研究“形”问题转化为“数”的问题.
三、 数学运用
【例1】 (教材P93例1)分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点:
(1) l1: 2x-y=7, l2: 3x+2y-7=0.
(2) l1: 2x-6y+4=0, l2: 4x-12y+8=0.
(3) l1: 4x+2y+4=0, l2: y=-2x+3.[1]
解 (1) 因为方程组的解为所以直线l1与l2相交,交点坐标为(3, -1).
(2) 因为方程组有无数组解,所以直线l1和l2重合.
(3) 因为方程组无解,所以直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.
【例2】 (教材P94例2)直线l经过原点,且经过另外两条直线2x+3y+8=0, x-y-1=0的交点,求直线l的方程.[2]
解法一 因为方程组的解所以两直线的交点坐标为(-1, -2),又直线l经过原点(0, 0),由两点式可得直线l的方程为=,即2x-y=0.
[题后反思] 设两条直线2x+3y+8=0, ( http: / / www.21cnjy.com ) x-y-1=0交点为P(x0, y0),则P(x0, y0)满足方程(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0,而方程(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0即为(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0,且2+λ, 3-λ不全为0,所以(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0表示一条通过两条直线2x+3y+8=0, x-y-1=0交点的直线.但它不能表示直线x-y-1=0.更一般地有直线系的结论:
已知直线l1: A1x+B1 ( http: / / www.21cnjy.com )y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0相交,那么过两直线的交点的直线(不含l2)方程可设为:(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R).
于是有:
解法二 设经过两条直线2x+3y ( http: / / www.21cnjy.com )+8=0, x-y-1=0交点的直线l方程为(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0,又直线l过原点,由(0, 0)代入,可得λ=8.
故直线l方程为(2x+3y+8)+8(x-y-1)=0,即2x-y=0.
【例3】 (教材P94例3)某商品的市场需 ( http: / / www.21cnjy.com )求量y1(万件)、市场供求量y2(万件)、市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系:y1=-x+70, y2=2x-20.当y1=y2时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量.
(1) 求平衡价格和平衡需求量.
(2) 若要使平衡需求量增加4万件,政府对每件商品应给予多少元补贴 [3]
[处理建议] 对于问题(2)引导学生分析,政府对每件商品给予补贴,补给谁了 补给供货者了.
解 (1) 解方程组得故平衡价格为30元/件,平衡需求量为40万件.
(2) 设政府给予t元/件补贴,此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)为x元/件,则供货者实际每件得到(x+t)元.依题意得方程组解得x=26, t=6.
因此,政府对每件商品应给予6元补贴.
【例4】 已知直线l1: 3x+my-1=0, l2: 3x-2y-5=0, l3: 6x+y-5=0,
(1) 若这三条直线交于一点,求m的值.
(2) 若三条直线能构成三角形,求m满足的条件.[4]
[处理建议] 引导学生先画草图,考虑各种可能情况.
解 (1) 由 代入l1方程得,m=2.
[题后反思] 先对两个不含参数的方程联 ( http: / / www.21cnjy.com )立求解,再将所得的点的坐标代入另一个方程.从几何方面理解,就是要求其中两条直线的交点也在另一条直线上.
(2) 当三直线交于一点或其中两条互相平行时,它们不能构成三角形.
① 由(1)得,当m=2时,三线共点,不能构成三角形;
② 当l1∥l2时,m=-2,当l1∥l3时,m=,此时它们不能构成三角形.
综上,当m≠2且m≠-2且m≠时,三条直线能构成三角形.
[题后反思] 注意最后答案中的“且”不能省略.
*【例5】 求证:不论m为何实数,直线l: (m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点,并求出此定点的坐标.[5]
[处理建议] 先引导学生思考“恒过定点”的含义,能否从特殊化入手,从而发现解法一,再引导学生反思例2的解法二,从而发现解法二.
解法一 令m=1得y=-4, m=得x=9,两条直线y=-4和x=9交点为(9, -4).
将(9, -4)代入直线方程得9m-9-8m+4=m-5恒成立,所以,直线l过定点(9, -4).
解法二 将直线l方程(m-1)x+ ( http: / / www.21cnjy.com )(2m-1)y=m-5整理为(x+2y-1)m-x-y+5=0,该方程表示过直线x+2y-1=0和-x-y+5=0交点的直线,
由得交点(9, -4),∴ 直线l过定点(9, -4).
[题后反思] 以上两种方法是处理 ( http: / / www.21cnjy.com )直线过定点问题的常用方法.因为直线上点的坐标就是对应方程的解,所以两直线是否有交点,取决于它们对应方程组成的方程组是否有唯一解.体验“形”的问题怎样通过“数”的运算来解决,从而感悟到解析几何的本质(即用代数的方法来研究或解决几何问题).
四、 课堂练习
1. 与直线2x+y-4=0相交的直线的方程是(D).
A. 4x+2y-8=0 B. y=-2x
C. y=-2x+5 D. y=2x+4
2. 若三条直线2x+3y+8=0, x-y-1=0和x+ky+k+=0相交于一点,则k的值为 - .
3. 已知直线l经过两条直线2x-y+4=0和x-y-3=0的交点,且与直线3x+y-1=0平行,求直线l的方程.
解 由2x-y+4=0和x-y-3=0联立解得x=-7, y=-10,故所求直线l的方程为y+10=-3(x+7),即3x+y+31=0.
五、 课堂小结
1. 研究两条直线l1, l2的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题.
2. 求两直线交点坐标,即求两条直线方程所得的方程组的解.
第9课时 平面上两点间的距离
教学过程
一、 问题情境
问题1 教材P96习题第5题是:“已知 ( http: / / www.21cnjy.com )点A(-1, 3), B(3, -2), C(6, -1), D(2, 4),求证:四边形ABCD是为平行四边形”,除了用两组对边分别平行,还可以用两组对边分别相等来判断.那么如何求各边的长呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生探究问题1
可以从特殊情况入手.
问题2 已知A(x0, y1), B(x0, y2),如何求A, B间的距离
直线AB垂直于x轴,所以AB=|y2-y1|.
问题3 已知A(x1, y0), B(x2, y0),如何求A, B间的距离
直线AB垂直于y轴,所以AB=|x2-x1|.
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
问题4 已知A(x1, y1), B(x2, y2) (x1≠x2, y1≠y2)如何求A, B间的距离
设过A点且垂直于y轴的直线与过B点且垂直于x轴的直线相交于C,则C的坐标为(x2, y1),
所以AC=|x2-x1|, BC=|y2-y1|,
在Rt△ABC中,有AB==(*)
不难验证当x1=x2或y1=y2时(*)仍然成立.
2. 数学概念
平面上两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)之间的距离公式为 P1P2=.
(二) 理解概念
1. 公式可写成P1P2=.
2. 注意公式中是对应横坐标减横坐标,纵坐标减纵坐标.
3. 即使P1, P2重合,公式仍成立.
问题5 已知A(3, 0), B(8, 0),如何求线段AB中点的坐标
画图可知线段AB中点的坐标为.
问题6 已知P1(x1, y1), P2(x2, y2),请猜想线段P1P2中点的坐标,并证明.
设线段P1P2中点为M(x0, y0),猜想证明略.[1]
三、 数学运用
【例1】 (教材P98例1)(1) 求A(-1, 3), B(2, 5)两点之间的距离.
(2) 已知A(0, 10), B(a, -5)两点之间的距离为17,求实数a的值.[2]
解 (1) 由两点间距离公式得
AB==.
(2) 由两点间距离公式得
=17,
解得 a=±8.
故所求实数a的值为8或-8.
【例2】 (教材P100例2)已知 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的顶点坐标为A(-1, 5), B(-2, -1), C(4, 7),求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程.
[处理建议] 由中点公式可求出BC中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出AM的长和AM所在的直线方程.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
解 如图2,设点M的坐标是(x, y).
∵ 点M是线段BC的中点,∴ x==1,
y==3,即M的坐标为(1, 3).
由两点间的距离公式得AM==2.
因此,BC边上的中线AM的长为2.
由两点式得中线AM所在的直线方程为
=,即x+y-4=0.
[题后反思] 本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用.
【例3】 (教材P101例3)已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系,证明:AM=BC.[3]
[处理建议] 先引导学生怎样建立坐标系,可使运算简单.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
证明 如图3,以Rt△ABC的直角边AB, AC所在直线为坐标轴,建立直角坐标系.
设B, C两点的坐标分别为(b, 0), (0, c).
∵ M是BC的中点,
∴ 点M的坐标为
,即.
由两点间的距离公式得
AM==,
所以,AM=BC.
[题后反思] 建立坐标系时,要尽量利用对称性,使特殊点的坐标含0.
*【例4】 已知直线l: y=x-1,(1)求点P(3, 4)关于l对称的点Q;(2)求l关于点(2, 3)对称的直线方程.[4]
解 (1) 设Q(x0, y0),由于PQ⊥l,且PQ中点在l上,有
解得
∴ Q.
(2) 在l上任取一点,如M(0, -1),则M关于点(2, 3)对称的点为N(4, 7).
∵ 所求直线过点N且与l平行,∴ 方程为y-7=(x-4),即x-2y+10=0.
[题后反思] 本题所用方法是处理对称问题的基本方法,要求掌握.
四、 课堂练习
1. 求线段AB的长及其中点的坐标.
(1) A(4, 6), B(-2, 2).
(2) A(-3, ), B(-, 3).
解 (1) AB==2, AB的中点为M(1, 4).
(2) AB==3-2, AB的中点为M.
2. 已知△ABC的顶点A(5, 3), B(1, 1), C(7, -1),求AB边上的中线CM的长.
解 AB的中点为M(3, 2),
CM==5.
3. 已知两点P(2, -1), A(3, 4),求点A关于P的对称点B的坐标.
解 设B的坐标为(x, y),则2=, -1=,解得x=1, y=-6.
所以点B的坐标为(1, -6).
五、 课堂小结
1. 平面上两点距离公式是什么 有什么使用条件吗
2. 线段的中点坐标公式是什么
3. 这节课你学到了哪些思维方法
从特殊到一般的思维方法,先猜后证的思维方法.
第10课时 点到直线的距离公式(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 已知点P(2, 4)和直线l: x-2y=0,求P点到直线直线l的距离.
问题2 已知点P(x, y)和直线l: Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离.
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生分组讨论,合作交流,探讨出多种方法研究上面的问题1.
第一种思路:求出过点P且垂直于直线l的直线PQ(Q为垂足)的方程,将此方程与直线l方程联立解得Q的坐标,然后求PQ距离即为所求.
第二种思路:过点P分别作x轴、y轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线,与直线l的交点分别为M, N,求出PM, PN的长,再在Rt△PMN中,求出P到斜边MN的距离即为所求.
2. 类比问题1的两种解法,解决问题2.
解法一 先让学生计算几分钟,让学生感觉用求垂足坐标的方法较繁.
解法二 先考虑A, B均不为0的情形.过点P分别作x轴、y轴的平行线,与直线l的交点分别为M, N, PN=, PM=,记t=|Ax0+By0+C|,P到直线Ax+By+C=0的距离为
d==
==(*).
当A=0, B≠0时,直线方程Ax+By+C=0即为y=-,点P到直线l的距离为==也适合(*);
当B=0, A≠0时,直线方程Ax+By+C=0即为x=-,点P到直线l的距离为==也适合(*).
综上,点P(x0, y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=.
3. 有没有其他解法
解法三 过点P分别作直线l, y轴的垂线,与直线l的交点分别为Q, M, PM=,在Rt△PQM中,tan∠PMQ=, sin∠PMQ=,P到斜边MQ的距离为PQ=PMsin∠PMQ=,这即为所求.
问题3 解法一繁的原因是什么 有没有优化的办法
反思解法一繁的原因,一是解方程组较繁(先考虑A≠0时),二是解出的垂足A的坐标较繁,从而用两点间距离公式较繁,但若将方程①变形为
A(x-x0)+B(y-y0)=-(Ax0+By0+C),再与方程②联立,把x-x0, y-y0作为整体,解得x-x0=,点P(x0, y0)到直线Ax+By+C=0的距离为
d=PA=
=
=|x-x0|
=·
=.
再验证A=0时,结果也适合.
(解法一比其他两种方法,更强化了解析法的思想,用坐标与方程来解决问题是解析几何的基本方法)
4. 点到直线的距离公式
点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离为d=.
(二) 理解概念
(1) 公式中的直线方程必须化为一般式;
(2) 分子带绝对值,分母是根式;
(3) 当A与B有一个为零时,公式仍然成立;
(4) 若点P(x0, y0)在直线l上,则P到直线l的距离为0,此时公式仍适用.
三、 数学运用
【例1】 (教材P104例1)求点P(-1, 2)到下列直线的距离.
(1) 2x+y-10=0. (2) 3x=2.[2]
[处理建议] 例1、例2可同时让学生板演.
解 (1) 根据点到直线的距离公式,点P(-1, 2)到直线2x+y-10=0的距离为
=2.
(2) 点P(-1, 2)到直线3x=2的距离为
=.
[题后反思] 对于求点到直线x=x1或直线y=y1的距离问题,不必用点到直线的距离公式.
【例2】 (教材P104例2)已知平行线x+3y-4=0与2x+6y-9=0,求它们之间的距离.[3]
解 在直线2x+6y-9=0上取一点P,点P到直线x+3y-4=0的距离为=.
变式 求两条平行直线l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离.
解 当A≠0时,在直线l1上取一点P,P到直线l2的距离为d==;当A=0时,B≠0,在直线l1上取一点P,P到直线l2的距离为
d==.
综上所述,两条平行直线l1, l2间的距离为.
重要结论 两条平行直线l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离为d=.两条平行线方程中,x, y的系数一定要化为对应相同.
【例3】 (2013南通中学期末考试) ( http: / / www.21cnjy.com )已知两直线l1: x+2=0, l2: 4x+3y+5=0,定点A(-1, -2).若直线l过l1与l2的交点且与点A的距离等于1,求直线l的方程.[4]
[处理建议] 引导学生讨论:求直线的方程需要几个条件 本题中是否具备这些条件
解 l1, l2的交点为(-2, 1),若所求直线斜率存在,设所求的直线方程为y-1=k(x+2)即kx-y+(2k+1)=0
因为所求的直线与点A(-1, -2)的距离为1,所以=1,得k=-
所以所求的直线l的方程为4x+3y+5=0
若所求直线斜率不存在时,即l为x+2=0,
因为点A(-1, -2)到直线l为x+2=0的距离为1,所以直线x+2=0也满足题意
所以所求的直线l的方程为4x+3y+5=0或x+2=0
【题后反思】 过一点求直 ( http: / / www.21cnjy.com )线的方程,一般会用“点斜式”设直线方程,但使用时一定要注意“点斜式”适用的前提是斜率存在,千万不要忽略对斜率不存在情形的讨论.
四、 课堂练习
1. 求下列点P到直线l的距离:
(1) P(2, -1), l: 4x+3y-25=0.
(2) P(1, -3), l: 4x+3=0.
答案 (1) 4. (2) .
2. 求下列两条平行直线之间的距离:
(1) 12x+5y-3=0与12x+5y+13=0.
(2) 4x-6y+7=0与y=x.
答案 (1) . (2) .
五、 课堂小结
1. 这节课我们学到了什么 有何体会
这节课我们学面内点到直线的距离公式和两条平行直线之间的距离公式,体会到了数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法.
2. 使用点到直线的距离与两条平行直线间的距离公式要注意些什么
(1) 公式中的直线方程必须化为一 ( http: / / www.21cnjy.com )般式;(2)使用两条平行直线间的距离公式时应该注意:两条平行直线l1与l2的形式必须是一般式,同时x和y前面的系数必须化为一致.
第11课时 点到直线的距离公式(2)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 (教材P106第17题改编)在直线x+3y=0上找一点,使它到原点与到直线x+3y-2=0的距离相等.[1]
[处理建议] 引导学生先画图,寻找解题思路.
解 直线x+3y=0与x+3y-2=0之间的距离为:=.
设直线x+3y=0上的点P(x0, y0)满足题意,则解得或∴ 所求点的坐标为或.
【题后反思】 直线x+3y=0与直线x+3y-2=0平行,即可算出它们之间的距离,然后利用两点之间的距离公式算出该点的坐标.
【例2】 求直线2x+11y+16=0关于点P(0, 1)对称的直线方程.[2]
【处理建议】 引导学生先 ( http: / / www.21cnjy.com )画图,寻找解题方法,解法一:利用点到两直线的距离相等;解法二:已知直线与所求直线显然平行,只要在所求直线上再找一个点,就可利用点斜式方程;解法三:在所求直线上找两点,再用两点式方程;解法四:求轨迹方程常用的代入法,设所求直线任意一点P(x, y), P关于点(0, 1)对称的点Q(-x, 2-2y)在已知直线上.当然四种方法不必全讲.
解 设所求直线的方程为2x+11y+C=0,由点到直线的距离公式可得
=, ∴ C=16(舍去)或C=-38,
∴ 所求直线的方程为2x+11y-38=0.
【题后反思】 解题的关键是中心对称的两直线互相平行,并且两直线与对称中心的距离相等.
本题也可以利用点与点的对称.设直线2x+11y+16=0上任意一点A0(x0, y0)(A0(x0, y0)在直线2x+11y+16=0上,所以2x0+11y0+16=0)与P(0, 1)对称的点为A(x, y),则=0, =1,解得x0=-x, y0=2-y,然后将x0, y0的值代入2x0+11y0+16=0求出所求直线.比较而言,此法注重轨迹的推导过程,而前面的方法比较简便,是求直线关于点对称的直线方程的基本方法(直线关于点对称的问题).
【例3】 已知直线l1: x+y-1=0, l2: 2x-y+3=0,求直线l2关于直线l1对称的直线l的方程.[3]
【处理建议】 直线关于直线对称,可 ( http: / / www.21cnjy.com )以在l2上任意取两个点,再分别求出这两个点关于直线l1的对称点,最后利用两点式求出所要求的方程.这里可以通过求出交点这个特殊点以简化计算.
解 由解得 ∴ l过点P.
又显然Q(-1, 1)是直线l2上一点,设Q关于直线l1的对称点为Q'(x0, y0),
则解得 即Q'(0, 2).
因为直线l经过点P, Q',所以由两点式得它的方程为x-2y+4=0.
[题后反思] 本题为求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法(两条直线关于第三条直线对称的问题).注意:这里有一种特殊情况:
直线Ax+By+C=0关于直线y=x对称的直线方程为Ay+Bx+C=0.
【例4】 (教材P104例3)建立适当的直角坐标系,证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.[1]
[处理建议] 要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离,故可考虑用点到直线的距离公式计算距离,因此必须建立直角坐标系.
证明 设△ABC是等腰三角形,以底边CA所在直线为x轴,过顶点B且垂
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(图1)
直与CA的直线为y轴,建立直角坐标系(如图1).设A(a, 0),B(0, b) (a>0, b>0),则C(-a, 0).
直线AB的方程:+=1,即:bx+ay-ab=0.
直线BC的方程:+=1,即:bx-ay+ab=0.
设底边AC上任意一点为P(x, 0)(-a≤x≤a),
则P到AB的距离PE==,
P到BC的距离PF==,
A到BC的距离h==.
PE+PF=+==h,故原命题得证.
【题后反思】 本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用,运用代数方法研究几何问题.
四、 课堂练习
1. 点P在x轴上,若它到直线4x-3y-3=0的距离等于1,则P的坐标是 (2, 0)或 .
2. 直线y=3x-4关于点P(2, -1)对称的直线的方程为 3x-y-10=0 .
五、 课堂小结
1. 利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明,充分说明了解析法在研究几何问题中的作用.建立坐标系要尽量使点的坐标为0,以简化计算.
2. 在遇到对称问题时关键是分析 ( http: / / www.21cnjy.com )出是属于什么对称情况,这里大致可以分为:点关与点对称,点关于直线对称,直线关于点对称,直线关于直线对称这四种情况,一旦确定为哪种情况后要灵活选择方法进行求解.
第12课时 直线复习课
教学过程
一、 数学应用
【例1】 设A, B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且PA=PB,若直线PA的方程为x-y+1=0,求直线PB的方程.
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(图1)
【处理建议】 由学生分析题目,讨论并归纳出解决问题的方法,老师引导学生进行解题反思,总结经验.
[规范板书] 解法一 由x-y+1=0得A(-1, 0).
又由PA=PB知点P为AB中垂线上 ( http: / / www.21cnjy.com )的点,故B(5, 0),且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补,则斜率互为相反数,故所求直线的斜率为-1, PB直线方程:x+y-5=0.
解法二 y=0代入x-y+1=0,得A(-1, 0).
由解得P(2, 3).
设B(xP, 0),由PA=PB解得xP=5.
由两点式=,
整理得PB直线方程为x+y-5=0.
[题后反思] 求直线的方程,只需两个基本量,可以是点和斜率,也可以是两个点.
变式 在△ABC中,已知点A(5, -2), B(7, 3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上.
(1) 求点C的坐标. (2) 求直线MN的方程.
【处理建议】 从AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,可以利用中点坐标公式表示出M点的横坐标和N点的纵坐标,即得.
解 (1) 设点C(x, y),由题意得=0, =0,得x=-5, y=-3.故所求点C的坐标是(-5, -3).
(2) 点M的坐标是,点N的坐标是(1, 0),直线MN的方程是=,
即5x-2y-5=0.
[题后反思] 已知两点,可以用两点式建立方程,也可以先求出斜率,再用点斜式建立方程.
【例2】 已知△ABC的三个顶点是A(3, -4), B(0, 3), C(-6, 0),求它的三条边所在的直线方程.
【处理建议】 一条直线的方 ( http: / / www.21cnjy.com )程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时,应根据题目所给的条件恰当选择某种形式,使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上,点C在x轴上,于是BC边所在的直线方程用截距式表示,AB所在的直线方程用斜截式的形式表示,AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可,最后为统一形式,均化为直线方程的一般式.
解 如图2,因△ABC的顶点B与C的坐标分别为(0, 3)和(-6, 0),故B点在y轴上,C点在x轴上,
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(图2)
即直线BC在x轴上的截距为-6,在y轴上的截距为3,利用截距式,直线BC的方程为+=1,化为一般式为x-2y+6=0.由于B点的坐标为(0, 3),故直线AB在y轴上的截距为3,利用斜截式,得直线AB的方程为y=kx+3.
又由顶点A(3, -4)在其上,所以-4=3k+3.故k=-.
于是直线AB的方程为y=-x+3,化为一般式为7x+3y-9=0.
由A(3, -4)、 C(-6, 0),得直线AC的斜率kAC==-.
利用点斜式得直线AC的方程为y-0=-(x+6),化为一般式为4x+9y+24=0.
也可用两点式,得直线AC的方程为=,再化简即可.
[题后反思] 本题考查了求直线方程的基本方法.
变式 已知直线l与直线3x+4y-7=0的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,求直线l的方程.
[处理建议] 倾斜角相等,斜率也相等,所以直线l的方程可以用3x+4y+c=0表示.
解 设直线l的方程为3x+4y+c=0.
令x=0,则y=-;令y=0,则x=-.
由题意得·=24,
∴ c2=242, ∴ c=±24.
∴ 直线l的方程为3x+4y±24=0.
[题后反思] 求直线与两坐标轴围成的三角形的面积,只需求出直线在两坐标轴上的截距,截距的绝对值即为两直角边的长.
【例3】 过点A(3, -1)作直线l交x轴于B点,在第一象限内交直线l1:y=2x于C点,且BC=2AB,求直线l的方程.
[处理建议] 引导学生分析各式子的特点,画出图形.直线l过定点A(3, -1),可设直线l的方程为点斜式,再用另外条件求斜率k即可.
解 当k不存在时,B(3, 0), C(3, 6), BC=6, AB=1,不合题意.
设直线l:y+1=k(x-3),由题意,k≠0且k≠2, ∴ B.
由
得C.又BC=2AB,
∴ =2,得k=-.
∴ l的方程为3x+2y-7=0.
[题后反思] 已知点利用点斜式求直线时,要验证斜率k不存在的情况.
变式 已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为,求直线l的方程.
[处理建议] 根据题目的条件,可以用斜截式,也可以用截距式来设直线l的方程,再利用其它条件求待定的参数.
解法一 设所求直线l的方程为y=kx+b.
∵ k=6, ∴ 方程为y=6x+b.
令x=0, ∴ y=b,与y轴的交点为(0, b);
令y=0, ∴ x=-,与x轴的交点为.
根据勾股定理得+b2=37,
∴ b=±6.因此直线l的方程为y=6x±6.
解法二 设所求直线为+=1,则与x轴、y轴的交点分别为(a, 0), (0, b).
由勾股定理知a2+b2=37.
又k=-=6,解得
a=1, b=-6或a=-1, b=6.
因此所求直线l的方程为x+=1或-x+=1,即6x-y±6=0.
[题后反思] 求直线的方程,根据不同条件选取恰当的参数设直线的方程,可以简化计算.
【例4】 已知点P(2, -1).
(1) 求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.
(2) 求过点P且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少
(3) 是否存在过点P且与原点距离为6的直线 若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.[2]
[处理建议] 第(1)问在已知 ( http: / / www.21cnjy.com )直线过定点的前提下,只需确定直线的倾斜程度即可;第(2)问对最值的理解可从“代数”与“几何图形”两方面加以分析和描述;第(3)问在反思第(2)问的基础上加以解决.
解 (1) 过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2, -1),可见,过P(2, -1)且垂直于x轴的直线满足条件.
此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
由已知,得=2,解得k=.
此时l的方程为3x-4y-10=0.
综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2) 作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,
由l⊥OP,得klkOP=-1,
所以kl=-=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),
即2x-y-5=0.
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为=.
(3) 由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过的直线,因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.
[题后反思] 解决直线的相关问题可从几何图形入手,利用作图确定分类的依据;利用图形间的特殊位置关系分析代数式取最值时的情况.
二、 课堂练习
1. 直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是 ∪ .
解析 设直线的倾斜角为θ,
则tanθ=-cosα.又-1≤cosα≤1,
∴ -≤tanθ≤. ∴ θ∈∪.
2. 下列四个命题:①经过定点P0(x0, y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;②经过任意两个不同的点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线都可以用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示;④经过定点A(0, b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.其中真命题的序号为 ② .
解析 对命题①④,方程不能表示倾斜角是90° ( http: / / www.21cnjy.com )的直线;对命题③,当直线平行于一条坐标轴时,则直线在该坐标轴上截距不存在,故不能用截距式表示直线.只有②正确.
3. 求过点P(-5, -4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.
解析 设所求直线方程为+=1.直线过点P(-5,- 4),即+=1.
又由已知可得, |a||b|=5即|ab|=10,联立方程解方程组得
解得,或故所求直线方程为+=1或+=1.
即8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.
4. 过点A(0, 1)做一直线l,使它夹在直线l1: x-3y+10=0和l2: 2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.
解析 当l的斜率不存在时,方程为x=0,容易验证不合题意.设所求的直线方程为y=kx+1.
解方程组得P;
解方程组得Q.
∵ A为PQ的中点, ∴ =0.
解得k=-.直线l的方程为y-1=-x,即x+4y-4=0.
三、 课堂小结
在解答有关直线的问题时,要注意:
1. 在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次是倾斜角的范围.
2. 在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况.
3. 在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意检验斜率不存在的情况,防止丢解.
4. 要灵活运用中点坐标公式,在解决有关对称问题时可以简化运算.
5. 在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时,要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法.
第13课时 圆的标准方程
教学过程
一、 问题情境
(教材P108例2)已知隧道的截面(如图1)是半径为4m的半圆,车辆只能在道
(图1)
路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道
二、 数学建构
问题1 如何判断货车能否驶入这个隧道
(根据生活经验,引导学生说出:在离隧道中心线2.7m处,求出隧道的高度,再与货车的高度相比较)
问题2 要想求出离隧道中心线2.7m处隧道的高度,必须知道什么呢
(引导学生去建立圆的方程)
问题3 如何写出这个半径为4m的半圆所在的圆的方程呢
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(图2)
要求圆的方程,需要建立适当的直角坐标系,并求出圆上任意一点P(x, y)所满足的关系式.
第一步 以截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径所在直线为x轴,建立直角坐标系.
第二步 根据圆的定义,圆上任意一点P(x, y)到圆心的距离等于半径,得
=4,
即x2+y2=16.
将x=2.7代入,得
y==<3,
即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道.
问题4 在上面的问题中,如果半径为r,那么这个圆的方程又是什么呢
(引导学生从特殊向一般过渡)
问题5 在上面的问题中,如果半径为r,圆心坐标变成(a, b),那么这个圆的方程又是什么呢
(引导学生利用类比的思想推导圆的标准方程)
经过探究,得出圆的标准方程.
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
叫做以(a, b)为圆心,r为半径的圆的标准方程.
特别地,当圆心为原点O(0, 0)时,圆的方程为
x2+y2=r2(r>0).
问题6 如果刚才不是以原点为圆心,以(1, 2)为圆心,那么圆的方程又是什么呢
答 (x-1)2+(y-2)2=16
(进一步熟悉和巩固圆的标准方程)
三、 数学应用
【例1】 (教材P108例1)求圆心是C(2, -3),且经过原点的圆的方程.[3]
[处理建议] 根据圆的标准方程的形式,提问学生本题还缺少什么
[规范板书] 解 因为圆C经过原点,所以圆C的半径是
r==,
因此,所求圆的方程是
(x-2)2+(y+3)2=13.
[题后反思] 求圆的标准方程,即寻找圆的圆心坐标和半径,要注意结果中等号的一边是r2,在书写时可能会写成r,忘记平方.
变式1 求以点A(1, 2)为圆心,并且和x轴相切的圆的方程.
[处理建议] 本题要求圆的方程,缺少的是半径,那么和x轴相切指的是什么意思呢 引导学生分析这句话,寻找解题的突破口.
解 ∵ 圆与x轴相切,
∴ 该圆的半径即为圆心A(1, 2)到x轴的距离2.
所以圆的标准方程为:(x-1)2+(y-2)2=4.
变式2 已知两点A(4, 9), B(6, 3),求以线段AB为直径的圆的方程.
[处理建议] 先让学生思考,再问学生 ( http: / / www.21cnjy.com )本题要求圆的方程,根据已经学过的知识,需要什么条件呢 引导学生求出圆心和半径,对圆的标准方程有一个加深认识的作用.
解 ∵ AB为直径,
∴ AB的中点C为该圆的圆心,即C(5, 6),
又∵ AB===2,
∴ r==,
∴ 圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10.
变式3 直线y=2x-4与两坐标轴相较于A, B两点,O为原点,求△AOB的外接圆的方程.
[处理建议] 这个问题是变式2的延续,引导学生发现△AOB是直角三角形,AB就是圆的直径,那么该问题就同变式2了.
解 ∵ ∠AOB=90°, ∴ AB就是圆的直径,
∵ A, B的坐标分别为(2, 0), (0,-4),
∴ AB的中点C为该圆的圆心,即C(1,-2),
又∵ AB===2,
∴ r==,
∴ 圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.
【例2】 圆心在直线2x-3y-1=0上的圆与x轴交于A(0, 0), B(4, 0)两点,求该圆的方程.[4]
[处理建议] 让学生讨论,再提问学生,由学生总结解题的思路.本题突出圆中非常重要的定理,即垂径定理的应用,圆心在弦的垂直平分线上.
[规范板书] 解 ∵ 圆与x轴交于A(0, 0), B(4, 0)两点,
∴ 线段AB的垂直平分线x=2过所求圆的圆心,
∵ 圆心在直线2x-3y-1=0上,
∴ 由得即圆心坐标为C(2, 1),
∵ r=AC==,
∴ 圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
[题后反思] 圆经过两个 ( http: / / www.21cnjy.com )点,圆与直线相交于两点等问题,基本都会与垂径定理有关,一般都会利用圆心在弦的垂直平分线上的结论,来确定圆心的位置,求出圆心的坐标.
变式1 圆心在直线2x-3y-1=0上的圆与两坐标轴都相切,求该圆的方程.
[处理建议] 让学生画图,感受圆与两坐标轴都相切的意义,从中寻找解题突破口.
解 因为圆与两坐标轴都相切,所以圆心的横坐标与纵坐标的绝对值相等,且半径为横坐标或纵坐标的绝对值.
不妨设圆心坐标为(a, a)或(a, -a),半径r=|a|,
∵ 圆心在直线2x-3y-1=0上,
∴ 当圆心为(a, a)时,由2a-3a-1=0得a=-1,则圆的标准方程为:(x+1)2+(y+1)2=1,
当圆心为(a, -a)时,由2a+3a-1=0得a=,则圆的标准方程为:+=.
变式2 已知圆与直线x+y-3=0相切于点(1, 2),且圆心在y轴上,求该圆的方程.
[处理建议] 回顾初中平面几何中圆的切线的性质,利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上的结论,确定圆心的坐标,这是圆中的典型问题.
解 设与直线x+y-3=0垂直的直线为x-y+m=0.
因为该直线过点(1, 2),所以1-2+m=0,得m=1,则该直线方程为x-y+1=0,
由切线的性质,圆心在直线x-y+1=0上.
又因为圆心在y轴上,所以圆心为(0, 1),而半径r==,
∴ 圆的标准方程为x2+(y-1)2=2.
【例3】 已知以点C(a>0)为圆心的圆与x轴交于点O, A,与y轴交于点O, B,其中O为原点.
(1) 求证:△OAB的面积为定值.
(2) 若圆C上任意一点关于直线y=-2x+4的对称点仍然在圆C上,求圆C的方程.[5]
[处理建议] 问题(1) ( http: / / www.21cnjy.com )抓住△OAB是直角三角形,圆心是AB的中点;(2)引导学生理解“圆C上任意一点关于直线y=-2x+4的对称点仍然在圆C上”的几何意义,即圆心在直线上.
[规范板书] 解 (1) 因为∠AOB=90°,所以AB为圆C的直径,点C为AB的中点.
所以OA=2a, OB=,从而S△ABC=×2a×=4.
(2) 由题意直线y=-2x+4经过点C,
所以=-2a+4,得a=1,及C(1, 2), r=OC=,
所以圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
[题后反思] 看到诸如“圆上任意一点的对称点仍然在圆上”、“一条直线平分圆的面积或周长”等语句,即提供我们圆心在这条直线上的条件.
四、 课堂练习
1. 写出下列各圆的方程:
(1) 圆心在原点,半径为4.
(2) 经过P(-1, 3),圆心为C(0, 2).
解 (1) x2+y2=16.
(2) x2+(y-2)2=2.
2. 求以点C(-5, -1)为圆心,并且和x轴相切的圆的方程.
提示 (x+5)2+(y+1)2=1,半径等于纵坐标的绝对值.
3. 求以C(3, -5)为圆心,且和直线3x-4y-4=0相切的圆的方程.
提示 (x-3)2+(y+5)2=25.半径为点到直线的距离,故r==5.
4. 已知圆C: (x-1)2+(y+1)2=2,求过圆上的点O(0, 0)且与该圆相切的直线方程.
提示 因为所求直线l是圆的切线,所以kl·kOC=-1.
因为C点坐标为(1, -1),所以kOC=-1,所以kl=1,所以直线l的方程为y=x.
五、 课堂小结
1. 根据圆的定义,按建系→设点→找等量关系→列等式的步骤求出圆的方程,这也是今后求点的轨迹的一般方法.
2. 确定圆的标准方程的思想方法,即抓住圆的两要素,求出圆心坐标和半径.
3. 求圆的方程常用的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法.
4. 本节课重点体现了数形结合的数学思想.
第14课时 圆的一般方程
教学过程
一、 问题情境
我们前面已经学过了二元一次方程Ax+ ( http: / / www.21cnjy.com )By+C=0(A, B不全为0),我们知道它表示的是一条直线,但在我们生活中显然还会有其他方程,你能举一些例子吗
(这是一个开放问题,学生肯定会先想到圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的标准方程,教师要肯定,再追问还有其他的形式吗 学生一定会列举出很多方程,会有椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程等等,教师应该进行分类,告诉学生在今后会去一一研究,今天先研究其中相对较简单的二元二次方程.)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 下列方程分别表示什么曲线
(1) x2+y2-4x+6y-3=0.
(2) x2+y2-4x+6y+13=0.
(3) x2+y2-4x+6y+16=0.
(该问题要灵活对待,如果学生在前面已经列 ( http: / / www.21cnjy.com )举出很好的方程,就用学生列举的方程.学生不知道它表示什么曲线,一定会用学过的知识来解决,必定想方设法转化为学过的方程,体现化归思想.)
问题2 你觉得它们可能是什么曲线呢
(引导学生明确研究的方向,向圆的标准方程靠拢)
问题3 如果它们表示圆的话,根据我们上一节课所学的内容,它的左边应该是什么形式呢
(引导学生回忆圆的标准方程的特征)
问题4 你会将上面的一组方程转化为圆的标准方程的形式吗
(引导学生用配方法将上面方程进行转化)
将上面方程的左边配方为:
(1) (x-2)2+(y+3)2=16.
(2) (x-2)2+(y+3)2=0.
(3) (x-2)2+(y+3)2=-3.
问题5 你现在能分别说出它们表示的是什么曲线吗
其中(1)表示的以(2, -3)为圆心,4为半径的圆;(2)表示的是一个点(2, -3);(3)不成立,不能表示任何曲线.
问题6 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的又是什么曲线吗
(引导学生从特殊向一般过渡)
把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得,+=.
(1) 当D2+E2-4F>0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;
(3) 当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
经过探究,得出圆的一般方程.
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
叫做圆的一般方程,其中圆心为,半径为.
(二) 理解概念
问题7 圆的一般方程有什么特点呢
(引导学生归纳)
① x2和y2前面的系数相等,且都不为0,没有xy这样的二次项;
② 圆的一般方程中有三个特定的系数D, E, F,所以只要求出这三个系数,圆的方程就确定了;
③ 与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.
三、 数学应用
【例1】 (教材P109例3)已知△ABC顶点坐标为A(4 , 3), B(5, 2), C(1, 0),求△ABC外接圆的方程.[3]
[处理建议] 根据已经学过的知识,圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )方程有两种形式,让学生选择用哪一种方程 让学生在下面书写,教师可以找出用不同方式解题的同学上黑板板演.教师对此都给予肯定.最后再由学生归纳解题心得.
[规范板书] 解法一 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆过点A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0),则有
,得
故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.
解法二 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
因为圆过点A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0),则有
,得
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
解法三 线段AC的垂直平分线方程为x+y-4=0.
线段BC的垂直平分线方程为2x+y-7=0.
由得即圆心为(3, 1),
所以r==.
故所求圆的方程为:(x-3)2+(y-1)2=5.
[题后反思] 从解题过程来看,解法一更直接, ( http: / / www.21cnjy.com )计算更简单一点.圆的方程有两种,通常在求圆心坐标和半径方便时用标准方程,在已知圆三个点时通常用一般方程求解.
问题8 通过刚才的例1,你能归纳用待定系数法求圆的方程的步骤吗
(1) 根据已知条件,选择标准方程或一般方程.
(2) 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组.
(3) 解出a, b, r或D, E, F,代入标准方程或一般方程.
变式 已知函数y=x2-2x-3与x轴交于A, B两点,与y轴交于C点,求△ABC外接圆的方程.
[处理建议] 本题和例1有相似的地方,都是已知三点的坐标求圆的方程,仍然要求学生尝试用两种方法解决本题,并比较在本题中用哪一种方法更好.
解 函数y=x2-2x-3与坐标轴的交点为A(-1, 0), B(3, 0), C(0, -3).
方法一: 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆过点A(-1, 0), B(3, 0), C(0, -3),则有
得
故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-3=0.
方法二: AB的垂直平分线为直线x=1, BC的垂直平分线为直线y=-x,
则直线x=1与直线y=-x的交点就是圆心(1, -1), r==,
所以△ABC外接圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
【例2】 求圆x2+y2-2x+2y+1=0关于直线x-y+3=0对称的图形的方程.[4]
[处理建议] 先要求学生分析方 ( http: / / www.21cnjy.com )程是什么曲线 再问学生要求这样的曲线必须知道哪些条件 根据已知条件能解决吗 本题目的是让学生根据圆的一般方程能熟练地写出它的圆心坐标和半径,进一步熟悉圆的一般方程与圆的标准方程之间的联系.
[规范板书] 解 由圆的方程x2+y2-2x+2y+1=0得圆心坐标为O(1, -1),半径r=1.
因为所求的图形也是圆,且它的圆心O'(a, b)与O(1, -1)关于直线x-y+3=0对称,半径r'=r=1.
由
得即O'(-4, 4).
所以圆的方程为(x+4)2+(y-4)2=1.
[题后反思] 在利用圆心横坐标为-,纵坐标为-的结论时,学生经常会将符号遗漏,而半径为的结论也会记不清,所以可以让学生不去死记硬背,而是学会用配方的方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程,再得出圆心坐标和半径.
变式 (2010年广东卷改编)若圆O的方程为x2+y2+Dx+F=0,半径为,位于y轴右侧,且与直线x+2y=0相切,求圆O的方程.
[处理建议] 要解决本题,只需要求出其中待定的系数D和F,而已知恰好是两个条件,只要根据这两个条件列出D和F的方程组即可.本题还是让学生熟练运用“圆心为半径为”的结论.本题还有另一个用意,要学生能透过现象看本质,“圆O的方程为x2+y2+Dx+F=0”这句话的本质是圆心为(a, 0),用标准方程更方便.如果学生想不到,老师可以引导.
解 方法一: 由题意,圆心为,半径为,则
=, =,得D=-10(正值舍去), F=20.
所以圆的方程为:x2+y2-10x+20=0.
方法二:由题意设圆心为(a, 0),因为与直线x+2y=0相切,
所以=,得a=5(负值舍去),
所以圆的方程为:(x-5)2+y2=5.
*【例3】 (教材P110例4)某 ( http: / / www.21cnjy.com )圆拱梁的示意图如图1,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.(精确到0.01m)[5]
(图1)
[处理建议] 若能够知道该圆拱所在的圆的方程,问题就变得很简单了,所以,我们联想到建立相应的直角坐标系,将问题转化为求圆的方程.
[规范板书] 解 以线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系(图2),那么点A, B, P的坐标分别为A(-18, 0), B(18, 0), P(0, 6).
设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A, B, P在所求的圆上,故有
得
所以圆拱所在的圆的方程为x2+y2+48y-324=0.
将点P2的横坐标x=6代入圆方程,解得y=-24+12≈5.39(舍去负值).
答 支柱A2P2的长约为5.39m.
(图2)
[题后反思] 本题的关键利用图形建立直角坐标系,求出圆拱所在圆的方程,用代数的方法研究几何问题,这里体现了数形结合的思想.
变式 (教材P112第11题改编)河道上有一座圆拱桥,在正常水位时拱圈最高点距水面为5m,拱圈内水面宽为20m,一条船在水面以上部分高为3m,船宽为8m(如图3,船近似地看成矩形),故通行无阻,近日水位涨了1.5m,为此,必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:船身应该降低多少 (精确到0.01m, ≈23.68)
[处理建议] 本题主要进一步强化用代数的方法研究几何问题的思想,即解析思想.
(图3) ( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
[规范板书] 解 建立直角坐标系如图4,那么点A, B, P的坐标分别为A(-10, 0), B(10, 0), P(0, 5).
设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A, B, P在所求的圆上,故有
得
所以圆拱所在的圆的方程为:x2+y2+15y-100=0.
将点P2的横坐标x=4代入圆方程,解得y=≈4.34(舍去负值).
故当水位涨了1.5m后,船身应该降低3-(4.34-1.5)=0.16(m).
答 船身应降低0.16m,才能通过桥洞.
四、 课堂练习
1. 下列方程各表示什么图形 若表示圆,则求出其圆心和半径:
(1) x2+y2-4y=0.
(2) x2+y2-2x-4y+5=0.
解 (1) 表示圆,圆心(0, 2),半径5;
(2) 因为(-4)2+(-2)2-4×5=0,所以不表示圆,表示点(1, 2).
2. 若圆x2+y2-2x+4my+m2=0的圆心在直线x+y+2=0上,求该圆的半径.
解 圆心坐标为(1, -2m),因为圆心在直线x+y+2=0上,
所以1-2m+2=0,得m=,
所以半径==.
3. 若直线x+y=0将圆C:x2+y2+2x+2ay+a2=0的面积两等分,求圆C的半径.
提示 “直线x+y=0将圆C:x2+y2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )x+2ay+a2=0的面积两等分”即圆心在直线上,故可以求出a的值,再利用半径公式求出半径.答案为1.
4. 求经过点A(6, 0), B(-4, 2), C(5, -1)的圆的方程.
提示 设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆经过点A(6, 0), B(-4, 2), C(5, -1),将三个坐标代入圆的方程,列出方程组,解出其中的待定系数即可.
答案为x2+y2-3x-7y-18=0.
五、 课堂小结
1. 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F>0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
2. 利用配方法将圆的一般方程转化为圆的标
第1课时 直线的斜率(1)
教学过程
一、 问题情境
1. 情境:
多媒体投影现实世界中的一些美妙曲线,这些曲线都和方程息息相关,在数学中,我们可以通过研究这些曲线的方程来认识这些曲线.
2. 问题:
在平面直角坐标系中,用一对有序实数(x, y)可确定点的位置,那么用什么来确定直线的位置呢
两点可以确定一条直线.还有什么样的条件可以确定一条直线
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 探究活动
学生进行思考、联想、讨论.
学生回答并演示(①过两点;②过一点及确定的方向)
观察:直线的方向与直线在坐标系倾斜度的关系.
问题1 我们熟悉的坡度是怎样确定的
利用木板进行演示,让学生有一个感性认识,体验坡度是由什么来确定的.
问题2 如果给你直线上两点,你能用它们的坐标来刻画其倾斜度吗
由学生讨论引出课题:直线的斜率.
2. 数学概念
直线斜率的定义:已知两点P(x1, y1), Q(x2, y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为:
k= (x1≠x2).
(二) 理解概念
1. 因为k==(x1≠x2),所以斜率公式与P, Q两点的顺序无关.
2. 如果x1=x2,直线PQ与x轴垂直,公式中分母为0,那么直线PQ的斜率不存在.所以,在坐标系中,不是所有的直线都有斜率.
3. 对于与x轴不垂直的直线PQ,斜率可看作:k===.
*问题3 对于不垂直于x轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置是否有关 为什么
设直线l不与x轴垂直.在直线l上有P(x1, y1), Q(x2, y2),其斜率为k=,在直线l上再取两点M(x3, y3), N(x4, y4),根据定义,直线l斜率应为k'=, ≠0,因为与共线,所以=λ,即(x4-x3, y4-y3)=λ(x2-x1, y2-y1), x4-x3=λ(x2-x1), y4-y3=λ(y2-y1), k'===k.
这表明,对于一条与x轴不垂直的定直线而言,它的斜率是一个定值.[4]
(三) 巩固概念
问题4 一次函数y=-2x+1的图象是一条直线,它的斜率是多少
解答 在直线上取两点(0, 1)与,根据斜率公式知,其斜率为-2.
三、 数学运用
【例1】 (教材P78例1)如图1,直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l1, l2, l3都经过点P(3, 2),又l1, l2, l3分别经过点Q1(-2, -1), Q2(4, -2), Q3(-3, 2),试计算直线l1, l2, l3的斜率.[5]
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
解 根据斜率的定义,直线l1的斜率为k1==,直线l2的斜率为k2==-4,直线l3的斜率为k3==0.
变式1 若点Q1的坐标变为(m, -1),(1)求直线l1的斜率.(2)若此时l1的斜率为2,求m的值.[6]
解 (1) 当m=3时,l1的斜率不存在;当m≠3时,直线l1的斜率为k1==.
(2) 若直线l1的斜率为2=,则m=.
变式2 在例1的坐标系中画出经过点(3, 2),斜率不存在的直线l4,并比较这些直线相对于x轴的倾斜程度与斜率的关系.[7]
解 从图中可以看出当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(l1);
当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(l2);
当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(与y轴垂直)(l3);
当直线的斜率不存在时,直线与x轴垂直(l4).
【例2】 (教材P78例2)经过点(3, 2)画直线,使直线的斜率分别为:(1); (2)-.[8]
[处理建议] 让学生板演,在出现困难时作适当的提示:画直线需要两点,如何找另一点呢.
解 (1) 根据斜率=,斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上,将点(3, 2)沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后得点(7, 5),因此经过点(7, 5)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图2所示.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2) ( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
(2) ∵ -=,∴ 将点(3, 2)沿x轴方向向右平移5个单位,再沿y轴方向向下平移4个单位后得点(8, -2),因此经过点(8, -2)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图3所示.
[题后反思] 画一条直线,关键先找出两点,此题结合画图,让学生如何找点.
【例3】 已知三点A(a, 2), B(3, 7), C(-2, -9a)在一条直线上,求实数a的值.[9]
解 因为3≠-2,所以直线BC的斜率存在,据题意可知直线AB与直线BC的斜率相等,即=,解得a=2或.
[题后反思] 利用斜率构造等式,先要分析斜率是否存在,防止犯以偏概全的错误,对斜率不能确定是否存在,要进行分类讨论.
问题5 两个点可以确定一条直线,一个点及直 ( http: / / www.21cnjy.com )线的斜率也可以确定一条直线,斜率既能反映直线的倾斜程度,也能反映直线的方向,方向还可以用什么来描述
让学生分组讨论.通过讨论认为:选用直线的上方与x轴正方向所形成的角α能最自然、最简单的刻画直线的方向,从而引出倾斜角的概念.
四、 数学概念
1. 直线的倾斜角的定义:
在平面直角坐标系中,对于与x轴相交的直线, ( http: / / www.21cnjy.com )把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
巩固概念
指出下列图中直线的倾斜角:[10]
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
( http: / / www.21cnjy.com )(3) ( http: / / www.21cnjy.com )(4)
(图4)
问题6 直线的倾斜角能不能是锐角 能不能是直角 能不能是钝角 能不能是平角 能否大于平角 倾斜角的取值范围如何
引导学生观察,当直线从x轴位置旋转180°后又回到x轴位置的过程中,直线的倾斜角如何变化,从而得出结论.
2. 直线的倾斜角的范围是: 0°≤α<180°.[11]
五、 课堂练习
1. 分别求经过下列两点的直线的斜率.
(1) (3, 2), (5, 4).
(2) (-1, 2), (3, 0).
(3) (-2, -2), (3, -2).
(4) (-2, 6), (2, -2).
2. 根据下列条件,分别画出经过点P,且斜率为k的直线.
(1) P(1, 2), k=;
(2) P(2, 4), k=-2;
(3) P(-1, 3),斜率不存在;
(4) P(-2, 0), k=0.
3. 分别判断下列三点是否在同一条直线上.
(1) (1, 0), (3, 3), (4, 5).
(2) (0, 2), (3, -1), (-1, 3).
解答 1. (1) 1; (2) -; (3) 0; (4) -.
2. 略.
3. (1) 不在同一条直线上;(2) 在同一条直线上.
六、 课堂小结
1. 在本节课中,你学到了哪些新的概念
2. 怎样求出已知两点的直线的斜率
3. 斜率与倾斜角在刻画直线倾斜程度方面有什么区别
(直线的倾斜角侧重于几何直观形象,而直线的斜率侧重于用数来刻画直线的方向)[12]
第2课时 直线的斜率(2)
教学过程
一、 问题情境
1. 经过点原点(1, 0)与B(2, )两点的直线斜率为 ,倾斜角为 60° .
2. 已知两点P(x1, y1), Q(x1, y1),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率与倾斜角有什么关系
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 分直线的倾斜角为锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )(见图①)和直线的倾斜角为钝角(见图②)启发学生利用斜率的定义发现:k=tanα(注:tan(180°-α)=-tanα).
( http: / / www.21cnjy.com )① ( http: / / www.21cnjy.com )②
(图1)
2. 用几何画板演示,引导学生观察,当直线绕一定点旋转时,斜率与倾斜角的变化关系.
(二) 理解概念
(1) ① 当α≠90°时,k=tan ( http: / / www.21cnjy.com )α;② 当α=90°时,k不存在;③ 当α=0°时,k=0;④ 当α为锐角时,k>0;⑤ 当α为钝角时,k<0.
(2) 当倾斜角α=90°时,斜率k不存在,这就是说任何直线都有倾斜角,但不是任何直线都有斜率,与x轴垂直的直线就没有斜率.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
(三) 巩固概念
判断下列命题的真假:
(1) 若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;
(2) 若两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等;
(3) 若两条直线的倾斜角不等,则它们中倾斜角大的,其斜率不一定大;
(4) 若两条直线的斜率不等,则它们中斜率大的,其倾斜角不一定大.
答 (1)假;(2)真;(3)真;(4)真.
三、 数学运用
【例1】 (1) 直线l1, l2 ( http: / / www.21cnjy.com ), l3如图2所示,则l1, l2, l3的斜率k1, k2, k3的大小关系为 ,倾斜角α1, α2, α3的大小关系为 .
(2) 填写下表[2]
直 线 平行于x轴 从左向右上升 垂直于x轴 从左向右下降
倾斜角α的大小
斜率k的范围
斜率k的增减性
[处理建议] 可以利用几何画板动态地显示斜率与倾斜角的关系.
解答 (1) k1>k2>k3, α3>α1>α2.
(2) 填写下表
直 线 平行于x轴 从左向右上升 垂直于x轴 从左向右下降
倾斜角α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
斜率k的范围 0 k>0 不存在 k<0
斜率k的增减性 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
[题后反思] 这道题阐明倾斜角与斜 ( http: / / www.21cnjy.com )率在变化过程中的关系,讲解中注意用从特殊到一般的方法.如果学过必修4课本,可以从正切函数的单调性上去分析.
【例2】 已知直线过点A(2m, 3), B(2, -1),根据下列条件,求实数m的值(或范围):
(1) 直线的倾斜角为135°.
(2) 直线的倾斜角为90°.
(3) 直线倾斜角为锐角.
(4) 直线倾斜角为钝角.[3]
[处理建议] 此题让四个学生板演.
解 (1) 斜率为k=tan135°==-1,解得m=-1.
(2) 因为AB⊥x轴,所以2m=2,解得m=1.
(3) 据题意,k=>0,解得m>1.
(4) 据题意,k=<0,解得m<1.
【例3】 已知直线l的斜率的取值范围为[-1, 1],求其倾斜角的取值范围.[4]
[处理建议] 可以利用数形结合的思想(如图3)及例1的结果,分两段直接写出,也可利用正切函数的性质解题.
解 ① 当斜率k∈[-1, 0)时,倾斜角α为钝角,且-1≤tanα<0,所以135°≤α<180°;
② 当斜率k∈[0, 1]时,倾斜角α为0°或锐角,且0≤tanα≤1,所以0°≤α≤45°.
综上所述:倾斜率的取值范围是{α|0°≤α≤45°或135°≤α<180°}.
[题后反思] 此题需要分类讨论,注意倾斜角的 ( http: / / www.21cnjy.com )固定范围是0°≤α<180°,如果学过必修4,可以从正切函数的单调性或从图象上观察分析,如果没学过必修4,此题可以不讲.
( http: / / www.21cnjy.com )(图3) ( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
*【例4】 若过原点的直线l与连结P(2, 2), Q(-6, 2)两点的线段相交,求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.[5]
[处理建议] 首先要带领学生认真审题,注意跟线段相交与跟直线相交的区别,然后结合例3的方法,引导学生用数形结合的方法去处理.
解 如图4, OP的斜率k1==1, OQ的斜率k2==-.
当直线l由OP位置逆时针旋转到y轴位置时,直线l与线段PQ相交,倾斜角α由45°增大到90°,斜率k由1增大到正无穷.当直线l由y轴位置逆时针旋转到OQ位置时,直线l与线段PQ相交,倾斜角α由90°增大到150°,斜率k由负无穷增大到-,因此,直线l斜率的取值范围为∪[1, +∞),倾斜角的取值范围是{α|45°≤α≤150°}.
[题后反思] 此题利用数形结合方法较好,直线的旋转,引起直线的斜率、倾斜角的变化:在不同的两段上,都是随直线的逆时针旋转而增大的.
四、 课堂练习
1. 已知y轴上的点B与点A(-, 2)连线所成直线的倾斜角为60°,则点B的坐标是 (0, 5) .
2. 已知直线l1的倾斜角α1=30°,直线l2垂直于l1,则l2的斜率为 - .
3. 直线l的倾斜角的正弦值为,求直线l的斜率.
4. 已知A(4, 2), B(-8, 2), C(0, -2),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是什么角
解答 3. 设直线l的倾斜角为α,则sinα=.当α为锐角时,cosα==,斜率为k=tanα==;当α为钝角时,cosα=-=-,斜率为k=tanα==-.综上所述,直线l的斜率为或-.
4. 直线AB的斜率为kAB==0,直线AB的倾斜角为0°;直线BC的斜率为kBC==-,直线BC的倾斜角是钝角;直线CA的斜率为kCA==1,直线CA的倾斜角是45°.
五、 课堂小结
1. 直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么
2. 倾斜角为特殊角时与直线斜率的对应关系.
倾斜角 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
斜率
3. 为什么不用直线的倾斜角的正弦来作直线的斜率呢
解答:
1. 当倾斜角α≠90°时,斜率k=tanα,此时倾斜角与斜率一一对应;当倾斜角α=90°时,斜率不存在.
2.
倾斜角 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
斜率 1 不存在 - -1 -
3. 倾斜角的正弦与倾斜角不能一一对应,互补的两个倾斜角的正弦相等.
第3课时 直线的方程(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 确定一条直线需要几个独立条件 请举例说明.
归纳得出:1.直线上的两个点;2.直线上的一个点及直线的斜率.
问题2 给出直线l上一点及 ( http: / / www.21cnjy.com )斜率两个条件:经过点A(-1, 3),斜率为-2, (1)你能在直线l上再找一点,并写出它的坐标吗 (2)这条直线l上的任意一点P(x, y)的横坐标x和纵坐标y满足什么关系呢 [1]
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 探究问题情境中的问题.
2. 直线l经过点P1(x1, y1),且斜率为k.设点P(x, y)是直线l上的任意一点,请建立x, y与k, x1, y1之间的关系.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
学生根据斜率公式,可以得到,当x≠x1时,
k=,
故
y-y1=k(x-x1)①[2]
问题3 过点P1(x1, ( http: / / www.21cnjy.com ) y1),斜率是k的直线l上的点(包括点P1),其坐标都满足方程①吗 坐标满足方程①的点都在经过P1(x1, y1),斜率为k的直线l上吗
答 过点P1(x1, y1),斜率是k ( http: / / www.21cnjy.com )的直线l上的点,其坐标都满足方程①,且坐标满足方程①的点都在经过P1(x1, y1),斜率为k的直线l上.[3]
3. 直线的点斜式方程.
我们把方程y-y1=k(x-x1)叫做直线的点斜式方程.
问题4 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢
答 因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用点斜式方程表示.
问题5 经过点P1(x1, y1)且垂直于x轴的直线方程是什么 经过点P1(x1, y1)且垂直于y轴的直线方程又是什么
4. 两种特殊的直线方程.
经过点P1(x1, y1)且垂直于x轴的直线方程是x=x1;
经过点P1(x1, y1)且垂直于y轴的直线方程是
(二) 理解概念
1. 为什么方程=k不称为直线l的点斜式方程
因为直线l上的点P1(x1, y1)不满足方程=k.
2. 把直线方程y=kx+6k-5写成点斜式方程,并说明此直线过哪个定点
方程y=kx+6k-5可变形为y-(-5)=k[x-(-6)],这即为点斜式方程,此直线恒过定点(-6, -5).
三、 数学运用
【例1】 一条直线经过点P1(-2, 3),斜率为2,求这条直线方程.[5]
解 根据点斜式方程的形式,这条直线的方程为y-3=2(x+2)即2x-y+7=0.
【例2】 直线l斜率为k,与y轴的交点是P(0, b),求直线l的方程.[6]
解 根据点斜式方程形式,直线l的方程为y-b=k(x-0),即y=kx+b.
数学概念
(1) 直线l与x轴交点(a, 0),与y轴交点(0, b),称a为直线l在x轴上的截距,称b为直线l在y轴上的截距(截距可以大于0,也可以等于或小于0).
(一定要讲清楚截距的概念,“第一印象”非常重要)
(2) 方程y=kx+b由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定,叫做直线的斜截式方程.
问题6 你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b 一次函数中k和b的几何意义是什么
一次函数y=kx+b中,常数k是直线的斜率,常数b为直线在y轴上的截距.
问题7 直线的斜截式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢
答 因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用斜截式方程表示.
【例3】 在同一坐标系中作出下列直线,分别说出这两组直线有什么共同特征
(1) y=2, y=x+2, y=-x+2, y=3x+2, y=-3x+2.
(2) y=2x, y=2x+1, y=2x-1, y=2x+4, y=2x-4.[7]
解 (1)图略,这组直线的共同特征是都过点(0, 2),斜率不同.
(2) 图略,这组直线的共同特征是斜率都相同,截距互不相同,它们是一组平行直线.
[题后反思] 画直线关键是找出两点,常常找直线与坐标轴的交点,此题意在说明共点直线或平行直线在方程形式上的联系(相同点).
【例4】 (1) 求直线y=-(x-2)的倾斜角.
(2) 求直线y=-(x-2)绕点(2, 0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.[8]
解 (1) 设直线的倾斜角为α,从方程可知,直线的斜率是-,所以tanα=-,又因为0°≤α<180°,所以直线y=-(x-2)的倾斜角为120°.
(2) 所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°,且经过点(2, 0),所以,所求的直线方程为x=2.
[题后反思] 方程为y=k(x+a)+b的直线的斜率为k,第(2)题注意直线的旋转的方向.
*【例5】 已知直线l经过点P(4, 1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8,求直线l的点斜式方程.[9]
[处理建议] 引导学生分析,要求出方程,先求出斜率,如何把“面积为8”用上,能否转化为关于斜率k的方程,用点斜式方程要注意哪些呢
解 根据题意,直线l不垂直于x轴,其斜率存在且为负数,故可设直线l的方程为y-1=k(x-4), (k<0),在方程中令y=0得x=4-,令x=0得y=1-4k,故直线l与两坐标轴交于点与(0, 1-4k),与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为S=(1-4k)=8,解得k=-,故直线l的点斜式方程为y-1=-(x-4).
[题后反思] 利用点斜式或斜截式设 ( http: / / www.21cnjy.com )直线方程,首先要分析直线的斜率是否存在,如不能确定,一般要分类讨论,此题不仅分析了斜率是存在的,而且还挖掘出隐含条件:斜率小于0,为下面的求解避免了分类讨论,如果解出两解,还要注意取舍.
四、 课堂练习
1. 经过点(3, -1),斜率为3的直线的点斜式方程为 y+1=3(x-3) .
2. 经过点(2, 2),斜率为的直线的点斜式方程为 y-2=(x-2) .
3. 斜率为-3,在y轴上的截距为-4的直线的斜截式方程为 y=-3x-4 .
4. 斜率为,在x轴上的截距为6的直线的方程为 y=(x-6) .
5. 直线x=m(y+1)的图象恒过定点 (0, -1) .
五、 课堂小结
1. 本节课我们学了哪些知识
2. 直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么
3. 求一条直线的方程,要知道多少个条件
4. 如何根据直线方程求出直线的斜率及y轴上的截距
第4课时 直线的方程(2)
教学过程
一、 问题情境
1. 情境:能否根据我们已经学过的直线的点斜式、斜截式方程求出符合下列条件的直线方程(学生活动):
(1) 直线经过点(1, 2), .
(2) 直线经过点(1, 2), (-1, 2).
(3) 直线经过点(0, 2), (1, 0).
(4) 直线经过点(x1, y1), (x2, y2),其中x1≠x2.
2. 问题:如果已知直线经过的两个点,或已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,如何求直线方程 [1]
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生研究上面的问题.
根据直线的点斜式方程,经过两点(x1, y1), (x2, y2)(x1≠x2)直线l的方程为:y-y1=(x-x1).
2. 直线的两点式方程.
若x1≠x2, y1≠y2,经过两点P1(x1, x2), P2(x2, y2)的直线l的方程为=,我们把方程=叫做直线的两点式方程.
(二) 理解概念
1. 方程=的左右两边各具有怎样的几何意义 它表示什么图形
答 左边是动点和一个定点的连线的斜率,右边是两个定点的连线的斜率,这两者始终相等,因而方程表示除去点(x1, y1)的一条直线.
2. 方程=和方程=表示同一图形吗
前者表示经过两定点(x1, x2), (x2, y2)但除去点(x1, y1)的一条直线,后者表示经过两定点(x1, x2), (x2, y2)完整的一条直线.所以才把后者称为两点式方程.
3. 若两点P1(x1, x2), P2(x2, y2)中有x1=x2或y1=y2,此时直线P1P2方程能否用两点式方程表示 如果不能,应该如何表示 这说明了什么
答 因为有分母为0,所以不能用两点式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程表示,若x1=x2,直线P1P2方程为x=x1,若y1=y2,直线P1P2方程为y=y1,这说明两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.
(三) 巩固概念
已知直线分别经过下面两点,求直线的两点式方程.
①A(3, 1), B(2, -3);②A(2, 1), B(0, -3);③A(0, 5), B(4, 0).
解答 ① 直线的两点式方程为:=;
② 直线的两点式方程为:=;
③ 直线的两点式方程为:=.
三、 数学运用
【例1】 (教材P84例1)已知直线l经过两点A(a, 0), B(0, b),其中ab≠0,求直线l的方程(如图1).[2]
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(图1)
解 根据两点式方程形式,直线l的方程为=,即+=1.
数学概念
直线的截距式方程及适用范围:
我们把方程+=1叫做直线的截距式方程.因为ab≠0,所以截距式方程不能表示过原点的直线,因为纵、横截距必须存在,所以截距式方程也不能表示与坐标轴垂直的直线.
【例2】 (教材P84例2)已知三角形的顶点是A(-5, 0), B(3, -3), C(0, 2)(图2),试求这个
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
三角形三边所在直线的方程.[3]
解 根据两点式方程,直线AB的方程为=,即3x+8y+15=0;
直线BC的方程为=,即5x+3y-6=0;
根据截距式方程,直线CA的方程为+=1,即2x-5y+10=0.
[题后反思] 用直线的两点式或截距式写直线方程只需一步到两步,但要先分析两点式或截距式的使用条件是否满足.
【例3】 求过点(3, -4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.[4]
[处理建议] 在做此题之前,画 ( http: / / www.21cnjy.com )一条通过原点的直线,问问学生:直线在x, y轴上的截距是什么 相等吗 横截距是纵截距的几倍 根据以往经验,采取先错后纠正的方法不理想,以后还会错,所以截距的概念“第一印象”非常重要.
解 ①当截距不为0时,设所求直线的方程为+=1,将坐标(3, -4)代入这个方程得+=1解得a=-1,此时所求直线的方程为+=1;②当截距为0时,直线过原点(0, 0),根据两点式方程,此时所求直线的方程为=,即y=-x.
综上,所求直线的方程为x+y+1=0或y=-x.
[题后反思] 要准确理解截距的概念,直 ( http: / / www.21cnjy.com )线过原点时,它在x, y轴上截距都为0,当然相等,当直线斜率为1且不过原点时,截距互为相反数,当然不等.
【例4】 求过点P(2, -1),在x轴和y轴上的截距分别为a, b,且满足a=3b的直线方程.[5]
[处理建议] 先引导学生分析,此题会有几解
解 ① 当a=0时,b=0,此时直线方程为y=-x;
② 当a≠0时,b≠0,根据截距式方程,此时直线方程为+=1,把P(2, -1)代入方程得+=1,解得b=-,此时a=-1.
综上,所求直线方程为x+3y+1=0或y=-x.
[题后反思] 当截距不能确定是否为0时,使用截距式方程,要注意分类讨论.
四、 课堂练习
1. 过两点(2, 2), (-1, 3)的直线的两点式方程为 = .
2. 过两点(0, 3), (-1, 0)的直线的截距式方程为 -x+=1 .
3. 已知两点A(5, 1), B(10, 11).
(1) 求出直线AB的方程.
(2) 若点C(-2, a)在直线AB上,求实数a的值.
解 (1) 根据两点式方程,直线AB的方程为=,即2x-y-9=0.
(2) 因为点C(-2, a)在直线AB上,所以2×(-2)-a-9=0,因此实数a的值为-13.
4. (1) 如果两条直线有相同的斜率,但在x轴上的截距不同,那么它们在y轴上的截距可能相同吗
(2) 如果两条直线在y轴上的截距相同,但是斜率不同,那么它们在x轴上的截距可能相同吗
解答 (1) 假设它们在y轴上的截距也相同 ( http: / / www.21cnjy.com ).则它们的方程都可写成y=kx+b,而这只表示一条直线,与前提矛盾,所以假设不成立.因此它们在y轴上的截距不相同.
(2) 它们在x轴上的截距可能相同,如:直线y=2x与直线y=x.
五、 课堂小结
1. 任何一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距吗
2. 什么样的直线不能用两点式、截距式方程
第5课时 直线的方程(3)
教学过程
一、 问题情境
问题1 直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于x, y的什么方程
问题2 关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)是否一定表示一条直线
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生研究上面的问题.
(1) 直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程都是关于x, y的二元一次方程.
(2) 关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)是否一定表示一条直线呢
这个方程是否表示直线,就看此方程能否转化为点斜式、斜截式、截距式、两点式、x=x1这五种形式之一.
(1) 当B≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-x-,它表示斜率-,在y轴上的截距为-的直线.
(2) 当B=0时,方程Ax+By+C=0可化为x=-,它表示垂直于x轴的直线.
综上:关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)都表示一条直线.
问题3 平面直角坐标系内的任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示呢
平面直角坐标系内的直线可分为两类,第一类是与x轴垂直的直线,第二类是与x轴不垂直的直线.
与x轴垂直的直线的方程为x=x1,可化为x+0·y-x1=0,(1与0不全为0)
与x轴不垂直的直线可用斜截式方程表示,而y=kx+b可化为kx-y+b=0,(k与-1不全为0)
所以平面直角坐标系内的任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示.
2. 数学概念
直线的一般式方程
方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)叫做直线的一般式方程.
(二) 理解概念
1. 直线方程的一般式Ax+By+C=0中,A, B满足条件 不全为0 ;
当A=0, B≠0时,方程表示垂直于 y轴 的直线;
当B=0, A≠0时,方程表示垂直于 x轴 的直线.
2. 直线方程的一般式Ax+By+C=0(A, B不全为0)没有局限性,它能表示平面内任何一条直线.
3. 直线方程的一般式Ax+ ( http: / / www.21cnjy.com )By+C=0中,因为A, B不全为0,总可以两边同除以A, B之一,从而转化为只有两个参量的方程:mx+y+n=0或x+my+n=0.不与y轴垂直的直线方程可设为x=py+t.
4. 因为方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示一条直线,所以它也称为线性方程.
(三) 巩固概念
1. 把方程y-y1=k(x-x1)化为一般式为 kx-y+y1-kx1=0 .
2. 把方程+=1(ab≠0)化为一般式为bx+ay-ab=0.
3. 把方程=化为一般式为(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0.[2]
三、 数学运用
【例1】 (教材P86例1)求直线l:3x+5y-15=0的斜率及它在x轴、y轴上的截距,并作图.[3]
[处理建议] 可以把例1、例2放在一起让学生板演.
解 直线l的方程可化为y=-x+3,也可化为+=1,直线的斜率为-,它在x轴、y轴上的截距分别为5和3.(图略)
[题后反思] 根据方程求斜率,可把方程化斜截式.
【例2】 (教材P86例2)设直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:
(1) 直线l在x轴上的截距为-3.
(2) 直线l的斜率为1.[4]
解 (1) 据题意直线l过点(-3, 0),把坐标(-3, 0)代入直线l的方程得-3-2m+6=0,解得m=.
(2) 据题意,直线l的斜率存在,所以m≠0,直线l的方程可化为y=-x+2-,所以-=1,解得m=-1.
【例3】 求斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程.[5]
[处理建议] 引导学生分析,求直线方程,差什么量 如何构造此量的方程,如何设出直线方程,设直线方程需要注意什么
解法一 据题意可设所求直线的方程为y=x+m,(m≠0),在方程中令y=0得x=-m,直线与两坐标轴交于A与B(0, m)两点,△AOB的面积为|m|=6.
解得m=3或m=-3.因此,所求直线的方程为y=x+3或y=x-3,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.
解法二 据题意可设所求直线的方程为+=1(ab≠0),此方程可化为y=-x+b,据题意可知解得或
因此,所求直线的方程为+=1或+=1,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.
[题后反思] 根据条件,恰当选择方程的形式,可简化解题,最后形式常化为一般式方程,解法二对解方程组的要求较高.
*【例4】 已知直线l: +=1.
(1) 如果直线l的斜率为2,求m的值.
(2) 如果直线l与两坐标轴的正半轴相交,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.[6]
[处理建议] 引导学生审题:“正半轴相交”是什么意思 “三角形面积最大时”是什么意思,为什么三角形面积会有最大值
解 (1) 直线l的方程可化为y=x+m,所以=2,解得m=4.
(2) 直线l与两坐标轴的交点为(2-m, 0), (0, m),据题意直线l与两坐标轴围成三角形面积为S=m(2-m)=-(m-1)2+,因为0
四、 课堂练习
1. 直线3x+4y=6的斜率为 - ,在y轴上截距为 .
2. 直线4x-3y-12=0在x轴、y轴上的截距分别为 3 , -4 .
3. 填写下表
直线l:Ax+By+C=0(A, B不全为0)与坐标轴的关系 直线过原点 直线l垂直于x轴 直线l垂直于y轴 直线l与两坐标轴都相交
A, B, C满足的关系 C=0 B=0 A=0 AB≠0
4. 过两点(-4, 0)和(0, 2)的直线的一般式方程为 x-2y+4=0 .
5. 过两点(3, 0)和(0, -1)的直线的一般式方程为 x-3y-3=0 .
五、 课堂小结
1. 到目前为止研究了直线方程的五种形 ( http: / / www.21cnjy.com )式:点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,要掌握五种形式的适用范围,并能在直线方程的各种形式之间熟练转化.
2. 学会根据条件选用恰当的形式求直线的方程,用一般式设方程,往往并不简单,因为一般式中有三个参量A, B, C.
第6课时 两条直线的平行与垂直(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 平面内两条不重合直线的位置关系有几种 如何判断这种关系
问题2 初中学面内两条直线的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )关系,学习过两条直线的平行的判定,如同位角相等得到两条直线平行,这种方法是将一个几何问题转化为另外一个几何问题来解决它,我们能否用代数方法(代数量)来判定两条直线的平行与垂直(几何量)呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生探究两直线平行的判定条件
问题3 直线有哪些代数量
直线的倾斜角、斜率、在x轴、y轴上的截距.
问题4 当l1∥l2时,它们的代数量满足什么关系
l1∥l2,首先想到平行线的判定方法:同 ( http: / / www.21cnjy.com )位角相等,内错角相等,同旁内角互补,三角形中位线平行于第三边.在直线的代数量中,直线的倾斜角是同位角,所以得到:若l1∥l2,则它们的倾斜角相等,如果倾斜角不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到,它们的斜率相等;再来考察它们在x轴、y轴上的截距,如果倾斜角不是0°也不是直角,因为l1, l2不重合,所以,它们在x轴上的截距不等,在y轴上的截距也不等.于是l1∥l2时有如下表格:
倾斜角 零 角 锐角或钝角 直 角
l1, l2的图象分类(l1∥l2) 垂直于y轴 不垂直于坐标轴 垂直于x轴
倾斜角α1与α2的关系 α1=α2=0° α1=α2 α1=α2=90°
斜率k1与k2的关系 k1=k2=0 k1=k2 斜率都不存在
在x轴、y轴上的截距的关系 纵截距不等 横截距不等,纵截距不等 横截距不等
问题5 如何用代数量判断l1∥l2;
当它们斜率都存在时,若斜率k1=k2,且纵截 ( http: / / www.21cnjy.com )距不等,则倾斜角正切tanα1=tanα2,又0°≤α1, α2<180°,所以α1=α2,从而l1∥l2;
当它们斜率都不存在时,它们倾斜角相等,若横截距不等,则l1∥l2;
当它们斜率有一个存在,另一个不存在时,因为倾斜角不等,即同位角不等,所以l1, l2不平行.[1]
2. 两直线平行的判定条件
当l1, l2斜率都存在时,l1∥l2 k1=k2且纵截距不等;
当l1, l2斜率不存在时,l1∥l2 横截距不等.
(二) 理解概念
1. 仅有k1=k2能推出l1∥l2吗 平面内有A, B, C, D四点,若KAB=KCD能得到AB∥CD吗
不能,还要看两直线是否重合,若再加条件“纵截距不等”,即直线不重合,这时才有l1∥l2.
2. 对于不能确定斜率是否存在时,就要分类讨论.
3. 由此可得:k1=k2 l1∥l2或l1, l2重合.
三、 数学运用
【例1】 已知直线方程l1: 2x-4y+7=0, l2: x-2y+5=0,证明:l1∥l2.[2]
证明 设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2,纵截距分别为b1, b2,直线l1, l2方程可分别化为y=x+和y=x+,因此所以l1∥l2.
[题后反思] 注意一定要交代截距不等.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
【例2】 (教材P89例1)求证:顺次连结A(2, -3), B, C(2, 3), D(-4, 4)四点所得的四边形是梯形(如图1).[3]
证明 直线AB的方程为=,即y=-x-,直线CD的方程为=,即y=-x+,因此,直线AB与直线CD的斜率相等,纵截距不等,所以AB∥CD.
直线BC的斜率为kBC==-,直线AD的斜率为kAD==-, kBC≠kAD,因此BC不平行于AD.
综上,四边形ABCD为梯形.
[题后反思] 本题也可用向量方法证明:=(3, -), =(6, -1), =(-3, ), =(-6, 7),所以=,即, 平行且同向.又知和不平行,所以ABCD是梯形.
【例3】 (教材P90例2)求过点A(2, -3),且与直线2x+y-5=0平行的直线方程.[4]
解法一 直线2x+y-5=0的斜率为-2,据题意,所求直线的方程为y+3=-2(x-2)即2x+y-1=0.
解法二 据题意,可设所求直线的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )2x+y+C=0 (C≠-5),把A的坐标代入方程得4-3+C=0,解得C=-1,故所求直线的方程为2x+y-1=0.
变式 求与直线2x+y-5=0平行,在两坐标轴上的截距之和为的直线l的方程.
解法一 直线2x+y-5=0的斜率为-2,故可设所求直线的方程为y=-2x+m.令y=0可得横截距为,由题意+m=,解得m=1.故所求直线的方程为y=-2x+1.
解法二 据题意可设所求直线l的方程为2x+y+C=0 (C≠-5).在此方程中分别令y=0及x=0可得横、纵截距分别为-, -C,由题意--C=,解得C=-1.故所求直线的方程为2x+y-1=0.
[题后反思] 这两种解法本质是一样的,都是待定系数法.
【例4】 (1) 两直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是 .
(2) 若直线l1: ax+3y+1=0与l2: 2x+(a+1)y+1=0互相平行,则a的值为 .
(3) 若直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行,则实数a的取值为 .[5]
[处理建议] 先分析,直线平行的条件是什么 斜率存在吗 不存在怎么办
解 (1) 平行或重合.(2)因为直线l1的斜率存在,所以l2的斜率也存在,l1∥l2的条件是解得a=-3.(3) 当直线x-2ay=1的斜率不存在时,即a=0时,两条直线平行;当直线x-2ay=1的斜率存在时,即a≠0时,两条直线的纵截距相等,都为-,此时两条直线不平行.综上, a的取值为0.
[题后反思] 这种带参数的问题往往是学 ( http: / / www.21cnjy.com )生的难点,要注意对斜率是否存在的讨论,不能仅利用k1=k2,还要检验两条直线是否重合.讲解时一定注意条理性.
四、 课堂练习
1. 分别判断下列直线AB与CD是否平行:
(1) A(2, 1), B(-2, 3); C(-4, 7), D(4, 3).
(2) A(1, -2), B(--1, -2); C(-1, 3), D(3, 3).
解 (1) kAB==-,直线AB方程为y-3=-(x+2),令x=0得直线AB的纵截距为bAB=2; kCD==-,直线CD方程为y-3=-(x-4),令x=0得直线CD的纵截距为bCD=5.所以kAB=kCD, bAB≠bCD,所以AB与CD平行.
(2) kAB=0,直线AB的纵截距为-2; kCD=0,直线CD的纵截距为3.所以kAB=kCD, bAB≠bCD,所以AB与CD平行.
2. 直线mx+y-n=0和x+my+1=0平行的条件是 或
五、 课堂小结
1. 如何用直线的斜率、截距判断两直线平行 判定的程序是什么
当l1, l2斜率都存在时,l1∥l2 k1=k2且纵截距不等;
当l1, l2斜率不存在时,l1∥l2 横截距不等.
判定程序:(1)分析(讨论)斜率存在的情况;(2)直线斜率不存在的情况.
2. 本节课是如何研究“数”和“形”的等价性的
从问题正反两个方面去研究:平行→条件,条件→平行.
第7课时 两条直线的平行与垂直(2)
教学过程
一、 问题情境
问题1 我们能否用代数方法(代数量关系)来判定两直线的垂直(几何关系)呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生探究两直线垂直的判定条件
问题2 l1⊥l2时,它们的代数量满足什么关系
设l1, l2的倾斜角分别α1, α2,若l1⊥l2,首先想到垂直的定义,它们所成的角为90°,所以α1=α2+90°(或α2=α1+90°),如果它们倾斜角都不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到k1=tanα1=tan(α2+90°)=-=-(或k2=tanα2=tan(α1+90°)=-=-),所以k1k2=-1.
问题3 如何用代数量判断l1⊥l2
当它们斜率都存在时,若斜率k1k2=-1, tanα1tanα2=-1,又0°≤α1, α2<180°,所以tanα1=-=tan(90°+α2)=tan(α2-90°).当0°<α2<90°时,因为0°≤α1, α2+90°<180°,所以α1=α2+90°;当90°<α2<180°时,因为0°≤α1, α2-90°<180°,所以α1=α2-90°.综上,α1=α2+90°或α1=α2-90°,所以l1⊥l2.
当它们斜率有一个不存在时,若另一条的斜率为0,则它们倾斜角一个是90°,一个是0°,此时
2. 两直线垂直的判定条件
当l1, l2斜率都存在时,l1⊥l2 k1k2=-1;
当l1, l2斜率中有一个不存在时,l1⊥l2 另一个斜率为0.
(二) 理解概念
1. 由l1⊥l2能否推出k1k2=-1
不能,由l1⊥l2推出k1k2=-1或一个斜率不存在,另一个为0.
2. 判断两直线垂直时,如果利用k1k2=-1,则要先讨论斜率是否存在.
3. 对于不能确定斜率是否存在时,就要分类讨论.
(三) 巩固概念
下列说法中不正确的是 ② (填序号).
①斜率均不存在的两条直线可能重合;②若两 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线垂直,则两条直线的斜率互为负倒数;③若两条直线的斜率互为负倒数,则这两条直线垂直;④若两条直线中,有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则这两条直线垂直.
三、 数学运用
【例1】 (教材P91例3)(1) ( http: / / www.21cnjy.com ) 已知四点A(5, 3), B(10, 6), C(3, -4), D(-6, 11),求证:AB⊥CD.
(2) 已知直线l1的斜率为k1=,直线l2经过点A(3a,-2), B(0, a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值.[2]
[处理建议] 例1、例2可以同时让学生板演.
解 (1) 直线AB的斜率为kAB==,直线CD的斜率为kCD==-,所以kABkCD=-1,因此AB⊥CD.
(2) 设直线l2的斜率为k2,因为l1⊥l2,所以k2=-=-=,解得a=1或3.故实数a的值为1或3.
[题后反思] 这两道题中,直线的斜率都存在,虽不必讨论,但要跟学生交代清楚不讨论的理由.
【例2】 (教材P91例4)已知三角形的三个顶点为A(2, 4), B(1, -2), C(-2, 3),
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
求BC边上的高AD所在的直线方程.[3]
解 直线BC的斜率为kBC==-,据题意AD⊥BC, kAD=-=,故AD所在的直线方程为y-4=(x-2),即3x-5y+14=0.
【例3】 若直线l1: (a+2)x+(1-a)y-3=0与直线l2: (a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,求实数a的值.[4]
[处理建议] 此题有两种解法,第一种 ( http: / / www.21cnjy.com ),利用斜率关系,需分类讨论,重点讲解,第二种利用A1A2+B1B2=0,可以暂时不讲,但以后最好讲一下,如果有时间讲例5,讲完后,再回到此题讲解法二.
解法一 ① 当直线l1的斜率不存在时,1-a=0,即a=1,此时直线l2的斜率为0,所以此时l1⊥l2;
② 当直线l2的斜率不存在时,2a+3=0, a=-,此时直线l1的斜率为=-,此时l1不垂直于l2;
③ 当直线l1和l2的斜率都存在时,即a≠1且a≠-时,l1和l2的斜率分别为, ,因为l1⊥l2,所以·=-1,解得a=-1.
综上,实数a的值为1或-1.
解法二 l1⊥l2 (a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=-1或1.
[题后反思] 一定要引导学生有条理地分类讨论,说清楚如何确定讨论的标准.
【例4】 (教材P92例5)在路边安装 ( http: / / www.21cnjy.com )路灯,路宽23m,灯杆长2.5m,且与灯柱成120°角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h为多少米时,灯罩轴线正好通过道路路面的中线 (精确到0.01m)[5]
[处理建议] 引导学生认真审 ( http: / / www.21cnjy.com )题,分析其中直线与直线的垂直关系,垂直关系对应着等式k1k2=-1,要知道k1, k2,就需要知道点的坐标,这样就需要建立坐标系,学会思考很重要.
解 以灯柱与地面的交点为原点,以灯柱所在的铅垂线为y轴,垂直于路面中线的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
灯柱上端点即为点B,灯杆端点记为点A,路面中线与x轴的交点记为点C,据题意,∠OBA=120°, AB=2.5, AB⊥AC.
A距y轴的距离为ABcos(120°-90°)=,A距x轴的距离为h+ABsin(120°-90°)=h+,直线AB的斜率为kAB=tan(120°-90°)=,点A, C的坐标分别为, ,直线AC的斜率为kAC=-=-=,解得h≈14.92(m).
答 当灯柱高h约为14.92m时,灯罩轴线正好通过道路路面的中线.
[题后反思] 本题也可以用相似三角形来解,参考图形如下:
( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
由Rt△EOB∽Rt△CAB,可得=,即=,即可求得h的值,这种方法虽巧,但不是通法,解析味很淡,不能很好地体现解析几何的思想.
*【例5】 (据教材P97 ( http: / / www.21cnjy.com )第12(2)题改编)直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0,其中A1, B1不全为0, A2, B2也不全为0,试探求l1和l2垂直的条件.[6]
解 ① 当B1, B2都不为0时,l1, l2的斜率分别为-, -.若l1⊥l2,则-·=-1,从而A1A2+B1B2=0;反之,若A1A2+B1B2=0,则-·=-1,从而l1⊥l2.因此此时:l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
② 当B1, B2有一个为0时,不妨设B1 ( http: / / www.21cnjy.com )=0,则A1≠0,此时l1垂直于x轴.若l1⊥l2,则l2垂直于y轴,从而A2=0,所以仍有A1A2+B1B2=0;反之,若A1A2+B1B2=0,因为B1=0, A1≠0,所以A2=0, l2垂直于y轴,所以仍有l1⊥l2.因此此时:l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
综上,l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
[题后反思] 此题较难,对分类讨论的要求较高,但结论要求学生记住.
四、 课堂练习
1. 过点A(2, 1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程是 x-2y=0 .
2. 以A(1, 2), B(4, 0), C(3, 5)为顶点 (B)
(A) 构成锐角三角形
(B) 构成直角三角形
(C) 构成钝角三角形
(D) 不构成三角形
3. 过原点作直线l的垂线,若垂足为(-2, 3),则直线l的方程是 2x-3y+13=0 .
五、 课堂小结
如何从代数量上去判断两条直线垂直呢
当l1, l2斜率都存在时,l1⊥l2 k1k2=-1;
当l1, l2斜率中有一个不存在时,l1⊥l2 另一个斜率为0.
第8课时 两条直线的交点
教学过程
一、 问题情境
由直线方程的概念,我们知道直线上的一点坐标与 ( http: / / www.21cnjy.com )二元一次方程的解的关系,那么,如果两直线相交于一点,这一点坐标与这两条直线的方程有何关系 你能求出它们的交点坐标吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 探究问题情境中的问题:
设两条直线l1, l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0.如果它们有交点P(x0, y0),则P的坐标应同时满足两直线的方程,即A1x0+B1y0+C1=0, A2x0+B2y0+C2=0,所以(x0, y0)是方程组的解;
反之,若方程组有唯一一个解(x0, y0),即P(x0, y0)同时满足两直线的方程,所以P(x0, y0)是两直线的唯一公共点,即交点.
2. 两直线方程与两直线位置关系的对应关系为:
设两条直线的方程分别是l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0.
方程组的解 一组 无数组 无解
两条直线l1, l2的公共点 一个 无数个 零个
直线l1, l2的位置关系 相交 重合 平行
(二) 理解概念
根据上面结论可知:研究两条直线l1, l2的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题,这样就把研究“形”问题转化为“数”的问题.
三、 数学运用
【例1】 (教材P93例1)分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点:
(1) l1: 2x-y=7, l2: 3x+2y-7=0.
(2) l1: 2x-6y+4=0, l2: 4x-12y+8=0.
(3) l1: 4x+2y+4=0, l2: y=-2x+3.[1]
解 (1) 因为方程组的解为所以直线l1与l2相交,交点坐标为(3, -1).
(2) 因为方程组有无数组解,所以直线l1和l2重合.
(3) 因为方程组无解,所以直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.
【例2】 (教材P94例2)直线l经过原点,且经过另外两条直线2x+3y+8=0, x-y-1=0的交点,求直线l的方程.[2]
解法一 因为方程组的解所以两直线的交点坐标为(-1, -2),又直线l经过原点(0, 0),由两点式可得直线l的方程为=,即2x-y=0.
[题后反思] 设两条直线2x+3y+8=0, ( http: / / www.21cnjy.com ) x-y-1=0交点为P(x0, y0),则P(x0, y0)满足方程(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0,而方程(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0即为(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0,且2+λ, 3-λ不全为0,所以(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0表示一条通过两条直线2x+3y+8=0, x-y-1=0交点的直线.但它不能表示直线x-y-1=0.更一般地有直线系的结论:
已知直线l1: A1x+B1 ( http: / / www.21cnjy.com )y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0相交,那么过两直线的交点的直线(不含l2)方程可设为:(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R).
于是有:
解法二 设经过两条直线2x+3y ( http: / / www.21cnjy.com )+8=0, x-y-1=0交点的直线l方程为(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0,又直线l过原点,由(0, 0)代入,可得λ=8.
故直线l方程为(2x+3y+8)+8(x-y-1)=0,即2x-y=0.
【例3】 (教材P94例3)某商品的市场需 ( http: / / www.21cnjy.com )求量y1(万件)、市场供求量y2(万件)、市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系:y1=-x+70, y2=2x-20.当y1=y2时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量.
(1) 求平衡价格和平衡需求量.
(2) 若要使平衡需求量增加4万件,政府对每件商品应给予多少元补贴 [3]
[处理建议] 对于问题(2)引导学生分析,政府对每件商品给予补贴,补给谁了 补给供货者了.
解 (1) 解方程组得故平衡价格为30元/件,平衡需求量为40万件.
(2) 设政府给予t元/件补贴,此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)为x元/件,则供货者实际每件得到(x+t)元.依题意得方程组解得x=26, t=6.
因此,政府对每件商品应给予6元补贴.
【例4】 已知直线l1: 3x+my-1=0, l2: 3x-2y-5=0, l3: 6x+y-5=0,
(1) 若这三条直线交于一点,求m的值.
(2) 若三条直线能构成三角形,求m满足的条件.[4]
[处理建议] 引导学生先画草图,考虑各种可能情况.
解 (1) 由 代入l1方程得,m=2.
[题后反思] 先对两个不含参数的方程联 ( http: / / www.21cnjy.com )立求解,再将所得的点的坐标代入另一个方程.从几何方面理解,就是要求其中两条直线的交点也在另一条直线上.
(2) 当三直线交于一点或其中两条互相平行时,它们不能构成三角形.
① 由(1)得,当m=2时,三线共点,不能构成三角形;
② 当l1∥l2时,m=-2,当l1∥l3时,m=,此时它们不能构成三角形.
综上,当m≠2且m≠-2且m≠时,三条直线能构成三角形.
[题后反思] 注意最后答案中的“且”不能省略.
*【例5】 求证:不论m为何实数,直线l: (m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点,并求出此定点的坐标.[5]
[处理建议] 先引导学生思考“恒过定点”的含义,能否从特殊化入手,从而发现解法一,再引导学生反思例2的解法二,从而发现解法二.
解法一 令m=1得y=-4, m=得x=9,两条直线y=-4和x=9交点为(9, -4).
将(9, -4)代入直线方程得9m-9-8m+4=m-5恒成立,所以,直线l过定点(9, -4).
解法二 将直线l方程(m-1)x+ ( http: / / www.21cnjy.com )(2m-1)y=m-5整理为(x+2y-1)m-x-y+5=0,该方程表示过直线x+2y-1=0和-x-y+5=0交点的直线,
由得交点(9, -4),∴ 直线l过定点(9, -4).
[题后反思] 以上两种方法是处理 ( http: / / www.21cnjy.com )直线过定点问题的常用方法.因为直线上点的坐标就是对应方程的解,所以两直线是否有交点,取决于它们对应方程组成的方程组是否有唯一解.体验“形”的问题怎样通过“数”的运算来解决,从而感悟到解析几何的本质(即用代数的方法来研究或解决几何问题).
四、 课堂练习
1. 与直线2x+y-4=0相交的直线的方程是(D).
A. 4x+2y-8=0 B. y=-2x
C. y=-2x+5 D. y=2x+4
2. 若三条直线2x+3y+8=0, x-y-1=0和x+ky+k+=0相交于一点,则k的值为 - .
3. 已知直线l经过两条直线2x-y+4=0和x-y-3=0的交点,且与直线3x+y-1=0平行,求直线l的方程.
解 由2x-y+4=0和x-y-3=0联立解得x=-7, y=-10,故所求直线l的方程为y+10=-3(x+7),即3x+y+31=0.
五、 课堂小结
1. 研究两条直线l1, l2的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题.
2. 求两直线交点坐标,即求两条直线方程所得的方程组的解.
第9课时 平面上两点间的距离
教学过程
一、 问题情境
问题1 教材P96习题第5题是:“已知 ( http: / / www.21cnjy.com )点A(-1, 3), B(3, -2), C(6, -1), D(2, 4),求证:四边形ABCD是为平行四边形”,除了用两组对边分别平行,还可以用两组对边分别相等来判断.那么如何求各边的长呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生探究问题1
可以从特殊情况入手.
问题2 已知A(x0, y1), B(x0, y2),如何求A, B间的距离
直线AB垂直于x轴,所以AB=|y2-y1|.
问题3 已知A(x1, y0), B(x2, y0),如何求A, B间的距离
直线AB垂直于y轴,所以AB=|x2-x1|.
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
问题4 已知A(x1, y1), B(x2, y2) (x1≠x2, y1≠y2)如何求A, B间的距离
设过A点且垂直于y轴的直线与过B点且垂直于x轴的直线相交于C,则C的坐标为(x2, y1),
所以AC=|x2-x1|, BC=|y2-y1|,
在Rt△ABC中,有AB==(*)
不难验证当x1=x2或y1=y2时(*)仍然成立.
2. 数学概念
平面上两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)之间的距离公式为 P1P2=.
(二) 理解概念
1. 公式可写成P1P2=.
2. 注意公式中是对应横坐标减横坐标,纵坐标减纵坐标.
3. 即使P1, P2重合,公式仍成立.
问题5 已知A(3, 0), B(8, 0),如何求线段AB中点的坐标
画图可知线段AB中点的坐标为.
问题6 已知P1(x1, y1), P2(x2, y2),请猜想线段P1P2中点的坐标,并证明.
设线段P1P2中点为M(x0, y0),猜想证明略.[1]
三、 数学运用
【例1】 (教材P98例1)(1) 求A(-1, 3), B(2, 5)两点之间的距离.
(2) 已知A(0, 10), B(a, -5)两点之间的距离为17,求实数a的值.[2]
解 (1) 由两点间距离公式得
AB==.
(2) 由两点间距离公式得
=17,
解得 a=±8.
故所求实数a的值为8或-8.
【例2】 (教材P100例2)已知 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的顶点坐标为A(-1, 5), B(-2, -1), C(4, 7),求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程.
[处理建议] 由中点公式可求出BC中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出AM的长和AM所在的直线方程.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
解 如图2,设点M的坐标是(x, y).
∵ 点M是线段BC的中点,∴ x==1,
y==3,即M的坐标为(1, 3).
由两点间的距离公式得AM==2.
因此,BC边上的中线AM的长为2.
由两点式得中线AM所在的直线方程为
=,即x+y-4=0.
[题后反思] 本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用.
【例3】 (教材P101例3)已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系,证明:AM=BC.[3]
[处理建议] 先引导学生怎样建立坐标系,可使运算简单.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
证明 如图3,以Rt△ABC的直角边AB, AC所在直线为坐标轴,建立直角坐标系.
设B, C两点的坐标分别为(b, 0), (0, c).
∵ M是BC的中点,
∴ 点M的坐标为
,即.
由两点间的距离公式得
AM==,
所以,AM=BC.
[题后反思] 建立坐标系时,要尽量利用对称性,使特殊点的坐标含0.
*【例4】 已知直线l: y=x-1,(1)求点P(3, 4)关于l对称的点Q;(2)求l关于点(2, 3)对称的直线方程.[4]
解 (1) 设Q(x0, y0),由于PQ⊥l,且PQ中点在l上,有
解得
∴ Q.
(2) 在l上任取一点,如M(0, -1),则M关于点(2, 3)对称的点为N(4, 7).
∵ 所求直线过点N且与l平行,∴ 方程为y-7=(x-4),即x-2y+10=0.
[题后反思] 本题所用方法是处理对称问题的基本方法,要求掌握.
四、 课堂练习
1. 求线段AB的长及其中点的坐标.
(1) A(4, 6), B(-2, 2).
(2) A(-3, ), B(-, 3).
解 (1) AB==2, AB的中点为M(1, 4).
(2) AB==3-2, AB的中点为M.
2. 已知△ABC的顶点A(5, 3), B(1, 1), C(7, -1),求AB边上的中线CM的长.
解 AB的中点为M(3, 2),
CM==5.
3. 已知两点P(2, -1), A(3, 4),求点A关于P的对称点B的坐标.
解 设B的坐标为(x, y),则2=, -1=,解得x=1, y=-6.
所以点B的坐标为(1, -6).
五、 课堂小结
1. 平面上两点距离公式是什么 有什么使用条件吗
2. 线段的中点坐标公式是什么
3. 这节课你学到了哪些思维方法
从特殊到一般的思维方法,先猜后证的思维方法.
第10课时 点到直线的距离公式(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 已知点P(2, 4)和直线l: x-2y=0,求P点到直线直线l的距离.
问题2 已知点P(x, y)和直线l: Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离.
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 引导学生分组讨论,合作交流,探讨出多种方法研究上面的问题1.
第一种思路:求出过点P且垂直于直线l的直线PQ(Q为垂足)的方程,将此方程与直线l方程联立解得Q的坐标,然后求PQ距离即为所求.
第二种思路:过点P分别作x轴、y轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线,与直线l的交点分别为M, N,求出PM, PN的长,再在Rt△PMN中,求出P到斜边MN的距离即为所求.
2. 类比问题1的两种解法,解决问题2.
解法一 先让学生计算几分钟,让学生感觉用求垂足坐标的方法较繁.
解法二 先考虑A, B均不为0的情形.过点P分别作x轴、y轴的平行线,与直线l的交点分别为M, N, PN=, PM=,记t=|Ax0+By0+C|,P到直线Ax+By+C=0的距离为
d==
==(*).
当A=0, B≠0时,直线方程Ax+By+C=0即为y=-,点P到直线l的距离为==也适合(*);
当B=0, A≠0时,直线方程Ax+By+C=0即为x=-,点P到直线l的距离为==也适合(*).
综上,点P(x0, y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=.
3. 有没有其他解法
解法三 过点P分别作直线l, y轴的垂线,与直线l的交点分别为Q, M, PM=,在Rt△PQM中,tan∠PMQ=, sin∠PMQ=,P到斜边MQ的距离为PQ=PMsin∠PMQ=,这即为所求.
问题3 解法一繁的原因是什么 有没有优化的办法
反思解法一繁的原因,一是解方程组较繁(先考虑A≠0时),二是解出的垂足A的坐标较繁,从而用两点间距离公式较繁,但若将方程①变形为
A(x-x0)+B(y-y0)=-(Ax0+By0+C),再与方程②联立,把x-x0, y-y0作为整体,解得x-x0=,点P(x0, y0)到直线Ax+By+C=0的距离为
d=PA=
=
=|x-x0|
=·
=.
再验证A=0时,结果也适合.
(解法一比其他两种方法,更强化了解析法的思想,用坐标与方程来解决问题是解析几何的基本方法)
4. 点到直线的距离公式
点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离为d=.
(二) 理解概念
(1) 公式中的直线方程必须化为一般式;
(2) 分子带绝对值,分母是根式;
(3) 当A与B有一个为零时,公式仍然成立;
(4) 若点P(x0, y0)在直线l上,则P到直线l的距离为0,此时公式仍适用.
三、 数学运用
【例1】 (教材P104例1)求点P(-1, 2)到下列直线的距离.
(1) 2x+y-10=0. (2) 3x=2.[2]
[处理建议] 例1、例2可同时让学生板演.
解 (1) 根据点到直线的距离公式,点P(-1, 2)到直线2x+y-10=0的距离为
=2.
(2) 点P(-1, 2)到直线3x=2的距离为
=.
[题后反思] 对于求点到直线x=x1或直线y=y1的距离问题,不必用点到直线的距离公式.
【例2】 (教材P104例2)已知平行线x+3y-4=0与2x+6y-9=0,求它们之间的距离.[3]
解 在直线2x+6y-9=0上取一点P,点P到直线x+3y-4=0的距离为=.
变式 求两条平行直线l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离.
解 当A≠0时,在直线l1上取一点P,P到直线l2的距离为d==;当A=0时,B≠0,在直线l1上取一点P,P到直线l2的距离为
d==.
综上所述,两条平行直线l1, l2间的距离为.
重要结论 两条平行直线l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离为d=.两条平行线方程中,x, y的系数一定要化为对应相同.
【例3】 (2013南通中学期末考试) ( http: / / www.21cnjy.com )已知两直线l1: x+2=0, l2: 4x+3y+5=0,定点A(-1, -2).若直线l过l1与l2的交点且与点A的距离等于1,求直线l的方程.[4]
[处理建议] 引导学生讨论:求直线的方程需要几个条件 本题中是否具备这些条件
解 l1, l2的交点为(-2, 1),若所求直线斜率存在,设所求的直线方程为y-1=k(x+2)即kx-y+(2k+1)=0
因为所求的直线与点A(-1, -2)的距离为1,所以=1,得k=-
所以所求的直线l的方程为4x+3y+5=0
若所求直线斜率不存在时,即l为x+2=0,
因为点A(-1, -2)到直线l为x+2=0的距离为1,所以直线x+2=0也满足题意
所以所求的直线l的方程为4x+3y+5=0或x+2=0
【题后反思】 过一点求直 ( http: / / www.21cnjy.com )线的方程,一般会用“点斜式”设直线方程,但使用时一定要注意“点斜式”适用的前提是斜率存在,千万不要忽略对斜率不存在情形的讨论.
四、 课堂练习
1. 求下列点P到直线l的距离:
(1) P(2, -1), l: 4x+3y-25=0.
(2) P(1, -3), l: 4x+3=0.
答案 (1) 4. (2) .
2. 求下列两条平行直线之间的距离:
(1) 12x+5y-3=0与12x+5y+13=0.
(2) 4x-6y+7=0与y=x.
答案 (1) . (2) .
五、 课堂小结
1. 这节课我们学到了什么 有何体会
这节课我们学面内点到直线的距离公式和两条平行直线之间的距离公式,体会到了数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法.
2. 使用点到直线的距离与两条平行直线间的距离公式要注意些什么
(1) 公式中的直线方程必须化为一 ( http: / / www.21cnjy.com )般式;(2)使用两条平行直线间的距离公式时应该注意:两条平行直线l1与l2的形式必须是一般式,同时x和y前面的系数必须化为一致.
第11课时 点到直线的距离公式(2)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 (教材P106第17题改编)在直线x+3y=0上找一点,使它到原点与到直线x+3y-2=0的距离相等.[1]
[处理建议] 引导学生先画图,寻找解题思路.
解 直线x+3y=0与x+3y-2=0之间的距离为:=.
设直线x+3y=0上的点P(x0, y0)满足题意,则解得或∴ 所求点的坐标为或.
【题后反思】 直线x+3y=0与直线x+3y-2=0平行,即可算出它们之间的距离,然后利用两点之间的距离公式算出该点的坐标.
【例2】 求直线2x+11y+16=0关于点P(0, 1)对称的直线方程.[2]
【处理建议】 引导学生先 ( http: / / www.21cnjy.com )画图,寻找解题方法,解法一:利用点到两直线的距离相等;解法二:已知直线与所求直线显然平行,只要在所求直线上再找一个点,就可利用点斜式方程;解法三:在所求直线上找两点,再用两点式方程;解法四:求轨迹方程常用的代入法,设所求直线任意一点P(x, y), P关于点(0, 1)对称的点Q(-x, 2-2y)在已知直线上.当然四种方法不必全讲.
解 设所求直线的方程为2x+11y+C=0,由点到直线的距离公式可得
=, ∴ C=16(舍去)或C=-38,
∴ 所求直线的方程为2x+11y-38=0.
【题后反思】 解题的关键是中心对称的两直线互相平行,并且两直线与对称中心的距离相等.
本题也可以利用点与点的对称.设直线2x+11y+16=0上任意一点A0(x0, y0)(A0(x0, y0)在直线2x+11y+16=0上,所以2x0+11y0+16=0)与P(0, 1)对称的点为A(x, y),则=0, =1,解得x0=-x, y0=2-y,然后将x0, y0的值代入2x0+11y0+16=0求出所求直线.比较而言,此法注重轨迹的推导过程,而前面的方法比较简便,是求直线关于点对称的直线方程的基本方法(直线关于点对称的问题).
【例3】 已知直线l1: x+y-1=0, l2: 2x-y+3=0,求直线l2关于直线l1对称的直线l的方程.[3]
【处理建议】 直线关于直线对称,可 ( http: / / www.21cnjy.com )以在l2上任意取两个点,再分别求出这两个点关于直线l1的对称点,最后利用两点式求出所要求的方程.这里可以通过求出交点这个特殊点以简化计算.
解 由解得 ∴ l过点P.
又显然Q(-1, 1)是直线l2上一点,设Q关于直线l1的对称点为Q'(x0, y0),
则解得 即Q'(0, 2).
因为直线l经过点P, Q',所以由两点式得它的方程为x-2y+4=0.
[题后反思] 本题为求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法(两条直线关于第三条直线对称的问题).注意:这里有一种特殊情况:
直线Ax+By+C=0关于直线y=x对称的直线方程为Ay+Bx+C=0.
【例4】 (教材P104例3)建立适当的直角坐标系,证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.[1]
[处理建议] 要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离,故可考虑用点到直线的距离公式计算距离,因此必须建立直角坐标系.
证明 设△ABC是等腰三角形,以底边CA所在直线为x轴,过顶点B且垂
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
直与CA的直线为y轴,建立直角坐标系(如图1).设A(a, 0),B(0, b) (a>0, b>0),则C(-a, 0).
直线AB的方程:+=1,即:bx+ay-ab=0.
直线BC的方程:+=1,即:bx-ay+ab=0.
设底边AC上任意一点为P(x, 0)(-a≤x≤a),
则P到AB的距离PE==,
P到BC的距离PF==,
A到BC的距离h==.
PE+PF=+==h,故原命题得证.
【题后反思】 本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用,运用代数方法研究几何问题.
四、 课堂练习
1. 点P在x轴上,若它到直线4x-3y-3=0的距离等于1,则P的坐标是 (2, 0)或 .
2. 直线y=3x-4关于点P(2, -1)对称的直线的方程为 3x-y-10=0 .
五、 课堂小结
1. 利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明,充分说明了解析法在研究几何问题中的作用.建立坐标系要尽量使点的坐标为0,以简化计算.
2. 在遇到对称问题时关键是分析 ( http: / / www.21cnjy.com )出是属于什么对称情况,这里大致可以分为:点关与点对称,点关于直线对称,直线关于点对称,直线关于直线对称这四种情况,一旦确定为哪种情况后要灵活选择方法进行求解.
第12课时 直线复习课
教学过程
一、 数学应用
【例1】 设A, B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且PA=PB,若直线PA的方程为x-y+1=0,求直线PB的方程.
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(图1)
【处理建议】 由学生分析题目,讨论并归纳出解决问题的方法,老师引导学生进行解题反思,总结经验.
[规范板书] 解法一 由x-y+1=0得A(-1, 0).
又由PA=PB知点P为AB中垂线上 ( http: / / www.21cnjy.com )的点,故B(5, 0),且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补,则斜率互为相反数,故所求直线的斜率为-1, PB直线方程:x+y-5=0.
解法二 y=0代入x-y+1=0,得A(-1, 0).
由解得P(2, 3).
设B(xP, 0),由PA=PB解得xP=5.
由两点式=,
整理得PB直线方程为x+y-5=0.
[题后反思] 求直线的方程,只需两个基本量,可以是点和斜率,也可以是两个点.
变式 在△ABC中,已知点A(5, -2), B(7, 3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上.
(1) 求点C的坐标. (2) 求直线MN的方程.
【处理建议】 从AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,可以利用中点坐标公式表示出M点的横坐标和N点的纵坐标,即得.
解 (1) 设点C(x, y),由题意得=0, =0,得x=-5, y=-3.故所求点C的坐标是(-5, -3).
(2) 点M的坐标是,点N的坐标是(1, 0),直线MN的方程是=,
即5x-2y-5=0.
[题后反思] 已知两点,可以用两点式建立方程,也可以先求出斜率,再用点斜式建立方程.
【例2】 已知△ABC的三个顶点是A(3, -4), B(0, 3), C(-6, 0),求它的三条边所在的直线方程.
【处理建议】 一条直线的方 ( http: / / www.21cnjy.com )程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时,应根据题目所给的条件恰当选择某种形式,使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上,点C在x轴上,于是BC边所在的直线方程用截距式表示,AB所在的直线方程用斜截式的形式表示,AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可,最后为统一形式,均化为直线方程的一般式.
解 如图2,因△ABC的顶点B与C的坐标分别为(0, 3)和(-6, 0),故B点在y轴上,C点在x轴上,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
即直线BC在x轴上的截距为-6,在y轴上的截距为3,利用截距式,直线BC的方程为+=1,化为一般式为x-2y+6=0.由于B点的坐标为(0, 3),故直线AB在y轴上的截距为3,利用斜截式,得直线AB的方程为y=kx+3.
又由顶点A(3, -4)在其上,所以-4=3k+3.故k=-.
于是直线AB的方程为y=-x+3,化为一般式为7x+3y-9=0.
由A(3, -4)、 C(-6, 0),得直线AC的斜率kAC==-.
利用点斜式得直线AC的方程为y-0=-(x+6),化为一般式为4x+9y+24=0.
也可用两点式,得直线AC的方程为=,再化简即可.
[题后反思] 本题考查了求直线方程的基本方法.
变式 已知直线l与直线3x+4y-7=0的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,求直线l的方程.
[处理建议] 倾斜角相等,斜率也相等,所以直线l的方程可以用3x+4y+c=0表示.
解 设直线l的方程为3x+4y+c=0.
令x=0,则y=-;令y=0,则x=-.
由题意得·=24,
∴ c2=242, ∴ c=±24.
∴ 直线l的方程为3x+4y±24=0.
[题后反思] 求直线与两坐标轴围成的三角形的面积,只需求出直线在两坐标轴上的截距,截距的绝对值即为两直角边的长.
【例3】 过点A(3, -1)作直线l交x轴于B点,在第一象限内交直线l1:y=2x于C点,且BC=2AB,求直线l的方程.
[处理建议] 引导学生分析各式子的特点,画出图形.直线l过定点A(3, -1),可设直线l的方程为点斜式,再用另外条件求斜率k即可.
解 当k不存在时,B(3, 0), C(3, 6), BC=6, AB=1,不合题意.
设直线l:y+1=k(x-3),由题意,k≠0且k≠2, ∴ B.
由
得C.又BC=2AB,
∴ =2,得k=-.
∴ l的方程为3x+2y-7=0.
[题后反思] 已知点利用点斜式求直线时,要验证斜率k不存在的情况.
变式 已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为,求直线l的方程.
[处理建议] 根据题目的条件,可以用斜截式,也可以用截距式来设直线l的方程,再利用其它条件求待定的参数.
解法一 设所求直线l的方程为y=kx+b.
∵ k=6, ∴ 方程为y=6x+b.
令x=0, ∴ y=b,与y轴的交点为(0, b);
令y=0, ∴ x=-,与x轴的交点为.
根据勾股定理得+b2=37,
∴ b=±6.因此直线l的方程为y=6x±6.
解法二 设所求直线为+=1,则与x轴、y轴的交点分别为(a, 0), (0, b).
由勾股定理知a2+b2=37.
又k=-=6,解得
a=1, b=-6或a=-1, b=6.
因此所求直线l的方程为x+=1或-x+=1,即6x-y±6=0.
[题后反思] 求直线的方程,根据不同条件选取恰当的参数设直线的方程,可以简化计算.
【例4】 已知点P(2, -1).
(1) 求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.
(2) 求过点P且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少
(3) 是否存在过点P且与原点距离为6的直线 若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.[2]
[处理建议] 第(1)问在已知 ( http: / / www.21cnjy.com )直线过定点的前提下,只需确定直线的倾斜程度即可;第(2)问对最值的理解可从“代数”与“几何图形”两方面加以分析和描述;第(3)问在反思第(2)问的基础上加以解决.
解 (1) 过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2, -1),可见,过P(2, -1)且垂直于x轴的直线满足条件.
此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
由已知,得=2,解得k=.
此时l的方程为3x-4y-10=0.
综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2) 作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,
由l⊥OP,得klkOP=-1,
所以kl=-=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),
即2x-y-5=0.
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为=.
(3) 由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过的直线,因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.
[题后反思] 解决直线的相关问题可从几何图形入手,利用作图确定分类的依据;利用图形间的特殊位置关系分析代数式取最值时的情况.
二、 课堂练习
1. 直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是 ∪ .
解析 设直线的倾斜角为θ,
则tanθ=-cosα.又-1≤cosα≤1,
∴ -≤tanθ≤. ∴ θ∈∪.
2. 下列四个命题:①经过定点P0(x0, y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;②经过任意两个不同的点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线都可以用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示;④经过定点A(0, b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.其中真命题的序号为 ② .
解析 对命题①④,方程不能表示倾斜角是90° ( http: / / www.21cnjy.com )的直线;对命题③,当直线平行于一条坐标轴时,则直线在该坐标轴上截距不存在,故不能用截距式表示直线.只有②正确.
3. 求过点P(-5, -4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.
解析 设所求直线方程为+=1.直线过点P(-5,- 4),即+=1.
又由已知可得, |a||b|=5即|ab|=10,联立方程解方程组得
解得,或故所求直线方程为+=1或+=1.
即8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.
4. 过点A(0, 1)做一直线l,使它夹在直线l1: x-3y+10=0和l2: 2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.
解析 当l的斜率不存在时,方程为x=0,容易验证不合题意.设所求的直线方程为y=kx+1.
解方程组得P;
解方程组得Q.
∵ A为PQ的中点, ∴ =0.
解得k=-.直线l的方程为y-1=-x,即x+4y-4=0.
三、 课堂小结
在解答有关直线的问题时,要注意:
1. 在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次是倾斜角的范围.
2. 在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况.
3. 在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意检验斜率不存在的情况,防止丢解.
4. 要灵活运用中点坐标公式,在解决有关对称问题时可以简化运算.
5. 在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时,要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法.
第13课时 圆的标准方程
教学过程
一、 问题情境
(教材P108例2)已知隧道的截面(如图1)是半径为4m的半圆,车辆只能在道
(图1)
路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道
二、 数学建构
问题1 如何判断货车能否驶入这个隧道
(根据生活经验,引导学生说出:在离隧道中心线2.7m处,求出隧道的高度,再与货车的高度相比较)
问题2 要想求出离隧道中心线2.7m处隧道的高度,必须知道什么呢
(引导学生去建立圆的方程)
问题3 如何写出这个半径为4m的半圆所在的圆的方程呢
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
要求圆的方程,需要建立适当的直角坐标系,并求出圆上任意一点P(x, y)所满足的关系式.
第一步 以截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径所在直线为x轴,建立直角坐标系.
第二步 根据圆的定义,圆上任意一点P(x, y)到圆心的距离等于半径,得
=4,
即x2+y2=16.
将x=2.7代入,得
y==<3,
即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道.
问题4 在上面的问题中,如果半径为r,那么这个圆的方程又是什么呢
(引导学生从特殊向一般过渡)
问题5 在上面的问题中,如果半径为r,圆心坐标变成(a, b),那么这个圆的方程又是什么呢
(引导学生利用类比的思想推导圆的标准方程)
经过探究,得出圆的标准方程.
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
叫做以(a, b)为圆心,r为半径的圆的标准方程.
特别地,当圆心为原点O(0, 0)时,圆的方程为
x2+y2=r2(r>0).
问题6 如果刚才不是以原点为圆心,以(1, 2)为圆心,那么圆的方程又是什么呢
答 (x-1)2+(y-2)2=16
(进一步熟悉和巩固圆的标准方程)
三、 数学应用
【例1】 (教材P108例1)求圆心是C(2, -3),且经过原点的圆的方程.[3]
[处理建议] 根据圆的标准方程的形式,提问学生本题还缺少什么
[规范板书] 解 因为圆C经过原点,所以圆C的半径是
r==,
因此,所求圆的方程是
(x-2)2+(y+3)2=13.
[题后反思] 求圆的标准方程,即寻找圆的圆心坐标和半径,要注意结果中等号的一边是r2,在书写时可能会写成r,忘记平方.
变式1 求以点A(1, 2)为圆心,并且和x轴相切的圆的方程.
[处理建议] 本题要求圆的方程,缺少的是半径,那么和x轴相切指的是什么意思呢 引导学生分析这句话,寻找解题的突破口.
解 ∵ 圆与x轴相切,
∴ 该圆的半径即为圆心A(1, 2)到x轴的距离2.
所以圆的标准方程为:(x-1)2+(y-2)2=4.
变式2 已知两点A(4, 9), B(6, 3),求以线段AB为直径的圆的方程.
[处理建议] 先让学生思考,再问学生 ( http: / / www.21cnjy.com )本题要求圆的方程,根据已经学过的知识,需要什么条件呢 引导学生求出圆心和半径,对圆的标准方程有一个加深认识的作用.
解 ∵ AB为直径,
∴ AB的中点C为该圆的圆心,即C(5, 6),
又∵ AB===2,
∴ r==,
∴ 圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10.
变式3 直线y=2x-4与两坐标轴相较于A, B两点,O为原点,求△AOB的外接圆的方程.
[处理建议] 这个问题是变式2的延续,引导学生发现△AOB是直角三角形,AB就是圆的直径,那么该问题就同变式2了.
解 ∵ ∠AOB=90°, ∴ AB就是圆的直径,
∵ A, B的坐标分别为(2, 0), (0,-4),
∴ AB的中点C为该圆的圆心,即C(1,-2),
又∵ AB===2,
∴ r==,
∴ 圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.
【例2】 圆心在直线2x-3y-1=0上的圆与x轴交于A(0, 0), B(4, 0)两点,求该圆的方程.[4]
[处理建议] 让学生讨论,再提问学生,由学生总结解题的思路.本题突出圆中非常重要的定理,即垂径定理的应用,圆心在弦的垂直平分线上.
[规范板书] 解 ∵ 圆与x轴交于A(0, 0), B(4, 0)两点,
∴ 线段AB的垂直平分线x=2过所求圆的圆心,
∵ 圆心在直线2x-3y-1=0上,
∴ 由得即圆心坐标为C(2, 1),
∵ r=AC==,
∴ 圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
[题后反思] 圆经过两个 ( http: / / www.21cnjy.com )点,圆与直线相交于两点等问题,基本都会与垂径定理有关,一般都会利用圆心在弦的垂直平分线上的结论,来确定圆心的位置,求出圆心的坐标.
变式1 圆心在直线2x-3y-1=0上的圆与两坐标轴都相切,求该圆的方程.
[处理建议] 让学生画图,感受圆与两坐标轴都相切的意义,从中寻找解题突破口.
解 因为圆与两坐标轴都相切,所以圆心的横坐标与纵坐标的绝对值相等,且半径为横坐标或纵坐标的绝对值.
不妨设圆心坐标为(a, a)或(a, -a),半径r=|a|,
∵ 圆心在直线2x-3y-1=0上,
∴ 当圆心为(a, a)时,由2a-3a-1=0得a=-1,则圆的标准方程为:(x+1)2+(y+1)2=1,
当圆心为(a, -a)时,由2a+3a-1=0得a=,则圆的标准方程为:+=.
变式2 已知圆与直线x+y-3=0相切于点(1, 2),且圆心在y轴上,求该圆的方程.
[处理建议] 回顾初中平面几何中圆的切线的性质,利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上的结论,确定圆心的坐标,这是圆中的典型问题.
解 设与直线x+y-3=0垂直的直线为x-y+m=0.
因为该直线过点(1, 2),所以1-2+m=0,得m=1,则该直线方程为x-y+1=0,
由切线的性质,圆心在直线x-y+1=0上.
又因为圆心在y轴上,所以圆心为(0, 1),而半径r==,
∴ 圆的标准方程为x2+(y-1)2=2.
【例3】 已知以点C(a>0)为圆心的圆与x轴交于点O, A,与y轴交于点O, B,其中O为原点.
(1) 求证:△OAB的面积为定值.
(2) 若圆C上任意一点关于直线y=-2x+4的对称点仍然在圆C上,求圆C的方程.[5]
[处理建议] 问题(1) ( http: / / www.21cnjy.com )抓住△OAB是直角三角形,圆心是AB的中点;(2)引导学生理解“圆C上任意一点关于直线y=-2x+4的对称点仍然在圆C上”的几何意义,即圆心在直线上.
[规范板书] 解 (1) 因为∠AOB=90°,所以AB为圆C的直径,点C为AB的中点.
所以OA=2a, OB=,从而S△ABC=×2a×=4.
(2) 由题意直线y=-2x+4经过点C,
所以=-2a+4,得a=1,及C(1, 2), r=OC=,
所以圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
[题后反思] 看到诸如“圆上任意一点的对称点仍然在圆上”、“一条直线平分圆的面积或周长”等语句,即提供我们圆心在这条直线上的条件.
四、 课堂练习
1. 写出下列各圆的方程:
(1) 圆心在原点,半径为4.
(2) 经过P(-1, 3),圆心为C(0, 2).
解 (1) x2+y2=16.
(2) x2+(y-2)2=2.
2. 求以点C(-5, -1)为圆心,并且和x轴相切的圆的方程.
提示 (x+5)2+(y+1)2=1,半径等于纵坐标的绝对值.
3. 求以C(3, -5)为圆心,且和直线3x-4y-4=0相切的圆的方程.
提示 (x-3)2+(y+5)2=25.半径为点到直线的距离,故r==5.
4. 已知圆C: (x-1)2+(y+1)2=2,求过圆上的点O(0, 0)且与该圆相切的直线方程.
提示 因为所求直线l是圆的切线,所以kl·kOC=-1.
因为C点坐标为(1, -1),所以kOC=-1,所以kl=1,所以直线l的方程为y=x.
五、 课堂小结
1. 根据圆的定义,按建系→设点→找等量关系→列等式的步骤求出圆的方程,这也是今后求点的轨迹的一般方法.
2. 确定圆的标准方程的思想方法,即抓住圆的两要素,求出圆心坐标和半径.
3. 求圆的方程常用的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法.
4. 本节课重点体现了数形结合的数学思想.
第14课时 圆的一般方程
教学过程
一、 问题情境
我们前面已经学过了二元一次方程Ax+ ( http: / / www.21cnjy.com )By+C=0(A, B不全为0),我们知道它表示的是一条直线,但在我们生活中显然还会有其他方程,你能举一些例子吗
(这是一个开放问题,学生肯定会先想到圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的标准方程,教师要肯定,再追问还有其他的形式吗 学生一定会列举出很多方程,会有椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程等等,教师应该进行分类,告诉学生在今后会去一一研究,今天先研究其中相对较简单的二元二次方程.)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 下列方程分别表示什么曲线
(1) x2+y2-4x+6y-3=0.
(2) x2+y2-4x+6y+13=0.
(3) x2+y2-4x+6y+16=0.
(该问题要灵活对待,如果学生在前面已经列 ( http: / / www.21cnjy.com )举出很好的方程,就用学生列举的方程.学生不知道它表示什么曲线,一定会用学过的知识来解决,必定想方设法转化为学过的方程,体现化归思想.)
问题2 你觉得它们可能是什么曲线呢
(引导学生明确研究的方向,向圆的标准方程靠拢)
问题3 如果它们表示圆的话,根据我们上一节课所学的内容,它的左边应该是什么形式呢
(引导学生回忆圆的标准方程的特征)
问题4 你会将上面的一组方程转化为圆的标准方程的形式吗
(引导学生用配方法将上面方程进行转化)
将上面方程的左边配方为:
(1) (x-2)2+(y+3)2=16.
(2) (x-2)2+(y+3)2=0.
(3) (x-2)2+(y+3)2=-3.
问题5 你现在能分别说出它们表示的是什么曲线吗
其中(1)表示的以(2, -3)为圆心,4为半径的圆;(2)表示的是一个点(2, -3);(3)不成立,不能表示任何曲线.
问题6 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的又是什么曲线吗
(引导学生从特殊向一般过渡)
把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得,+=.
(1) 当D2+E2-4F>0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;
(3) 当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
经过探究,得出圆的一般方程.
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
叫做圆的一般方程,其中圆心为,半径为.
(二) 理解概念
问题7 圆的一般方程有什么特点呢
(引导学生归纳)
① x2和y2前面的系数相等,且都不为0,没有xy这样的二次项;
② 圆的一般方程中有三个特定的系数D, E, F,所以只要求出这三个系数,圆的方程就确定了;
③ 与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.
三、 数学应用
【例1】 (教材P109例3)已知△ABC顶点坐标为A(4 , 3), B(5, 2), C(1, 0),求△ABC外接圆的方程.[3]
[处理建议] 根据已经学过的知识,圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )方程有两种形式,让学生选择用哪一种方程 让学生在下面书写,教师可以找出用不同方式解题的同学上黑板板演.教师对此都给予肯定.最后再由学生归纳解题心得.
[规范板书] 解法一 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆过点A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0),则有
,得
故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.
解法二 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
因为圆过点A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0),则有
,得
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
解法三 线段AC的垂直平分线方程为x+y-4=0.
线段BC的垂直平分线方程为2x+y-7=0.
由得即圆心为(3, 1),
所以r==.
故所求圆的方程为:(x-3)2+(y-1)2=5.
[题后反思] 从解题过程来看,解法一更直接, ( http: / / www.21cnjy.com )计算更简单一点.圆的方程有两种,通常在求圆心坐标和半径方便时用标准方程,在已知圆三个点时通常用一般方程求解.
问题8 通过刚才的例1,你能归纳用待定系数法求圆的方程的步骤吗
(1) 根据已知条件,选择标准方程或一般方程.
(2) 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组.
(3) 解出a, b, r或D, E, F,代入标准方程或一般方程.
变式 已知函数y=x2-2x-3与x轴交于A, B两点,与y轴交于C点,求△ABC外接圆的方程.
[处理建议] 本题和例1有相似的地方,都是已知三点的坐标求圆的方程,仍然要求学生尝试用两种方法解决本题,并比较在本题中用哪一种方法更好.
解 函数y=x2-2x-3与坐标轴的交点为A(-1, 0), B(3, 0), C(0, -3).
方法一: 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆过点A(-1, 0), B(3, 0), C(0, -3),则有
得
故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-3=0.
方法二: AB的垂直平分线为直线x=1, BC的垂直平分线为直线y=-x,
则直线x=1与直线y=-x的交点就是圆心(1, -1), r==,
所以△ABC外接圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
【例2】 求圆x2+y2-2x+2y+1=0关于直线x-y+3=0对称的图形的方程.[4]
[处理建议] 先要求学生分析方 ( http: / / www.21cnjy.com )程是什么曲线 再问学生要求这样的曲线必须知道哪些条件 根据已知条件能解决吗 本题目的是让学生根据圆的一般方程能熟练地写出它的圆心坐标和半径,进一步熟悉圆的一般方程与圆的标准方程之间的联系.
[规范板书] 解 由圆的方程x2+y2-2x+2y+1=0得圆心坐标为O(1, -1),半径r=1.
因为所求的图形也是圆,且它的圆心O'(a, b)与O(1, -1)关于直线x-y+3=0对称,半径r'=r=1.
由
得即O'(-4, 4).
所以圆的方程为(x+4)2+(y-4)2=1.
[题后反思] 在利用圆心横坐标为-,纵坐标为-的结论时,学生经常会将符号遗漏,而半径为的结论也会记不清,所以可以让学生不去死记硬背,而是学会用配方的方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程,再得出圆心坐标和半径.
变式 (2010年广东卷改编)若圆O的方程为x2+y2+Dx+F=0,半径为,位于y轴右侧,且与直线x+2y=0相切,求圆O的方程.
[处理建议] 要解决本题,只需要求出其中待定的系数D和F,而已知恰好是两个条件,只要根据这两个条件列出D和F的方程组即可.本题还是让学生熟练运用“圆心为半径为”的结论.本题还有另一个用意,要学生能透过现象看本质,“圆O的方程为x2+y2+Dx+F=0”这句话的本质是圆心为(a, 0),用标准方程更方便.如果学生想不到,老师可以引导.
解 方法一: 由题意,圆心为,半径为,则
=, =,得D=-10(正值舍去), F=20.
所以圆的方程为:x2+y2-10x+20=0.
方法二:由题意设圆心为(a, 0),因为与直线x+2y=0相切,
所以=,得a=5(负值舍去),
所以圆的方程为:(x-5)2+y2=5.
*【例3】 (教材P110例4)某 ( http: / / www.21cnjy.com )圆拱梁的示意图如图1,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.(精确到0.01m)[5]
(图1)
[处理建议] 若能够知道该圆拱所在的圆的方程,问题就变得很简单了,所以,我们联想到建立相应的直角坐标系,将问题转化为求圆的方程.
[规范板书] 解 以线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系(图2),那么点A, B, P的坐标分别为A(-18, 0), B(18, 0), P(0, 6).
设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A, B, P在所求的圆上,故有
得
所以圆拱所在的圆的方程为x2+y2+48y-324=0.
将点P2的横坐标x=6代入圆方程,解得y=-24+12≈5.39(舍去负值).
答 支柱A2P2的长约为5.39m.
(图2)
[题后反思] 本题的关键利用图形建立直角坐标系,求出圆拱所在圆的方程,用代数的方法研究几何问题,这里体现了数形结合的思想.
变式 (教材P112第11题改编)河道上有一座圆拱桥,在正常水位时拱圈最高点距水面为5m,拱圈内水面宽为20m,一条船在水面以上部分高为3m,船宽为8m(如图3,船近似地看成矩形),故通行无阻,近日水位涨了1.5m,为此,必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:船身应该降低多少 (精确到0.01m, ≈23.68)
[处理建议] 本题主要进一步强化用代数的方法研究几何问题的思想,即解析思想.
(图3) ( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
[规范板书] 解 建立直角坐标系如图4,那么点A, B, P的坐标分别为A(-10, 0), B(10, 0), P(0, 5).
设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A, B, P在所求的圆上,故有
得
所以圆拱所在的圆的方程为:x2+y2+15y-100=0.
将点P2的横坐标x=4代入圆方程,解得y=≈4.34(舍去负值).
故当水位涨了1.5m后,船身应该降低3-(4.34-1.5)=0.16(m).
答 船身应降低0.16m,才能通过桥洞.
四、 课堂练习
1. 下列方程各表示什么图形 若表示圆,则求出其圆心和半径:
(1) x2+y2-4y=0.
(2) x2+y2-2x-4y+5=0.
解 (1) 表示圆,圆心(0, 2),半径5;
(2) 因为(-4)2+(-2)2-4×5=0,所以不表示圆,表示点(1, 2).
2. 若圆x2+y2-2x+4my+m2=0的圆心在直线x+y+2=0上,求该圆的半径.
解 圆心坐标为(1, -2m),因为圆心在直线x+y+2=0上,
所以1-2m+2=0,得m=,
所以半径==.
3. 若直线x+y=0将圆C:x2+y2+2x+2ay+a2=0的面积两等分,求圆C的半径.
提示 “直线x+y=0将圆C:x2+y2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )x+2ay+a2=0的面积两等分”即圆心在直线上,故可以求出a的值,再利用半径公式求出半径.答案为1.
4. 求经过点A(6, 0), B(-4, 2), C(5, -1)的圆的方程.
提示 设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆经过点A(6, 0), B(-4, 2), C(5, -1),将三个坐标代入圆的方程,列出方程组,解出其中的待定系数即可.
答案为x2+y2-3x-7y-18=0.
五、 课堂小结
1. 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F>0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
2. 利用配方法将圆的一般方程转化为圆的标