《新学案》2015年春高中数学苏教版必修二名师导学：第一章 立体几何初步（含解析）
文档属性
| 名称 | 《新学案》2015年春高中数学苏教版必修二名师导学：第一章 立体几何初步（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-20 22:25:19 | ||
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文档简介
第 1 章 立体几何初步
第1课时 棱柱、棱锥和棱台
教学过程
一、 问题情境
1. 阅读章头图和本章引言.
2. 结合问题导引1给出多个建筑的图片,让学生归类.
二、 数学建构
问题1 把一支粉笔贴在黑板上,沿垂直于粉笔的方向平移,留下怎样的痕迹
问题2 把一张矩形纸片放在课桌上,向上平移,形成怎样的图形
问题3 仔细观察图1中的几何体,说说它们的共同特点和它们是怎样形成的
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
通过讨论,给出棱柱的概念:
1. 一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱.
2. 用电脑演示平移多边形生成几何体的过程.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
3. 结合模型介绍:
( http: / / www.21cnjy.com )(图3) ( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
(1) 棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点.
(2) 棱柱的分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱.
(3) 棱柱的表示方法:棱柱ABC-A'B'C',棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'.
(4) 棱柱的特点:①两个底面多边形间的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系 (全等) ②上下底面对应边间的关系 (平行且相等) ③侧面是什么平面图形 (平行四边形) ④侧棱之间的关系 (平行且相等)
问题4 观察图5、图6中的几何体,前后发生了什么变化
( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
( http: / / www.21cnjy.com )(图6)
通过讨论,类比给出棱锥的概念:
1. 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥.
2. 结合模型介绍:
( http: / / www.21cnjy.com )(图7)
(1) 棱锥的底面、侧面、棱、侧棱、顶点.
(2) 三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥.
(3) 棱锥的表示方法:如:棱锥S-ABCD.
(4) 棱锥的特点:底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等),侧面是有一个公共顶点的三角形.
问题5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到怎样的两个几何体
( http: / / www.21cnjy.com )(图8)
1. 棱台的概念:棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分叫做棱台.
2. 结合模型(由学生通过类比给出以下概念)
(1) 棱台的上底面、下底面、侧面、棱、侧棱、顶点.
(2) 三棱台、四棱台、五棱台、六棱台.
(3) 棱台的表示方法.
(4) 棱台的特点:①上下底面平行,对应边成比例; ②侧棱延长后交于一点.
思考 如图9所示的几何体是不是棱台 为什么
( http: / / www.21cnjy.com )(图9)
问题6 棱柱、棱锥、棱台与球有何不同
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体有几个面就称为几面体.
如:三棱锥是四面体,四棱柱是六面体.
思考 (教材P8练习第4题)多面体至少有几个面 这个多面体是怎样的几何体
( http: / / www.21cnjy.com )(图10)
三、 数学运用
【例1】 下列几何体是棱柱的有 ①③ (填序号).
( http: / / www.21cnjy.com )(图11)
解析 棱柱的结构特征有三方面:有两个面互相 ( http: / / www.21cnjy.com )平行;其余各面都是平行四边形;这些平行四边形面中,每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时,这个几何体才是棱柱.很明显,几何体②④⑤⑥均不符合,仅有①③符合.
变式 如图12,下列几何体是棱台的为 ③ .
( http: / / www.21cnjy.com )(图12)
解析 由棱台的定义知,棱台的上底面必须与下 ( http: / / www.21cnjy.com )底面平行,且侧棱延长后交于同一点.①中侧棱延长后不能交于同一点,②中上底面不平行于下底面,故①②都不是棱台.③符合棱台的定义与结构特征.
[题后反思] (1)判断一 ( http: / / www.21cnjy.com )个几何体是何种几何体,一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征,注意定义中的特殊字眼,切不可马虎大意.(2)本题容易错认为几何体②也是棱柱,其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征,避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比,并且和图形对应起来记忆,要做到看到文字叙述就想到图,看到图形就想到文字叙述.
【例2】 根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称:
(1) 由6个平行四边形围成的几何体.
(2) 由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形.
(3) 由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.
[处理建议] 引导学生:审题→想象→对比定义→解答.
[规范板书] 解 (1) 这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱.
(2) 这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面.
(3) 这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面.
[题后反思] 认识、判断一个几何体的结 ( http: / / www.21cnjy.com )构特征,主要从它的侧面、侧棱、底面、顶点等角度描述,因此只有理解并掌握好各几何体的概念,才能认清各几何体的属性.注意判断时要充分发挥空间想象能力,必要时做几何模型,通过演示进行准确判断.
变式 观察图13,分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对.
( http: / / www.21cnjy.com )(图13)
[处理建议] 引导学生转换底面考查.
[规范板书] 解 图13①中有1对 ( http: / / www.21cnjy.com )互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面.图13②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面.
【例3】 画一个三棱柱和一个四棱台.
[处理建议] 教师示范,分别按照棱柱、棱台的画法步骤画出三棱柱和四棱台.
[规范板书] 解 (1) 画三棱柱可分以下三步完成:
第一步,画上底面——画一个三角形;
第二步,画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段;
第三步,画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图14所示).
(图14)
(2) 画四棱台可分以下三步完成:
第一步,画一个四棱锥;
第二步,在它的一条侧棱上取一点,然后从这点开始,顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段;
第三步,将多余的线段擦去(如图15所示).
(图15)
[题后反思] (1)平面几何中,虚 ( http: / / www.21cnjy.com )线表示作的辅助线,但在空间图形中,虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时,被遮挡的线作成虚线,看得见的线仍作成实线.(2)作图时要使用铅笔、直尺等,力求准确.
变式 画一个六面体.
(1)使它是一个四棱柱.(2)使它是由两个三棱锥组成.(3)使它是五棱锥.
[规范板书] 解 如图16所示.(1)是一个四棱柱.(2)是一个由两个三棱锥组成的几何体.(3)是一个五棱锥.
( http: / / www.21cnjy.com )(图16)
*【例4】 设计一个平面图形,使它能够折成一个侧面与底面都是正三角形的三棱锥.
[规范板书] 解
( http: / / www.21cnjy.com )(图17)
四、 课堂练习
1. 四棱柱共有 6 个面,共有 4 条侧棱.
解析 四棱柱有上、下两个底面和四个侧面,共六个面,有四条侧棱.
2. 下列说法中,正确的是 ④ (填序号).
① 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面;
② 在平行六面体中,任意两个相对的面均互相平行,但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面;
③ 棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形;
④ 在棱柱的面中,至少有两个面互相平行.
解析 ①中,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行 ( http: / / www.21cnjy.com ),但不是棱柱的底面;②中,平行六面体任意两个相对的面一定可当作它的底面;③中,平行六面体的侧面是平行四边形,底面也是平行四边形;④中,棱柱中至少有两个底面互相平行,故填④.
3. 对于棱柱,下列说法中正确的是 ④ (填序号).
① 只有1对面互相平行;
② 所有的面都是平行四边形;
③ 侧面可以是三角形;
④ 两个底面平行且各侧棱也平行.
解析 对于①,长方体是棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com ),有3对面互相平行,所以①不对;对于②,三棱柱有两个面是三角形,所以②不对;对于③,根据棱柱的定义知,棱柱的侧面都是平行四边形,所以③不对;对于④,根据棱柱的定义知,两底面平行,侧面是平行四边形,侧棱为平行四边形的对边,所以侧棱平行,故④正确.
4. 棱台不具有的性质是 ③ (填序号).
①两底面相似;②侧面都是梯形;③侧棱都平行;④侧棱延长后都交于一点.
解析 由棱台的定义可知,棱台的侧棱不互相平行.
五、 课堂小结
1. 本节课学习了棱柱、棱锥和棱台的概念,以及棱柱、棱锥和棱台示意图的画法.
2. 棱柱、棱锥和棱台有怎样的辩证关系 (引导学生用运动变化、类比联想的观点来分析.)
3. 空间图形中,实线和虚线分别表示什么 作辅助线时,要注意什么
第2课时 圆柱、圆锥、圆台和球
教学过程
一、 问题情境
1. 复习棱柱、棱锥、棱台的有关概念.
小结:移——缩——截.
2. 旋转会产生什么样的结果呢
仔细观察下面的几何体,它们有什么共同特点或生成规律
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 这类几何体往往可 ( http: / / www.21cnjy.com )以在车床上通过旋转切割加工得到,它们都可以看成由一个平面图形绕一条直线旋转而生成的.你能想象它们分别是什么平面图形通过旋转而生成的吗
(1) 教师完成圆柱相关信息的填写,引导学生自主完成其他信息的填写.
名称 定 义 相 关 概 念 图 形 表 示 法
圆柱 以 矩形一边 所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的 旋转体 叫做圆柱. 轴: 旋转轴 叫做圆柱的轴;底面: 垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直于轴 的边旋转而成的 圆面 叫做圆柱的底面;侧面: 平行于轴 的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不 垂直于轴 的边都叫做圆柱侧面的母线. ( http: / / www.21cnjy.com ) 圆柱用 表示它的轴的字母 表示,左图中圆柱表示为圆柱OO'.
圆锥 以直角三角形的 直角边 所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 圆锥 . 轴: 旋转轴 叫做圆锥的轴;底面: 垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直于轴 的边旋转而成的 圆面 叫做圆锥的底面;侧面:直角三角形的 斜 边旋转而成的 曲面 叫做圆锥的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不 垂直于轴 的边都叫做圆锥侧面的母线. ( http: / / www.21cnjy.com ) 圆锥用 表示它的轴的字母 表示,左图中圆锥表示为 圆锥SO .
圆台 以直角梯形 垂直于底 的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 圆台 . 与圆柱和圆锥一样,圆台也有 轴 、 底面 、 侧面 、 母线 . ( http: / / www.21cnjy.com ) 圆台用 表示它的轴的字母 表示,左图中圆台表示为 圆台OO' .
球 以半圆的 直径 所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. 球心: 半圆的圆心 叫做球的球心;半径: 半圆的半径 叫做球的半径;直径: 半圆的直径 叫做球的直径. ( http: / / www.21cnjy.com ) 球常用 表示球心的字母 表示,左图中的球表示为 球O .
(2) 结合图形提炼轴、底面、侧面、母线等概念.
(3) 思考:圆柱、圆锥、圆台之间有何关系 (引导学生从概念的形成和结构特征来分析三者之间的关系)
(二) 理解概念
问题2 根据“球”的定义,乒乓球是“球”吗
(1) 数学中的球,是球体的简称,它包括球面及其所围成的空间部分.所以生活中的乒乓球不是数学中的球,而是球面.
(2) 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的曲面叫做球面,球面围成的几何体叫做球体.
(3) 类比圆的定义:球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.
问题3 等腰梯形旋转能形成圆台吗 [1]
解 等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴,各边旋转半周所形成的曲面围成的几何体是圆台.
引出旋转面和旋转体的概念:一般地, ( http: / / www.21cnjy.com )一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
(三) 巩固概念
(教材P10练习3)充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成
答 圆.
三、 数学运用
【例1】 下列叙述中正确的个数为 0 .
① 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥;
② 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台;
③ 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④ 用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
[规范板书] 解 ①以直角三角形的一条直 ( http: / / www.21cnjy.com )角边所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面,而不是圆;④用平行于圆锥底面的平面截圆锥,才可以得到一个圆锥和一个圆台.
[题后反思] (1)旋转体的形状关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是看平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同.如:直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成圆锥,若按斜边所在的直线旋转一周,则形成两个对底的圆锥.(2)对于与概念有关的命题的判断,一般情况下,要逐字逐句品读,与概念不一样的叙述,以及多字、少字转换的命题多是不正确的.
变式 下列命题中,正确命题的个数是 4 .
① 圆柱的轴经过上、下底面的圆心,并且垂直于底面;
② 圆柱的母线长都相等,并且都等于圆柱的高;
③ 平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆;
④ 经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形,这个矩形的一组对边是母线,另一组对边是底面圆的直径.
解 由圆柱的结构特征易知这四个命题都正确.
【例2】 如图2所示,画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体,并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
[处理建议] 由折点向旋转轴作垂线,可得图形.
解 如图3所示,(1)是由圆锥、圆柱组合而成的.(2)是由圆锥、圆柱组合而成的.
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
[题后反思] 旋转体的形成要特别注意旋转前的平面几何图形的形状,以及绕的是哪条轴,轴不一样,得到的旋转体形状也不一样.
(图4)
变式 一直角梯形ABCD如图4所示,分别以AB, BC, CD, DA所在的直线为轴旋转,画出所得几何体的大致形状.
解 如图4所示
( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
【例3】 (教材P10例2)指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的
( http: / / www.21cnjy.com )(图6)
*【例4】 如图是一个由圆台和球构成的组合体,试指出这个几何体是怎样生成的,画出这个几何体的轴截面(过轴的截面).
解 如图①所示,这个几何体是由一个半圆和一个直角梯形绕直线m旋转一周生成的,其轴截面如图②所示.
( http: / / www.21cnjy.com )(图7)
[题后反思] 本例旨在研究较复杂的几何体(组合体)是由哪些简单几何体构成的.可以指出我们研究的组合体一般由柱、锥、台和球等几何体组合而成.
四、 课堂练习
1. 指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成
( http: / / www.21cnjy.com )(第1题)
答 图(1)六棱柱和圆柱,图(2)圆台、圆柱和圆锥.
2. 如图,将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的
(第2题)
答 圆锥和圆柱.
五、 课堂小结
1. 本节课学习了圆柱、圆锥、圆台和球的概念.
2. 圆柱、圆锥、圆台和球有怎样的辩证关系.
3. 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台、球都是简单几何体,要能通过分析组合体的结构特征,分辨出组合体是由哪些简单几何体构成的.
第3课时 中心投影和平行投影
教学过程
一、 问题情境
情境:(1) 你熟悉手影表演或皮影戏吗 你知道它们图像的形成原理吗
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
(2) “横看成岭侧成峰”,这句话说明了什么
这种现象我们把它称为投影,投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,并在该面上得到图形的方法.
二、 数学建构
问题1 下列投影有什么不同
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
学生讨论,归纳不同之处:
1. 中心投影的概念,说明中心投影的优、缺点.
2. 平行投影的概念.
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2 只看投影能知道实物的形态吗
由工程图纸引出三视图.
(1) 视图:是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.
(2) 分类:① 正视图(主视图):光线自物体的前面向后投射所得的投影图;
② 左视图:自左向右投射所得的投影,得到的投影图;
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
③ 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图.
(3) 三视图的画法规则
① 正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”;
② 正、左视图都反映物体的高度——“高平齐”;
③ 俯、左视图都反映物体的宽度——“宽相等”.
(4) 三视图的排列顺序:先画正视图,左视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下面.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
三、 数学运用
【例1】 如图4所示,正方体ABCD- ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1中,点M, N分别在棱AA1, CC1上,试作出四边形BMD1N在正方体的面上的投影.
( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
[规范板书] 解 (1) 四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形BMD1N在上、下底面的投影是相同的;由于M, N, D1在下底面ABCD上的投影分别为A, C, D,所以四边形BMD1N在下底面ABCD上的投影为正方形ABCD,同理在上底面A1B1C1D1上的投影为正方形A1B1C1D1,如图5①所示.
(2) D1在侧面BB1C1C上的投影 ( http: / / www.21cnjy.com )为C1, M在侧面BB1C1C上的投影在棱BB1上,所以四边形BMD1N在侧面BB1C1C上的投影如图5②所示;同理在侧面AA1D1D上的投影如图5③所示.
(3) 四边形BMD1N在侧面AA1B1B上的投影如图5④所示;同理在侧面D1DCC1上的投影如图5⑤所示.
[题后反思] 本题要考虑在正方体各个面上的投影,正确作出投影的关键在于找到四边形BMD1N的四个顶点在各个面上的投影.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图6)
变式 如图6所示,E, F分别为正方体面A ( http: / / www.21cnjy.com )DD'A'、面BCC'B'的中心,则四边形BFD'E在该正方体的面上的投影可以是图7中的 ②③ .
解析 四边形BFD'E在正方 ( http: / / www.21cnjy.com )体ABCD-A'B'C'D'的面ADD'A'上的投影是③,同理,在面BCC'B'上的投影也是③.四边形BFD'E在正方体ABCD-A'B'C'D'的面DCC'D'上的投影是②,同理在面ABB'A'、面ABCD、面A'B'C'D'上的投影也是②.
(图7)
【例2】 画出图8中正四棱锥和圆台的三视图.(尺寸不作严格要求)
( http: / / www.21cnjy.com )(图8)
解 正四棱锥的三视图如图9所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(图9)
[题后反思] 在画三视图时,想象几何体 ( http: / / www.21cnjy.com )的后面、右面、下面各有一个屏幕,一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射,我们画的是影子的轮廓.(1)务必做到高平齐,长对正,宽相等.(2)三视图的安排方法是主视图与左视图在同一水平位置,且主视图在左,左视图在右,俯视图在主视图的下方.(3)若相邻两物体的表面相交,则表面的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,不可见轮廓线用虚线画出.(4)物体的三视图中,俯视图尤为重要,画几何体的三视图要求我们有较强的空间想象能力,画完三视图草图后,要再对照实物图来验证其正确性.
变式 画出图10中几何体的三视图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图10)
[处理建议] 学生画,投影点评.
解 图10(1)为正六棱柱,可按棱柱的 ( http: / / www.21cnjy.com )画法画出,如图11(1);图10(2)为一个圆锥与一个圆台的组合体,可按圆锥和圆台的三视图画出它的组合形状,如图11(2).
( http: / / www.21cnjy.com )(图11)
【例3】 根据三视图(如图12所示)想象物体原形,指出其结构特征并画出物体的实物草图.
解 该几何体是由一个圆柱和一个底面为正方形的长方体组合而成,且圆柱下底面圆的直径等于长方体底面正方形的边长.
其草图如图13:
( http: / / www.21cnjy.com )(图12) ( http: / / www.21cnjy.com )(图13)
由三视图还原几何体的步骤:
( http: / / www.21cnjy.com )
*【例4】 墙角处有2×2×2(即2层,每层有2×2个正方体)个相同的小正方体堆成
( http: / / www.21cnjy.com )
(图14)
如图所示的立体图形.如果你打算搬走其中部分小正方体,但希望搬完后,它的三视图不变,那么你最多可以搬走 2 个小正方体.
四、 课堂练习
1. 下列关于平行投影与中心投影的叙述正确的有 ①②③ (填序号).
① 平行投影和中心投影是几何体的不同表现形式,在实际问题中可根据需要进行选择;
② 平行投影的投射线互相平行,中心投影的投射线交于一点;
③ 人的视觉和照片都具有中心投影的特点;
④ 太阳光线形成的投影是中心投影.
解析 根据平行投影和中心投影的概念,逐个进行判断.根据中心投影和平行投影的特点可知①②③都是正确的,而太阳光线形成的投影是平行投影.
2. 下列说法中正确的有 ③ (填序号).
① 如果一个几何体的三视图是完全相同的,那么这个几何体是正方体;
② 如果一个几何体的正视图和俯视图都是长方形,那么这个几何体是长方体;
③ 如果一个几何体的三视图都是矩形,那么这个几何体是长方体;
④ 如果一个几何体的正视图和左视图都是等腰梯形,那么这个几何体是圆台.
解析 ①不正确,因为球也是三视图完全相同 ( http: / / www.21cnjy.com )的几何体;②不正确,因为一个横放在水平位置的圆柱,其正视图和俯视图都是矩形;易知③正确;④不正确,因为一个正四棱台的正视图和左视图也可以都是等腰梯形.
3. 两条相交直线的平行投影是 两条相交直线或一条直线 .
解析 借助于长方体模型来判断.如图所示,在长
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题答图)
方体ABCD-A1B1C1D1中,一束平行光 ( http: / / www.21cnjy.com )线从正上方向下照射,则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是一条直线CD,相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.
4. 如图所示的三视图表示的几何体为 圆锥 .
( http: / / www.21cnjy.com )(第4题)
解析 根据得到图形的形状进行判断.
五、 课堂小结
1. 本节课学习中心投影、平行投影和三视图的有关概念,以及三视图的画法.
2. 画三视图应注意:长对正,高平齐,宽相等,被遮挡的轮廓线应画成虚线.
第4课时 直观图画法
教学过程
一、 问题情境
1. 画三视图的基本规律是什么
2. 正投影主要用于绘制三视图,在工程制图中被广泛运用.
下图是采用斜投影和中心投影画出的正方体的直观图,观察它们的特点,你认为用哪一个图作图比较方便
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
二、 数学建构
问题1 你会选择三视图画直观图吗
(三视图的直观性较差,因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.)
问题2 在斜投影和中心投影中你会选择哪一个
(在中心投影中,水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直),但斜的平行线则会相交,交点称为消点.)
问题3 中心投影和平行投影主要应用在哪方面
中心投影主要用于绘画.
平行投影
问题4 如何画好几何体的直观图
下面介绍用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
三、 数学运用
【例1】 (教材P15例1)画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
[处理建议] 教师示范,总结步骤.
解 (1) 如图2①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
(2) 画对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.在x'轴上截取O'B'=O'C'=2cm,在y'轴上截取O'A'=OA,连结A'B', A'C',则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图,如图2②所示.
总结 水平放置的平面图形的直观图斜二测画法:
( http: / / www.21cnjy.com )
变式 画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定).
[规范板书] 解 如图3①所示,在平行四边形上建立坐标系xOy,再建立坐标系x'O'y'.如图3②,在x'轴上截取O'A'=OA, O'B'=OB,在y轴上截取O'D'=OD,过D'点作线段D'C'=DC,且D'C'∥A'B'.连结B'C', A'D',则A'B'C'D'即为 ABCD的直观图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
[理解概念] (1)用斜二测画法画水 ( http: / / www.21cnjy.com )平放置的平面图形的直观图,首先要在平面上建立直角坐标系,一般是利用图形的特性(如对称性)来建立坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上.(2)当已知平面图形中没有互相垂直的线段时,通常过平面图形的顶点作另一线段的垂线,作为x轴和y轴.(3)本题也可以以A为原点,AB所在直线为x轴建系,但要过D作x轴的垂线,以确定D在直观图中的位置D'.
【例2】 画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.
[规范板书] 画法 (1)画轴.画x' ( http: / / www.21cnjy.com )轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°(或135°), ∠x'O'z'=90°.(2)画底面.画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱.过ABCDEF各点分别作z'轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA', BB', CC', DD', EE', FF',都与侧棱等长.(4)成图.顺次连结A'B'C'D'E'F',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正六棱柱的直观图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
[题后反思] (1) 画轴→画底面→画侧棱→成图.
(2) 画法规则可简记为:两轴夹角为45°,竖轴垂直仍不变,平行不变,长度变,横竖不变,纵折半.
变式 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm, 3cm, 2cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
解 (1) 画轴.如图所示,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°, ∠xOz=90°.
(2) 画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A, B, C, D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A, B, C, D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA', BB', CC', DD'.(4)成图.顺次连结A', B', C', D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
【例3】 已知△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为 a2 .
[规范板书] 画△ABC直观图如图6①所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(图6)
则A'D'=a,又∠x'O'y'=45°, ∴ A'O'=a.画△ABC的实际图形.
如图6②所示,AO=2A'O'=a, BC=B'C'=a, ∴ S△ABC=BC·AO=a2.
[题后反思] 在直观图中,原来与轴平行的 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线仍然与轴平行,角的大小一般都改变了,因此在已知直观图而计算原图中的有关数据时,首先要将直观图还原.
*【例4】 如图7①,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O和x'轴垂直,且A'O'=2.则△AOB的边OB上的高为 4 .
[规范板书] 解 过A'作A'H'∥y'轴,交x'轴于H'.在Rt△A'H'O'中,因为A'O'=2, ∠A'H'O'=45°,
( http: / / www.21cnjy.com )① ( http: / / www.21cnjy.com )②(图7)
∴ A'H'=2.
∴ △AOB边OB上的高为4.
四、 课堂练习
1. 下列叙述中正确的个数是 0 .
① 相等的角,在直观图中仍相等;
② 长度相等的线段,在直观图中长度仍相等;
③ 若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行;
④ 若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.
解析 从原图到直观图只能保证平行于 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴、y轴的直线仍平行于x'轴、y'轴,但不能保证平行直线依然平行,平行于x轴的线段长度保持相等,而其他线段则没有类似的规律,故四个命题均为假命题.
2. 用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图,则正五边形的各个角 不全相等 (填“相等”、“不相等”、“不全相等”).
解析 作出直观图可知各个角不全相等.
3. 平面直角坐标系中的点M(4, 4)在直观图中对应点M',则M'的坐标为 (4, 2) .
解析 根据斜二测画法可知M'的坐标为(4, 2).
4. 如图所示是水平放置的三角形的直观图,A'B'∥y轴,则原图中△ABC是 直角 三角形.
(第4题)
解析 ∵ A'B'∥y轴,
∴ ∠B'A'C'=45°,
∴ ∠BAC=90°.即△ABC是直角三角形.
五、 课堂小结
1. 本节课学习了立体几何中直观图的画法——斜二测画法.
2. 用斜二测画法画直观图的规则是什么
第5课时 平面的基本性质
教学过程
一、 问题情境
情境1:平静的水面、平坦的足球场、广阔的草原、平滑的桌面、黑板的表面.
情境2:棱柱的表面,圆柱、圆台的底面.
二、 数学建构
问题1 这些事物给我们一种怎样的印象
(像这些桌面、平静的水面、镜面、黑板面等都给我们以平面的印象)
问题2 平面有什么特征
(总结平面的基本特征:平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空间是无限延展的)
问题3 我们可以用怎样的语言描述平面
1. 平面的表示:
(1) 图形语言:
(图1)
(2) 符号语言:平面通常用希腊字母α, β, γ,…表示,也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面α、平面AC.
问题3-1 直线可以看成是点的集合,那平面能否看成是点的集合 可以用怎样的数学语言描述点、线、面之间的关系 (可以借助集合中的符号表示)
数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达
A∈l 点A在直线l上
A l 点A在直线l外
A∈α 点A在平面α内
A α 点A在平面α外
l α 直线l在平面α内
l α 直线l在平面α外
l∩m=A 直线l, m相交于点A
α∩β=l 平面α、 β相交于直线l
2. 平面的基本性质:
问题4 如何刻画平面的“平”、“没有厚薄”、“无限延展”这些特征
情境3:木工为了检查桌面是否平,常将一把直尺靠放在桌面上,看直尺与桌面之间是否有空隙.
问题4-1 如果一条直线上有两个点在平面内,那么这条直线与这个平面有怎样的位置关系
公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
图形: 符号表示:
(图2) AB α.
情境4:(1) 演示:将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上,试问硬纸板所在平面与桌面有多少个公共点呢 为什么
(2) 将教室的门和门所在的墙面看成两个平面,当门开着时,他们的公共点的分布情况如何
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
图形: 符号表示:
( http: / / www.21cnjy.com )(图3) α∩β=l
且A∈l.
问题4-2 公理2对平面提出了什么样的要求 有何意义
问题5 平面是不是存在呢,如何保证平面的存在
情境5:(1) 两个合页和一把锁就可以将一扇门固定.
(2) 照相机支架只需三条腿就够了.
问题5-1 如何用数学语言描述上述事实
公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
(图4)
用符号表示:C 直线AB 存在唯一的平面α,使得A∈α, B∈α, C∈α.
三、 数学运用
【例1】 下列对平面的描述语句:
① 平静的太平洋面就是一个平面;
② 8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚;
③ 四边形确定一个平面;
④ 平面可以看作空间的点的集合,它是一个无限集.
其中正确的是 ④ (填序号).
解 ① 错误.太平洋面只是给我们以平面的形象,而平面是抽象的,可无限延展的;
② 错误.平面是无大小,无厚薄之分的;
③ 错误.如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面;
④ 正确.平面是空间中点的集合,是无限集.
[题后反思] 要注意平面的以下特点: ( http: / / www.21cnjy.com )(1)平面是平的.(2)平面是没有厚度的.(3)平面是无限延展而没有边界的.(4)平面是由空间点、线组成的无限集合.(5)平面图形是空间图形的重要组成部分.
【例2】 用符号语言表示下列语句:
(1) 点B在平面β内,但在平面α外.
(2) 直线l经过平面β外一点A.
(3) 直线m既在平面α内,又在平面β内,即平面α和β相交于直线m.
解 (1) B∈β,且B α.
(2) A β,且A∈l.
(3) m α, m β,则α∩β=m.
变式 将下列符号语言转化为图形语言:
(1) A α, a α C .
(2) α∩β=a, P α且P β D .
(3) a α, a∩α=A A .
(4) α∩β=a, α∩γ=c, β∩γ=b, a∩b∩c=O B .
( http: / / www.21cnjy.com )
【例3】 (1) 一条直线经过平面内一点与平面外一点,它和这个平面有几个公共点 为什么
[规范板书] 解 这条直线和这个平面只 ( http: / / www.21cnjy.com )有一个公共点.假设这条直线和这个平面有两个公共点.根据公理1可得这条直线上所有的点都在这个平面内,故这条直线过平面外的一点也在这个平面内,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图5)
这与已知矛盾.所以这条直线与这个平面只有一个公共点.
(2) 如图,在正方体ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D-A1B1C1D1中,点M, N, E, F分别是棱CD, AB, DD1, AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D, A, Q三点共线.
[规范解答] 证明 ∵ MN∩EF=Q,∴ Q∈直线MN, Q∈直线EF.
又∵ M∈直线CD, N∈直线AB, CD 平面ABCD, AB 平面ABCD,
∴ M, N∈平面ABCD, ∴ MN 平面ABCD. ∴ Q∈平面ABCD.
同理,可得EF 平面ADD1A1. ∴ Q∈平面ADD1A1.
又∵ 平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
∴ Q∈直线AD,即D, A, Q三点共线.
[题后反思] 1. 公理1 ( http: / / www.21cnjy.com )的作用有三:一是可以用来判定一条直线是否在平面内,即要判定直线在平面内,只需确定直线上两个点在平面内即可;二是可以用来判定点在平面内,即如果直线在平面内、点在直线上,则点在平面内;三是表明平面是“平的”.
2. 公理2的作用有二:一是判定两个平面相 ( http: / / www.21cnjy.com )交,即如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面相交;二是判定点在直线上,即点若是某两个平面的公共点,那么这点就在这两个平面的交线上.
证明多点共线通常利用公理2,即两相交平面交线 ( http: / / www.21cnjy.com )的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图6)
【例4】 如图6,四面体ABCD中,E, G ( http: / / www.21cnjy.com )分别为BC, AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=2∶3, DH∶HA=2∶3,求证:EF, GH, BD交于一点.
[处理建议] 引导学生思考如何证明三线共点,之前是否见过类似的问题
[规范解答] 证明 连结GE ( http: / / www.21cnjy.com ), HF. ∵ E, G分别为BC, AB中点, ∴ GE∥AC. 又∵ DF∶FC=2∶3, DH∶HA=2∶3, ∴ HF∥AC. ∴ GE∥HF,故G, E, F, H四点共面.
又∵ EF与GH不能平行,设EF ( http: / / www.21cnjy.com )∩GH=O,则O∈平面ABD, O∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD, ∴ EF, GH, BD交于一点.
[题后反思] 三线交于一点→点在线上→线为两平面的交线.
四、 课堂练习
1. 用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”: A∈l, l α .
2. 下列叙述中,正确的是(D).
A. ∵ P∈α, Q∈α, ∴ PQ∈α
B. ∵ P∈α, Q∈β,∴ α∩β=PQ
C. ∵ AB α, C∈AB, D∈AB, ∴ CD∈α
D. ∵ AB α, AB β,∴ α∩β=AB
3. 四条线段顺次首尾相接,所得的图形一定是平面图形吗
解析 空间四边形.
五、 课堂小结
1. 平面的概念及其表示方法.
2. 文字语言、图形语言以及符号语言的转化.
3. 平面的性质的三个公理及其作用.
第6课时 空间两条直线的位置关系(1)
教学过程
一、 问题情境
数学实验:研究问题导引1(方法:学生用自己手中的笔作为两条直线摆一摆)
二、 数学建构
问题1 回答问题导引1的问题 并观察,空间两条直线的位置关系有哪些 教室内有哪些直线的实例 它们有什么位置关系
(学生探讨)
归纳得空间两条直线的位置关系有以下三种:
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 同一平面内 1
平行直线 同一平面内 0
异面直线 不同在任何一个平面内 0
可以从两个方面,即是否有公共点和是否共面的角度加以分类,加深认识.
问题2 问题导引2如何解决
(自然引出公理4)
在平面几何中,同一平面内的三条直线a, b, c,如果a∥b且b∥c,那么a∥c,这个性质在空间是否成立呢
观察下面的长方体和圆柱:
( http: / / www.21cnjy.com )(图2) ( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
归纳小结:
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示: a∥c.
思考 经过直线外一点,有几条直线和这条直线平行 (1条)
(求证:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
已知:点P a.
求证:过点P和直线a平行的直线b有且仅有一条.
证明 ∵ P a,
∴ 点P和直线a确定平面α.
在平面α内过点P作直线b与直线a平行(由平面几何知识).
假设过点P还有一条直线c与直线a平行,则
∵ a∥b, a∥c,
∴ b∥c,这与b, c共点P矛盾.
∴ 直线b唯一.
∴ 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行)
三、 数学运用
【例1】 (教材P26例1)如图4,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E, F分别是AB, BC的中点.
求证:EF∥A1C1.
( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
证明 连结AC.在△ABC中,E, F分别是AB, BC的中点,所以EF∥AC.
又因为AA1∥BB1且AA1=BB1, BB1∥CC1且BB1=CC1,
所以AA1∥CC1且AA1=CC1,即四边形AA1C1C是平行四边形.
所以AC∥A1C1,从而EF∥A1C1.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图5)
问题1 在平面中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.这一结论在空间成立吗
引导学生观察图4中的∠BEF和∠B1A1C1的关系归纳:
定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
(1) 要求画出图形并写出已知、求证.
已知:如图5所示,∠BAC和∠B1A1C1 ( http: / / www.21cnjy.com )的边AB∥A1B1, AC∥A1C1,且射线AB与A1B1同向,射线AC与A1C1同向,求证:∠BAC=∠B1A1C1.
对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形,在初中几何中已经证明,下面证明两个角不在同一平面内的情形.
分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1.
因为,AD A1D1,所以AA1D1D是平行四边形,所以AA1 DD1.同理可得AA1 EE1,所以DD1E1E是平行四边形.
在△ADE和△A1D1E1中,AD=A1D1, AE=A1E1, DE=D1E1,
于是△ADE≌△A1D1E1,
所以∠BAC=∠B1A1C1.
思考 如果∠BAC和∠B1A1C1的边 ( http: / / www.21cnjy.com )AB∥A1B1, AC∥A1C1,且AB, A1B1方向相同,而边AD, A1D1方向相反,那么∠BAC和∠B1A1C1之间有何关系 为什么
(引导学生用四支笔摆放,发现它们相等或互补)
【例2】 如图6,空间四边形ABCD中,E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.
( http: / / www.21cnjy.com )(图6)
证明 连结BD. ∵ EH是△ABD的中位线,∴ EH∥BD, EH=BD.同理,FG∥BD, FG=BD.
∵ EH∥FG,且EH=FG,
∴ 四边形EFGH为平行四边形.
[题后反思] 证明两条直线平行的方法:
① 平行直线的定义:在同一平面内没有公共点的两直线是平行直线.
② 利用三角形中位线平行于底边这一性质.
③ 利用公理4.
④ 利用平行四边形对边互相平行的性质.
变式 如图6所示,已知E, F分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点,G, H分别是CD与AD上靠近点D的三等分点,求证:四边形EFGH是梯形.
【例3】 已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M, N分别是棱CD, AD的中点.
求证:(1) 四边形MNA1C1是梯形.
(2) ∠DNM=∠D1A1C1.
[规范板书] 证明 (1) 如图7,连结AC.在△ACD中,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图7)
∵ M, N分别是CD, AD的中点, ∴ MN是△DAC的中位线,∴ MN∥AC, MN=AC.
由正方体的性质得:AC∥A1C1, AC=A1C1.
∴ MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1, ∴ 四边形MNA1C1是梯形.
(2) 由(1)可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,
∴ ∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角,
∴ ∠DNM=∠D1A1C1.
*【例4】 如图8,已知ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,求证:E, B, F, D1四点共面.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图8)
证明 在DD1上取一点N,使得DN=1 ( http: / / www.21cnjy.com ),连结CN, EN.显然四边形CFD1N是平行四边形,所以D1F∥CN.同理四边形DNEA是平行四边形,所以EN∥AD,且EN=AD.又BC∥AD,且AD=BC,所以EN∥BC, EN=BC,所以四边形CNEB是平行四边形,所以CN∥BE.所以D1F∥BE,所以E, B, F, D1四点共面.
四、 课堂练习
1. 若空间两条直线a, b没有公共点,则其位置关系是 平行或异面 .
2. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系.
(1) 直线A1B与直线D1C的位置关系是 平行 .
(2) 直线A1B与直线B1C的位置关系是 异面 .
(3) 直线D1D与直线D1C的位置关系是 相交 .
(4) 直线AB与直线B1C的位置关系是 异面 .
( http: / / www.21cnjy.com )(第2题) ( http: / / www.21cnjy.com )(第4题)
3. 已知a, b, c是三条直线,若a与b异面,b与c异面,则a与c的位置关系是 平行或相交或异面 .
4. 如图,P是△ABC所在平面外一点,点D, E分别是△PAB和△PBC的重心,求证:DE∥AC, DE=AC.
证明 连结PD, PE,并延长分别 ( http: / / www.21cnjy.com )交AB, BC于点M, N. ∵ 点D, E分别是△PAB, △PBC的重心, ∴ M, N分别是AB, BC的中点.
连结MN,则MN∥AC,且MN=AC.①
在△PMN中, ∵ =, ∴ DE∥MN,且DE=MN.②
由①②根据公理4,得DE∥AC,且DE=MN=AC.
五、 课堂小结
1. 空间两条直线的位置关系.
2. 公理4和等角定理.
3. 公理4和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间;等角定理是通过构造全等三角形来证明的,这个过程就是一个平面化的过程.
第7课时 空间两条直线的位置关系(2)
教学过程
一、 问题情境
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
如图2,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C与B1B具有怎样的位置关系 图中还有哪些异面直线 [3]
二、 数学建构
问题1 如何判断两条直线是异面直线 (直观判断:相离、错开)
问题2 如果只有两条直线,还能不能准确判断
(平面衬托法表示异面直线)如图3所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
问题3 已知a α, A α, B∈α , B a,直线AB与a是否是异面直线(证明见教材P28末,用反证法+推论1即可)
定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.
符号表示:若l α, A α, B∈α, B l,则直线AB与l是异面直线.
三、 数学运用
【例1】 如图5所示,在空间四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中,AB≠AC,AE是△ABC的边BC上的高,DF是△BCD的边BC上的中线,求证:AE和DF是异面直线.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图5)
证法一 (定理法)由题设条件可知点E, F不重合,设△BCD所在的平面为α,如图5所示. ∴∴AE和DF是异面直线.
证法二 (反证法)若AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE, DF的平面为β.
① 若E, F重合,则E是BC的中点,从而有AB=AC,这与题设AB≠AC相矛盾.
② 若E, F不重合, ∵ B∈EF, ( http: / / www.21cnjy.com ) C∈EF, EF β, ∴ BC β.又A∈β, D∈β, ∴ A, B, C, D四点共面,这与题设ABCD是空间四边形相矛盾.
综合①②, AE和DF是异面直线.
问题4 异面直线错开程度可以怎样来刻画
(思想方法:平移转化成相 ( http: / / www.21cnjy.com )交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角,公理4为平移前后两条直线保持位置上的平行提供保证,等角定理则为平移后保持角的大小不变提供理论基础)
通过讨论 如图,已知两条异面直线a ( http: / / www.21cnjy.com ), b,经过空间任一点O作直线a'∥a, b'∥b,则把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
(图6)
异面直线所成角θ的取值范围:(0°, 90°].
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直.
异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求A1B与B1D1所成的角.(2)求AC与BD1所成的角.
[规范板书] 解 (1) 如图7,连结BD, A1D, A1B.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图7)
∵ ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴ DD1 BB1,
∴ DBB1D1为平行四边形, ∴ BD∥B1D1.
∵ A1B, BD, A1D是全等的正方形的对角线,
∴ A1B=BD=A1D,即△A1BD是正三角形,
∴ ∠A1BD=60°. ∵ ∠A1BD是锐角,
∴ ∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角,
∴ A1B与B1D1所成的角为60°.
(2) 取DD1的中点E,连结EO, EA, EC.
∵ O为BD的中点, ∴ OE∥BD1.
∵ ∠EDA=90°=∠EDC, AD=DC, ∴ △EDA≌△EDC, ∴ EA=EC.
在等腰三角形EAC中,∵ O是AC的中点, ∴ EO⊥AC, ∴ ∠EOA=90°.即AC与BD1所成的角为90°.
[题后反思] (1) 求 ( http: / / www.21cnjy.com )两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面,也就是通过平移直线至相交位置求角,它是立体几何问题的一个难点,找异面直线所成的角时可综合运用多种方法,总结起来有如下“口诀”:中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形柱中见,指出成角很关键;求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行线若在外,补上原体在外边.
(2) 求两异面直线所成角的基本步骤是:
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变式 如图8所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°, BC=, D是平面ABC外的一点,DA⊥AC, DA⊥AB.若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成的角的余弦值.
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(图8)
解 如图8,取AC的中点F,连结EF和BF.在△ACD中,E, F分别是AD, AC的中点, ∴ EF∥CD.
∴ ∠BEF和其补角当中的较小角即为异面直线BE与CD所成的角.
又∵ △ABC为等腰直角三角形,且BC=, DA=1,
∴ 在Rt△EAB中,AB=1, AE=AD=, ∴ BE=.
在Rt△AEF中, ∵ AC=1, ∴ AF=, AE=, ∴ EF=.
在Rt△ABF中, ∵ AB=1, AF=,
∴ BF=.
在等腰三角形EBF中,
cos∠FEB===.
故异面直线BE与CD所成的角的余弦值为.
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(图9)
*【例3】 如图9,在长方体ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D-A1B1C1D1中,AB=BC=2a, AA1=a, E, F分别是A1B1和B1C1的中点,求异面直线AE与BF所成的角.
解 取A1D1中点G,连结AG, GE.
∵ AB A1B1 GF,
∴ 四边形AGFB为平行四边形,∴ AG∥BF,
∴ ∠GAE是异面直线AE与BF所成的角.
∵ A1E=A1G=A1A=a,
∴ AG=AE=GE=a.
∴ ∠GAE=60°,即异面直线AE与BF所成的角为60°.
四、 课堂练习
1. 下列说法正确的有 ③ (填序号).
① 两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线;
② 两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线;
③ 两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线;
④ 两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线.
解析 ①只说明两直线不同在一个平 ( http: / / www.21cnjy.com )面内,没有说明平面的任意性;②把两条直线放到特定的两个平面内,也不具有任意性;③从反面肯定了两直线的异面;④中的两条直线可能在同一平面内.故填③.
2. 已知a, b, c是空间三条直线,则下列说法中正确的个数为 0 .
① 若a⊥b, b⊥c,则a∥c;
② 若a, b是异面直线,b, c是异面直线,则a, c也是异面直线;
③ 若a, b相交,b, c相交,则a, c也相交;
④ 若a, b共面,b, c共面,则a, c也共面.
解析 若a⊥b, b⊥c, 则a, ( http: / / www.21cnjy.com ) c平行或相交或异面,故①错;若a, b异面,b, c异面,则a, c相交或平行或异面,故②错;若a, b相交,b, c相交,则a, c相交或平行或异面,故③错;若a, b共面,b, c共面,则a, c共面或异面,故④错.故填0.
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(第3题)
3. 如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有 3 对.
解析 根据异面直线的定义可知共3对;AP与BC, CP与AB, BP与AC.
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与A1B成45°角的棱有 8 条.
5. (2011年镇江质检)空间四边形ABCD中,AB, BC, CD的中点分别是P, Q, R,且PQ=2, QR=, PR=3,那么异面直线AC和BD所成的角是 90° .
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(第5题)
解析 如图, ∵ PQ AC, QR BD,
∴ ∠PQR为异面直线AC与BD所成的角,由勾股定理得∠PQR=90°.
五、 课堂小结
1. 判定两直线的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com )的依据是两条直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方法.另外,我们解决空间有关线线问题时,不要忘了我们生活中的模型,比如说教室就是一个长方体模型,里面的线线关系非常丰富,我们要好好地利用它,它是我们培养空间想象能力的好工具.
2. 在研究异面直线所成角的大 ( http: / / www.21cnjy.com )小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是,两条异面直线所成角α的范围是0°<α≤90°,解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.
作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生, ( http: / / www.21cnjy.com )主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
第8课时 直线与平面的位置关系(1)
教学过程
一、 问题情境
把桌面作为平面,笔作为直线,摆一摆,观察直线与平面有哪几种位置关系
二、 数学建构
问题1 空间一条直线与一个平面可能有几个公共点 (0或1或无数)
归纳小结:一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:
位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α=A a∥α
图形表示
注:直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,符号表示:a α.
问题2 怎样判定直线和平面平行 除了定义还有什么方法
(启发学生观察转动的门的一边与墙面关系,并提出判定线面平行的猜想)
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
1. 观察如图所示的长方体,直线A1B1与平面ABCD的位置关系如何 为什么
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
问题3 (1) 你能从中抽象出一般图形吗
(2) 由上面的问题你能得到一个什么命题
2. 直线和平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
图形表示: 符号表示:
(图3) a∥α.
简记为:线线平行 线面平行
思考 为什么要求“平面外一条直线”
问题4 如果直线a和平面α平行,那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线b都平行
(直线a与平面α平行,则直线a与平面α没有公共点,所以a与b没有公共点,所以两直线平行或异面)
(图4)
问题5 哪些直线与a平行
如图4,已知直线l∥α, l β, α∩β=m,则直线l与m的位置关系如何 为什么
问题6 你能得到一个什么样的命题
直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
符号语言: l∥m.
图形语言:
( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
简记为:线面平行 线线平行.
三、 数学运用
【例1】 以下说法中正确说法的个数是 0 .
① 若a∥b, b α,则a∥α;
② 若a∥α, b∥α,则a∥b;
③ 若a∥b, b∥α,则a∥α;
④ 若a∥α, b α,则a∥b.(其中a, b表示直线,α表示平面)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图6)
解析 如图6,在长方体ABCD-A' ( http: / / www.21cnjy.com )B'C'D'中,AB∥CD, AB 平面ABCD,但CD 平面ABCD,故①错误;A'B'∥平面ABCD, B'C'∥平面ABCD,但A'B'与B'C'相交,故②错误;AB∥A'B', A'B'∥平面ABCD,但AB 平面ABCD,故③错误;A'B'∥平面ABCD, BC 平面ABCD,但A'B'与BC异面,故④错误.
[题后反思] 借助几何模型(如长方体、正方体、三棱锥等)是解决此类位置关系判断题的有效方法.
变式 下列说法中正确的是 ③④ (填序号).
① 直线l与平面α不平行,则l与α相交;
② 直线l在平面外,是指直线和平面平行;
③ 如果直线l经过平面α内一点P,又经过平面α外一点Q,则直线l与平面α相交;
④ 如果直线a∥b,且a与平面α相交于点P,那么直线b必与平面α相交.
解析 若直线l与平面α不平行,则l与α相交或l α, ∴ ①不正确.
若l α,则l∥α或l与α相交, ∴ ②不正确.
【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分别是棱BC, C1D1的中点,求证:EF∥平面BB1D1D.
证明 如图7,取D1B1的中点O,连结OF, OB. ∵ OF B1C1, BE B1C1, ∴ OF BE,四边形OFEB为平行四边形, ∴ EF∥BO. ∵ EF 平面BB1D1D, BO 平面BB1D1D, ∴ EF∥平面BB1D1D.
变式 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,求证:BD1∥平面ACE.
( http: / / www.21cnjy.com )(图7) ( http: / / www.21cnjy.com )(图8)
解 如图8所示,连结BD ( http: / / www.21cnjy.com )交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点,又因为E为DD1的中点,所以OE∥BD1.又∵ OE 平面ACE, BD1 平面ACE, ∴ BD1∥平面ACE.
【例3】 如图9,在四棱锥P-ABCD中,M, N分别是棱AB, PC的中点,若ABCD是平行四边形,求证:MN∥平面PAD.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图9)
[处理建议] 引导学生思考证明线面平行的方法.
证明 方法1:取PD中点 ( http: / / www.21cnjy.com )E,连结NE, AE.则NE∥CD∥AM,且NE=AM,所以四边形NEAM是平行四边形.所以MN∥AE,所以MN∥平面PAD.
方法2:连结CM并延长交DA延长线于F,连结PF.因为M, N分别是CP, CF中点,所以MN∥PF,所以MN∥平面PAD.
[题后反思] 证明线面平行的方法,利用线线平行(平行投影或中心投影).
*【例4】 (2012江苏高考改编) ( http: / / www.21cnjy.com )如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1, D, E分别是棱BC, CC1上的点,且AD⊥BC, F为B1C1的中点.求证:直线A1F∥平面ADE.
证明 ∵ 在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图10)
∴ AB=AC. 又∵ AD⊥BC, ( http: / / www.21cnjy.com )∴ D为BC中点.又∵ F为B1C1中点, ∴ BD B1F, ∴ 四边形BDFB1为平行四边形. ∴ FD B1B.又∵ A1A B1B, ∴ FD A1A, ∴ 四边形A1ADF为平行四边形, ∴ A1F∥AD. 又∵ A1F 平面ADE, AD 平面ADE, ∴ A1F∥平面ADE.
四、 课堂练习
1. 已知直线l∥平面α,直线m α,则直线l和m的位置关系是 平行或异面 .
2. 梯形ABCD中,AB∥CD, AB 平面α, CD 平面α,则直线CD与平面α的位置关系是 CD∥α .
解 因为AB∥CD, AB 平面α, CD 平面α,由线面平行的判定定理可得CD∥α.
3. 能保证直线a与平面α平行的条件是 ④ (填序号).
① b α, a∥b;
② b α, c∥α, a∥b, a∥c;
③ b α, A、 B∈a, C、 D∈b,且AC=BD;
④ a α, b α, a∥b.
解 ① 错误,若b α, a∥b,则a∥α或a α;
② 错误,若b α, c∥α, a∥b, a∥c,则a∥α或a α;
③ 错误,若满足此条件,则a∥α或a α或a与α相交;
④ 正确.
4. 三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.求证:AC1∥平面B1CD.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
证明 连结BC1,交B1C于E. ∵ 三 ( http: / / www.21cnjy.com )棱柱ABC-A1B1C1, ∴ 侧面BB1C1C为平行四边形,且E为B1C中点.又D是AB中点,∴ DE为△ABC1的中位线,∴ DE∥AC1. ∵ DE 平面B1CD, AC1 平面B1CD, ∴ AC1∥平面B1CD.
五、 课堂小结
1. 线面平行的判定定理:线线平行 线面平行.
2. 线面平行判定定理在使用时通常要在平面内找到一条直线与已知直线平行.
第9课时 直线与平面的位置关系(2)
教学过程
一、 问题情境
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
(教材P33例2)一个长方体木块如图2所示,要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开,应该怎样画线
二、 数学建构
问题 在平面A1C1内画出的过点P的交线与BC之间有什么关系 与B1C1又有什么关系
(通过这个问题的思考,引导学生复习巩固直线与平面平行的性质定理.)
分析 点P与BC确定平面α,根据题意,应画出平面α与长方体各面的交线.
因为点P既在平面α内又在平面A1C1内 ( http: / / www.21cnjy.com ),由公理2,平面α与平面A1C1必相交于经过点P的一条直线.设这条直线与A1B1, C1D1的交点分别为E, F.
由于BC∥B1C1,故BC∥平面A1C1,由直线与平面平行的性质定理得BC∥EF.因此只要在平面A1C1内过点P作B1C1的平行线即可.
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(图3)
三、 数学运用
【例1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1 ( http: / / www.21cnjy.com )中,E为B1C1的中点,则过三点A, C, E确定一平面,请画出平面ACE与正方体的其中四个面的交线.
[处理建议] 让学生亲自作图,体会直线与平面平行的性质定理的一个简单运用.
[规范板书] 作法 取A1B1的中点M,连结EM, AM,则CE, EM, AM, AC即平面ACE分别与正方体其中四个面的交线.
[题后反思] 解题时,应用直线和平面平行的性质定理,要注意把线面平行转化为线线平行.
【例2】 (教材P34例3)求证:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.
已知:平面α, β, γ, α∩β=l, α∩γ=m, β∩γ=n,且l∥m.
求证:n∥l, n∥m.
[处理建议] 分析时先引导学生将三棱柱作为本题的基本模型,进而由三棱柱的
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(图4)
三条侧棱与侧面之间的关系,探索证明思路.
[规范板书] 证明
n∥l.
[题后反思] 通过该题的教学,让学生领会到,证明直线与直线平行可以转化为证明直线与平面平行.
思考 如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线相交,那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系呢
答 第三条直线必经过前两条直线的交点(或三条直线交于同一点).
【例3】 已知a, b为平面α外的两条直线,a∥b且a∥α,求证:b∥α.
[处理建议] 先由学生讨论,尝试自己画图并加以证明;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,纠正出现的错误.
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(图5)
[规范板书] 证明 过直线a作 ( http: / / www.21cnjy.com )平面β交α于直线c,则由直线与平面平行的性质定理知:a∥c, 又a∥b,所以b∥c,而b为平面α外的一条直线,所以b∥α.
[题后反思] 本题通过巧妙地运用直线与平面平行的性质定理和判定定理,实现了直线与平面、直线与直线平行位置关系的相互转化.
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(图6)
【例4】 如图6,四棱锥P-ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中,过AD且与BC平行的平面ADNM,与PB, PC分别交于M, N两点.求证:(1) BC∥MN. (2) MN∥平面ABC.
证明 ∵ BC∥平面ADNM ( http: / / www.21cnjy.com ),平面BCP∩平面ADNM=MN, BC 平面PBC, ∴ BC∥MN.又∵ MN 平面ABCD, BC 平面ABCD, ∴ MN∥平面ABCD.
利用线面平行的性质定理解题的步骤:
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四、 课堂练习
1. 下列语句中,正确的个数为(0)个
①一条直线和另一条直线平行,它和经过另一条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线的任何平面平行;②一条直线和一个平面平行,它和这个平面内的任何直线平行;③过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条;④平行于同一个平面的两条直线互相平行.
2. 将本书平放在桌面上,翻动书的封面,封面外缘(书脊的对边)所在直线与桌面所在的平面是否平行 为什么
答 两种情况:一是封面外缘在桌面内;二是当封面外缘在桌面外时,由直线与平面平行的判定定理知,封面外缘所在直线平行于桌面所在的平面.
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(第3题)
3. 经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E,求证:E1E∥B1B.
提示 由B1B∥面A1ADD1及直线与平面平行的性质定理.
4. 如图,四边形ABCD是平行四边形,点 ( http: / / www.21cnjy.com )P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.
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(第4题)
证明 连结AC交BD于点O,连结MO. ∵ ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD是平行四边形,∴ O是AC中点.又M是PC的中点,∴ AP∥OM.则有PA∥平面BMD. ∵ 平面PAHG∩平面BMD=GH,∴ PA∥GH.
五、 课堂小结
1. 直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用.
2. 掌握证明线面平行和线线平行的方法:
(1) 证明线面平行的关键是证明线线平行;
(2) 证明两条直线平行的方法有:平行的传递性(公理4)、直线与平面平行的性质定理.
第10课时 直线与平面的位置关系(3)
教学过程
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(图1)
一、 问题情境
观察一个圆锥,回顾其定义:
直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体叫圆锥.
二、 数学建构
问题1 圆锥的轴SO与底面内的哪些直线垂直呢
(结合初中知识,通过观察引导学生探索圆锥的轴与底面任一半径垂直的关系)
问题2 能不能说轴SO垂直于底面中的所有直线呢 为什么
(引导学生得出圆锥的轴与底面任意一条直线都垂直,从而引出直线与平面垂直的概念)
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(图2)
通过讨论,给出
1. 直线与平面垂直的概念
如图2,如果一条直线a和一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a与平面α互相垂直,记作a⊥α.
直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,垂线和平面的交点称为垂足.
画法:画直线和平面垂直时,通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直.
引导学生从以下方面理解概念:
(1) “任意”表示所有(提问:若直线与平面内的无数条直线垂直,则直线垂直于平面吗 如不是,直线与平面的位置关系如何 )
(2) 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况,在垂直时,直线与平面的交点叫做垂足.
(3) a⊥α等价于对任意的直线m α,都有a⊥m.
(4) 直线与平面垂直的判定方法之一:定义法.
作为概念的巩固,给出问题3:
问题3 (1) 过一点有 条直线与已知平面垂直.
(2) 过一点有 个平面与已知直线垂直.
结论 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
再引出以下两个概念:
2. 点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
3. 直线到平面的距离
一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.
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(图3)
三、 数学运用
【例1】 (教材P36例1)求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
已知:a∥b, a⊥α,求证:b⊥α.
[处理建议] 让学生独立将文字语言翻译成符号语言和图形语言,并分析得,只要证明b与平面α内任意一条直线都垂直.
[规范板书] 证明 设m是α内的任意一条直线.
b⊥α.
[题后反思] 例1是直线与平面垂直的定义的一个简单运用,教学时要特别强调m是平面α内的任意一条直线.
问题1 除了用定义来证明直线与平面垂直还能有什么办法
问题2 一直线垂直于平面内的一条直线则直线垂直于平面
一直线垂直于平面内的两条直线则直线垂直于平面
一直线垂直于平面内的无数条直线则直线垂直于平面
问题3 将一张矩形的纸片对折后展开,竖立在桌面上,观察折痕与桌面,你发现了什么
猜想:一直线垂直于两相交直线,那么垂直于这个平面.
4. 直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
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(图4)
符号表示:
a⊥α.
图形表示:
5. 直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
符号表示: a∥b.
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(图5)
图形表示:
分析:直接证明a∥b比较困难,我们采用反证法来证明.
证明 假设b不平行于a,设b∩α=O, b'是经过点O与直线a平行的直线.
直线b与b'确定平面β,设α∩β=c.
因为a⊥α, b⊥α,所以a⊥c, b⊥c.又因为b'∥a,所以b'⊥c.
这样在平面β内,经过直线c上同一点O,就有两条直线b, b'与c垂直,显然不可能.
因此a∥b.
【例2】 (教材P37例2)已知:直线l∥α.求证:直线l上各点到平面α的距离相等.
[处理建议] 先由学生讨论,尝试运用性质定理解决问题.
[规范板书] 证明 过直线l上任意两点A, B分别作平面α的垂线AA', BB',垂足分别为A', B'.
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(图6)
∵AA'⊥α, BB'⊥α, ∴ AA'∥BB'.
设经过直线AA', BB'的平面为β, β∩α=A'B'.
∵ l∥α, ∴ l∥A'B'. ∴ 四边形AA'B'B为平行四边形.
∴ AA'=BB'.
由A, B是直线l上任意的两点,可知直线l上各点到这个平面距离相等.
[题后反思] 本例是直线与平面垂直的性质定理的一个运用.教学时应指出,运用性质定理的关键是创设定理成立的两个条件.
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(图7)
【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:BD⊥平面ACC1A1.
[处理建议] 引导学生讨论,在正方体中有哪些线、面垂直关系.
[规范板书] 证明 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
BD⊥平面ACC1A1.
四、 课堂练习
1. 已知a, b是不同的直线,α是平面,给出下列三个命题:
① b⊥α;
② b∥α;
③ b⊥α.
其中错误的是 ②③ (填序号).
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(第2题)
2. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥平面ABCD,点E是PC的中点,点F在PB上,EF⊥PB.
(1) 求证:BC⊥平面PCD.
(2) 求证:PB⊥DF.
证明 (1) 如图,连结AC, AC交BD于点G,连结EG.
∵ 底面ABCD是正方形,
∴ G为AC的中点.
又E为PC的中点,
∴ EG∥PA.
∵ EG 平面EDB, PA 平面EDB,
∴ PA∥平面EDB.
(2) 证明 ∵ PD⊥底面ABCD, ∴ PD⊥BC, PD⊥DC, PD⊥DB.
又∵ BC⊥DC, PD∩DC=D, ∴ BC⊥平面PDC. ∴ BC⊥DE.
∵ PD=DC,点E是PC的中点,∴ DE⊥PC. ∴ DE⊥面PBC, DE⊥PB.
∵ DE⊥PB, EF⊥PB, DE∩EF=E, ∴ PB⊥平面EFD.
∴ PB⊥DF.
3. 如图,已知PA⊥α, PB⊥β,垂足分别为A, B,且α∩β=l,求证:
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(第3题)
(1) l⊥平面APB.
(2) l⊥AB.
(1) 提示 证明l⊥PA且l⊥PB.
(2) 略.
五、 课堂小结
1. 直线与平面垂直的概念及判定定理.
2. 直线和平面垂直的性质定理,以及两个距离的定义.
3. 证明几何问题常规的方法有 ( http: / / www.21cnjy.com )两种:直接证法和间接证法,直接证法常依据定义、定理、公理,并适当引用平面几何的知识;用直接法证明比较困难时,我们可以考虑间接证法,反证法就是一种间接证法.
4. 应用直线与平面垂直的定义、判定定理及性质定理解决相关问题.
第11课时 直线与平面的位置关系(4)
教学过程
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(图2)
一、 问题情境
观察如图2所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,可以发现A1B, A1C, A1D,虽然都和平面ABCD相交,但都不与这个平面垂直.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 直线和平面垂直时,直线是否和平面一定相交
(结合前面所学知识,引导学生说出直线与平面垂直是直线与平面相交的特例)
问题2 那么直线和平面相交时,直线是否和平面一定垂直呢
(结合这个问题的思考,引导学生了解直线与平面除了垂直还有“斜交”的情况)
通过讨论,给出
1. 平面的斜线的有关概念
一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直, ( http: / / www.21cnjy.com )这条直线叫这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫斜足,斜线上一点和斜足间的线段叫这个点到这个平面的斜线段.
2. 点在平面上的射影、点到平面的垂线段
自一点A向平面α引垂线,垂足B叫做这点A在这个平面α上的射影.这点与垂足间的线段AB叫这点到这个平面的垂线段.
3. 射影的有关概念
过斜线上斜足以外的一点A向 ( http: / / www.21cnjy.com )平面α引垂线,过垂足B和斜足C的直线BC叫斜线AC在平面α上的射影.垂足和斜足间的线段BC叫这点到平面的斜线段AC在平面α上的射影.
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(图3)
4. 直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角.如图中,∠ACB就是AC与α所成的角.
(二) 理解概念
1. (1) 直线和平面垂直:直线与平面所成的角是直角.
(2) 直线和平面平行或直线在平面内:直线与平面所成的角是0°的角.
(3) 直线与平面所成的角的取值范围:0°≤θ≤90°.
2. 据定义,在求直线和平面所成的角时,应按下述三种情况依次进行考虑:
(1) 直线和平面平行或直线在平面内时,直线和平面所成的角是0°角.
(2) 直线和平面垂直时,直线和平面所成的角是直角.
(3) 直线和平面斜交时,直线和平面所成的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角.
(三) 巩固概念
最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的所有角中最小的角.
三、 数学运用
【例1】 如图4所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中:
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(图4)
(1) A1D与平面ABCD所成的角为 45° .
(2) A1B与平面A1ADD1所成的角为 45° .
(3) A1C与平面ABCD所成的角的正切值为 .
[处理建议] 让学生口答,巩固直线与平面所成角的概念.
[题后反思] 例1是直线与平面所成角概念的一个简单运用,教学时要特别强调为确定直线与平面所成角的平面角,首先要找到那个线面垂直关系.
【例2】 (教材P39例3 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图,已知AC, AB分别是平面α的垂线和斜线,C, B分别是垂足和斜足,a α, a⊥BC, 求证:a⊥AB.
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(图5)
[处理建议] 先由学生讨论,尝试运用线面垂直的判定及性质定理解决问题.
[规范板书] 证明
a⊥AB.
[题后反思] 例2的结论也称为“三垂 ( http: / / www.21cnjy.com )线定理”,是证明线线垂直的一个典型范例.教学时要引导学生归纳,证明线线垂直有哪些方法 让学生初步体会到,证明线线垂直可以转化为证明线面垂直,证明线面垂直也可以转化为证明线线垂直.
变式 若a⊥AB,其余条件不变,求证:a⊥BC.
提示 变式即“三垂线定理的逆定理”,证法同上.
*【例3】 已知∠BAC在平面α内,P α, ∠PAB=∠PAC,
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(图6)
求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
证明 作PO⊥α, PE⊥AB, PF⊥AC,垂足分别为O, E, F,连结OE, OF, OA.
Rt△PAE≌Rt△PAF
AE=AF.
AB⊥平面PEO
AB⊥OE.
同理,AC⊥OF.
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(图7)
在Rt△AOE和Rt△AOF中,AE=A ( http: / / www.21cnjy.com )F, OA=OA,所以Rt△AOE≌Rt△AOF,于是∠EAO=∠FAO,因此,点P在α内的射影O在∠BAC的平分线上.
思考 你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗
提示 如图7所示的长方体中,四面体A1ACD的四个面都是直角三角形.
四、 课堂练习
1. 如图,∠BCA=90°, PC⊥平面ABC,则在△ABC, △PAC, △PBC的边所在的直线中:
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(第1题)
(1) 与PC垂直的直线有 AC, BC, AB .
(2) 与AP垂直的直线有 BC .
(3) 与直线AC垂直的平面有 平面PBC .
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BD1与平面AB1C所成的角是 90° .
3. 已知点A和点B到平面α的距离分别为4cm和
6cm,则线段AB的中点M到平面α的距离是 5cm或1cm .
4. 从平面外一点向平面引两条斜线段.
(1) 如果斜线段的长相等,那么它们在平面内的射影相等吗
(2) 如果它们在平面内的射影相等,那么两条斜线段的长相等吗
答 (1) 相等. (2) 相等.
五、 课堂小结
1. 有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念.
2. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理并用来证明线线垂直或线面垂直.
第12课时 平面与平面的位置关系(1)
教学过程
一、 问题情境
问题:空间两个平面之间可能有几个公共点 两个平面可能有哪几种位置关系
二、 数学建构
(一) 生成概念
探究 如图1所示,长方体ABCD- ( http: / / www.21cnjy.com )A'B'C'D'中,平面A'C'与平面AC有 0 个公共点;平面ABC'D'与平面AC有 无数 个公共点.
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(图1)
(结合前面所学知识,引导学生观察归纳正确答案)
根据两个平面公共点的情况得出两个平面的位置关系.
1. 空间两个平面的位置关系:
位置关系 两平面平行 两平面相交
图形表示
符号表示 α∥β α∩β=l
公共点 没有公共点 有一条公共直线
(二) 理解概念
问题1 你能从教室中找到空间平面的这2种位置关系吗
问题2 若两个平面平行,那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面的位置关系如何
问题3 反过来,若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行吗
评:欲证两个平面平行,只须说明一个平面内的所有直线与另一个平面平行即可.但操作性比较差,那么能否转化为一条直线
(三) 巩固概念
思考 ① 平面α内有一条直线平行于β,那么α∥β
② 平面α内有两条直线平行于β,那么α∥β
③ 平面α内有无数条直线平行于β,那么α∥β
问题4 怎样使用水平仪检测桌面是否水平
通过讨论,得出结论:
2. 两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表示:
(图2)
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(图3)
α∥β.
图形表示:
三、 数学运用
【例1】 如图3,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面C1DB∥平面AB1
[处理建议] 让学生上黑板板演,巩固两个平面平行的判定定理.
[规范板书] 证明
AB DC D1C1 ABC1D1是平行四边形
平面C1DB∥平面AB1D1.
[题后反思] 例1是两个平面平行的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定定理的一个简单运用,教学时应指出,运用判定定理的关键是创设定理成立的条件,通过分析让学生感受到:证明面面平行可以转化为证明线面平行,证明线面平行可以转化为证明线线平行.
变式 求证:垂直于同一条直线的两个平面平行.
已知:α⊥AA', β⊥AA'.
求证:α∥β.
证明 设经过AA'的两个平面γ, δ分别与平面α, β相交于直线a, a'和b, b'.(如图4)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
∵ AA'⊥α, AA'⊥β,
∴ AA'⊥a, AA'⊥a'.
又a γ, a' γ,
∴ a∥a'.于是a'∥α.
同理可证b'∥α.
又a'∩b'=A', ∴ α∥β.
[题后反思] 本题结论可以作为另一个判定定理来使用.
问题1 分别在两个平行平面内的两条直线是否平行
回答 分别在两个平行平面内的两条直线必定没有公共点,所以只能判定它们平行或异面.
问题2 分别在两个平行平面内的两条直线在什么条件下平行 又该如何构造这样的条件
3. 两个平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行.
符号表示: a∥b.
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(图5)
图形表示:
证明 ∵ α∥β, a α, b β,∴ a, b没有公共点,
又∵ a γ, b γ,
∴ a∥b.
两个平面平行的性质定理给出了证明两条直线平行的一种方法.
【例2】 (2013·滨州模拟)如图6所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M, N分别是下底面的棱A1B1, B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P, M, N的平面交上底面于PQ, Q在CD上,求PQ的长.
[处理建议] 学生先独立思考,再讨论,尝试用两个平面平行的性质定理解决问题.
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(图6)
[规范板书] 解 如图6,连结AC, A1C1, ∵ AA1 CC1, ∴ 四边形ACC1A1是平行四边形, ∴ AC∥A1C1.又MN∥A1C1, ∴ MN∥AC. MN 面ABCD, AC 面ABCD, ∴ MN∥平面ABCD, ∴ MN∥PQ. 又∵ MN∥AC, ∴ PQ∥AC. ∴ ==, ∴ PQ=AC=a.
[题后反思] 例2是两个平面平行的性质定理的一个运用.教学时应指出,运用性质定理的关键是创设定理成立的条件.
变式 (教材P44例2)求证:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
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(图7)
已知:α∥β, l⊥α(图7).
求证:l⊥β.
[处理建议] 先由学生讨论,尝试运用两个平面平行的性质定理解决问题.
[规范板书] 证明 设l∩α=A.
在平面β内任取一条直线b,因为点A不在β内,所以点A与直线b可确定平面γ.设γ∩α=a,则
l⊥b.又∵ b是β内任一直线,故l⊥β.
[题后反思] 根据线面垂直的制定定理证明l⊥β,需由已知条件创设定理成立的条件,即在β内找两条相交直线与l垂直.
4. 两个平行平面的公垂线、公垂线段及距离
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(图8)
(1) 与两个平行平面都垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线.
(2) 公垂线夹在这两个平行平面间的线段,叫做这两个平行平面的公垂线段.
由两个平面平行的性质定理易证:平行平面的公垂线段都相等.
(3) 两个平行平面公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.
【例3】 (南京市2013届高三9月学情调研测试改编)如图9,已知斜三
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(图9)
棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点.求证:A1B∥平面ADC1.
提示 证法一:连结A1C交AC1于O,连结OD,所以OD∥A1B,得证.
证法二:取B1C1中点D1, ( http: / / www.21cnjy.com )连结A1D1, BD1.由BD C1D1,得BD1∥C1D,所以BD1∥平面ADC1.由B1D1 BD,得BB1 DD1,所以AA1 DD1.则A1D1 AD,所以A1D1∥平面ADC1,所以平面A1BD1∥平面ADC1,得证.
[题后反思] 本题体现了线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化.
四、 课堂练习
1. 判断下列命题是否正确,并说明理由:
(1) 若平面α内的两条直线分别与平面β平行,则α
与β平行.( )
(2) 若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行,则α与β平行.( )
(3) 平行于同一条直线的两个平面平行.( )
(4) 若平面α内有一条直线平行于平面β,平面β内也有一条直线平行于α,则α与β平行.( )
(5) 若平面α内的任何直线都与平面β平行,则α与β平行.( )
答 (1) 错误. (2) 正确. (3) 错误. (4) 错误. (5) 正确.
2. 下列说法正确的是(D).
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 平行于同一个平面的两条直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 平行于同一个平面的两个平面平行
3. 不在同一直线上的三点A, B, C到平面α的距离相等,且A α,则(B).
A. α∥平面ABC
B. △ABC中至少有一边平行于α
C. △ABC中至多有两边平行于α
D. △ABC中只可能有一条边与α平行
4. 已知a, b, c是三条不重合直线,α, β, γ是三个不重合的平面,有下列说法:
① a∥c, b∥c a∥b;
② a∥γ, b∥γ a∥b;
③ c∥α, c∥β α∥β;
④ γ∥α, β∥α γ∥β;
⑤ a∥c, α∥c a∥α;
⑥ a∥γ, α∥γ a∥α.
其中正确的说法是 ①④ (填序号).
五、 课堂小结
1. 两个平面的位置关系.
2. 两个平面平行的判定定理和性质定理.
3. 两个平面平行的判定方法:
①定义法; ②判定定理法; ③判定定理的推论; ④垂直于同一条直线的两个平面平行; ⑤平行于同一个平面的两个平面平行.
4. 由两个平面平行可以得到的性质有:
(1) 若α∥β, a α,则a∥β.
(2) α∥β, γ∩α=a, γ∩β=b,则a∥b.
(3) α∥β, l⊥α, l∩α=A,则l⊥β.
(4) 夹在两平行平面间的平行线段是相等的.
(5) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
第13课时 平面与平面的位置关系(2)
教学过程
一、 问题情境
幻灯片展示人造卫星轨道平面及赤道平面的图片,让学生观察.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 缓慢打开教室的门,问“门面与墙面之间的角度有什么变动 ”
(引导学生用平面角来刻画)
问题2 “人造地球卫星绕地球旋转,卫星的轨道平面和地球赤道平面的角度有什么变化 ”
(引导学生用平面角来刻画)
问题3 实际上在我们的日常生活中 ( http: / / www.21cnjy.com )有许多问题与两个平面相交所成的角有关.比如修筑水坝时,为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度,如何用数学语言刻画两个平面所形成的这种“角”呢
(引导学生通过这几个例子归纳)
通过讨论,给出二面角的有关概念.
1. 二面角的有关概念:
(1) 二面角的概念:平面内的一条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.
(2) 二面角的图形表示与符号表示:
图形表示:
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
符号表示:
① 若棱为l,两个面分别为α, β的二面角记为α-l-β;
② 若棱为AB,面为α, β的二面角,记作二面角α-AB-β或者P-AB-Q,其中P∈α, Q∈β.
(3) 二面角的平面角的定义及作法:
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
以二面角的棱上任意一点O为端点,在两个半平面内分别作棱的两条垂线OA, OB,则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
思考 二面角α-l-β的平面角∠AOB的大小与点O的位置有关吗
根据“等角定理”,二面角α-l-β的平面角∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关,而这一结论正是用平面角来度量二面角大小的理论基础.
(二) 理解概念
(1) 二面角的定义满足:①角的顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内;③角的两边分别垂直于棱.
(2) 用二面角的平面角表示二面角的大小,二面角的平面角是多少度,二面角就是多少度.
(3) 二面角的平面角的范围是[0, π].
(4) 二面角的平面角是90°时,则称为直二面角,此时组成直二面角的两个平面互相垂直.
2. 两个平面垂直的定义:
如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.
( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
记作α⊥β.
(三) 巩固概念
问题 为什么教室的门转到任何位置时,门所在的平面都与地面垂直
通过观察可以发现,门在转动的过程中,门轴始终与地面垂直.
3. 两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
符号表示: α⊥β.
应用判定定理的关键是在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面.
( http: / / www.21cnjy.com )(图5) ( http: / / www.21cnjy.com )(图6)
实例 建筑工地在砌墙时,常用铅垂线来检查所砌的墙是否和水平面垂直.
三、 数学运用
【例1】 (教材P47例1)如图7,在正方体ABCD-A1B1C1D1中:
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(图7)
(1)求二面角D1-AB-D的大小.(2)求二面角A1-AB-D的大小.
[处理建议] 让学生口答,巩固二面角及二面角平面角的概念.
[规范板书] 解 (1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面A ∴ AB⊥AD1, AB⊥AD. ∴ ∠D1AD为二面角D1-AB-D的平面角.
在Rt△D1AD中, ∠D1AD=45°, ∴ 二面角D1-AB-D的大小为45°.
(2) 同理,∠A1AD为二面角A1-AB-D的平面角,∴ 二面角A1-AB-D的大小为90°.[1]
变式 在正四面体A-BCD中,求相邻两个平面所成的二面角的平面角的余弦值.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图8)
解 取BC的中点E,连结AE, DE.
∵ 正四面体A-BCD,∴ BC⊥AE, BC⊥ED于E,
∴ ∠AED为二面角A-BC-D的平面角.设正四面体的棱长为1,
则AE=, DE=, AD=1,由余弦定理得cos∠AED=.
[题后反思] 求二面角的步骤:作——证——指——算.
【例2】 (教材P48例2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图9)
求证:平面A1C1CA⊥平面B1D1DB.
[处理建议] 先由学生讨论,尝试运用两个平面垂直的判定定理解决问题.
提示 证平面B1D1DB内的直线BD⊥平面A1C1CA.
[题后反思] 例2是平面与平面垂直的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定定理的一个运用,教学时应指出,运用判定定理的关键是创设定理成立的条件.通过分析让学生领会:证明面面垂直,可以转化为证明线面垂直.
变式 如图10,已知AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A, B的任一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.
提示 证BC⊥平面PAC.
( http: / / www.21cnjy.com )(图10) ( http: / / www.21cnjy.com )(图11)
【例3】 如图11,PA垂直于矩形ABCD所在平面,E, F分别为AB, PC的中点.
(1) 求证:EF⊥AB.
(2) 若面PDC与面ABCD成45°角,求证:面EFD⊥面PDC.
[处理建议] 先由学生讨论,尝试运用两个平面垂直的判定定理解决问题.
简证 (1) 取PD的中点M,并连 ( http: / / www.21cnjy.com )结AM, FM,证明AEFM是平行四边形,则EF∥AM,证AB⊥平面PAD,得AB⊥AM,所以EF⊥AB.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
(2) 易证∠PDA为二面角
第1课时 棱柱、棱锥和棱台
教学过程
一、 问题情境
1. 阅读章头图和本章引言.
2. 结合问题导引1给出多个建筑的图片,让学生归类.
二、 数学建构
问题1 把一支粉笔贴在黑板上,沿垂直于粉笔的方向平移,留下怎样的痕迹
问题2 把一张矩形纸片放在课桌上,向上平移,形成怎样的图形
问题3 仔细观察图1中的几何体,说说它们的共同特点和它们是怎样形成的
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
通过讨论,给出棱柱的概念:
1. 一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱.
2. 用电脑演示平移多边形生成几何体的过程.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
3. 结合模型介绍:
( http: / / www.21cnjy.com )(图3) ( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
(1) 棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点.
(2) 棱柱的分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱.
(3) 棱柱的表示方法:棱柱ABC-A'B'C',棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'.
(4) 棱柱的特点:①两个底面多边形间的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系 (全等) ②上下底面对应边间的关系 (平行且相等) ③侧面是什么平面图形 (平行四边形) ④侧棱之间的关系 (平行且相等)
问题4 观察图5、图6中的几何体,前后发生了什么变化
( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
( http: / / www.21cnjy.com )(图6)
通过讨论,类比给出棱锥的概念:
1. 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥.
2. 结合模型介绍:
( http: / / www.21cnjy.com )(图7)
(1) 棱锥的底面、侧面、棱、侧棱、顶点.
(2) 三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥.
(3) 棱锥的表示方法:如:棱锥S-ABCD.
(4) 棱锥的特点:底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等),侧面是有一个公共顶点的三角形.
问题5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到怎样的两个几何体
( http: / / www.21cnjy.com )(图8)
1. 棱台的概念:棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分叫做棱台.
2. 结合模型(由学生通过类比给出以下概念)
(1) 棱台的上底面、下底面、侧面、棱、侧棱、顶点.
(2) 三棱台、四棱台、五棱台、六棱台.
(3) 棱台的表示方法.
(4) 棱台的特点:①上下底面平行,对应边成比例; ②侧棱延长后交于一点.
思考 如图9所示的几何体是不是棱台 为什么
( http: / / www.21cnjy.com )(图9)
问题6 棱柱、棱锥、棱台与球有何不同
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体有几个面就称为几面体.
如:三棱锥是四面体,四棱柱是六面体.
思考 (教材P8练习第4题)多面体至少有几个面 这个多面体是怎样的几何体
( http: / / www.21cnjy.com )(图10)
三、 数学运用
【例1】 下列几何体是棱柱的有 ①③ (填序号).
( http: / / www.21cnjy.com )(图11)
解析 棱柱的结构特征有三方面:有两个面互相 ( http: / / www.21cnjy.com )平行;其余各面都是平行四边形;这些平行四边形面中,每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时,这个几何体才是棱柱.很明显,几何体②④⑤⑥均不符合,仅有①③符合.
变式 如图12,下列几何体是棱台的为 ③ .
( http: / / www.21cnjy.com )(图12)
解析 由棱台的定义知,棱台的上底面必须与下 ( http: / / www.21cnjy.com )底面平行,且侧棱延长后交于同一点.①中侧棱延长后不能交于同一点,②中上底面不平行于下底面,故①②都不是棱台.③符合棱台的定义与结构特征.
[题后反思] (1)判断一 ( http: / / www.21cnjy.com )个几何体是何种几何体,一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征,注意定义中的特殊字眼,切不可马虎大意.(2)本题容易错认为几何体②也是棱柱,其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征,避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比,并且和图形对应起来记忆,要做到看到文字叙述就想到图,看到图形就想到文字叙述.
【例2】 根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称:
(1) 由6个平行四边形围成的几何体.
(2) 由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形.
(3) 由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.
[处理建议] 引导学生:审题→想象→对比定义→解答.
[规范板书] 解 (1) 这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱.
(2) 这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面.
(3) 这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面.
[题后反思] 认识、判断一个几何体的结 ( http: / / www.21cnjy.com )构特征,主要从它的侧面、侧棱、底面、顶点等角度描述,因此只有理解并掌握好各几何体的概念,才能认清各几何体的属性.注意判断时要充分发挥空间想象能力,必要时做几何模型,通过演示进行准确判断.
变式 观察图13,分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对.
( http: / / www.21cnjy.com )(图13)
[处理建议] 引导学生转换底面考查.
[规范板书] 解 图13①中有1对 ( http: / / www.21cnjy.com )互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面.图13②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面.
【例3】 画一个三棱柱和一个四棱台.
[处理建议] 教师示范,分别按照棱柱、棱台的画法步骤画出三棱柱和四棱台.
[规范板书] 解 (1) 画三棱柱可分以下三步完成:
第一步,画上底面——画一个三角形;
第二步,画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段;
第三步,画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图14所示).
(图14)
(2) 画四棱台可分以下三步完成:
第一步,画一个四棱锥;
第二步,在它的一条侧棱上取一点,然后从这点开始,顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段;
第三步,将多余的线段擦去(如图15所示).
(图15)
[题后反思] (1)平面几何中,虚 ( http: / / www.21cnjy.com )线表示作的辅助线,但在空间图形中,虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时,被遮挡的线作成虚线,看得见的线仍作成实线.(2)作图时要使用铅笔、直尺等,力求准确.
变式 画一个六面体.
(1)使它是一个四棱柱.(2)使它是由两个三棱锥组成.(3)使它是五棱锥.
[规范板书] 解 如图16所示.(1)是一个四棱柱.(2)是一个由两个三棱锥组成的几何体.(3)是一个五棱锥.
( http: / / www.21cnjy.com )(图16)
*【例4】 设计一个平面图形,使它能够折成一个侧面与底面都是正三角形的三棱锥.
[规范板书] 解
( http: / / www.21cnjy.com )(图17)
四、 课堂练习
1. 四棱柱共有 6 个面,共有 4 条侧棱.
解析 四棱柱有上、下两个底面和四个侧面,共六个面,有四条侧棱.
2. 下列说法中,正确的是 ④ (填序号).
① 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面;
② 在平行六面体中,任意两个相对的面均互相平行,但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面;
③ 棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形;
④ 在棱柱的面中,至少有两个面互相平行.
解析 ①中,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行 ( http: / / www.21cnjy.com ),但不是棱柱的底面;②中,平行六面体任意两个相对的面一定可当作它的底面;③中,平行六面体的侧面是平行四边形,底面也是平行四边形;④中,棱柱中至少有两个底面互相平行,故填④.
3. 对于棱柱,下列说法中正确的是 ④ (填序号).
① 只有1对面互相平行;
② 所有的面都是平行四边形;
③ 侧面可以是三角形;
④ 两个底面平行且各侧棱也平行.
解析 对于①,长方体是棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com ),有3对面互相平行,所以①不对;对于②,三棱柱有两个面是三角形,所以②不对;对于③,根据棱柱的定义知,棱柱的侧面都是平行四边形,所以③不对;对于④,根据棱柱的定义知,两底面平行,侧面是平行四边形,侧棱为平行四边形的对边,所以侧棱平行,故④正确.
4. 棱台不具有的性质是 ③ (填序号).
①两底面相似;②侧面都是梯形;③侧棱都平行;④侧棱延长后都交于一点.
解析 由棱台的定义可知,棱台的侧棱不互相平行.
五、 课堂小结
1. 本节课学习了棱柱、棱锥和棱台的概念,以及棱柱、棱锥和棱台示意图的画法.
2. 棱柱、棱锥和棱台有怎样的辩证关系 (引导学生用运动变化、类比联想的观点来分析.)
3. 空间图形中,实线和虚线分别表示什么 作辅助线时,要注意什么
第2课时 圆柱、圆锥、圆台和球
教学过程
一、 问题情境
1. 复习棱柱、棱锥、棱台的有关概念.
小结:移——缩——截.
2. 旋转会产生什么样的结果呢
仔细观察下面的几何体,它们有什么共同特点或生成规律
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 这类几何体往往可 ( http: / / www.21cnjy.com )以在车床上通过旋转切割加工得到,它们都可以看成由一个平面图形绕一条直线旋转而生成的.你能想象它们分别是什么平面图形通过旋转而生成的吗
(1) 教师完成圆柱相关信息的填写,引导学生自主完成其他信息的填写.
名称 定 义 相 关 概 念 图 形 表 示 法
圆柱 以 矩形一边 所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的 旋转体 叫做圆柱. 轴: 旋转轴 叫做圆柱的轴;底面: 垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直于轴 的边旋转而成的 圆面 叫做圆柱的底面;侧面: 平行于轴 的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不 垂直于轴 的边都叫做圆柱侧面的母线. ( http: / / www.21cnjy.com ) 圆柱用 表示它的轴的字母 表示,左图中圆柱表示为圆柱OO'.
圆锥 以直角三角形的 直角边 所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 圆锥 . 轴: 旋转轴 叫做圆锥的轴;底面: 垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直于轴 的边旋转而成的 圆面 叫做圆锥的底面;侧面:直角三角形的 斜 边旋转而成的 曲面 叫做圆锥的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不 垂直于轴 的边都叫做圆锥侧面的母线. ( http: / / www.21cnjy.com ) 圆锥用 表示它的轴的字母 表示,左图中圆锥表示为 圆锥SO .
圆台 以直角梯形 垂直于底 的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 圆台 . 与圆柱和圆锥一样,圆台也有 轴 、 底面 、 侧面 、 母线 . ( http: / / www.21cnjy.com ) 圆台用 表示它的轴的字母 表示,左图中圆台表示为 圆台OO' .
球 以半圆的 直径 所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. 球心: 半圆的圆心 叫做球的球心;半径: 半圆的半径 叫做球的半径;直径: 半圆的直径 叫做球的直径. ( http: / / www.21cnjy.com ) 球常用 表示球心的字母 表示,左图中的球表示为 球O .
(2) 结合图形提炼轴、底面、侧面、母线等概念.
(3) 思考:圆柱、圆锥、圆台之间有何关系 (引导学生从概念的形成和结构特征来分析三者之间的关系)
(二) 理解概念
问题2 根据“球”的定义,乒乓球是“球”吗
(1) 数学中的球,是球体的简称,它包括球面及其所围成的空间部分.所以生活中的乒乓球不是数学中的球,而是球面.
(2) 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的曲面叫做球面,球面围成的几何体叫做球体.
(3) 类比圆的定义:球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.
问题3 等腰梯形旋转能形成圆台吗 [1]
解 等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴,各边旋转半周所形成的曲面围成的几何体是圆台.
引出旋转面和旋转体的概念:一般地, ( http: / / www.21cnjy.com )一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
(三) 巩固概念
(教材P10练习3)充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成
答 圆.
三、 数学运用
【例1】 下列叙述中正确的个数为 0 .
① 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥;
② 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台;
③ 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④ 用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
[规范板书] 解 ①以直角三角形的一条直 ( http: / / www.21cnjy.com )角边所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面,而不是圆;④用平行于圆锥底面的平面截圆锥,才可以得到一个圆锥和一个圆台.
[题后反思] (1)旋转体的形状关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是看平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同.如:直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成圆锥,若按斜边所在的直线旋转一周,则形成两个对底的圆锥.(2)对于与概念有关的命题的判断,一般情况下,要逐字逐句品读,与概念不一样的叙述,以及多字、少字转换的命题多是不正确的.
变式 下列命题中,正确命题的个数是 4 .
① 圆柱的轴经过上、下底面的圆心,并且垂直于底面;
② 圆柱的母线长都相等,并且都等于圆柱的高;
③ 平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆;
④ 经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形,这个矩形的一组对边是母线,另一组对边是底面圆的直径.
解 由圆柱的结构特征易知这四个命题都正确.
【例2】 如图2所示,画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体,并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
[处理建议] 由折点向旋转轴作垂线,可得图形.
解 如图3所示,(1)是由圆锥、圆柱组合而成的.(2)是由圆锥、圆柱组合而成的.
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
[题后反思] 旋转体的形成要特别注意旋转前的平面几何图形的形状,以及绕的是哪条轴,轴不一样,得到的旋转体形状也不一样.
(图4)
变式 一直角梯形ABCD如图4所示,分别以AB, BC, CD, DA所在的直线为轴旋转,画出所得几何体的大致形状.
解 如图4所示
( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
【例3】 (教材P10例2)指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的
( http: / / www.21cnjy.com )(图6)
*【例4】 如图是一个由圆台和球构成的组合体,试指出这个几何体是怎样生成的,画出这个几何体的轴截面(过轴的截面).
解 如图①所示,这个几何体是由一个半圆和一个直角梯形绕直线m旋转一周生成的,其轴截面如图②所示.
( http: / / www.21cnjy.com )(图7)
[题后反思] 本例旨在研究较复杂的几何体(组合体)是由哪些简单几何体构成的.可以指出我们研究的组合体一般由柱、锥、台和球等几何体组合而成.
四、 课堂练习
1. 指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成
( http: / / www.21cnjy.com )(第1题)
答 图(1)六棱柱和圆柱,图(2)圆台、圆柱和圆锥.
2. 如图,将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的
(第2题)
答 圆锥和圆柱.
五、 课堂小结
1. 本节课学习了圆柱、圆锥、圆台和球的概念.
2. 圆柱、圆锥、圆台和球有怎样的辩证关系.
3. 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台、球都是简单几何体,要能通过分析组合体的结构特征,分辨出组合体是由哪些简单几何体构成的.
第3课时 中心投影和平行投影
教学过程
一、 问题情境
情境:(1) 你熟悉手影表演或皮影戏吗 你知道它们图像的形成原理吗
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
(2) “横看成岭侧成峰”,这句话说明了什么
这种现象我们把它称为投影,投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,并在该面上得到图形的方法.
二、 数学建构
问题1 下列投影有什么不同
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
学生讨论,归纳不同之处:
1. 中心投影的概念,说明中心投影的优、缺点.
2. 平行投影的概念.
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2 只看投影能知道实物的形态吗
由工程图纸引出三视图.
(1) 视图:是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.
(2) 分类:① 正视图(主视图):光线自物体的前面向后投射所得的投影图;
② 左视图:自左向右投射所得的投影,得到的投影图;
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
③ 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图.
(3) 三视图的画法规则
① 正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”;
② 正、左视图都反映物体的高度——“高平齐”;
③ 俯、左视图都反映物体的宽度——“宽相等”.
(4) 三视图的排列顺序:先画正视图,左视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下面.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
三、 数学运用
【例1】 如图4所示,正方体ABCD- ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1中,点M, N分别在棱AA1, CC1上,试作出四边形BMD1N在正方体的面上的投影.
( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
[规范板书] 解 (1) 四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形BMD1N在上、下底面的投影是相同的;由于M, N, D1在下底面ABCD上的投影分别为A, C, D,所以四边形BMD1N在下底面ABCD上的投影为正方形ABCD,同理在上底面A1B1C1D1上的投影为正方形A1B1C1D1,如图5①所示.
(2) D1在侧面BB1C1C上的投影 ( http: / / www.21cnjy.com )为C1, M在侧面BB1C1C上的投影在棱BB1上,所以四边形BMD1N在侧面BB1C1C上的投影如图5②所示;同理在侧面AA1D1D上的投影如图5③所示.
(3) 四边形BMD1N在侧面AA1B1B上的投影如图5④所示;同理在侧面D1DCC1上的投影如图5⑤所示.
[题后反思] 本题要考虑在正方体各个面上的投影,正确作出投影的关键在于找到四边形BMD1N的四个顶点在各个面上的投影.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图6)
变式 如图6所示,E, F分别为正方体面A ( http: / / www.21cnjy.com )DD'A'、面BCC'B'的中心,则四边形BFD'E在该正方体的面上的投影可以是图7中的 ②③ .
解析 四边形BFD'E在正方 ( http: / / www.21cnjy.com )体ABCD-A'B'C'D'的面ADD'A'上的投影是③,同理,在面BCC'B'上的投影也是③.四边形BFD'E在正方体ABCD-A'B'C'D'的面DCC'D'上的投影是②,同理在面ABB'A'、面ABCD、面A'B'C'D'上的投影也是②.
(图7)
【例2】 画出图8中正四棱锥和圆台的三视图.(尺寸不作严格要求)
( http: / / www.21cnjy.com )(图8)
解 正四棱锥的三视图如图9所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(图9)
[题后反思] 在画三视图时,想象几何体 ( http: / / www.21cnjy.com )的后面、右面、下面各有一个屏幕,一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射,我们画的是影子的轮廓.(1)务必做到高平齐,长对正,宽相等.(2)三视图的安排方法是主视图与左视图在同一水平位置,且主视图在左,左视图在右,俯视图在主视图的下方.(3)若相邻两物体的表面相交,则表面的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,不可见轮廓线用虚线画出.(4)物体的三视图中,俯视图尤为重要,画几何体的三视图要求我们有较强的空间想象能力,画完三视图草图后,要再对照实物图来验证其正确性.
变式 画出图10中几何体的三视图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图10)
[处理建议] 学生画,投影点评.
解 图10(1)为正六棱柱,可按棱柱的 ( http: / / www.21cnjy.com )画法画出,如图11(1);图10(2)为一个圆锥与一个圆台的组合体,可按圆锥和圆台的三视图画出它的组合形状,如图11(2).
( http: / / www.21cnjy.com )(图11)
【例3】 根据三视图(如图12所示)想象物体原形,指出其结构特征并画出物体的实物草图.
解 该几何体是由一个圆柱和一个底面为正方形的长方体组合而成,且圆柱下底面圆的直径等于长方体底面正方形的边长.
其草图如图13:
( http: / / www.21cnjy.com )(图12) ( http: / / www.21cnjy.com )(图13)
由三视图还原几何体的步骤:
( http: / / www.21cnjy.com )
*【例4】 墙角处有2×2×2(即2层,每层有2×2个正方体)个相同的小正方体堆成
( http: / / www.21cnjy.com )
(图14)
如图所示的立体图形.如果你打算搬走其中部分小正方体,但希望搬完后,它的三视图不变,那么你最多可以搬走 2 个小正方体.
四、 课堂练习
1. 下列关于平行投影与中心投影的叙述正确的有 ①②③ (填序号).
① 平行投影和中心投影是几何体的不同表现形式,在实际问题中可根据需要进行选择;
② 平行投影的投射线互相平行,中心投影的投射线交于一点;
③ 人的视觉和照片都具有中心投影的特点;
④ 太阳光线形成的投影是中心投影.
解析 根据平行投影和中心投影的概念,逐个进行判断.根据中心投影和平行投影的特点可知①②③都是正确的,而太阳光线形成的投影是平行投影.
2. 下列说法中正确的有 ③ (填序号).
① 如果一个几何体的三视图是完全相同的,那么这个几何体是正方体;
② 如果一个几何体的正视图和俯视图都是长方形,那么这个几何体是长方体;
③ 如果一个几何体的三视图都是矩形,那么这个几何体是长方体;
④ 如果一个几何体的正视图和左视图都是等腰梯形,那么这个几何体是圆台.
解析 ①不正确,因为球也是三视图完全相同 ( http: / / www.21cnjy.com )的几何体;②不正确,因为一个横放在水平位置的圆柱,其正视图和俯视图都是矩形;易知③正确;④不正确,因为一个正四棱台的正视图和左视图也可以都是等腰梯形.
3. 两条相交直线的平行投影是 两条相交直线或一条直线 .
解析 借助于长方体模型来判断.如图所示,在长
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题答图)
方体ABCD-A1B1C1D1中,一束平行光 ( http: / / www.21cnjy.com )线从正上方向下照射,则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是一条直线CD,相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.
4. 如图所示的三视图表示的几何体为 圆锥 .
( http: / / www.21cnjy.com )(第4题)
解析 根据得到图形的形状进行判断.
五、 课堂小结
1. 本节课学习中心投影、平行投影和三视图的有关概念,以及三视图的画法.
2. 画三视图应注意:长对正,高平齐,宽相等,被遮挡的轮廓线应画成虚线.
第4课时 直观图画法
教学过程
一、 问题情境
1. 画三视图的基本规律是什么
2. 正投影主要用于绘制三视图,在工程制图中被广泛运用.
下图是采用斜投影和中心投影画出的正方体的直观图,观察它们的特点,你认为用哪一个图作图比较方便
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
二、 数学建构
问题1 你会选择三视图画直观图吗
(三视图的直观性较差,因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.)
问题2 在斜投影和中心投影中你会选择哪一个
(在中心投影中,水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直),但斜的平行线则会相交,交点称为消点.)
问题3 中心投影和平行投影主要应用在哪方面
中心投影主要用于绘画.
平行投影
问题4 如何画好几何体的直观图
下面介绍用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
三、 数学运用
【例1】 (教材P15例1)画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
[处理建议] 教师示范,总结步骤.
解 (1) 如图2①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
(2) 画对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.在x'轴上截取O'B'=O'C'=2cm,在y'轴上截取O'A'=OA,连结A'B', A'C',则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图,如图2②所示.
总结 水平放置的平面图形的直观图斜二测画法:
( http: / / www.21cnjy.com )
变式 画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定).
[规范板书] 解 如图3①所示,在平行四边形上建立坐标系xOy,再建立坐标系x'O'y'.如图3②,在x'轴上截取O'A'=OA, O'B'=OB,在y轴上截取O'D'=OD,过D'点作线段D'C'=DC,且D'C'∥A'B'.连结B'C', A'D',则A'B'C'D'即为 ABCD的直观图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
[理解概念] (1)用斜二测画法画水 ( http: / / www.21cnjy.com )平放置的平面图形的直观图,首先要在平面上建立直角坐标系,一般是利用图形的特性(如对称性)来建立坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上.(2)当已知平面图形中没有互相垂直的线段时,通常过平面图形的顶点作另一线段的垂线,作为x轴和y轴.(3)本题也可以以A为原点,AB所在直线为x轴建系,但要过D作x轴的垂线,以确定D在直观图中的位置D'.
【例2】 画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.
[规范板书] 画法 (1)画轴.画x' ( http: / / www.21cnjy.com )轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°(或135°), ∠x'O'z'=90°.(2)画底面.画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱.过ABCDEF各点分别作z'轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA', BB', CC', DD', EE', FF',都与侧棱等长.(4)成图.顺次连结A'B'C'D'E'F',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正六棱柱的直观图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
[题后反思] (1) 画轴→画底面→画侧棱→成图.
(2) 画法规则可简记为:两轴夹角为45°,竖轴垂直仍不变,平行不变,长度变,横竖不变,纵折半.
变式 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm, 3cm, 2cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
解 (1) 画轴.如图所示,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°, ∠xOz=90°.
(2) 画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A, B, C, D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A, B, C, D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA', BB', CC', DD'.(4)成图.顺次连结A', B', C', D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
【例3】 已知△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为 a2 .
[规范板书] 画△ABC直观图如图6①所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(图6)
则A'D'=a,又∠x'O'y'=45°, ∴ A'O'=a.画△ABC的实际图形.
如图6②所示,AO=2A'O'=a, BC=B'C'=a, ∴ S△ABC=BC·AO=a2.
[题后反思] 在直观图中,原来与轴平行的 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线仍然与轴平行,角的大小一般都改变了,因此在已知直观图而计算原图中的有关数据时,首先要将直观图还原.
*【例4】 如图7①,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O和x'轴垂直,且A'O'=2.则△AOB的边OB上的高为 4 .
[规范板书] 解 过A'作A'H'∥y'轴,交x'轴于H'.在Rt△A'H'O'中,因为A'O'=2, ∠A'H'O'=45°,
( http: / / www.21cnjy.com )① ( http: / / www.21cnjy.com )②(图7)
∴ A'H'=2.
∴ △AOB边OB上的高为4.
四、 课堂练习
1. 下列叙述中正确的个数是 0 .
① 相等的角,在直观图中仍相等;
② 长度相等的线段,在直观图中长度仍相等;
③ 若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行;
④ 若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.
解析 从原图到直观图只能保证平行于 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴、y轴的直线仍平行于x'轴、y'轴,但不能保证平行直线依然平行,平行于x轴的线段长度保持相等,而其他线段则没有类似的规律,故四个命题均为假命题.
2. 用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图,则正五边形的各个角 不全相等 (填“相等”、“不相等”、“不全相等”).
解析 作出直观图可知各个角不全相等.
3. 平面直角坐标系中的点M(4, 4)在直观图中对应点M',则M'的坐标为 (4, 2) .
解析 根据斜二测画法可知M'的坐标为(4, 2).
4. 如图所示是水平放置的三角形的直观图,A'B'∥y轴,则原图中△ABC是 直角 三角形.
(第4题)
解析 ∵ A'B'∥y轴,
∴ ∠B'A'C'=45°,
∴ ∠BAC=90°.即△ABC是直角三角形.
五、 课堂小结
1. 本节课学习了立体几何中直观图的画法——斜二测画法.
2. 用斜二测画法画直观图的规则是什么
第5课时 平面的基本性质
教学过程
一、 问题情境
情境1:平静的水面、平坦的足球场、广阔的草原、平滑的桌面、黑板的表面.
情境2:棱柱的表面,圆柱、圆台的底面.
二、 数学建构
问题1 这些事物给我们一种怎样的印象
(像这些桌面、平静的水面、镜面、黑板面等都给我们以平面的印象)
问题2 平面有什么特征
(总结平面的基本特征:平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空间是无限延展的)
问题3 我们可以用怎样的语言描述平面
1. 平面的表示:
(1) 图形语言:
(图1)
(2) 符号语言:平面通常用希腊字母α, β, γ,…表示,也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面α、平面AC.
问题3-1 直线可以看成是点的集合,那平面能否看成是点的集合 可以用怎样的数学语言描述点、线、面之间的关系 (可以借助集合中的符号表示)
数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达
A∈l 点A在直线l上
A l 点A在直线l外
A∈α 点A在平面α内
A α 点A在平面α外
l α 直线l在平面α内
l α 直线l在平面α外
l∩m=A 直线l, m相交于点A
α∩β=l 平面α、 β相交于直线l
2. 平面的基本性质:
问题4 如何刻画平面的“平”、“没有厚薄”、“无限延展”这些特征
情境3:木工为了检查桌面是否平,常将一把直尺靠放在桌面上,看直尺与桌面之间是否有空隙.
问题4-1 如果一条直线上有两个点在平面内,那么这条直线与这个平面有怎样的位置关系
公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
图形: 符号表示:
(图2) AB α.
情境4:(1) 演示:将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上,试问硬纸板所在平面与桌面有多少个公共点呢 为什么
(2) 将教室的门和门所在的墙面看成两个平面,当门开着时,他们的公共点的分布情况如何
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
图形: 符号表示:
( http: / / www.21cnjy.com )(图3) α∩β=l
且A∈l.
问题4-2 公理2对平面提出了什么样的要求 有何意义
问题5 平面是不是存在呢,如何保证平面的存在
情境5:(1) 两个合页和一把锁就可以将一扇门固定.
(2) 照相机支架只需三条腿就够了.
问题5-1 如何用数学语言描述上述事实
公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
(图4)
用符号表示:C 直线AB 存在唯一的平面α,使得A∈α, B∈α, C∈α.
三、 数学运用
【例1】 下列对平面的描述语句:
① 平静的太平洋面就是一个平面;
② 8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚;
③ 四边形确定一个平面;
④ 平面可以看作空间的点的集合,它是一个无限集.
其中正确的是 ④ (填序号).
解 ① 错误.太平洋面只是给我们以平面的形象,而平面是抽象的,可无限延展的;
② 错误.平面是无大小,无厚薄之分的;
③ 错误.如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面;
④ 正确.平面是空间中点的集合,是无限集.
[题后反思] 要注意平面的以下特点: ( http: / / www.21cnjy.com )(1)平面是平的.(2)平面是没有厚度的.(3)平面是无限延展而没有边界的.(4)平面是由空间点、线组成的无限集合.(5)平面图形是空间图形的重要组成部分.
【例2】 用符号语言表示下列语句:
(1) 点B在平面β内,但在平面α外.
(2) 直线l经过平面β外一点A.
(3) 直线m既在平面α内,又在平面β内,即平面α和β相交于直线m.
解 (1) B∈β,且B α.
(2) A β,且A∈l.
(3) m α, m β,则α∩β=m.
变式 将下列符号语言转化为图形语言:
(1) A α, a α C .
(2) α∩β=a, P α且P β D .
(3) a α, a∩α=A A .
(4) α∩β=a, α∩γ=c, β∩γ=b, a∩b∩c=O B .
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【例3】 (1) 一条直线经过平面内一点与平面外一点,它和这个平面有几个公共点 为什么
[规范板书] 解 这条直线和这个平面只 ( http: / / www.21cnjy.com )有一个公共点.假设这条直线和这个平面有两个公共点.根据公理1可得这条直线上所有的点都在这个平面内,故这条直线过平面外的一点也在这个平面内,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图5)
这与已知矛盾.所以这条直线与这个平面只有一个公共点.
(2) 如图,在正方体ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D-A1B1C1D1中,点M, N, E, F分别是棱CD, AB, DD1, AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D, A, Q三点共线.
[规范解答] 证明 ∵ MN∩EF=Q,∴ Q∈直线MN, Q∈直线EF.
又∵ M∈直线CD, N∈直线AB, CD 平面ABCD, AB 平面ABCD,
∴ M, N∈平面ABCD, ∴ MN 平面ABCD. ∴ Q∈平面ABCD.
同理,可得EF 平面ADD1A1. ∴ Q∈平面ADD1A1.
又∵ 平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
∴ Q∈直线AD,即D, A, Q三点共线.
[题后反思] 1. 公理1 ( http: / / www.21cnjy.com )的作用有三:一是可以用来判定一条直线是否在平面内,即要判定直线在平面内,只需确定直线上两个点在平面内即可;二是可以用来判定点在平面内,即如果直线在平面内、点在直线上,则点在平面内;三是表明平面是“平的”.
2. 公理2的作用有二:一是判定两个平面相 ( http: / / www.21cnjy.com )交,即如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面相交;二是判定点在直线上,即点若是某两个平面的公共点,那么这点就在这两个平面的交线上.
证明多点共线通常利用公理2,即两相交平面交线 ( http: / / www.21cnjy.com )的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上.
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(图6)
【例4】 如图6,四面体ABCD中,E, G ( http: / / www.21cnjy.com )分别为BC, AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=2∶3, DH∶HA=2∶3,求证:EF, GH, BD交于一点.
[处理建议] 引导学生思考如何证明三线共点,之前是否见过类似的问题
[规范解答] 证明 连结GE ( http: / / www.21cnjy.com ), HF. ∵ E, G分别为BC, AB中点, ∴ GE∥AC. 又∵ DF∶FC=2∶3, DH∶HA=2∶3, ∴ HF∥AC. ∴ GE∥HF,故G, E, F, H四点共面.
又∵ EF与GH不能平行,设EF ( http: / / www.21cnjy.com )∩GH=O,则O∈平面ABD, O∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD, ∴ EF, GH, BD交于一点.
[题后反思] 三线交于一点→点在线上→线为两平面的交线.
四、 课堂练习
1. 用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”: A∈l, l α .
2. 下列叙述中,正确的是(D).
A. ∵ P∈α, Q∈α, ∴ PQ∈α
B. ∵ P∈α, Q∈β,∴ α∩β=PQ
C. ∵ AB α, C∈AB, D∈AB, ∴ CD∈α
D. ∵ AB α, AB β,∴ α∩β=AB
3. 四条线段顺次首尾相接,所得的图形一定是平面图形吗
解析 空间四边形.
五、 课堂小结
1. 平面的概念及其表示方法.
2. 文字语言、图形语言以及符号语言的转化.
3. 平面的性质的三个公理及其作用.
第6课时 空间两条直线的位置关系(1)
教学过程
一、 问题情境
数学实验:研究问题导引1(方法:学生用自己手中的笔作为两条直线摆一摆)
二、 数学建构
问题1 回答问题导引1的问题 并观察,空间两条直线的位置关系有哪些 教室内有哪些直线的实例 它们有什么位置关系
(学生探讨)
归纳得空间两条直线的位置关系有以下三种:
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 同一平面内 1
平行直线 同一平面内 0
异面直线 不同在任何一个平面内 0
可以从两个方面,即是否有公共点和是否共面的角度加以分类,加深认识.
问题2 问题导引2如何解决
(自然引出公理4)
在平面几何中,同一平面内的三条直线a, b, c,如果a∥b且b∥c,那么a∥c,这个性质在空间是否成立呢
观察下面的长方体和圆柱:
( http: / / www.21cnjy.com )(图2) ( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
归纳小结:
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示: a∥c.
思考 经过直线外一点,有几条直线和这条直线平行 (1条)
(求证:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
已知:点P a.
求证:过点P和直线a平行的直线b有且仅有一条.
证明 ∵ P a,
∴ 点P和直线a确定平面α.
在平面α内过点P作直线b与直线a平行(由平面几何知识).
假设过点P还有一条直线c与直线a平行,则
∵ a∥b, a∥c,
∴ b∥c,这与b, c共点P矛盾.
∴ 直线b唯一.
∴ 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行)
三、 数学运用
【例1】 (教材P26例1)如图4,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E, F分别是AB, BC的中点.
求证:EF∥A1C1.
( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
证明 连结AC.在△ABC中,E, F分别是AB, BC的中点,所以EF∥AC.
又因为AA1∥BB1且AA1=BB1, BB1∥CC1且BB1=CC1,
所以AA1∥CC1且AA1=CC1,即四边形AA1C1C是平行四边形.
所以AC∥A1C1,从而EF∥A1C1.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图5)
问题1 在平面中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.这一结论在空间成立吗
引导学生观察图4中的∠BEF和∠B1A1C1的关系归纳:
定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
(1) 要求画出图形并写出已知、求证.
已知:如图5所示,∠BAC和∠B1A1C1 ( http: / / www.21cnjy.com )的边AB∥A1B1, AC∥A1C1,且射线AB与A1B1同向,射线AC与A1C1同向,求证:∠BAC=∠B1A1C1.
对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形,在初中几何中已经证明,下面证明两个角不在同一平面内的情形.
分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1.
因为,AD A1D1,所以AA1D1D是平行四边形,所以AA1 DD1.同理可得AA1 EE1,所以DD1E1E是平行四边形.
在△ADE和△A1D1E1中,AD=A1D1, AE=A1E1, DE=D1E1,
于是△ADE≌△A1D1E1,
所以∠BAC=∠B1A1C1.
思考 如果∠BAC和∠B1A1C1的边 ( http: / / www.21cnjy.com )AB∥A1B1, AC∥A1C1,且AB, A1B1方向相同,而边AD, A1D1方向相反,那么∠BAC和∠B1A1C1之间有何关系 为什么
(引导学生用四支笔摆放,发现它们相等或互补)
【例2】 如图6,空间四边形ABCD中,E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.
( http: / / www.21cnjy.com )(图6)
证明 连结BD. ∵ EH是△ABD的中位线,∴ EH∥BD, EH=BD.同理,FG∥BD, FG=BD.
∵ EH∥FG,且EH=FG,
∴ 四边形EFGH为平行四边形.
[题后反思] 证明两条直线平行的方法:
① 平行直线的定义:在同一平面内没有公共点的两直线是平行直线.
② 利用三角形中位线平行于底边这一性质.
③ 利用公理4.
④ 利用平行四边形对边互相平行的性质.
变式 如图6所示,已知E, F分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点,G, H分别是CD与AD上靠近点D的三等分点,求证:四边形EFGH是梯形.
【例3】 已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M, N分别是棱CD, AD的中点.
求证:(1) 四边形MNA1C1是梯形.
(2) ∠DNM=∠D1A1C1.
[规范板书] 证明 (1) 如图7,连结AC.在△ACD中,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图7)
∵ M, N分别是CD, AD的中点, ∴ MN是△DAC的中位线,∴ MN∥AC, MN=AC.
由正方体的性质得:AC∥A1C1, AC=A1C1.
∴ MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1, ∴ 四边形MNA1C1是梯形.
(2) 由(1)可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,
∴ ∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角,
∴ ∠DNM=∠D1A1C1.
*【例4】 如图8,已知ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,求证:E, B, F, D1四点共面.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图8)
证明 在DD1上取一点N,使得DN=1 ( http: / / www.21cnjy.com ),连结CN, EN.显然四边形CFD1N是平行四边形,所以D1F∥CN.同理四边形DNEA是平行四边形,所以EN∥AD,且EN=AD.又BC∥AD,且AD=BC,所以EN∥BC, EN=BC,所以四边形CNEB是平行四边形,所以CN∥BE.所以D1F∥BE,所以E, B, F, D1四点共面.
四、 课堂练习
1. 若空间两条直线a, b没有公共点,则其位置关系是 平行或异面 .
2. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系.
(1) 直线A1B与直线D1C的位置关系是 平行 .
(2) 直线A1B与直线B1C的位置关系是 异面 .
(3) 直线D1D与直线D1C的位置关系是 相交 .
(4) 直线AB与直线B1C的位置关系是 异面 .
( http: / / www.21cnjy.com )(第2题) ( http: / / www.21cnjy.com )(第4题)
3. 已知a, b, c是三条直线,若a与b异面,b与c异面,则a与c的位置关系是 平行或相交或异面 .
4. 如图,P是△ABC所在平面外一点,点D, E分别是△PAB和△PBC的重心,求证:DE∥AC, DE=AC.
证明 连结PD, PE,并延长分别 ( http: / / www.21cnjy.com )交AB, BC于点M, N. ∵ 点D, E分别是△PAB, △PBC的重心, ∴ M, N分别是AB, BC的中点.
连结MN,则MN∥AC,且MN=AC.①
在△PMN中, ∵ =, ∴ DE∥MN,且DE=MN.②
由①②根据公理4,得DE∥AC,且DE=MN=AC.
五、 课堂小结
1. 空间两条直线的位置关系.
2. 公理4和等角定理.
3. 公理4和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间;等角定理是通过构造全等三角形来证明的,这个过程就是一个平面化的过程.
第7课时 空间两条直线的位置关系(2)
教学过程
一、 问题情境
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
如图2,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C与B1B具有怎样的位置关系 图中还有哪些异面直线 [3]
二、 数学建构
问题1 如何判断两条直线是异面直线 (直观判断:相离、错开)
问题2 如果只有两条直线,还能不能准确判断
(平面衬托法表示异面直线)如图3所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
问题3 已知a α, A α, B∈α , B a,直线AB与a是否是异面直线(证明见教材P28末,用反证法+推论1即可)
定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.
符号表示:若l α, A α, B∈α, B l,则直线AB与l是异面直线.
三、 数学运用
【例1】 如图5所示,在空间四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中,AB≠AC,AE是△ABC的边BC上的高,DF是△BCD的边BC上的中线,求证:AE和DF是异面直线.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图5)
证法一 (定理法)由题设条件可知点E, F不重合,设△BCD所在的平面为α,如图5所示. ∴∴AE和DF是异面直线.
证法二 (反证法)若AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE, DF的平面为β.
① 若E, F重合,则E是BC的中点,从而有AB=AC,这与题设AB≠AC相矛盾.
② 若E, F不重合, ∵ B∈EF, ( http: / / www.21cnjy.com ) C∈EF, EF β, ∴ BC β.又A∈β, D∈β, ∴ A, B, C, D四点共面,这与题设ABCD是空间四边形相矛盾.
综合①②, AE和DF是异面直线.
问题4 异面直线错开程度可以怎样来刻画
(思想方法:平移转化成相 ( http: / / www.21cnjy.com )交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角,公理4为平移前后两条直线保持位置上的平行提供保证,等角定理则为平移后保持角的大小不变提供理论基础)
通过讨论 如图,已知两条异面直线a ( http: / / www.21cnjy.com ), b,经过空间任一点O作直线a'∥a, b'∥b,则把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
(图6)
异面直线所成角θ的取值范围:(0°, 90°].
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直.
异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求A1B与B1D1所成的角.(2)求AC与BD1所成的角.
[规范板书] 解 (1) 如图7,连结BD, A1D, A1B.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图7)
∵ ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴ DD1 BB1,
∴ DBB1D1为平行四边形, ∴ BD∥B1D1.
∵ A1B, BD, A1D是全等的正方形的对角线,
∴ A1B=BD=A1D,即△A1BD是正三角形,
∴ ∠A1BD=60°. ∵ ∠A1BD是锐角,
∴ ∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角,
∴ A1B与B1D1所成的角为60°.
(2) 取DD1的中点E,连结EO, EA, EC.
∵ O为BD的中点, ∴ OE∥BD1.
∵ ∠EDA=90°=∠EDC, AD=DC, ∴ △EDA≌△EDC, ∴ EA=EC.
在等腰三角形EAC中,∵ O是AC的中点, ∴ EO⊥AC, ∴ ∠EOA=90°.即AC与BD1所成的角为90°.
[题后反思] (1) 求 ( http: / / www.21cnjy.com )两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面,也就是通过平移直线至相交位置求角,它是立体几何问题的一个难点,找异面直线所成的角时可综合运用多种方法,总结起来有如下“口诀”:中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形柱中见,指出成角很关键;求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行线若在外,补上原体在外边.
(2) 求两异面直线所成角的基本步骤是:
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变式 如图8所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°, BC=, D是平面ABC外的一点,DA⊥AC, DA⊥AB.若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成的角的余弦值.
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(图8)
解 如图8,取AC的中点F,连结EF和BF.在△ACD中,E, F分别是AD, AC的中点, ∴ EF∥CD.
∴ ∠BEF和其补角当中的较小角即为异面直线BE与CD所成的角.
又∵ △ABC为等腰直角三角形,且BC=, DA=1,
∴ 在Rt△EAB中,AB=1, AE=AD=, ∴ BE=.
在Rt△AEF中, ∵ AC=1, ∴ AF=, AE=, ∴ EF=.
在Rt△ABF中, ∵ AB=1, AF=,
∴ BF=.
在等腰三角形EBF中,
cos∠FEB===.
故异面直线BE与CD所成的角的余弦值为.
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(图9)
*【例3】 如图9,在长方体ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D-A1B1C1D1中,AB=BC=2a, AA1=a, E, F分别是A1B1和B1C1的中点,求异面直线AE与BF所成的角.
解 取A1D1中点G,连结AG, GE.
∵ AB A1B1 GF,
∴ 四边形AGFB为平行四边形,∴ AG∥BF,
∴ ∠GAE是异面直线AE与BF所成的角.
∵ A1E=A1G=A1A=a,
∴ AG=AE=GE=a.
∴ ∠GAE=60°,即异面直线AE与BF所成的角为60°.
四、 课堂练习
1. 下列说法正确的有 ③ (填序号).
① 两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线;
② 两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线;
③ 两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线;
④ 两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线.
解析 ①只说明两直线不同在一个平 ( http: / / www.21cnjy.com )面内,没有说明平面的任意性;②把两条直线放到特定的两个平面内,也不具有任意性;③从反面肯定了两直线的异面;④中的两条直线可能在同一平面内.故填③.
2. 已知a, b, c是空间三条直线,则下列说法中正确的个数为 0 .
① 若a⊥b, b⊥c,则a∥c;
② 若a, b是异面直线,b, c是异面直线,则a, c也是异面直线;
③ 若a, b相交,b, c相交,则a, c也相交;
④ 若a, b共面,b, c共面,则a, c也共面.
解析 若a⊥b, b⊥c, 则a, ( http: / / www.21cnjy.com ) c平行或相交或异面,故①错;若a, b异面,b, c异面,则a, c相交或平行或异面,故②错;若a, b相交,b, c相交,则a, c相交或平行或异面,故③错;若a, b共面,b, c共面,则a, c共面或异面,故④错.故填0.
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(第3题)
3. 如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有 3 对.
解析 根据异面直线的定义可知共3对;AP与BC, CP与AB, BP与AC.
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与A1B成45°角的棱有 8 条.
5. (2011年镇江质检)空间四边形ABCD中,AB, BC, CD的中点分别是P, Q, R,且PQ=2, QR=, PR=3,那么异面直线AC和BD所成的角是 90° .
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题)
解析 如图, ∵ PQ AC, QR BD,
∴ ∠PQR为异面直线AC与BD所成的角,由勾股定理得∠PQR=90°.
五、 课堂小结
1. 判定两直线的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com )的依据是两条直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方法.另外,我们解决空间有关线线问题时,不要忘了我们生活中的模型,比如说教室就是一个长方体模型,里面的线线关系非常丰富,我们要好好地利用它,它是我们培养空间想象能力的好工具.
2. 在研究异面直线所成角的大 ( http: / / www.21cnjy.com )小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是,两条异面直线所成角α的范围是0°<α≤90°,解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.
作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生, ( http: / / www.21cnjy.com )主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
第8课时 直线与平面的位置关系(1)
教学过程
一、 问题情境
把桌面作为平面,笔作为直线,摆一摆,观察直线与平面有哪几种位置关系
二、 数学建构
问题1 空间一条直线与一个平面可能有几个公共点 (0或1或无数)
归纳小结:一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:
位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α=A a∥α
图形表示
注:直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,符号表示:a α.
问题2 怎样判定直线和平面平行 除了定义还有什么方法
(启发学生观察转动的门的一边与墙面关系,并提出判定线面平行的猜想)
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
1. 观察如图所示的长方体,直线A1B1与平面ABCD的位置关系如何 为什么
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
问题3 (1) 你能从中抽象出一般图形吗
(2) 由上面的问题你能得到一个什么命题
2. 直线和平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
图形表示: 符号表示:
(图3) a∥α.
简记为:线线平行 线面平行
思考 为什么要求“平面外一条直线”
问题4 如果直线a和平面α平行,那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线b都平行
(直线a与平面α平行,则直线a与平面α没有公共点,所以a与b没有公共点,所以两直线平行或异面)
(图4)
问题5 哪些直线与a平行
如图4,已知直线l∥α, l β, α∩β=m,则直线l与m的位置关系如何 为什么
问题6 你能得到一个什么样的命题
直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
符号语言: l∥m.
图形语言:
( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
简记为:线面平行 线线平行.
三、 数学运用
【例1】 以下说法中正确说法的个数是 0 .
① 若a∥b, b α,则a∥α;
② 若a∥α, b∥α,则a∥b;
③ 若a∥b, b∥α,则a∥α;
④ 若a∥α, b α,则a∥b.(其中a, b表示直线,α表示平面)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图6)
解析 如图6,在长方体ABCD-A' ( http: / / www.21cnjy.com )B'C'D'中,AB∥CD, AB 平面ABCD,但CD 平面ABCD,故①错误;A'B'∥平面ABCD, B'C'∥平面ABCD,但A'B'与B'C'相交,故②错误;AB∥A'B', A'B'∥平面ABCD,但AB 平面ABCD,故③错误;A'B'∥平面ABCD, BC 平面ABCD,但A'B'与BC异面,故④错误.
[题后反思] 借助几何模型(如长方体、正方体、三棱锥等)是解决此类位置关系判断题的有效方法.
变式 下列说法中正确的是 ③④ (填序号).
① 直线l与平面α不平行,则l与α相交;
② 直线l在平面外,是指直线和平面平行;
③ 如果直线l经过平面α内一点P,又经过平面α外一点Q,则直线l与平面α相交;
④ 如果直线a∥b,且a与平面α相交于点P,那么直线b必与平面α相交.
解析 若直线l与平面α不平行,则l与α相交或l α, ∴ ①不正确.
若l α,则l∥α或l与α相交, ∴ ②不正确.
【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分别是棱BC, C1D1的中点,求证:EF∥平面BB1D1D.
证明 如图7,取D1B1的中点O,连结OF, OB. ∵ OF B1C1, BE B1C1, ∴ OF BE,四边形OFEB为平行四边形, ∴ EF∥BO. ∵ EF 平面BB1D1D, BO 平面BB1D1D, ∴ EF∥平面BB1D1D.
变式 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,求证:BD1∥平面ACE.
( http: / / www.21cnjy.com )(图7) ( http: / / www.21cnjy.com )(图8)
解 如图8所示,连结BD ( http: / / www.21cnjy.com )交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点,又因为E为DD1的中点,所以OE∥BD1.又∵ OE 平面ACE, BD1 平面ACE, ∴ BD1∥平面ACE.
【例3】 如图9,在四棱锥P-ABCD中,M, N分别是棱AB, PC的中点,若ABCD是平行四边形,求证:MN∥平面PAD.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图9)
[处理建议] 引导学生思考证明线面平行的方法.
证明 方法1:取PD中点 ( http: / / www.21cnjy.com )E,连结NE, AE.则NE∥CD∥AM,且NE=AM,所以四边形NEAM是平行四边形.所以MN∥AE,所以MN∥平面PAD.
方法2:连结CM并延长交DA延长线于F,连结PF.因为M, N分别是CP, CF中点,所以MN∥PF,所以MN∥平面PAD.
[题后反思] 证明线面平行的方法,利用线线平行(平行投影或中心投影).
*【例4】 (2012江苏高考改编) ( http: / / www.21cnjy.com )如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1, D, E分别是棱BC, CC1上的点,且AD⊥BC, F为B1C1的中点.求证:直线A1F∥平面ADE.
证明 ∵ 在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图10)
∴ AB=AC. 又∵ AD⊥BC, ( http: / / www.21cnjy.com )∴ D为BC中点.又∵ F为B1C1中点, ∴ BD B1F, ∴ 四边形BDFB1为平行四边形. ∴ FD B1B.又∵ A1A B1B, ∴ FD A1A, ∴ 四边形A1ADF为平行四边形, ∴ A1F∥AD. 又∵ A1F 平面ADE, AD 平面ADE, ∴ A1F∥平面ADE.
四、 课堂练习
1. 已知直线l∥平面α,直线m α,则直线l和m的位置关系是 平行或异面 .
2. 梯形ABCD中,AB∥CD, AB 平面α, CD 平面α,则直线CD与平面α的位置关系是 CD∥α .
解 因为AB∥CD, AB 平面α, CD 平面α,由线面平行的判定定理可得CD∥α.
3. 能保证直线a与平面α平行的条件是 ④ (填序号).
① b α, a∥b;
② b α, c∥α, a∥b, a∥c;
③ b α, A、 B∈a, C、 D∈b,且AC=BD;
④ a α, b α, a∥b.
解 ① 错误,若b α, a∥b,则a∥α或a α;
② 错误,若b α, c∥α, a∥b, a∥c,则a∥α或a α;
③ 错误,若满足此条件,则a∥α或a α或a与α相交;
④ 正确.
4. 三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.求证:AC1∥平面B1CD.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
证明 连结BC1,交B1C于E. ∵ 三 ( http: / / www.21cnjy.com )棱柱ABC-A1B1C1, ∴ 侧面BB1C1C为平行四边形,且E为B1C中点.又D是AB中点,∴ DE为△ABC1的中位线,∴ DE∥AC1. ∵ DE 平面B1CD, AC1 平面B1CD, ∴ AC1∥平面B1CD.
五、 课堂小结
1. 线面平行的判定定理:线线平行 线面平行.
2. 线面平行判定定理在使用时通常要在平面内找到一条直线与已知直线平行.
第9课时 直线与平面的位置关系(2)
教学过程
一、 问题情境
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
(教材P33例2)一个长方体木块如图2所示,要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开,应该怎样画线
二、 数学建构
问题 在平面A1C1内画出的过点P的交线与BC之间有什么关系 与B1C1又有什么关系
(通过这个问题的思考,引导学生复习巩固直线与平面平行的性质定理.)
分析 点P与BC确定平面α,根据题意,应画出平面α与长方体各面的交线.
因为点P既在平面α内又在平面A1C1内 ( http: / / www.21cnjy.com ),由公理2,平面α与平面A1C1必相交于经过点P的一条直线.设这条直线与A1B1, C1D1的交点分别为E, F.
由于BC∥B1C1,故BC∥平面A1C1,由直线与平面平行的性质定理得BC∥EF.因此只要在平面A1C1内过点P作B1C1的平行线即可.
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(图3)
三、 数学运用
【例1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1 ( http: / / www.21cnjy.com )中,E为B1C1的中点,则过三点A, C, E确定一平面,请画出平面ACE与正方体的其中四个面的交线.
[处理建议] 让学生亲自作图,体会直线与平面平行的性质定理的一个简单运用.
[规范板书] 作法 取A1B1的中点M,连结EM, AM,则CE, EM, AM, AC即平面ACE分别与正方体其中四个面的交线.
[题后反思] 解题时,应用直线和平面平行的性质定理,要注意把线面平行转化为线线平行.
【例2】 (教材P34例3)求证:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.
已知:平面α, β, γ, α∩β=l, α∩γ=m, β∩γ=n,且l∥m.
求证:n∥l, n∥m.
[处理建议] 分析时先引导学生将三棱柱作为本题的基本模型,进而由三棱柱的
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(图4)
三条侧棱与侧面之间的关系,探索证明思路.
[规范板书] 证明
n∥l.
[题后反思] 通过该题的教学,让学生领会到,证明直线与直线平行可以转化为证明直线与平面平行.
思考 如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线相交,那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系呢
答 第三条直线必经过前两条直线的交点(或三条直线交于同一点).
【例3】 已知a, b为平面α外的两条直线,a∥b且a∥α,求证:b∥α.
[处理建议] 先由学生讨论,尝试自己画图并加以证明;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,纠正出现的错误.
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(图5)
[规范板书] 证明 过直线a作 ( http: / / www.21cnjy.com )平面β交α于直线c,则由直线与平面平行的性质定理知:a∥c, 又a∥b,所以b∥c,而b为平面α外的一条直线,所以b∥α.
[题后反思] 本题通过巧妙地运用直线与平面平行的性质定理和判定定理,实现了直线与平面、直线与直线平行位置关系的相互转化.
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(图6)
【例4】 如图6,四棱锥P-ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中,过AD且与BC平行的平面ADNM,与PB, PC分别交于M, N两点.求证:(1) BC∥MN. (2) MN∥平面ABC.
证明 ∵ BC∥平面ADNM ( http: / / www.21cnjy.com ),平面BCP∩平面ADNM=MN, BC 平面PBC, ∴ BC∥MN.又∵ MN 平面ABCD, BC 平面ABCD, ∴ MN∥平面ABCD.
利用线面平行的性质定理解题的步骤:
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四、 课堂练习
1. 下列语句中,正确的个数为(0)个
①一条直线和另一条直线平行,它和经过另一条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线的任何平面平行;②一条直线和一个平面平行,它和这个平面内的任何直线平行;③过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条;④平行于同一个平面的两条直线互相平行.
2. 将本书平放在桌面上,翻动书的封面,封面外缘(书脊的对边)所在直线与桌面所在的平面是否平行 为什么
答 两种情况:一是封面外缘在桌面内;二是当封面外缘在桌面外时,由直线与平面平行的判定定理知,封面外缘所在直线平行于桌面所在的平面.
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(第3题)
3. 经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E,求证:E1E∥B1B.
提示 由B1B∥面A1ADD1及直线与平面平行的性质定理.
4. 如图,四边形ABCD是平行四边形,点 ( http: / / www.21cnjy.com )P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
证明 连结AC交BD于点O,连结MO. ∵ ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD是平行四边形,∴ O是AC中点.又M是PC的中点,∴ AP∥OM.则有PA∥平面BMD. ∵ 平面PAHG∩平面BMD=GH,∴ PA∥GH.
五、 课堂小结
1. 直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用.
2. 掌握证明线面平行和线线平行的方法:
(1) 证明线面平行的关键是证明线线平行;
(2) 证明两条直线平行的方法有:平行的传递性(公理4)、直线与平面平行的性质定理.
第10课时 直线与平面的位置关系(3)
教学过程
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
一、 问题情境
观察一个圆锥,回顾其定义:
直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体叫圆锥.
二、 数学建构
问题1 圆锥的轴SO与底面内的哪些直线垂直呢
(结合初中知识,通过观察引导学生探索圆锥的轴与底面任一半径垂直的关系)
问题2 能不能说轴SO垂直于底面中的所有直线呢 为什么
(引导学生得出圆锥的轴与底面任意一条直线都垂直,从而引出直线与平面垂直的概念)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
通过讨论,给出
1. 直线与平面垂直的概念
如图2,如果一条直线a和一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a与平面α互相垂直,记作a⊥α.
直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,垂线和平面的交点称为垂足.
画法:画直线和平面垂直时,通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直.
引导学生从以下方面理解概念:
(1) “任意”表示所有(提问:若直线与平面内的无数条直线垂直,则直线垂直于平面吗 如不是,直线与平面的位置关系如何 )
(2) 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况,在垂直时,直线与平面的交点叫做垂足.
(3) a⊥α等价于对任意的直线m α,都有a⊥m.
(4) 直线与平面垂直的判定方法之一:定义法.
作为概念的巩固,给出问题3:
问题3 (1) 过一点有 条直线与已知平面垂直.
(2) 过一点有 个平面与已知直线垂直.
结论 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
再引出以下两个概念:
2. 点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
3. 直线到平面的距离
一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.
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(图3)
三、 数学运用
【例1】 (教材P36例1)求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
已知:a∥b, a⊥α,求证:b⊥α.
[处理建议] 让学生独立将文字语言翻译成符号语言和图形语言,并分析得,只要证明b与平面α内任意一条直线都垂直.
[规范板书] 证明 设m是α内的任意一条直线.
b⊥α.
[题后反思] 例1是直线与平面垂直的定义的一个简单运用,教学时要特别强调m是平面α内的任意一条直线.
问题1 除了用定义来证明直线与平面垂直还能有什么办法
问题2 一直线垂直于平面内的一条直线则直线垂直于平面
一直线垂直于平面内的两条直线则直线垂直于平面
一直线垂直于平面内的无数条直线则直线垂直于平面
问题3 将一张矩形的纸片对折后展开,竖立在桌面上,观察折痕与桌面,你发现了什么
猜想:一直线垂直于两相交直线,那么垂直于这个平面.
4. 直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
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(图4)
符号表示:
a⊥α.
图形表示:
5. 直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
符号表示: a∥b.
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(图5)
图形表示:
分析:直接证明a∥b比较困难,我们采用反证法来证明.
证明 假设b不平行于a,设b∩α=O, b'是经过点O与直线a平行的直线.
直线b与b'确定平面β,设α∩β=c.
因为a⊥α, b⊥α,所以a⊥c, b⊥c.又因为b'∥a,所以b'⊥c.
这样在平面β内,经过直线c上同一点O,就有两条直线b, b'与c垂直,显然不可能.
因此a∥b.
【例2】 (教材P37例2)已知:直线l∥α.求证:直线l上各点到平面α的距离相等.
[处理建议] 先由学生讨论,尝试运用性质定理解决问题.
[规范板书] 证明 过直线l上任意两点A, B分别作平面α的垂线AA', BB',垂足分别为A', B'.
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(图6)
∵AA'⊥α, BB'⊥α, ∴ AA'∥BB'.
设经过直线AA', BB'的平面为β, β∩α=A'B'.
∵ l∥α, ∴ l∥A'B'. ∴ 四边形AA'B'B为平行四边形.
∴ AA'=BB'.
由A, B是直线l上任意的两点,可知直线l上各点到这个平面距离相等.
[题后反思] 本例是直线与平面垂直的性质定理的一个运用.教学时应指出,运用性质定理的关键是创设定理成立的两个条件.
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(图7)
【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:BD⊥平面ACC1A1.
[处理建议] 引导学生讨论,在正方体中有哪些线、面垂直关系.
[规范板书] 证明 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
BD⊥平面ACC1A1.
四、 课堂练习
1. 已知a, b是不同的直线,α是平面,给出下列三个命题:
① b⊥α;
② b∥α;
③ b⊥α.
其中错误的是 ②③ (填序号).
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(第2题)
2. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥平面ABCD,点E是PC的中点,点F在PB上,EF⊥PB.
(1) 求证:BC⊥平面PCD.
(2) 求证:PB⊥DF.
证明 (1) 如图,连结AC, AC交BD于点G,连结EG.
∵ 底面ABCD是正方形,
∴ G为AC的中点.
又E为PC的中点,
∴ EG∥PA.
∵ EG 平面EDB, PA 平面EDB,
∴ PA∥平面EDB.
(2) 证明 ∵ PD⊥底面ABCD, ∴ PD⊥BC, PD⊥DC, PD⊥DB.
又∵ BC⊥DC, PD∩DC=D, ∴ BC⊥平面PDC. ∴ BC⊥DE.
∵ PD=DC,点E是PC的中点,∴ DE⊥PC. ∴ DE⊥面PBC, DE⊥PB.
∵ DE⊥PB, EF⊥PB, DE∩EF=E, ∴ PB⊥平面EFD.
∴ PB⊥DF.
3. 如图,已知PA⊥α, PB⊥β,垂足分别为A, B,且α∩β=l,求证:
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题)
(1) l⊥平面APB.
(2) l⊥AB.
(1) 提示 证明l⊥PA且l⊥PB.
(2) 略.
五、 课堂小结
1. 直线与平面垂直的概念及判定定理.
2. 直线和平面垂直的性质定理,以及两个距离的定义.
3. 证明几何问题常规的方法有 ( http: / / www.21cnjy.com )两种:直接证法和间接证法,直接证法常依据定义、定理、公理,并适当引用平面几何的知识;用直接法证明比较困难时,我们可以考虑间接证法,反证法就是一种间接证法.
4. 应用直线与平面垂直的定义、判定定理及性质定理解决相关问题.
第11课时 直线与平面的位置关系(4)
教学过程
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
一、 问题情境
观察如图2所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,可以发现A1B, A1C, A1D,虽然都和平面ABCD相交,但都不与这个平面垂直.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 直线和平面垂直时,直线是否和平面一定相交
(结合前面所学知识,引导学生说出直线与平面垂直是直线与平面相交的特例)
问题2 那么直线和平面相交时,直线是否和平面一定垂直呢
(结合这个问题的思考,引导学生了解直线与平面除了垂直还有“斜交”的情况)
通过讨论,给出
1. 平面的斜线的有关概念
一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直, ( http: / / www.21cnjy.com )这条直线叫这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫斜足,斜线上一点和斜足间的线段叫这个点到这个平面的斜线段.
2. 点在平面上的射影、点到平面的垂线段
自一点A向平面α引垂线,垂足B叫做这点A在这个平面α上的射影.这点与垂足间的线段AB叫这点到这个平面的垂线段.
3. 射影的有关概念
过斜线上斜足以外的一点A向 ( http: / / www.21cnjy.com )平面α引垂线,过垂足B和斜足C的直线BC叫斜线AC在平面α上的射影.垂足和斜足间的线段BC叫这点到平面的斜线段AC在平面α上的射影.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
4. 直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角.如图中,∠ACB就是AC与α所成的角.
(二) 理解概念
1. (1) 直线和平面垂直:直线与平面所成的角是直角.
(2) 直线和平面平行或直线在平面内:直线与平面所成的角是0°的角.
(3) 直线与平面所成的角的取值范围:0°≤θ≤90°.
2. 据定义,在求直线和平面所成的角时,应按下述三种情况依次进行考虑:
(1) 直线和平面平行或直线在平面内时,直线和平面所成的角是0°角.
(2) 直线和平面垂直时,直线和平面所成的角是直角.
(3) 直线和平面斜交时,直线和平面所成的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角.
(三) 巩固概念
最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的所有角中最小的角.
三、 数学运用
【例1】 如图4所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中:
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
(1) A1D与平面ABCD所成的角为 45° .
(2) A1B与平面A1ADD1所成的角为 45° .
(3) A1C与平面ABCD所成的角的正切值为 .
[处理建议] 让学生口答,巩固直线与平面所成角的概念.
[题后反思] 例1是直线与平面所成角概念的一个简单运用,教学时要特别强调为确定直线与平面所成角的平面角,首先要找到那个线面垂直关系.
【例2】 (教材P39例3 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图,已知AC, AB分别是平面α的垂线和斜线,C, B分别是垂足和斜足,a α, a⊥BC, 求证:a⊥AB.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图5)
[处理建议] 先由学生讨论,尝试运用线面垂直的判定及性质定理解决问题.
[规范板书] 证明
a⊥AB.
[题后反思] 例2的结论也称为“三垂 ( http: / / www.21cnjy.com )线定理”,是证明线线垂直的一个典型范例.教学时要引导学生归纳,证明线线垂直有哪些方法 让学生初步体会到,证明线线垂直可以转化为证明线面垂直,证明线面垂直也可以转化为证明线线垂直.
变式 若a⊥AB,其余条件不变,求证:a⊥BC.
提示 变式即“三垂线定理的逆定理”,证法同上.
*【例3】 已知∠BAC在平面α内,P α, ∠PAB=∠PAC,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图6)
求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
证明 作PO⊥α, PE⊥AB, PF⊥AC,垂足分别为O, E, F,连结OE, OF, OA.
Rt△PAE≌Rt△PAF
AE=AF.
AB⊥平面PEO
AB⊥OE.
同理,AC⊥OF.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图7)
在Rt△AOE和Rt△AOF中,AE=A ( http: / / www.21cnjy.com )F, OA=OA,所以Rt△AOE≌Rt△AOF,于是∠EAO=∠FAO,因此,点P在α内的射影O在∠BAC的平分线上.
思考 你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗
提示 如图7所示的长方体中,四面体A1ACD的四个面都是直角三角形.
四、 课堂练习
1. 如图,∠BCA=90°, PC⊥平面ABC,则在△ABC, △PAC, △PBC的边所在的直线中:
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(第1题)
(1) 与PC垂直的直线有 AC, BC, AB .
(2) 与AP垂直的直线有 BC .
(3) 与直线AC垂直的平面有 平面PBC .
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BD1与平面AB1C所成的角是 90° .
3. 已知点A和点B到平面α的距离分别为4cm和
6cm,则线段AB的中点M到平面α的距离是 5cm或1cm .
4. 从平面外一点向平面引两条斜线段.
(1) 如果斜线段的长相等,那么它们在平面内的射影相等吗
(2) 如果它们在平面内的射影相等,那么两条斜线段的长相等吗
答 (1) 相等. (2) 相等.
五、 课堂小结
1. 有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念.
2. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理并用来证明线线垂直或线面垂直.
第12课时 平面与平面的位置关系(1)
教学过程
一、 问题情境
问题:空间两个平面之间可能有几个公共点 两个平面可能有哪几种位置关系
二、 数学建构
(一) 生成概念
探究 如图1所示,长方体ABCD- ( http: / / www.21cnjy.com )A'B'C'D'中,平面A'C'与平面AC有 0 个公共点;平面ABC'D'与平面AC有 无数 个公共点.
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(图1)
(结合前面所学知识,引导学生观察归纳正确答案)
根据两个平面公共点的情况得出两个平面的位置关系.
1. 空间两个平面的位置关系:
位置关系 两平面平行 两平面相交
图形表示
符号表示 α∥β α∩β=l
公共点 没有公共点 有一条公共直线
(二) 理解概念
问题1 你能从教室中找到空间平面的这2种位置关系吗
问题2 若两个平面平行,那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面的位置关系如何
问题3 反过来,若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行吗
评:欲证两个平面平行,只须说明一个平面内的所有直线与另一个平面平行即可.但操作性比较差,那么能否转化为一条直线
(三) 巩固概念
思考 ① 平面α内有一条直线平行于β,那么α∥β
② 平面α内有两条直线平行于β,那么α∥β
③ 平面α内有无数条直线平行于β,那么α∥β
问题4 怎样使用水平仪检测桌面是否水平
通过讨论,得出结论:
2. 两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表示:
(图2)
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(图3)
α∥β.
图形表示:
三、 数学运用
【例1】 如图3,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面C1DB∥平面AB1
[处理建议] 让学生上黑板板演,巩固两个平面平行的判定定理.
[规范板书] 证明
AB DC D1C1 ABC1D1是平行四边形
平面C1DB∥平面AB1D1.
[题后反思] 例1是两个平面平行的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定定理的一个简单运用,教学时应指出,运用判定定理的关键是创设定理成立的条件,通过分析让学生感受到:证明面面平行可以转化为证明线面平行,证明线面平行可以转化为证明线线平行.
变式 求证:垂直于同一条直线的两个平面平行.
已知:α⊥AA', β⊥AA'.
求证:α∥β.
证明 设经过AA'的两个平面γ, δ分别与平面α, β相交于直线a, a'和b, b'.(如图4)
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(图4)
∵ AA'⊥α, AA'⊥β,
∴ AA'⊥a, AA'⊥a'.
又a γ, a' γ,
∴ a∥a'.于是a'∥α.
同理可证b'∥α.
又a'∩b'=A', ∴ α∥β.
[题后反思] 本题结论可以作为另一个判定定理来使用.
问题1 分别在两个平行平面内的两条直线是否平行
回答 分别在两个平行平面内的两条直线必定没有公共点,所以只能判定它们平行或异面.
问题2 分别在两个平行平面内的两条直线在什么条件下平行 又该如何构造这样的条件
3. 两个平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行.
符号表示: a∥b.
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(图5)
图形表示:
证明 ∵ α∥β, a α, b β,∴ a, b没有公共点,
又∵ a γ, b γ,
∴ a∥b.
两个平面平行的性质定理给出了证明两条直线平行的一种方法.
【例2】 (2013·滨州模拟)如图6所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M, N分别是下底面的棱A1B1, B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P, M, N的平面交上底面于PQ, Q在CD上,求PQ的长.
[处理建议] 学生先独立思考,再讨论,尝试用两个平面平行的性质定理解决问题.
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(图6)
[规范板书] 解 如图6,连结AC, A1C1, ∵ AA1 CC1, ∴ 四边形ACC1A1是平行四边形, ∴ AC∥A1C1.又MN∥A1C1, ∴ MN∥AC. MN 面ABCD, AC 面ABCD, ∴ MN∥平面ABCD, ∴ MN∥PQ. 又∵ MN∥AC, ∴ PQ∥AC. ∴ ==, ∴ PQ=AC=a.
[题后反思] 例2是两个平面平行的性质定理的一个运用.教学时应指出,运用性质定理的关键是创设定理成立的条件.
变式 (教材P44例2)求证:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
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(图7)
已知:α∥β, l⊥α(图7).
求证:l⊥β.
[处理建议] 先由学生讨论,尝试运用两个平面平行的性质定理解决问题.
[规范板书] 证明 设l∩α=A.
在平面β内任取一条直线b,因为点A不在β内,所以点A与直线b可确定平面γ.设γ∩α=a,则
l⊥b.又∵ b是β内任一直线,故l⊥β.
[题后反思] 根据线面垂直的制定定理证明l⊥β,需由已知条件创设定理成立的条件,即在β内找两条相交直线与l垂直.
4. 两个平行平面的公垂线、公垂线段及距离
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(图8)
(1) 与两个平行平面都垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线.
(2) 公垂线夹在这两个平行平面间的线段,叫做这两个平行平面的公垂线段.
由两个平面平行的性质定理易证:平行平面的公垂线段都相等.
(3) 两个平行平面公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.
【例3】 (南京市2013届高三9月学情调研测试改编)如图9,已知斜三
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(图9)
棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点.求证:A1B∥平面ADC1.
提示 证法一:连结A1C交AC1于O,连结OD,所以OD∥A1B,得证.
证法二:取B1C1中点D1, ( http: / / www.21cnjy.com )连结A1D1, BD1.由BD C1D1,得BD1∥C1D,所以BD1∥平面ADC1.由B1D1 BD,得BB1 DD1,所以AA1 DD1.则A1D1 AD,所以A1D1∥平面ADC1,所以平面A1BD1∥平面ADC1,得证.
[题后反思] 本题体现了线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化.
四、 课堂练习
1. 判断下列命题是否正确,并说明理由:
(1) 若平面α内的两条直线分别与平面β平行,则α
与β平行.( )
(2) 若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行,则α与β平行.( )
(3) 平行于同一条直线的两个平面平行.( )
(4) 若平面α内有一条直线平行于平面β,平面β内也有一条直线平行于α,则α与β平行.( )
(5) 若平面α内的任何直线都与平面β平行,则α与β平行.( )
答 (1) 错误. (2) 正确. (3) 错误. (4) 错误. (5) 正确.
2. 下列说法正确的是(D).
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 平行于同一个平面的两条直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 平行于同一个平面的两个平面平行
3. 不在同一直线上的三点A, B, C到平面α的距离相等,且A α,则(B).
A. α∥平面ABC
B. △ABC中至少有一边平行于α
C. △ABC中至多有两边平行于α
D. △ABC中只可能有一条边与α平行
4. 已知a, b, c是三条不重合直线,α, β, γ是三个不重合的平面,有下列说法:
① a∥c, b∥c a∥b;
② a∥γ, b∥γ a∥b;
③ c∥α, c∥β α∥β;
④ γ∥α, β∥α γ∥β;
⑤ a∥c, α∥c a∥α;
⑥ a∥γ, α∥γ a∥α.
其中正确的说法是 ①④ (填序号).
五、 课堂小结
1. 两个平面的位置关系.
2. 两个平面平行的判定定理和性质定理.
3. 两个平面平行的判定方法:
①定义法; ②判定定理法; ③判定定理的推论; ④垂直于同一条直线的两个平面平行; ⑤平行于同一个平面的两个平面平行.
4. 由两个平面平行可以得到的性质有:
(1) 若α∥β, a α,则a∥β.
(2) α∥β, γ∩α=a, γ∩β=b,则a∥b.
(3) α∥β, l⊥α, l∩α=A,则l⊥β.
(4) 夹在两平行平面间的平行线段是相等的.
(5) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
第13课时 平面与平面的位置关系(2)
教学过程
一、 问题情境
幻灯片展示人造卫星轨道平面及赤道平面的图片,让学生观察.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 缓慢打开教室的门,问“门面与墙面之间的角度有什么变动 ”
(引导学生用平面角来刻画)
问题2 “人造地球卫星绕地球旋转,卫星的轨道平面和地球赤道平面的角度有什么变化 ”
(引导学生用平面角来刻画)
问题3 实际上在我们的日常生活中 ( http: / / www.21cnjy.com )有许多问题与两个平面相交所成的角有关.比如修筑水坝时,为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度,如何用数学语言刻画两个平面所形成的这种“角”呢
(引导学生通过这几个例子归纳)
通过讨论,给出二面角的有关概念.
1. 二面角的有关概念:
(1) 二面角的概念:平面内的一条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.
(2) 二面角的图形表示与符号表示:
图形表示:
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
符号表示:
① 若棱为l,两个面分别为α, β的二面角记为α-l-β;
② 若棱为AB,面为α, β的二面角,记作二面角α-AB-β或者P-AB-Q,其中P∈α, Q∈β.
(3) 二面角的平面角的定义及作法:
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
以二面角的棱上任意一点O为端点,在两个半平面内分别作棱的两条垂线OA, OB,则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
思考 二面角α-l-β的平面角∠AOB的大小与点O的位置有关吗
根据“等角定理”,二面角α-l-β的平面角∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关,而这一结论正是用平面角来度量二面角大小的理论基础.
(二) 理解概念
(1) 二面角的定义满足:①角的顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内;③角的两边分别垂直于棱.
(2) 用二面角的平面角表示二面角的大小,二面角的平面角是多少度,二面角就是多少度.
(3) 二面角的平面角的范围是[0, π].
(4) 二面角的平面角是90°时,则称为直二面角,此时组成直二面角的两个平面互相垂直.
2. 两个平面垂直的定义:
如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.
( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
记作α⊥β.
(三) 巩固概念
问题 为什么教室的门转到任何位置时,门所在的平面都与地面垂直
通过观察可以发现,门在转动的过程中,门轴始终与地面垂直.
3. 两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
符号表示: α⊥β.
应用判定定理的关键是在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面.
( http: / / www.21cnjy.com )(图5) ( http: / / www.21cnjy.com )(图6)
实例 建筑工地在砌墙时,常用铅垂线来检查所砌的墙是否和水平面垂直.
三、 数学运用
【例1】 (教材P47例1)如图7,在正方体ABCD-A1B1C1D1中:
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(图7)
(1)求二面角D1-AB-D的大小.(2)求二面角A1-AB-D的大小.
[处理建议] 让学生口答,巩固二面角及二面角平面角的概念.
[规范板书] 解 (1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面A ∴ AB⊥AD1, AB⊥AD. ∴ ∠D1AD为二面角D1-AB-D的平面角.
在Rt△D1AD中, ∠D1AD=45°, ∴ 二面角D1-AB-D的大小为45°.
(2) 同理,∠A1AD为二面角A1-AB-D的平面角,∴ 二面角A1-AB-D的大小为90°.[1]
变式 在正四面体A-BCD中,求相邻两个平面所成的二面角的平面角的余弦值.
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(图8)
解 取BC的中点E,连结AE, DE.
∵ 正四面体A-BCD,∴ BC⊥AE, BC⊥ED于E,
∴ ∠AED为二面角A-BC-D的平面角.设正四面体的棱长为1,
则AE=, DE=, AD=1,由余弦定理得cos∠AED=.
[题后反思] 求二面角的步骤:作——证——指——算.
【例2】 (教材P48例2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图9)
求证:平面A1C1CA⊥平面B1D1DB.
[处理建议] 先由学生讨论,尝试运用两个平面垂直的判定定理解决问题.
提示 证平面B1D1DB内的直线BD⊥平面A1C1CA.
[题后反思] 例2是平面与平面垂直的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定定理的一个运用,教学时应指出,运用判定定理的关键是创设定理成立的条件.通过分析让学生领会:证明面面垂直,可以转化为证明线面垂直.
变式 如图10,已知AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A, B的任一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.
提示 证BC⊥平面PAC.
( http: / / www.21cnjy.com )(图10) ( http: / / www.21cnjy.com )(图11)
【例3】 如图11,PA垂直于矩形ABCD所在平面,E, F分别为AB, PC的中点.
(1) 求证:EF⊥AB.
(2) 若面PDC与面ABCD成45°角,求证:面EFD⊥面PDC.
[处理建议] 先由学生讨论,尝试运用两个平面垂直的判定定理解决问题.
简证 (1) 取PD的中点M,并连 ( http: / / www.21cnjy.com )结AM, FM,证明AEFM是平行四边形,则EF∥AM,证AB⊥平面PAD,得AB⊥AM,所以EF⊥AB.
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(第1题)
(2) 易证∠PDA为二面角