《新学案》2015年春高中数学苏教版必修一名师导学：第二章 函数（含解析）
文档属性
| 名称 | 《新学案》2015年春高中数学苏教版必修一名师导学：第二章 函数（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 756.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-20 22:26:58 | ||
图片预览
文档简介
第 2 章 函 数
第1课时 函数的概念和图象(1)
教学过程
一、 问题情境
在现实生活中,我们可能会遇到下列问题:
1. 估计人口数量变化趋势是我们制定一系 ( http: / / www.21cnjy.com )列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国19491999年人口数据资料如下表所示,你能根据该表说出我国人口的变化情况吗
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974
人口数/百万 542 603 672 705 807 909
年份 1979 1984 1989 1994 1999
人口数/百万 975 1035 1107 1177 1246
2. 一物体从静止开始下落,下落的距离y( ( http: / / www.21cnjy.com )单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2s,你能求出它下落的距离吗
3. 图1为某市一天24小时内的气温变化图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
(1) 上午6时的气温约是多少 全天的最高气温、最低气温分别是多少
(2) 在什么时刻,气温为0℃
(3) 在什么时段内,气温在0℃以上
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 用怎样的模型来刻画上述问题中两个变量之间的关系
问题2 如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点
(每一个问题都涉及两个非空数集A, B;存在某个对应法则,对于A中任意元素x,在B中总有一个元素与之对应)
函数的定义:设A, B是两个非空数集,如果 ( http: / / www.21cnjy.com )按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,记为y=f(x), x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,所有的输出值y组成的集合叫做函数y=f(x)的值域.
(二) 理解概念
1. 集合A和集合B都是非空数集.
2. 对应法则的方向是从A到B.
3. “每一个”:对于集合A中的每一个元素,集合B中都有元素和它对应;“唯一”:对于集合A中的每一个元素,集合B中都是唯一的元素和它对应.
4. 函数是从一个非空数集到另一个非空数集的单值对应.
5. f(x)是一个抽象的符号,是对函数概念的深化,可以理解成对应法则f对自变量x的作用.
(三) 巩固概念
问题3 函数的构成要素是什么
(三要素:定义域、值域、对应法则)
三、 数学运用
【例1】 (教材P25例1)判断下列对应是否为函数:
(1) x→, x≠0, x∈R;
(2) x→y,这里y2=x, x∈N, y∈R.(见学生用书课堂本P1112)
[处理建议] 首先要弄清楚怎样判定一个对应是否是函数;注意函数定义中的“非空”、“每一个”和“唯一”等词.
[规范板书] 解 (1) 对于任意一个非零实数x, 被x唯一确定,所以当x≠0时x→是函数,这个函数也可以表示为f(x)=(x≠0).
(2) 考虑输入值为4,即 ( http: / / www.21cnjy.com )当x=4时输出值y由y2=4给出,得y=2和y=-2.这里一个输入值和两个输出值对应(不是单值对应),所以x→y(y2=x)不是函数.
[题后反思] 解本题的关键是抓住函数的定义,在定义的基础上输入一些数字进行验证,当不是函数时,只要列举出集合A中的一个x即可.
变式 判断下列对应是否为从A到B的函数:A=B=N*,对任意的x∈A, x→|x-3|.
[规范板书] 解 考虑输入值为3时,即 ( http: / / www.21cnjy.com )当x=3时输出值y由y=|x-3|给出,得y=0.这里一个输入值没有输出值与之对应,所以x→|x-3|(y=|x-3|)不是函数.
【例2】 求下列函数的定义域:
(1) f(x)=; (2) g(x)=.(见学生用书课堂本P12)
[处理建议] 求函数y=f(x)的定义域时通常有以下几种情况:
① 如果f(x)是整式,那么函数的定义域是R;
② 如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合;
③ 如果f(x)为二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合;
④ 如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各个部分的式子都有意义的实数的集合.
[规范板书] 解 (1) 当2x-1≥0时,即x≥时,在实数范围内有意义;当2x-1<0时,即x<时,在实数范围内没有意义.因此,这个函数的定义域是.
(2) 当2x+1≠0时,即x≠-时,有意义;当2x+1=0时,即x=-时,没有意义.因此,这个函数的定义域是.
[题后反思] 函数定义域的求解关键在于根据函数解析式的特点列出不等式组.
变式 求下列函数的定义域:
(1) f(x)=;
(2) f(x)=--1;
(3) f(x)=+.
[规范板书] 解 (1) 由题意可得解得∴ 这个函数的定义域是(-4, -2)∪(-2, +∞).
(2) 由题意可得解得-3≤x≤1. ∴ 这个函数的定义域是[-3, 1].
(3) 由题意可得解得x≥ -1且x≠3. ∴ 这个函数的定义域是[-1, 3)∪(3, +∞).
【例3】 试判断下列各组函数是否表示同一函数:
(1) f(x)=, g(x)=;
(2) f(x)=, g(x)=(见学生用书课堂本P12)
[处理建议] 对于两个函数y=f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若定义域、值域、对应法则有一个不相同时,则y=f(x)和y=g(x)就不是同一函数.
[规范板书] 解 (1) 因为f(x)==|x|, g(x)==x,所以它们不是同一函数.
(2) 因为函数f(x)=的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞),而函数g(x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数.
[题后反思] 若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然.
变式 试判断函数f(x)=x2-2x-1和g(t)=t2-2t-1是否表示同一函数.
[规范板书] 解 这两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.
[题后反思] 该变式易错判断成它们 ( http: / / www.21cnjy.com )是不同的函数,原因在于对函数的概念理解不透.要知道,在函数的定义域及对应法则f不变的条件下,自变量变换字母,甚至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x2+1, f(t)=t2+1, f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数.
*【例4】 求下列函数的值域:
(1) f(x)=(x-2)2+3, x∈{-1, 0, 1, 2, 3};
(2) f(x)=(x-2)2+3.
[处理建议] 引导学生从定义域的不同进行分析.
[规范板书] 解 (1) ∵ 函数f(x)的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域为{-1, 0, 1, 2, 3}, ∴ 函数f(x)的值域为{3, 4, 7, 12}.
(2) ∵ 函数f(x)的定义域为R,(x-2)2+3≥3, ∴ 函数f(x)的值域为[3, +∞).
[题后反思] 对应法则相同的函数,不一定是同一函数.
变式 函数y=与y=3x是不是同一个函数 为什么
[规范板书] 解 它们不是同一函数,因为这两个函数的定义域不同.
四、 课堂练习
1. 已知集合A={x|0≤x≤6}, B={y|0≤y≤3},给定下列从A到B的三个对应:
① x→y=x ; ② x→y=x; ③ x→y=x.
其中是函数的对应为①②.(填序号)
提示 利用函数的定义可得.
2. 函数f(x)=的定义域为{x≠-2且x≠2}.
提示 由-2≠0可得x≠-2且x≠2.
3. 函数f(x)=+的定义域为.
提示 由可得x=±1.
4. 函数f(x)=x-1(x∈Z且x∈[-1, 4])的值域为.
提示 由x∈Z且x∈[-1, 4],可得x=-1, 0, 1, 2, 3, 4,再代入函数解析式即可.
五、 课堂小结
本节课学习了函数的概念及其三要素.
第2课时 函数的概念和图象(2)
教学过程
一、 问题情境
问题 试比较下列两个函数的定义域和值域:
(1) f(x)=x2+1, x∈{-1, 0, 1};
(2) f(x)=x2+1.
讨论:自变量x的限制条件即为函数的定义域,函数值y的取值范围即为值域,值域由定义域内的变量对应而得到,因此研究函数的定义域更为必要.
对于一般性的函数,其定义域又该如何求得呢 它有哪些限制条件呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 函数的定义域:所有输入值构成的集合.
2. 函数的值域:所有输出值构成的集合.
(二) 理解概念
1. 给定函数时要指明函数的定义域.
2. 对于用解析式表示的函数,如果没有指明定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.
3. 对于从A到B的函数f,如果值域是C,那么C B,不能将B当成函数的值域.
(三) 巩固概念
求函数的定义域一般要注意考虑分母、偶次根式等有意义.
三、 数学运用
【例1】 求下列函数的定义域:
(1) f(x)=;
(2) f(x)=.(见学生用书课堂本P13)
[处理建议] 考虑式子本身的意义,并根据有意义的条件列式.
[规范板书] 解 (1) 要使函数有意义,必须4-x2≥0,即-2≤x≤2.
∴ 函数f(x)=的定义域为[-2, 2].
(2) 要使函数有意义,必须即解得x<-3或-3∴ 函数f(x)=的定义域为{ x|x<-3或-3[题后反思] 求函数定义域的步骤如下:列不等式(组) → 解不等式(组).
变式 已知函数y=f(x)的定义域为[0, 1],求函数y=f(x-1)的定义域.
[规范板书] 解 ∵ 函数y=f(x)的定义域为[0, 1], ∴ 0≤x≤1.
∴ 0≤x-1≤1,即1≤x≤2, ∴函数y=f(x-1)的定义域为[1, 2].
[题后反思] 求抽象函数的定义域时应遵循两点原则:①定义域都是相对于自变量x而言的;②相同对应法则下的作用对象的取值范围相同.
【例2】 (教材P25例3)求下列函数的值域:
(1) f(x)=(x-1)2+1, x∈{-1, 0, 1, 2, 3};
(2) f(x)=(x-1)2+1.(见学生用书课堂本P14)
[处理建议] 引导学生从定义域的不同进行分析.
[规范板书] 解 (1) ( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)的定义域为{-1, 0, 1, 2, 3},因为f(-1)=[(-1)-1]2+1=5,同理f(0)=2, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=5,所以这个函数的值域为{1, 2, 5}.
(2) 函数f(x)的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以这个函数的值域为{y|y≥1}.
变式1 求函数y=x2-2x的值域.
[规范板书] 解 y=x2-2x=-1≥-1,所以这个函数的值域为.
[题后反思] 本题可以让x取不同的范围,然后和学生一起讨论如何求函数的值域.
【例3】 求下列函数的值域:
(1) y=3x+2(-1≤x≤1);
(2)f(x)=2+.(见学生用书课堂本P14)
[处理建议] 先提出问题:“如何求给定区间上一次函数的值域 ”然后学生讨论,教师点评,最后示范解题.
[规范板书] 解 (1) ( http: / / www.21cnjy.com ) ∵ -1≤x≤1, ∴ -3≤3x≤3, ∴ -1≤3x+2≤5,即-1≤y≤5, ∴ 这个函数的值域是[-1, 5].
(2) ∵ ∈[0, +∞), ∴ 2+∈[2, +∞), ∴ 这个函数的值域是{y|y≥2}.
[题后反思] 第(1)题也可以结合一次函数的图象来解决;第(2)题从根式的特点入手就变得很简单.
变式 求函数y=2x-5+的值域.
[处理建议] 对形如y=ax+b+(ac<0)的无理函数,一般采用换元法(令t=)求解,换元时抓住一点:换元不能改变元的范围.
[规范板书] 解 设 t=,则 t≥0, x=(15-t2).
∴ y=-t2+t+=-(t-1)2+3.
∵ t≥0, ∴ y≤3.
∴ 这个函数的值域是{y|y≤3}.
[题后反思] 利用换元法把原函数化为二次函数之后,再根据图象来求二次函数的值域.
*【例4】 求下列函数的值域:
(1) y=; (2) y=.
[处理建议] 通过对解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,求出所求函数的值域.
[规范板书] 解 (1) y==2-, ∵ ≠0, ∴ 2-≠2, ∴ 该函数的值域为{y︱y≠2}.
(2) ∵ y=, ∴ x2=. ∵ x2≥0, ∴ ≥0,即≤0, ∴ -[题后反思] 在求形如f(x)=的函数的值域时,一般的处理方法是常数分离法(即想办法把分子上的x化掉);对于像x2类有限制范围的变量,可反解,再利用其限制范围求函数值域.
变式 求函数y=(x≥3)的值域.
[规范板书] 解 y==3+,∵ x≥3, ∴ x+2≥5, ∴ 0<≤, ∴ 0>≥-, ∴ 3>3+≥. ∴ 该函数的值域为.
[题后反思] 在求形如f(x)=的函数的值域时,若定义域有范围,应先把函数解析式进行常数分离,然后再具体分析.
四、 课堂练习
1. 若函数f(x)=(x-1)2+1, x∈{-1, 0, 1, 2, 3},则f[f(0)]=2.
提示 f[f(0)]=f(2)=2.
2. 函数f(x)=+的定义域为{-2, 2},值域为{0}.
提示 由题意得解得x∈{-2, 2}.f(-2)=f(2)=0.
3. 函数y=x+的值域为.
提示 令t=(t≥0),则x=3-t2, ∴ y=3-t2+t=-+, ∵ t≥0, ∴ y≤.
五、 课堂小结
本节课归纳了简单函数的定义域和值域的求法.
第3课时 函数的表示方法
教学过程
一、 问题情境
问题1 教材P23中的3个函数问题在表示方法上有什么区别
回顾教材第2.1.1节开头的3个函数问题:
(1) 在第一个问题中,只要知道某个年份,就能从下表中查得相应的人口数.
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974
人口数/百万 542 603 672 705 807 909
年份 1979 1984 1989 1994 1999
人口数/百万 975 1035 1107 1177 1246
这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.
(2) 在第二个问题中,下落的距离y( ( http: / / www.21cnjy.com )单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2(x≥0).这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.
(3) 在第三个问题中,我们用图象(如图1)表示时刻和气温的关系.这种用图象来表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
问题2 观察3个函数问题,你能说出各种函数表达形式上的特点吗
问题3 如何用数学语言来准确地描述函数表示法
问题4 你能说出几种函数表示法的优缺点吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
函数的三种表示方法:
(1) 解析法:将两个变量的函数关系用一个等式来表示,如y=3x2+2x+1, S=πr2, c=2πr, S=6t2等.
(2) 列表法:列出表格表示两个变量的函数关系,如平方表、三角函数表、利息表、列车时刻表、国民生产总值表等.
(3) 图象法:用图象来表示两个变量的函数关系,如图2.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
(二) 理解概念
解析法的优点:简明,全面地概括了变量之间的关系;可以通过解析式求出自变量的任意一个值所对应的函数值.
列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
图象法的优点:直观形象地表示了变化趋势.
三、 数学运用
【例1】 (教材P33例1)购买某种饮 ( http: / / www.21cnjy.com )料x听,所需钱数为y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1, 2, 3, 4})的函数,并指出该函数的值域. (见学生用书课堂本P15)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
[处理建议] 以前初中所学的函数图 ( http: / / www.21cnjy.com )象通常是一条连续的线,但是函数图象具有多样性,也可以是一些孤立的点.引导学生体会函数的对应关系以及实际问题的定义域.
[规范板书] 解 (1) 解析法:y=2x, x∈{1, 2, 3, 4}.
(2) 列表法:
x/听 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
(3) 图象法:图象由点(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)组成,如图,函数的值域是{2, 4, 6, 8}.
[题后反思] 函数的图象可以是不连续的散点,实际问题要考虑自变量的实际意义.
变式 小明粉刷他的卧室共花去10h,他记录的完成工作量的百分数如下表:
时间/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
完成的百分数/% 5 25 35 50 50 65 70 80 95 100
(1) 5h他完成工作量的百分数是 50% ;
(2) 小明在第 2 h内的工作量最大.
[题后反思] 充分体现了列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
【例2】 (教材P34例2)画出函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)=|x|的图象,并求出f(-3), f(3), f(-1), f(1)的值. (见学生用书课堂本P15)
[处理建议] 对于含有绝对值的函数解 ( http: / / www.21cnjy.com )析式,通常通过去绝对值符号写成分段形式,然后再分别处理.去绝对值通常采用“零点”分类法,即使绝对值里的式子为0,从而解出对应的x的值作为分点,再进行讨论.
[规范板书] 解 因为f(x)=|x|=
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、二象限的一条折线,如图.其中f(-3)=3, f(3)=3, f(-1)=1, f(1)=1.
[题后反思] 通过本例我们可以发现,有 ( http: / / www.21cnjy.com )些函数在它的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数,而不是几个函数.
变式 作出分段函数y=|x-1|+|x+2|的图象.
[规范板书] 解 根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即
y=|x-1|+|x+2|=
作出图象如下:
( http: / / www.21cnjy.com )(变式)
【例3】 某市郊区空调公共汽车的票价按下列规则制定:
(1) 5 km以内,票价2元;
(2) 5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km按5 km计算).
已知两个相邻的公共汽车站台之间 ( http: / / www.21cnjy.com )相距约为1 km,如果沿途(包括起点站和终点站)共20个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. (见学生用书课堂本P16)
[处理建议] 分段函数是函数表示的另一 ( http: / / www.21cnjy.com )种形式,它在定义域内不同部分上有不同的解析式,其中定义域是自变量在不同部分上取值的并集,要从整体上把握分段函数.本例是一个实际问题,有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.
[规范板书] 解 设里程为x km时,票价 ( http: / / www.21cnjy.com )为y元,根据题意,如果某空调公共汽车运行路线中共20个汽车站(包括起点站和终点站),那么该车行驶的里程约为19 km,所以自变量x的取值范围是{x| x≤19, x∈N*}.
由空调公共汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:
y= (x∈N*).
根据这个函数解析式,可画出函数的图象,如下图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(例3)
[题后反思] ① 本题具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;② 本题可否用列表法表示函数 如果可以,应怎样列表
变式 如图,在梯形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com ),∠B=∠C=90°, ∠D=45°, AB=BC=2cm.现有一动点Q从B点出发沿B→C→D→A的方向移到A点.若Q点经过的路程为xcm, △QAB的面积为ycm2,试写出y与x之间的函数关系式,并画出该函数的图象.
( http: / / www.21cnjy.com )(变式)
[处理建议] 引导学生写出动点Q在BC段、CD段、DA段这三段上的函数关系式,并注意x的范围.
[规范板书] 解 如图,作AE⊥CD于点E,于是DE=AE=2cm, DA=2cm.
(1) 当点Q在线段BC上运动时,y=AB·QB=×2x=x,其中0≤x≤2;
(2) 当点Q在线段CD上运动时,y=AB·BC=×2×2=2,其中2(3) 当点Q在DA上运动时,过点Q作GF∥BC并交BA的延长线于点G,交CD于点F,则AQ=BC+CD+DA-x=6+2-x, GQ=AQ·sin45°=(6+2-x), ∴ y=AB·GQ=×2×(6+2-x)=2+3-x,其中6综上,y与x之间的函数关系式为y=该函数的图象如下
( http: / / www.21cnjy.com )
[题后反思] 对于此类图形面积的问题,常常需要画出图形,分析情况,分类讨论才能解决;最后要写成一个函数的形式.
【例4】 已知函数f(x)= 求f, f{f[f(-2)]}的值. (见学生用书课堂本P16)
[处理建议] 题中f(x)为分段函数,应分段求解.
[规范板书] 解 ∵ 1-=1-(+1)=-<-1, ∴ f=f(-)=-2+3.
∵ f(-2)=-1, ∴ f[f(-2)]=f(-1)=2, ∴ f{f[f(-2)]}=f(2)=1+=.
变式 将例4中的问题改为:(1) 求f(3x-1); (2) 若f(a)=, 求实数a的值.
[规范板书] 解 (1) 若3x-1>1,即x>, f(3x-1)=1+=;
若-1≤3x-1≤1,即0≤x≤, f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;
若3x-1<-1,即x<0, f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.
∴ f(3x-1)=
(2) ∵ f(a)=, 当a<-1时,有2a+3=, ∴ a=-,舍去;
当a>1时,有1+=, ∴ a=2;
当-1≤a≤1时,a2+1=, ∴ a=±.
综上所述,∴ a=2或±.
[题后反思] 处理分段函数问题时,首先 ( http: / / www.21cnjy.com )要确定自变量的取值属于哪个区间段,然后选取相应的对应法则,离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.
*【例5】 已知函数y=f(x)满足f=,求函数y=f(x)的解析式.
[规范板书] 解 ∵ f===, ∵ ≠0, ∴ f(x)=(x≠0).
[题后反思] ① 本题将原解析式右边配凑变量,并看成整体替换成变量x,从而得到f(x)的解析式.
② 本题也可以运用换元法求解,其过程如下:设=t,则x=,代入f=,得f(t)==.又t=≠0, ∴ f(x)=(x≠0).
③ 需要注意的是,无论是用“配凑法”,还是用“换元法”,在求出y=f(x)的解析式以后,都需要指出其定义域.
变式 已知f(x)-f=x2,求函数f(x)的解析式.
[规范板书] 解 因为f(x)-f=x2 ①,将①中的x换为,得f-f(x)= ②.由①和②两式,消去f,得f(x)=x2+.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2+.
[题后反思] 对于在已知式中,含有两个 ( http: / / www.21cnjy.com )不同变量的函数关系时,常常采用“方程组消参法”解决,即依据两个变量的关系,重新产生一个关于两个变量的同等式,再联立方程组而得函数解析式.
四、 课堂练习
1. 已知函数f(x)=若f(x)=3,则x=.
提示 分三段求解.
2. 已知函数f(x)=则f{f[f(-1)]}=π+1.
提示 f{f[f(-1)]}=f[f(0)]=f(π)=π+1.
3. 已知函数f(x), g(x)分别由下表给出:
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为 1 ;满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是 2 .
五、 课堂小结
本节课归纳了函数的三种表示方法及优缺点,讲述了分段函数的概念,了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线.
第4课时 函数的图象
教学过程
一、 问题情境
情境1:回忆初中学习过的函数y=2x-1, y=, y=x2的图象.
情境2:在教材第2.1.1节开头的第一个 ( http: / / www.21cnjy.com )问题中,如果把人口数y(百万)看做是年份x的函数,那么根据教材P23中表2-1-1画出的函数图象就是11个点(如图1).
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
二、 数学建构
(一) 生成概念
函数f(x)的图象即集合P={(x, y)|y=f(x), x∈A}内的所有的点.
(二) 理解概念
问题 设函数y=f(x)的定义域为A,则集合 ( http: / / www.21cnjy.com )P={(x, y)|y=f(x), x∈A}与Q={y|y=f(x), x∈A}相等吗 请说明理由.
解 不相等.集合P是坐标平面内的一个点集,表示函数y=f(x)的图象;集合Q是一个数集,表示函数y=f(x)的值域.
(三) 巩固概念
图象可以帮助我们研究函数的性质、值域等.
三、 数学运用
【例1】 (教材P27例4)试画出下列函数的图象:
(1) f(x)=x+1;
(2) f(x)=(x-1)2+1, x∈[1, 3).(见学生用书课堂本P1718)
[处理建议] 让学生独立完成,并请两 ( http: / / www.21cnjy.com )位学生板书.函数f(x)=(x-1)2+1, x∈[1, 3)的图象为函数g(x)=(x-1)2+1, x∈R的图象上x∈[1, 3)的一段.其中,点(1, 1)在图象上,用实心点表示;而点(3, 5)不在图象上,用空心点表示.
[规范板书] 解 描点作出图象,如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
(例1)
[题后反思] 作函数图象时要注意端点是空心点还是实心点.
变式 试求出例1中函数的值域.
[处理建议] 由例1的图象即得.
[规范板书] 解 (1) f(x)=x+1的值域是R.
(2) f(x)=(x-1)2+1, x∈[1, 3)的值域为[1, 5).
【例2】 (教材P28例6)试画出函数f(x)=x2+1的图象,并根据图象回答下列问题:
(1) 比较f(-2), f(1), f(3)的大小;
(2) 若0[处理建议] 让学生自己作图,并从图形中观察出函数值的大小.
[规范板书] 解 函数的图象如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
(例2)
(1) 根据图(1),容易发现f(-2)=f(2), f(1)(2) 根据图(2),容易发现,当0变式 已知函数y=3x2-6x+1,利用函数图象分别求出它在下列区间上的值域:
(1) x∈[-1, 2]; (2) x∈[-4, 0];
(3) x∈[2, 5].
[处理建议] 先配方,y=3x2-6x ( http: / / www.21cnjy.com )+1=3(x-1)2-2,然后画出其大致图象,再根据图象进行分析判断.答案:(1)[-2, 10];(2)[1, 73];(3)[1, 46].
[题后反思] 利用二次函数的图象求函数的值域,作图时必须抓住以下关键点:抛物线的开口方向、对称轴、顶点以及区间的端点.
【例3】 画出函数f(x)=|x-1|的图象. (见学生用书课堂本P18)
[处理建议] 通过描点作图.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[规范板书] 解 f(x)=|x-1|=其图象如图所示:
[题后反思] 含有绝对值的函数式,可以采用零点讨论去掉绝对值的方法,将函数式化为两个分段的函数.
变式 画出函数f(x)=-|x+2|的图象.
[规范板书] 解 f(x)=其图象如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(变式)
[题后反思] 将变式和例3比较起来理解.
*【例4】 作出函数y=的图象.
[处理建议] 本题除了可以运用例3中的方法外,还可以采用图象平移的方法得到函数的图象.
[规范板书] 解 函数的定义域为{x|x∈R且x≠±1},且它是偶函数,其图象关于y轴对称.
① 当x≥0且x≠1时,y=. 先作出函数y=的图象,再将图象向右平移1个单位长度(并取x≥0的部分),即得到函数y=(x≥0且x≠1)的图象(如图(1)所示).
② 然后作出函数y=(x≥0且x≠1)关于y轴对称的图象(如图(2)所示),图(2)即为函数y=的图象.
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
(例4)
[题后反思] 平移变换分为下面两种情况:
(1) 水平平移:函数y=f(x±a)(a>0)的图象可由函数y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位长度得到;
(2) 竖直平移:函数y=f(x)±b(b>0)的图象可由函数y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位长度得到.
变式 作出函数y=|x-2|(x+1)的图象.
[规范板书] 解 函数解析式可化为y=其图象如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )(变式)
[题后反思] 含有绝对值的函数的图象的画法是:先通过去绝对值,得到分段的几个函数,然后画出所有分段的函数的图象,再取有效图象.
四、 课堂练习
1. 函数y=(k<0)的图象在第二、四象限.
2. 若把函数f(x)=x2-1的图象作 ( http: / / www.21cnjy.com )平移变换,使原图象上的点P(1, 0)变换成点Q(2, -1),则变换后所得新图象对应的函数解析式为y=(x-1)2-2.
提示 图象平移变换的规则:左加右减,上加下减.
3. 若0五、 课堂小结
作函数图象的步骤:列表、描点、连线.
第5课时 函数的单调性(1)
教学过程
一、 问题情境
引入教材P23中函数起始课的第3个问题,气温θ是关于时间t的函数,记为θ=f(t),观察这个气温变化图(如图3).
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 你能说出气温的变化趋势吗 [3]
问题2 怎样用数学语言刻画上述时段内“气温随时间的增大而上升”这一特征 [4]
问题3 我们是否能说“在区间[0, 14]上气温随着时间的增大而上升” [5]
问题4 如何用数学语言刻画“在[0, 4]上气温随着时间的增大而下降” [6]
通过讨论,先结合图4给出函数f(x)在区间I上是单调增函数的定义,再结合图5给出函数f(x)在区间I上是单调减函数的定义.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图5)
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.
如果对于定义域I内的某个区间D上的 ( http: / / www.21cnjy.com )任意两个值x1, x2,当x1如果对于定义域I内的某个区间D上的任 ( http: / / www.21cnjy.com )意两个值x1, x2,当x1f(x2),那么就说y=f(x)在区间D上是单调减函数,D称为y=f(x)的单调减区间.
如果函数y=f(x)在区间D上是单调增 ( http: / / www.21cnjy.com )函数或单调减函数,那么我们就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性.区间D叫作y=f(x)的单调区间.
(二) 理解概念
1. 判断函数的单调性必须在指定区间内研究,而指定区间一定是定义域的子集.
2. 判断函数单调性的依据并 ( http: / / www.21cnjy.com )不唯一,除了定义中的形式,还可以是“若当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”,也可以判断y=f(x)在区间D上是单调增函数.判断函数增、减性的关键是自变量x1, x2与因变量y1, y2的大小关系是否一致,若大小关系一致,即为单调增函数;若大小关系不一致,则为单调减函数.
(三) 巩固概念
问题5 请说出问题情境中“气温变化”的单调区间.
解 [0, 4]为单调减区间,[4, 14]为单调增区间,[14, 24]为单调减区间.
三、 数学运用
【例1】 (教材P38例1)画出下列函数图象,并写出单调区间:
(1) y=-x2+2; (2) y= (x≠0).
(见学生用书课堂本P19)
[处理建议] 引导学生从作出的图象中观察出函数的单调区间.
[规范板书] 解 (1) 函数图象如图所示,单调增区间为(-∞, 0],单调减区间为[0, +∞).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
(例1)
(2) 函数图象如图所示,(-∞, 0)和(0, +∞)是两个单调减区间.
[题后反思] 有效利用图形 ( http: / / www.21cnjy.com )语言:“图象从左向右逐渐上升,则是单调增函数;图象从左向右逐渐下降,则是单调减函数.”同时让学生明白:函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质,并强调单调区间的写法.注意第(2)小题不能写成并集形式.
变式 观察下列函数的图象,写出单调区间.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
(变式)
[处理建议] 引导学生给出理由或举出实例.
[规范板书] 解 (1)单调减区间为(-∞ ( http: / / www.21cnjy.com ), 1],单调增区间为[1,+∞); (2)单调减区间为(-∞, 1],单调增区间为[1, +∞).
[题后反思] 这两个函数在定义域上都不是单调增函数.
【例2】 (教材P38例2)求证:函数f(x)=--1在区间(-∞, 0)上是单调增函数.
(见学生用书课堂本P20)
[处理建议] 关键是规范利用定义证明函数的单调性.
[规范板书] 证明 设x1, x2是区间(-∞, 0)内的任意两个值,且x1因为x10.
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)=--1在区间(-∞, 0)上是单调增函数.
[题后反思] 根据定义证明(或判断)函数单调 ( http: / / www.21cnjy.com )性一般采用作差比较法,其步骤如下:(1)设x1, x2是给定区间内的任意两个值,且x1变式 求证:函数f(x)=-2x2+1是(0, +∞)上的单调减函数.
[处理建议] 可以在对“作差比较法”总结(例2的题后反思)之后让学生练习,也可以在完成本题后,再对“用定义法证明函数的单调性”进行总结.
[规范板书] 证明 设x1, x2是区间(0, +∞)内的任意两个值,且x1因为00, x2+x1>0.
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)=-2x+1在区间(0, +∞)上是单调减函数.
[题后反思] 本题规范了“用定义法证明函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )单调性”的解题过程,强调的是“设x1, x2是某区间内的任意两个值,且x1f(x2).所以某函数在某区间上是单调减函数”.这是证明某函数在某区间上是单调减函数的一种固定形式,至于如何比较f(x1), f(x2)的大小,要因题而异(本题是用“作差比较法”).
【例3】 求证:函数f(x)=-x3+a在R上是单调减函数.(见学生用书课堂本P20)
[处理建议] 在本题中学生可能出现的困难是“判断+x2x1+的符号”.
[规范板书] 证明 设x1, x2是R上的任意两个值,且x1∵ x10, +>0(不可能等于0,否则x1=x2=0,与题设矛盾), ∴ f(x1)>f(x2).
∴ 函数f(x)在R上是单调减函数.
[题后反思] “+x2x1+”的符号确定是本题的难点,除了答案中的方法,还可以将“+x2x1+”中的x2看成主元、x1看成参数,则“+x2x1+”是关于x2的一元二次三项式,因为其相应的Δ=-4=-3≤0, ∴ +x2x1+≥0,当且仅当x1=x2=0时取“=”,但x10.
变式 讨论函数f(x)=在(-2, +∞)上的单调性.
[规范板书] 解 f(x)===a+.
设-20, x1-x2<0, <0.
而f(x2)-f(x1)=-=(1-2a)·.
当a<时,f(x2)当a>时,f(x2)>f(x1),此时函数f(x)=在(-2, +∞)上是单调增函数.
*【例4】 在1kg水中加入少许糖,即为糖水,若再添加少许糖则糖水就会更甜.你能运用所学过的数学知识给出合理的解释吗
[处理建议] 引导学生联系浓度的计算,进而构造函数f(x)=,即判断函数f(x)=在区间(0, +∞)上是单调递增的.
[规范板书] 解 不妨设当糖的质量为xkg时,糖水的浓度为f(x),则f(x)=.
任取0而 x1-x2<0, (1+x1)(1+x2)>0, ∴ f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)∴ 函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增.
这说明随着x(糖的含量)的增加,f(x)(糖水的浓度)逐渐增加,即糖水变得更甜了.
[题后反思] 学习数学是为了分析问题、解决问题.本例的解答让学生体会到生活中数学无处不在,也让他们体会到“用”数学的乐趣.
变式 函数y=在其定义域(-∞, 0)∪(0, +∞)上是单调减函数吗
[处理建议] 单调区间的判断 ( http: / / www.21cnjy.com )目前只有通过定义进行说明,如果要说明这个命题是真命题,我们就要给出严格的定义证明;而如果要说明这个命题是假命题,我们只要举一组不满足定义的x1, x2,并加以说明.
[规范板书] 解 不是.例如:x1=-1, x2=1时,f(x1)=-1, f(x2)=1,显然x1四、 课堂练习
1. 函数f(x)=|x|的单调增区间是[0, +∞).
提示 求函数的单调区间,有“数”与“形”两个视角:可以通过解析式看,也可以通过图象看.∵ f(x)=|x|=∴函数f(x)的单调增区间是[0, +∞).
2. 函数y=x2+2x-1的单调增区间为[-1, +∞).
提示 y=x2+2x-1=(x+1)2-2,利用数形结合可知在对称轴右边即为单调增区间.
3. 判断函数f(x)=-x3-1在(0, +∞)上是单调增函数还是单调减函数,并证明你的结论;如果x∈(-∞, 0),函数f(x)是单调增函数还是单调减函数
解 单调减函数.
证明 设x1, x2是(0, +∞)上的任意两个值,且x10, +x1x2+>0. ∴ f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴ 函数f(x)=-x3-1在(0, +∞)上是单调减函数.
单调减函数.
五、 课堂小结
1. 函数的单调性是函数的局部性质,因此一 ( http: / / www.21cnjy.com )定要强调在某区间上;函数的单调性反映了函数的变化趋势,并用精确的数学语言进行刻画、描述,关键词有“任意两个值x1, x2∈D”中的“任意”,“当x1f(x2)”中的“都有”等.
2. 掌握判断函数在某个区间上的单调性的方法:
(1) 可以根据函数的图象,直接写出函数的单调区间;
(2) 代数证明的基本步骤为:取值→作差→变形(变形的目标是因式积商或者平方和)→定号.
第6课时 函数的单调性(2)
教学过程
一、 问题情境
引入教材P23中函数起始课的第3个问题,气温θ是关于时间t的函数,记为θ=f(t).
提出问题:观察这个气温变化图(如图1),你能求出函数的值域吗 通过观察你还能发现什么 [3]
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
学生从图象上可以看出14时的气温为全天 ( http: / / www.21cnjy.com )的最高气温,它表示在0至24时之间,气温于14时达到最大值9℃.从图象上看,图象在这一点的位置最高.同样可以看出4时的气温为全天的最低气温,它表示在0至24时之间,气温于4时达到最小值-2℃.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 如何用数学语言来刻画图1中的“气温于14时达到最大值”、“气温于4时达到最小值”
解 可以看出:对于任意的x∈[0, 24],都有f(x)≤f(14)=9;对于任意的x∈[0, 24],都有f(x)≥f(4)=-2.
问题2 如何抽象出函数最大值的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value).
思考 你能仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(minimum value)的定义吗
一般地,设函数y=f(x)的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value).
(二) 理解概念
1. 函数最大(小)值的定义中的不等式f(x)≤M(f(x)≥M)必须对定义域中的任意x都成立,这说明函数的最值是函数全局的一个性质.
2. 仅满足“对任意的x∈I,都有f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)≤M(f(x)≥M)”,不能得出M是最大(小)值这一结论,必须同时满足“存在x0∈I,使得f(x0)=M”.针对这一点,可以举个生活中的例子,如:我们班上的任意一个同学的年龄肯定都小于等于100岁,那么能说我们班上的同学最大年龄是100岁吗
3. 函数的最大值不一定唯一,比如 ( http: / / www.21cnjy.com ):这次数学考试,由于试卷比较简单,满分(160分)的同学有5个,那么这次考试成绩的最大值是多少 显然,最大值是160分,且有五人取最大值.
(三) 巩固概念
问题3 “即时体验”中的第2题有最大值、最小值吗 如果有,那么是多少 [4]
解 根据其函数图象可以发现:该函数没有最大值,但有最小值,最小值是0.
三、 数学运用
【例1】 (教材P39例3)函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )f(x), x∈[-4, 7]的图象如图所示,指出它的最大值、最小值及单调区间.[5] (见学生用书课堂本P21)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
[处理建议] 在学生正确回答完本题 ( http: / / www.21cnjy.com )后,教师还可以追问:“你能用刚学到的数学语言来描述这些结果吗 ”让学生在实际的问题解决中加深对概念的理解与记忆.
[规范板书] 解 观察函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3, 3),最低的点(-1.5, -2).所以当x=3时,函数y=f(x)取得最大值,即ymax=3;当x=-1.5时,函数y=f(x)取得最小值,即ymin=-2.
函数的单调增区间为[-1.5, 3], [5, 6];单调减区间为[-4, -1.5], [3, 5], [6, 7].
[题后反思] 本例是为了让学生体会 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的最大(小)值与单调性之间的关系及其几何意义,引导学生通过函数的单调性研究最大(小)值,同时要考虑定义域为闭区间的函数在端点处的函数值的大小.
变式 (教材P40例5) ( http: / / www.21cnjy.com )已知函数y=f(x)的定义域是[a, b], a[处理建议] 引导学生逐步应用适当 ( http: / / www.21cnjy.com )的数学概念及符号语言进行推理和证明.如果学生从“数”的视角回答(利用单调性的定义),教师就引导学生尝试从“形”入手(画出满足题意的一个图象);如果学生从“形”的视角回答,则引导学生再从“数”的角度进行检验.
[规范板书] 证明 因为当x∈[ ( http: / / www.21cnjy.com )a, c]时,f(x)是单调增函数,所以对于任意x∈[a, c],都有f(x)≤f(c).又因为当x∈[c, b]时,f(x)是单调减函数,所以对于任意x∈[c, b],都有f(x)≤f(c).因此,对于任意x∈[a, b]都有f(x)≤f(c),即f(x)在x=c时取得最大值.
[题后反思] 本题没有涉及具体函数 ( http: / / www.21cnjy.com ),求这类题目的最值可以从“形”与“数”两个方向切入:利用“形”直观判断,利用“数”具体验证.同时,要让学生体验函数的单调性与函数最值的关系,感受量变和质变的辩证过程,并感受最值的奇异美.
【例2】 (教材P39例4)求下列函数的最小值:
(1)y=x2-2x; (2)y=, x∈[1, 3].(见学生用书课堂本P22)
[处理建议] 可以引导学生分别挑选用图象和用定义解决,但要注意图象的直观性无法代替数学的严谨性.
[规范板书] (1)∵ y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且当x=1时y=-1,∴ 函数取得最小值-1,即ymin=-1.
(2) ∵ 对于任意实数x∈[1, 3],都有≥,且当x=3时=,∴ 函数取得最小值,即ymin=.
[题后反思] 这两个函数的最值也可以通过图象来解决.函数y=x2-2x没有最大值,但可以让学生讨论,看看题目怎样改可以有最大值.
变式 求函数y=x2-2x+5, x∈[-1, 2]的值域.
[规范板书] 解 y=(x ( http: / / www.21cnjy.com )-1)2+4, ∵ x∈[-1, 2],由二次函数图象的性质可知:当x=1时,ymin=4;当x=-1时,ymax=8.故该函数的值域是[4, 8].
【例3】 判断函数f(x)=x-, x∈(0, +∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.[6] (见学生用书课堂本P22)
[处理建议] 如果学生不能作出正确的判断,教师可以将题目进行分解,如可以先问:f1(x)=x, x∈ (0, +∞)和f2(x)=-, x∈ (0, +∞)这两个函数有单调性吗 若学生回答均是单调增函数时,再问:f(x)=f1(x)+f2(x), x∈(0, +∞)的单调性能确定吗 会用定义证明吗 进而引导学生进一步地巩固函数单调性的概念.
[规范板书] 解 f(x)=x-, x∈(0, +∞)是单调增函数.
设x1, x2是(0, +∞)内的任意两个值,且x10. ∴ f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)[题后反思] 本题中的函数f(x)可视作函数y=x和y=-的和函数,这两个函数在(0, +∞)上都是单调增函数,f(x)也是(0, +∞)上的单调增函数.由此可见:如果两个函数在同一区间上都是单调增(减)函数,那么它们的和在该区间上也是单调增函数.
变式 判断函数f(x)=x2-, x∈(0, +∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
[处理建议] 引导学生模仿例3独立完成.
[规范板书] 函数 f(x)=x2-, x∈(0, +∞)是单调增函数.
设x1, x2是(0, +∞)内的任意两个值,且x10.∴ f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)[题后反思] 本题中的函数f(x)也可视作函数y=x2和y=-的和函数,这两个函数在(0, +∞)上都是单调增函数,f(x)也是(0, +∞)上的单调增函数.一般地,判断“f(x)=f1(x)+f2(x)”型函数的单调性,可以先分别判断f1(x), f2(x)的单调性,如果f1(x), f2(x)都是单调增函数,则f(x)亦为单调增函数;如果f1(x), f2(x)都是单调减函数,则f(x)亦为单调减函数.
*【例4】 (根据教材P45第 ( http: / / www.21cnjy.com )13题改编)已知函数f(x)的定义域是F,函数g(x)的定义域是G,且对于任意的x∈G, g(x)∈F,试根据下表中所给的条件,用“单调增函数”、“单调减函数”、“不能确定”填空:
f(x) g(x) f(g(x)) f(x)+g(x)
单调增函数 单调增函数
单调增函数 单调减函数
单调减函数 单调减函数
单调减函数 单调增函数
[处理建议] 对于基础好的班级,教师在学 ( http: / / www.21cnjy.com )生正确回答后可以“追问”,如:你判断f(g(x))是单调增函数,能用定义证明吗 你判断f(x)+g(x)是单调减函数,能用定义证明吗 怎样证 你能举个具体的函数例子吗 等等.一方面,可以帮助学生巩固概念;另一方面,可以拓展学生的视野,提高学生演绎推理的能力.需要说明的是,这类题目学生初次接触,不宜增加定义域的限制,从而加深难度,要以判断为主.
[规范板书]
f(x) g(x) f(g(x)) f(x)+g(x)
单调增函数 单调增函数 单调增函数 单调增函数
单调增函数 单调减函数 单调减函数 不能确定
单调减函数 单调减函数 单调增函数 单调减函数
单调减函数 单调增函数 单调减函数 不能确定
[题后反思] ① 本题是对前两题 ( http: / / www.21cnjy.com )判断函数单调性的一种归纳,旨在提高学生运用数学符号、利用数学语言的能力,提高学生演绎推理的能力.对于判断函数f(g(x))的单调性,可以采用“换元法”,例如:“已知f(x)是单调增函数,g(x)是单调减函数,求证:f(g(x))是单调减函数.证明:对于y=f(g(x)),设t=g(x),∴ y=f(t).设x1, x2∈R,且 x1t2=g(x2). ∵ y=f(x)是单调增函数,∴ f(t1)>f(t2),即f(g(x1))>f(g(x2)).∴ f(g(x))是单调减函数”.
② 视情况,还可以让学生判断f(x)·g(x)与的单调性.
变式 求函数y=的单调区间.
[规范板书] 解 函数的定义域为(-∞, -)∪[, +∞).
y=可看成由y=, t=x2-2复合而成的函数.
因为t=x2-2在(-∞, ]上单调递减,在[, +∞)上单调递增,而y=是单调增函数,所以y=在(-∞, ]上单调递减,在[, +∞)上单调递增.
即函数y=的单调减区间为(-∞, ],单调增区间为[, +∞).
四、 课堂练习
1. 求下列函数的最大值、最小值以及值域:
(1) y=x2-4x+1;
(2) y=x2-4x+1, x∈[3, 4].
解 (1) ∵ y=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,∴当x=2时,ymin=-3.函数无最大值,值域为[-3, +∞).
(2) 如图,由图象可知 ( http: / / www.21cnjy.com ),函数在[3, 4]上单调递增,∴当x=3时,ymin=-2;当x=4时,ymax=1.∴函数的值域为[-2, 1].
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1(2)题)
2. 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞, 4)上是单调减函数,则实数a的取值范围是a≤-3.
提示 借助图象得-≥4,解得a≤-3.
3. 若f(x)在R上是单调增函数,且a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).(填“<”、“>”或“=”)
提示 由a+b>0得a> ( http: / / www.21cnjy.com )-b, b>-a,又∵ f(x)在R上是单调增函数, ∴ f(a)>f(-b), f(b)>f(-a), ∴ f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
五、 课堂小结
1. 函数最大(小)值及其几何意义.
2. 求函数最值的一般方法:①对于 ( http: / / www.21cnjy.com )熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等函数,可以先画出其图象,再根据函数的性质来求最值;②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数,可以先判断函数的单调性,再用定义证明,然后利用函数的单调性求出函数的最值.
3. 熟练掌握函数单调性的其他运用.
第7课时 函数的奇偶性(1)
教学过程
一、 问题情境
用多媒体展示日常生活中常见的对称现象,如美丽的蝴蝶、建筑(如图1)……并让学生自己列举生活中对称的实例,从而揭示本节课的课题. [2]
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 作出函数f(x)=|x| 和g(x)= 图象,回答下列问题:(1)这两个函数图象有什么共同特征 (2)自变量为任意两个相反数时相应函数值是如何体现这些特征的 [3]
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
首先让学生分别计算x=±3, x=±2 ( http: / / www.21cnjy.com ), x=±1, …时的函数值,通过特殊值让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性:f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x).进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况 借助课件演示(或参见图2),学生通过观察和运算发现两个函数具有上述不同特性,即两个函数各自对称性的实质是:自变量互为相反数时,函数值相等和互为相反数这两种关系.然后通过解析式给出简单证明,进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.
奇偶性的概念:如果对于函数y=f(x)定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数;如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.
(二) 理解概念
问题2 奇函数、偶函数的定义中有“任意”两字,这说明函数的奇偶性是怎样的一个性质 与单调性有何区别
(函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质,它不同于单调性)
问题3 -x与x在几何上有何关系 具有奇偶性的函数的定义域有何特征
(函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的首要条件)
(三) 巩固概念
问题4 (1)对于任意一个奇函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com )),图象上的点P(x, f(x))关于原点的对称点P'的坐标是什么 点P'是否也在函数f(x)的图象上 由此可得到怎样的结论 (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性
(学生通过回答问题4可以把奇函数图象的性质总 ( http: / / www.21cnjy.com )结出来,即函数f(x)是奇函数 图象关于原点对称;然后教师让学生自己研究一下偶函数图象的性质,即函数f(x)是偶函数 图象关于y轴对称.同时,教师用多媒体展示中心对称图形绕中心旋转及轴对称图形绕轴旋转的特性,形象直观.如此经过由形到数再由数到形的过程,可使学生加深对本小节内容的理解)
三、 数学运用
【例1】 (教材P42例6)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:
(1) f(x)=x2-1; (2) f(x)=2x;
(3) f(x)=2|x|; (4) f(x)=(x-1)2.
(见学生用书课堂本P23)
[处理建议] 规范板书第(1) ( http: / / www.21cnjy.com )题,其余3小题由学生自己完成.要强调先求函数的定义域,再判断f(x)和f(-x)的关系,最后再根据函数奇偶性的定义得出结论.
[规范板书] 解 (1) 函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)=x2-1的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数f(x)=x2-1是偶函数.
(2) 函数f(x)=2x的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=-2x=-f(x),所以函数f(x)=2x是奇函数.
(3) 函数f(x)=2|x ( http: / / www.21cnjy.com )|的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以函数f(x)=2|x|是偶函数.
(4) 函数f(x)=(x-1)2的定义域是 ( http: / / www.21cnjy.com )R.因为f(1)=0, f(-1)=4,所以f(1)≠-f(-1), f(1)≠f(-1).因此,根据函数奇偶性定义,可以知道函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数.
[题后反思] (1) 利用定义判断函数奇偶性的步骤:
① 首先确定函数的定义域,并判断它是否关于原点对称.如果定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.
② 如果函数的定义域关于原点对称,则进一步观察f(-x)与f(x)的关系.
③ 作出相应结论:
若f(-x)=f(x) 或 f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数;
若f(-x),f(x)既不相等也不互为相反数,则f(x)既不奇函数,也不是偶函数.
(2) 若f(x)既是奇函数又是偶函数,则 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)=0;反之,f(x)=0的定义域关于原点对称时才能称f(x)=0既是奇函数又是偶函数.由于定义域可能有无数个(只要关于原点对称即可),所以,既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.
变式 判断函数y=的奇偶性.
[处理建议] 强调研究函数的性质(本课的奇偶性,上一课的单调性、最值等)时,都必须先求定义域.
[规范板书] 解 ∵ ≥0, ∴ x<-1或x≥1, ∴ 函数的定义域为{x|x<-1或x≥1},它不关于原点对称,∴ 函数y=是非奇非偶函数.
[题后反思] 判断一个函数的奇偶性,首先要考 ( http: / / www.21cnjy.com )察它的定义域是否满足“x和-x都在函数的定义域内”,即是否关于原点对称,如果对称然后再考察f(-x)与f(x)的关系;否则函数既不是奇函数,也不是偶函数.
【例2】 (教材P43例7)判断函数f(x)=x3+5x是否具有奇偶性. (见学生用书课堂本P24)
[处理建议] 关键是规范学生利用奇偶性的定义解决问题.
[规范板书] 解 函数f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域为R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)3+5(-x)=-(x3+5x)=-f(x),所以函数f(x)=x3+5x为奇函数.
[题后反思] 强调掌握判断函数奇偶性的步骤.
变式 (教材P45第8题)已知函数f(x)=x2+mx+1是偶函数,求实数m的值.
[规范板书] 解 因为函数f(x)=x2+m ( http: / / www.21cnjy.com )x+1是偶函数,故f(-x)=f(x)恒成立,即(-x)2+m(-x)+1=x2+mx+1对任意的x恒成立,所以 m=0.
[题后反思] (1)已知函 ( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立;已知函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)恒成立.若多项式恒成立,则变量的对应项系数相等.
(2) 也可结合二次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象,知其对称轴必为y轴,所以m=0;还可以根据函数解析式的特点进行判断,y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数 b=0(此性质还可以类似推广).
【例3】 已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,求当x>0时函数f(x)的解析式. (见学生用书课堂本P24)
[处理建议] 先提出“如何求给定区间上的解析式”的问题,引导学生讨论,教师点评,然后示范解题.
[规范板书] 解 因为函数f(x)为偶函数,当x>0,则-x<0,所以f(x)=f(-x)=-x+1.
[题后反思] 本例是利用函数的奇偶性求解析式,关键要抓住一点:求什么范围内的解析式就设自变量在什么范围内.
变式 (教材P45习题2.2第11题)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=1,试求函数y=f(x)的解析式.
[处理建议] 引导学生讨论:“函数f(x)的解析式怎样书写才正确,为什么 ”也可以结合图象,引导学生写出正确的解析式.
[规范板书] 解 ∵函数 f(x)为奇函数,∴ f(-0)=-f(0),∴ f(0)=0;当x<0时,-x>0, ∴f(x)=-f(-x)=-1.∴ f(x)=
[题后反思] 奇函数f(x)若在x=0处有意义,则f(0)=0 .
*【例4】 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=;
(2) f(x)=.
[处理建议] 引导学生对第(1)题进行分子有理化.
[规范板书] 解 (1) 函数f(x)的定义域是(-∞, +∞),将函数式分子有理化,得
f(x) ==
,f(-x)=
=,
∴ f(x)=-f(-x),∴ 函数f(x)是奇函数.
(2) 函数f(x)的定义域为(-∞, +∞),∵f(-x) === f(x),∴ 函数f(x)为偶函数.
[题后反思] 在观察f(x)和f(-x)的关系时,把握式子的结构特征以及适当处理也很重要.
变式 判断函数f(x)=的奇偶性.
[处理建议] 此类问题,主要是考察奇、偶函数的定义,准确理解定义并作出判断,要求达到“快而精准”,对一些典型的函数应当加以记忆.
[规范板书] 解 ∵ f(x)=, ∴ 解得x∈[-, 0)∪(0, ],它关于原点对称.此时,f(x)===, ∴ f(-x)===-=-f(x), ∴ f(x)为奇函数.
[题后反思] 判断函数的奇偶性是比较 ( http: / / www.21cnjy.com )基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).
四、 课堂练习
1. 判断下列函数是否具有奇偶性(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”):
(1) 函数f(x)=是奇函数;
(2) 函数f(x)=x2-2-1是偶函数;
(3) 函数f(x)=x+1是非奇非偶函数;
(4) 函数f(x)=x2, x∈(-1, 1]是非奇非偶函数;
(5) 函数f(x)=+是非奇非偶函数;
(6) 函数f(x)=+是偶函数.
2. 若二次函数y=ax2+(b-3)x+c (a≠0)是偶函数,则b=3.
提示 结合偶函数的定义,可得b=3;也可 ( http: / / www.21cnjy.com )以结合二次函数的图象,知其对称轴必为y轴,所以b=3;还可以根据二次函数解析式的特点进行判断,y=ax2+bx+c (a≠0)是偶函数 b=0(此性质还可以类似推广).
五、 课堂小结
从知识与方法两个方面来对本节课的内 ( http: / / www.21cnjy.com )容进行归纳总结:本节课主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.
第8课时 函数的奇偶性(2)
教学过程
一、 问题情境
问题1 已知函数y=f(x)是偶函 ( http: / / www.21cnjy.com )数,它在y轴右侧的图象如图1所示,画出它在y轴左侧的图象,并观察对应区间上函数的单调性、最大值、最小值的关系,归纳出一般性的结论,并用定义加以证明.如果函数y=f(x)是奇函数呢 请类似考虑.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题2 (1)已知y=f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))是奇函数,它在(0, +∞)上是单调增函数,则y=f(x)在(-∞, 0)上是单调增函数;(2)已知y=f(x)是偶函数,它在(0, +∞)上是单调增函数,则y=f(x)在(-∞, 0)上是单调减函数.[1]
(二) 理解概念
函数奇偶性与单调性的关系必须建立在“关于原点对称的区间上”.
下面给出问题2的部分证明.
证明 (以(1)为例)任取x1, ( http: / / www.21cnjy.com ) x2∈(-∞, 0),且x1-x2>0. ∵ y=f(x)在(0, +∞)上是单调增函数,∴ f(-x1)>f(-x2).∵ y=f(x)是奇函数,∴ f(-x1)=-f(x1), f(-x2)=-f(x2), ∴ -f(x1)>-f(x2),即f(x1)(三) 巩固概念
一般地,函数的奇偶性和单调性之间的关系如下: 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
三、 数学运用
【例1】 已知y=f(x)是奇函数,它在(0, +∞)上是单调增函数,且f(x)<0.试问:F(x)=在(-∞, 0)上是单调增函数还是单调减函数 证明你的结论. (见学生用书课堂本P25)
[处理建议] 根据函数单调性的定义,可以设x1[规范板书] 解 任取x1, x2∈(-∞, 0),且x1-x2>0. ∵ y=f(x)在(0, +∞)上是单调增函数,且f(x)<0, ∴ f(-x2)f(x1)>0,于是F(x1)-F(x2)=-=>0,∴ F(x)=在(-∞, 0)上是单调减函数.
[题后反思] 一般情况下,若要证明函数f(x)在区间A上的单调性,就在区间A上设x1变式 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+3x-1.求f[f(-2)]的值.
[规范板书] 解 ∵f(x)是奇函数 ( http: / / www.21cnjy.com ),且x>0时,f(x)=x2+3x-1,∴ f(-2)=-f(2)=-9, ∴ f(-9)=-f(9)=107, ∴ f[f(-2)]=107.
【例2】 定义在(-1, 1)上的奇 ( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)在整个定义域上是单调减函数,若f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数a的取值范围. (见学生用书课堂本P26)
[处理建议] 引导学生先根据奇函数 ( http: / / www.21cnjy.com )性质把f(1-a)+f(1-3a)<0变换成f(1-3a)[规范板书] 解 原不等式化为f(1-3a)<-f(1-a). ∵ f(x)是奇函数,∴-f(1-a)=f(a-1).∴f(1-3a)a-1, ∴ a<.
又∵函数 f(x)的定义域为(-1, 1),
∴ 解得0综上,∴ 实数a的取值范围为.
[题后反思] 要重视定义域在解题中的限制.
【例3】 已知函数f(x)是定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )R的奇函数,当x<0时,f(x)=x2+x-2.求函数f(x)的解析式,并写出函数f(x)的单调区间. (见学生用书课堂本P26)
[处理建议] 引导学生求x>0时的函数解析式,关键是转化成-x<0.
[规范板书] 解 设x>0,则-x ( http: / / www.21cnjy.com )<0,由已知得f(-x)=(-x)2+(-x)-2=x2-x-2.∵ 函数f(x)是奇函数,∴ f(x)=-f(-x)=-x2+x+2, ∴ 当x>0时,f(x)=-x2+x+2.又∵ 函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴ f(0)=0.
综上所述,∴ f(x)=
函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为和.
[题后反思] ①一般情况 ( http: / / www.21cnjy.com )下,若要求函数f(x)在区间A上的解析式,就在区间A上设x.②求分段函数的单调区间,应先画出其图象,再根据图象判断.
变式 已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0, +∞)上是单调增函数,若f(1)[处理建议] 可以点拨学生结合图象考虑.
[规范板书] 解 ∵ 定义 ( http: / / www.21cnjy.com )在R上的偶函数f(x)在区间[0, +∞)上是单调增函数,f(1)1,解得x>1或x<-1.
[题后反思] 对于抽象函数奇偶性与单调性的关系,一般画出草图,可以比较直观地判断.
*【例4】 已知函数f(x)=ax3+bx+1(常数a, b∈R),且f(4)=0,求f(-4)的值.
[规范解题] 解法一 设g(x) ( http: / / www.21cnjy.com )=ax3+bx,则f(x)=g(x)+1.易知g(x)是奇函数,g(4)=-1,∴ g(-4)=-g(4)=1, ∴ f(-4)=g(-4)+1=2.
解法二 f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2,∴ f(-4)=2-f(4)=2-0=2.
[题后反思] 审题时要重视问题的特 ( http: / / www.21cnjy.com )征,本题中的f(x)=ax3+bx+1不是奇函数,但它可以由一个奇函数(g(x)=ax3+bx)向上平移1个单位长度得到,所以本题也可以结合图象解决.
变式 判断函数f(x)=的奇偶性.
[规范板书] 解法一 由题设可知函数的定义域关于原点对称.
当x>0时,-x<0,则f(x)=, f(-x)=-=, ∴ f(x)=f(-x).
当x<0, -x>0,则f(x)=-, f(-x)==-,∴ f(x)=f(-x).
综上所述,对于x≠0都有f(-x)=f(x)成立,
∴ f(x)为偶函数.
解法二 f(x)=
==1+,
该函数的定义域为, f(-x)=1+=1+=f(x),因此函数f(x)为偶函数.
四、 课堂练习
1. 若函数f(x)=x2+mx+1为偶函数, 则函数f(x)在(-3, -1)上是单调减函数.(填“增”或“减”)
2. 已知函数f(x)定义在R上. ( http: / / www.21cnjy.com )(1) 求证:g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数; (2)求证:h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.
证明 (1) ∵ g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x), ∴ g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数.
(2) ∵ h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x), ∴ h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.
3. 定义在R上的函数y=f(x)对于任意x, y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0 .
(1) 求f(0)的值;(2)求证:函数f(x)是偶函数.
解 (1)令x=y=0,则2f(0)=2f2(0),
∴ f(0)=0或1.又∵ f(0)≠0,∴ f(0)=1.
(2) 令x=0,则f(0+y)+f(0-y)=2f(0)·f(y),而f(0)=1,∴ f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),∴ 函数f(x)是偶函数.
五、 课堂小结
本节课主要学习了函数奇偶性的应用,要能熟练运用单调性与奇偶性讨论函数的性质,并能够利用函数的单调性和奇偶性解决一些问题.
第9课时 函数的最值
教学过程
一、 问题情境
在图1中,我们从图象上看出14时的气温 ( http: / / www.21cnjy.com )为全天的最高气温,它表示在0~24时之间,气温于14时达到最大值;从图象上看出,图象在这一点的位置最高.
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
在图1中,可以看出:对于任意的x∈R,都有f(x)≤f(14).
二、 数学建构
(一) 生成概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.
若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≤f(x0)恒成立,则称f(x0)为函数y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0);
若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≥f(x0)恒成立,则称f(x0)为函数y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0).
(二) 理解概念
1. 单调性与最值
设函数y=f(x)的定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )[a, b],若y=f(x)是单调增函数,则ymax=f(b), ymin=f(a);若y=f(x)是单调减函数,则ymax=f(a), ymin=f(b).
2. 奇偶性与最值
设奇函数y=f(x)的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域为I, [a, b] I,其中a>0,若f(x)在[a, b]上的最大值是M,则f(x)在[-b, -a]上的最小值是-M.
(三) 巩固概念
常常借助于图象,综合运用函数的性质来求函数的最值、值域.
三、 数学运用
【例1】 求函数y=的值域. (见学生用书课堂本P27)
[处理建议] 根据它的图象,可以直观而准确地判断函数的值域.
[规范板书] 解 由图象可知,函数的值域为(-∞, 0)∪(0, +∞).
( http: / / www.21cnjy.com )(例1)
[题后反思] 反比例函数的图象是基本初等函数图象,要熟练掌握.
变式 求函数y=|x-1|的值域.
[规范板书] 解 由图象可知,函数的值域为[0, +∞).
( http: / / www.21cnjy.com )(变式)
[题后反思] 由图象观察得出函数的值域是常见的求值域的方法.
【例2】 求下列函数的最大值和最小值:
(1)y=3-2x-x2, x∈;
(2)y=|x+1|-|x-2|.(见学生用书课堂本P27)
[处理建议] 先画出函数的图象,然后根据图象观察最大值和最小值.
[规范板书] 解 (1) 二次函数y=3-2x-x2图象的对称轴为x=-1,其函数图象如图(1)所示.由图象可知,当x=-1时,ymax=4; 当x=时,ymin=-.
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
(例2)
(2) y=|x+1|-|x-2|=
其图象如图(2)所示.由图象可知,y∈[-3, 3].所以函数的最大值为3, 最小值为-3.
[题后反思] ①求二次函数在闭区间上的最 ( http: / / www.21cnjy.com )大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析. ②求含绝对值的函数的最大值或最小值,常用分零点讨论去掉绝对值,转化为分段函数进行研究;分段函数的图象注意分段作出,然后直接观察图象得到函数的最大值或最小值.
变式 求函数f(x)=x2-2ax, x∈[0, 4)的最小值.
[规范板书] 解 f(x)=(x-a)2-a2,其图象是开口向上、对称轴为x=a的抛物线.
① 若a≤0,则函数f(x)在[0, 4)上是单调增函数,∴[f(x)]min=f(0)=0;
② 若0③ 若a≥4,则函数f(x)在[0, 4)上是单调减函数,∴f(x)的最小值不存在.
综上所述,当a≤0时,[f(x)]min=0;当0[题后反思] 含参数问题的最值,一般情况下,我们先将参数看成是已知数,当不能解的时候,我们再进行讨论.
【例3 】 求函数y=2x+4的值域. (见学生用书课堂本P28)
[处理建议] 本题应优先考虑函数的定义域,再利用换元法求值域.
[规范板书] 解 设 t=,则t≥0, x=1-t2. ∴原函数可化为 y=2(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4, ∵ t≥0, ∴ y≤4.
[题后反思] 对于形如y=ax+b+(ac<0)型的函数的值域,常采用换元法(令=t)求解.
变式 求y=2x-3+的值域.
[规范板书] 解 令t=,则t≥0, x=.∴ y=t2+t+=(t+1)2+3.∵ t≥0,∴ y∈, +∞.
*【例4】 求函数y=4x-1+的值域.
[处理建议] 先让学生思考,这时 ( http: / / www.21cnjy.com )大部分学生会延续上一题的思路而采用换元法求解.教师可以说明:根据该函数解析式的特点,本题也可采用复合函数单调性法求解.
[规范板书] 解 ∵ 2x-3≥0, ∴ x≥, ∴函数f(x)=4x-1+的定义域为.令f1(x)=4x-1, f2(x)=, ∴函数f1(x), f2(x)为单调增函数, ∴ f(x)=f1(x)+f2(x)在定义域上单调递增, ∴ y≥f=5,因此该函数的值域为[5, +∞).
[题后反思] 本题既可以采用换元 ( http: / / www.21cnjy.com )法求解,也可以采用复合函数单调性法求解,显然后一种方法简单很多.从上面2个例子,我们可以得到一些启示:求值域前可以先简单观察函数解析式的特点,然后再确定采用哪一种方法求解较简便.
变式 求函数y=3-的值域.
[规范板书] 解 ∵ ≥0, ∴ -≤0, 3- ≤3,故该函数的值域是(-∞, 3].
四、 课堂练习
1. 求下列函数的最大值、最小值与值域:
(1) y=x2-4x-7;
(2) y=x2-4x-7, x∈[2, 6].
解 (1) y=x2-4 ( http: / / www.21cnjy.com )x-7=(x-2)2-11≥-11,∴当x=2时,ymin=-11;函数无最大值;函数的值域是{y|y≥-11 }.
(2) 函数的对称轴为x=2, ( http: / / www.21cnjy.com )所以函数在[2, 6]上单调递增,所以ymin=f(2)=-11, ymax=f(6)=5,函数的值域为[-11, 5].
2. 已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3, 2]上有最大值4,求实数a的值.
解 二次函数f(x)=ax2+2ax+1的对称轴为x=-1.
当a>0时,则当x=2时函数取得最大值4,∴8a+1=4,解得a=;
当a<0时,则当x=-1时函数取得最大值4, ∴ 1-a=4,解得a=-3.
所以a=或-3.
五、 课堂小结
1. 最值的定义.
2. 求简单函数的最值的常用解法.
第10课时 映射的概念
教学过程
一、 问题情境
函数是建立在两个非空数集之间的单值对应,而对于某班级全体同学组成的集合与其体重数组成的集合之间的对应,又该如何定义呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 对应是什么 函数是什么
(对应是两个集合元素之间的一种关系,对应关系可用图示或文字描述来表示)
问题2 讨论“即时体验”中两个例子的区别与联系.
(引导学生发现与函数概念的区别,总结出不同之处的关键词)
通过讨论,结合函数的概念,给出映射的定义.
一般地,设A, B是两个非空集 ( http: / / www.21cnjy.com )合,如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射,记作f: A→B.
(二) 理解概念
1. 函数是映射,但映射不一定是函数.映射是函数概念的推广,特殊之处是在函数的概念中,A, B为两个非空数集.
2. 单值对应的理解:对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应.
三、 数学运用
【例1】 (教材P46例1)下图所示的对应中,哪些是从A到B的映射
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
( http: / / www.21cnjy.com )(3) ( http: / / www.21cnjy.com )(4)
(见学生用书课堂本P29)
[处理建议] 引导学生比较、分析、归纳,从而使他们更好地理解映射的概念.
[规范板书] 解 根据映射的定义,可以知道,(4)的对应是从A到B的映射,(1)、 (2)、 (3)的对应不是从A到B的映射.
[题后反思] 映射中的对应可以是一对一或多对一,但不能一对多.
变式 下列从集合M到集合P的对应f中,是映射的是 ① .(填序号)
① M={-2, 0, 2}, P={-1, 0, 4}, f: M中的数的平方;
② M={0, 1}, P={-1, 0, 1}, f: M中的数的平方根;
③ M=Z, P=Q, f: M中的数的倒数;
④ M=R, P={正实数}, f: M中的数的平方.
[处理建议] 判定对应f:M→P是 ( http: / / www.21cnjy.com )否是映射,关键是看是否符合映射的定义,即集合A中的每一个元素在集合B中是否有象并且唯一,若不是映射只要举一反例即可.
【例2】 设集合A=B={(x, y)|x∈R, y∈R}, f: A→B是从集合A到集合B的映射,且f:(x, y)→(x+y, x-y).求:
(1) 在B中与A的元素(2, 3)对应的元素;
(2) 在A中与B的元素(2, 3)对应的元素. (见学生用书课堂本P29)
[处理建议] 指导学生分清集合A, B中x与y之间的对应关系.
[规范板书] 解 (1) A中的元素(2, 3),对应B中的元素为(2+3, 2-3),即为(5, -1).
(2) 设B中的元素(2, 3)对应A中的元素为(x, y),则根据题意得解得所以在A中与B的元素(2, 3)对应的元素为.
【例3】 已知集合A=R, B={(x, y)|x∈R, y∈R}, f: A→B是从集合A到集合B的映射,且f: x→(x+1, x2+1).求:
(1) A的元素在B中对应的元素;
(2) B的元素在A中对应的元素. (见学生用书课堂本P30)
[规范板书] 解 (1) A的元素在B中对应的元素为(+1, ()2+1),即(+1, 3).
(2) 由题意得解得x=,所以B的元素在A中对应的元素为.
【例4】 给出下列四个对应关系:
① A=N*, B=Z, f: x→y=2x-3;
② A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={y|y∈N*, y≤5}, f: x→y=|x-1|;
③ A={x|x≥2}, B={y|y=x2-4x+3}, f: x→y=x-3;
④ A=N, B={y|y=2x-1, x∈N*,且y∈N*}, f: x→y=2x-1.
其中是函数的对应有 ①③ .(填序号) (见学生用书课堂本P30)
[处理建议] 弄清函数的概念,弄清什么样的对应是函数.对于②, A中的1在B中无对应的实数;对于④, A中的0在B中无对应的实数.
*【例5】 设集合A={2, 4, 6}, B={1, 9, 25, 49, 81, 100},给定下列对应:
① f: x→(2x-1)2; ② f: x→(2x-3)2;
③ f: x→-2x-1; ④ f: x→(2x-1)3.
其中对应关系f能构成从A到B的映射是 ② .(填序号)
[处理建议] 通过具体例子,让学生体会映射概念中“任一”、“→”、“唯一”的含义.在②中,2→1, 4→25, 6→81,符合映射的定义.
四、 课堂练习
1. 已知从集合A到集合B的映射f,给定下列说法:
① B中某一元素b在A中与之对应的元素可能不止一个;
② A中某一元素a在B中对应的元素可能不止一个;
③ A中两个不同元素在B中对应的元素必不相同;
④ B中两个不同元素在A中与之对应的元素可能相同.
其中说法正确的是 ① .(填序号)
2. 已知集合A={x|0≤x≤4}, B={y|0≤y≤2},给定下列对应:
① f: x→y=x; ② f: x→y=x;
③ f: x→y=x; ④ f: x→y=x2.
从A到B的对应f不是映射的是 ③ .(填序号)
3. 点(a, b)在映射f的作用下对应的元素是(a-b, a+b),则点(3, 1)是由点 (2, -1) 在f的作用下得到的.
提示 根据题意得a-b=3且a+b=1,所以a=2, b=-1.
五、 课堂小结
1. 映射是从集合A到集合B的某种对应关系,这种对应只能是“一对一”或“多对一”,而不能是“一对多”.
2. 函数是特殊的映射;函数与映射的区别在于构成函数的两个集合是非空数集.
第11课时 本章复习
教学过程
一、 知识梳理
1. 本章主要知识点
(1) 函数的概念,函数的定义域和值域的求法.
(2) 函数的三种表示方法:①解析法;②列表法;③图象法.
(3) 判断函数的单调性:定义法.
(4) 判断函数奇偶性的方法:①定义法;②图象法.
(5) 映射的概念.(由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A, B非空且皆为数集)
2. 知识框图
( http: / / www.21cnjy.com )
提醒:要充分注意利用数形结合思想方法解题.
二、 数学运用
(一) 根据函数的图象求解析式
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
【例1】 如图,根据函数y=f(x)(x∈R)的图象,写出函数y=f(x)的解析式. (见学生用书课堂本P31)
[处理建议] 引导学生把图象分成三段,并分别写出每一段的函数解析式.
[规范板书] 解 函数的解析式为y=
[题后反思] 在函数的定义域内,对于自 ( http: / / www.21cnjy.com )变量的不同取值范围,有着不同的对应法则,分别求出每一段上的函数解析式,最后要注意分段函数是一个函数,不能分成三段写解析式.
变式 二次函数f(x)的图象顶点为A(1, 16),且图象在x轴上截得的线段长为8,求函数f(x)的解析式.
[规范板书] 解 由题意可设该二次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式为f(x)=a(x-1)2+16,又因为其图象在x轴上截得的线段长为8,所以其图象与x轴的两个交点分别为(-3, 0)和(5, 0),所以a(-3-1)2+16=0,所以a=-1,所以f(x)=-x2+2x+15.
(二) 函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=(1+x);
(2) f(x)=.(见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 引导学生先求函数的定义域.对于第(2)题,则需在定义域的范围内化简函数表达式.
[规范板书] 解 (1) ∵ 函数f(x)的定义域为(-1, 1],它不关于原点对称,∴ 函数f(x)是非奇非偶函数.
(2) ∵ 函数f(x)的定义域为[-1, 0)∪(0, 1], ∴ f(x)==, f(-x)===-f(x),∴ 函数f(x)是奇函数.
[题后反思] 判断函数的奇偶 ( http: / / www.21cnjy.com )性时,首先要求函数的定义域,看定义域是否关于原点对称(若定义域不关于原点对称,则函数不具备奇偶性;若定义域关于原点对称,则可在定义域内化简f(x)),再看f(-x)与f(x)的关系.
变式 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=+;
(2) f(x)=
[处理建议] 引导学生对分段函数的奇偶性进行分段讨论.
[规范板书] 解 (1) ∵ f(x)=+的定义域为{-1, 1},此时f(x)=0, ∴ 函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2) 当x>0时,-x ( http: / / www.21cnjy.com )<0, f(-x)=-(-x)2=-x2=-f(x);当x<0时,-x>0, f(-x)=(-x)2=x2=-(-x2)=-f(x);当x=0时,f(0)=0,满足f(-x)=-f(x).
∴ 对于任意x∈R,都有f(-x)=-f(x), ∴ 函数f(x)是奇函数.
[题后反思] 对于(2), f(x)==x|x|,易证f(x)=x|x|为奇函数;或者先作图象,可以观察得出它关于原点对称,再进行规范板书.对于分段函数表示的奇(偶)函数的证明要完整.
(三) 函数奇偶性的应用
【例3】 已知函数f(x)是奇函数,定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域为R.当x>0时,f(x)=x(5-x)+1,求函数f(x)在R上的解析式. (见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 求x<0时的函数解析式,关键是转化成-x>0.
[规范板书] 解 ∵ 函数f(x)是R上的奇函数,∴ f(0)=0.
当x<0时,则-x>0, f(-x)=-x(5+x)+1,∵ f(x)为奇函数,∴ f(x)=-f(-x)=-[-x(5+x)+1]=x(5+x)-1.
综上所述,f(x)=
[题后反思] 函数f(x)的定义域为D, 0∈D,则f(0)=0是f(x)为奇函数的必要不充分条件.
变式 定义在R上的函数f(x),对任意的x, y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.
(1) 求证:f(0)=1;
(2) 求证:函数y=f(x)是偶函数.
[规范板书] 证明 (1) 令x=y=0,则2f(0)=2f2(0), ∵ f(0)≠0, ∴ f(0)=1.
(2) 令x=0,则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y), ∴ f(-y)=f(y),即f(-x)=f(x). ∴ 函数y=f(x)是偶函数.
[题后反思] 对于抽象函数奇(偶)性的判断,可根据题意采用赋值法解决.
(四) 利用换元法求函数的值域
【例4】 已知函数f(x)的值域是,试求函数g(x)=f(x)+的值域.
(见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 本题是求含有根式的函数值域问题,那么就要想到采用换元法.
[规范板书] 解 令f(x)=t,则y=t+, t∈.
令u=,则≤u≤, t=(1-u2), ∴ y=u+(1-u2)=-u2+u+=-(u-1)2+1,∴ ≤y≤.
[题后反思] 本题看似复杂,其实等价于求函数g(t)=t+的值域,然后采用换元法,令u=,转化为二次函数的值域问题.
(五) 函数单调性的研究
*【例5】 讨论函数f(x)=(a>0)在(-1, 1)上的单调性.
[处理建议] 指导学生规范单调性的证明过程.
[规范板书] 解 设-1f(x1)-f(x2)=-
=
=.
∵ -10, x1x2+1>0, (-1)(-1)>0.
又∵ a>0,∴ f(x1)-f(x2)>0,∴ f(x1)>f(x2).
即函数f(x)在(-1, 1)上为单调减函数.
[题后反思] 利用函数单调性的定义讨论.
变式 讨论函数f(x)=的单调性.
[规范板书] 解 由|x-1|-1≠0,可得x≠0且x≠2, ∴ 该函数的定义域为(-∞, 0)∪(0, 2)∪(2, +∞).
∵ =-.
① 当x1, x2∈(-∞, 0)或x1, x2∈(0, 1]时,====-1<0.
若x10,即f(x1)>f(x2),∴ 函数f(x)在(-∞, 0)和(0, 1]上是单调减函数.
② 当x1, x2∈[1, 2)或x1, x2∈(2, +∞)时,=-==1>0.
若x1综上所述,∴ 函数f(x)在(-∞, 0)和(0, 1]上是单调减函数,在[1, 2)和(2, +∞)上是单调增函数.
三、 补充练习
1. 函数y=的值域是(0, 1].
提示 ∵ 1+x2≥1, ∴ 0<≤1,即y∈(0, 1].
2. 设f: x→x2是从集合A到集合B的映射,若B={1, 2},则A∩B= 或{1}.
提示 集合A可以是{-1}, {1}, {}, {-}, {-1, 1}, {-, }, {-1, -}, {-1, }, {1, -}, {1, }, {-1, 1, -}, {-1, 1,}, {-1, -, }, {1, -, }, {-1, 1, -, },所以A∩B= 或{1}.
3. 设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是(-∞, -2]∪[0, 10].
提示 当x<1时,结合(x+1)2≥1可得x≤-2或0≤x<1;当x≥1时,结合4-≥1可得1≤x≤10.所以x∈(-∞, -2]∪[0, 10].
4. 已知函数y=f(x)定义在 ( http: / / www.21cnjy.com )R上, f(0)≠0,且对任意的a, b∈R,都有f(a+b)=f(a)·f(b);当x>0时,f(x)>1.
(1) 证明:f(0)=1;
(2) 证明:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3) 证明:函数f(x)是R上的单调增函数;
(4) 若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.
证明 (1) 令a=b=0,则f(0)=f2(0).又∵ f(0)≠0,∴ f(0)=1.
(2) 当x<0时,-x>0, f(-x)>1.根据题意可得f(0)=f(x)·f(-x)=1,∴ f(x)=>0.
又∵ x≥0时,f(x)≥1>0.
∴ x∈R时,恒有f(x)>0.
(3) 设x10.根据题意可得f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).
∵ x2-x1>0,∴ f(x2-x1)>1.
由(2)可知f(x1)>0,∴ f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).
∴ f(x2)>f(x1).∴ 函数f(x)是R上的单调增函数.
(4) 由f(x)·f(2x-x2)>1, f(0)=1,得f(3x-x2)>f(0).
又∵函数f(x)是R上的单调增函数,∴ 3x-x2>0,解得0四、 课堂小结
本章学习了函数的概念和性质 ( http: / / www.21cnjy.com ),其中包括函数的定义域、解析式、值域,函数的单调性、奇偶性,映射与函数;复习时既要夯实基础,又要注重实践,并逐步建立一种函数的意识和培养一种自觉应用函数知识解决问题的能力.
第1课时 函数的概念和图象(1)
教学过程
一、 问题情境
在现实生活中,我们可能会遇到下列问题:
1. 估计人口数量变化趋势是我们制定一系 ( http: / / www.21cnjy.com )列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国19491999年人口数据资料如下表所示,你能根据该表说出我国人口的变化情况吗
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974
人口数/百万 542 603 672 705 807 909
年份 1979 1984 1989 1994 1999
人口数/百万 975 1035 1107 1177 1246
2. 一物体从静止开始下落,下落的距离y( ( http: / / www.21cnjy.com )单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2s,你能求出它下落的距离吗
3. 图1为某市一天24小时内的气温变化图.
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
(1) 上午6时的气温约是多少 全天的最高气温、最低气温分别是多少
(2) 在什么时刻,气温为0℃
(3) 在什么时段内,气温在0℃以上
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 用怎样的模型来刻画上述问题中两个变量之间的关系
问题2 如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点
(每一个问题都涉及两个非空数集A, B;存在某个对应法则,对于A中任意元素x,在B中总有一个元素与之对应)
函数的定义:设A, B是两个非空数集,如果 ( http: / / www.21cnjy.com )按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,记为y=f(x), x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,所有的输出值y组成的集合叫做函数y=f(x)的值域.
(二) 理解概念
1. 集合A和集合B都是非空数集.
2. 对应法则的方向是从A到B.
3. “每一个”:对于集合A中的每一个元素,集合B中都有元素和它对应;“唯一”:对于集合A中的每一个元素,集合B中都是唯一的元素和它对应.
4. 函数是从一个非空数集到另一个非空数集的单值对应.
5. f(x)是一个抽象的符号,是对函数概念的深化,可以理解成对应法则f对自变量x的作用.
(三) 巩固概念
问题3 函数的构成要素是什么
(三要素:定义域、值域、对应法则)
三、 数学运用
【例1】 (教材P25例1)判断下列对应是否为函数:
(1) x→, x≠0, x∈R;
(2) x→y,这里y2=x, x∈N, y∈R.(见学生用书课堂本P1112)
[处理建议] 首先要弄清楚怎样判定一个对应是否是函数;注意函数定义中的“非空”、“每一个”和“唯一”等词.
[规范板书] 解 (1) 对于任意一个非零实数x, 被x唯一确定,所以当x≠0时x→是函数,这个函数也可以表示为f(x)=(x≠0).
(2) 考虑输入值为4,即 ( http: / / www.21cnjy.com )当x=4时输出值y由y2=4给出,得y=2和y=-2.这里一个输入值和两个输出值对应(不是单值对应),所以x→y(y2=x)不是函数.
[题后反思] 解本题的关键是抓住函数的定义,在定义的基础上输入一些数字进行验证,当不是函数时,只要列举出集合A中的一个x即可.
变式 判断下列对应是否为从A到B的函数:A=B=N*,对任意的x∈A, x→|x-3|.
[规范板书] 解 考虑输入值为3时,即 ( http: / / www.21cnjy.com )当x=3时输出值y由y=|x-3|给出,得y=0.这里一个输入值没有输出值与之对应,所以x→|x-3|(y=|x-3|)不是函数.
【例2】 求下列函数的定义域:
(1) f(x)=; (2) g(x)=.(见学生用书课堂本P12)
[处理建议] 求函数y=f(x)的定义域时通常有以下几种情况:
① 如果f(x)是整式,那么函数的定义域是R;
② 如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合;
③ 如果f(x)为二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合;
④ 如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各个部分的式子都有意义的实数的集合.
[规范板书] 解 (1) 当2x-1≥0时,即x≥时,在实数范围内有意义;当2x-1<0时,即x<时,在实数范围内没有意义.因此,这个函数的定义域是.
(2) 当2x+1≠0时,即x≠-时,有意义;当2x+1=0时,即x=-时,没有意义.因此,这个函数的定义域是.
[题后反思] 函数定义域的求解关键在于根据函数解析式的特点列出不等式组.
变式 求下列函数的定义域:
(1) f(x)=;
(2) f(x)=--1;
(3) f(x)=+.
[规范板书] 解 (1) 由题意可得解得∴ 这个函数的定义域是(-4, -2)∪(-2, +∞).
(2) 由题意可得解得-3≤x≤1. ∴ 这个函数的定义域是[-3, 1].
(3) 由题意可得解得x≥ -1且x≠3. ∴ 这个函数的定义域是[-1, 3)∪(3, +∞).
【例3】 试判断下列各组函数是否表示同一函数:
(1) f(x)=, g(x)=;
(2) f(x)=, g(x)=(见学生用书课堂本P12)
[处理建议] 对于两个函数y=f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若定义域、值域、对应法则有一个不相同时,则y=f(x)和y=g(x)就不是同一函数.
[规范板书] 解 (1) 因为f(x)==|x|, g(x)==x,所以它们不是同一函数.
(2) 因为函数f(x)=的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞),而函数g(x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数.
[题后反思] 若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然.
变式 试判断函数f(x)=x2-2x-1和g(t)=t2-2t-1是否表示同一函数.
[规范板书] 解 这两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.
[题后反思] 该变式易错判断成它们 ( http: / / www.21cnjy.com )是不同的函数,原因在于对函数的概念理解不透.要知道,在函数的定义域及对应法则f不变的条件下,自变量变换字母,甚至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x2+1, f(t)=t2+1, f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数.
*【例4】 求下列函数的值域:
(1) f(x)=(x-2)2+3, x∈{-1, 0, 1, 2, 3};
(2) f(x)=(x-2)2+3.
[处理建议] 引导学生从定义域的不同进行分析.
[规范板书] 解 (1) ∵ 函数f(x)的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域为{-1, 0, 1, 2, 3}, ∴ 函数f(x)的值域为{3, 4, 7, 12}.
(2) ∵ 函数f(x)的定义域为R,(x-2)2+3≥3, ∴ 函数f(x)的值域为[3, +∞).
[题后反思] 对应法则相同的函数,不一定是同一函数.
变式 函数y=与y=3x是不是同一个函数 为什么
[规范板书] 解 它们不是同一函数,因为这两个函数的定义域不同.
四、 课堂练习
1. 已知集合A={x|0≤x≤6}, B={y|0≤y≤3},给定下列从A到B的三个对应:
① x→y=x ; ② x→y=x; ③ x→y=x.
其中是函数的对应为①②.(填序号)
提示 利用函数的定义可得.
2. 函数f(x)=的定义域为{x≠-2且x≠2}.
提示 由-2≠0可得x≠-2且x≠2.
3. 函数f(x)=+的定义域为.
提示 由可得x=±1.
4. 函数f(x)=x-1(x∈Z且x∈[-1, 4])的值域为.
提示 由x∈Z且x∈[-1, 4],可得x=-1, 0, 1, 2, 3, 4,再代入函数解析式即可.
五、 课堂小结
本节课学习了函数的概念及其三要素.
第2课时 函数的概念和图象(2)
教学过程
一、 问题情境
问题 试比较下列两个函数的定义域和值域:
(1) f(x)=x2+1, x∈{-1, 0, 1};
(2) f(x)=x2+1.
讨论:自变量x的限制条件即为函数的定义域,函数值y的取值范围即为值域,值域由定义域内的变量对应而得到,因此研究函数的定义域更为必要.
对于一般性的函数,其定义域又该如何求得呢 它有哪些限制条件呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 函数的定义域:所有输入值构成的集合.
2. 函数的值域:所有输出值构成的集合.
(二) 理解概念
1. 给定函数时要指明函数的定义域.
2. 对于用解析式表示的函数,如果没有指明定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.
3. 对于从A到B的函数f,如果值域是C,那么C B,不能将B当成函数的值域.
(三) 巩固概念
求函数的定义域一般要注意考虑分母、偶次根式等有意义.
三、 数学运用
【例1】 求下列函数的定义域:
(1) f(x)=;
(2) f(x)=.(见学生用书课堂本P13)
[处理建议] 考虑式子本身的意义,并根据有意义的条件列式.
[规范板书] 解 (1) 要使函数有意义,必须4-x2≥0,即-2≤x≤2.
∴ 函数f(x)=的定义域为[-2, 2].
(2) 要使函数有意义,必须即解得x<-3或-3
变式 已知函数y=f(x)的定义域为[0, 1],求函数y=f(x-1)的定义域.
[规范板书] 解 ∵ 函数y=f(x)的定义域为[0, 1], ∴ 0≤x≤1.
∴ 0≤x-1≤1,即1≤x≤2, ∴函数y=f(x-1)的定义域为[1, 2].
[题后反思] 求抽象函数的定义域时应遵循两点原则:①定义域都是相对于自变量x而言的;②相同对应法则下的作用对象的取值范围相同.
【例2】 (教材P25例3)求下列函数的值域:
(1) f(x)=(x-1)2+1, x∈{-1, 0, 1, 2, 3};
(2) f(x)=(x-1)2+1.(见学生用书课堂本P14)
[处理建议] 引导学生从定义域的不同进行分析.
[规范板书] 解 (1) ( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)的定义域为{-1, 0, 1, 2, 3},因为f(-1)=[(-1)-1]2+1=5,同理f(0)=2, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=5,所以这个函数的值域为{1, 2, 5}.
(2) 函数f(x)的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以这个函数的值域为{y|y≥1}.
变式1 求函数y=x2-2x的值域.
[规范板书] 解 y=x2-2x=-1≥-1,所以这个函数的值域为.
[题后反思] 本题可以让x取不同的范围,然后和学生一起讨论如何求函数的值域.
【例3】 求下列函数的值域:
(1) y=3x+2(-1≤x≤1);
(2)f(x)=2+.(见学生用书课堂本P14)
[处理建议] 先提出问题:“如何求给定区间上一次函数的值域 ”然后学生讨论,教师点评,最后示范解题.
[规范板书] 解 (1) ( http: / / www.21cnjy.com ) ∵ -1≤x≤1, ∴ -3≤3x≤3, ∴ -1≤3x+2≤5,即-1≤y≤5, ∴ 这个函数的值域是[-1, 5].
(2) ∵ ∈[0, +∞), ∴ 2+∈[2, +∞), ∴ 这个函数的值域是{y|y≥2}.
[题后反思] 第(1)题也可以结合一次函数的图象来解决;第(2)题从根式的特点入手就变得很简单.
变式 求函数y=2x-5+的值域.
[处理建议] 对形如y=ax+b+(ac<0)的无理函数,一般采用换元法(令t=)求解,换元时抓住一点:换元不能改变元的范围.
[规范板书] 解 设 t=,则 t≥0, x=(15-t2).
∴ y=-t2+t+=-(t-1)2+3.
∵ t≥0, ∴ y≤3.
∴ 这个函数的值域是{y|y≤3}.
[题后反思] 利用换元法把原函数化为二次函数之后,再根据图象来求二次函数的值域.
*【例4】 求下列函数的值域:
(1) y=; (2) y=.
[处理建议] 通过对解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,求出所求函数的值域.
[规范板书] 解 (1) y==2-, ∵ ≠0, ∴ 2-≠2, ∴ 该函数的值域为{y︱y≠2}.
(2) ∵ y=, ∴ x2=. ∵ x2≥0, ∴ ≥0,即≤0, ∴ -
变式 求函数y=(x≥3)的值域.
[规范板书] 解 y==3+,∵ x≥3, ∴ x+2≥5, ∴ 0<≤, ∴ 0>≥-, ∴ 3>3+≥. ∴ 该函数的值域为.
[题后反思] 在求形如f(x)=的函数的值域时,若定义域有范围,应先把函数解析式进行常数分离,然后再具体分析.
四、 课堂练习
1. 若函数f(x)=(x-1)2+1, x∈{-1, 0, 1, 2, 3},则f[f(0)]=2.
提示 f[f(0)]=f(2)=2.
2. 函数f(x)=+的定义域为{-2, 2},值域为{0}.
提示 由题意得解得x∈{-2, 2}.f(-2)=f(2)=0.
3. 函数y=x+的值域为.
提示 令t=(t≥0),则x=3-t2, ∴ y=3-t2+t=-+, ∵ t≥0, ∴ y≤.
五、 课堂小结
本节课归纳了简单函数的定义域和值域的求法.
第3课时 函数的表示方法
教学过程
一、 问题情境
问题1 教材P23中的3个函数问题在表示方法上有什么区别
回顾教材第2.1.1节开头的3个函数问题:
(1) 在第一个问题中,只要知道某个年份,就能从下表中查得相应的人口数.
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974
人口数/百万 542 603 672 705 807 909
年份 1979 1984 1989 1994 1999
人口数/百万 975 1035 1107 1177 1246
这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.
(2) 在第二个问题中,下落的距离y( ( http: / / www.21cnjy.com )单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2(x≥0).这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.
(3) 在第三个问题中,我们用图象(如图1)表示时刻和气温的关系.这种用图象来表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
问题2 观察3个函数问题,你能说出各种函数表达形式上的特点吗
问题3 如何用数学语言来准确地描述函数表示法
问题4 你能说出几种函数表示法的优缺点吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
函数的三种表示方法:
(1) 解析法:将两个变量的函数关系用一个等式来表示,如y=3x2+2x+1, S=πr2, c=2πr, S=6t2等.
(2) 列表法:列出表格表示两个变量的函数关系,如平方表、三角函数表、利息表、列车时刻表、国民生产总值表等.
(3) 图象法:用图象来表示两个变量的函数关系,如图2.
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
(二) 理解概念
解析法的优点:简明,全面地概括了变量之间的关系;可以通过解析式求出自变量的任意一个值所对应的函数值.
列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
图象法的优点:直观形象地表示了变化趋势.
三、 数学运用
【例1】 (教材P33例1)购买某种饮 ( http: / / www.21cnjy.com )料x听,所需钱数为y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1, 2, 3, 4})的函数,并指出该函数的值域. (见学生用书课堂本P15)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
[处理建议] 以前初中所学的函数图 ( http: / / www.21cnjy.com )象通常是一条连续的线,但是函数图象具有多样性,也可以是一些孤立的点.引导学生体会函数的对应关系以及实际问题的定义域.
[规范板书] 解 (1) 解析法:y=2x, x∈{1, 2, 3, 4}.
(2) 列表法:
x/听 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
(3) 图象法:图象由点(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)组成,如图,函数的值域是{2, 4, 6, 8}.
[题后反思] 函数的图象可以是不连续的散点,实际问题要考虑自变量的实际意义.
变式 小明粉刷他的卧室共花去10h,他记录的完成工作量的百分数如下表:
时间/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
完成的百分数/% 5 25 35 50 50 65 70 80 95 100
(1) 5h他完成工作量的百分数是 50% ;
(2) 小明在第 2 h内的工作量最大.
[题后反思] 充分体现了列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
【例2】 (教材P34例2)画出函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)=|x|的图象,并求出f(-3), f(3), f(-1), f(1)的值. (见学生用书课堂本P15)
[处理建议] 对于含有绝对值的函数解 ( http: / / www.21cnjy.com )析式,通常通过去绝对值符号写成分段形式,然后再分别处理.去绝对值通常采用“零点”分类法,即使绝对值里的式子为0,从而解出对应的x的值作为分点,再进行讨论.
[规范板书] 解 因为f(x)=|x|=
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、二象限的一条折线,如图.其中f(-3)=3, f(3)=3, f(-1)=1, f(1)=1.
[题后反思] 通过本例我们可以发现,有 ( http: / / www.21cnjy.com )些函数在它的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数,而不是几个函数.
变式 作出分段函数y=|x-1|+|x+2|的图象.
[规范板书] 解 根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即
y=|x-1|+|x+2|=
作出图象如下:
( http: / / www.21cnjy.com )(变式)
【例3】 某市郊区空调公共汽车的票价按下列规则制定:
(1) 5 km以内,票价2元;
(2) 5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km按5 km计算).
已知两个相邻的公共汽车站台之间 ( http: / / www.21cnjy.com )相距约为1 km,如果沿途(包括起点站和终点站)共20个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. (见学生用书课堂本P16)
[处理建议] 分段函数是函数表示的另一 ( http: / / www.21cnjy.com )种形式,它在定义域内不同部分上有不同的解析式,其中定义域是自变量在不同部分上取值的并集,要从整体上把握分段函数.本例是一个实际问题,有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.
[规范板书] 解 设里程为x km时,票价 ( http: / / www.21cnjy.com )为y元,根据题意,如果某空调公共汽车运行路线中共20个汽车站(包括起点站和终点站),那么该车行驶的里程约为19 km,所以自变量x的取值范围是{x| x≤19, x∈N*}.
由空调公共汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:
y= (x∈N*).
根据这个函数解析式,可画出函数的图象,如下图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(例3)
[题后反思] ① 本题具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;② 本题可否用列表法表示函数 如果可以,应怎样列表
变式 如图,在梯形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com ),∠B=∠C=90°, ∠D=45°, AB=BC=2cm.现有一动点Q从B点出发沿B→C→D→A的方向移到A点.若Q点经过的路程为xcm, △QAB的面积为ycm2,试写出y与x之间的函数关系式,并画出该函数的图象.
( http: / / www.21cnjy.com )(变式)
[处理建议] 引导学生写出动点Q在BC段、CD段、DA段这三段上的函数关系式,并注意x的范围.
[规范板书] 解 如图,作AE⊥CD于点E,于是DE=AE=2cm, DA=2cm.
(1) 当点Q在线段BC上运动时,y=AB·QB=×2x=x,其中0≤x≤2;
(2) 当点Q在线段CD上运动时,y=AB·BC=×2×2=2,其中2
( http: / / www.21cnjy.com )
[题后反思] 对于此类图形面积的问题,常常需要画出图形,分析情况,分类讨论才能解决;最后要写成一个函数的形式.
【例4】 已知函数f(x)= 求f, f{f[f(-2)]}的值. (见学生用书课堂本P16)
[处理建议] 题中f(x)为分段函数,应分段求解.
[规范板书] 解 ∵ 1-=1-(+1)=-<-1, ∴ f=f(-)=-2+3.
∵ f(-2)=-1, ∴ f[f(-2)]=f(-1)=2, ∴ f{f[f(-2)]}=f(2)=1+=.
变式 将例4中的问题改为:(1) 求f(3x-1); (2) 若f(a)=, 求实数a的值.
[规范板书] 解 (1) 若3x-1>1,即x>, f(3x-1)=1+=;
若-1≤3x-1≤1,即0≤x≤, f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;
若3x-1<-1,即x<0, f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.
∴ f(3x-1)=
(2) ∵ f(a)=, 当a<-1时,有2a+3=, ∴ a=-,舍去;
当a>1时,有1+=, ∴ a=2;
当-1≤a≤1时,a2+1=, ∴ a=±.
综上所述,∴ a=2或±.
[题后反思] 处理分段函数问题时,首先 ( http: / / www.21cnjy.com )要确定自变量的取值属于哪个区间段,然后选取相应的对应法则,离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.
*【例5】 已知函数y=f(x)满足f=,求函数y=f(x)的解析式.
[规范板书] 解 ∵ f===, ∵ ≠0, ∴ f(x)=(x≠0).
[题后反思] ① 本题将原解析式右边配凑变量,并看成整体替换成变量x,从而得到f(x)的解析式.
② 本题也可以运用换元法求解,其过程如下:设=t,则x=,代入f=,得f(t)==.又t=≠0, ∴ f(x)=(x≠0).
③ 需要注意的是,无论是用“配凑法”,还是用“换元法”,在求出y=f(x)的解析式以后,都需要指出其定义域.
变式 已知f(x)-f=x2,求函数f(x)的解析式.
[规范板书] 解 因为f(x)-f=x2 ①,将①中的x换为,得f-f(x)= ②.由①和②两式,消去f,得f(x)=x2+.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2+.
[题后反思] 对于在已知式中,含有两个 ( http: / / www.21cnjy.com )不同变量的函数关系时,常常采用“方程组消参法”解决,即依据两个变量的关系,重新产生一个关于两个变量的同等式,再联立方程组而得函数解析式.
四、 课堂练习
1. 已知函数f(x)=若f(x)=3,则x=.
提示 分三段求解.
2. 已知函数f(x)=则f{f[f(-1)]}=π+1.
提示 f{f[f(-1)]}=f[f(0)]=f(π)=π+1.
3. 已知函数f(x), g(x)分别由下表给出:
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为 1 ;满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是 2 .
五、 课堂小结
本节课归纳了函数的三种表示方法及优缺点,讲述了分段函数的概念,了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线.
第4课时 函数的图象
教学过程
一、 问题情境
情境1:回忆初中学习过的函数y=2x-1, y=, y=x2的图象.
情境2:在教材第2.1.1节开头的第一个 ( http: / / www.21cnjy.com )问题中,如果把人口数y(百万)看做是年份x的函数,那么根据教材P23中表2-1-1画出的函数图象就是11个点(如图1).
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
二、 数学建构
(一) 生成概念
函数f(x)的图象即集合P={(x, y)|y=f(x), x∈A}内的所有的点.
(二) 理解概念
问题 设函数y=f(x)的定义域为A,则集合 ( http: / / www.21cnjy.com )P={(x, y)|y=f(x), x∈A}与Q={y|y=f(x), x∈A}相等吗 请说明理由.
解 不相等.集合P是坐标平面内的一个点集,表示函数y=f(x)的图象;集合Q是一个数集,表示函数y=f(x)的值域.
(三) 巩固概念
图象可以帮助我们研究函数的性质、值域等.
三、 数学运用
【例1】 (教材P27例4)试画出下列函数的图象:
(1) f(x)=x+1;
(2) f(x)=(x-1)2+1, x∈[1, 3).(见学生用书课堂本P1718)
[处理建议] 让学生独立完成,并请两 ( http: / / www.21cnjy.com )位学生板书.函数f(x)=(x-1)2+1, x∈[1, 3)的图象为函数g(x)=(x-1)2+1, x∈R的图象上x∈[1, 3)的一段.其中,点(1, 1)在图象上,用实心点表示;而点(3, 5)不在图象上,用空心点表示.
[规范板书] 解 描点作出图象,如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
(例1)
[题后反思] 作函数图象时要注意端点是空心点还是实心点.
变式 试求出例1中函数的值域.
[处理建议] 由例1的图象即得.
[规范板书] 解 (1) f(x)=x+1的值域是R.
(2) f(x)=(x-1)2+1, x∈[1, 3)的值域为[1, 5).
【例2】 (教材P28例6)试画出函数f(x)=x2+1的图象,并根据图象回答下列问题:
(1) 比较f(-2), f(1), f(3)的大小;
(2) 若0
[规范板书] 解 函数的图象如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
(例2)
(1) 根据图(1),容易发现f(-2)=f(2), f(1)
(1) x∈[-1, 2]; (2) x∈[-4, 0];
(3) x∈[2, 5].
[处理建议] 先配方,y=3x2-6x ( http: / / www.21cnjy.com )+1=3(x-1)2-2,然后画出其大致图象,再根据图象进行分析判断.答案:(1)[-2, 10];(2)[1, 73];(3)[1, 46].
[题后反思] 利用二次函数的图象求函数的值域,作图时必须抓住以下关键点:抛物线的开口方向、对称轴、顶点以及区间的端点.
【例3】 画出函数f(x)=|x-1|的图象. (见学生用书课堂本P18)
[处理建议] 通过描点作图.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[规范板书] 解 f(x)=|x-1|=其图象如图所示:
[题后反思] 含有绝对值的函数式,可以采用零点讨论去掉绝对值的方法,将函数式化为两个分段的函数.
变式 画出函数f(x)=-|x+2|的图象.
[规范板书] 解 f(x)=其图象如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )(变式)
[题后反思] 将变式和例3比较起来理解.
*【例4】 作出函数y=的图象.
[处理建议] 本题除了可以运用例3中的方法外,还可以采用图象平移的方法得到函数的图象.
[规范板书] 解 函数的定义域为{x|x∈R且x≠±1},且它是偶函数,其图象关于y轴对称.
① 当x≥0且x≠1时,y=. 先作出函数y=的图象,再将图象向右平移1个单位长度(并取x≥0的部分),即得到函数y=(x≥0且x≠1)的图象(如图(1)所示).
② 然后作出函数y=(x≥0且x≠1)关于y轴对称的图象(如图(2)所示),图(2)即为函数y=的图象.
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
(例4)
[题后反思] 平移变换分为下面两种情况:
(1) 水平平移:函数y=f(x±a)(a>0)的图象可由函数y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位长度得到;
(2) 竖直平移:函数y=f(x)±b(b>0)的图象可由函数y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位长度得到.
变式 作出函数y=|x-2|(x+1)的图象.
[规范板书] 解 函数解析式可化为y=其图象如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )(变式)
[题后反思] 含有绝对值的函数的图象的画法是:先通过去绝对值,得到分段的几个函数,然后画出所有分段的函数的图象,再取有效图象.
四、 课堂练习
1. 函数y=(k<0)的图象在第二、四象限.
2. 若把函数f(x)=x2-1的图象作 ( http: / / www.21cnjy.com )平移变换,使原图象上的点P(1, 0)变换成点Q(2, -1),则变换后所得新图象对应的函数解析式为y=(x-1)2-2.
提示 图象平移变换的规则:左加右减,上加下减.
3. 若0
作函数图象的步骤:列表、描点、连线.
第5课时 函数的单调性(1)
教学过程
一、 问题情境
引入教材P23中函数起始课的第3个问题,气温θ是关于时间t的函数,记为θ=f(t),观察这个气温变化图(如图3).
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 你能说出气温的变化趋势吗 [3]
问题2 怎样用数学语言刻画上述时段内“气温随时间的增大而上升”这一特征 [4]
问题3 我们是否能说“在区间[0, 14]上气温随着时间的增大而上升” [5]
问题4 如何用数学语言刻画“在[0, 4]上气温随着时间的增大而下降” [6]
通过讨论,先结合图4给出函数f(x)在区间I上是单调增函数的定义,再结合图5给出函数f(x)在区间I上是单调减函数的定义.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图5)
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.
如果对于定义域I内的某个区间D上的 ( http: / / www.21cnjy.com )任意两个值x1, x2,当x1
如果函数y=f(x)在区间D上是单调增 ( http: / / www.21cnjy.com )函数或单调减函数,那么我们就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性.区间D叫作y=f(x)的单调区间.
(二) 理解概念
1. 判断函数的单调性必须在指定区间内研究,而指定区间一定是定义域的子集.
2. 判断函数单调性的依据并 ( http: / / www.21cnjy.com )不唯一,除了定义中的形式,还可以是“若当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”,也可以判断y=f(x)在区间D上是单调增函数.判断函数增、减性的关键是自变量x1, x2与因变量y1, y2的大小关系是否一致,若大小关系一致,即为单调增函数;若大小关系不一致,则为单调减函数.
(三) 巩固概念
问题5 请说出问题情境中“气温变化”的单调区间.
解 [0, 4]为单调减区间,[4, 14]为单调增区间,[14, 24]为单调减区间.
三、 数学运用
【例1】 (教材P38例1)画出下列函数图象,并写出单调区间:
(1) y=-x2+2; (2) y= (x≠0).
(见学生用书课堂本P19)
[处理建议] 引导学生从作出的图象中观察出函数的单调区间.
[规范板书] 解 (1) 函数图象如图所示,单调增区间为(-∞, 0],单调减区间为[0, +∞).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
(例1)
(2) 函数图象如图所示,(-∞, 0)和(0, +∞)是两个单调减区间.
[题后反思] 有效利用图形 ( http: / / www.21cnjy.com )语言:“图象从左向右逐渐上升,则是单调增函数;图象从左向右逐渐下降,则是单调减函数.”同时让学生明白:函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质,并强调单调区间的写法.注意第(2)小题不能写成并集形式.
变式 观察下列函数的图象,写出单调区间.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
(变式)
[处理建议] 引导学生给出理由或举出实例.
[规范板书] 解 (1)单调减区间为(-∞ ( http: / / www.21cnjy.com ), 1],单调增区间为[1,+∞); (2)单调减区间为(-∞, 1],单调增区间为[1, +∞).
[题后反思] 这两个函数在定义域上都不是单调增函数.
【例2】 (教材P38例2)求证:函数f(x)=--1在区间(-∞, 0)上是单调增函数.
(见学生用书课堂本P20)
[处理建议] 关键是规范利用定义证明函数的单调性.
[规范板书] 证明 设x1, x2是区间(-∞, 0)内的任意两个值,且x1
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
[题后反思] 根据定义证明(或判断)函数单调 ( http: / / www.21cnjy.com )性一般采用作差比较法,其步骤如下:(1)设x1, x2是给定区间内的任意两个值,且x1
[处理建议] 可以在对“作差比较法”总结(例2的题后反思)之后让学生练习,也可以在完成本题后,再对“用定义法证明函数的单调性”进行总结.
[规范板书] 证明 设x1, x2是区间(0, +∞)内的任意两个值,且x1
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)=-2x+1在区间(0, +∞)上是单调减函数.
[题后反思] 本题规范了“用定义法证明函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )单调性”的解题过程,强调的是“设x1, x2是某区间内的任意两个值,且x1
【例3】 求证:函数f(x)=-x3+a在R上是单调减函数.(见学生用书课堂本P20)
[处理建议] 在本题中学生可能出现的困难是“判断+x2x1+的符号”.
[规范板书] 证明 设x1, x2是R上的任意两个值,且x1
∴ 函数f(x)在R上是单调减函数.
[题后反思] “+x2x1+”的符号确定是本题的难点,除了答案中的方法,还可以将“+x2x1+”中的x2看成主元、x1看成参数,则“+x2x1+”是关于x2的一元二次三项式,因为其相应的Δ=-4=-3≤0, ∴ +x2x1+≥0,当且仅当x1=x2=0时取“=”,但x1
变式 讨论函数f(x)=在(-2, +∞)上的单调性.
[规范板书] 解 f(x)===a+.
设-2
而f(x2)-f(x1)=-=(1-2a)·.
当a<时,f(x2)
*【例4】 在1kg水中加入少许糖,即为糖水,若再添加少许糖则糖水就会更甜.你能运用所学过的数学知识给出合理的解释吗
[处理建议] 引导学生联系浓度的计算,进而构造函数f(x)=,即判断函数f(x)=在区间(0, +∞)上是单调递增的.
[规范板书] 解 不妨设当糖的质量为xkg时,糖水的浓度为f(x),则f(x)=.
任取0
这说明随着x(糖的含量)的增加,f(x)(糖水的浓度)逐渐增加,即糖水变得更甜了.
[题后反思] 学习数学是为了分析问题、解决问题.本例的解答让学生体会到生活中数学无处不在,也让他们体会到“用”数学的乐趣.
变式 函数y=在其定义域(-∞, 0)∪(0, +∞)上是单调减函数吗
[处理建议] 单调区间的判断 ( http: / / www.21cnjy.com )目前只有通过定义进行说明,如果要说明这个命题是真命题,我们就要给出严格的定义证明;而如果要说明这个命题是假命题,我们只要举一组不满足定义的x1, x2,并加以说明.
[规范板书] 解 不是.例如:x1=-1, x2=1时,f(x1)=-1, f(x2)=1,显然x1
1. 函数f(x)=|x|的单调增区间是[0, +∞).
提示 求函数的单调区间,有“数”与“形”两个视角:可以通过解析式看,也可以通过图象看.∵ f(x)=|x|=∴函数f(x)的单调增区间是[0, +∞).
2. 函数y=x2+2x-1的单调增区间为[-1, +∞).
提示 y=x2+2x-1=(x+1)2-2,利用数形结合可知在对称轴右边即为单调增区间.
3. 判断函数f(x)=-x3-1在(0, +∞)上是单调增函数还是单调减函数,并证明你的结论;如果x∈(-∞, 0),函数f(x)是单调增函数还是单调减函数
解 单调减函数.
证明 设x1, x2是(0, +∞)上的任意两个值,且x1
单调减函数.
五、 课堂小结
1. 函数的单调性是函数的局部性质,因此一 ( http: / / www.21cnjy.com )定要强调在某区间上;函数的单调性反映了函数的变化趋势,并用精确的数学语言进行刻画、描述,关键词有“任意两个值x1, x2∈D”中的“任意”,“当x1
2. 掌握判断函数在某个区间上的单调性的方法:
(1) 可以根据函数的图象,直接写出函数的单调区间;
(2) 代数证明的基本步骤为:取值→作差→变形(变形的目标是因式积商或者平方和)→定号.
第6课时 函数的单调性(2)
教学过程
一、 问题情境
引入教材P23中函数起始课的第3个问题,气温θ是关于时间t的函数,记为θ=f(t).
提出问题:观察这个气温变化图(如图1),你能求出函数的值域吗 通过观察你还能发现什么 [3]
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
学生从图象上可以看出14时的气温为全天 ( http: / / www.21cnjy.com )的最高气温,它表示在0至24时之间,气温于14时达到最大值9℃.从图象上看,图象在这一点的位置最高.同样可以看出4时的气温为全天的最低气温,它表示在0至24时之间,气温于4时达到最小值-2℃.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 如何用数学语言来刻画图1中的“气温于14时达到最大值”、“气温于4时达到最小值”
解 可以看出:对于任意的x∈[0, 24],都有f(x)≤f(14)=9;对于任意的x∈[0, 24],都有f(x)≥f(4)=-2.
问题2 如何抽象出函数最大值的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value).
思考 你能仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(minimum value)的定义吗
一般地,设函数y=f(x)的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value).
(二) 理解概念
1. 函数最大(小)值的定义中的不等式f(x)≤M(f(x)≥M)必须对定义域中的任意x都成立,这说明函数的最值是函数全局的一个性质.
2. 仅满足“对任意的x∈I,都有f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)≤M(f(x)≥M)”,不能得出M是最大(小)值这一结论,必须同时满足“存在x0∈I,使得f(x0)=M”.针对这一点,可以举个生活中的例子,如:我们班上的任意一个同学的年龄肯定都小于等于100岁,那么能说我们班上的同学最大年龄是100岁吗
3. 函数的最大值不一定唯一,比如 ( http: / / www.21cnjy.com ):这次数学考试,由于试卷比较简单,满分(160分)的同学有5个,那么这次考试成绩的最大值是多少 显然,最大值是160分,且有五人取最大值.
(三) 巩固概念
问题3 “即时体验”中的第2题有最大值、最小值吗 如果有,那么是多少 [4]
解 根据其函数图象可以发现:该函数没有最大值,但有最小值,最小值是0.
三、 数学运用
【例1】 (教材P39例3)函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )f(x), x∈[-4, 7]的图象如图所示,指出它的最大值、最小值及单调区间.[5] (见学生用书课堂本P21)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
[处理建议] 在学生正确回答完本题 ( http: / / www.21cnjy.com )后,教师还可以追问:“你能用刚学到的数学语言来描述这些结果吗 ”让学生在实际的问题解决中加深对概念的理解与记忆.
[规范板书] 解 观察函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3, 3),最低的点(-1.5, -2).所以当x=3时,函数y=f(x)取得最大值,即ymax=3;当x=-1.5时,函数y=f(x)取得最小值,即ymin=-2.
函数的单调增区间为[-1.5, 3], [5, 6];单调减区间为[-4, -1.5], [3, 5], [6, 7].
[题后反思] 本例是为了让学生体会 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的最大(小)值与单调性之间的关系及其几何意义,引导学生通过函数的单调性研究最大(小)值,同时要考虑定义域为闭区间的函数在端点处的函数值的大小.
变式 (教材P40例5) ( http: / / www.21cnjy.com )已知函数y=f(x)的定义域是[a, b], a
[规范板书] 证明 因为当x∈[ ( http: / / www.21cnjy.com )a, c]时,f(x)是单调增函数,所以对于任意x∈[a, c],都有f(x)≤f(c).又因为当x∈[c, b]时,f(x)是单调减函数,所以对于任意x∈[c, b],都有f(x)≤f(c).因此,对于任意x∈[a, b]都有f(x)≤f(c),即f(x)在x=c时取得最大值.
[题后反思] 本题没有涉及具体函数 ( http: / / www.21cnjy.com ),求这类题目的最值可以从“形”与“数”两个方向切入:利用“形”直观判断,利用“数”具体验证.同时,要让学生体验函数的单调性与函数最值的关系,感受量变和质变的辩证过程,并感受最值的奇异美.
【例2】 (教材P39例4)求下列函数的最小值:
(1)y=x2-2x; (2)y=, x∈[1, 3].(见学生用书课堂本P22)
[处理建议] 可以引导学生分别挑选用图象和用定义解决,但要注意图象的直观性无法代替数学的严谨性.
[规范板书] (1)∵ y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且当x=1时y=-1,∴ 函数取得最小值-1,即ymin=-1.
(2) ∵ 对于任意实数x∈[1, 3],都有≥,且当x=3时=,∴ 函数取得最小值,即ymin=.
[题后反思] 这两个函数的最值也可以通过图象来解决.函数y=x2-2x没有最大值,但可以让学生讨论,看看题目怎样改可以有最大值.
变式 求函数y=x2-2x+5, x∈[-1, 2]的值域.
[规范板书] 解 y=(x ( http: / / www.21cnjy.com )-1)2+4, ∵ x∈[-1, 2],由二次函数图象的性质可知:当x=1时,ymin=4;当x=-1时,ymax=8.故该函数的值域是[4, 8].
【例3】 判断函数f(x)=x-, x∈(0, +∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.[6] (见学生用书课堂本P22)
[处理建议] 如果学生不能作出正确的判断,教师可以将题目进行分解,如可以先问:f1(x)=x, x∈ (0, +∞)和f2(x)=-, x∈ (0, +∞)这两个函数有单调性吗 若学生回答均是单调增函数时,再问:f(x)=f1(x)+f2(x), x∈(0, +∞)的单调性能确定吗 会用定义证明吗 进而引导学生进一步地巩固函数单调性的概念.
[规范板书] 解 f(x)=x-, x∈(0, +∞)是单调增函数.
设x1, x2是(0, +∞)内的任意两个值,且x1
变式 判断函数f(x)=x2-, x∈(0, +∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
[处理建议] 引导学生模仿例3独立完成.
[规范板书] 函数 f(x)=x2-, x∈(0, +∞)是单调增函数.
设x1, x2是(0, +∞)内的任意两个值,且x1
*【例4】 (根据教材P45第 ( http: / / www.21cnjy.com )13题改编)已知函数f(x)的定义域是F,函数g(x)的定义域是G,且对于任意的x∈G, g(x)∈F,试根据下表中所给的条件,用“单调增函数”、“单调减函数”、“不能确定”填空:
f(x) g(x) f(g(x)) f(x)+g(x)
单调增函数 单调增函数
单调增函数 单调减函数
单调减函数 单调减函数
单调减函数 单调增函数
[处理建议] 对于基础好的班级,教师在学 ( http: / / www.21cnjy.com )生正确回答后可以“追问”,如:你判断f(g(x))是单调增函数,能用定义证明吗 你判断f(x)+g(x)是单调减函数,能用定义证明吗 怎样证 你能举个具体的函数例子吗 等等.一方面,可以帮助学生巩固概念;另一方面,可以拓展学生的视野,提高学生演绎推理的能力.需要说明的是,这类题目学生初次接触,不宜增加定义域的限制,从而加深难度,要以判断为主.
[规范板书]
f(x) g(x) f(g(x)) f(x)+g(x)
单调增函数 单调增函数 单调增函数 单调增函数
单调增函数 单调减函数 单调减函数 不能确定
单调减函数 单调减函数 单调增函数 单调减函数
单调减函数 单调增函数 单调减函数 不能确定
[题后反思] ① 本题是对前两题 ( http: / / www.21cnjy.com )判断函数单调性的一种归纳,旨在提高学生运用数学符号、利用数学语言的能力,提高学生演绎推理的能力.对于判断函数f(g(x))的单调性,可以采用“换元法”,例如:“已知f(x)是单调增函数,g(x)是单调减函数,求证:f(g(x))是单调减函数.证明:对于y=f(g(x)),设t=g(x),∴ y=f(t).设x1, x2∈R,且 x1
② 视情况,还可以让学生判断f(x)·g(x)与的单调性.
变式 求函数y=的单调区间.
[规范板书] 解 函数的定义域为(-∞, -)∪[, +∞).
y=可看成由y=, t=x2-2复合而成的函数.
因为t=x2-2在(-∞, ]上单调递减,在[, +∞)上单调递增,而y=是单调增函数,所以y=在(-∞, ]上单调递减,在[, +∞)上单调递增.
即函数y=的单调减区间为(-∞, ],单调增区间为[, +∞).
四、 课堂练习
1. 求下列函数的最大值、最小值以及值域:
(1) y=x2-4x+1;
(2) y=x2-4x+1, x∈[3, 4].
解 (1) ∵ y=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,∴当x=2时,ymin=-3.函数无最大值,值域为[-3, +∞).
(2) 如图,由图象可知 ( http: / / www.21cnjy.com ),函数在[3, 4]上单调递增,∴当x=3时,ymin=-2;当x=4时,ymax=1.∴函数的值域为[-2, 1].
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1(2)题)
2. 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞, 4)上是单调减函数,则实数a的取值范围是a≤-3.
提示 借助图象得-≥4,解得a≤-3.
3. 若f(x)在R上是单调增函数,且a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).(填“<”、“>”或“=”)
提示 由a+b>0得a> ( http: / / www.21cnjy.com )-b, b>-a,又∵ f(x)在R上是单调增函数, ∴ f(a)>f(-b), f(b)>f(-a), ∴ f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
五、 课堂小结
1. 函数最大(小)值及其几何意义.
2. 求函数最值的一般方法:①对于 ( http: / / www.21cnjy.com )熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等函数,可以先画出其图象,再根据函数的性质来求最值;②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数,可以先判断函数的单调性,再用定义证明,然后利用函数的单调性求出函数的最值.
3. 熟练掌握函数单调性的其他运用.
第7课时 函数的奇偶性(1)
教学过程
一、 问题情境
用多媒体展示日常生活中常见的对称现象,如美丽的蝴蝶、建筑(如图1)……并让学生自己列举生活中对称的实例,从而揭示本节课的课题. [2]
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 作出函数f(x)=|x| 和g(x)= 图象,回答下列问题:(1)这两个函数图象有什么共同特征 (2)自变量为任意两个相反数时相应函数值是如何体现这些特征的 [3]
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
首先让学生分别计算x=±3, x=±2 ( http: / / www.21cnjy.com ), x=±1, …时的函数值,通过特殊值让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性:f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x).进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况 借助课件演示(或参见图2),学生通过观察和运算发现两个函数具有上述不同特性,即两个函数各自对称性的实质是:自变量互为相反数时,函数值相等和互为相反数这两种关系.然后通过解析式给出简单证明,进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.
奇偶性的概念:如果对于函数y=f(x)定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数;如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.
(二) 理解概念
问题2 奇函数、偶函数的定义中有“任意”两字,这说明函数的奇偶性是怎样的一个性质 与单调性有何区别
(函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质,它不同于单调性)
问题3 -x与x在几何上有何关系 具有奇偶性的函数的定义域有何特征
(函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的首要条件)
(三) 巩固概念
问题4 (1)对于任意一个奇函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com )),图象上的点P(x, f(x))关于原点的对称点P'的坐标是什么 点P'是否也在函数f(x)的图象上 由此可得到怎样的结论 (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性
(学生通过回答问题4可以把奇函数图象的性质总 ( http: / / www.21cnjy.com )结出来,即函数f(x)是奇函数 图象关于原点对称;然后教师让学生自己研究一下偶函数图象的性质,即函数f(x)是偶函数 图象关于y轴对称.同时,教师用多媒体展示中心对称图形绕中心旋转及轴对称图形绕轴旋转的特性,形象直观.如此经过由形到数再由数到形的过程,可使学生加深对本小节内容的理解)
三、 数学运用
【例1】 (教材P42例6)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:
(1) f(x)=x2-1; (2) f(x)=2x;
(3) f(x)=2|x|; (4) f(x)=(x-1)2.
(见学生用书课堂本P23)
[处理建议] 规范板书第(1) ( http: / / www.21cnjy.com )题,其余3小题由学生自己完成.要强调先求函数的定义域,再判断f(x)和f(-x)的关系,最后再根据函数奇偶性的定义得出结论.
[规范板书] 解 (1) 函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)=x2-1的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数f(x)=x2-1是偶函数.
(2) 函数f(x)=2x的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=-2x=-f(x),所以函数f(x)=2x是奇函数.
(3) 函数f(x)=2|x ( http: / / www.21cnjy.com )|的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以函数f(x)=2|x|是偶函数.
(4) 函数f(x)=(x-1)2的定义域是 ( http: / / www.21cnjy.com )R.因为f(1)=0, f(-1)=4,所以f(1)≠-f(-1), f(1)≠f(-1).因此,根据函数奇偶性定义,可以知道函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数.
[题后反思] (1) 利用定义判断函数奇偶性的步骤:
① 首先确定函数的定义域,并判断它是否关于原点对称.如果定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.
② 如果函数的定义域关于原点对称,则进一步观察f(-x)与f(x)的关系.
③ 作出相应结论:
若f(-x)=f(x) 或 f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数;
若f(-x),f(x)既不相等也不互为相反数,则f(x)既不奇函数,也不是偶函数.
(2) 若f(x)既是奇函数又是偶函数,则 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)=0;反之,f(x)=0的定义域关于原点对称时才能称f(x)=0既是奇函数又是偶函数.由于定义域可能有无数个(只要关于原点对称即可),所以,既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.
变式 判断函数y=的奇偶性.
[处理建议] 强调研究函数的性质(本课的奇偶性,上一课的单调性、最值等)时,都必须先求定义域.
[规范板书] 解 ∵ ≥0, ∴ x<-1或x≥1, ∴ 函数的定义域为{x|x<-1或x≥1},它不关于原点对称,∴ 函数y=是非奇非偶函数.
[题后反思] 判断一个函数的奇偶性,首先要考 ( http: / / www.21cnjy.com )察它的定义域是否满足“x和-x都在函数的定义域内”,即是否关于原点对称,如果对称然后再考察f(-x)与f(x)的关系;否则函数既不是奇函数,也不是偶函数.
【例2】 (教材P43例7)判断函数f(x)=x3+5x是否具有奇偶性. (见学生用书课堂本P24)
[处理建议] 关键是规范学生利用奇偶性的定义解决问题.
[规范板书] 解 函数f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域为R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)3+5(-x)=-(x3+5x)=-f(x),所以函数f(x)=x3+5x为奇函数.
[题后反思] 强调掌握判断函数奇偶性的步骤.
变式 (教材P45第8题)已知函数f(x)=x2+mx+1是偶函数,求实数m的值.
[规范板书] 解 因为函数f(x)=x2+m ( http: / / www.21cnjy.com )x+1是偶函数,故f(-x)=f(x)恒成立,即(-x)2+m(-x)+1=x2+mx+1对任意的x恒成立,所以 m=0.
[题后反思] (1)已知函 ( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立;已知函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)恒成立.若多项式恒成立,则变量的对应项系数相等.
(2) 也可结合二次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象,知其对称轴必为y轴,所以m=0;还可以根据函数解析式的特点进行判断,y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数 b=0(此性质还可以类似推广).
【例3】 已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,求当x>0时函数f(x)的解析式. (见学生用书课堂本P24)
[处理建议] 先提出“如何求给定区间上的解析式”的问题,引导学生讨论,教师点评,然后示范解题.
[规范板书] 解 因为函数f(x)为偶函数,当x>0,则-x<0,所以f(x)=f(-x)=-x+1.
[题后反思] 本例是利用函数的奇偶性求解析式,关键要抓住一点:求什么范围内的解析式就设自变量在什么范围内.
变式 (教材P45习题2.2第11题)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=1,试求函数y=f(x)的解析式.
[处理建议] 引导学生讨论:“函数f(x)的解析式怎样书写才正确,为什么 ”也可以结合图象,引导学生写出正确的解析式.
[规范板书] 解 ∵函数 f(x)为奇函数,∴ f(-0)=-f(0),∴ f(0)=0;当x<0时,-x>0, ∴f(x)=-f(-x)=-1.∴ f(x)=
[题后反思] 奇函数f(x)若在x=0处有意义,则f(0)=0 .
*【例4】 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=;
(2) f(x)=.
[处理建议] 引导学生对第(1)题进行分子有理化.
[规范板书] 解 (1) 函数f(x)的定义域是(-∞, +∞),将函数式分子有理化,得
f(x) ==
,f(-x)=
=,
∴ f(x)=-f(-x),∴ 函数f(x)是奇函数.
(2) 函数f(x)的定义域为(-∞, +∞),∵f(-x) === f(x),∴ 函数f(x)为偶函数.
[题后反思] 在观察f(x)和f(-x)的关系时,把握式子的结构特征以及适当处理也很重要.
变式 判断函数f(x)=的奇偶性.
[处理建议] 此类问题,主要是考察奇、偶函数的定义,准确理解定义并作出判断,要求达到“快而精准”,对一些典型的函数应当加以记忆.
[规范板书] 解 ∵ f(x)=, ∴ 解得x∈[-, 0)∪(0, ],它关于原点对称.此时,f(x)===, ∴ f(-x)===-=-f(x), ∴ f(x)为奇函数.
[题后反思] 判断函数的奇偶性是比较 ( http: / / www.21cnjy.com )基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).
四、 课堂练习
1. 判断下列函数是否具有奇偶性(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”):
(1) 函数f(x)=是奇函数;
(2) 函数f(x)=x2-2-1是偶函数;
(3) 函数f(x)=x+1是非奇非偶函数;
(4) 函数f(x)=x2, x∈(-1, 1]是非奇非偶函数;
(5) 函数f(x)=+是非奇非偶函数;
(6) 函数f(x)=+是偶函数.
2. 若二次函数y=ax2+(b-3)x+c (a≠0)是偶函数,则b=3.
提示 结合偶函数的定义,可得b=3;也可 ( http: / / www.21cnjy.com )以结合二次函数的图象,知其对称轴必为y轴,所以b=3;还可以根据二次函数解析式的特点进行判断,y=ax2+bx+c (a≠0)是偶函数 b=0(此性质还可以类似推广).
五、 课堂小结
从知识与方法两个方面来对本节课的内 ( http: / / www.21cnjy.com )容进行归纳总结:本节课主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.
第8课时 函数的奇偶性(2)
教学过程
一、 问题情境
问题1 已知函数y=f(x)是偶函 ( http: / / www.21cnjy.com )数,它在y轴右侧的图象如图1所示,画出它在y轴左侧的图象,并观察对应区间上函数的单调性、最大值、最小值的关系,归纳出一般性的结论,并用定义加以证明.如果函数y=f(x)是奇函数呢 请类似考虑.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题2 (1)已知y=f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))是奇函数,它在(0, +∞)上是单调增函数,则y=f(x)在(-∞, 0)上是单调增函数;(2)已知y=f(x)是偶函数,它在(0, +∞)上是单调增函数,则y=f(x)在(-∞, 0)上是单调减函数.[1]
(二) 理解概念
函数奇偶性与单调性的关系必须建立在“关于原点对称的区间上”.
下面给出问题2的部分证明.
证明 (以(1)为例)任取x1, ( http: / / www.21cnjy.com ) x2∈(-∞, 0),且x1
一般地,函数的奇偶性和单调性之间的关系如下: 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
三、 数学运用
【例1】 已知y=f(x)是奇函数,它在(0, +∞)上是单调增函数,且f(x)<0.试问:F(x)=在(-∞, 0)上是单调增函数还是单调减函数 证明你的结论. (见学生用书课堂本P25)
[处理建议] 根据函数单调性的定义,可以设x1
[题后反思] 一般情况下,若要证明函数f(x)在区间A上的单调性,就在区间A上设x1
[规范板书] 解 ∵f(x)是奇函数 ( http: / / www.21cnjy.com ),且x>0时,f(x)=x2+3x-1,∴ f(-2)=-f(2)=-9, ∴ f(-9)=-f(9)=107, ∴ f[f(-2)]=107.
【例2】 定义在(-1, 1)上的奇 ( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)在整个定义域上是单调减函数,若f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数a的取值范围. (见学生用书课堂本P26)
[处理建议] 引导学生先根据奇函数 ( http: / / www.21cnjy.com )性质把f(1-a)+f(1-3a)<0变换成f(1-3a)
又∵函数 f(x)的定义域为(-1, 1),
∴ 解得0
[题后反思] 要重视定义域在解题中的限制.
【例3】 已知函数f(x)是定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )R的奇函数,当x<0时,f(x)=x2+x-2.求函数f(x)的解析式,并写出函数f(x)的单调区间. (见学生用书课堂本P26)
[处理建议] 引导学生求x>0时的函数解析式,关键是转化成-x<0.
[规范板书] 解 设x>0,则-x ( http: / / www.21cnjy.com )<0,由已知得f(-x)=(-x)2+(-x)-2=x2-x-2.∵ 函数f(x)是奇函数,∴ f(x)=-f(-x)=-x2+x+2, ∴ 当x>0时,f(x)=-x2+x+2.又∵ 函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴ f(0)=0.
综上所述,∴ f(x)=
函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为和.
[题后反思] ①一般情况 ( http: / / www.21cnjy.com )下,若要求函数f(x)在区间A上的解析式,就在区间A上设x.②求分段函数的单调区间,应先画出其图象,再根据图象判断.
变式 已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0, +∞)上是单调增函数,若f(1)
[规范板书] 解 ∵ 定义 ( http: / / www.21cnjy.com )在R上的偶函数f(x)在区间[0, +∞)上是单调增函数,f(1)
[题后反思] 对于抽象函数奇偶性与单调性的关系,一般画出草图,可以比较直观地判断.
*【例4】 已知函数f(x)=ax3+bx+1(常数a, b∈R),且f(4)=0,求f(-4)的值.
[规范解题] 解法一 设g(x) ( http: / / www.21cnjy.com )=ax3+bx,则f(x)=g(x)+1.易知g(x)是奇函数,g(4)=-1,∴ g(-4)=-g(4)=1, ∴ f(-4)=g(-4)+1=2.
解法二 f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2,∴ f(-4)=2-f(4)=2-0=2.
[题后反思] 审题时要重视问题的特 ( http: / / www.21cnjy.com )征,本题中的f(x)=ax3+bx+1不是奇函数,但它可以由一个奇函数(g(x)=ax3+bx)向上平移1个单位长度得到,所以本题也可以结合图象解决.
变式 判断函数f(x)=的奇偶性.
[规范板书] 解法一 由题设可知函数的定义域关于原点对称.
当x>0时,-x<0,则f(x)=, f(-x)=-=, ∴ f(x)=f(-x).
当x<0, -x>0,则f(x)=-, f(-x)==-,∴ f(x)=f(-x).
综上所述,对于x≠0都有f(-x)=f(x)成立,
∴ f(x)为偶函数.
解法二 f(x)=
==1+,
该函数的定义域为, f(-x)=1+=1+=f(x),因此函数f(x)为偶函数.
四、 课堂练习
1. 若函数f(x)=x2+mx+1为偶函数, 则函数f(x)在(-3, -1)上是单调减函数.(填“增”或“减”)
2. 已知函数f(x)定义在R上. ( http: / / www.21cnjy.com )(1) 求证:g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数; (2)求证:h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.
证明 (1) ∵ g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x), ∴ g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数.
(2) ∵ h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x), ∴ h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.
3. 定义在R上的函数y=f(x)对于任意x, y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0 .
(1) 求f(0)的值;(2)求证:函数f(x)是偶函数.
解 (1)令x=y=0,则2f(0)=2f2(0),
∴ f(0)=0或1.又∵ f(0)≠0,∴ f(0)=1.
(2) 令x=0,则f(0+y)+f(0-y)=2f(0)·f(y),而f(0)=1,∴ f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),∴ 函数f(x)是偶函数.
五、 课堂小结
本节课主要学习了函数奇偶性的应用,要能熟练运用单调性与奇偶性讨论函数的性质,并能够利用函数的单调性和奇偶性解决一些问题.
第9课时 函数的最值
教学过程
一、 问题情境
在图1中,我们从图象上看出14时的气温 ( http: / / www.21cnjy.com )为全天的最高气温,它表示在0~24时之间,气温于14时达到最大值;从图象上看出,图象在这一点的位置最高.
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
在图1中,可以看出:对于任意的x∈R,都有f(x)≤f(14).
二、 数学建构
(一) 生成概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.
若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≤f(x0)恒成立,则称f(x0)为函数y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0);
若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≥f(x0)恒成立,则称f(x0)为函数y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0).
(二) 理解概念
1. 单调性与最值
设函数y=f(x)的定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )[a, b],若y=f(x)是单调增函数,则ymax=f(b), ymin=f(a);若y=f(x)是单调减函数,则ymax=f(a), ymin=f(b).
2. 奇偶性与最值
设奇函数y=f(x)的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域为I, [a, b] I,其中a>0,若f(x)在[a, b]上的最大值是M,则f(x)在[-b, -a]上的最小值是-M.
(三) 巩固概念
常常借助于图象,综合运用函数的性质来求函数的最值、值域.
三、 数学运用
【例1】 求函数y=的值域. (见学生用书课堂本P27)
[处理建议] 根据它的图象,可以直观而准确地判断函数的值域.
[规范板书] 解 由图象可知,函数的值域为(-∞, 0)∪(0, +∞).
( http: / / www.21cnjy.com )(例1)
[题后反思] 反比例函数的图象是基本初等函数图象,要熟练掌握.
变式 求函数y=|x-1|的值域.
[规范板书] 解 由图象可知,函数的值域为[0, +∞).
( http: / / www.21cnjy.com )(变式)
[题后反思] 由图象观察得出函数的值域是常见的求值域的方法.
【例2】 求下列函数的最大值和最小值:
(1)y=3-2x-x2, x∈;
(2)y=|x+1|-|x-2|.(见学生用书课堂本P27)
[处理建议] 先画出函数的图象,然后根据图象观察最大值和最小值.
[规范板书] 解 (1) 二次函数y=3-2x-x2图象的对称轴为x=-1,其函数图象如图(1)所示.由图象可知,当x=-1时,ymax=4; 当x=时,ymin=-.
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
(例2)
(2) y=|x+1|-|x-2|=
其图象如图(2)所示.由图象可知,y∈[-3, 3].所以函数的最大值为3, 最小值为-3.
[题后反思] ①求二次函数在闭区间上的最 ( http: / / www.21cnjy.com )大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析. ②求含绝对值的函数的最大值或最小值,常用分零点讨论去掉绝对值,转化为分段函数进行研究;分段函数的图象注意分段作出,然后直接观察图象得到函数的最大值或最小值.
变式 求函数f(x)=x2-2ax, x∈[0, 4)的最小值.
[规范板书] 解 f(x)=(x-a)2-a2,其图象是开口向上、对称轴为x=a的抛物线.
① 若a≤0,则函数f(x)在[0, 4)上是单调增函数,∴[f(x)]min=f(0)=0;
② 若0
综上所述,当a≤0时,[f(x)]min=0;当0
【例3 】 求函数y=2x+4的值域. (见学生用书课堂本P28)
[处理建议] 本题应优先考虑函数的定义域,再利用换元法求值域.
[规范板书] 解 设 t=,则t≥0, x=1-t2. ∴原函数可化为 y=2(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4, ∵ t≥0, ∴ y≤4.
[题后反思] 对于形如y=ax+b+(ac<0)型的函数的值域,常采用换元法(令=t)求解.
变式 求y=2x-3+的值域.
[规范板书] 解 令t=,则t≥0, x=.∴ y=t2+t+=(t+1)2+3.∵ t≥0,∴ y∈, +∞.
*【例4】 求函数y=4x-1+的值域.
[处理建议] 先让学生思考,这时 ( http: / / www.21cnjy.com )大部分学生会延续上一题的思路而采用换元法求解.教师可以说明:根据该函数解析式的特点,本题也可采用复合函数单调性法求解.
[规范板书] 解 ∵ 2x-3≥0, ∴ x≥, ∴函数f(x)=4x-1+的定义域为.令f1(x)=4x-1, f2(x)=, ∴函数f1(x), f2(x)为单调增函数, ∴ f(x)=f1(x)+f2(x)在定义域上单调递增, ∴ y≥f=5,因此该函数的值域为[5, +∞).
[题后反思] 本题既可以采用换元 ( http: / / www.21cnjy.com )法求解,也可以采用复合函数单调性法求解,显然后一种方法简单很多.从上面2个例子,我们可以得到一些启示:求值域前可以先简单观察函数解析式的特点,然后再确定采用哪一种方法求解较简便.
变式 求函数y=3-的值域.
[规范板书] 解 ∵ ≥0, ∴ -≤0, 3- ≤3,故该函数的值域是(-∞, 3].
四、 课堂练习
1. 求下列函数的最大值、最小值与值域:
(1) y=x2-4x-7;
(2) y=x2-4x-7, x∈[2, 6].
解 (1) y=x2-4 ( http: / / www.21cnjy.com )x-7=(x-2)2-11≥-11,∴当x=2时,ymin=-11;函数无最大值;函数的值域是{y|y≥-11 }.
(2) 函数的对称轴为x=2, ( http: / / www.21cnjy.com )所以函数在[2, 6]上单调递增,所以ymin=f(2)=-11, ymax=f(6)=5,函数的值域为[-11, 5].
2. 已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3, 2]上有最大值4,求实数a的值.
解 二次函数f(x)=ax2+2ax+1的对称轴为x=-1.
当a>0时,则当x=2时函数取得最大值4,∴8a+1=4,解得a=;
当a<0时,则当x=-1时函数取得最大值4, ∴ 1-a=4,解得a=-3.
所以a=或-3.
五、 课堂小结
1. 最值的定义.
2. 求简单函数的最值的常用解法.
第10课时 映射的概念
教学过程
一、 问题情境
函数是建立在两个非空数集之间的单值对应,而对于某班级全体同学组成的集合与其体重数组成的集合之间的对应,又该如何定义呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 对应是什么 函数是什么
(对应是两个集合元素之间的一种关系,对应关系可用图示或文字描述来表示)
问题2 讨论“即时体验”中两个例子的区别与联系.
(引导学生发现与函数概念的区别,总结出不同之处的关键词)
通过讨论,结合函数的概念,给出映射的定义.
一般地,设A, B是两个非空集 ( http: / / www.21cnjy.com )合,如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射,记作f: A→B.
(二) 理解概念
1. 函数是映射,但映射不一定是函数.映射是函数概念的推广,特殊之处是在函数的概念中,A, B为两个非空数集.
2. 单值对应的理解:对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应.
三、 数学运用
【例1】 (教材P46例1)下图所示的对应中,哪些是从A到B的映射
( http: / / www.21cnjy.com )(1) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
( http: / / www.21cnjy.com )(3) ( http: / / www.21cnjy.com )(4)
(见学生用书课堂本P29)
[处理建议] 引导学生比较、分析、归纳,从而使他们更好地理解映射的概念.
[规范板书] 解 根据映射的定义,可以知道,(4)的对应是从A到B的映射,(1)、 (2)、 (3)的对应不是从A到B的映射.
[题后反思] 映射中的对应可以是一对一或多对一,但不能一对多.
变式 下列从集合M到集合P的对应f中,是映射的是 ① .(填序号)
① M={-2, 0, 2}, P={-1, 0, 4}, f: M中的数的平方;
② M={0, 1}, P={-1, 0, 1}, f: M中的数的平方根;
③ M=Z, P=Q, f: M中的数的倒数;
④ M=R, P={正实数}, f: M中的数的平方.
[处理建议] 判定对应f:M→P是 ( http: / / www.21cnjy.com )否是映射,关键是看是否符合映射的定义,即集合A中的每一个元素在集合B中是否有象并且唯一,若不是映射只要举一反例即可.
【例2】 设集合A=B={(x, y)|x∈R, y∈R}, f: A→B是从集合A到集合B的映射,且f:(x, y)→(x+y, x-y).求:
(1) 在B中与A的元素(2, 3)对应的元素;
(2) 在A中与B的元素(2, 3)对应的元素. (见学生用书课堂本P29)
[处理建议] 指导学生分清集合A, B中x与y之间的对应关系.
[规范板书] 解 (1) A中的元素(2, 3),对应B中的元素为(2+3, 2-3),即为(5, -1).
(2) 设B中的元素(2, 3)对应A中的元素为(x, y),则根据题意得解得所以在A中与B的元素(2, 3)对应的元素为.
【例3】 已知集合A=R, B={(x, y)|x∈R, y∈R}, f: A→B是从集合A到集合B的映射,且f: x→(x+1, x2+1).求:
(1) A的元素在B中对应的元素;
(2) B的元素在A中对应的元素. (见学生用书课堂本P30)
[规范板书] 解 (1) A的元素在B中对应的元素为(+1, ()2+1),即(+1, 3).
(2) 由题意得解得x=,所以B的元素在A中对应的元素为.
【例4】 给出下列四个对应关系:
① A=N*, B=Z, f: x→y=2x-3;
② A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={y|y∈N*, y≤5}, f: x→y=|x-1|;
③ A={x|x≥2}, B={y|y=x2-4x+3}, f: x→y=x-3;
④ A=N, B={y|y=2x-1, x∈N*,且y∈N*}, f: x→y=2x-1.
其中是函数的对应有 ①③ .(填序号) (见学生用书课堂本P30)
[处理建议] 弄清函数的概念,弄清什么样的对应是函数.对于②, A中的1在B中无对应的实数;对于④, A中的0在B中无对应的实数.
*【例5】 设集合A={2, 4, 6}, B={1, 9, 25, 49, 81, 100},给定下列对应:
① f: x→(2x-1)2; ② f: x→(2x-3)2;
③ f: x→-2x-1; ④ f: x→(2x-1)3.
其中对应关系f能构成从A到B的映射是 ② .(填序号)
[处理建议] 通过具体例子,让学生体会映射概念中“任一”、“→”、“唯一”的含义.在②中,2→1, 4→25, 6→81,符合映射的定义.
四、 课堂练习
1. 已知从集合A到集合B的映射f,给定下列说法:
① B中某一元素b在A中与之对应的元素可能不止一个;
② A中某一元素a在B中对应的元素可能不止一个;
③ A中两个不同元素在B中对应的元素必不相同;
④ B中两个不同元素在A中与之对应的元素可能相同.
其中说法正确的是 ① .(填序号)
2. 已知集合A={x|0≤x≤4}, B={y|0≤y≤2},给定下列对应:
① f: x→y=x; ② f: x→y=x;
③ f: x→y=x; ④ f: x→y=x2.
从A到B的对应f不是映射的是 ③ .(填序号)
3. 点(a, b)在映射f的作用下对应的元素是(a-b, a+b),则点(3, 1)是由点 (2, -1) 在f的作用下得到的.
提示 根据题意得a-b=3且a+b=1,所以a=2, b=-1.
五、 课堂小结
1. 映射是从集合A到集合B的某种对应关系,这种对应只能是“一对一”或“多对一”,而不能是“一对多”.
2. 函数是特殊的映射;函数与映射的区别在于构成函数的两个集合是非空数集.
第11课时 本章复习
教学过程
一、 知识梳理
1. 本章主要知识点
(1) 函数的概念,函数的定义域和值域的求法.
(2) 函数的三种表示方法:①解析法;②列表法;③图象法.
(3) 判断函数的单调性:定义法.
(4) 判断函数奇偶性的方法:①定义法;②图象法.
(5) 映射的概念.(由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A, B非空且皆为数集)
2. 知识框图
( http: / / www.21cnjy.com )
提醒:要充分注意利用数形结合思想方法解题.
二、 数学运用
(一) 根据函数的图象求解析式
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
【例1】 如图,根据函数y=f(x)(x∈R)的图象,写出函数y=f(x)的解析式. (见学生用书课堂本P31)
[处理建议] 引导学生把图象分成三段,并分别写出每一段的函数解析式.
[规范板书] 解 函数的解析式为y=
[题后反思] 在函数的定义域内,对于自 ( http: / / www.21cnjy.com )变量的不同取值范围,有着不同的对应法则,分别求出每一段上的函数解析式,最后要注意分段函数是一个函数,不能分成三段写解析式.
变式 二次函数f(x)的图象顶点为A(1, 16),且图象在x轴上截得的线段长为8,求函数f(x)的解析式.
[规范板书] 解 由题意可设该二次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式为f(x)=a(x-1)2+16,又因为其图象在x轴上截得的线段长为8,所以其图象与x轴的两个交点分别为(-3, 0)和(5, 0),所以a(-3-1)2+16=0,所以a=-1,所以f(x)=-x2+2x+15.
(二) 函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=(1+x);
(2) f(x)=.(见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 引导学生先求函数的定义域.对于第(2)题,则需在定义域的范围内化简函数表达式.
[规范板书] 解 (1) ∵ 函数f(x)的定义域为(-1, 1],它不关于原点对称,∴ 函数f(x)是非奇非偶函数.
(2) ∵ 函数f(x)的定义域为[-1, 0)∪(0, 1], ∴ f(x)==, f(-x)===-f(x),∴ 函数f(x)是奇函数.
[题后反思] 判断函数的奇偶 ( http: / / www.21cnjy.com )性时,首先要求函数的定义域,看定义域是否关于原点对称(若定义域不关于原点对称,则函数不具备奇偶性;若定义域关于原点对称,则可在定义域内化简f(x)),再看f(-x)与f(x)的关系.
变式 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=+;
(2) f(x)=
[处理建议] 引导学生对分段函数的奇偶性进行分段讨论.
[规范板书] 解 (1) ∵ f(x)=+的定义域为{-1, 1},此时f(x)=0, ∴ 函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2) 当x>0时,-x ( http: / / www.21cnjy.com )<0, f(-x)=-(-x)2=-x2=-f(x);当x<0时,-x>0, f(-x)=(-x)2=x2=-(-x2)=-f(x);当x=0时,f(0)=0,满足f(-x)=-f(x).
∴ 对于任意x∈R,都有f(-x)=-f(x), ∴ 函数f(x)是奇函数.
[题后反思] 对于(2), f(x)==x|x|,易证f(x)=x|x|为奇函数;或者先作图象,可以观察得出它关于原点对称,再进行规范板书.对于分段函数表示的奇(偶)函数的证明要完整.
(三) 函数奇偶性的应用
【例3】 已知函数f(x)是奇函数,定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域为R.当x>0时,f(x)=x(5-x)+1,求函数f(x)在R上的解析式. (见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 求x<0时的函数解析式,关键是转化成-x>0.
[规范板书] 解 ∵ 函数f(x)是R上的奇函数,∴ f(0)=0.
当x<0时,则-x>0, f(-x)=-x(5+x)+1,∵ f(x)为奇函数,∴ f(x)=-f(-x)=-[-x(5+x)+1]=x(5+x)-1.
综上所述,f(x)=
[题后反思] 函数f(x)的定义域为D, 0∈D,则f(0)=0是f(x)为奇函数的必要不充分条件.
变式 定义在R上的函数f(x),对任意的x, y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.
(1) 求证:f(0)=1;
(2) 求证:函数y=f(x)是偶函数.
[规范板书] 证明 (1) 令x=y=0,则2f(0)=2f2(0), ∵ f(0)≠0, ∴ f(0)=1.
(2) 令x=0,则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y), ∴ f(-y)=f(y),即f(-x)=f(x). ∴ 函数y=f(x)是偶函数.
[题后反思] 对于抽象函数奇(偶)性的判断,可根据题意采用赋值法解决.
(四) 利用换元法求函数的值域
【例4】 已知函数f(x)的值域是,试求函数g(x)=f(x)+的值域.
(见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 本题是求含有根式的函数值域问题,那么就要想到采用换元法.
[规范板书] 解 令f(x)=t,则y=t+, t∈.
令u=,则≤u≤, t=(1-u2), ∴ y=u+(1-u2)=-u2+u+=-(u-1)2+1,∴ ≤y≤.
[题后反思] 本题看似复杂,其实等价于求函数g(t)=t+的值域,然后采用换元法,令u=,转化为二次函数的值域问题.
(五) 函数单调性的研究
*【例5】 讨论函数f(x)=(a>0)在(-1, 1)上的单调性.
[处理建议] 指导学生规范单调性的证明过程.
[规范板书] 解 设-1
=
=.
∵ -1
又∵ a>0,∴ f(x1)-f(x2)>0,∴ f(x1)>f(x2).
即函数f(x)在(-1, 1)上为单调减函数.
[题后反思] 利用函数单调性的定义讨论.
变式 讨论函数f(x)=的单调性.
[规范板书] 解 由|x-1|-1≠0,可得x≠0且x≠2, ∴ 该函数的定义域为(-∞, 0)∪(0, 2)∪(2, +∞).
∵ =-.
① 当x1, x2∈(-∞, 0)或x1, x2∈(0, 1]时,====-1<0.
若x1
② 当x1, x2∈[1, 2)或x1, x2∈(2, +∞)时,=-==1>0.
若x1
三、 补充练习
1. 函数y=的值域是(0, 1].
提示 ∵ 1+x2≥1, ∴ 0<≤1,即y∈(0, 1].
2. 设f: x→x2是从集合A到集合B的映射,若B={1, 2},则A∩B= 或{1}.
提示 集合A可以是{-1}, {1}, {}, {-}, {-1, 1}, {-, }, {-1, -}, {-1, }, {1, -}, {1, }, {-1, 1, -}, {-1, 1,}, {-1, -, }, {1, -, }, {-1, 1, -, },所以A∩B= 或{1}.
3. 设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是(-∞, -2]∪[0, 10].
提示 当x<1时,结合(x+1)2≥1可得x≤-2或0≤x<1;当x≥1时,结合4-≥1可得1≤x≤10.所以x∈(-∞, -2]∪[0, 10].
4. 已知函数y=f(x)定义在 ( http: / / www.21cnjy.com )R上, f(0)≠0,且对任意的a, b∈R,都有f(a+b)=f(a)·f(b);当x>0时,f(x)>1.
(1) 证明:f(0)=1;
(2) 证明:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3) 证明:函数f(x)是R上的单调增函数;
(4) 若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.
证明 (1) 令a=b=0,则f(0)=f2(0).又∵ f(0)≠0,∴ f(0)=1.
(2) 当x<0时,-x>0, f(-x)>1.根据题意可得f(0)=f(x)·f(-x)=1,∴ f(x)=>0.
又∵ x≥0时,f(x)≥1>0.
∴ x∈R时,恒有f(x)>0.
(3) 设x1
∵ x2-x1>0,∴ f(x2-x1)>1.
由(2)可知f(x1)>0,∴ f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).
∴ f(x2)>f(x1).∴ 函数f(x)是R上的单调增函数.
(4) 由f(x)·f(2x-x2)>1, f(0)=1,得f(3x-x2)>f(0).
又∵函数f(x)是R上的单调增函数,∴ 3x-x2>0,解得0
本章学习了函数的概念和性质 ( http: / / www.21cnjy.com ),其中包括函数的定义域、解析式、值域,函数的单调性、奇偶性,映射与函数;复习时既要夯实基础,又要注重实践,并逐步建立一种函数的意识和培养一种自觉应用函数知识解决问题的能力.