《新学案》2015年春高中数学苏教版必修一名师导学：第一章 集合（含解析）

第 1　 章 集　　合
第1课时　集合的含义及其表示(1)
　 教学过程
一、 问题情境
(1) 小于10的所有偶数;
(2) 中国的直辖市;
(3) 单词book中的字母;
(4) 到一个角的两边距离相等的所有的点;
(5) 方程x2-5x+6=0的所有实数根;
(6) 不等式x-3>0的所有解;
(7) 某高中全体高一学生.
二、 数学建构
问题1　以上实例有什么共同特征
(引导学生说出:一定范围内,确定的,不同对象.然后通过学生回答,总结出集合的含义)
一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构 ( http: / / www.21cnjy.com )成一个集合.集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合A、集合B.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.集合的元素常用小写的拉丁字母来表示,如元素a、元素b.
问题2　回答下列问题:
(1) 已知A={1, 3},问:3, 5哪个是A的元素 　
(2) “所有素质好的人”能否构成一个集合A
(3) A={2, 2, 4}表示是否准确
(4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一个集合
由上述问题可以归纳出集合中元素的特征:
① 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则“x是A的元素”或者“x不是A的元素”这两种情况必有一种且只有一种成立.
② 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不能重复出现同一元素.
③ 无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照由小到大的数轴顺序书写.
问题3　元素与集合之间有怎样的关系
解　如果a是集合A中的元素,就记作a∈A,读作“a属于A”;如果a不是集合A中的元素,就记作a A或a A,读作“a不属于A”.
问题4　常用的数集有哪些 它们分别用什么数学符号表示
解　自然数集(非负整数集):N,正整数集:N*或N+,整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.
问题5　集合的表示方法有哪些
(1) 列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于“{　}”中,元素之间用逗号分隔.列举时与元素次序无关,如{北京,上海,天津,重庆}.
集合的相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等,如{北京,上海,天津,重庆}={天津,重庆,北京,上海}.
思考　“问题情境”中的集合都能用列举法表示吗 如果能,请表示出来.
(2) 描述法:将集合中所有元素都具有的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.{x|p(x)}中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质,如{x|x为中国的直辖市},{x|x-3>0, x∈R}.
(3) Venn图:有时用Venn图示意集合(如图1),更显直观.
(图1)
问题6　按照元素的个数,集合该怎样分类
(1) 有限集:含有有限个元素的集合称为有限集.
(2) 无限集:含有无限个元素的集合称为无限集.
(3) 空集:不含任何元素的集合称为空集,记作 ,如{x|x2+x+1=0, x∈R}= .
三、 数学运用
【例1】　下列各组对象能否构成集合:
(1) 所有的好人;
(2) 小于2012的数;
(3) 和2012非常接近的数;
(4) 小于5的自然数;
(5) 不等式2x+1>7的整数解;
(6) 方程x2+1=0的实数解. (见学生用书课堂本P1~2)
[处理建议]　引导学生根据定义判断.
[规范板书]　解　(1)(3)不符合集合中元素的确定性,因此,只有(2)(4)(5)(6)能够构成集合.
[题后反思]　解决这类题目要抓住集合中元素的两个特征:确定性,互异性.
【例2】　用符号“∈”或“ ”填空:
-　　Q, -5　　{x|x<10}, 0　　N. (见学生用书课堂本P2)
[处理建议]　关键要纠正学生符号的书写规范.
[规范板书]　解　- Q, -5∈{x|x<10}, 0∈N.
[题后反思]　规范书写“属于”、“不属于”的符号表示,要准确记住常用数集的记法.
【例3】　如果x2∈{0, 1, x},求实数x的值. (见学生用书课堂本P2)
[处理建议]　由x2∈{0, 1, x}知,元素x2必等于集合中的某一元素,从而引导学生进行分类讨论.
[规范板书]　解　① 当x2=0时,则x=0,此时与集合中元素的互异性矛盾,不合题意,舍去.
② 当x2=1时,则x=1或-1.经检验,x=1时与集合中元素的互异性矛盾,不合题意,舍去;x=-1时,经检验,符合题意.
③ 当x2=x时,则x=0或1.由①②可知,均不合题意,舍去.
综上所述,x=-1.
[题后反思]　解决此类题目需要:(1)思路 ( http: / / www.21cnjy.com )的确定;(2)解题的规范性;(3)含参数要讨论;(4)结论要检验(元素的互异性、已知条件都要满足).
变式1　如果y=++,则y可能的取值组成的集合为{3, -1}.
变式2　已知a, b, c为△ABC的三边,若M={a, b, c},则此三角形一定不是等腰三角形.
四、 课堂练习
1. (口答)说出下列集合中的元素:
(1) {大于1且小于11的奇数};
(2) {平方等于1的数};
(3) {15的正约数}.
解　(1) 3, 5, 7, 9;　(2) -1, 1;　(3) 1, 3, 5, 15.　
2. 给定下列叙述:①难解 ( http: / / www.21cnjy.com )的题目;②方程x2+2=0的实数解;③平面直角坐标系中第四象限内的一些点;④很多多项式.其中能组成集合的是②.(填序号)
提示　解决这类题目要从集合中元素的特征“确定性、互异性”出发.显然,①③④不符合集合中元素的确定性这一特征.
3. 用符号“∈”或“ ”填空:
(1) 1∈N*, 0 N*, -2 N*, 0.1 N, N,
1∈Z, 0∈Z, -2∈Z, 0.1 Z, Z,
1∈Q, 0∈Q, -2∈Q, 0.1∈Q, Q,
1∈R, 0∈R, -2∈R, 0.1∈R, ∈R;
(2) 若A={y|y2-2y=0},则2∈A, -2 A;
(3) 若B={x|-1≤x<4, x∈N},则-1 B, 1.5 B, 4 B.
4. 若x∈R,则{3, x, x2-2x}中的元素x应满足什么条件
解　根据集合中元素的互异性可知,该集合中的元素x应满足解得
五、 课堂小结
1. 集合的含义,集合中元素的特征.
2. 元素与集合的两种关系.
3. 集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn图.
4. 有限集、无限集、空集;常用数集.
第2课时　集合的含义及其表示(2)
　 教学过程
一、 数学运用
【例1】　(1) 用描述法表示集合{1, 3, 5, 7, 9};
(2) 用列举法表示集合{x|1≤x<8, x∈N};
(3) (根据教材P6例1改编)用描述法表示不等式2x-3>5的解集;
(4) 用列举法表示方程组的解的集合. (见学生用书课堂本P3)
[处理建议]　关键要规范学生用描述法和列举法表示集合.
[规范板书]　解　(1) {x|x=2 ( http: / / www.21cnjy.com )n+1, 0≤n≤4且n∈N};　(2) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};　(3) {x|x>4, x∈R};　(4) {(2, -1)}.
[题后反思]　(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来.(2)描述法:把集合中的所有元素具有的性质表示成{x|p(x)}的形式.
【例2】　已知M={2, a, b}, N={2a, 2, b2},且M=N,求实数a, b的值. (见学生用书课堂本P4)
[处理建议]　引导学生从集合相等及集合中元素的互异性两方面考虑.
[规范板书]　解　由M=N得或解得或
[题后反思]　两个集合所含的元素完全相同,则这两个集合才相等,此时的情况要考虑全面,不要漏解.此外,还要注意集合中元素的互异性.
变式　若某含有三个元素的集合可表示为,也可表示为{a2, a+b, 0},求a和b的值.
[规范板书]　解　易知a≠0,又a≠1,故a≠a2,从而a=a+b,于是b=0.从而由a2=1且a≠1得a=-1.
【例3】　已知M=,求集合M. (见学生用书课堂本P4)
[处理建议]　抓住代表元素的限制条件进行分析.
[规范板书]　解　∵ x∈N, ∈Z, ∴ 1+x=1或1+x=2或1+x=3或1+x=6, ∴ x=0, 1, 2, 5. ∴ M={0, 1, 2, 5}.
变式　已知M=,求集合M.
[规范板书]　解　∵ x∈N, ∈Z, ∴ 1+x=1或1+x=2或1+x=3或1+x=6, ∴ =6, 3, 2, 1. ∴ M={6, 3, 2, 1}.
[题后反思]　审题时要注意与例3的不同,主要抓住代表元素的区别.
二、 课堂练习
1. 请你就有限集、无限集、空集各举一个例子.
解　略.
2. 用列举法表示下列集合:
(1) {x|x是14的正约数};
(2) {(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}};
(3) {(x, y)|x+y=2, x-2y=4};
(4) {x|x=(-1)n, n∈N};
(5) {(x, y)|3x+2y=16, x∈N, y∈N}.
解　(1) {1, 2, 7, 14};　(2) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)};　(3) ;　(4) {-1, 1};　(5) {(0, 8), (2, 5), (4, 2)}.
3. 用描述法表示下列集合:
(1) 偶数的集合;
(2) 正奇数的集合;
(3) 不等式-x2≥0的解集;
(4) 平面直角坐标系中第四象限的点组成的集合;
(5) .
解　(1) {x|x=2n, n∈ ( http: / / www.21cnjy.com )Z}或{x|x为偶数};　(2) {x|x=2n+1, n∈N}或{x|x为正奇数};　(3) {x|-x2≥0};
(4) {(x, y)|x>0, y<0};
(5) .
三、 课堂小结
1. 集合的有关概念.
2. 集合的表示方法.
3. 常用数集的记法.
第3课时　子集、全集、补集
　 教学过程
一、 问题情境
观察下列各组集合,说说集合A与集合B的关系(共性).
(1) A={-1, 1}, B={-1, 0, 1, 2};
(2) A=N, B=R;
(3) A={x|x为北京人},B={x|x为中国人}.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　集合A中的元素与集合B中的元素有什么关系
(引导学生说出:集合A中的元素都在集合B中)
问题2　集合A与集合B有什么关系
(得出集合A与B的关系,引导学生概括子集、真子集的定义)　
子集:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,
(图1)
记作A B或B A,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.(参见图1)
真子集:对于两个集合A与B,如果A ( http: / / www.21cnjy.com ) B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集,记作A B或B A,读作“A真包含于B”或“B真包含A”.如{a} {a, b}.
(二) 理解概念
(1) 子集概念理解:关键词是“任意”、“都是”.
(2) 真子集概念理解:若A B,且存在b∈B,但b A,则称集合A是集合B的真子集.
(3) 注意子集与真子集符号及符号方向的异同点.
(4) 空集是任何集合的子集,即 A.
(5) 空集是任何非空集合的真子集,即 A(其中A≠ ).　
(6) 任何一个集合是它本身的子集,即A A.
(7) 易混符号:
① “∈”与“ ”:∈表示元素与集合之间的属于关系, 表示集合与集合之间的包含关系.
如:1∈N, -1 N, N R, R, {1} {1, 2, 3}.
② {0}与 :{0}是含有一个元素0的集合, 是不含任何元素的集合.
如: {0}不能写成 ={0},也不能写成 ∈{0}.　
三、 数学运用
【例1】　(根据教材P8例1改编)写出集合{a, b}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. (见学生用书课堂本P5)
[处理建议]　强调“所有”两字.
[规范板书]　解　集合{a, b}的所有子集是 ,{a},{b}, {a, b},其中真子集有 , {a}, {b}.
[题后反思]　寻求子集、真子集的主要依据是定义,最好按照规律写才能防止重漏现象,但 特别要注意,容易漏写.
变式1　(教材P9练习第1(3)题)写出集合{1, 2, 3}的所有子集.
[规范板书]　解　 ,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3}.　
[题后反思]　写所有子集时,最好按照规律(如集合中元素的个数递增等)写才能防止重漏现象,但 特别要注意,容易漏写.
变式2　(1) 集合{a, b, c, d}的所有子集的个数是多少 　(2) 集合{a1, a2, …, an}的所有子集的个数是多少
[规范板书]　解　(1) 24=16;　(2) 2n.
[题后反思]　推广:如果一个集合的元素有n个,那么这个集合的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.
【例2】　(教材P8例2)下列各组的3个集合中,哪2个集合之间具有包含关系
(1) S={-2, -1, 1, 2}, A={-1, 1}, B={-2, 2};　
(2) S=R, A={x|x≤0, x∈R}, B={x|x>0, x∈R};
(3) S={x|x为地球人},A={x|x为中国人},B={x|x为外国人}.(见学生用书课堂本P5)
[处理建议]　利用数形结合思想,通过Venn图或数轴辅助,帮助学生观察得出结论.
[规范板书]　解　在(1)(2)(3)中都有A S, B S.　
问题3　观察上述A, B, S三个集合,它们之间还存在着怎样的关系
(A和B中的所有元素共同构成了集合S,且S中除去A中元素即为B中元素;反之亦然)
问题4　请同学们举出类似的例子.
(如A={班上男同学},B={班上女同学},S={全班同学}.通过举例分析,让学生观察并概括出补集、全集的概念)
补集:设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
记作 SA(读作“A在S中的补集”),即 SA={x|x∈S,且x A}.(参见图2)
全集:如果集合S包含我们所要研究的各个集合的全部元素,这时集合S就可以看做一个全集,全集通常记作U.
变式　(1) 若S={2, 3, 4}, A={4, 3},则 SA=　　　　;
(2) 若S={三角形},B={锐角三角形},则 SB=　　　　;
(3) 若S={1, 2, 4, 8},A= ,则 SA=　　　　;
(4) 若U={1, 3, a2+2a+1},A={1, 3}, UA={4},则a=　　　　;
(5) 已知A={0, 2, 4}, UA={-1, 1}, UB={-1, 0, 2},则B=　　　　;
(6) 设全集U={2, 3, m2+2m-3}, A={|m+1|, 2}, UA={5},求实数m的值.
[规范板书]　解　(1) {2};　(2) ( http: / / www.21cnjy.com ){直角三角形或钝角三角形};　(3) {1, 2, 4, 8};　(4) -3;　(5) {1, 4};　(6) 由题意得m2+2m-3=5且|m+1|=3,解得m=-4或m=2.　
[题后反思]　第(1)题主 ( http: / / www.21cnjy.com )要是比较集合A与S的区别;第(2)题要注意三角形的分类;第(3)题要注意空集定义的运用;第(4)题利用集合中元素的特征;第(5)题利用Venn图;第(6)题注意补集定义的运用.
【例3】　(1) 若不等式组的解集为A,试求A和 RA,并把它们分别在数轴上表示出来;
(2) 设全集U=R, A={x|x>1}, B={x|x+a<0},若B是 UA的真子集,求实数a的取值范围. (见学生用书课堂本P6)
[处理建议]　利用数轴表示不等式确定的数集的运算.
[规范板书]　解　(1) A=, RA=,数轴表示略.
(2) 由题意可得B={x|x<-a}, UA={x|x≤1}.
∵ B是 UA的真子集(如图),∴ -a≤1,即a≥-1.
(例3(2))
[题后反思]　利用数轴或Venn图辅助解题,能很好地解决集合之间的运算.
变式　设全集U=R,若A={x|3m-1[处理建议]　利用数轴引导学生进行分类讨论.
[规范板书]　解　① 若A= ,则3m-1≥2m,即m≥1.此时 UA=R,满足题意.
② 若A≠ ,则m<1,此时 UA={x|x≥2m或x≤3m-1}.
(i) 当-1≥2m时,即m≤-,满足m<1;
(ii) 当3m-1≥3时,即m≥,与前提m<1矛盾,舍去.
综上所述,m的取值范围是m≥1或m≤-.
[题后反思]　空集是任何集合的子集,注意空集的特殊性,不能漏考虑空集的情况.
四、 课堂练习
1. 用“ ”或“ ”表示下列集合之间的关系:
(1) A={济南人},B={山东人};
(2) A=N*, B=R;
(3) A={1, 2, 3, 4}, B={0, 1, 2, 3, 4, 5};
(4) A={本校田径队队员},B={本校长跑队队员};　
(5) A={11月份的公休日},B={11月份的星期六或星期天}.
解　(1) A B;　(2) A B;　(3) A B;　(4) A B;　(5) A B.
2. 已知集合A={a, b, c},那么满足P A的集合P的个数是多少
解　8.
3. 设集合A={x|x=3m, m∈Z}, B={x|x=6k, k∈Z},则集合A, B之间是什么关系
解　A B.
五、 课堂小结
1. 对于存在子集关系的两个集合,能够判断谁是谁的子集,以及进一步确定它们是否具有真子集关系.
2. 两个集合包含关系的确定主要根据其元素与集合的关系来说明.
3. 集合之间的关系常借助数轴或Venn图来描述.
第4课时　交集、并集
　 教学过程
一、 问题情境
A在S中的补集 SA是由 ( http: / / www.21cnjy.com )给定的两个集合A, S得到的一个新集合.这种由两个给定集合得到一个新集合的过程称为集合的运算.其实,由两个集合(或几个集合)得到一个新集合的方式有很多,集合的交与并就是常见的两种集合运算.
用Venn图分别表示下列各组中的3个集合:
① A={-1, 1, 2, 3}, B={-2, -1, 1}, C={-1, 1};
② A={x|x≤3}, B={x|x>0}, C={x|0③ A={x|x为高一(1)班语文测验 ( http: / / www.21cnjy.com )优秀者},B={x|x为高一(1)班英语测验优秀者},C={x|x为高一(1)班语文、英语测验都优秀者}.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　上述每组集合中,A, B, C之间都具有怎样的关系
(结合Venn图,引导学生说出:集合C中的每一个元素既在集合A中,又在集合B中)
问题2　对于①而言,若D={-2, -1, 1, 2, 3},则A, B, D之间具有怎样的关系
(结合Venn图,引导学生说出:集合D中的每一个元素在集合A中或在集合B中)
问题3　如何用文字语言、符号语言、图形语言分别表示上述3个集合的关系
(学生归纳,教师引导,补充完整交集、并集的概念)
1. 交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”).
符号语言为:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
图形语言为:
2. 并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”).
符号语言为:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
图形语言为:
3. 区间的表示法:
设a, b是两个实数,且a[a, b]={x|a≤x≤b};
(a, b)={x|a[a, b)={x|a≤x(a, b]={x|a(a, +∞)={x|x>a};
(-∞, b)={x|x(-∞, +∞)=R.
其中[a, b], (a, b)分别叫做闭区间、开区间;[a, b), (a, b]叫做半开半闭区间;a, b叫做相应区间的端点.
(二) 理解概念
1. 区间表示数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合,是集合的另一种符号语言.
2. 区间符号内的两个字母或数之间用“,”号隔开.
3. ∞读作“无穷大”,它是一个符号,不是一个数.
问题4　A∩B=A可能成立吗 A∪B=A可能成立吗 A∪ UA是什么集合
(一般性结论:A∩B=A A B; A∪B=B A B; A∪ UA=U)
(三) 巩固概念
口答　(教材P12例1)设A={-1, 0, 1}, B={0, 1, 2, 3},求A∩B和A∪B.
解　A∩B={-1, 0, 1}∩{0 ( http: / / www.21cnjy.com ), 1, 2, 3}={0, 1}; A∪B={-1, 0, 1}∪{0, 1, 2, 3}={-1, 0, 1, 2, 3}.
问题5　集合A∩B与集合A∪B有什么关系 能得出一般结论吗
(一般性结论:A∩B A∪B)
三、 数学运用
【例1】　设A={x|x≥-1}, B={x|x<0},求A∩B和A∪B.(见学生用书课堂本P7)
[处理建议]　利用数轴辅助解决.
[规范板书]　解　A∩B={x|x ( http: / / www.21cnjy.com )≥-1}∩{x|x<0}={x|-1≤x<0}=[-1, 0), A∪B={x|x≥-1}∪{x|x<0}=R.
[题后反思]　利用数轴是解决集合运算的常用方法.
变式　(1) 设集合A={y|y=x2-2x+3, x∈R}, B={y|y=-x2+2x+10, x∈R},求A∩B;
(2) 设集合A={(x, y)|y=x+1, x∈R}, B=,求A∩B.
[处理建议]　注意第(1)题与第(2)题中代表元的区别,第(1)题中的代表元是单元素,第(2)题中的代表元是点的坐标.
[规范板书]　解　(1) ∵ A={y|y=x2-2x+3, x∈R}={y|y≥2}, B={y|y=-x2+2x+10, x∈R}={y|y≤11}, ∴ A∩B={y|2≤y≤11}.
(2) A∩B={(x, y)|y=x+1, x∈R}∩
　
=
==.
[题后反思]　第(2)题中集合A可看做直线y=x+1上点的坐标的集合,集合B可看做二次函数y=-x2+2x+图象上点的坐标的集合,A∩B可看做直线y=x+1与二次函数y=-x2+2x+的图象的交点坐标的集合.
【例2】　(教材P12例2)学校举办 ( http: / / www.21cnjy.com )了排球赛,某班45名同学中有12名同学参赛.后来又举办了田径赛,这个班有20名同学参赛.已知两项都参赛的有6名同学.两项比赛中,这个班共有多少名同学没有参加过比赛 (见学生用书课堂本P7)
[处理建议]　方法可能有两种:一是用Venn图求解,二是列方程组求解.对比两种方法,可知用Venn图求解较方便.
[规范板书]　解　画出Venn图(如图 ( http: / / www.21cnjy.com )),可知没有参加过比赛的同学有45-(12+20-6)=19(名),即这个班共有19名同学没有参加过比赛.
( http: / / www.21cnjy.com )(例2)
[题后反思]　利用Venn图是解决集合运算的常用方法.
【例3】　已知集合A={x|x>6或x<-3},B={x|a[处理建议]　由集合B的特点可知B≠ .
[规范板书]　解　由B A可知,a+3≤-3或a≥6,所以a≤-6或a≥6.
[题后反思]　对于不等式之间的子集、真子集关系或交集、并集、补集的运算,要充分利用数轴进行分析,并注意端点的取值.
变式　已知集合A={x|x>6或x<-3},B={x|a[处理建议]　此题的突破点在于找出A∪B=A的等价条件.
[规范板书]　解　∵ A∪B=A, ∴ B A, ∴ a+3≤-3或a≥6, ∴ a≤-6或a≥6.
[题后反思]　注意等价转化:A ( http: / / www.21cnjy.com )∪B=A B A; A∩B=B B A.(目的是让学生学会利用集合的运算性质,将复杂问题简单化,以及体会等价转化思想)
四、 课堂练习
1. 用适当的符号( 、 )填空:
A∩B A, B A∩B, A∪B A, A∪B B, A∩B A∪B.
2. 设A={3, 5, 6, 8},B={4, 5, 7, 8},求A∩B, A∪B.
解　A∩B={3, 5, 6, 8}∩ ( http: / / www.21cnjy.com ){4, 5, 7, 8}={5, 8}, A∪B={3, 5, 6, 8}∪{4, 5, 7, 8}={3, 4, 5, 6, 7, 8}.
3. 设A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B.
解　A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.　
4. 设A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.
解　在数轴上将A, B分别表示出来,阴影部分即为A∪B,故A∪B={x|x>-2}.
(第4题)
五、 课堂小结
1. 集合的交集、并集的运算方法及性质的应用.
2. 区间的概念.
第5课时　本章复习
　 教学过程
一、 知识梳理
1. 集合的含义、表示方法及分类
(1) 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.
(2) 集合常用的表示方法:列举法、描述法、Venn图、区间.
(3) 集合按元素的个数分为两类:有限集、无限集.
2. 集合表示方法之间的转化
列举法
↑具体化
文字描述法属性描述法符号表示法
↓直观化
图示法
说明:高中数学解题的关键也是“四化”.
3. 集合的基本运算
(1) 子集:A B定义为“对任意x∈A,都有x∈B”,图示表现为“A在B中包含着”.
真子集:A B意味着A B且A≠B.
(2) 集合运算比较:
运算类型 交　集 并　集 补　集
定　　义 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”),A∪B={x|x∈A,或x∈B}. 设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所 ( http: / / www.21cnjy.com )有不属于A的元素组成的集合,叫做S的子集A的补集(或余集),记作 SA(读作“A在S中的补集”),即 SA={x|x∈S,且x A}
Venn图
性质 ① A∩A=A;② A∩ = ;③ A∩B=B∩A;④ A∩B A;⑤ A∩B B.　 ① A∪A=A;② A∪ =A;③ A∪B=B∪A;④ A∪B A;⑤ A∪B B.　 ① ( UA)∩( UB)= U(A∪B);② ( UA)∪( UB)= U(A∩B);③ A∪( UA)=U;④ A∩( UA)= .
提醒:要特别关注集合问题中空集、元素的互异性及代表元素这三个概念,以防出错.
二、 数学运用
(一) 集合的有关概念
【例1】　已知P={y|y=x2+1}, Q={x|y=x2+1}, M={(x, y)|y=x2+1}, N={x|x≥1},则相等的集合有哪些 (见学生用书课堂本P9)
[处理建议]　注意区别代表元素是点集,还是数集.
[规范板书]　解　∵ P=[1, +∞), Q=R, N=[1, +∞), ∴ P=N.
[题后反思]　(1)注意区别集合中的代 ( http: / / www.21cnjy.com )表元素,“代表元素”实质上是认识和区别集合的核心.代表元素不同,有时即使是同一个表达式,它们所表示的集合也不同,例如:A={x|y=x2}=R, B={y|y=x2}=[0, +∞), C={(x, y)|y=x2}.(2)关键是抓住集合是数集,还是点集.数集是个范围,与用什么字母表示没有关系(例如,虽然E={x|x≥-3}, F={y|y≥-3},但仍然有E=F),所以用区间来写更容易理解.
变式1　对于“例1”,P∩Q=
[规范板书]　解　∵ P=[1, +∞), Q=R, ∴ P∩Q=[1, +∞).
变式2　已知M={x|x=a2+1, a∈R}, P={y|y=b2-6b+10, b∈R},问:集合M与集合P之间是什么关系
[处理建议]　转化为区间来表示.
[规范板书]　解　∵ M={x|x≥1 ( http: / / www.21cnjy.com )}=[1, +∞), P={y|y=(b-1)2+1}={y|y≥1}=[1, +∞), ∴ M=P.　
(二) 子集及集合运算
【例2】　(1) 已知A={1, 4, a}, B={1, a2},且B A,求A和B;
(2) 已知x∈R, A={-3, x2 ( http: / / www.21cnjy.com ), x+1}, B={x-3, 2x-1, x2+1}.如果A∩B={-3},求A∪B.(见学生用书课堂本P10)
[规范板书]　解　(1) 当a2=4时,则a ( http: / / www.21cnjy.com )=2或-2,此时A={1, 2, 4}或{1, -2, 4}, B={1, 4},经检验符合题意;
当a2=a时,则a=1或0.当a=1时,不合题意;当a=0时,A={0, 1, 4}, B={0, 1},符合题意.
综上所述,A={1, 2, 4}或{1, -2, 4}时,B={1, 4}; A={0, 1, 4}时,B={0, 1}.
(2) 由A∩B={-3},得x-3=-3或2x-1=-3或x2+1=-3,解得x=0或-1.
当x=0时,A={-3, 0, 1}, B={-3, -1, 1}, A∩B={-3, 1},不合题意;
当x=-1时,A={-3, 1, 0}, B={-4, -3, 2},A∩B={-3},符合题意.
综上所述,x=-1.
[题后反思]　(1)注意分类讨论;(2)注意检验是否满足集合中元素的互异性.
变式　已知集合A={a+2, (a+1)2, a2+3a+3},若1∈A,求实数a的值.
[处理建议]　分情况讨论,同时需要注意集合A中元素的互异性.
[规范板书]　解　① 当a+2=1时,a=-1,此时a2+3a+3=1=a+2,故a=-1舍去.
② 当(a+1)2=1时,a=0或a ( http: / / www.21cnjy.com )=-2.当a=-2时,a2+3a+3=1=(a+1)2,故a=-2舍去;当a=0时,a+2=2, a2+3a+3=3,故a=0符合题意.
③ 当a2+3a+3=1时,a=-1或a=-2,由①②知它们应舍去.
综上所述,a=0.
(三) 性质“A∩B=A A B”的应用
【例3】　已知A={x|ax-1=0} ( http: / / www.21cnjy.com ), B={x|x2-5x+6=0}.若A∩B=A,求实数a的值,并确定集合A. (见学生用书课堂本P10)
[处理建议]　关键要对a进行分析,分a=0和a≠0两种情况.
[规范板书]　解　∵ A∩B=A, ∴ A B.而B={2, 3},
(1) 当a=0时,A= B,符合题意;
(2) 当a≠0时,则ax-1=0只有一个实根,而A={x|ax-1=0} {2, 3}, ∴ A={2}或{3}.当A={2}时,求得a=,经检验符合题意;当A={3}时,求得a=,经检验符合题意.
综上所述,a=0时,A= ; a=时,A={2}; a=时,A={3}.
[题后反思]　注意空集的特殊性,空集是任意集合的子集,因此本题需要考虑A= B这一情形.　　
变式　已知集合A={x|-2≤x≤5}, B={x|x≥m+1,且x≤2m-1}.若A∪B=A,求实数m的取值范围.
[处理建议]　A∪B=A B A,分析时不要漏掉B= 这一情况.
[规范板书]　解　∵ A∪B=A, ∴ B A.
(1) 若B= ,则m+1>2m-1,即m<2.
(2) 若B≠ ,则解得2≤m≤3.　
综上所述,实数m的取值范围是(-∞, 3].
(四) 集合的综合应用
【例4】　已知A={x|x2+(m+2)x+1=0}, B={正实数},且A∩B= ,试求实数m的取值范围. (见学生用书课堂本P10)
[处理建议]　注意分A= 和A≠ 两类情形.
[规范板书]　解　因为B={正实数},A∩B= .所以
(1)若A= ,则方程x2+(m+2)x+1=0无实数解,所以Δ=(m+2)2-4=m2+4m<0,解得-4(2)若A≠ ,则方程x2+(m+2)x+1=0有非正实数根.因为x1x2=1>0,所以方程有两个负根,所以解得m≥0.
综上所述,实数m的取值范围是m>-4.
[题后反思]　注意考虑空集的特殊情形及分类讨论思想的应用.
变式　已知集合P={x|x2-3x+2≤0}, S={x|x2-2ax+a≤0},且S P,求实数a的取值组成的集合A.
[规范板书]　解　P={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}.
设f(x)=x2-2ax+a,
(1) 当Δ=(-2a)2-4a<0时,即0(2) 当Δ=0时,即a=0或a=1.若a=0,则S={0},不满足S P,舍去;若a=1,则S={1},满足S P.
(3) 当Δ>0时,要满足S P,即等价于方程x2-2ax+a=0的两根位于1和2之间,
即即
即即a无解.
综合(1)(2)(3),可得0三、 补充练习
1. 若A={1, 4, x}, B={1, x2},且A∩B=B,则x=0, 2或-2.
2. 已知集合A={x|x2-ax+a2 ( http: / / www.21cnjy.com )-19=0}, B={x|x2-5x+6=0}, C={x|x2+2x-8=0},且A∩B≠ , A∩C= ,则实数a的值为-2.
提示　B={2, 3}, C={2, -4},由A∩B≠ , A∩C= 知3∈A,所以9-3a+a2-19=0,解得a=-2或a=5,经检验a=5不符合题意.
3. 已知A={x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1},且B A,则实数m的取值范围为m≤3.
提示　分B= 与B≠ 两种情况讨论.
四、 课堂小结
1. 集合的含义、表示方法及分类.
2. 集合之间的(真)包含关系:子集、真子集.
3. 集合之间的运算:交集、并集、补集.