第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
2.1 不等关系
●教学目标
（一）教学知识点
1.理解不等式的意义.
2.能根据条件列出不等式.
（二）能力训练要求
通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.
（三）情感与价值观要求
通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
●教学重点
用不等关系解决实际问题.
●教学难点
正确理解题意列出不等式.
●教学方法
讨论探索法.
●教具准备
投影片两张
第一张（记作§2.1 A）
第二张（记作§2.1 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用.
Ⅱ.新课讲授
［师］既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？
［生］可以.比如我的身高比她的身高高5公分.
用天平称重量时，两个托盘不平衡等.
［师］很好.那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题.
投影片（§2.1 A）
如图1－1，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆.
图2－1
（1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2， 那么绳长l应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？
（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？
（4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试.
［师］本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.
［生］正方形的面积等于边长的平方.
圆的面积是πR2，其中R是圆的半径.
两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于.
［师］下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答.
［生］（1）因为绳长l为正方形的周长，所以正方形的边长为，得面积为（）2，要使正方形的面积不大于25 cm2，就是
（）2≤25.
即≤25.
（2）因为圆的周长为l，所以圆的半径为
R=.
要使圆的面积不小于100 cm2，就是
π·（）2≥100
即≥100
（3）当l=8时，正方形的面积为=4（cm2）.
圆的面积为≈5.1（cm2）.
∵4＜5.1
∴此时圆的面积大.
当l=12时，正方形的面积为=9（cm2）.
圆的面积为≈11.5（cm2）
此时还是圆的面积大.
（4）我们可以猜想，用长度均为l cm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
＞.
因为分子都是l 2相等、分母4π＜16，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有＞.
做一做
投影片（§2.1 B）
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干
离地面1.5 m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增加约为 3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m？（只列关系式）.
［师］请大家互相讨论后列出关系式.
［生］设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4 m，得
3x+5＞240
议一议
观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？
［生］由≤25
>100
＞
3x+5＞240
得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知：
一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）.
例题.
用不等式表示
（1）a是正数；
（2）a是负数；
（3）a与6的和小于5；
（4）x与2的差小于－1；
（5）x的4倍大于7；
（6）y的一半小于3.
［生］解：（1）a＞0;（2）a＜0;
（3）a+6＜5;（4）x－2＜－1;
（5）4x＞7;（6）y＜3.
Ⅲ.随堂练习
2.解：（1）a≥0;
（2）c＞a且c＞b；
（3）x+17＜5x.
补充练习
当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？
当x=1.5时，成立吗？
当x=－1呢？
解：当x=2时，x+3=2+3=5＞4成立，
当x=1.5时，x+3=1.5+3=4.5＞4成立；
当x=－1时，x+3=－1+3=2＞4,不成立.
Ⅳ.课时小结
能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解.
通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.
Ⅴ.课后作业
习题2.1
1.解：（1）3x+8＞5x;
（2）x2≥0;
（3）设海洋面积为S海洋，陆地面积为S陆地，则有S海洋＞S陆地.
（4）设老师的年龄为x，你的年龄为y,则有x＞2y.
（5）m铅球＞m篮球.
2.解：满足条件的数组有：
1，3；1，5；1，7；3，5.
3.解：所需甲种原料的质量为x千克，则所需乙种原料的质量为（10－x）千克，得
600x+100（10－x）≥4200.
4.解：8x+4（10－x）≤72.
Ⅵ.活动与探究
a,b两个实数在数轴上的对应点如图2－2所示：
图2－2
用“＜”或“＞”号填空：
（1）a__________b;（2）|a|__________|b|;
（3）a+b__________0;（4）a－b__________0;
（5）a+b__________a－b;（6）ab__________a.
解：由图可知：a＞0,b＜0,|a|＜|b|.
（1）a＞b;（2）|a|＜|b|;
（3）a+b＜0;（4）a－b＞0;
（5）a+b＜a－b;（6）ab＜a.
●板书设计
§2.1 不等关系
一、1.投影片§2.1 A（讨论长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆，比较它们的面积的大小）.
2.做一做（投影片§2.1 B）
根据已知条件列不等式
3.归纳不等式的定义
4.例题
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
用不等式表示：
（1）x的与5的差小于1；
（2）x与6的和大于9；
（3）8与y的2倍的和是正数；
（4）a的3倍与7的差是负数；
（5）x的4倍大于x的3倍与7的差；
（6）x的与1的和小于－2；
（7）x与8的差的不大于0.
参考答案：
解：（1） x－5＜1;
（2）x+6＞9;
（3）8+2y＞0;
（4）3a－7＜0;
（5）4x＞3x－7;
（6）x+1＜－2;
（7）（x－8）≤0.
课件19张PPT。2.1 不等关系 地球上海洋的面积大于陆地的面积，铅球的
质量比篮球的质量大… …情景引入 利用相等关系可以解决许多问题，利用不等关系同样可以解决许多问题。在我们的生活中，不等关系更为普遍。Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围
成一个正方形和圆：新知探究(1)要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳子长l
应满足怎样的关系式？Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：新知探究(2)如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳子长l
应满足怎样的关系式？Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围
成一个正方形和圆：新知探究(3)当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围
成一个正方形和圆：新知探究(4)当l=12时，正方形和圆的面积哪个大？Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围
成一个正方形和圆：新知探究(5)你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试。Ⅱ、通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计
算它的树龄。通常以树干离地面1.5m的地方作为
测量部位。某棵树栽种时的树围为6cm，以后10年内每年约增加3cm，这棵树至少生长多少年其树
围才能超过30 cm？(只列关系式)设这棵树至少生长x年其
树围才能超过30 cm，得新知探究合作交流ⅰ、观察下列关系式，你有什么发现？由不等号连接而成新知归纳不等式的定义： 一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。范例讲解例1、用适当的符号表示下列关系：
(1)x的3倍与8的和比x的5倍小；
(2)x2是非负数；
(3)地球上海洋的面积大于陆地面积；
(4)老师的年龄不超过你的年龄的2倍。解：1、用适当的符号表示下列不等式：
(1)a是非负数；
(2)直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；
(3)x与17的和比它的5倍小。巩固练习2、从1、3、5、7、9中任取两个数就组成一组数，
写出其中两数之和小于10的所有数组。巩固练习合作交流ⅱ、请你设计不同的实际背景来表示下列不等式：
(1) (2)新知归纳“≥、≤”的意义：(1)“≥”：a不小于(不低过)b表示为a≥b ，a为非负数表示为a≥0 ；(2)“≤”：a不大于(不高过)b表示为a≤b ，a为非正数表示为a≤0 。范例讲解例2、甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两
种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位
的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(千克)
应满足的不等式。原料维生素及价格3、甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两
种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格
如下表：巩固练习在例2的条件下，如果还要求购买甲、乙两种原料
的费用不超过72元，那么你能写出所需甲种原料
的质量x(千克)应满足的另一个不等式吗？原料维生素及价格4、在通过桥洞时，我们往往会看到如图(1)所示
的标志，这是限制车高的标志。你知道通过该桥
洞的车高x(m)的范围吗？在通过桥面时，我们往
往会看到如图(2)所示的标志，这是限制车重的标
志。你知道通过该桥面的车重y(t)的范围吗？巩固练习课堂小结1、不等式的定义： 一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。2、“≥、≤”的意义：(1)“≥”：a不小于(不低过)b表示为a≥b ，a为非负数表示为a≥0 ；(2)“≤”：a不大于(不高过)b表示为a≤b ，a为非正数表示为a≤0 。§2.1 不等关系
学习目标：
1.理解不等式的意义.
2.能根据条件列出不等式.
3.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.
4.通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
学习重点：
用不等关系解决实际问题.
学习难点：
正确理解题意列出不等式.
预习作业：
请同学们预习作业教材P37-38的内容，在学习的过程中请弄清以下几个问题：
1.不等式的概念：
一般地，用符号“＜”（或≤），“＞”（或≥）连接的式子叫做______________
2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为_________________
例1、用不等式表示
（1）a是正数；
（2）a是负数；
（3）a与6的和小于5；
（4）x与2的差小于－1；
（5）x的4倍大于7；
（6）y的一半小于3.
变式训练：
用适当的符号表示下列关系：
（1）a是非负数；
（2） 直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；
（3） x与17的和比它的5倍小。
2.（1）当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？
（2）当x=1.5时，成立吗？
（3）当x=－1呢？
活动与探究：
a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：
用“＜”或“＞”号填空：
（1）a__________b;（2）|a|__________|b|;
（3）a+b__________0;（4）a－b__________0;
（5）a+b__________a－b;（6）ab__________a
拓展训练：
1.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)
