《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第二章 平面向量（含解析）
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| 名称 | 《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第二章 平面向量（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 914.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-20 06:59:39 | ||
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文档简介
第 2 章 平面向量
第1课时 向量的概念及表示
教学过程
一、 问题情境
1. 情境:
湖面上有三个景点O, A, B(如图1) ( http: / / www.21cnjy.com ),一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B,从景点O到景点A有一个位移,从景点A到景点B也有一个位移.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
2. 问题:
(1) 位移和距离这两个量有什么不同
(2) 我们知道物理中的力、速度、位移等都 ( http: / / www.21cnjy.com )是矢量,不同于路程、质量等,它们具有什么样的共同特征 你能举出几个具有以上特征的量吗 年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
引导学生思考、讨论上面的问题,从而引出以下概念.
(1) 定义:既有大小又有方向的量叫向量,如位移、力、速度、加速度等.
(2) 向量的表示方法
1° 几何表示法:有向线段——具有一定方向的线段,如;
2° 字母表示法:如a.
(3) 模的概念:向量的大小称为向量的模,记作||,模是可以比较大小的.
(4) 两个特殊的向量
1° 零向量:长度(模)为0的向量,记作0.0的方向是任意的.
2° 单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.
引导学生思考下面的问题:
观察图2,在中心为O的正六边形ABCDEF中,
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(图2)
向量与向量, 有什么关系
向量与向量有什么关系
向量与向量有什么关系
向量, , , , 有什么关系
(5) 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a, b平行,记作a∥b.规定:0与任一向量平行.
(6) 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a, b相等,记作a=b.规定:0=0.
(7) 相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
(8) 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量.
如图3,=a, =b, =c,且a∥b∥c,则向量a, b, c可以平移到一条直线上.
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(图3)
(二) 理解概念
(1) 数量与向量的区别:数量只有大小,可以比较大小;向量既有方向又有大小,不能比较大小(强调).
(2) 0与0的区别:0是向量,是有方向的(虽然方向是任意的);0是数量,没有方向.
(3) 任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,与起点无关.
(三) 巩固概念
桌面上,质量相同的两个物体A和B,它们所受的重力是否相等 它们所受的重力对应的向量是否相等
解 因为它们所受的重力的作用点不同,所 ( http: / / www.21cnjy.com )以它们所受的重力不相等.因为它们所受的重力对应的向量大小相等,方向相同,所以它们所受的重力对应的向量相等.这说明数学中研究的向量是自由向量,只有两个要素:大小和方向.
三、 数学运用
【例1】 下列命题中正确的是 (填序号).
① 向量a与b共线, b与c共线,则a与c也共线;
② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点;
③ 向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;
④ 有相同起点的两个非零向量不平行.[3]
(见学生用书P35)
[规范板书] 解 对于①, ( http: / / www.21cnjy.com )考虑到b可能是零向量,所以①错;对于②,考虑到两个向量可能在同一条直线上,所以②错;对于④,向量平行不同于直线平行,所以④错.显然③正确,故填③.
[题后反思] 向量平行不同于直线平行:若两直线重合,则它们不平行;若两向量在一条直线上,则它们必平行,共线向量即为平行向量.
【例2】 (教材第60页例1)已知O为正六边形ABCDEF的中心,在下图所标出的向量中:
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(例2)
(1) 试找出与共线的向量;
(2) 确定与相等的向量;
(3) 与相等吗 [4] (见学生用书P36)
[处理建议] 在学生充分了解正六边形的几何性质的基础上,让其自主解题;再充分利用图形,多问几个问题,全面覆盖本节课的内容.
[规范板书] 解 (1)与共线的向量有和.
(2) 与长度相等且方向相同,故=.
(3) 虽然∥,且||=||,但它们方向相反,故这两个向量并不相等.
变式1 在图中标出的向量中,与向量模相等的向量有多少个
[规范板书] 解 3个.
[题后反思] 向量相等要看两个要素(大小,方向),若有一个要素不同,则两向量不等.向量共线不同于几个点共线,也不同于几个线段共线.
变式2 如图,在以1cm×3cm方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,请写出以A为起点的不同向量,并求其大小.[5]
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(变式2)
[处理建议] 写出向量的关键是找出起点和终点,而求其大小就是求向量的模,也即求起点、终点两点间的距离.
[规范板书] 解 由图可知,以A为起点的向量有, , , , , , ,且||=1,
||=2, ||=3, ||=, ||=, ||=, ||=1.
[题后反思] 在求向量模的过程中,可借助勾股定理求解.
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(例3)
【例3】 如图,在四边形ABCD中,=,N, M分别是AD, BC上的点,且=,求证:四边形DNBM是平行四边形.[6] (见学生用书P36)
[处理建议] 由=可得到四边形ABCD为平行四边形,则AD BC.又由=可得到四边形CNAM为平行四边形,则AN CM,可得DN MB,从而可证明四边形DNBM为平行四边形.
[规范板书] 证明 ∵ =, ∴ AB DC, ∴ 四边形ABCD为平行四边形,∴ AD BC.
又∵ =, ∴ CN MA, ∴ 四边形CNAM为平行四边形,∴ AN CM, ∴ DN MB,
∴ 四边形DNBM为平行四边形.
[题后反思] 向量相等包括两方面的含义:长度相等和方向相同(即平行).
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(例4)
*【例4】 如图,已知半径为1的圆O上有8个等分点A, B, C, D, E, F, G, H,以图中标出的9个点为起点和终点作向量,那么
(1) 有多少个单位向量
(2) 有多少个模为的向量
(3) 与平行的向量有哪些 [7]
[规范板书] 解 (1) 共有16个单位向量.
(2) 圆周上,只隔一个点的两点所连的向量的模为,共有2×8=16个.
(3) 与平行的向量有, , , , .
[题后反思] 相反向量与原向量平行,且长度相等.向量平行(共线)只要关注:方向相同或相反,不要忘了方向相反的向量.
四、 课堂练习
1. 有下列命题:①向量的模是一个正 ( http: / / www.21cnjy.com )实数;②两个相等向量必是两个平行向量;③坐标平面上的x轴和y轴都是向量;④温度有零上温度和零下温度,所以温度是向量.其中真命题的个数是 1 .
2. 设点O为正方形ABCD的中心,在以正方形的顶点及点O为起点或终点的向量中,分别与, 相等的向量是 , .
3. 某人从A点出发向东走了5m到达B点,然后改变方向往东北方向走了10m到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10m到达D点,求的模.
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(第3题)
解 根据题意,画出图形如图所示, ∠ABD=90°, AB=5, BD=10,所以AD==5,故||=5.
五、 课堂小结
1. 向量的概念:定义、表示方法、零向量、单位向量.(三个定义,两种表示)
2. 向量的关系:平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量.(三个关系)
3. 两种思想:数形结合思想、分类讨论思想.
第2课时 向量的加法
教学过程
一、 问题情境
利用向量的表示,从景点O到景点A的位移为,从景点A到景点B的位移为,那么经过这两次位移后游艇的合位移是,如图1所示.
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(图1)
问题1 向量, , 三者之间有什么关系
经过两次位移后游艇的合位移是,两个连续位移的效果可用一个位移表示.
问题2 如何用数学语言来刻画三者之间的关系
+=.
问题3 还有哪些量的运算具有类似的性质 和数的运算有什么不同
物理学中,力、位移、速度、加速度等都有类似的运算,它们是向量的运算.
二、 数学建构
问题4 一般地,如何定义向量的加法运算
1. 向量的加法的含义
如图2,已知向量a和b,在平面内任取一点O,作=a, =b,则向量叫做a与b的和,记作a+b.即a+b=+=.
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(图2)
求两个向量的和的运算叫做向量的加法.
2. 向量加法的三角形法则
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
说明 三角形法则使用时应该“首尾相连”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的终点相连,若不“首尾相连”可通过平移使之“首尾相连”.
问题5 数的加法法则是什么 向量的加法满足吗
3. 向量运算(类比于数的加法)的法则
对于零向量和任一向量a,有a+0=0+a=a.
对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.
向量的加法满足交换律、结合律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).
通过作图方式验证向量的加法满足交换律.
如图3,作 OABC,使=a, =b,
则==a, ==b.
因为=+=a+b, =+=b+a,所以a+b=b+a.
(图3)
4. 向量加法的平行四边形法则
图3还表明,对于两个不共线的非零向量a, b,我们还可以作平行四边形来求两个向量的和.分别记作=a, =b,以OA, OB为邻边作 OABC,则以O为起点的对角线就是向量a与b的和.
我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.
说明 平行四边形法则使用时应该“共起点”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的起点相同,若不“共起点”可通过平移使之“共起点”.
同样,根据图4可以验证,向量的加法满足结合律.
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(图4)
思考 如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线,那么这n个向量的和是什么 (零向量)
三、 数学运用
【例1】 如图,在平行四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的对角线BD的延长线及反向延长线上分别取点F, E,使BE=DF,用向量的方法证明:四边形AECF是平行四边形.[2]
(见学生用书P37)
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(例1)
[处理建议] 由上一课时的例3知,要证明四边形AECF是平行四边形,只需证明=或=.
[规范板书] 解 =+, =+,
又∵ =, =,
∴ =,即AE, FC平行且相等,∴ 四边形AECF也是平行四边形.
[题后反思] 在运用向量方法进行证明时,常常运用向量加法法则(平行四边形法则、三角形法则)将向量进行转化.
【例2】 如图,已知D, E, F分别是△ABC三边AB, BC, CA的中点,求证:++=0.[3](见学生用书P38)
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(例2)
[处理建议] 引导学生复习三角形边的中点具有的性质,构造平行四边形,联系向量的加法法则,使运算自然展开.
[规范板书] 证明 连接DE, EF, FD.因为D, E, F分别是△ABC三边的中点,所以四边形ADEF为平行四边形.
由向量加法的平行四边形法则,得+=.①
同理在 BEFD中,+=,②
在 CFDE在中,+=.③
将①②③式相加,得
++=+++++=(+)+(+)+(+)=0.
[题后反思] 此题有一定的难度,对于培养学生综合运用已有的知识解决问题的能力有促进作用.深化学生对向量加法法则的理解和运用.
【例3】 (教材第64页例2)在长 ( http: / / www.21cnjy.com )江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定 [4](见学生用书P38)
[处理建议] 此题利用向量方法解决实际问题,关键是问题的转化.即渡船的实际速度,船速与水速应满足+=.数学问题解决后一定要回到实际问题.
[规范板书] 解 如图,设表示水流的速度, 表示渡船的速度, 表示渡船的实际垂直过江的速度.
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(例3)
因为+=,所以四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中, ∠ACD=90°, ||=||=12.5, ||=25,所以∠CAD=30°.
答:渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°.
[题后反思] 明确解题的基本策略,先作出图示来认识活动过程,在直观感受的基础上,运用向量知识求解.
四、 课堂练习
1. 在矩形ABCD中,||=,||=1,则向量的模等于2.
2. 化简:(1) ++=;(2) ++++=0.
提示 ++++=++++=0.
3. 在正六边形ABCDEF中, =a, =b,则=a+b(用a, b表示).
提示 ==+=a+b.
4. 在Rt△ABC中,∠A=90°,若||=3,||=4,则|+|=5.
提示 在Rt△ABC中,|+|=||=5.
五、 课堂小结
1. 由物理学中的合位移推广得到向量的加法运算,类比数的运算得到向量的运算律.
2. 向量加法的三角形法则强调向量“首尾相连”,平行四边形法则强调向量“共起点”.
第3课时 向量的减法
教学过程
一、 问题情境
实数的加法与减法是什么关系 [2]
二、 数学建构
问题1 类似于实数的减法,你能定义向量的减法吗
向量的减法是向量的加法的逆运算.
若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,记为a-b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.
问题2 类似于向量的加法,你能作出向量减法的几何表示吗
作法:如图1、图2,在平面内任取一点O,作=a, =b.
(图1)
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(图2)
因为+=,即b+=a,所以=a-b.
这就是说,当向量a, b起点相同时,从b的终点指向a的终点的向量就是a-b.
由向量加法结合律可知,[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a,所以a-b=a+(-b).
这表明:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
三、 数学运用
【例1】 如图,已知向量a, b,求作a-b.[3]
(见学生用书P39)
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(例1)
[处理建议] 先让学生自主尝试作图,再进行抽象的理论概括.
[规范板书] 略.
[题后反思] 不同情形的作图方法归纳:当向量 ( http: / / www.21cnjy.com )a, b起点相同时, a-b由b的终点指向a的终点;当向量a, b终点相同时, a-b由a的起点指向b的起点;当向量a, b起点和终点都不同时,可以通过平移使之共起点或者共终点.
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(例2)
【例2】 (教材第67页例2)如图, O是 ABCD对角线的交点,若=a, =b, =c,试证明:b+c-a=.(见学生用书P40)
[处理建议] 要证b+c-a=,只要证b+c=+a.
[规范板书] 证明 因为b+c=+=+=, +a=+=,
所以b+c=+a,即b+c-a=.
[题后反思] 解决这类问题的核心是应用向量加法或减法法则进行相互转化.本题还可以通过=+=++来证明,或者从c-a=-=-==+来证明.
【例3】 证明:对于任意两个向量a, b都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.[4]
(见学生用书P40)
[处理建议] 引导学生从不等式本身的几何意义出发,结合向量a, b是否为零向量、是否共线等情况分类讨论.
[规范板书] 证明 若a, b中至少有一个为零向量,则不等式显然成立.
若a, b都不是零向量,记=a, =b,则=a+b.
(1) 当a, b不共线时,如图甲所示,则在△OAB中,有|||-|||<||<||+||,即||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.
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(例3)
(2) 当a, b共线时,若a, b同向,如图乙所示,||=||+||,即|a+b|=|a|+|b|;
若a, b反向,如图丙所示|||-|||=||,即||a|-|b||=|a+b|.
综上可知,||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
[题后反思] 此题要求学生 ( http: / / www.21cnjy.com )学会多角度分析问题,确定解题的立足点,讨论问题的全面性,培养学生的分类讨论的能力.也可证明:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
四、 课堂练习
1. 在四边形ABCD中,=+,则四边形ABCD的形状为平行四边形.
2. 下列各式中,能化简为的是①②④(填序号).
① +(-);
② (-)+(-);
③ --;
④ -+.
3. 在△ABC中, D, E分别为AB, AC的中点,则-=或.
4. 设D是正三角形ABC的BC边中点,若|-|=1,则|-|=.
提示 由条件可得||=2,从而可得||=2×=.
五、 课堂小结
1. 充分认识向量加减法的内在一致性.
2. 牢固掌握向量减法的运算法则,并能运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差.
第4课时 向量的数乘
教学过程
一、 问题情境
一艘船上午8点从某港口出 ( http: / / www.21cnjy.com )发,以vkm/h的速度向南偏东45°的方向航行,下午1点半该船到达何处 若设该船每小时的位移为a,则该船5.5小时的位移应如何表示
答 该船到达此港口南偏东45°的方向且距港口5.5vkm处;该船5.5小时的位移应为5.5a.
二、 数学建构
问题1 位移为5.5a,它是向量吗,有什么特点
问题2 向量5.5a可以看成什么运算的结果
问题3 一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,叫做向量的数乘,那它的方向、大小与向量a有什么关系
(1) |λa|=|λ‖a|;
(2) 当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;特别地,当λ=0或a=0时,λa=0.
问题4 类比于实数的运算,向量的数乘有哪些运算律
根据向量数乘的定义,可以验证向量的数乘满足下列运算律:
(1) λ (μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.
三、 数学运用
【例1】 如图(1),已知向量a, b,c,求作向量3a-2b+c.[2](见学生用书P41)
(例1(1))
[处理建议] 指导学生量化长度,辨析方向,动手操作,使学生在实际操作中增强对知识的理解、掌握程度.
[规范板书] 作法一 用三角形法则,如图(2).
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(例1(2))
此时,由向量的加法可知向量=3a-2b+c为所求作的向量.
作法二 用平行四边形法则,如图(3).
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(例1(3))
作=3a,=-2b,=c,分别以AB, AC为邻边作 ABDC,以 ABDC的对角线AD, AE为邻边作 AEFD,则向量=3a-2b+c为所求作的向量.
[题后反思] 向量的加法、减法、数乘是 ( http: / / www.21cnjy.com )向量的基本运算,不仅要掌握其运算法则,更应理解其几何意义.另外,在作向量的差时,一般把“差”转换成“和”来作;λa的几何意义也要十分清晰.
【例2】 (教材第69页例2)计算:
(1) 3(a-b)-2(a+2b);
(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).[3]
(见学生用书P42)
[处理建议] 本题类似于实数运算中的合并同类项,引导学生用此思想方法自主解题.
[规范板书] 解 (1)3(a-b)-2(a+2b)=3a-3b-2a-4b=a-7b.
(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)=4a+12b-6c+9a-12b+6c=13a.
[题后反思] 通过运算,更好地掌握向量的加、减和数乘运算,熟练运用向量的运算律.
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(例3)
【例3】 如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,N在BD上且BN=BD,求证:M, N, C三点共线.[4] (见学生用书P42)
[处理建议] 欲证M, N, C三点共线,只需证∥即可.
[规范板书] 证明 =-,
∵ =, ==(+),
∴ =+-=-, ①
=-=-. ②
由①②可得=3,即∥.
又∵ , 有公共点M, ∴ M, N, C三点共线.
[题后反思] (1) 证明点共线问题往往转化为证明有公共端点的向量共线问题;
(2) 如果两个向量共线,那么其中的一个向量可以由另一个(非零)向量的数乘来表示,即线性表示.自然得到向量共线定理.
一般地,对于两个向量a(a≠0)和b,有如下的向量共线定理:
如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0) ( http: / / www.21cnjy.com ),那么b与a(a≠0)是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.[5]
[规范板书] 证明 根据向量数乘的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义可知,对于两个向量a(a≠0)和b,如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a(a≠0)是共线向量.
反过来,如果向量b与a是共线向量,
当b与a同方向时,令λ=;当b与a反方向时,令λ=-;若b=0,则令λ=0.
从而有一个实数λ,使b=λa.
假设有两个实数λ, λ',使b=λa, b=λ'a,则b-b=(λ-λ')a=0,即|λ-λ'‖a|=0.
因为|a|≠0,所以λ-λ'=0,即λ=λ'.
从而有且只有一个实数λ,使b=λa.
[题后反思] (1) λ的符号决定着两个向量同向还是反向,λ的绝对值决定着两个向量的长度之间的倍数关系.
(2) 向量共线定理的一般形式:如果存在 ( http: / / www.21cnjy.com )不全为0的两个实数s, t,使ta+sb=0,则向量a, b共线;若a, b不共线,且ta+sb=0,则必有s=t=0.
四、 课堂练习
1. 计算:-3(4a-5b)=-12a+15b,
2(2a-3b)-4(3a-2b)=-8a+2b.
2. 若向量a,b, c满足(4a-3c)+3(5c-4b)=0, 则c=-a+b.
3. 已知点R在线段PQ上,且=,设=λ,则λ=-.
提示 由=,可知5=3(-),故=-,即λ=-.
4. 已知向量a=e1-e2, b=-3(e2-2e1),求证:a与b是共线向量.
证明 因为a=(2e1-e2), b=3(2e1-e2),所以b=6a,由向量共线定理知a与b是共线向量.
五、 课堂小结
1. 理解并掌握向量数乘的定义及运算律.
2. 理解向量共线定理,并能运用它判断两个向量是否共线.
第5课时 向量线性运算习题课
教学过程
一、 问题情境
梳理知识结构
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二、 数学建构
问题1 向量的线性运算与数的运算有什么不同
问题2 向量线性运算的法则是什么
三、 数学运用
【例1】 设e是非零向量,若a+b=2e,2a-b=-3e,向量a与b是否平行 (见学生用书P43)
[处理建议] 要证明a与b平行,只要证明存在实数λ,使得a=λb(b≠0)即可.
[规范板书] 因为a+b=2e,所以e=(a+b).代入2a-b=-3e,得2a-b=-3·(a+b),化简得a=-b.
又若b=0,得a=2e且a=-e.
因为e是非零向量,所以a=2e与a=-e不可能同时成立,故b≠0.所以向量a与b平行.
[题后反思] 证明两向量a和b平行或共线,需要找出向量a和b之间存在的数量关系,因此在解题的过程中,消去向量e,问题得以解决.
【例2】 (教材第72页习题2.2第10题)如图,设P,Q是线段AB的三等分点,若=a, =b,试用a, b表示向量, . (见学生用书P44)
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(例2)
[处理建议] 本题主要从两个方面入手 ( http: / / www.21cnjy.com ):图形分析和向量运算.通过回忆向量加法的三角形法则,强调首尾相连,使学生在自主练习中巩固向量线性运算法则.
[规范板书] 解 因为=a-b,所以=+=a+b, =+=a+b.
[题后反思] 灵活运用向量加法法则是求解本题的关键,培养学生读图、识图的能力,使学生领悟数形结合的思想.
【例3】 (教材第71页例4)如图,在△OAB中, C为直线AB上一点,=λ(λ≠-1),求证:=.(见学生用书P44)
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(例3)
[处理建议] 引导学生将已知条件中的, 用结论式中的, , 表示,进而解出.
[规范板书] 证明 因为=-, =-,又=λ,
所以-=λ(-),
即(1+λ)=+λ.
又因为λ≠-1,即1+λ≠0,
所以=.
[题后反思] (1) 结合图形分析,明确解题思路,重点是向量加、减法的三角形法则的灵活运用;本题中,当λ=1,即C是AB中点时,有=(+).
(2) 本题所证明的结论=表明:起点为O,终点为直线AB上一点C的向量可以用, 表示.那么两个不共线的向量, 可以表示平面内任一向量吗 (可以表示,为后续学习平面向量基本定理做铺垫)
*【例4】 已知点G为△ABC的重心,过G作直线与AB, AC两边分别交于M, N两点,且=x, =y,求+的值.
[处理建议] 引导学生根据已知条件构造向量,运用向量共线定理建立方程组求解.
[规范板书] 解 因为G为△ABC的重心,故=(+),
所以=-=(+)-x=
-x+,
=-=y-=y-(+)=y--.
由于与共线,根据共线向量基本定理知存在实数λ,使=λ,即-x+=λ-,
从而得
即=,
化简得x+y-3xy=0,两边同除以xy得+=3.
[题后反思] 本题应抓住重心的性质表示出,熟练掌握向量的线性运算及共线定理,通过对式的合理变形,体会化归的思想,也培养学生的运算能力.
四、 课堂练习
1. 下列命题中真命题的个数为1.
① 若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
② 若=,则A, B, C, D是一个平行四边形的四个顶点;
③ 若a=b, b=c,则a=c;
④ 若a∥b, b∥c,则a∥c.
提示 只有③正确.
2. 在△ABC中,=a, =b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN, AM交于点P,则可用a, b表示为-a+b.
3. 设=x+y,且A, B, C三点共线(该直线不过点O),则x+y=1.
4. 已知x, y∈R,向量a, b不共线,若(x+y-2)a+(x-y)b=0,则x=1, y=1.
提示 由已知条件得解得
五、 课堂小结
1. 平面向量线性运算法则的巩固、强化,线性运算几何意义的理解.
2. 通过向量线性运算进一步体会“向量是既有大小又有方向的量”,同时感受向量在求解平面几何问题中的灵活应用.
第6课时 平面向量基本定理
教学过程
一、 问题情境[3]
1. 情境:火箭在升空的某一时刻,速 ( http: / / www.21cnjy.com )度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度(如下图所示).在力的分解的平行四边形法则中,我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
2. 问题:平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示
二、 数学建构
设e1, e2是平面内两个不共线的向量.
活动1 请同学们作出向量=2.5e1+1.5e2.[4]
活动2 a是平面内的任一向量,能否通过作图用e1, e2表示呢 [5]
如图2,在平面内任取一点O,作=e1, =e2, =a.过点C作平行于OB的直线,交直线OA于M;过点C作平行于OA的直线,交直线OB于N,则有且只有一对实数λ1, λ2,使得=λ1e1, =λ2e2.因为=+,所以a=λ1e1+λ2e2.
(图2)
问题1 是不是平面内每一个向量都可以分解成两个不共线的向量 这样的分解是否唯一
问题2 对于平面上两个不共线的向量e1, e2,是不是平面上所有的向量都可以用它们来表示 [6]
平面向量基本定理 如果e1, ( http: / / www.21cnjy.com )e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1, λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
我们把不共线的向量e1, e2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
一个平面向量用一组基底e1, e2表示 ( http: / / www.21cnjy.com )成a=λ1e1+λ2e2的形式,我们称它为向量的分解.当e1, e2互相垂直时,就称为向量的正交分解.
定理理解
(1)基底e1, e2必须不共线;
(2)λ1,λ2是被e1, e2, a唯一确定的实数对.
思考 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理,在内容和表述形式上有什么区别和联系 (平面向量基本定理是向量共线定理的推广)
三、 数学运用
【例1】 (教材第75页例1)如图, ABCD的对角线AC和BD交于点M,=a, =b,试用基底a, b表示, , 和.[7] (见学生用书P45)
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(例1)
[处理建议] 引导学生利用关系式=+和=-,以及平行四边形的对角线互相平分来求解.
[规范板书] 解 =+=a+b, =-=a-b.
∵ 平行四边形的对角线互相平分,
∴ ==a+b, =-=-a-b,
∴ ==a-b, =-=b-a.
[题后反思] 根据平面向量基本定理,选择适当的基底,将有关向量用基底线性表示,这样可通过向量运算来解决有关问题.
变式 在 ABCD中, E和F分别是边CD和BC的中点,=λ+μ,其中λ, μ∈R ,则λ+μ=.[8]
[处理建议] 引导学生选择适当的基底解决问题;并讨论不同基底的解法,激发学生的创新意识.
[规范板书] 解 设=b, =a,则=b-a,=b-a,=b-a.
∵ =λ+μ,
∴
解得λ=μ=, ∴ λ+μ=.
【例2】 (教材第75页例3)设e1, e2是平面内的一组基底,如果=3e1-2e2, =4e1+e2, =8e1-9e2,求证:A, B, D三点共线.[9] (见学生用书P46)
[处理建议] 引导学生分析:欲证A, B, D共线,只需证明共起点的两个向量共线,让学生讨论“共起点”的必要性,提高学生思维的活跃性.
[规范板书] 证明 ∵ =++=(3e1-2e2)+(4e1+e2)+(8e1-9e2)=15e1-10e2=5(3e1-2e2)=5,∴ 与共线.
又∵ 与有公共的起点A,∴ A, B, D三点共线.
[题后反思] 当出现三点共线时,转化为共起 ( http: / / www.21cnjy.com )点的两个向量共线问题求解;选择适当的基底是寻求两向量共线的基础,即将共起点的两向量化归到一组基底线性表示,共线问题就很容易解决了.
变式 设两个非零向量e1和e2不共线.
(1) 如果=e1-e2, =3e1+2e2, =-8e1-2e2,求证:A, C, D三点共线;
(2) 如果=e1+e2, =2e1-3e2, =2e1-ke2,且A, C, D三点共线,求k的值.
[规范板书] 解 (1)=+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-,∴ 与共线.
又∵ 与有公共点C,∴ A, C, D三点共线.
(2) =+=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2.
∵ A, C, D三点共线, ∴ 与共线,
从而存在实数λ,使得=λ,
即3e1-2e2=λ(2e1-ke2),
∴ 解得λ=,k=.
【例3】 如图,在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com ),M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC, AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.[10] (见学生用书P46)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[处理建议] 分析题设中的条件,A, ( http: / / www.21cnjy.com )P, M三点共线,B, P, N三点共线,可得向量共线,从而可由向量共线定理和平面向量基本定理建立方程组求解.
[规范板书] 解法一 设=e1, =e2,则=+=-3e2-e1, =+=2e1+e2.
∵ A, P, M和B, P, N分别共线,
∴ 存在实数μ, λ, 使得=λ=-3λe2-λe1,=μ=2μe1+μe2,
∴ =-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=+=2e1+3e2,
∴ 解得
∴ =, =,
∴ AP∶PM=4∶1.
解法二 设=λ.
∵ =(+)=+.
∴ =+λ.
∵ B, P, N三点共线,
∴ 存在实数t,使得=t,
即-=t(-),
∴ =(1+t)-t,
∴ 解得λ=,
∴ AP∶PM=4∶1.
[题后反思] 解题的关键是由点共线转化为向量共线,体现了转化的数学思想.
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(例4)
*【例4】 如图,在△OAB中,=, =,AD与BC交于点M,设=a, =b.
(1) 用a, b表示;
(2) 在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设=p, =q,求证:+=1.
[规范板书] 解 (1) 设=ma+nb,则=+=(m-1)a+nb, =+=-a+b.
∵ 点A, M, D共线,∴ 与共线,
∴ =, ∴ m+2n=1. ①
=-=a+nb, =-=-a+b.
∵ 点C, M, B共线,∴ 与共线,∴ =, ∴ 4m+n=1. ②
联立①②可得m=, n=, ∴ =a+b.
(2) =a+b, =-pa+qb,
∵ 与共线,∴ =, ∴ q-p·q=-p,即+=1.
四、 课堂练习
1. 在 ABCD中, =a, =b, =3, M为BC的中点,则=-a+b(用a, b表示).
提示 由=3,得4=3=3(a+b).由M是BC的中点得 =a+b,所以=(a+b)-(a+b)=-a+b.
2. 在△ABC中,D是AB边上一点,若=2, =+λ,则λ=.
提示 ∵ =2,∴ =+=+=+(-)=+,则λ=.
3. 设a, b是不共线向量,且a+2b=(x-1)a+yb,则x=2,y=2.
提示 ∵a, b不共线, ∴解得
4. 已知非零向量a, b不共线,若ma+b与a-nb平
行,则mn=-1 .
提示 ∵ ma+b与a-nb平行,∴ 存在实数λ,使得ma+b=λ(a-nb),∴解得mn=-1.
五、 课堂小结
1. 平面向量基本定理及其意义.
2. 运用平面向量基本定理解决一些平面几何的证明问题.
第7课时 平面向量的坐标运算(1)
教学过程
一、 问题情境
我们知道,在平面直角坐标系内,点M可以用坐标(x, y)表示.这种表示在确定点M的同时也确定了的长度及的方向.换句话说,向量也可以用坐标来表示.
二、 数学建构
问题1 平面向量基本定理的内容是什么 [2]
问题2 如图1,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底,那么如何用i, j表示呢 (=3i+4j)
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(图1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
对于向量a,如图2,根据平面向量基本定理又如何表示 (由平面向量基本定理可知有且只有一对实数x, y,使得a=xi+yj)
归纳1 平面向量的坐标表示
一般地,对于向量a,如图2,当它的起点移至原点O时,其终点坐标(x, y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x, y).
探究1 相等向量的坐标有关系吗
答 相等向量的坐标也相等,体现向量与其坐标的对应关系.
探究2 将表示向量的有向线段的起点移至坐标原点后有何结论呢 [3]
答 此时向量坐标就由这条有向线段的终点坐标唯一确定了.
问题3 当向量用坐标表示时,向量的加、减、数乘运算也都可以用相应的坐标来表示吗 [4]
设a=(x1, y1), b=(x2, ( http: / / www.21cnjy.com ) y2),那么a+b=(x1, y1)+(x2, y2)=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j=(x1+x2, y1+y2).
同理得a-b=(x1-x2, y1-y2),λa=(λx1,λy1).
归纳2 已知向量a=(x1, y1), b=(x2, y2)和实数λ,那么a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2),λa=(λx1,λy1).
问题4 向量的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系
如图3,已知A(x1, y1), B(x2, y2),则=-=(x2, y2)-(x1, y1)=(x2-x1, y2-y1).
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(图3)
归纳3 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.
三、 数学运用
【例1】 (教材第77页例1)如图,已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4, ∠xOA=60°,求向量的坐标.[5] (见学生用书P47)
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(例1)
[处理建议] 要求的坐标,即求点A的坐标,利用三角函数的定义即可求解.
[规范板书] 解 设点A(x, y),则x=4cos60°=2, y=4sin60°=6,即A(2, 6),所以=(2, 6).
[题后反思] 平面向量研究的主要是“形”的层 ( http: / / www.21cnjy.com )面和“数”的层面.“形”的层面借助于有向线段进行表示,“数”的层面通过坐标来对向量进行考察,本题将两个方面结合起来让学生体会.
【例2】 已知a=(2, 1), b=(-3, 4),求a+b, a-b, 3a+4b的坐标.[6] (见学生用书P47)
[处理建议] 让学生根据向量的加、减、数乘运算的坐标表示自主解题.
[规范板书] 解 ∵ a=(2, 1), b=(-3, 4), ∴ a+b=(2, 1)+(-3, 4)=(-1, 5), a-b=(2, 1)-(-3, 4)=(5, -3), 3a+4b=3(2, 1)+4(-3, 4)=(6, 3)+(-12, 16)=(-6, 19).
变式 已知a=(x, 2), A(1, -1), B(-2, y),且a=,求x, y的值.
[规范板书] 解 ∵ =(-2-1, y+1)=(-3, y+1)=a,∴ (-3, y+1)=(x, 2),
∴ 即
[题后反思] 若a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则a=b x1=x2且y1=y2.
【例3】 (1) 已知a=(-1, 2), b=(1, -1), c=(3, -2),且有c=pa+qb,试求实数p, q的值;
(2) 已知a=(2, 1), b=(1, -3), c=(3, 5),把a, b作为一组基底,试用a, b表示c.[7](见学生用书P48)
[处理建议] 对于(1),先用a, b的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标求出pa+qb的坐标,然后利用相等的向量其坐标对应相等建立方程组即可求出p, q的值;对于(2),可先设c=ma+nb,用(1)的方法求出m, n的值即可.
[规范板书] 解 ∵ a=(-1, 2), b=(1, -1), c=(3, -2),
∴ pa+qb=p(-1, 2)+q(1, -1)=(-p+q, 2p-q).
又∵ c=pa+qb,
∴ 解得
故所求p, q的值分别为1, 4.
(2) 设c=ma+nb, m, n∈R.
∵ ma+nb=m(2, 1)+n(1, -3)=(2m+n, m-3n),
又∵ c=ma+nb=(3, 5),
∴ 解得
∴ c=2a-b.
[题后反思] 待定系数法是将某向量用一组基底线性表示的常用方法.
变式 已知a=(2, -4), b=(-1, 3), c=(6, 5), p=a+2b-c,试以a, b为基底求p.
[规范板书] 解 令c=λa+μb,则(6, 5)=λ(2, -4)+μ(-1, 3),即(6, 5)=(2λ-μ, -4λ+3μ),
∴解得
∴ p=a+2b-a-17b=-a-15b.
【例4】 (教材第78页例4)已知P1(x1, y1), P2(x2, y2), P是直线P1P2上一点,且=
λ(λ≠-1),求点P的坐标.[8] (见学生用书P48)
[处理建议] 先设出点P的坐标,再将条件中的向量, 用坐标表示出来,利用等量关系建立关于x, y的方程组进行求解.
[规范板书] 解 设P(x, y),则=(x-x1, y-y1), =(x2-x, y2-y).
由=λ,得(x-x1, y-y1)=λ(x2-x, y2-y),即
因为λ≠-1,所以
因此,点P的坐标为.
[题后反思] (1) 当λ=1时,就得到线段P1P2的中点M(x, y)的坐标公式
(2) 本题与教材2.2.3小节的例4都是线段的定比分点公式,一个是坐标形式,一个是向量形式.
*【例5】 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求顶点D的坐标.
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(例5)
[规范板书] 解 设顶点D的坐标为(x, y),则
=(1, 2), =(3-x, 4-y).
∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ =,即(1, 2)=(3-x, 4-y).
∴ 解得即顶点D的坐标是(2, 2).
变式 已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求点D的坐标,使这四点构成平行四边形的四个顶点.
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(变式)
[规范板书] 解 当平行四边形为ADCB时,由=得D1=(2, 2);
当平行四边形为ACDB时,同理得D2=(4, 6);
当平行四边形为DACB时,同理得D3=(-6, 0).
四、 课堂练习
1. 已知向量a=(1, 1),b=(1, -1),则向量a-b=(-1, 2).
2. 已知O是坐标原点, A(-2, 1), B(4, -3),且-3=0,则=.
提示 设C(x, y),则=(x-4, y+3).
由=(6, -4), -3=0,
得解得
∴ =(6, -).
3. 在平面直角坐标系xOy中, ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD的边AB∥DC, AD∥BC,已知点A(-2, 0), B(6, 8), C(8, 6),则点D的坐标为(0, -2).
提示 由题意知,四边形ABCD为平行四边形,∴ +=+,∴ =+-=(-2, 0)+(8, 6)-(6, 8)=(0, -2),即点D的坐标为(0, -2).
五、 课堂小结
1. 平面向量的坐标运算法则.
2. 相等向量的坐标表示.
3. 向量的坐标表示使得我们可以通过数的运算来研究图形的几何性质,体现了数形结合的思想方法.
第8课时 平面向量的坐标运算(2)
教学过程
一、 问题情境
前面我们如何判定向量a, b平行(或共线) 向量a=(1, -4)与b=(-2, 8)是否平行
二、 数学建构
活动1 引导学生回顾平面向量共线定理.
如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.
活动2 判断向量a=(1, -4)与b=(-2, 8)是否平行 [3]
由于b=(-2, 8)=-2(1, -4)=-2a,因此a∥b.
观察探究 向量a=(1, -4)与b=(-2, 8)平行,它们的坐标有什么关系呢
此时向量a与b的坐标满足1×8=(-4)×(-2).
问题1 设向量a=(x1, y1), b=(x2, y2)(a≠0),如果a∥b,那么x1, y1, x2, y2也满足这个关系吗
因为a≠0,所以x1, y1不全为0,不妨假设x1≠0.
① 如果a∥b,则存在实数λ,使b=λa,
即(x2, y2)=λ(x1, y1)=(λx1,λy1),
所以
因为x1≠0,由(i)得
将(iii)代入(ii)得y2=y1,即x1y2-x2y1=0.
归纳 设向量a=(x1, y1), b=(x2, y2)(a≠0),如果a∥b,那么x1y2-x2y1=0.
问题2 反过来,如果x1y2-x2y1=0,那么b与a(a≠0)是否平行 如何验证 [4]
因为a≠0,所以x1, y1不全为0,不妨假设x1≠0.
因为x1≠0,x1y2-x2y1=0,所以y2=y1,
故(x2, y2)=(x2, y1)=(x1, y1).
令λ=,则b=λa,所以a∥b.
归纳 一般地,设向量a=(x1, y ( http: / / www.21cnjy.com )1), b=(x2, y2)(a≠0),如果a∥b,那么x1y2-x2y1=0;反过来,如果x1y2-x2y1=0,那么a∥b.
概念理解 当a=0时,由于0与任意向量平行,故x1y2-x2y1=0恒成立.
三、 数学运用
【例1】 (教材第80页例5)已知a= ( http: / / www.21cnjy.com )(1, 0), b=(2, 1),当实数k为何值时,向量ka-b与a+3b平行 并确定此时它们是同向还是反向.[5] (见学生用书P49)
[处理建议] 先用向量共线的坐标表示列出方程求出k值,再引导学生思考“如何判断两向量同向还是反向 ”
[规范板书] 解 ka-b=k(1, 0)-(2, 1)=(k-2, -1), a+3b=(1, 0)+3(2, 1)=(7, 3).
由向量平行的条件可得3×(k-2)-(-1)×7=0,所以k=-.
此时ka-b==-(7, 3)=-(a+3b).因此,它们是反向的.
[题后反思] 两个共线向量方向相同还是相反,取决于b=λa(a≠0)中实数λ的符号.λ>0时,它们同向;λ<0时,它们反向.
变式1 已知a=(2, 3), b=(-1, 2).若ka-b与a-kb平行,求实数k的值.
[规范板书] 解 ka-b= ( http: / / www.21cnjy.com )k(2, 3)-(-1, 2)=(2k+1, 3k-2), a-kb=(2, 3)-k(-1, 2)=(2+k, 3-2k),
∴ (2k+1)(3-2k)-(3k-2)(2+k)=0, 化简得7k2=7,∴ k=±1.
变式2 已知点A(-1, -1), B(1, 3), C(1, 5), D(2, 7),向量与平行吗 直线AB平行与直线CD吗
[规范板书] 解 ∵ =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4), =(2-1, 7-5)=(1, 2),
又2×2-1×4=0, ∴ ∥.
∵ =(1-(-1), 5-(-1))=(2, 6), =(2, 4),又2×4-2×6≠0,
∴ 与不平行,∴ A, B, C不共线,即AB与CD不重合,∴ 直线AB与CD平行.
【例2】 (教材第81页例6)已知点O, A, B, C的坐标分别为(0, 0), (3, 4), (-1, 2), (1, 1),是否存在常数t,使得+t=成立 解释你所得结论的几何意义.[6] (见学生用书P49)
[处理建议] 引导学生回顾存在探索性问题的一般思考方法,即假设存在法,再根据待定系数法、方程思想,让学生自主解题,最后讨论结论的几何意义.
[规范板书] 解 设存在常数t,使得+t=,则(3, 4)+t(-1, 2)=(1, 1),
即(3-t, 4+2t)=(1, 1),
所以
此方程组无解,故不存在这样的常数t.
上述结论表明向量与不平行.
[题后反思] 由+t=,可得到-=t,即=t,所以只有当向量与共线时,才存在这样的常数t.而已知=(-2, -3), =(-1, 2),显然,它们不平行.因此,不存在满足题意的常数t.
变式 已知O(0, 0), A(1, 2), B(4, 5),点P坐标满足=+t(t∈R).
(1) t为何值时,点P在x轴上 t为何值时,点P在y轴上
(2) 四边形OABP能否构成一个平行四边形 若能,求t的值;若不能,请说明理由.
[规范板书] 解 (1)=+t=(1, 2)+t(3, 3)=(1+3t, 2+3t).
如果点P在x轴上,有2+3t=0,解得t=-;
如果点P在y轴上,有1+3t=0,解得t=-.
(2) 假设四边形OABP为平行四边形,则有=.又因为=(1+3t, 2+3t), =(3, 3),所以此方程组无解,故四边形OABP不能构成平行四边形.
【例3】 已知点A(x, 0), B(2x, 1), C(2, x), D(6, 2x).
(1) 求实数x的值,使向量与共线;
(2) 当向量与共线时,点A, B, C, D是否在一条直线上 [7] (见学生用书P49)
[处理建议] 在第(2)小问中,由于∥已知,故只要A, B, C三点共线,即只要讨论与是否共线就可.
[规范板书] 解 (1)=(x, 1), =(4, x).∵∥,∴ x2=4, x=±2.
(2) 由已知得=(2-2x, x-1).
当x=2时, =(-2, 1), =(2, 1), ∴ 和不平行,此时A, B, C不在一条直线上;
当x=-2时, =(6, -3), =(-2, 1),
∴ ∥,此时A, B, C三点共线.
又∵∥,∴ A, B, C, D四点在一条直线上.
综上,当x=-2时, A, B, C, D四点在一条直线上.
[题后反思] 由点共线转化为共起点向量共线,同样由共起点的向量共线证明三点共线.
【例4】 在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中,O为坐标原点,点A(-2, 1), B(1, 3),求线段AB的中点M和三等分点P, Q(点P靠近点A)的坐标. (见学生用书P50)
[处理建议] 本题涉及中点坐标公式及共线向量的坐标运算,点M的坐标可由中点坐标公式得到,点P, Q的坐标由已知=, =2,设出点P, Q的坐标,然后利用相等的向量其坐标对应相等建立方程组即可求出点P, Q的坐标.
[规范板书] 解 方法1:∵ =-=(1, 3)-(-2, 1)=(3, 2),
∴ =(+)=[(-2, 1)+(1, 3)]=,
=+=(-2, 1)+(3, 2)=,
=+=(-2, 1)+(3, 2)=,
∴ M, P, Q.
方法2:设M(x, y),∵ M是线段AB的中点, ∴ x==-, y==2, ∴ M.
又∵ P为AB的三等分点,∴ =.
设点P的坐标为(m, n),则=(m+2, n-1), =(1-m, 3-n). 又∵ =,
∴ 解得
∴ 点P的坐标为,同理可得Q.
四、 课堂练习
1. 当x=-6时,向量a=(2, -3)与b=(x, 9)平行.
2. 已知向量a=(1, 1), b=(2, x).若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是2.
提示 方法1:因为a=(1, 1),b=(2, x),所以a+b=(3, x+1), 4b-2a=(6, 4x-2).由a+b与4b-2a平行,得6(x+1)-3(4x-2)=0,解得x=2.
方法2:因为a+b与4b-2a平行,则存在常 ( http: / / www.21cnjy.com )数λ,使a+b=λ(4b-2a),即(2λ+1)a=(4λ-1)b.根据向量共线的条件知向量a与b共线,故x=2.
3. 已知向量=(3, -4),=(6, -3),=(5-m, -3-m),若点A, B, C构成三角形,则实数m的取值范围为{m|m≠且m∈R}.
提示 =-=(3, 1),=-=(2-m, 1-m).因为点A, B, C构成三角形,所以不平行于,即3(1-m)≠1(2-m),从而m≠.
五、 课堂小结
1. 本节课主要学面向量平行的坐标表示,会用平面向量平行的坐标形式证明三点共线和两直线平行(重合).
2. 向量平行(共线)的两种表示形式:(1 ( http: / / www.21cnjy.com ))b=λa(a≠0);(2)a=(x1, y1), b=(x2, y2), a∥b x1y2-x2y1=0.
第9课时 向量的数量积(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 前面已经学过向量加法 ( http: / / www.21cnjy.com )、减法和实数与向量的乘法,它们有一个共同的特点,即运算的结果还是向量,那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢 如果有,这种“乘法”运算的结果是什么量呢
联想:物理中,功就是矢量与矢量“相乘”的结果.
问题2 物理学中,一个物体在力F的作用下发生了位移s,那么该力对此物体所做的功是如何计算的
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
通过对物理公式:W=|F‖s|cosθ(其中θ是F与s的夹角)的分析,得到如下结论:
(1) 功W是两个向量F和s的某种运算结果,而且这个结果是一个数量;
(2) 功不仅与力和位移的大小有关,而且还与它们的方向有关,具体地,它和力F与位移s的夹角有关.
由此可见,“求功运算”是一种新的向量运算,不同于我们以前学习过的其他数学运算.
二、 数学建构
1. 平面向量数量积(内积)
已知两个非零向量a和b,它们的夹 ( http: / / www.21cnjy.com )角是θ,我们把数量|a‖b|cosθ叫做向量a和b的数量积(内积),记作a·b,即a·b=|a‖b|cosθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为零.
可见,功W就是两个向量F和s的数量积.
2. 两个向量的夹角
问题3 向量数量积(内积)的定义中,提到了“两个向量的夹角”的概念,它究竟代表什么意义呢
从问题情境中的力和位移的夹角出发,得到下面的结论:
对于两个非零向量a和b,作=a, =b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(这里要特别强调找向量的夹角两向量要移到共同的起点)
当θ=0°时, a与b同向;当θ=180°时, a与b反向;当θ=90°时,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.
理解概念
(1) 当a≠0且b≠0时, a·b=|a ( http: / / www.21cnjy.com )‖b|cosθ;而当a=0或b=0时,由于零向量的方向是不确定的,因此我们不定义零向量与其他向量的夹角,为了定义的完整性.特别规定:零向量与任一向量的数量积为零.
(2) 两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由cosθ的符号所决定.
(3) 向量的数量积a·b中的符号“·”,既不能省略,也不能写成“×”, a×b是向量的另外一种运算,不是数量积.
三、 数学运用
【例1】 (教材第84页例1)已知向量a与b的夹角为θ, |a|=2, |b|=3,分别在下列条件下求a·b:
(1)θ=135°; (2)a∥b; (3)a⊥b.(见学生用书P51)
[处理建议] 本题主要是巩固概念,对数量积的定义简单应用,可以由学生结合定义给出答案.
[规范板书] 解 (1)a·b=|a‖b|cosθ=2×3×cos135°=-3.
(2) 当a∥b时,则θ=0°或θ=180°.
若θ=0°, a·b=|a‖b|=6;若θ=180°, a·b=-|a‖b|=-6.
(3) 当a⊥b时, a·b=0.
[题后反思] 注意第(2)小题中共线有两种情况.
问题1 在理解例1的基础上,思考数量积有哪些性质 [3]
由平面向量数量积的定义和向量夹角的定义可知:
(1) 当a与b同向时, a·b=|a‖b|;
(2) 当a与b反向时, a·b=-|a‖b|;
(3) a·a=a2=|a|2, |a|=;
(4) 当a⊥b时, a·b=0.
问题2 定义了向量的数量积运算,那么它的运算遵循什么规律呢 即向量数量积的运算律是什么
设向量a, b, c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律:
(1) a·b=b·a;
(2) (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b;
(3) (a+b)·c=a·c+b·c.
【例2】 已知向量a与b的夹角为120°, |a|=2, |b|=3,求:
(1) (a+b)·(a-b);
(2) |a-b|.(见学生用书P52)
[处理建议] 本题是向量的综合运算,第 ( http: / / www.21cnjy.com )(1)小问可让学生根据向量数量积的运算律自主求解;第(2)小问引导学生思考:怎样建立模与向量数量积运算的联系
[规范板书] 解 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=-5.
(2) 因为|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=19,所以|a-b|=.
变式 根据例2中的条件求|a+2b|.
[规范板书] 解 因为|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=28,所以|a+2b|=2.
[题后反思] 由解题结果知数量积满足平方差公式、完全平方公式.
【例3】 已知x=a+b, y=2a+b,且|a|=|b|=1, a⊥b.
(1) 求|x|, |y|;
(2) 若x与y的夹角为θ,求cosθ的值. (见学生用书P52)
[处理建议] 求向量的模,先求这个向量的平方,再展开完全平方式,代入已知条件求值;求向量的夹角,按照夹角公式求解.
[规范板书] 解 (1) 因为|x|2=x2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=2,所以|x|=.
因为|y|2=y2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=5,所以|y|=.
(2) 因为x·y=(a+b)·(2a+b)=2a2+3a·b+b2=3,所以cosθ==.
[题后反思] 这个例题是常见考察向 ( http: / / www.21cnjy.com )量数量积运算的范例,解决它的思路、方法和过程,都遵循一定的套路.因此要有一定的训练,使学生熟练掌握解决此类问题的步骤.
四、 课堂练习
1. 有下列命题:①若a·b= ( http: / / www.21cnjy.com )0,则a=0,或b=0;②若a⊥b,则a·b=0;③若a≠0,且a·b=a·c,则b=c;④对任意向量a,都有a2=|a|2.其中正确的是②④.
2. 在 ABCD中,已知||=4, ||=3, ∠DAB=60°,那么·=-16,·=6.
提示 ∵ 与方向相反,∴ ·=-||·||=-16. ∵ =, ∴ ·=·=6.
3. 已知向量a, b满足|a|=2, |b|=1,且a与b的夹角为120°,求b·(2b-3a)的值.
解 b·(2b-3a)=2b2-3a·b=2×12-3×2×1×cos120°=2-(-3)=5.
五、 课堂小结
本节课主要学习了数量积的定义、性质,数量积的运算律.
第10课时 向量的数量积(2)
教学过程
一、 问题情境
问题1 根据向量数量积的定义,功W就是 ( http: / / www.21cnjy.com )两个向量F和s的数量积.那么,力F在位移s方向上所做的功如何表示 (如图1, b表示力, a表示位移)
力F在位移s方向上所做的功,就是力F在位移s方向上的分量与s的数量积(与s同向、反向或为0).
二、 数学建构
1. 投影的概念
定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.
(一) 理解概念
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
① 投影也是一个数量,不是向量;
② 当θ为锐角时(图1), 与a同向,投影为正值;当θ为钝角时(图2), 与a反向,投影为负值;当θ为直角时(图3),投影为0;当θ=0°时,投影为|b|;当θ=180°时,投影为-|b|.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
问题2 向量的数量积的几何意义是什么
数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.
(二) 巩固概念
练习 已知向量a, b满足|a|=8, |b|=3,它们的夹角为θ.当θ=30°时, a在b上的投影为4;当θ=90°时, a在b上的投影为0;当θ=120°时, a在b上的投影为-4.
2. 对上节课运算律的简要证明
(1) 交换律:a·b=b·a.
证明 设a, b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|·cosθ, b·a=|b|·|a|·cosθ, ∴ a·b=b·a.
(2) 数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
证明 当λ=0时,此式显然成立.
当λ>0时, (λa)·b=λ|a ( http: / / www.21cnjy.com )‖b|cosθ, λ(a·b)=λ|a‖b|cosθ, a·(λb)=λ|a‖b|cosθ, ∴ (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
当λ<0时, (λa)·b=|λa‖b|cos(π-θ)=-λ|a‖b|(-cosθ)=λ|a‖b|cosθ,
λ (a·b)=λ|a‖b|cosθ,
a·(λb)=|a‖λb|cos(π-θ)=-λ|a‖b|(-cosθ)=λ|a‖b|cosθ,
∴ (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
综上可知(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)成立.
(3) 分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
如图4,在平面内取一点O,作=a, =b, =c,则=a+b.
∵ a+b在c方向上的投影等于a, b在c方向上的投影和,
即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2,
∴ |c‖a+b|cosθ=|c‖a|cosθ1+|c‖b|cosθ2, ∴ c·(a+b)=c·a+c·b,
即(a+b)·c=a·c+b·c.
问题3 向量的数量积是否满足结合律
分析 若有(a·b)c=a(b·c) ( http: / / www.21cnjy.com ),设a, b夹角为α, b,c夹角为β,则(a·b)c=|a|·|b|cosα·c, a·(b·c)=a·|b‖c|cosβ.当a=c, α=β时,|a|=|c|,进而有(a·b)·c=a·(b·c),这是一种特殊情形,一般情况下不成立.
举反例如下:已知|a|=1, |b|=1, |c|=, a与b的夹角是60°, b与c的夹角是45°,则(a·b)·c=|a|·|b|cos60°·c=c, a·(b·c)=|b|·|c|cos45°·a=a.而c≠a,故(a·b)·c≠a·(b·c).
三、 数学运用
【例1】 已知|a|=5, |b|=4, a与b的夹角为60°,问:当k为何值时,(ka-b)⊥(a+2b)
(见学生用书P53)
[处理建议] 将两向量垂直转化为其数量积为0,再根据向量的运算法则,由学生自主解题.
[规范板书] 解 ∵ |a|=5, |b|=4, a与b的夹角为60°,
∴ a·b=|a‖b|cos60°=5×4×=10.
若(ka-b)⊥(a+2b),则(ka-b)·(a+2b)=0,
∴ ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,
∴ k×52+(2k-1)×10-2×42=0,解得k=.
即当k=时,(ka-b)⊥(a+2b).
[题后反思] 向量的数量积的运算要熟练、准确.
【例2】 (教材89页习题2.4第16 ( http: / / www.21cnjy.com )题)已知a, b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直, a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角. (见学生用书P54)
[处理建议] 将两向量垂直转化为其数量积为0,再引导学生用方程的思想去发现两向量之间的关系.
[规范板书] 解 由题意可得(a+3b)·(7a-5b)=0,即7a2+16a·b-15b2=0; ①
(a-4b)·(7a-2b)=0,即7a2-30a·b+8b2=0. ②
①-②得2a·b=b2,代入①或②得a2=b2.
设a, b的夹角为θ,则cosθ===, ∴ θ=60°,即a与b的夹角为60°.
[题后反思] 向量的数量积的计算公式,不仅要熟练掌握,还要深入了解它的变形形式.
【例3】 若O为△ABC所在平面内任意一点,且满足(-)·(+-2)=0,试判断△ABC的形状. (见学生用书P54)
[处理建议] 先让学生回顾向量的加、减运算法则,再运用它们及已知条件寻求△ABC中边之间的关系.
[规范板书] 解 由(-)·(+-2)=0,得·(-+-)=0,
∴ ·(+)=0,
∴ (-)·(+)=0,
∴ -=0,即=||2,
∴ ||=||, ∴ △ABC是等腰三角形.
[题后反思] 用向量方法解决几何的问题,是向量应用的重要组成部分,体现了向量是一个“数”与“形”的结合体.
变式 用向量方法证明:菱形对角线互相垂直.
[规范板书] 已知:四边形ABCD是菱形,AC, BD是其对角线.求证:⊥.
证明: 设==a, ==b.
∵ 四边形ABCD为菱形,∴ |a|=|b|,
∴ ·=(b+a)·(b-a)=b2-a2=|b|2-|a|2=0, ∴ ⊥.
四、 课堂练习
1. 在△ABC中,已知||=||=4,且·=8,则△ABC的形状是等边三角形.
提示 因为cos∠BAC==,所以∠BAC=60°.又因为||=||=4,所以△ABC为等边三角形.
2. 设向量a, b满足|a|=|b|=1, a·b=-,则|a+2b|=.
3. 已知向量a, b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1, |b|=2,则a与b的夹角为60°.
4. 已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与ka-b垂直,则k=1.
五、 课堂小结
1. 向量数量积的几何意义.
2. 能运用向量数量积处理一些常见的问题,如①向量模的计算;②向量夹角的计算;③判断三角形的形状等.
第11课时 向量的数量积(3)
教学过程
一、 问题情境
问题1 已知两个向量a=(x1, y1), b=(x2, y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢
二、 数学建构
设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则
i·i=1, j·j=1, i·j=j·i=0.
∵ a=x1i+y1j, b=x2i+y2j,
∴ a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j)
=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2
=x1x2+y1y2.
这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.
问题2 已知a=(x, y),如何将|a|用其坐标表示
∵ a·a=a2=|a|2=x2+y2,
∴ |a|==.
问题3 设A(x1, y1), B(x2, y2),如何将||用A, B的坐标表示
设表示向量a的有向线段的起点是A(x1, y1),终点是B(x2, y2),则
=a=(x2, y2)-(x1, y1)=(x2-x1, y2-y1),
∴ ||=|a|=.
这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式.
问题4 前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗
(1) 两个非零向量a=(x1, y1), b=(x2, y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得
cosθ==.
(2) a⊥b a·b=0,可以写成a⊥b x1x2+y1y2=0.
(3) a∥b(b≠0) 存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b x1y2-x2y1=0.[3]
三、 数学运用
【例1】 已知向量a=( ( http: / / www.21cnjy.com )2, 1), b=(3, -1),求:(1) (3a-b)·(a-2b);(2) a与b的夹角θ.[4] (见学生用书P55)
[处理建议] (1)第(1)问是向 ( http: / / www.21cnjy.com )量的数量积坐标公式的直接应用,有两个运算方向:一是先展开再分别代入求解,二是先求每个因式的坐标再应用向量的数量积公式.(2)运用两向量夹角公式的坐标表示求解.
[规范板书] 解 (1) 方法1:因为a·b=2×3+1×(-1)=5,a2=22+12=5,b2=32+(-1)2=10,
所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×5+2×10=0.
方法2:因为3a-b=(3, 4), a-2b=(-4, 3),则(3a-b)·(a-2b)=-12+12=0.
(2) 因为a·b=5, |a|=, |b|=,
所以cosθ===.
因为θ∈,所以θ=.
[题后反思] (1)第( ( http: / / www.21cnjy.com )1)问的两种解法都是比较好的解法,都要求学生熟练掌握向量数量积的坐标运算.(2)求两个向量的夹角一般步骤:先算数量积,接着算每个向量的模,代入公式求余弦值,最后由角的范围写出角度.
【例2】 已知向量a=(1, 1), b=(0, -2),当k为何值时:
(1) ka-b与a+b共线;
(2) ka-b与a+b的夹角为120°. (见学生用书P55)
[处理建议] 先由向量a, b的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标得到向量ka-b, a+b的坐标,再分别由向量共线的坐标表示及两向量夹角公式建立关于参数k的方程,解方程即可.
[规范板书] 解 ∵ a=(1, 1), b=(0, -2),
∴ ka-b=k(1, 1)-(0, -2)=(k, k+2),
a+b=(1, 1)+(0, -2)=(1, -1).
(1) 由ka-b与a+b共线,得k+2-(-k)=0,解得k=-1.
(2) |ka-b|=, |a+b|==.
又∵ (ka-b)·(a+b)=(k, k+2)·(1, -1)=k-k-2=-2,而ka-b与a+b的夹角为120°, ∴ cos120°=,即-=,化简得k2+2k-2=0,解得k=-1±.
【例3】 (教材第87页例4)在△ABC中,设=(2, 3), =(1, k),且△ABC是直角三角形,求k的值. (见学生用书P56)
[处理建议] 用问题“Rt△ABC中哪个角是直角 ”引导学生分类讨论,再根据两向量垂直的坐标表示求解.
[规范板书] 解 若∠A=90°,则⊥,于是2×1+3×k=0,解得k=-.
若∠B=90°,则⊥,又=-=(-1,k-3),故得2×(-1)+3×(k-3)=0,解得k=.
若∠C=90°,则⊥,故1×(-1)+k(k-3)=0,解得k=.
所以,所求k的值为-或或.
变式 将例3中△ABC是直角三角形改为钝角三角形,其他条件不变,求k的取值范围.
[规范板书] 解 若∠A为钝角,则·<0,于是2×1+3×k<0,解得k<-.
同理,若∠B为钝角,解得k>;
若∠C为钝角,解得所以,所求k的取值范围是k<-或.
[题后反思] 题中未明确哪个角是 ( http: / / www.21cnjy.com )直角(钝角),所以要分类讨论.两向量的夹角是直角,其数量积为0;夹角是钝角,其数量积小于0.需要特别指出的是钝角在三角形中的位置与向量的夹角有区别.
四、 课堂练习
1. 已知向量a=(-2, 1), b=(1, -3),则a·b=-5,向量a与b的夹角为135°.
2.已知a+b=(-4, 6), a-b=(2, -8),则a·b=-4.
提示 由已知可得a=(-1, -1), b=(-3, 7),所以a·b=-4.
3. 已知向量a=(-3, 2), b=(-1, 0).若λa+b与a-2b垂直,则实数λ=-.
4. 已知平面内四点A(-1, 0), B(0, 2), C(4, 3), D(3, 1),则四边形ABCD为 ④ (填序号,从①正方形,②矩形,③菱形,④平行四边形中选择).
提示 由题目条件可得=,且·≠0,||≠||.
5. 已知△ABC的3个顶点为A(1, 2), B(4, 1), C(0, -1),求证:△ABC是等腰直角三角形.
解 因为=(3, -1), =(-1, -3), 所以·=0,所以∠BAC=90°.又tan∠ACB====1,所以∠ACB=45°,故△ABC是等腰直角三角形.
五、 课堂小结
1. 平面向量数量积的坐标公式,两向量垂直的坐标表示,两向量平行的坐标表示.
2. 向量长度(模)的公式、两点间的距离公式、两向量的夹角公式:(1)|a|==; (2)A(x1, y1), B(x2, y2), ||=;(3)cosθ==.
第12课时 向量的应用
教学过程
一、 问题情境
1. 向量是既有大小又有 ( http: / / www.21cnjy.com )方向的量,在实际问题中有很多这样的量,它们既有代数特征,又有几何特征.通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数形结合的桥梁.
2. 用数学知识解决实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com ),首先要将实际问题转化成数学问题,即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型,然后再通过对这个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量.许多物理问题可以转化为数学中的向量问题,所以向量也是解决许多物理问题的有力工具.
二、 数学运用
【例1】 如图(1),在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受的拉力为F.求:
(1) |F1|, |F2|随θ的变化而变化的情况;
(2) 当|F1|≤2|G|时,角θ的取值范围.[1] (见学生用书P57)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
(例1)
[处理建议] 本题涉及物理中力的合成与分解,即向量的合成与分解,引导学生对受力进行分析,利用平行四边形法则进行求解.
[规范板书] 解 (1) 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知:-G=F1+F2.如图(2),根据直角三角形可得|F1|=, |F2|=|G|·tanθ.
当θ从0°趋近90°时,|F1|, |F2|都逐渐增大.
(2) 令|F1|=≤2|G|,∵ θ∈[0°, 90°),得cosθ≥. ∴ 0°≤θ≤60°.
∴ 角θ的取值范围为0°≤θ≤60°.
[题后反思] 平面向量在物理中的应用非常广泛 ( http: / / www.21cnjy.com ),运用好平面向量这一工具可以解决很多物理问题,如力的合成、速度的合成等,这里一定要结合图象进行数形结合,才能使问题更为直观.
【例2】 (教材第91页例2)已知⊥, ⊥,求证:⊥.[2] (见学生用书P58)
[处理建议] 考虑到学生认知发展水平 ( http: / / www.21cnjy.com )的不同,可能会有一部分学生想到用数量积来证,也有一部分学生受到例1的影响,想到结合图形来解决问题,对此教师要有从数和形两个方面考虑解法的可行性.
[规范板书] 证明 ·=(+)·(+)=·+·+·=
·(++)=·=0,所以⊥.
[题后反思] 你能说出该命题的几何意义吗 (三角形三条高所在直线交于一点)
变式 设O是△ABC所在平面内的一点,且·=·=·,试判断O是△ABC的垂心.
[规范板书] 解 因为·=·,所以·(-)=0,即·=0,所以OB⊥CA.同理OC⊥AB,OA⊥BC.所以O是△ABC的垂心.
【例3】 (教材第92页 ( http: / / www.21cnjy.com )例3)已知直线l经过点P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点,P(x, y)是直线l上的任意一点,用向量的方法求x, y之间的关系.[3] (见学生用书P58)
[处理建议] 根据题设条件知P1, P2, P均在直线l上,即可用共线向量方面的相关知识解题.
[规范板书] 解 设P(x, y)是直线l上的任意一点,则=(x2-x1, y2-y1), =(x-x1, y-y1).
∵ P, P1, P2三点都在直线l上, ∴ 与是共线向量,
∴ (x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),这即为x, y之间的关系.
[题后反思] 把(x, ( http: / / www.21cnjy.com ) y)改为(x3, y3),我们就可以得到证明三点共线的一种方法. 方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)即为直线l的方程,这有别于直线的两点式方程,它没分母,也就没有两点式方程的局限性(不能表示跟坐标轴垂直的直线).
*【例4】 已知在△ABC中BC, CA, AB的长分别为a, b, c,试用向量方法证明:
(1) c=bcosA+acosB;
(2) c2=a2+b2-2abcosC.[4]
[处理建议] 先引导学生观察要证等式 ( http: / / www.21cnjy.com ),有abcosC结构,联想到向量数量积定义,把边长看成向量的模.对于第(1)小题,等式c=bcosA+acosB中项bcosA与数量积的差异在于缺少另一个向量的模作为因式,故联想到两边同乘以c.
[规范板书] 证明 (1) 因为=+,所以·=(+)·, 即||2=||·||cosA+||||cosB,亦即c2=bccosA+accosB, 所以c=bcosA+acosB.
(2) 因为=+,所以()2=(+)2=()2+()2+2·,即c2=b2+a2+2b·acos(180°-C),所以c2=a2+b2-2abcosC.
[题后反思] 要证明一个代数等式,往往 ( http: / / www.21cnjy.com )在一个向量等式上进行加工转化,如:在向量等式两边同时点乘一个向量,或把向量等式两边平方,就可以转化为代数等式.
三、 课堂练习
(第1题)
1. 一只船以10km/h的速度沿垂直于河对岸的方向航行,船实际行驶的方向与水流方向成60°角,求水流速度的大小与船实际行驶速度的大小.
解 如图,表示船垂直于河对岸行驶的速度,表示水流速度,
表示船的实际速度.由题意知∠NOP=60°,
||=10.
因为四边形OMPN是矩形,从而||=||sin60°=10,
所以||==,从而||=
||cos60°=×=.
因此,水流速度的大小为km/h,船的实际速度的大小为km/h.
2. 用向量的方法证明勾股定理.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题)
已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c, CA=b, CB=a,求证:c2=a2+b2.
证明:如图,=-, ||2=|-|2=||2-2·+||2=||2+||2, ∴ c2=a2+b2.
四、 课堂小结
用向量方法解决一些简单的几何问题和力学问题的步骤:先把问题转化为向量问题,列出几个向量满足的约束条件,再用向量的知识和方法求解.
第13课时 本 章 复 习
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知i, j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,如果=i-2j, =i+mj,那么是否存在实数m,使A, B, C三点共线 (见学生用书P59)
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路 ( http: / / www.21cnjy.com ),可能是“用假设法,根据向量共线定理求解m的值”.再引导学生思考可否用向量的坐标运算解题,最后让学生比较两种方法各自的优缺点.
[规范板书] 解法一 假设存实数m,使得A, B, C三点共线,
∴ 存在实数λ,使得=λ,即i-2j=λ(i+mj), ∴ ∴ m=-2.
即当m=-2时,A, B, C三点共线.
解法二 假设存在实数m,使得A, B, C三点共线.
由题意知=(1, -2), =(1, m).
∵ A, B, C三点共线,∴ ∥,
∴ 1·m=1·(-2), ∴ m=-2.
即当m=-2时,A, B, C三点共线.
[题后反思] 让学生通过一题多解的训练 ( http: / / www.21cnjy.com ),认识知识之间的联系,提高学生用所学知识和技能解决实际问题的能力,学会举一反三.当出现三点共线时,转化为共起点的两个向量共线问题来求解.
变式 已知a=(1, 2), b=(-3, 2),当k为何值时:
(1) ka+b与a-3b垂直
(2) ka+b与a-3b平行 平行时是同向还是反向
[规范板书] 解 ka+b=(k-3, 2k+2), a-3b=(10, -4).
(1) ∵ (ka+b)⊥(a-3b),
∴ (ka+b)·(a-3b)=0,
∴ 10(k-3)+(2k+2)·(-4)=0,
∴ k=19.
即当k=19时,ka+b与a-3b垂直.
(2) ∵ (ka+b)∥(a-3b),
∴ (-4)(k-3)=10(2k+2),
∴ k=-.
∵ 3a+b=,
∴ 3a+b=-(a-3b).
即当k=-时,ka+b与a-3b平行且反向.
[题后反思] 本题考查向量平行、垂直的条件: ( http: / / www.21cnjy.com )a=(x1, y1), b=(x2, y2),则a⊥b x1x2+y1y2=0; a∥b x1y2=x2y1;两个共线向量方向相同还是相反取决于b=λa (a≠0)中实数λ的符号:λ>0时,它们同向,λ<0时,它们反向.
(例2(1))
【例2】 如图(1),AB是半圆O的直径,C, D是弧AB的两个三等分点,M, N是线段AB的两个三等分点.若||=6,求·的值.(见学生用书P60)
[处理建议] 由于·无法直接求解,引导学生将和用已知向量来表示,再根据向量的运算法则求解(基向量法);也可引导学生建立适当的坐标系,再根据向量的坐标运算求解(坐标法).
[规范板书] 解法一 =-, =-.
依题意知||=||=6, ||=||=2, ∠NOD=∠MOC=120°, ∠DOC=60°,
∴ ·=6×6×cos60°=18,
·=6×2×cos120°=-6,
·=6×2×cos120°=-6,
·=2×2×cos180°=-4,
∴ ·=(-)·(-)=18-(-6)-(-6)+(-4)=26.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2(2))
解法二 建立如图(2)所示的直角坐标系xOy,则M(-2, 0), N(2, 0), C(3, 3), D(-3, 3),
∴ =(-1, 3), =(1, 3),
∴ ·=(-1)×1+3×3=26.
变式 如图(1), 在△ABC中,∠BAC=120°, AB=AC=2,D为BC上一点,且·=0, =2,求·的值.(见学生用书P60)
(变式(1))
[规范板书] 解法一 由题意知, =(+),=+=+=+.
∵ ||=||=2, ∠BAC=120°,
∴·=2×2×cos120°=-2,
∴ ·=(+)·+=×4+×(-2)+×(-2)+×4=1.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式(2))
解法二 建立如图(2) 所示的直角坐标系xDy,
则A(0, 1), D(0, 0),E,
∴ =, =(0, -1),
∴ ·=×0+(-1)×(-1)=1.
[题后反思] 例题和变式的解法 ( http: / / www.21cnjy.com )一都是用基向量法求解,基向量法可选用同一组基底表示所求向量(如变式),也可以选取几个已知向量表示所求向量(如例2).有些题目可以根据直角建立直角坐标系,用坐标法解题更方便.
【例3】 已知向量a=(1, 1),a与b的夹角为π,且a·b=-1.
(1) 求向量b;
(2) 若b与c=(1, 0)垂直,向量ta+kb与2a-t2b平行,试求的最大值.(见学生用书P60)
[处理建议] 对于第(1)小问,让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生根据向量数量积的定义及坐标运算列方程组求解;对于第(2)小问,引导学生挖掘题目中的隐含条件,然后根据平行求出k与t之间的关系,最后利用二次函数的知识求最值.
[规范板书] 解 (1) 设b=(x, y).∵ a·b=-1, ∴ x+y=-1. ①
∵ a与b的夹角为π, ∴ -1=··cosπ,即x2+y2=1. ②
由①②得或
即b=(0, -1)或b=(-1, 0).
(2) ∵ b⊥c, c=(1, 0),∴ b=(0, -1),
∴ ta+kb=(t, t-k),2a-t2b=(2, 2+t2).
又∵ (ta+kb)∥(2a-t2b),
∴ t(2+t2)=2(t-k),∴ k=-,
∴ =-+t=-(t-1)2+,
即当t=1, k=-时,取得最大值.
[题后反思] 本题主要训练学生综合运用所学知识解决问题的能力,及利用转化的思想建立函数模型的能力.
变式 已知向量a=(sinθ, 1), b=(1, cosθ), θ∈.
(1) 若a⊥b,求θ;
(2)若|a+b|=+1,求tanθ的值. (见学生用书P60)
[规范板书] 解 (1) ∵ a⊥b, ∴ a·b=sinθ+cosθ=0,∴ tanθ=-1.
∵θ∈,∴ θ=-.
(2) ∵ a+b=(sinθ+1, 1+cosθ),
∴ |a+b|===+1,
两边平方化简得sinθ+cosθ=,①
两边再平方化简得sinθcosθ=.②
由①②解得sinθ=cosθ=,
∴ tanθ==1.
[题后反思] 本题以向量的知识作为背景,实际上已经将问题化为三角函数的问题.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
【例4】 如图,M是△ABC内一点,且满足+2+ 3=0,延长CM交AB于N,令=a,试用a表示. (见学生用书P60)
[处理建议] 引导学生根据向量的加法转化已知条件,再根据向量共线定理及平面向量基本定理求出与的关系.
[规范板书] 解 ∵ =+, =+,
∴ +2+3=(+)+2(+)+3=+2+3+3=0.
又∵ A, N, B三点共线,C, M, N三点共线,
∴ 存在实数λ, μ,使得=λ, =μ,
∴ λ+2+3+3μ=0,
即(λ+2)+3(μ+1)=0.
又∵ 与不共线,
∴ 解得
故=+=2=2a.
[题后反思] (1) 若a, b是两个不共线向量,且ta+sb=0,则t=s=0.
(2) 灵活运用向量的运算法 ( http: / / www.21cnjy.com )则及平面向量基本定理是求解本题的关键,本题是向量方法在平面几何中的运用,培养学生读图、识图的能力,有利于学生领悟数形结合的思想.
变式 在正三角形ABC中,点D, E分别在AB, BC上,且=2, =2, AE, CD交于点P,求证:BP⊥DC.
[处理建议] 要证明BP⊥DC,即证·=0.根据平面向量基本定理,选取合适的基底表示, ,再根据向量的运算法则化简证明.
[规范板书] 证明 设=λ,则=+=+λ=+·λ=+λ.
又=-=-, , 共线,
∴ 存在实数μ,使得=μ,
∴ 解得
于是=+=+=+,
∴·=+
=--·
=--××cos60°
=0,
∴ BP⊥DC.
[题后反思] 利用向量数量积为0证明两直线垂直,这是常用的方法.
二、 补充练习
1. 设向量a=(4, -3), b=(2, 1).若a+tb与b的夹角为45°,则t=1.
提示 a+tb=(4+2t, t-3),由a+tb与b的夹角为45°,得2(4+2t)+(t-3)=··,化简得t2+2t-3=0,解得t=-3或t=1,又∵ (a+tb)·b>0,即2(4+2t)+(t-3)>0,∴ t>-1, ∴ t=1.
2. 在△ABC中,∠A=90°,AB=1, AC=2,点P, Q满足=λ, =(1-λ),λ∈R.若·=-2,则λ=.
提示 由题意知,·=0, =+=-+(1-λ), =+=λ-.由·=-2,得[(1-λ)-]·[λ-]=-2,即(λ-1)-λ=-2, ∴ 4(λ-1)-λ=-2,解得λ=.
3. 已知=(2, 1), =(3, -2), =(6-m, -3-m).
(1) 若点A, B, C共线,求实数m的值;
(2) 若△ABC为直角三角形,求实数m的值.
解 =-=(1, -3), =-=(4-m, -4-m),=-=(3-m, -1-m).
(1) ∵ 点A, B, C共线,∴ ∥,
∴ -3(4-m)=1·(-4-m),
解得m=2.
(2) ① 若∠A为直角,则⊥,
∴ 4-m+3(4+m)=0,
解得m=-8.
② 若∠B为直角,则⊥,
∴ 3-m+3(1+m)=0,
解得m=-3.
③ 若∠C为直角,则⊥,
∴ (4-m)(3-m)+(4+m)(1+m)=0,
方程无解.
综上,当m=-8或m=-3时,△ABC为直角三角形.
三、 课堂小结
1. 了解向量知识网络结构,进一步熟悉向量的基本概念及运算律.
2. 向量在函数、三角函数中的重要作用,数量积的应用,平行与垂直条件在解题中的作用,向量的几何运算在解决平面几何问题和物理问题中的作用.
3. 基本数学思想:转化思想、类比思想、数形结合思想、分类讨论思想.
第1课时 向量的概念及表示
教学过程
一、 问题情境
1. 情境:
湖面上有三个景点O, A, B(如图1) ( http: / / www.21cnjy.com ),一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B,从景点O到景点A有一个位移,从景点A到景点B也有一个位移.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
2. 问题:
(1) 位移和距离这两个量有什么不同
(2) 我们知道物理中的力、速度、位移等都 ( http: / / www.21cnjy.com )是矢量,不同于路程、质量等,它们具有什么样的共同特征 你能举出几个具有以上特征的量吗 年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
引导学生思考、讨论上面的问题,从而引出以下概念.
(1) 定义:既有大小又有方向的量叫向量,如位移、力、速度、加速度等.
(2) 向量的表示方法
1° 几何表示法:有向线段——具有一定方向的线段,如;
2° 字母表示法:如a.
(3) 模的概念:向量的大小称为向量的模,记作||,模是可以比较大小的.
(4) 两个特殊的向量
1° 零向量:长度(模)为0的向量,记作0.0的方向是任意的.
2° 单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.
引导学生思考下面的问题:
观察图2,在中心为O的正六边形ABCDEF中,
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
向量与向量, 有什么关系
向量与向量有什么关系
向量与向量有什么关系
向量, , , , 有什么关系
(5) 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a, b平行,记作a∥b.规定:0与任一向量平行.
(6) 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a, b相等,记作a=b.规定:0=0.
(7) 相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
(8) 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量.
如图3,=a, =b, =c,且a∥b∥c,则向量a, b, c可以平移到一条直线上.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
(二) 理解概念
(1) 数量与向量的区别:数量只有大小,可以比较大小;向量既有方向又有大小,不能比较大小(强调).
(2) 0与0的区别:0是向量,是有方向的(虽然方向是任意的);0是数量,没有方向.
(3) 任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,与起点无关.
(三) 巩固概念
桌面上,质量相同的两个物体A和B,它们所受的重力是否相等 它们所受的重力对应的向量是否相等
解 因为它们所受的重力的作用点不同,所 ( http: / / www.21cnjy.com )以它们所受的重力不相等.因为它们所受的重力对应的向量大小相等,方向相同,所以它们所受的重力对应的向量相等.这说明数学中研究的向量是自由向量,只有两个要素:大小和方向.
三、 数学运用
【例1】 下列命题中正确的是 (填序号).
① 向量a与b共线, b与c共线,则a与c也共线;
② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点;
③ 向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;
④ 有相同起点的两个非零向量不平行.[3]
(见学生用书P35)
[规范板书] 解 对于①, ( http: / / www.21cnjy.com )考虑到b可能是零向量,所以①错;对于②,考虑到两个向量可能在同一条直线上,所以②错;对于④,向量平行不同于直线平行,所以④错.显然③正确,故填③.
[题后反思] 向量平行不同于直线平行:若两直线重合,则它们不平行;若两向量在一条直线上,则它们必平行,共线向量即为平行向量.
【例2】 (教材第60页例1)已知O为正六边形ABCDEF的中心,在下图所标出的向量中:
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
(1) 试找出与共线的向量;
(2) 确定与相等的向量;
(3) 与相等吗 [4] (见学生用书P36)
[处理建议] 在学生充分了解正六边形的几何性质的基础上,让其自主解题;再充分利用图形,多问几个问题,全面覆盖本节课的内容.
[规范板书] 解 (1)与共线的向量有和.
(2) 与长度相等且方向相同,故=.
(3) 虽然∥,且||=||,但它们方向相反,故这两个向量并不相等.
变式1 在图中标出的向量中,与向量模相等的向量有多少个
[规范板书] 解 3个.
[题后反思] 向量相等要看两个要素(大小,方向),若有一个要素不同,则两向量不等.向量共线不同于几个点共线,也不同于几个线段共线.
变式2 如图,在以1cm×3cm方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,请写出以A为起点的不同向量,并求其大小.[5]
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式2)
[处理建议] 写出向量的关键是找出起点和终点,而求其大小就是求向量的模,也即求起点、终点两点间的距离.
[规范板书] 解 由图可知,以A为起点的向量有, , , , , , ,且||=1,
||=2, ||=3, ||=, ||=, ||=, ||=1.
[题后反思] 在求向量模的过程中,可借助勾股定理求解.
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(例3)
【例3】 如图,在四边形ABCD中,=,N, M分别是AD, BC上的点,且=,求证:四边形DNBM是平行四边形.[6] (见学生用书P36)
[处理建议] 由=可得到四边形ABCD为平行四边形,则AD BC.又由=可得到四边形CNAM为平行四边形,则AN CM,可得DN MB,从而可证明四边形DNBM为平行四边形.
[规范板书] 证明 ∵ =, ∴ AB DC, ∴ 四边形ABCD为平行四边形,∴ AD BC.
又∵ =, ∴ CN MA, ∴ 四边形CNAM为平行四边形,∴ AN CM, ∴ DN MB,
∴ 四边形DNBM为平行四边形.
[题后反思] 向量相等包括两方面的含义:长度相等和方向相同(即平行).
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(例4)
*【例4】 如图,已知半径为1的圆O上有8个等分点A, B, C, D, E, F, G, H,以图中标出的9个点为起点和终点作向量,那么
(1) 有多少个单位向量
(2) 有多少个模为的向量
(3) 与平行的向量有哪些 [7]
[规范板书] 解 (1) 共有16个单位向量.
(2) 圆周上,只隔一个点的两点所连的向量的模为,共有2×8=16个.
(3) 与平行的向量有, , , , .
[题后反思] 相反向量与原向量平行,且长度相等.向量平行(共线)只要关注:方向相同或相反,不要忘了方向相反的向量.
四、 课堂练习
1. 有下列命题:①向量的模是一个正 ( http: / / www.21cnjy.com )实数;②两个相等向量必是两个平行向量;③坐标平面上的x轴和y轴都是向量;④温度有零上温度和零下温度,所以温度是向量.其中真命题的个数是 1 .
2. 设点O为正方形ABCD的中心,在以正方形的顶点及点O为起点或终点的向量中,分别与, 相等的向量是 , .
3. 某人从A点出发向东走了5m到达B点,然后改变方向往东北方向走了10m到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10m到达D点,求的模.
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(第3题)
解 根据题意,画出图形如图所示, ∠ABD=90°, AB=5, BD=10,所以AD==5,故||=5.
五、 课堂小结
1. 向量的概念:定义、表示方法、零向量、单位向量.(三个定义,两种表示)
2. 向量的关系:平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量.(三个关系)
3. 两种思想:数形结合思想、分类讨论思想.
第2课时 向量的加法
教学过程
一、 问题情境
利用向量的表示,从景点O到景点A的位移为,从景点A到景点B的位移为,那么经过这两次位移后游艇的合位移是,如图1所示.
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(图1)
问题1 向量, , 三者之间有什么关系
经过两次位移后游艇的合位移是,两个连续位移的效果可用一个位移表示.
问题2 如何用数学语言来刻画三者之间的关系
+=.
问题3 还有哪些量的运算具有类似的性质 和数的运算有什么不同
物理学中,力、位移、速度、加速度等都有类似的运算,它们是向量的运算.
二、 数学建构
问题4 一般地,如何定义向量的加法运算
1. 向量的加法的含义
如图2,已知向量a和b,在平面内任取一点O,作=a, =b,则向量叫做a与b的和,记作a+b.即a+b=+=.
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(图2)
求两个向量的和的运算叫做向量的加法.
2. 向量加法的三角形法则
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
说明 三角形法则使用时应该“首尾相连”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的终点相连,若不“首尾相连”可通过平移使之“首尾相连”.
问题5 数的加法法则是什么 向量的加法满足吗
3. 向量运算(类比于数的加法)的法则
对于零向量和任一向量a,有a+0=0+a=a.
对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.
向量的加法满足交换律、结合律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).
通过作图方式验证向量的加法满足交换律.
如图3,作 OABC,使=a, =b,
则==a, ==b.
因为=+=a+b, =+=b+a,所以a+b=b+a.
(图3)
4. 向量加法的平行四边形法则
图3还表明,对于两个不共线的非零向量a, b,我们还可以作平行四边形来求两个向量的和.分别记作=a, =b,以OA, OB为邻边作 OABC,则以O为起点的对角线就是向量a与b的和.
我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.
说明 平行四边形法则使用时应该“共起点”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的起点相同,若不“共起点”可通过平移使之“共起点”.
同样,根据图4可以验证,向量的加法满足结合律.
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(图4)
思考 如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线,那么这n个向量的和是什么 (零向量)
三、 数学运用
【例1】 如图,在平行四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的对角线BD的延长线及反向延长线上分别取点F, E,使BE=DF,用向量的方法证明:四边形AECF是平行四边形.[2]
(见学生用书P37)
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(例1)
[处理建议] 由上一课时的例3知,要证明四边形AECF是平行四边形,只需证明=或=.
[规范板书] 解 =+, =+,
又∵ =, =,
∴ =,即AE, FC平行且相等,∴ 四边形AECF也是平行四边形.
[题后反思] 在运用向量方法进行证明时,常常运用向量加法法则(平行四边形法则、三角形法则)将向量进行转化.
【例2】 如图,已知D, E, F分别是△ABC三边AB, BC, CA的中点,求证:++=0.[3](见学生用书P38)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
[处理建议] 引导学生复习三角形边的中点具有的性质,构造平行四边形,联系向量的加法法则,使运算自然展开.
[规范板书] 证明 连接DE, EF, FD.因为D, E, F分别是△ABC三边的中点,所以四边形ADEF为平行四边形.
由向量加法的平行四边形法则,得+=.①
同理在 BEFD中,+=,②
在 CFDE在中,+=.③
将①②③式相加,得
++=+++++=(+)+(+)+(+)=0.
[题后反思] 此题有一定的难度,对于培养学生综合运用已有的知识解决问题的能力有促进作用.深化学生对向量加法法则的理解和运用.
【例3】 (教材第64页例2)在长 ( http: / / www.21cnjy.com )江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定 [4](见学生用书P38)
[处理建议] 此题利用向量方法解决实际问题,关键是问题的转化.即渡船的实际速度,船速与水速应满足+=.数学问题解决后一定要回到实际问题.
[规范板书] 解 如图,设表示水流的速度, 表示渡船的速度, 表示渡船的实际垂直过江的速度.
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(例3)
因为+=,所以四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中, ∠ACD=90°, ||=||=12.5, ||=25,所以∠CAD=30°.
答:渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°.
[题后反思] 明确解题的基本策略,先作出图示来认识活动过程,在直观感受的基础上,运用向量知识求解.
四、 课堂练习
1. 在矩形ABCD中,||=,||=1,则向量的模等于2.
2. 化简:(1) ++=;(2) ++++=0.
提示 ++++=++++=0.
3. 在正六边形ABCDEF中, =a, =b,则=a+b(用a, b表示).
提示 ==+=a+b.
4. 在Rt△ABC中,∠A=90°,若||=3,||=4,则|+|=5.
提示 在Rt△ABC中,|+|=||=5.
五、 课堂小结
1. 由物理学中的合位移推广得到向量的加法运算,类比数的运算得到向量的运算律.
2. 向量加法的三角形法则强调向量“首尾相连”,平行四边形法则强调向量“共起点”.
第3课时 向量的减法
教学过程
一、 问题情境
实数的加法与减法是什么关系 [2]
二、 数学建构
问题1 类似于实数的减法,你能定义向量的减法吗
向量的减法是向量的加法的逆运算.
若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,记为a-b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.
问题2 类似于向量的加法,你能作出向量减法的几何表示吗
作法:如图1、图2,在平面内任取一点O,作=a, =b.
(图1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
因为+=,即b+=a,所以=a-b.
这就是说,当向量a, b起点相同时,从b的终点指向a的终点的向量就是a-b.
由向量加法结合律可知,[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a,所以a-b=a+(-b).
这表明:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
三、 数学运用
【例1】 如图,已知向量a, b,求作a-b.[3]
(见学生用书P39)
( http: / / www.21cnjy.com )
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(例1)
[处理建议] 先让学生自主尝试作图,再进行抽象的理论概括.
[规范板书] 略.
[题后反思] 不同情形的作图方法归纳:当向量 ( http: / / www.21cnjy.com )a, b起点相同时, a-b由b的终点指向a的终点;当向量a, b终点相同时, a-b由a的起点指向b的起点;当向量a, b起点和终点都不同时,可以通过平移使之共起点或者共终点.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
【例2】 (教材第67页例2)如图, O是 ABCD对角线的交点,若=a, =b, =c,试证明:b+c-a=.(见学生用书P40)
[处理建议] 要证b+c-a=,只要证b+c=+a.
[规范板书] 证明 因为b+c=+=+=, +a=+=,
所以b+c=+a,即b+c-a=.
[题后反思] 解决这类问题的核心是应用向量加法或减法法则进行相互转化.本题还可以通过=+=++来证明,或者从c-a=-=-==+来证明.
【例3】 证明:对于任意两个向量a, b都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.[4]
(见学生用书P40)
[处理建议] 引导学生从不等式本身的几何意义出发,结合向量a, b是否为零向量、是否共线等情况分类讨论.
[规范板书] 证明 若a, b中至少有一个为零向量,则不等式显然成立.
若a, b都不是零向量,记=a, =b,则=a+b.
(1) 当a, b不共线时,如图甲所示,则在△OAB中,有|||-|||<||<||+||,即||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
(2) 当a, b共线时,若a, b同向,如图乙所示,||=||+||,即|a+b|=|a|+|b|;
若a, b反向,如图丙所示|||-|||=||,即||a|-|b||=|a+b|.
综上可知,||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
[题后反思] 此题要求学生 ( http: / / www.21cnjy.com )学会多角度分析问题,确定解题的立足点,讨论问题的全面性,培养学生的分类讨论的能力.也可证明:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
四、 课堂练习
1. 在四边形ABCD中,=+,则四边形ABCD的形状为平行四边形.
2. 下列各式中,能化简为的是①②④(填序号).
① +(-);
② (-)+(-);
③ --;
④ -+.
3. 在△ABC中, D, E分别为AB, AC的中点,则-=或.
4. 设D是正三角形ABC的BC边中点,若|-|=1,则|-|=.
提示 由条件可得||=2,从而可得||=2×=.
五、 课堂小结
1. 充分认识向量加减法的内在一致性.
2. 牢固掌握向量减法的运算法则,并能运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差.
第4课时 向量的数乘
教学过程
一、 问题情境
一艘船上午8点从某港口出 ( http: / / www.21cnjy.com )发,以vkm/h的速度向南偏东45°的方向航行,下午1点半该船到达何处 若设该船每小时的位移为a,则该船5.5小时的位移应如何表示
答 该船到达此港口南偏东45°的方向且距港口5.5vkm处;该船5.5小时的位移应为5.5a.
二、 数学建构
问题1 位移为5.5a,它是向量吗,有什么特点
问题2 向量5.5a可以看成什么运算的结果
问题3 一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,叫做向量的数乘,那它的方向、大小与向量a有什么关系
(1) |λa|=|λ‖a|;
(2) 当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;特别地,当λ=0或a=0时,λa=0.
问题4 类比于实数的运算,向量的数乘有哪些运算律
根据向量数乘的定义,可以验证向量的数乘满足下列运算律:
(1) λ (μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.
三、 数学运用
【例1】 如图(1),已知向量a, b,c,求作向量3a-2b+c.[2](见学生用书P41)
(例1(1))
[处理建议] 指导学生量化长度,辨析方向,动手操作,使学生在实际操作中增强对知识的理解、掌握程度.
[规范板书] 作法一 用三角形法则,如图(2).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1(2))
此时,由向量的加法可知向量=3a-2b+c为所求作的向量.
作法二 用平行四边形法则,如图(3).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1(3))
作=3a,=-2b,=c,分别以AB, AC为邻边作 ABDC,以 ABDC的对角线AD, AE为邻边作 AEFD,则向量=3a-2b+c为所求作的向量.
[题后反思] 向量的加法、减法、数乘是 ( http: / / www.21cnjy.com )向量的基本运算,不仅要掌握其运算法则,更应理解其几何意义.另外,在作向量的差时,一般把“差”转换成“和”来作;λa的几何意义也要十分清晰.
【例2】 (教材第69页例2)计算:
(1) 3(a-b)-2(a+2b);
(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).[3]
(见学生用书P42)
[处理建议] 本题类似于实数运算中的合并同类项,引导学生用此思想方法自主解题.
[规范板书] 解 (1)3(a-b)-2(a+2b)=3a-3b-2a-4b=a-7b.
(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)=4a+12b-6c+9a-12b+6c=13a.
[题后反思] 通过运算,更好地掌握向量的加、减和数乘运算,熟练运用向量的运算律.
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(例3)
【例3】 如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,N在BD上且BN=BD,求证:M, N, C三点共线.[4] (见学生用书P42)
[处理建议] 欲证M, N, C三点共线,只需证∥即可.
[规范板书] 证明 =-,
∵ =, ==(+),
∴ =+-=-, ①
=-=-. ②
由①②可得=3,即∥.
又∵ , 有公共点M, ∴ M, N, C三点共线.
[题后反思] (1) 证明点共线问题往往转化为证明有公共端点的向量共线问题;
(2) 如果两个向量共线,那么其中的一个向量可以由另一个(非零)向量的数乘来表示,即线性表示.自然得到向量共线定理.
一般地,对于两个向量a(a≠0)和b,有如下的向量共线定理:
如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0) ( http: / / www.21cnjy.com ),那么b与a(a≠0)是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.[5]
[规范板书] 证明 根据向量数乘的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义可知,对于两个向量a(a≠0)和b,如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a(a≠0)是共线向量.
反过来,如果向量b与a是共线向量,
当b与a同方向时,令λ=;当b与a反方向时,令λ=-;若b=0,则令λ=0.
从而有一个实数λ,使b=λa.
假设有两个实数λ, λ',使b=λa, b=λ'a,则b-b=(λ-λ')a=0,即|λ-λ'‖a|=0.
因为|a|≠0,所以λ-λ'=0,即λ=λ'.
从而有且只有一个实数λ,使b=λa.
[题后反思] (1) λ的符号决定着两个向量同向还是反向,λ的绝对值决定着两个向量的长度之间的倍数关系.
(2) 向量共线定理的一般形式:如果存在 ( http: / / www.21cnjy.com )不全为0的两个实数s, t,使ta+sb=0,则向量a, b共线;若a, b不共线,且ta+sb=0,则必有s=t=0.
四、 课堂练习
1. 计算:-3(4a-5b)=-12a+15b,
2(2a-3b)-4(3a-2b)=-8a+2b.
2. 若向量a,b, c满足(4a-3c)+3(5c-4b)=0, 则c=-a+b.
3. 已知点R在线段PQ上,且=,设=λ,则λ=-.
提示 由=,可知5=3(-),故=-,即λ=-.
4. 已知向量a=e1-e2, b=-3(e2-2e1),求证:a与b是共线向量.
证明 因为a=(2e1-e2), b=3(2e1-e2),所以b=6a,由向量共线定理知a与b是共线向量.
五、 课堂小结
1. 理解并掌握向量数乘的定义及运算律.
2. 理解向量共线定理,并能运用它判断两个向量是否共线.
第5课时 向量线性运算习题课
教学过程
一、 问题情境
梳理知识结构
( http: / / www.21cnjy.com )
二、 数学建构
问题1 向量的线性运算与数的运算有什么不同
问题2 向量线性运算的法则是什么
三、 数学运用
【例1】 设e是非零向量,若a+b=2e,2a-b=-3e,向量a与b是否平行 (见学生用书P43)
[处理建议] 要证明a与b平行,只要证明存在实数λ,使得a=λb(b≠0)即可.
[规范板书] 因为a+b=2e,所以e=(a+b).代入2a-b=-3e,得2a-b=-3·(a+b),化简得a=-b.
又若b=0,得a=2e且a=-e.
因为e是非零向量,所以a=2e与a=-e不可能同时成立,故b≠0.所以向量a与b平行.
[题后反思] 证明两向量a和b平行或共线,需要找出向量a和b之间存在的数量关系,因此在解题的过程中,消去向量e,问题得以解决.
【例2】 (教材第72页习题2.2第10题)如图,设P,Q是线段AB的三等分点,若=a, =b,试用a, b表示向量, . (见学生用书P44)
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(例2)
[处理建议] 本题主要从两个方面入手 ( http: / / www.21cnjy.com ):图形分析和向量运算.通过回忆向量加法的三角形法则,强调首尾相连,使学生在自主练习中巩固向量线性运算法则.
[规范板书] 解 因为=a-b,所以=+=a+b, =+=a+b.
[题后反思] 灵活运用向量加法法则是求解本题的关键,培养学生读图、识图的能力,使学生领悟数形结合的思想.
【例3】 (教材第71页例4)如图,在△OAB中, C为直线AB上一点,=λ(λ≠-1),求证:=.(见学生用书P44)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[处理建议] 引导学生将已知条件中的, 用结论式中的, , 表示,进而解出.
[规范板书] 证明 因为=-, =-,又=λ,
所以-=λ(-),
即(1+λ)=+λ.
又因为λ≠-1,即1+λ≠0,
所以=.
[题后反思] (1) 结合图形分析,明确解题思路,重点是向量加、减法的三角形法则的灵活运用;本题中,当λ=1,即C是AB中点时,有=(+).
(2) 本题所证明的结论=表明:起点为O,终点为直线AB上一点C的向量可以用, 表示.那么两个不共线的向量, 可以表示平面内任一向量吗 (可以表示,为后续学习平面向量基本定理做铺垫)
*【例4】 已知点G为△ABC的重心,过G作直线与AB, AC两边分别交于M, N两点,且=x, =y,求+的值.
[处理建议] 引导学生根据已知条件构造向量,运用向量共线定理建立方程组求解.
[规范板书] 解 因为G为△ABC的重心,故=(+),
所以=-=(+)-x=
-x+,
=-=y-=y-(+)=y--.
由于与共线,根据共线向量基本定理知存在实数λ,使=λ,即-x+=λ-,
从而得
即=,
化简得x+y-3xy=0,两边同除以xy得+=3.
[题后反思] 本题应抓住重心的性质表示出,熟练掌握向量的线性运算及共线定理,通过对式的合理变形,体会化归的思想,也培养学生的运算能力.
四、 课堂练习
1. 下列命题中真命题的个数为1.
① 若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
② 若=,则A, B, C, D是一个平行四边形的四个顶点;
③ 若a=b, b=c,则a=c;
④ 若a∥b, b∥c,则a∥c.
提示 只有③正确.
2. 在△ABC中,=a, =b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN, AM交于点P,则可用a, b表示为-a+b.
3. 设=x+y,且A, B, C三点共线(该直线不过点O),则x+y=1.
4. 已知x, y∈R,向量a, b不共线,若(x+y-2)a+(x-y)b=0,则x=1, y=1.
提示 由已知条件得解得
五、 课堂小结
1. 平面向量线性运算法则的巩固、强化,线性运算几何意义的理解.
2. 通过向量线性运算进一步体会“向量是既有大小又有方向的量”,同时感受向量在求解平面几何问题中的灵活应用.
第6课时 平面向量基本定理
教学过程
一、 问题情境[3]
1. 情境:火箭在升空的某一时刻,速 ( http: / / www.21cnjy.com )度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度(如下图所示).在力的分解的平行四边形法则中,我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
2. 问题:平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示
二、 数学建构
设e1, e2是平面内两个不共线的向量.
活动1 请同学们作出向量=2.5e1+1.5e2.[4]
活动2 a是平面内的任一向量,能否通过作图用e1, e2表示呢 [5]
如图2,在平面内任取一点O,作=e1, =e2, =a.过点C作平行于OB的直线,交直线OA于M;过点C作平行于OA的直线,交直线OB于N,则有且只有一对实数λ1, λ2,使得=λ1e1, =λ2e2.因为=+,所以a=λ1e1+λ2e2.
(图2)
问题1 是不是平面内每一个向量都可以分解成两个不共线的向量 这样的分解是否唯一
问题2 对于平面上两个不共线的向量e1, e2,是不是平面上所有的向量都可以用它们来表示 [6]
平面向量基本定理 如果e1, ( http: / / www.21cnjy.com )e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1, λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
我们把不共线的向量e1, e2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
一个平面向量用一组基底e1, e2表示 ( http: / / www.21cnjy.com )成a=λ1e1+λ2e2的形式,我们称它为向量的分解.当e1, e2互相垂直时,就称为向量的正交分解.
定理理解
(1)基底e1, e2必须不共线;
(2)λ1,λ2是被e1, e2, a唯一确定的实数对.
思考 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理,在内容和表述形式上有什么区别和联系 (平面向量基本定理是向量共线定理的推广)
三、 数学运用
【例1】 (教材第75页例1)如图, ABCD的对角线AC和BD交于点M,=a, =b,试用基底a, b表示, , 和.[7] (见学生用书P45)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
[处理建议] 引导学生利用关系式=+和=-,以及平行四边形的对角线互相平分来求解.
[规范板书] 解 =+=a+b, =-=a-b.
∵ 平行四边形的对角线互相平分,
∴ ==a+b, =-=-a-b,
∴ ==a-b, =-=b-a.
[题后反思] 根据平面向量基本定理,选择适当的基底,将有关向量用基底线性表示,这样可通过向量运算来解决有关问题.
变式 在 ABCD中, E和F分别是边CD和BC的中点,=λ+μ,其中λ, μ∈R ,则λ+μ=.[8]
[处理建议] 引导学生选择适当的基底解决问题;并讨论不同基底的解法,激发学生的创新意识.
[规范板书] 解 设=b, =a,则=b-a,=b-a,=b-a.
∵ =λ+μ,
∴
解得λ=μ=, ∴ λ+μ=.
【例2】 (教材第75页例3)设e1, e2是平面内的一组基底,如果=3e1-2e2, =4e1+e2, =8e1-9e2,求证:A, B, D三点共线.[9] (见学生用书P46)
[处理建议] 引导学生分析:欲证A, B, D共线,只需证明共起点的两个向量共线,让学生讨论“共起点”的必要性,提高学生思维的活跃性.
[规范板书] 证明 ∵ =++=(3e1-2e2)+(4e1+e2)+(8e1-9e2)=15e1-10e2=5(3e1-2e2)=5,∴ 与共线.
又∵ 与有公共的起点A,∴ A, B, D三点共线.
[题后反思] 当出现三点共线时,转化为共起 ( http: / / www.21cnjy.com )点的两个向量共线问题求解;选择适当的基底是寻求两向量共线的基础,即将共起点的两向量化归到一组基底线性表示,共线问题就很容易解决了.
变式 设两个非零向量e1和e2不共线.
(1) 如果=e1-e2, =3e1+2e2, =-8e1-2e2,求证:A, C, D三点共线;
(2) 如果=e1+e2, =2e1-3e2, =2e1-ke2,且A, C, D三点共线,求k的值.
[规范板书] 解 (1)=+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-,∴ 与共线.
又∵ 与有公共点C,∴ A, C, D三点共线.
(2) =+=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2.
∵ A, C, D三点共线, ∴ 与共线,
从而存在实数λ,使得=λ,
即3e1-2e2=λ(2e1-ke2),
∴ 解得λ=,k=.
【例3】 如图,在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com ),M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC, AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.[10] (见学生用书P46)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[处理建议] 分析题设中的条件,A, ( http: / / www.21cnjy.com )P, M三点共线,B, P, N三点共线,可得向量共线,从而可由向量共线定理和平面向量基本定理建立方程组求解.
[规范板书] 解法一 设=e1, =e2,则=+=-3e2-e1, =+=2e1+e2.
∵ A, P, M和B, P, N分别共线,
∴ 存在实数μ, λ, 使得=λ=-3λe2-λe1,=μ=2μe1+μe2,
∴ =-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=+=2e1+3e2,
∴ 解得
∴ =, =,
∴ AP∶PM=4∶1.
解法二 设=λ.
∵ =(+)=+.
∴ =+λ.
∵ B, P, N三点共线,
∴ 存在实数t,使得=t,
即-=t(-),
∴ =(1+t)-t,
∴ 解得λ=,
∴ AP∶PM=4∶1.
[题后反思] 解题的关键是由点共线转化为向量共线,体现了转化的数学思想.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
*【例4】 如图,在△OAB中,=, =,AD与BC交于点M,设=a, =b.
(1) 用a, b表示;
(2) 在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设=p, =q,求证:+=1.
[规范板书] 解 (1) 设=ma+nb,则=+=(m-1)a+nb, =+=-a+b.
∵ 点A, M, D共线,∴ 与共线,
∴ =, ∴ m+2n=1. ①
=-=a+nb, =-=-a+b.
∵ 点C, M, B共线,∴ 与共线,∴ =, ∴ 4m+n=1. ②
联立①②可得m=, n=, ∴ =a+b.
(2) =a+b, =-pa+qb,
∵ 与共线,∴ =, ∴ q-p·q=-p,即+=1.
四、 课堂练习
1. 在 ABCD中, =a, =b, =3, M为BC的中点,则=-a+b(用a, b表示).
提示 由=3,得4=3=3(a+b).由M是BC的中点得 =a+b,所以=(a+b)-(a+b)=-a+b.
2. 在△ABC中,D是AB边上一点,若=2, =+λ,则λ=.
提示 ∵ =2,∴ =+=+=+(-)=+,则λ=.
3. 设a, b是不共线向量,且a+2b=(x-1)a+yb,则x=2,y=2.
提示 ∵a, b不共线, ∴解得
4. 已知非零向量a, b不共线,若ma+b与a-nb平
行,则mn=-1 .
提示 ∵ ma+b与a-nb平行,∴ 存在实数λ,使得ma+b=λ(a-nb),∴解得mn=-1.
五、 课堂小结
1. 平面向量基本定理及其意义.
2. 运用平面向量基本定理解决一些平面几何的证明问题.
第7课时 平面向量的坐标运算(1)
教学过程
一、 问题情境
我们知道,在平面直角坐标系内,点M可以用坐标(x, y)表示.这种表示在确定点M的同时也确定了的长度及的方向.换句话说,向量也可以用坐标来表示.
二、 数学建构
问题1 平面向量基本定理的内容是什么 [2]
问题2 如图1,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底,那么如何用i, j表示呢 (=3i+4j)
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(图1)
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(图2)
对于向量a,如图2,根据平面向量基本定理又如何表示 (由平面向量基本定理可知有且只有一对实数x, y,使得a=xi+yj)
归纳1 平面向量的坐标表示
一般地,对于向量a,如图2,当它的起点移至原点O时,其终点坐标(x, y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x, y).
探究1 相等向量的坐标有关系吗
答 相等向量的坐标也相等,体现向量与其坐标的对应关系.
探究2 将表示向量的有向线段的起点移至坐标原点后有何结论呢 [3]
答 此时向量坐标就由这条有向线段的终点坐标唯一确定了.
问题3 当向量用坐标表示时,向量的加、减、数乘运算也都可以用相应的坐标来表示吗 [4]
设a=(x1, y1), b=(x2, ( http: / / www.21cnjy.com ) y2),那么a+b=(x1, y1)+(x2, y2)=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j=(x1+x2, y1+y2).
同理得a-b=(x1-x2, y1-y2),λa=(λx1,λy1).
归纳2 已知向量a=(x1, y1), b=(x2, y2)和实数λ,那么a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2),λa=(λx1,λy1).
问题4 向量的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系
如图3,已知A(x1, y1), B(x2, y2),则=-=(x2, y2)-(x1, y1)=(x2-x1, y2-y1).
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(图3)
归纳3 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.
三、 数学运用
【例1】 (教材第77页例1)如图,已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4, ∠xOA=60°,求向量的坐标.[5] (见学生用书P47)
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(例1)
[处理建议] 要求的坐标,即求点A的坐标,利用三角函数的定义即可求解.
[规范板书] 解 设点A(x, y),则x=4cos60°=2, y=4sin60°=6,即A(2, 6),所以=(2, 6).
[题后反思] 平面向量研究的主要是“形”的层 ( http: / / www.21cnjy.com )面和“数”的层面.“形”的层面借助于有向线段进行表示,“数”的层面通过坐标来对向量进行考察,本题将两个方面结合起来让学生体会.
【例2】 已知a=(2, 1), b=(-3, 4),求a+b, a-b, 3a+4b的坐标.[6] (见学生用书P47)
[处理建议] 让学生根据向量的加、减、数乘运算的坐标表示自主解题.
[规范板书] 解 ∵ a=(2, 1), b=(-3, 4), ∴ a+b=(2, 1)+(-3, 4)=(-1, 5), a-b=(2, 1)-(-3, 4)=(5, -3), 3a+4b=3(2, 1)+4(-3, 4)=(6, 3)+(-12, 16)=(-6, 19).
变式 已知a=(x, 2), A(1, -1), B(-2, y),且a=,求x, y的值.
[规范板书] 解 ∵ =(-2-1, y+1)=(-3, y+1)=a,∴ (-3, y+1)=(x, 2),
∴ 即
[题后反思] 若a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则a=b x1=x2且y1=y2.
【例3】 (1) 已知a=(-1, 2), b=(1, -1), c=(3, -2),且有c=pa+qb,试求实数p, q的值;
(2) 已知a=(2, 1), b=(1, -3), c=(3, 5),把a, b作为一组基底,试用a, b表示c.[7](见学生用书P48)
[处理建议] 对于(1),先用a, b的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标求出pa+qb的坐标,然后利用相等的向量其坐标对应相等建立方程组即可求出p, q的值;对于(2),可先设c=ma+nb,用(1)的方法求出m, n的值即可.
[规范板书] 解 ∵ a=(-1, 2), b=(1, -1), c=(3, -2),
∴ pa+qb=p(-1, 2)+q(1, -1)=(-p+q, 2p-q).
又∵ c=pa+qb,
∴ 解得
故所求p, q的值分别为1, 4.
(2) 设c=ma+nb, m, n∈R.
∵ ma+nb=m(2, 1)+n(1, -3)=(2m+n, m-3n),
又∵ c=ma+nb=(3, 5),
∴ 解得
∴ c=2a-b.
[题后反思] 待定系数法是将某向量用一组基底线性表示的常用方法.
变式 已知a=(2, -4), b=(-1, 3), c=(6, 5), p=a+2b-c,试以a, b为基底求p.
[规范板书] 解 令c=λa+μb,则(6, 5)=λ(2, -4)+μ(-1, 3),即(6, 5)=(2λ-μ, -4λ+3μ),
∴解得
∴ p=a+2b-a-17b=-a-15b.
【例4】 (教材第78页例4)已知P1(x1, y1), P2(x2, y2), P是直线P1P2上一点,且=
λ(λ≠-1),求点P的坐标.[8] (见学生用书P48)
[处理建议] 先设出点P的坐标,再将条件中的向量, 用坐标表示出来,利用等量关系建立关于x, y的方程组进行求解.
[规范板书] 解 设P(x, y),则=(x-x1, y-y1), =(x2-x, y2-y).
由=λ,得(x-x1, y-y1)=λ(x2-x, y2-y),即
因为λ≠-1,所以
因此,点P的坐标为.
[题后反思] (1) 当λ=1时,就得到线段P1P2的中点M(x, y)的坐标公式
(2) 本题与教材2.2.3小节的例4都是线段的定比分点公式,一个是坐标形式,一个是向量形式.
*【例5】 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求顶点D的坐标.
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(例5)
[规范板书] 解 设顶点D的坐标为(x, y),则
=(1, 2), =(3-x, 4-y).
∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ =,即(1, 2)=(3-x, 4-y).
∴ 解得即顶点D的坐标是(2, 2).
变式 已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求点D的坐标,使这四点构成平行四边形的四个顶点.
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(变式)
[规范板书] 解 当平行四边形为ADCB时,由=得D1=(2, 2);
当平行四边形为ACDB时,同理得D2=(4, 6);
当平行四边形为DACB时,同理得D3=(-6, 0).
四、 课堂练习
1. 已知向量a=(1, 1),b=(1, -1),则向量a-b=(-1, 2).
2. 已知O是坐标原点, A(-2, 1), B(4, -3),且-3=0,则=.
提示 设C(x, y),则=(x-4, y+3).
由=(6, -4), -3=0,
得解得
∴ =(6, -).
3. 在平面直角坐标系xOy中, ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD的边AB∥DC, AD∥BC,已知点A(-2, 0), B(6, 8), C(8, 6),则点D的坐标为(0, -2).
提示 由题意知,四边形ABCD为平行四边形,∴ +=+,∴ =+-=(-2, 0)+(8, 6)-(6, 8)=(0, -2),即点D的坐标为(0, -2).
五、 课堂小结
1. 平面向量的坐标运算法则.
2. 相等向量的坐标表示.
3. 向量的坐标表示使得我们可以通过数的运算来研究图形的几何性质,体现了数形结合的思想方法.
第8课时 平面向量的坐标运算(2)
教学过程
一、 问题情境
前面我们如何判定向量a, b平行(或共线) 向量a=(1, -4)与b=(-2, 8)是否平行
二、 数学建构
活动1 引导学生回顾平面向量共线定理.
如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.
活动2 判断向量a=(1, -4)与b=(-2, 8)是否平行 [3]
由于b=(-2, 8)=-2(1, -4)=-2a,因此a∥b.
观察探究 向量a=(1, -4)与b=(-2, 8)平行,它们的坐标有什么关系呢
此时向量a与b的坐标满足1×8=(-4)×(-2).
问题1 设向量a=(x1, y1), b=(x2, y2)(a≠0),如果a∥b,那么x1, y1, x2, y2也满足这个关系吗
因为a≠0,所以x1, y1不全为0,不妨假设x1≠0.
① 如果a∥b,则存在实数λ,使b=λa,
即(x2, y2)=λ(x1, y1)=(λx1,λy1),
所以
因为x1≠0,由(i)得
将(iii)代入(ii)得y2=y1,即x1y2-x2y1=0.
归纳 设向量a=(x1, y1), b=(x2, y2)(a≠0),如果a∥b,那么x1y2-x2y1=0.
问题2 反过来,如果x1y2-x2y1=0,那么b与a(a≠0)是否平行 如何验证 [4]
因为a≠0,所以x1, y1不全为0,不妨假设x1≠0.
因为x1≠0,x1y2-x2y1=0,所以y2=y1,
故(x2, y2)=(x2, y1)=(x1, y1).
令λ=,则b=λa,所以a∥b.
归纳 一般地,设向量a=(x1, y ( http: / / www.21cnjy.com )1), b=(x2, y2)(a≠0),如果a∥b,那么x1y2-x2y1=0;反过来,如果x1y2-x2y1=0,那么a∥b.
概念理解 当a=0时,由于0与任意向量平行,故x1y2-x2y1=0恒成立.
三、 数学运用
【例1】 (教材第80页例5)已知a= ( http: / / www.21cnjy.com )(1, 0), b=(2, 1),当实数k为何值时,向量ka-b与a+3b平行 并确定此时它们是同向还是反向.[5] (见学生用书P49)
[处理建议] 先用向量共线的坐标表示列出方程求出k值,再引导学生思考“如何判断两向量同向还是反向 ”
[规范板书] 解 ka-b=k(1, 0)-(2, 1)=(k-2, -1), a+3b=(1, 0)+3(2, 1)=(7, 3).
由向量平行的条件可得3×(k-2)-(-1)×7=0,所以k=-.
此时ka-b==-(7, 3)=-(a+3b).因此,它们是反向的.
[题后反思] 两个共线向量方向相同还是相反,取决于b=λa(a≠0)中实数λ的符号.λ>0时,它们同向;λ<0时,它们反向.
变式1 已知a=(2, 3), b=(-1, 2).若ka-b与a-kb平行,求实数k的值.
[规范板书] 解 ka-b= ( http: / / www.21cnjy.com )k(2, 3)-(-1, 2)=(2k+1, 3k-2), a-kb=(2, 3)-k(-1, 2)=(2+k, 3-2k),
∴ (2k+1)(3-2k)-(3k-2)(2+k)=0, 化简得7k2=7,∴ k=±1.
变式2 已知点A(-1, -1), B(1, 3), C(1, 5), D(2, 7),向量与平行吗 直线AB平行与直线CD吗
[规范板书] 解 ∵ =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4), =(2-1, 7-5)=(1, 2),
又2×2-1×4=0, ∴ ∥.
∵ =(1-(-1), 5-(-1))=(2, 6), =(2, 4),又2×4-2×6≠0,
∴ 与不平行,∴ A, B, C不共线,即AB与CD不重合,∴ 直线AB与CD平行.
【例2】 (教材第81页例6)已知点O, A, B, C的坐标分别为(0, 0), (3, 4), (-1, 2), (1, 1),是否存在常数t,使得+t=成立 解释你所得结论的几何意义.[6] (见学生用书P49)
[处理建议] 引导学生回顾存在探索性问题的一般思考方法,即假设存在法,再根据待定系数法、方程思想,让学生自主解题,最后讨论结论的几何意义.
[规范板书] 解 设存在常数t,使得+t=,则(3, 4)+t(-1, 2)=(1, 1),
即(3-t, 4+2t)=(1, 1),
所以
此方程组无解,故不存在这样的常数t.
上述结论表明向量与不平行.
[题后反思] 由+t=,可得到-=t,即=t,所以只有当向量与共线时,才存在这样的常数t.而已知=(-2, -3), =(-1, 2),显然,它们不平行.因此,不存在满足题意的常数t.
变式 已知O(0, 0), A(1, 2), B(4, 5),点P坐标满足=+t(t∈R).
(1) t为何值时,点P在x轴上 t为何值时,点P在y轴上
(2) 四边形OABP能否构成一个平行四边形 若能,求t的值;若不能,请说明理由.
[规范板书] 解 (1)=+t=(1, 2)+t(3, 3)=(1+3t, 2+3t).
如果点P在x轴上,有2+3t=0,解得t=-;
如果点P在y轴上,有1+3t=0,解得t=-.
(2) 假设四边形OABP为平行四边形,则有=.又因为=(1+3t, 2+3t), =(3, 3),所以此方程组无解,故四边形OABP不能构成平行四边形.
【例3】 已知点A(x, 0), B(2x, 1), C(2, x), D(6, 2x).
(1) 求实数x的值,使向量与共线;
(2) 当向量与共线时,点A, B, C, D是否在一条直线上 [7] (见学生用书P49)
[处理建议] 在第(2)小问中,由于∥已知,故只要A, B, C三点共线,即只要讨论与是否共线就可.
[规范板书] 解 (1)=(x, 1), =(4, x).∵∥,∴ x2=4, x=±2.
(2) 由已知得=(2-2x, x-1).
当x=2时, =(-2, 1), =(2, 1), ∴ 和不平行,此时A, B, C不在一条直线上;
当x=-2时, =(6, -3), =(-2, 1),
∴ ∥,此时A, B, C三点共线.
又∵∥,∴ A, B, C, D四点在一条直线上.
综上,当x=-2时, A, B, C, D四点在一条直线上.
[题后反思] 由点共线转化为共起点向量共线,同样由共起点的向量共线证明三点共线.
【例4】 在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中,O为坐标原点,点A(-2, 1), B(1, 3),求线段AB的中点M和三等分点P, Q(点P靠近点A)的坐标. (见学生用书P50)
[处理建议] 本题涉及中点坐标公式及共线向量的坐标运算,点M的坐标可由中点坐标公式得到,点P, Q的坐标由已知=, =2,设出点P, Q的坐标,然后利用相等的向量其坐标对应相等建立方程组即可求出点P, Q的坐标.
[规范板书] 解 方法1:∵ =-=(1, 3)-(-2, 1)=(3, 2),
∴ =(+)=[(-2, 1)+(1, 3)]=,
=+=(-2, 1)+(3, 2)=,
=+=(-2, 1)+(3, 2)=,
∴ M, P, Q.
方法2:设M(x, y),∵ M是线段AB的中点, ∴ x==-, y==2, ∴ M.
又∵ P为AB的三等分点,∴ =.
设点P的坐标为(m, n),则=(m+2, n-1), =(1-m, 3-n). 又∵ =,
∴ 解得
∴ 点P的坐标为,同理可得Q.
四、 课堂练习
1. 当x=-6时,向量a=(2, -3)与b=(x, 9)平行.
2. 已知向量a=(1, 1), b=(2, x).若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是2.
提示 方法1:因为a=(1, 1),b=(2, x),所以a+b=(3, x+1), 4b-2a=(6, 4x-2).由a+b与4b-2a平行,得6(x+1)-3(4x-2)=0,解得x=2.
方法2:因为a+b与4b-2a平行,则存在常 ( http: / / www.21cnjy.com )数λ,使a+b=λ(4b-2a),即(2λ+1)a=(4λ-1)b.根据向量共线的条件知向量a与b共线,故x=2.
3. 已知向量=(3, -4),=(6, -3),=(5-m, -3-m),若点A, B, C构成三角形,则实数m的取值范围为{m|m≠且m∈R}.
提示 =-=(3, 1),=-=(2-m, 1-m).因为点A, B, C构成三角形,所以不平行于,即3(1-m)≠1(2-m),从而m≠.
五、 课堂小结
1. 本节课主要学面向量平行的坐标表示,会用平面向量平行的坐标形式证明三点共线和两直线平行(重合).
2. 向量平行(共线)的两种表示形式:(1 ( http: / / www.21cnjy.com ))b=λa(a≠0);(2)a=(x1, y1), b=(x2, y2), a∥b x1y2-x2y1=0.
第9课时 向量的数量积(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 前面已经学过向量加法 ( http: / / www.21cnjy.com )、减法和实数与向量的乘法,它们有一个共同的特点,即运算的结果还是向量,那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢 如果有,这种“乘法”运算的结果是什么量呢
联想:物理中,功就是矢量与矢量“相乘”的结果.
问题2 物理学中,一个物体在力F的作用下发生了位移s,那么该力对此物体所做的功是如何计算的
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
通过对物理公式:W=|F‖s|cosθ(其中θ是F与s的夹角)的分析,得到如下结论:
(1) 功W是两个向量F和s的某种运算结果,而且这个结果是一个数量;
(2) 功不仅与力和位移的大小有关,而且还与它们的方向有关,具体地,它和力F与位移s的夹角有关.
由此可见,“求功运算”是一种新的向量运算,不同于我们以前学习过的其他数学运算.
二、 数学建构
1. 平面向量数量积(内积)
已知两个非零向量a和b,它们的夹 ( http: / / www.21cnjy.com )角是θ,我们把数量|a‖b|cosθ叫做向量a和b的数量积(内积),记作a·b,即a·b=|a‖b|cosθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为零.
可见,功W就是两个向量F和s的数量积.
2. 两个向量的夹角
问题3 向量数量积(内积)的定义中,提到了“两个向量的夹角”的概念,它究竟代表什么意义呢
从问题情境中的力和位移的夹角出发,得到下面的结论:
对于两个非零向量a和b,作=a, =b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(这里要特别强调找向量的夹角两向量要移到共同的起点)
当θ=0°时, a与b同向;当θ=180°时, a与b反向;当θ=90°时,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.
理解概念
(1) 当a≠0且b≠0时, a·b=|a ( http: / / www.21cnjy.com )‖b|cosθ;而当a=0或b=0时,由于零向量的方向是不确定的,因此我们不定义零向量与其他向量的夹角,为了定义的完整性.特别规定:零向量与任一向量的数量积为零.
(2) 两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由cosθ的符号所决定.
(3) 向量的数量积a·b中的符号“·”,既不能省略,也不能写成“×”, a×b是向量的另外一种运算,不是数量积.
三、 数学运用
【例1】 (教材第84页例1)已知向量a与b的夹角为θ, |a|=2, |b|=3,分别在下列条件下求a·b:
(1)θ=135°; (2)a∥b; (3)a⊥b.(见学生用书P51)
[处理建议] 本题主要是巩固概念,对数量积的定义简单应用,可以由学生结合定义给出答案.
[规范板书] 解 (1)a·b=|a‖b|cosθ=2×3×cos135°=-3.
(2) 当a∥b时,则θ=0°或θ=180°.
若θ=0°, a·b=|a‖b|=6;若θ=180°, a·b=-|a‖b|=-6.
(3) 当a⊥b时, a·b=0.
[题后反思] 注意第(2)小题中共线有两种情况.
问题1 在理解例1的基础上,思考数量积有哪些性质 [3]
由平面向量数量积的定义和向量夹角的定义可知:
(1) 当a与b同向时, a·b=|a‖b|;
(2) 当a与b反向时, a·b=-|a‖b|;
(3) a·a=a2=|a|2, |a|=;
(4) 当a⊥b时, a·b=0.
问题2 定义了向量的数量积运算,那么它的运算遵循什么规律呢 即向量数量积的运算律是什么
设向量a, b, c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律:
(1) a·b=b·a;
(2) (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b;
(3) (a+b)·c=a·c+b·c.
【例2】 已知向量a与b的夹角为120°, |a|=2, |b|=3,求:
(1) (a+b)·(a-b);
(2) |a-b|.(见学生用书P52)
[处理建议] 本题是向量的综合运算,第 ( http: / / www.21cnjy.com )(1)小问可让学生根据向量数量积的运算律自主求解;第(2)小问引导学生思考:怎样建立模与向量数量积运算的联系
[规范板书] 解 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=-5.
(2) 因为|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=19,所以|a-b|=.
变式 根据例2中的条件求|a+2b|.
[规范板书] 解 因为|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=28,所以|a+2b|=2.
[题后反思] 由解题结果知数量积满足平方差公式、完全平方公式.
【例3】 已知x=a+b, y=2a+b,且|a|=|b|=1, a⊥b.
(1) 求|x|, |y|;
(2) 若x与y的夹角为θ,求cosθ的值. (见学生用书P52)
[处理建议] 求向量的模,先求这个向量的平方,再展开完全平方式,代入已知条件求值;求向量的夹角,按照夹角公式求解.
[规范板书] 解 (1) 因为|x|2=x2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=2,所以|x|=.
因为|y|2=y2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=5,所以|y|=.
(2) 因为x·y=(a+b)·(2a+b)=2a2+3a·b+b2=3,所以cosθ==.
[题后反思] 这个例题是常见考察向 ( http: / / www.21cnjy.com )量数量积运算的范例,解决它的思路、方法和过程,都遵循一定的套路.因此要有一定的训练,使学生熟练掌握解决此类问题的步骤.
四、 课堂练习
1. 有下列命题:①若a·b= ( http: / / www.21cnjy.com )0,则a=0,或b=0;②若a⊥b,则a·b=0;③若a≠0,且a·b=a·c,则b=c;④对任意向量a,都有a2=|a|2.其中正确的是②④.
2. 在 ABCD中,已知||=4, ||=3, ∠DAB=60°,那么·=-16,·=6.
提示 ∵ 与方向相反,∴ ·=-||·||=-16. ∵ =, ∴ ·=·=6.
3. 已知向量a, b满足|a|=2, |b|=1,且a与b的夹角为120°,求b·(2b-3a)的值.
解 b·(2b-3a)=2b2-3a·b=2×12-3×2×1×cos120°=2-(-3)=5.
五、 课堂小结
本节课主要学习了数量积的定义、性质,数量积的运算律.
第10课时 向量的数量积(2)
教学过程
一、 问题情境
问题1 根据向量数量积的定义,功W就是 ( http: / / www.21cnjy.com )两个向量F和s的数量积.那么,力F在位移s方向上所做的功如何表示 (如图1, b表示力, a表示位移)
力F在位移s方向上所做的功,就是力F在位移s方向上的分量与s的数量积(与s同向、反向或为0).
二、 数学建构
1. 投影的概念
定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.
(一) 理解概念
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(图1)
① 投影也是一个数量,不是向量;
② 当θ为锐角时(图1), 与a同向,投影为正值;当θ为钝角时(图2), 与a反向,投影为负值;当θ为直角时(图3),投影为0;当θ=0°时,投影为|b|;当θ=180°时,投影为-|b|.
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(图2)
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(图3)
问题2 向量的数量积的几何意义是什么
数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.
(二) 巩固概念
练习 已知向量a, b满足|a|=8, |b|=3,它们的夹角为θ.当θ=30°时, a在b上的投影为4;当θ=90°时, a在b上的投影为0;当θ=120°时, a在b上的投影为-4.
2. 对上节课运算律的简要证明
(1) 交换律:a·b=b·a.
证明 设a, b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|·cosθ, b·a=|b|·|a|·cosθ, ∴ a·b=b·a.
(2) 数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
证明 当λ=0时,此式显然成立.
当λ>0时, (λa)·b=λ|a ( http: / / www.21cnjy.com )‖b|cosθ, λ(a·b)=λ|a‖b|cosθ, a·(λb)=λ|a‖b|cosθ, ∴ (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
当λ<0时, (λa)·b=|λa‖b|cos(π-θ)=-λ|a‖b|(-cosθ)=λ|a‖b|cosθ,
λ (a·b)=λ|a‖b|cosθ,
a·(λb)=|a‖λb|cos(π-θ)=-λ|a‖b|(-cosθ)=λ|a‖b|cosθ,
∴ (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
综上可知(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)成立.
(3) 分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
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(图4)
如图4,在平面内取一点O,作=a, =b, =c,则=a+b.
∵ a+b在c方向上的投影等于a, b在c方向上的投影和,
即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2,
∴ |c‖a+b|cosθ=|c‖a|cosθ1+|c‖b|cosθ2, ∴ c·(a+b)=c·a+c·b,
即(a+b)·c=a·c+b·c.
问题3 向量的数量积是否满足结合律
分析 若有(a·b)c=a(b·c) ( http: / / www.21cnjy.com ),设a, b夹角为α, b,c夹角为β,则(a·b)c=|a|·|b|cosα·c, a·(b·c)=a·|b‖c|cosβ.当a=c, α=β时,|a|=|c|,进而有(a·b)·c=a·(b·c),这是一种特殊情形,一般情况下不成立.
举反例如下:已知|a|=1, |b|=1, |c|=, a与b的夹角是60°, b与c的夹角是45°,则(a·b)·c=|a|·|b|cos60°·c=c, a·(b·c)=|b|·|c|cos45°·a=a.而c≠a,故(a·b)·c≠a·(b·c).
三、 数学运用
【例1】 已知|a|=5, |b|=4, a与b的夹角为60°,问:当k为何值时,(ka-b)⊥(a+2b)
(见学生用书P53)
[处理建议] 将两向量垂直转化为其数量积为0,再根据向量的运算法则,由学生自主解题.
[规范板书] 解 ∵ |a|=5, |b|=4, a与b的夹角为60°,
∴ a·b=|a‖b|cos60°=5×4×=10.
若(ka-b)⊥(a+2b),则(ka-b)·(a+2b)=0,
∴ ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,
∴ k×52+(2k-1)×10-2×42=0,解得k=.
即当k=时,(ka-b)⊥(a+2b).
[题后反思] 向量的数量积的运算要熟练、准确.
【例2】 (教材89页习题2.4第16 ( http: / / www.21cnjy.com )题)已知a, b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直, a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角. (见学生用书P54)
[处理建议] 将两向量垂直转化为其数量积为0,再引导学生用方程的思想去发现两向量之间的关系.
[规范板书] 解 由题意可得(a+3b)·(7a-5b)=0,即7a2+16a·b-15b2=0; ①
(a-4b)·(7a-2b)=0,即7a2-30a·b+8b2=0. ②
①-②得2a·b=b2,代入①或②得a2=b2.
设a, b的夹角为θ,则cosθ===, ∴ θ=60°,即a与b的夹角为60°.
[题后反思] 向量的数量积的计算公式,不仅要熟练掌握,还要深入了解它的变形形式.
【例3】 若O为△ABC所在平面内任意一点,且满足(-)·(+-2)=0,试判断△ABC的形状. (见学生用书P54)
[处理建议] 先让学生回顾向量的加、减运算法则,再运用它们及已知条件寻求△ABC中边之间的关系.
[规范板书] 解 由(-)·(+-2)=0,得·(-+-)=0,
∴ ·(+)=0,
∴ (-)·(+)=0,
∴ -=0,即=||2,
∴ ||=||, ∴ △ABC是等腰三角形.
[题后反思] 用向量方法解决几何的问题,是向量应用的重要组成部分,体现了向量是一个“数”与“形”的结合体.
变式 用向量方法证明:菱形对角线互相垂直.
[规范板书] 已知:四边形ABCD是菱形,AC, BD是其对角线.求证:⊥.
证明: 设==a, ==b.
∵ 四边形ABCD为菱形,∴ |a|=|b|,
∴ ·=(b+a)·(b-a)=b2-a2=|b|2-|a|2=0, ∴ ⊥.
四、 课堂练习
1. 在△ABC中,已知||=||=4,且·=8,则△ABC的形状是等边三角形.
提示 因为cos∠BAC==,所以∠BAC=60°.又因为||=||=4,所以△ABC为等边三角形.
2. 设向量a, b满足|a|=|b|=1, a·b=-,则|a+2b|=.
3. 已知向量a, b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1, |b|=2,则a与b的夹角为60°.
4. 已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与ka-b垂直,则k=1.
五、 课堂小结
1. 向量数量积的几何意义.
2. 能运用向量数量积处理一些常见的问题,如①向量模的计算;②向量夹角的计算;③判断三角形的形状等.
第11课时 向量的数量积(3)
教学过程
一、 问题情境
问题1 已知两个向量a=(x1, y1), b=(x2, y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢
二、 数学建构
设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则
i·i=1, j·j=1, i·j=j·i=0.
∵ a=x1i+y1j, b=x2i+y2j,
∴ a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j)
=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2
=x1x2+y1y2.
这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.
问题2 已知a=(x, y),如何将|a|用其坐标表示
∵ a·a=a2=|a|2=x2+y2,
∴ |a|==.
问题3 设A(x1, y1), B(x2, y2),如何将||用A, B的坐标表示
设表示向量a的有向线段的起点是A(x1, y1),终点是B(x2, y2),则
=a=(x2, y2)-(x1, y1)=(x2-x1, y2-y1),
∴ ||=|a|=.
这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式.
问题4 前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗
(1) 两个非零向量a=(x1, y1), b=(x2, y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得
cosθ==.
(2) a⊥b a·b=0,可以写成a⊥b x1x2+y1y2=0.
(3) a∥b(b≠0) 存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b x1y2-x2y1=0.[3]
三、 数学运用
【例1】 已知向量a=( ( http: / / www.21cnjy.com )2, 1), b=(3, -1),求:(1) (3a-b)·(a-2b);(2) a与b的夹角θ.[4] (见学生用书P55)
[处理建议] (1)第(1)问是向 ( http: / / www.21cnjy.com )量的数量积坐标公式的直接应用,有两个运算方向:一是先展开再分别代入求解,二是先求每个因式的坐标再应用向量的数量积公式.(2)运用两向量夹角公式的坐标表示求解.
[规范板书] 解 (1) 方法1:因为a·b=2×3+1×(-1)=5,a2=22+12=5,b2=32+(-1)2=10,
所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×5+2×10=0.
方法2:因为3a-b=(3, 4), a-2b=(-4, 3),则(3a-b)·(a-2b)=-12+12=0.
(2) 因为a·b=5, |a|=, |b|=,
所以cosθ===.
因为θ∈,所以θ=.
[题后反思] (1)第( ( http: / / www.21cnjy.com )1)问的两种解法都是比较好的解法,都要求学生熟练掌握向量数量积的坐标运算.(2)求两个向量的夹角一般步骤:先算数量积,接着算每个向量的模,代入公式求余弦值,最后由角的范围写出角度.
【例2】 已知向量a=(1, 1), b=(0, -2),当k为何值时:
(1) ka-b与a+b共线;
(2) ka-b与a+b的夹角为120°. (见学生用书P55)
[处理建议] 先由向量a, b的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标得到向量ka-b, a+b的坐标,再分别由向量共线的坐标表示及两向量夹角公式建立关于参数k的方程,解方程即可.
[规范板书] 解 ∵ a=(1, 1), b=(0, -2),
∴ ka-b=k(1, 1)-(0, -2)=(k, k+2),
a+b=(1, 1)+(0, -2)=(1, -1).
(1) 由ka-b与a+b共线,得k+2-(-k)=0,解得k=-1.
(2) |ka-b|=, |a+b|==.
又∵ (ka-b)·(a+b)=(k, k+2)·(1, -1)=k-k-2=-2,而ka-b与a+b的夹角为120°, ∴ cos120°=,即-=,化简得k2+2k-2=0,解得k=-1±.
【例3】 (教材第87页例4)在△ABC中,设=(2, 3), =(1, k),且△ABC是直角三角形,求k的值. (见学生用书P56)
[处理建议] 用问题“Rt△ABC中哪个角是直角 ”引导学生分类讨论,再根据两向量垂直的坐标表示求解.
[规范板书] 解 若∠A=90°,则⊥,于是2×1+3×k=0,解得k=-.
若∠B=90°,则⊥,又=-=(-1,k-3),故得2×(-1)+3×(k-3)=0,解得k=.
若∠C=90°,则⊥,故1×(-1)+k(k-3)=0,解得k=.
所以,所求k的值为-或或.
变式 将例3中△ABC是直角三角形改为钝角三角形,其他条件不变,求k的取值范围.
[规范板书] 解 若∠A为钝角,则·<0,于是2×1+3×k<0,解得k<-.
同理,若∠B为钝角,解得k>;
若∠C为钝角,解得
[题后反思] 题中未明确哪个角是 ( http: / / www.21cnjy.com )直角(钝角),所以要分类讨论.两向量的夹角是直角,其数量积为0;夹角是钝角,其数量积小于0.需要特别指出的是钝角在三角形中的位置与向量的夹角有区别.
四、 课堂练习
1. 已知向量a=(-2, 1), b=(1, -3),则a·b=-5,向量a与b的夹角为135°.
2.已知a+b=(-4, 6), a-b=(2, -8),则a·b=-4.
提示 由已知可得a=(-1, -1), b=(-3, 7),所以a·b=-4.
3. 已知向量a=(-3, 2), b=(-1, 0).若λa+b与a-2b垂直,则实数λ=-.
4. 已知平面内四点A(-1, 0), B(0, 2), C(4, 3), D(3, 1),则四边形ABCD为 ④ (填序号,从①正方形,②矩形,③菱形,④平行四边形中选择).
提示 由题目条件可得=,且·≠0,||≠||.
5. 已知△ABC的3个顶点为A(1, 2), B(4, 1), C(0, -1),求证:△ABC是等腰直角三角形.
解 因为=(3, -1), =(-1, -3), 所以·=0,所以∠BAC=90°.又tan∠ACB====1,所以∠ACB=45°,故△ABC是等腰直角三角形.
五、 课堂小结
1. 平面向量数量积的坐标公式,两向量垂直的坐标表示,两向量平行的坐标表示.
2. 向量长度(模)的公式、两点间的距离公式、两向量的夹角公式:(1)|a|==; (2)A(x1, y1), B(x2, y2), ||=;(3)cosθ==.
第12课时 向量的应用
教学过程
一、 问题情境
1. 向量是既有大小又有 ( http: / / www.21cnjy.com )方向的量,在实际问题中有很多这样的量,它们既有代数特征,又有几何特征.通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数形结合的桥梁.
2. 用数学知识解决实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com ),首先要将实际问题转化成数学问题,即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型,然后再通过对这个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量.许多物理问题可以转化为数学中的向量问题,所以向量也是解决许多物理问题的有力工具.
二、 数学运用
【例1】 如图(1),在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受的拉力为F.求:
(1) |F1|, |F2|随θ的变化而变化的情况;
(2) 当|F1|≤2|G|时,角θ的取值范围.[1] (见学生用书P57)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
(例1)
[处理建议] 本题涉及物理中力的合成与分解,即向量的合成与分解,引导学生对受力进行分析,利用平行四边形法则进行求解.
[规范板书] 解 (1) 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知:-G=F1+F2.如图(2),根据直角三角形可得|F1|=, |F2|=|G|·tanθ.
当θ从0°趋近90°时,|F1|, |F2|都逐渐增大.
(2) 令|F1|=≤2|G|,∵ θ∈[0°, 90°),得cosθ≥. ∴ 0°≤θ≤60°.
∴ 角θ的取值范围为0°≤θ≤60°.
[题后反思] 平面向量在物理中的应用非常广泛 ( http: / / www.21cnjy.com ),运用好平面向量这一工具可以解决很多物理问题,如力的合成、速度的合成等,这里一定要结合图象进行数形结合,才能使问题更为直观.
【例2】 (教材第91页例2)已知⊥, ⊥,求证:⊥.[2] (见学生用书P58)
[处理建议] 考虑到学生认知发展水平 ( http: / / www.21cnjy.com )的不同,可能会有一部分学生想到用数量积来证,也有一部分学生受到例1的影响,想到结合图形来解决问题,对此教师要有从数和形两个方面考虑解法的可行性.
[规范板书] 证明 ·=(+)·(+)=·+·+·=
·(++)=·=0,所以⊥.
[题后反思] 你能说出该命题的几何意义吗 (三角形三条高所在直线交于一点)
变式 设O是△ABC所在平面内的一点,且·=·=·,试判断O是△ABC的垂心.
[规范板书] 解 因为·=·,所以·(-)=0,即·=0,所以OB⊥CA.同理OC⊥AB,OA⊥BC.所以O是△ABC的垂心.
【例3】 (教材第92页 ( http: / / www.21cnjy.com )例3)已知直线l经过点P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点,P(x, y)是直线l上的任意一点,用向量的方法求x, y之间的关系.[3] (见学生用书P58)
[处理建议] 根据题设条件知P1, P2, P均在直线l上,即可用共线向量方面的相关知识解题.
[规范板书] 解 设P(x, y)是直线l上的任意一点,则=(x2-x1, y2-y1), =(x-x1, y-y1).
∵ P, P1, P2三点都在直线l上, ∴ 与是共线向量,
∴ (x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),这即为x, y之间的关系.
[题后反思] 把(x, ( http: / / www.21cnjy.com ) y)改为(x3, y3),我们就可以得到证明三点共线的一种方法. 方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)即为直线l的方程,这有别于直线的两点式方程,它没分母,也就没有两点式方程的局限性(不能表示跟坐标轴垂直的直线).
*【例4】 已知在△ABC中BC, CA, AB的长分别为a, b, c,试用向量方法证明:
(1) c=bcosA+acosB;
(2) c2=a2+b2-2abcosC.[4]
[处理建议] 先引导学生观察要证等式 ( http: / / www.21cnjy.com ),有abcosC结构,联想到向量数量积定义,把边长看成向量的模.对于第(1)小题,等式c=bcosA+acosB中项bcosA与数量积的差异在于缺少另一个向量的模作为因式,故联想到两边同乘以c.
[规范板书] 证明 (1) 因为=+,所以·=(+)·, 即||2=||·||cosA+||||cosB,亦即c2=bccosA+accosB, 所以c=bcosA+acosB.
(2) 因为=+,所以()2=(+)2=()2+()2+2·,即c2=b2+a2+2b·acos(180°-C),所以c2=a2+b2-2abcosC.
[题后反思] 要证明一个代数等式,往往 ( http: / / www.21cnjy.com )在一个向量等式上进行加工转化,如:在向量等式两边同时点乘一个向量,或把向量等式两边平方,就可以转化为代数等式.
三、 课堂练习
(第1题)
1. 一只船以10km/h的速度沿垂直于河对岸的方向航行,船实际行驶的方向与水流方向成60°角,求水流速度的大小与船实际行驶速度的大小.
解 如图,表示船垂直于河对岸行驶的速度,表示水流速度,
表示船的实际速度.由题意知∠NOP=60°,
||=10.
因为四边形OMPN是矩形,从而||=||sin60°=10,
所以||==,从而||=
||cos60°=×=.
因此,水流速度的大小为km/h,船的实际速度的大小为km/h.
2. 用向量的方法证明勾股定理.
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(第2题)
已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c, CA=b, CB=a,求证:c2=a2+b2.
证明:如图,=-, ||2=|-|2=||2-2·+||2=||2+||2, ∴ c2=a2+b2.
四、 课堂小结
用向量方法解决一些简单的几何问题和力学问题的步骤:先把问题转化为向量问题,列出几个向量满足的约束条件,再用向量的知识和方法求解.
第13课时 本 章 复 习
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知i, j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,如果=i-2j, =i+mj,那么是否存在实数m,使A, B, C三点共线 (见学生用书P59)
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路 ( http: / / www.21cnjy.com ),可能是“用假设法,根据向量共线定理求解m的值”.再引导学生思考可否用向量的坐标运算解题,最后让学生比较两种方法各自的优缺点.
[规范板书] 解法一 假设存实数m,使得A, B, C三点共线,
∴ 存在实数λ,使得=λ,即i-2j=λ(i+mj), ∴ ∴ m=-2.
即当m=-2时,A, B, C三点共线.
解法二 假设存在实数m,使得A, B, C三点共线.
由题意知=(1, -2), =(1, m).
∵ A, B, C三点共线,∴ ∥,
∴ 1·m=1·(-2), ∴ m=-2.
即当m=-2时,A, B, C三点共线.
[题后反思] 让学生通过一题多解的训练 ( http: / / www.21cnjy.com ),认识知识之间的联系,提高学生用所学知识和技能解决实际问题的能力,学会举一反三.当出现三点共线时,转化为共起点的两个向量共线问题来求解.
变式 已知a=(1, 2), b=(-3, 2),当k为何值时:
(1) ka+b与a-3b垂直
(2) ka+b与a-3b平行 平行时是同向还是反向
[规范板书] 解 ka+b=(k-3, 2k+2), a-3b=(10, -4).
(1) ∵ (ka+b)⊥(a-3b),
∴ (ka+b)·(a-3b)=0,
∴ 10(k-3)+(2k+2)·(-4)=0,
∴ k=19.
即当k=19时,ka+b与a-3b垂直.
(2) ∵ (ka+b)∥(a-3b),
∴ (-4)(k-3)=10(2k+2),
∴ k=-.
∵ 3a+b=,
∴ 3a+b=-(a-3b).
即当k=-时,ka+b与a-3b平行且反向.
[题后反思] 本题考查向量平行、垂直的条件: ( http: / / www.21cnjy.com )a=(x1, y1), b=(x2, y2),则a⊥b x1x2+y1y2=0; a∥b x1y2=x2y1;两个共线向量方向相同还是相反取决于b=λa (a≠0)中实数λ的符号:λ>0时,它们同向,λ<0时,它们反向.
(例2(1))
【例2】 如图(1),AB是半圆O的直径,C, D是弧AB的两个三等分点,M, N是线段AB的两个三等分点.若||=6,求·的值.(见学生用书P60)
[处理建议] 由于·无法直接求解,引导学生将和用已知向量来表示,再根据向量的运算法则求解(基向量法);也可引导学生建立适当的坐标系,再根据向量的坐标运算求解(坐标法).
[规范板书] 解法一 =-, =-.
依题意知||=||=6, ||=||=2, ∠NOD=∠MOC=120°, ∠DOC=60°,
∴ ·=6×6×cos60°=18,
·=6×2×cos120°=-6,
·=6×2×cos120°=-6,
·=2×2×cos180°=-4,
∴ ·=(-)·(-)=18-(-6)-(-6)+(-4)=26.
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(例2(2))
解法二 建立如图(2)所示的直角坐标系xOy,则M(-2, 0), N(2, 0), C(3, 3), D(-3, 3),
∴ =(-1, 3), =(1, 3),
∴ ·=(-1)×1+3×3=26.
变式 如图(1), 在△ABC中,∠BAC=120°, AB=AC=2,D为BC上一点,且·=0, =2,求·的值.(见学生用书P60)
(变式(1))
[规范板书] 解法一 由题意知, =(+),=+=+=+.
∵ ||=||=2, ∠BAC=120°,
∴·=2×2×cos120°=-2,
∴ ·=(+)·+=×4+×(-2)+×(-2)+×4=1.
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(变式(2))
解法二 建立如图(2) 所示的直角坐标系xDy,
则A(0, 1), D(0, 0),E,
∴ =, =(0, -1),
∴ ·=×0+(-1)×(-1)=1.
[题后反思] 例题和变式的解法 ( http: / / www.21cnjy.com )一都是用基向量法求解,基向量法可选用同一组基底表示所求向量(如变式),也可以选取几个已知向量表示所求向量(如例2).有些题目可以根据直角建立直角坐标系,用坐标法解题更方便.
【例3】 已知向量a=(1, 1),a与b的夹角为π,且a·b=-1.
(1) 求向量b;
(2) 若b与c=(1, 0)垂直,向量ta+kb与2a-t2b平行,试求的最大值.(见学生用书P60)
[处理建议] 对于第(1)小问,让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生根据向量数量积的定义及坐标运算列方程组求解;对于第(2)小问,引导学生挖掘题目中的隐含条件,然后根据平行求出k与t之间的关系,最后利用二次函数的知识求最值.
[规范板书] 解 (1) 设b=(x, y).∵ a·b=-1, ∴ x+y=-1. ①
∵ a与b的夹角为π, ∴ -1=··cosπ,即x2+y2=1. ②
由①②得或
即b=(0, -1)或b=(-1, 0).
(2) ∵ b⊥c, c=(1, 0),∴ b=(0, -1),
∴ ta+kb=(t, t-k),2a-t2b=(2, 2+t2).
又∵ (ta+kb)∥(2a-t2b),
∴ t(2+t2)=2(t-k),∴ k=-,
∴ =-+t=-(t-1)2+,
即当t=1, k=-时,取得最大值.
[题后反思] 本题主要训练学生综合运用所学知识解决问题的能力,及利用转化的思想建立函数模型的能力.
变式 已知向量a=(sinθ, 1), b=(1, cosθ), θ∈.
(1) 若a⊥b,求θ;
(2)若|a+b|=+1,求tanθ的值. (见学生用书P60)
[规范板书] 解 (1) ∵ a⊥b, ∴ a·b=sinθ+cosθ=0,∴ tanθ=-1.
∵θ∈,∴ θ=-.
(2) ∵ a+b=(sinθ+1, 1+cosθ),
∴ |a+b|===+1,
两边平方化简得sinθ+cosθ=,①
两边再平方化简得sinθcosθ=.②
由①②解得sinθ=cosθ=,
∴ tanθ==1.
[题后反思] 本题以向量的知识作为背景,实际上已经将问题化为三角函数的问题.
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(例4)
【例4】 如图,M是△ABC内一点,且满足+2+ 3=0,延长CM交AB于N,令=a,试用a表示. (见学生用书P60)
[处理建议] 引导学生根据向量的加法转化已知条件,再根据向量共线定理及平面向量基本定理求出与的关系.
[规范板书] 解 ∵ =+, =+,
∴ +2+3=(+)+2(+)+3=+2+3+3=0.
又∵ A, N, B三点共线,C, M, N三点共线,
∴ 存在实数λ, μ,使得=λ, =μ,
∴ λ+2+3+3μ=0,
即(λ+2)+3(μ+1)=0.
又∵ 与不共线,
∴ 解得
故=+=2=2a.
[题后反思] (1) 若a, b是两个不共线向量,且ta+sb=0,则t=s=0.
(2) 灵活运用向量的运算法 ( http: / / www.21cnjy.com )则及平面向量基本定理是求解本题的关键,本题是向量方法在平面几何中的运用,培养学生读图、识图的能力,有利于学生领悟数形结合的思想.
变式 在正三角形ABC中,点D, E分别在AB, BC上,且=2, =2, AE, CD交于点P,求证:BP⊥DC.
[处理建议] 要证明BP⊥DC,即证·=0.根据平面向量基本定理,选取合适的基底表示, ,再根据向量的运算法则化简证明.
[规范板书] 证明 设=λ,则=+=+λ=+·λ=+λ.
又=-=-, , 共线,
∴ 存在实数μ,使得=μ,
∴ 解得
于是=+=+=+,
∴·=+
=--·
=--××cos60°
=0,
∴ BP⊥DC.
[题后反思] 利用向量数量积为0证明两直线垂直,这是常用的方法.
二、 补充练习
1. 设向量a=(4, -3), b=(2, 1).若a+tb与b的夹角为45°,则t=1.
提示 a+tb=(4+2t, t-3),由a+tb与b的夹角为45°,得2(4+2t)+(t-3)=··,化简得t2+2t-3=0,解得t=-3或t=1,又∵ (a+tb)·b>0,即2(4+2t)+(t-3)>0,∴ t>-1, ∴ t=1.
2. 在△ABC中,∠A=90°,AB=1, AC=2,点P, Q满足=λ, =(1-λ),λ∈R.若·=-2,则λ=.
提示 由题意知,·=0, =+=-+(1-λ), =+=λ-.由·=-2,得[(1-λ)-]·[λ-]=-2,即(λ-1)-λ=-2, ∴ 4(λ-1)-λ=-2,解得λ=.
3. 已知=(2, 1), =(3, -2), =(6-m, -3-m).
(1) 若点A, B, C共线,求实数m的值;
(2) 若△ABC为直角三角形,求实数m的值.
解 =-=(1, -3), =-=(4-m, -4-m),=-=(3-m, -1-m).
(1) ∵ 点A, B, C共线,∴ ∥,
∴ -3(4-m)=1·(-4-m),
解得m=2.
(2) ① 若∠A为直角,则⊥,
∴ 4-m+3(4+m)=0,
解得m=-8.
② 若∠B为直角,则⊥,
∴ 3-m+3(1+m)=0,
解得m=-3.
③ 若∠C为直角,则⊥,
∴ (4-m)(3-m)+(4+m)(1+m)=0,
方程无解.
综上,当m=-8或m=-3时,△ABC为直角三角形.
三、 课堂小结
1. 了解向量知识网络结构,进一步熟悉向量的基本概念及运算律.
2. 向量在函数、三角函数中的重要作用,数量积的应用,平行与垂直条件在解题中的作用,向量的几何运算在解决平面几何问题和物理问题中的作用.
3. 基本数学思想:转化思想、类比思想、数形结合思想、分类讨论思想.