《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第一章 三角函数（含解析）

　　　　　 　　　　　 　　　　　
第 1　 章 三角函数　　　
第1课时　任　意　角
　 教学过程
一、 问题情境
情境1:在初中,我们已经学习过的角有哪些 它们的范围是多少 [3]
情境2:在体操、跳水运动中,有“转体72 ( http: / / www.21cnjy.com )0°”“翻腾两周半”这样的动作名称,“720°”在这里也是用来表示旋转程度的一个角,那么“720°”是怎样的一个角 [4]
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　在初中,角的概念是如何定义的
(初中平面几何中角的定义是:从一个端点出发的两条射线所组成的几何图形.这个定义形象、直观、容易理解,但它是静态的,具有一定的局限性)
问题2　体操运动中的“转体720°”是如何形成的
(引导学生来说明这个角可由旋转的方式得到)
问题3　你能根据上面的例子,给角下一个新的具有动态意义的定义吗
(引导学生由特殊来归纳一般,给角下一个动态性的定义)
通过师生互动,以及多媒体演示,学生亲手作图,给出角的动态性定义:
角是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋 ( http: / / www.21cnjy.com )转到另一个位置所形成的图形,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边,射线的端点称为角的顶点.
问题4　既然角可以看做平面内一条射线绕着它 ( http: / / www.21cnjy.com )的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,那么有几种旋转方式呢 如何来区分这些不同旋转方式所得到的角呢
(通过旋转方式的讨论,引导学生来区别旋转所得到的角,进而得到正角、负角、零角的概念)
通过讨论,结合下图(图1),给出正角、负角、零角的定义.
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(图1)
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角.
(二) 理解概念
1. 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩充了.
① 角有正负之分(结合图2,引导学生知道区分正、负角的关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针,还是没有转动);
② 角可以任意大;
③ 还有零角.
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(图2)
2. 正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯,就好像与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好像数零无正负一样.
问题5　角的概念推广后,角的范围也就扩大了,那么,我们又该如何来研究角
为了便于研究,我们要将角放在直角坐标系中.建立直角坐标系的方法:角的顶点与原点重合,角的始边为x轴的正半轴.
问题6　将角放入直角坐标系中研究后,角的终边会出现在哪些位置 我们该如何称呼它们
(通过讨论,得到象限角与轴线角的概念)
角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.
(三) 巩固概念
(1) 分别举几个第一、 二、 三、 四象限角的例子.
(2) 30°, 390°, -330°角分别是第几象限角 观察这些角,你有什么发现
(3) 终边相同的角有何特点 试写出与30°角终边相同的角的集合.[5]
问题7　与α角终边相同的角的集合如何表示
S={β|β=k·360°+α, k∈Z}.
注意以下问题:①k∈Z;② ( http: / / www.21cnjy.com )α是任意角;③终边相同的角不一定相等,但是相等的角的终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.[6]
三、 数学运用
【例1】　写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在0°360°的角写出来,并分别判断它们是第几象限角.
(1) 460°;　(2) -21°;　(3) 963°14'[7]. (见学生用书P1)
[处理建议]　选例1的第一小题板书来示 ( http: / / www.21cnjy.com )范解题的步骤,其他例题请几个学生板演,教师针对板演同学所出现的问题及时给予更正,适时引导学生做好总结归纳.
[规范板书]　解　(1) S={β ( http: / / www.21cnjy.com )|β=460°+k·360°, k∈Z}. S中在0°360°范围内的角是(-1)×360°+460°=100°,它是第二象限角.
(2) S=. S中在0°360°范围内的角是1×360°-21°=339°,它是第四象限角.
(3) S={β|β=963°14 ( http: / / www.21cnjy.com )'+k·360°, k∈Z}. S中在0°360°范围内的角是(-2)×360°+963°14'=243°14',它是第三象限角.
[题后反思]　只需将这些角表示成k·360° ( http: / / www.21cnjy.com )+α(k∈Z)的形式,然后根据角α选择一个适当的整数k值,使得k·360°+α在0°360°的范围内则可.
变式　写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在-360°到720°间的角写出来:
(1) -120°;　　　　(2) 640°.
[处理建议]　先由学生讨论,然后让学生回答,互相更正,对出现的错误进行纠正讲解,并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法.
[答案]　(1) S={β ( http: / / www.21cnjy.com )|β=k·360°-120°, k∈Z},分别令k=0, 1, 2得S中在-360°到720°间的角为-120°, 240°, 600°.
(2) S={β|β=k ( http: / / www.21cnjy.com )·360°+640°, k∈Z},分别令k=-2, -1, 0得S中在-360°到720°间的角为-80°, 280°, 640°.
【例2】　已知α与320°角的终边相同,判断是第几象限角.[8] (见学生用书P2)
[处理建议]　引导学生先写出的表达式,然后将表达式中的k值具体化,取几个具体的值来发现结论.
[规范板书]　由α=k·360°+320° (k∈Z),可得=k·180°+160° (k∈Z).
若k为偶数,设k=2n (n∈Z),则=n·360°+160° (n∈Z), 与160°角的终边相同,是第二象限角;
若k为奇数,设k=2n+1 (n∈Z),则=n·360°+340° (n∈Z), 与340°角的终边相同,是第四象限角.
所以是第二或第四象限角.
[题后反思]　(1) 解题的关键在于将表示出来;
(2) 在判断所在象限的过程中,蕴含着分类讨论的思想,要让学生充分领悟此方法;
(3) 从本题中可以得到这样的一个结论:若角β可以表示为β=k·180°+α (k∈Z),则β的终边与α的终边所在的直线重合.
变式　若角β的终边落在x轴上,则β的集合为　　　　;若角β的终边落在第一、三象限的角平分线上,则β的集合为　　　　.
(根据上述题后反思的结论可得到结果)
[答案]　{β|β=k·180°, k ( http: / / www.21cnjy.com )∈Z}; {β|β=k·180°+45°, k∈Z}(或{β|β=k·180°+225°, k∈Z})
*【例3】　(教材第10页习题1.1第11题)如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).[9]
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(例3)
[处理建议]　此题较难,引导学生观察、分析阴影部分图形的特点.
[规范板书]　解　(1) 方法1:根据例2的变式可得{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°, k∈Z}.
方法2:{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°, k∈Z}∪
={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°, k∈Z}.
(2) {α|k·360°-150°≤α≤k·360°+120°, k∈Z}.
[题后反思]　(1)一个角按顺、逆时针 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转k·360° (k∈Z)角后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺、逆时针旋转k·360° (k∈Z)角后,所得“区间”仍与原区间重叠,因此,解决此类问题,我们可以首先在0°到360°范围内找出满足条件的角,然后在加上k·360° (k∈Z)即可.
(2) 此类问题要注意角的终边的大 ( http: / / www.21cnjy.com )小关系,以及按逆时针方向旋转的角是越来越大的.如第二小题表示为{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+120°, k∈Z}或{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+210°, k∈Z}都是错误的解答.
变式　若α是第四象限角,判断是第几象限角.[10]
[处理建议]　根据象限角的定义结合不等式的知识求解,最后来确定所在的象限.
[规范板书]　因为α是第四象限角,所以k·360°+270°<α故k·180°+135°<从而在第二或第四象限.
[题后反思]　在学生领悟了分类讨论的思想后,在此基础之上可增讲八卦图的巧解法.
四、 课堂练习
1. 已知角α为-30°,将角α的终边按逆时针方向旋转三周后的角的度数为1050°.
2. 钟表经过4小时,时针转了-120度.
提示　钟表每12个小时,时针顺时针转一圈,即转了-360°,故4小时转过的角度为×4=-120°.
3. 设A={α|α=k·360°+4 ( http: / / www.21cnjy.com )5°, k∈Z}, B={α|α=k·360°+225°, k∈Z}, C={α|α=k·180°+45°, k∈Z},D={α|α=k·360°-135°, k∈Z}, E={α|α=k·360°+45°或α=k·360°+225°, k∈Z},则相等的角集合为B=D, C=E.
提示　可通过分类讨论的方法或在直角坐标系中作出角用数形结合的方法来解决.
4. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并将集合中适合不等式-720°≤α<360°的元素α写出来.
(1) 60°; (2) -225°
解　(1) 与60°角终边相同的角的集合S={α|α=k·360°+60°, k∈Z},
当k=0时,α=60°;当k=-1时,α=-300°;当k=-2时,α=-660°.
(2) 因为-225°=-360°+135°,所以与-225°角终边相同的角的集合S={α|α=k·360°+135°,k∈Z},
当k=0时,α=135°;当k=-1时,α=-225°;当k=-2时,α=-585°.
五、 课堂小结
1. 任意角、终边相同的角的概念.
2. 与角α终边相同的角的集合为S ( http: / / www.21cnjy.com )={β|β=k·360°+α, k∈Z},这一结果表示角周而复始的变化规律,同时,它也是研究角之间关系的最为基础的知识.
3. 本节课主要涉及了数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法.
第2课时　弧　度　制
　 教学过程
一、 问题情境
在本章引言中,我们曾考虑用(r, l)来表示点P,那么r, l与α之间具有怎样的关系呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　在初中,我们是如何求一个扇形的弧长的
(回到学生的已有的知识体系中来解决此问题)
问题2　在弧长公式中,角α是如何度量的 度量的单位是什么 它的1个单位是怎么定义的 用这种单位制来度量角叫做什么制
(进一步引导学生复习旧的知识,达到温故而知新的目的)
问题3　除了上面用“度”作为单位来度量角的角度制外,我们有没有其他的方式来度量角呢
(引入课题)
通过学生自学,老师引导,得到1弧度角的定义、角的弧度与角的关系.
长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad.用弧度作为单位来度量角的单位制称为弧度制.
(二) 理解概念
1. 用弧度表示角的大小时,只要不引起误解,可以省略单位.
2. 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.
3. 1rad与圆的半径的大小没有关系.
(三) 巩固概念
练习:(1) 圆的半径为r,圆弧长为2r, 3r, 的弧所对的圆心角分别是2、 3、 .
(2) 若圆的半径为r,圆心角α所对的圆弧长为2πr,则α的弧度数就是2π.
问题4　角度制与弧度制如何换算
(引导学生从弧度定义出发归纳出角度制与弧度制的换算公式)
问题5　半径为r,圆心角为α的圆弧长是多少 此扇形的面积又是多少
(与角度制下的弧长及扇形面积公式相比较)
说明:
1. 在应用公式|α|=求圆心角时,要注意其结果是圆心角的弧度数的绝对值.
2. 应用弧度制后,弧长公式及扇形面积公式要比角度制中的公式要简单.
问题6　角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合是什么 它与实数集之间有怎样的对应关系
(进一步巩固弧度定义,从不同角度加深对弧度制的理解)
三、 数学运用
【例1】　把下列各角从弧度化为度:
(1) ;　　　　(2) 4.5.[2] (见学生用书P3)
[处理建议]　让学生独立思考,给出解答,老师给出规范解答.
[规范板书]　解　(1) rad=×=72°;
(2) 4.5rad=4.5×≈257.85°.
[题后反思]　若化为角度时不是整数,则 ( http: / / www.21cnjy.com )要注意近似计算的准确性,此时有两种表达形式,一是表示为度的形式,一是表示为度分的形式,要注意度与分之间的转换关系:1°=60'.
问题　知道了将弧度化为角度,那么,又该如何将角度化为弧度
变式1　把下列各角从度化为弧度:
(1) 75°;　　　　　　　(2) 22°30'.
[处理建议]　让学生进行板演,同时规范解题的格式.
[规范板书]　解　(1) 75°=75×=;
(2) 22°30'=22.5°=22.5×=.
[题后反思]　(1) 将带“分”的角度化为弧度,首先要将“分”化为“度”,然后再用换算公式转化;
(2) 用“弧度”为单位度量角,当弧度数用π来表示时,如无特殊要求,不必将π写成小数;
(3) 一些特殊角的弧度数应该加强记忆.
变式2　填写下表:[3]
角度 0° 30° 90° 135° 150° 180°
弧度
角度 240° 270° 300° 315°
弧度 2π
　　[处理建议]　要求学生一边填表,一边进行记忆.
解
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0 π
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 2π
　　【例2】　已知扇形的周长为10cm,圆心角为3rad,求该扇形的面积.[4] (见学生用书P4)
[处理建议]　扇形的周长包含2条半径和1条弧长,引导学生利用条件列出关于半径和弧长的二元一次方程组.
[规范板书]　解　设扇形的半径为r,弧长为l,则有
解得
故扇形的面积为S=rl=6(cm2).
[题后反思]　熟练地掌握弧长公式及扇形的面积公式,同时,重视方程思想的应用.
变式　一扇形的周长为20cm,当扇形的半径和圆心角各取何值时,这个扇形的面积最大 并求此扇形的最大面积.[5]
[处理建议]　根据弧长及扇形的 ( http: / / www.21cnjy.com )面积公式,用r表示出扇形面积S,转化为求有关函数的最值问题.求扇形面积的最值问题,常常将其转化成求函数特别是二次函数的最值问题,利用求函数最值的有关方法来求解,若含有参数,还应注意分类讨论.
[规范板书]　解　设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,即l=20-2r,从而可得0又S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,
当r=5时,S有最大值25,此时l=20-2×5=10,圆心角α==2(rad).
答:当扇形的半径为5cm和圆心角为2rad时,扇形的面积最大,最大值为25cm2.　
[题后反思]　当扇形的周长一定时,其面积有最大值.注意消元思想的应用及二次函数最值的求解,还要注意本题中的半径r∈(0, 10).
*【例3】　将下列各角化为2kπ+α(0≤α<2π, k∈Z)的形式,并判断其所在象限.
(1) π;　　　　(2) -1485°.
[处理建议]　师生共同分析,寻找解决问题的方法.
[规范板书]　解　(1) π=6π=3×2π+,它是第一象限角.
(2) 方法1:-1485°=-5×360°+315°=-5×2π+,它是第四象限角;
方法2:-1485°=-1485×=-=-5×2π+,它是第四象限角.
[题后反思]　将角度制表示为2kπ+α ( http: / / www.21cnjy.com ) (0≤α<2π k∈Z)的形式,有两种方法:一是先将角表示为k·360°+α (0°≤α<360°, k∈Z)的形式,然后再转化为弧度的表达形式;二是先将角度化为弧度,然后再转化为2kπ+α (0≤α<2π, k∈Z)的形式.
四、 课堂练习
1. rad=15°, -rad=-240°, 735°=rad, -1080°=-6πrad.
2. 若α=-3,则角α的终边在第三象限.
3. 与角终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+,k∈Z},与-角终边相同的角的集合为{α|α=2kπ-,k∈Z}.
4. 已知半径为36cm的圆上,有一段弧的长是75cm,则此弧所对的圆心角的弧度数为.
5. 用弧度制表示:
(1) 终边在x轴的正半轴上的角的集合;
(2) 终边在y轴上的角的集合;
(3) 终边在直线y=x上的角的集合;
(4) 终边在坐标轴上的角的集合.
解　(1) 终边在x轴的正半轴上的角的集合S1={β|β=2kπ, k∈Z};
(2) 终边在y轴上的角的集合 S2=ββ=kπ+, k∈Z;
(3) 终边在直线y=x上的角的集合S3=ββ=
kπ+, k∈Z;
(4) 终边在坐标轴上的角的集合S4=ββ=, k∈Z.
五、 课堂小结
1. 弧度的定义、弧度与角度之间的转化,以及弧度制下弧长公式及扇形的面积公式.
2. 会应用所学的知识来处理实际问题,同时,要注重方程思想及消元思想的应用.
第3课时　任意角的三角函数(1)
　 教学过程
一、 问题情境
引入教材的引言:用(r, α)与用坐标(x ( http: / / www.21cnjy.com ), y)均可表示圆周上点P,那么,这两种表示有什么内在联系 确切地说,用怎样的数学模型刻画(x, y)与(r, α)之间的关系
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　在前面的学习中,我们如何来研究角
(引导学生应用建立坐标系的方法来研究角,也是对前面的内容的复习)
问题2　在初中我们是如何研究锐角三角函数的
(复习锐角三角函数的定义,以便为研究任意角的三角函数定义打下基础)
问题3　我们能用建立坐标系的方法来研究锐角三角函数吗
(引导学生来沟通初中、高中两种研究方法的联系,为下面任意角的三角函数埋下伏笔)
通过讨论,结合图1,在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x, y),它与原点的距离是r(r=>0).
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
当α为锐角时,过P作PM⊥x轴,垂足为M.在Rt△OPM中,sinα=, cosα=, tanα=.
问题4　怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数
(由特殊推广到一般,通过对比,让学生对知识进行类比、迁移及联想,树立他们勇于探索的信心)
通过讨论,结合图2,给出任意角的三角函数的定义.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
一般地,对任意角α,我们规定:
(1) 比值叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=;
(2) 比值叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=;
(3) 比值叫做α的正切,记作tanα,即tanα=.
(二) 理解概念
1. 根据相似三角形的知识,对于终边不在坐标轴上的角α的三角函数值不受终边上的点P的位置的影响.
2. 对于确定的角α,比值和都唯一确定,故正弦和余弦都是角α的函数.
3. 当α=kπ+ (k∈Z)时,角α的终边在y轴上,故有x=0,这时tanα无意义,除此之外,对于确定的角α,比值也是唯一确定的,故正切也是角α的函数.
4. sinα, cosα, tanα分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数都称为三角函数.
问题5　由于角的集合与实数集 ( http: / / www.21cnjy.com )之间可以建立一一对应的关系,因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函数,那么,在弧度制下,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么呢
(函数的定义域是函数的三要素之一,讨论三角函数的定义域是顺里成章的事,同时,也是三角函数定义的具体应用)
通过讨论,借助于三角函数的定义,抓住分母等于0时比值无意义这一关键,可得正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别为R, R,.
问题6　根据三角函数的定义,我们得到了 ( http: / / www.21cnjy.com )三个三角函数的定义域.通过前面的学习,我们知道,在坐标系中,角的终边可能落在四个象限中,也可能落在坐标轴上,那么角所在的位置对三角函数的值有什么样的影响 这种影响表现在什么地方
(进一步加深三角函数的定义的应用,引导学生学会用知识)
通过讨论,分析可得正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号,如图3所示:
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(图3)
进一步引导,归纳出更为容易的记忆方法,如图4:
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
三、 数学运用
【例1】　已知角α的终边经过点P(2, -5),求α的正弦值、余弦值、正切值.[3] (见学生用书P5)
[处理建议]　紧扣三角函数的定义.
[规范板书]　解　因为x=2, y=-5,所以r==,
所以sinα===-, cosα===, tanα==-.
[题后反思]　学会用定义来处理问题.
变式　已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα, cosα, tanα的值.[4]
[处理建议]　启发学生将题目条件与三角函数定义联系起来.
解　在直线3x+4y=0上任取点P(4a, -3a) (a≠0),则r==5|a|.
当a>0时,sinα==-, cosα==, tanα==-;
当a<0时,sinα==, cosα==-, tanα==-.
[题后反思]　运用任意角的三角函数的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义来求三角函数值时,先要判断终边的可能位置,然后在终边上任意取一点,也可取一特殊点,求出该点到原点的距离,再由定义来进一步求解.若有参数,还要注意对参数进行分类讨论.
【例2】　确定下列三角函数值的符号:
(1) cos;　(2) sin(-565°);　(3) tan.[5] (见学生用书P6)
[处理建议]　先确定角是第几象限角,然后根据不同象限角的三角函数值的正、负进行判断.
[规范板书]　解　(1) ∵ 是第一象限角,∴ cos>0;
(2) ∵ -565°=-2×360°+155°,即-565°是第二象限角,∴ sin(-565°)>0;
(3) ∵ =4π+,即是第三象限角,∴ tan>0.
[题后反思]　正确确定角的终边所在的象限,是处理这类问题的关键.
【例3】　已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4, y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,求y的值.[6] (见学生用书P6)
[处理建议]　由题设条件确定θ是第几象限角,然后利用三角函数的定义求解.
[规范板书]　解　r==,且sinθ=-,所以sinθ===-,得y2=64.
由题意知θ为第四象限角,所以y=-8.
[题后反思]　若已知角终边上一点,则x, y, r即可确定.本题求解时应注意隐含条件θ为第四象限角.
*【例4】　若sinα<0且tanα>0,确定α是第几象限角.[7]
[处理建议]　让学生先回忆三角函数值在四个象限(包括在坐标轴上)的符号规律.
[规范板书]　∵ sinα<0, ∴ α是第三、四象限角或终边在y轴的负半轴上;
又tanα>0, ∴ α是第一、三象限角.
综上可得α是第三象限角.
[题后反思]　本题的易错点在于由sinα<0得出α是第三、四象限角,而忽略掉它的终边还有可能在y轴的负半轴上,从而导致解题不完善.
四、 课堂练习
1. 已知角α的终边经过点P(5, 12),则sinα+cosα=.
2. 若sinθcosθ<0,则角θ的终边在第二、四象限.
3. sin1 cos2 tan3值的符号是正.
4. 已知角α的终边过点(3x-9, x+2),且cosα≤0, sinα>0,则x的取值范围是(-2, 3].
提示　由cosα≤0, sinα>0得故-2五、 课堂小结
1. 任意角的三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号规律.
2. 重视数形结合思想、类比思想在分析问题和解决问题中的作用.
第4课时　任意角的三角函数(2)
　 教学过程
一、 问题情境
在前面的学习中,我们知道,角α的三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com )值与角的终边上的点P(x, y)的位置是无关的,那么我们就可以在角的终边上取一些特殊的点,让问题研究变得简单些.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　在角α的终边上取什么样的点,可以让我们在研究问题时变得简单呢
(引导学生说出:考虑单位长度,从而引进单位圆的概念)
圆心在坐标原点,半径等于单位长度的圆,叫做单位圆.
问题2　在单位圆中,角α的正弦值、余弦值分别是多少
(引导学生得到sinα=y,cosα=x)
问题3　x, y分别是角α的终边与单位圆的交点的横、纵坐标,我们能将它们用几何量表示出来吗
(引导学生过点P作x轴的垂线,交x轴于点M, ( http: / / www.21cnjy.com )从而将线段OM,MP的长度与x, y联系起来,即OM的长度等于|x|,MP的长度等于|y|,为引进有向线段作铺垫)
问题4　我们能否直接用线段OM,MP的某种形式来表示x, y,也即表示角α的余弦值、正弦值呢
(为此,进一步引导学生考虑,请学生讨论解决问题的方法)
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(图1)
结合图1,进行如下思考:
当角α的终边不在坐标轴上时,若x>0 ( http: / / www.21cnjy.com ),则x即为OM的长度;若x<0,则x即为OM的长度的相反数.同理,若y>0,则y即为MP的长度;若y<0,则y即为MP的长度的相反数.
问题5　在前面的学习过程中,我们遇到过类似的情境吗
(引导学生与正数、负数及正角、负角的概念进行类比,由此,来规定线段、直线的方向,引进有向线段、有向直线的概念)
有向线段是指规定了方向(即规定了起点和终点)的线段.类似地,规定了正方向的直线称为有向直线(如x轴、y轴).
(二) 理解概念
1. 有向线段的方向是由起点和终点产生的,有向直线的方向是由正方向产生的.
2. 当有向线段AB在有向直线l上或 ( http: / / www.21cnjy.com )与有向直线l平行时,若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相同,则在它的长度添上正号;若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相反,则在它的长度添上负号,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB.
问题6　引进有向线段的数量后,在图1中, x, y分别与哪个有向线段的数量对应
通过讨论,得到x=OM, y=MP,从而有sinα=MP, cosα=OM.
我们把有向线段MP,OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.
问题7　类似地,我们能引进正切线的概念吗
(学生讨论,师生共同探讨,引导学生思考这里需要解决什么问题)
由于tanα=,根据前面正弦、余弦的经验,我们应该让== ,从而找到 所代表的有向线段的数量.由此得正切线(如图2所示).
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(图2)
当角α终边在y轴的右侧时,在角α终边上取点T(1, y'),则tanα==y'=AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点);当角α终边在y轴的左侧时,在角α终边的反向延长线上取点T(1, y'),由于它关于原点的对称点Q(-1, -y')在角α的终边上,故有tanα==y'=AT.因此把有向线段AT叫做角α的正切线.[3]
当角α终边在不同象限时,其三角函数线如图3所示.
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(图3)
特殊情况:
① 当角α的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成了一点,数量为零,而余弦线OM等于1或-1;
② 当角α的终边在y轴上时,正弦线OM等于1或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,而正切线不存在.
三、 数学运用
【例1】　分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
(1) ;　(2) ;　(3) -;　(4) -.[4] (见学生用书P7)
[处理建议]　可让学生参见教材P13图1-2-8的作法.
[规范板书]　解　
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(例1)
图(1)、(2)、(3)、(4)中的MP,OM, AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.
[题后反思]　作三角函数线分三步:①先画 ( http: / / www.21cnjy.com )出单位圆,柱注点A(1, 0);②准确作出角α的终边,找到角α的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M,过点A作x轴的垂线交角α的终边(或角α的终边的反向延长线)于点T;③写出结论:正弦线为有向线段MP、余弦线为有向线段OM、正切线为有向线段AT.
【例2】　比较下列各组三角函数值的大小:
(1) sin35°, sin55°;　(2) cos, cos;　(3) tan1, tan2.[5] (见学生用书P8)
[处理建议]　引导学生作出单位圆中的三角函数线来比较大小.
解　(1)sin35°cos;　(3) tan1>tan2.
[题后反思]　三角函数线是有方向的,与x轴、y轴的正方向相反的三角函数线,长度越长,它所表示的有向线段的数量越小,即三角函数值越小.
问题1　从例2中,我们可以领悟到利 ( http: / / www.21cnjy.com )用单位圆中的三角函数线可以比较三角函数值的大小,那么,我们能利用它研究正弦函数、余弦函数在区间[0, 2π]上的单调性吗
问题2　我们能利用单位圆中的三角函数线研究正切函数在区间上的单调性吗
问题3　我们能利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数、正切函数的值域吗
(让学生自主探究,一方面是对例题的加 ( http: / / www.21cnjy.com )深、拓展,同时,让学生深化对三角函数线的理解;另一方面也可以为研究三角函数的性质作铺垫,并在这个过程中培养学生的探究能力)
【例3】　利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合:
(1) sinα=;　(2) cosα=-;　(3) tanα=.[6](见学生用书P8)
[处理建议]　由学生作出相应的三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com )线,互相之间进行讨论,研究,师生共同完成解答.在确定答案时,要引导学生先找出一个满足条件的角,然后写出与该角终边相同的角的集合,从而得到问题的答案.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[规范板书]　解　(1) 作出如图所示的图形,则根据图形可得α|α=2kπ+或α=2kπ+, k∈Z;
(2) α|α=2kπ+或α=2kπ+, k∈Z(图略);
(3) (图略).
[题后反思]　要提醒学生注意正弦线平行于y轴或在y轴上,而余弦线在x轴上,这是此题的易错点.
变式　利用单位圆写出符合不等式cosα≥-的角α的集合.[7]
[处理建议]　引导学生正确作图.
[规范板书]　解　作出如图所示的图形,则根据图形可得,满足条件的角α的集合为α|2kπ-≤α≤2kπ+, k∈Z.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式)
[题后反思]　解决此类问题一 ( http: / / www.21cnjy.com )般可分为三步:(1)求出边界的值;(2)标出满足条件的区域;(3)根据区域写出满足条件的答案.另外,还要注意,是否包括边界,通常情况下,包括边界的,边界用实线表示,不包括边界的,边界用虚线表示.
*【例4】　已知α为锐角,求证:1[处理建议]　引导学生去思考sinα, cosα可以用单位圆中的正弦线、余弦线表示出来,那么1, 能用什么表示出来 从而联想到单位圆中的半径1及扇形的弧长、面积(都与π有关),由此得到本题的解题思路.
[规范板书]　
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
解　如图,设单位圆与x轴、 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴的正半轴分别交于点A, B,角α的终边与单位圆交于点P(x, y),过P作PD⊥Ox, PE⊥Oy, D, E为垂足.
因为y=sinα, x=cosα,在△OPD中,OD+DP>OP,从而sinα+cosα>1.
　　又S△POA=OA·PD=sinα, S△POB=OB·PE=cosα,
而S扇形OAB=·×12=,且S扇形OAB>S△POA+S△POB,
故sinα+cosα<,从而1[题后反思]　(1)利用单位圆把三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com )转化为单位圆中某些线段的长;(2)利用整体的面积大于部分的面积证明三角函数的不等关系是证明这类问题的常用方法.
四、 课堂练习
1. 已知MP, OM, AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线,则这三条线长从小到大的排列顺序是OM, MP, AT.
2. 如果角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等,且符号相异,那么α的值为或.
3. 设MP和OM分别是π角的正弦线和余弦线,给出以下不等式:
① MPMP>0;　③ OM0>OM.
其中正确的是④(填序号).
4. 利用单位圆比较大小:
(1) sin25°(2) cos=cos;
(3) tan(4) tanπ>tan.
五、 课堂小结
1. 单位圆的概念,有向线段、有向直线的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义,正弦线、余弦线、正切线的定义.三角函数线都是一些特殊的有向线段,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,它们是三角函数的几何表示.
2. 应用单位圆中的三角函数线,解决了一些 ( http: / / www.21cnjy.com )与三角函数有关的问题,如比较三角函数值的大小,求角或角的范围.这里,关键在于要学会用数形结合的思想来解决问题,同时,也是培养学生数形结合意识的好机会.
第5课时　同角三角函数关系(1)
　 教学过程
一、 问题情境
当角α确定后,α的正弦、余弦、正切值也随之确定,它们之间有何关系
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　设点P(x, y)为单位圆上任意一点,则x, y满足什么关系
(结合前面知识,引导学生说出:x2+y2=1)
问题2　设角α的终边与单位圆 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点P,则点P的坐标是什么 那么sinα与cosα满足什么关系 tanα与sinα,cosα之间满足什么关系
(引导学生研究任意角的三种三角函数之间的关系,得出三角函数的基本关系式)
通过讨论,结合图1,给出同角三角函数的基本关系式:
sin2α+cos2α=1, tanα=.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
问题3　上述两式对于任意的α都成立吗
(引导学生理解等式成立的条件,突出三角函数的定义域)
sin2α+cos2α=1对于任意的角α都成立,tanα=在α≠kπ+ (k∈Z)时成立.
问题4　对于任意的两个角α, β, sin2α+cos2β=1能恒成立吗
(引导学生理解三角函数的基本关系式中,突出“同角”)
问题5　你能给出同角三角函数的基本关系式的几种变形吗
(引导学生进一步理解公式的形式,培养学生思维的灵活性)
(二) 理解概念
1. 注意“同角”,至于角的形式无关重要,如sin24α+cos24α=1等.
2. 注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如tanα= (α≠kπ+, k∈Z),以后遇到的关系式(包括已证的和待证的)也是这样.解题中,如果没有特殊说明,一般都把关系式看成有意义的.
3. 对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用,如:公式的几种常见变形,sin2α=1-cos2α, cos2α=1-sin2α, cosα=±, sinα=±(注意分析“±”号的选取);sinα=cosα·tanα, cosα=等.
三、 数学运用
【例1】　已知cosα=,且α是第四象限角,求sinα, tanα的值.[3] (见学生用书P9)
[处理建议]　引导学生直接运用公式求解,但应注意角所在象限.
[规范板书]　解　因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=1-cos2α=1-=.
又α是第四象限角,因此sinα<0,故sinα=-, tanα==×=-.
[题后反思]　已知某角的一个三角 ( http: / / www.21cnjy.com )函数值,可以利用同角三角函数的基本关系式求出这个角的另外两个三角函数值(即“知一求二”).求解过程中应该注意,利用平方关系求值时,由于要开平方,就面临一个正负号的选择问题,为此要讨论角所在的象限.
思考1　若角所在的象限是未知的,我们又该如何处理呢
变式1　已知tanα=2,求sinα和cosα的值.[4]
[处理建议]　让学生比较此题与例1的区别及联系,从中找到解题的方法与步骤.
[规范板书]　解　由=tanα=2,可得sinα=2cosα.
又sin2α+cos2α=1,故(2cosα)2+cos2α=1,解得cos2α=.
又由tanα=2>0,知α是第一或第三象限角.
若α是第一象限角,则cosα=, sinα=;
若α是第三象限角,则cosα=-, sinα=-.
[题后反思]　本题的解题中,将正切化为正弦 ( http: / / www.21cnjy.com )与余弦,一方面与解题目标相近,另一方面,也是“消元思想”的体现.在三角函数的解题中,经常会将“切”化“弦”.
思考2　上述解法的本质是什么
将sinα, cosα看成两个未知数,通过建立方程组的方法来解出它们的值,它是一种方程思想的体现.
思考3　我们能直接找到tanα与sinα或cosα的关系吗
解法2:因为sin2α+cos2α=1,所以tan2α+1=,从而cos2α=.以下同上面的解法.
变式2　已知tanα=2,求下列各式的值:
(1) ;
(2) sin2α+2sinαcosα+3cos2α.[5] (见学生用书P10例3)
[处理建议]　引导学生尝试用不同的方法求解.
[规范板书]　解　(1)方法1:由tanα=2得sinα=2cosα,故==;
方法2:===;
方法3:由tanα=2得sinα=2cosα,
又sin2α+cos2α=1,故(2cosα)2+cos2α=1,解得cos2α=.
又由tanα=2>0,知α是第一或第三象限角.
若α是第一象限角,则cosα=, sinα=,从而==;
若α是第三象限角,则cosα=-, sinα=-,从而==.
(2) 解法1:sin2α+2sinαcosα+3cos2α=cos2α(tan2α+2tanα+3)=11cos2α.
又由sin2α+cos2α=1得1+tan2α=,故cos2α=,从而原式=.
解法2:sin2α+2sinαcosα+3cos2α===.
解法3:(同(1)的解法3,略)
[题后反思]　(1) 上述三种解法中,以解法一、二较为简便,解法三较为繁琐.一般地,已知tanα或sinα与cosα的关系,求, (齐次式)的值,可利用分子、分母同除以cosα, cos2α转化为tanα的表达式,也可将正弦转化为余弦再约分求值;如果要求sinα, cosα的值,可采用解方程(组)的方法求解,需要注意的是要对角α所在的象限进行讨论.
(2) 学习中,要注意灵活地运用知识,对所学的公式进行适当的变形来使用,如本题中所用的由sin2α+cos2α=1得到1+tan2α=,这样就直接沟通了正切与余弦的关系.
(3) 第(2)小题解法2中应用了常数“1”的代换,将1看成sin2α+cos2α,简化了问题.
【例2】　已知sinx+cosx=,且0(1) sin4x+cos4x;　(2) tanx.[6] (见学生用书P10)
[处理建议]　本题可直接求出sinx, ( http: / / www.21cnjy.com ) cosx的值,再代入求解即可;也可将待求解的式子进行转化,如(1)式进行降幂,(2)式通过齐次式求tanx.
[规范板书]　方案一:解出sinx, cosx的值.
方法1:由题意得
解得或
又0(1) sin4x+cos4x=+=;
(2) tanx==-.
方法2:由sinx+cosx=两边平方,得1+2sinxcosx=,即sinxcosx=-,将它与sinx+cosx=联立成方程组,解得　或
又0方法3:由方法2得sinxcosx=-<0,而00, cosx<0,
故sinx-cosx===,与sinx+cosx=联立解得下同方法1.
方案二:根据目标,进行化归.
方法4:由上述方法2得sinxcosx=-,从而
(1) sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2×=;
(2) 由sinxcosx===-,解得tanx=-或tanx=-.
若tanx=-,则sinx+cosx=(1-)cosx=,即cosx=,
而由sinxcosx=-<0, 00, cosx<0,与cosx=矛盾,故tanx=-不成立,
从而tanx=-.[7]
*【例3】　已知sinθ, cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根(a∈R).
(1) 求sin3θ+cos3θ的值;
(2) 求tanθ+的值.[8]
[处理建议]　本题的易错点在于不能正确地求出a值,从而得到增根.要引导学生思考方程的根所满足的条件,从而得到正确的结果.
[规范板书]　解　依题意,有
从而得a2=1+2sinθcosθ=1+2a,解得a=1±.
因为sinθcosθ≤1,故a=1-.
(1) sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=a(1-a)=-2.
(2) tanθ+=+===--1.
[题后反思]　由于sinθ, co ( http: / / www.21cnjy.com )sθ的自身的取值范围影响着a的取值,所以,在解题中要注意挖掘题目中的隐含条件,同时,对于含“切”的式子常化为“弦”来处理.
四、 课堂练习
1. 已知cosα=, α∈ (0, π),则tanα=.
2. 已知tanθ=-,则sinθ+cosθ=±.
提示　sinθ+cosθ=cosθ(1+tanθ)=cosθ,由sin2θ+cos2θ=1得tan2θ+1=,从而cosθ=±,故sinθ+cosθ=±.
3. 若=2,则tanα=1.
4. 已知A是三角形的一个内角,且sinA+cosA=,则这个三角形的形状是钝角三角形.
提示　由条件可得sinAcosA=-,又0五、 课堂小结
1. 对同角三角函数的基本关系式,要注意两个方面:一是“同角”;二是“有意义”.
2. 应用同角三角函数的基本关系解题时,要注意常见的几种变形的应用:
(1) 切化弦;
(2) 正弦、余弦的“齐次式”化为正切;
(3) 常数“1”的代换;
(4) (sinx±cosx)2=1±2sinxcosx.
3. 要学会从不同的角度来分析同一个问题,培养思维的灵活性、简洁性与严谨性.
第6课时　同角三角函数关系(2)
　 教学过程
一、 问题情境[3]
上节课,我们学习了同角三角函数基 ( http: / / www.21cnjy.com )本关系式,并利用它解决了有关的三角函数的求值问题,那么,除了求值外,我们还可以利用同角三角函数的基本关系式解决三角函数的什么问题呢
二、 数学运用
【例1】　化简:(1) ;
(2) .[4](见学生用书P11)
[处理建议]　(1)引导学生思考同角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角函数的基本关系式有什么作用,进而采用切化弦的方法来减少函数名的个数,解决第一小题.(2)引导学生如何进行开方运算,进而引导学生想方设法来化平方式,从而解决问题(2).
[规范板书]　解　(1) =
　　==cosθ;
(2)
=
=
==1.
[题后反思]　(1)化简后的三角函 ( http: / / www.21cnjy.com )数式应满足以下几点:①项数最少;②三角函数的种类最少;③三角函数的次数最低;④分母尽可能不含三角函数;⑤不含特殊角的三角函数值.
(2) 化简三角函数时,应注意三角公式的正用、逆用及变形运用,还应注意运用乘法公式及因式分解等变形方式,去根号时要保证其为正值.
思考1　化简题的总的解题目标是什么
(引导学生说出:化繁为简、化异为同、化分式为整式等)
思考2　在解决三角函数的化简问题时,如何做到化异为同
化异为同即表现在:(1)化函数名相同,常用化切为弦、化正弦、余弦的齐次式为正切等;(2)化角相同,常用变角的方法.
【例2】　(1) 已知α是第三象限角,化简:-;
(2) 化简:.[5](见学生用书P11)
[处理建议]　引导学生从开方运算方法 ( http: / / www.21cnjy.com )及如何应用同角三角函数的基本关系式两个方面来思考问题,采用小组合作讨论交流的方式来集思广益,最后由学生展示.
[规范板书]　解　(1) 方法1:由α是第三象限角得-=-
=-=-=-2tanα;
方法2:由α是第三象限角得
-=-
===-2tanα.
(2)
=
=
=cos2θ.
[题后反思]　在解决三角函数的化简问题时,化高次化低次的常用方法:(1)利用sin2α+cos2α=1;(2)应用乘法公式或因式分解.
【例3】　(教材第17页例4)求证:=.[6](见学生用书P12)
[处理建议]　引导学生回忆初中阶段证明代数恒等式的方法:(1)从一边开始证得另一边,一般由繁到简;(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;(3)比较法:即设法证明“左边-右边=0”或“=1”.
[规范板书]　证法1:因为-==0,所以=;
证法2:因为==1,所以=;
证法3:左边=
===右边;
证法4:因为(1+cosα) (1-cosα)=1-cos2α=sin2α,
又1+cosα≠0, sinα≠0,所以=.
证法5:要证:=,即证(1+cosα) (1-cosα)=sin2α,
因为(1+cosα) (1-cosα)=1-cos2α=sin2α,所以=成立.
[题后反思]　以上几种证明方法有以下特点:
(1) 化异为同,即减少不同名的三角函数,或切化弦,或弦化切;
(2) 多项式运算技巧的应用,如因式分解等;
(3) 条件和结论的整理和配置,以及同角关系的应用,若一时不易找到思路,可采用分析推理,寻找解题的突破口.
【例4】　(教材第23页习题1.2第14(2)题)求证:=.[7](见学生用书P12)
[处理建议]　可以先对左边进行化简,化弦为切,也可以先对右边进行恒等变形,化切为弦.
[规范板书]　证明　方法1:(化切为弦)右边
===
==左边.
方法2:左边=
==
==右边.(其余证法略)
[题后反思]　在证明三角恒等式时,要注意紧紧抓住目标来实施解题计划.
三、 课堂练习
1. 化简(+)(1-cosα)的结果是sinα.
解　原式=(+)(1-cosα)==sinα.
2. 化简的结果是sin80°-cos80°.
解　
=
=|sin80°-cos80°|
=sin80°-cos80°.
3. 若角α的终边落在直线x+y=0上,则+的值等于0.
解　+=+
.
当α的终边在第二象限时,原式=+=0;
当α的终边在第四象限时,原式=+=0.
4. 求证:(1) 1+tan2α=;
(2) tan2αsin2α=tan2α-sin2α.
证明　(1) 左边=1+===右边;
(2) 左边=·sin2α=,右边=-sin2α=sin2α=sin2α·=.
故左边=右边,从而等式成立.
四、 课堂小结
1. 对三角函数的基本关系式的应用要会正用、逆用、变用、活用.
2. 对于三角函数式的化简或证明,要本着化繁为简、化异为同、化高次为低次、化分式为整式的原则.
3. 三角恒等式的证明,其思维模式可以归纳为三点:
(1) 发现差异:观察角、函数、运算结构的差异;
(2) 寻求联系:运用相关公式,找出转化差异的联系;
(3) 合理转化:选择恰当的公式,实现差异的转化.
第7课时　三角函数的诱导公式(1)
　 教学过程
一、 问题情境
在初中,我们已经知道了一些锐角的三角函数值,而现在我们已把角的概念推广到了任意角,那么,它们的三角函数值你能求吗 比如sin, cos, tan,它们能否转化为锐角的三角函数值
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　与角α终边相同的角的表示形式是什么 它们的三角函数值之间具有怎样的关系
(结合前面知识,引导学生说出:终边相同的角的三角函数值相等)
由此得诱导公式一:sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα, tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z).
问题2　除此之外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,你能找出一些特殊的关系吗
(引导学生说出角的终边关于x轴、y轴、坐标原点等对称)
问题3　若角α与β的终边关于x轴对称,则它们具有什么关系
(引导学生说出β=2kπ-α (k∈Z))
问题4　若角α, β的终边分别与单位圆交于点P,Q,则P,Q的坐标分别是什么 它们有什么关系
(引导学生得到P(cosα, sinα), Q(cosβ, sinβ),且sinβ=-sinα, cosβ=cosα)
由此得到sin(2kπ-α)=-sinα, cos(2kπ-α)=cosα,
同时tan(2kπ-α)===-tanα,
特别地,当k=0时,得诱导公式二:sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα.
问题5　由公式二,你可得到三角函数具有什么性质
(引导学生得到正弦函数、余弦函数、正切函数分别为奇函数、偶函数、奇函数)
问题6　若角α与β的终边关于y轴对称,则它们具有什么关系 它们的三角函数值有什么关系
(引导学生类似地得:sinβ=sinα, cosβ=-cosα, tanβ=-tanα)
特别地,角π-α与α的终边关于y轴对称,故有诱导公式三:
sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.
问题7　若角α与β的终边关于坐标原点O对称,则它们具有什么关系 它们的三角函数值有什么关系
(引导学生类似地得:sinβ=-sinα, cosβ=-cosα, tanβ=tanα)
特别地,角π+α与α的终边关于坐标原点O对称,故有诱导公式四:
sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.
(二) 理解概念
1. 公式二、三、四的推导都突出了对称思想,它们的实质是将终边的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系.
2. 2kπ+α (k∈Z), -α, π±α的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
三、 数学运用
【例1】　求值:
(1) sin;　　　　　　　　(2) cos;
(3) tan(-1590°).[3](见学生用书P13)
[处理建议]　运用诱导公式一至四,将所求三角函数化为锐角的三角函数.
[规范板书]　解　(1) sin=sin=-sin=-;
(2) cos=cos=cos=cos=;
(3) tan(-1590°)=-tan1590°=-tan(4×360°+150°)=-tan150°=-tan(180°-30°)=tan30°=.
[题后反思]　用诱导公式可将任意角的三 ( http: / / www.21cnjy.com )角函数化为锐角的三角函数,其一般步骤是:①化负角的三角函数为正角的三角函数;②化为[0, 2π)内的三角函数;③化为锐角的三角函数.可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值).
变式　化简:
(1) ;
(2) (n∈Z).[4]
[处理建议]　引导选择适合的诱导公式,若不能直接应用公式,应让学生先进行转化后应用诱导公式.
[规范板书]　解　(1) 原式
=
==-1.
(2) 当n=2k (k∈Z)时,原式==;
当n=2k+1 (k∈Z)时,原式
=
=
===-.
[题后反思]　对于第(2)小题,由于n为奇数和偶数时,所用诱导公式不同,所以要对n进行分类讨论.
【例2】　判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=x·sinx;　(2) g(x)=x+tanx.[5]
(见学生用书P14)
[处理建议]　由函数奇偶性的定义及诱导公式二即可判断.
[规范板书]　解　(1) ( http: / / www.21cnjy.com ) 因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)sin(-x)=x·sinx=f(x),所以f(x)为偶函数.
(2) 因为函数g(x)的定义域为,且g(-x)=-x+tan(-x)=-(x+tanx)=-g(x),所以g(x)为奇函数.
[题后反思]　判断函数的奇偶性,一定要首先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称,否则,就容易得到错误的结论.
变式　已知a∈R,函数f(x)=sinx-a (x∈R)为奇函数,试求a的值.[6]
[处理建议]　从奇函数的定义出发来求解.
[规范板书]　解　因为f(x)为R ( http: / / www.21cnjy.com )上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)对于x∈R恒成立,即sin(-x)-a=-(sinx-a),故2a=0,从而a=0.
[题后反思]　由函数的奇 ( http: / / www.21cnjy.com )偶性来求参数的值,是函数中的一种常见题型,此类问题常有两种解法,一是利用奇偶性来得到一个恒等式,转化为恒成立问题来解决;二是先特殊化,求出变量的值后,再证明所求的值满足题意.
*【例3】　已知=3,求tan(5π-α)的值.[7]
[处理建议]　引导学生先应将已知条件及所求的三角函数进行化简,然后再进行求解,即要有化繁为简的意识.
[规范板书]　解　因为
==
=-=3,所以sinα=-.
当α在第三象限时,cosα=-=-,从而tan(5π-α)=tan[4π+(π-α)]=tan(π-α)=-tanα=-=-;
当α在第四象限时,cosα==,从而tan(5π-α)=-tanα=.
[题后反思]　诱导公式1~4是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )有机的整体,解题时要根据角的特征,选取适当的诱导公式进行化简运算.对形如“nπ±α (n∈Z)”的形式,应根据n的奇偶性来处理:若n为偶数,则直接转化为“±α”后,再应用公式;若n为奇数,则转化为“2kπ+(π±α)”的形式,再利用诱导公式转化.对形如“α-π”的角,应转化为“-(π-α)”的形式.
四、 课堂练习
1. cos=-.
解　cos=cos=cos=
cos=-cos=-.
2. 2sin+4cos-2tan的值是.
解　原式=2sin+4cos+2tan=+2-2=.
3. 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=x+sinx;　(2) f(x)=sinxcosx.
解　(1) 因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2) 因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x),所以f(x)为奇函数.
4. 化简:.
解　原式===tanα.
五、 课堂小结
1. 本节课推导了四组诱导公式 ( http: / / www.21cnjy.com ),公式一至公式四记为:α+2kπ (k∈Z), -α, π±α的三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2. 在推导诱导公式的过程中,应用了对称的思想.
3. 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般步骤是:
①化负角的三角函数为正角的三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com );②化为[0°, 360°)内角的三角函数;③化为锐角的三角函数.可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值).
第8课时　三角函数的诱导公式(2)
　 教学过程
一、 问题情境
在Rt△ABC中,∠C=90°,则它们的两个锐角A,B的三角函数值之间有什么关系
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　在Rt△ABC中,A=-B,则有sinA=cosB, cosA=sinB成立,那么,对于任意的两个角α, β,若β=-α,是否也有sinβ=cosα, cosβ=sinα成立呢
(结合初中知识,引导学生从特殊推广到一般)
问题2　若β=-α,则α, β的终边具有什么关系 　
(引导学生说出α, β的终边关于直线y=x对称)
问题3　反之,若角α, β的终边关于直线y=x对称,则α, β有什么联系
(引导学生理解说出β=2kπ+-α (k∈Z))
问题4　若角α, β的终边关于直线y=x对称,它们分别与单位圆交于点P, Q,则P, Q的坐标分别是什么 它们有什么关系
根据三角函数的定义,点P(cosα, sinα), Q(cosβ, sinβ),又P, Q关于直线y=x对称,则
由此可得
特别地,角α与-α的终边关于直线y=x对称,因此可得诱导公式五:
sin=cosα, cos=sinα.
(二) 理解概念
1. 诱导公式五是直角三角形中两锐角间的三角函数关系的推广.
2. 由诱导公式五可得tan=.
3. 诱导公式五中的α的取值范围是一切实数,在公式中以-α代替α,得
sin=cos(-α)=cosα,
cos=sin(-α)=-sinα.
此为诱导公式六.同时,可得tan=-.
4. 诱导公式揭示了终边 ( http: / / www.21cnjy.com )具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系,换句话说,诱导公式的实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系.
5. 诱导公式的结构特征:奇变偶不变,符号看象限.公式的作用:化任意角的三角函数为锐角的三角函数求解.
三、 数学运用
【例1】　化简:
(1) ·sin·cos;　　(2) .[3](见学生用书P15)
[处理建议]　让学生进行“变角”,转化为公式的形式,进而应用诱导公式来解决问题.
[规范板书]　解　(1) 原式=·
·sinα=·(-cosα)sinα=cos2α;
(2) 原式=
===cosα.
[题后反思]　将代数式变形成诱导公式的形式,是利用诱导公式的前提.本例(2)中把不熟悉的角-α写成熟悉的角π+,体现了“换角”的方法.
变式　已知sin=,且α是第三象限角,求sin(α-7π)的值.[4]
[处理建议]　引导让学生对-α进行“变角”,从而化简已知三角函数式.
[规范板书]　解　由sin=,有sin=,所以sin=-,即cosα=-.
又α是第三象限角,所以sinα<0,从而sinα=-=-,
所以sin(α-7π)=-sin(7π-α)=-sin(π-α)=-sinα=.
[题后反思]　本题先考虑利用诱 ( http: / / www.21cnjy.com )导公式对已知和所求进行化简,再用同角三角函数关系来沟通已知与所求.对于此类三角函数求值问题,也需要关注已知与所求之间的直接联系.
【例2】　(教材第21页例4)已知cos(75°+α)=,且-180°<α<-90°,求cos(15°-α)的值.[5](见学生用书P16)
[处理建议]　引导学生设法将所求角(未知角) ( http: / / www.21cnjy.com )15°-α表示成已知角75°+α的形式,即15°-α=90°-(75°+α).解题的关键是寻找所求角(未知角)与已知角的关系.
[规范板书]　解　由-180°<α<-90°得-105°<75°+α<-15°,则sin(75°+α)<0.
又cos(75°+α)=,所以cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=-
=-=-.
[题后反思]　本例体现了“换角”的方法.在寻找条件与结论之间的关系时,常采用整体思想.本题也可用换元法求解:令β=75°+α,则α=β-75°,从而15°-α=15°-(β-75°)=90°-β,因此,问题转化为已知cosβ=,且-105°<β<-15°,求cos(90°-β)的值.这样问题的条件与结论之间的联系更为清楚、明白.
变式　设tan=a,求值:
.[6]
[处理建议]　引导学生共同讨论角的联系,采用整体思想来处理问题.
[规范板书]　解　令β=α+,则α=β-,从而
原式=
===.
[题后反思]　充分应用整体思想来处理问题,可化繁为简.
*【例3】　是否存在角α, β,且α∈, β∈ (0, π),使等式sin(3π-α)=cos, cos(-α)=-cos(π+β)同时成立 若存在,求出α, β的值;若不存在,说明理由.[7]
[处理建议]　先引导学生化简三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com )式,然后共同探讨怎样解决是否存在性问题(先假设存在,把假设作为一个条件来研究问题),最后再引导学生求出角α, β.
[规范板书]　解　假设存在满足条件的角α, β,则由sin(3π-α)=cos可得sinα=sinβ,
由cos(-α)=-cos(π+β)可得cosα=cosβ,
将上述两式平方相加得:sin2α=,因为α∈,所以sinα=±,故α=±.
当α=时,cosβ=,因为β∈ (0, π),故β=;
当α=-时,cosβ=,因为β∈ (0, π),故β=.
综上所述,存在α, β满足条件,其中或
[题后反思]　利用同角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角函数的基本关系式来进行消元,是解本题的关键.在解题中,若题目中有多个变量,且它们之间存在着某种等量关系,我们就可以利用这种等量关系进行消元,从而简化问题.
四、 课堂练习
1. 已知sinα=,则cos=-.
解　cos=-cos=-sinα=-.
2. 化简的结果是cosα.
解　原式==cosα.
3. 化简sin262°+tan54°·tan45°·tan36°+sin228°的结果是2.
解　原式=sin262°+tan54°·1·tan(90°-54°)+sin2(90°-62°)=sin262°+tan54°·+cos262°=1+1=2.
4. 已知sin=,求cos的值.
解　令α-=β ,则α=+β,+α=+β,
所以cos=cos=-sinβ=-.
五、 课堂小结
1. 在推导诱导公式五、六中,应用了对称思想、数形结合思想、化归思想.
2. 要学会寻找所求角(未知角)与已知角之间的关系,正确运用诱导公式.记忆诱导公式要诀:奇变偶不变,符号看象限.
第9课时　三角函数的周期性
　 教学过程
一、 问题情境
观察下列图象,
( http: / / www.21cnjy.com )
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　这些图象具有怎样的共同规律
(所有图象都是每隔一定的单位(记为T)重复出现,具有周而复始的特征)
问题2　怎样用数学语言刻画上述图象的“周而复始”这一特征
(引导学生看到两个自变量,当它们间隔为T的时候,函数值始终相等)
通过讨论,给出函数f(x)的周期性的定义.
一般地,对于函数f(x) ( http: / / www.21cnjy.com ),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(二) 理解概念
1. 周期函数是用f(x+T)=f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)刻画,非常形象,注意关系式f(x+T)=f(x)为恒等式,对定义域中任何x均成立,只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)或存在x值不满足f(x+T)=f(x)都不能说T是f(x)的周期.
2. T≠0.
问题3　观察上面的三个图象,请问周期函数的周期唯一吗
(周期函数的周期有无数个)
问题4　若T是函数的周期,那么你还能发现其他周期吗
(若T为函数周期,则kT (k≠0, k∈Z)也为函数的周期(但要求x+kT在定义域内))
通过上述两个问题的讨论,得到以下概念:
最小正周期的概念:对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.
(三) 巩固概念
问题5　请说出上面三个图象所对应函数最小正周期.
答:第一个函数的最小正周期为2,第二个函数的最小正周期为4,第三个函数的最小正周期为1.
问题6　正弦函数、余弦函数、正切函数都是周期函数吗
答:因为sin(x+2π)=sinx, cos(x+2π)=cosx, tan(x+π)=tanx,所以它们都是周期函数.
问题7　利用三角函数线观察正弦函数、余弦函数以及正切函数,它们都有最小正周期吗
答:(与学生一起观察三角函数线的变化特 ( http: / / www.21cnjy.com )征,得出结论)2π是正弦函数的最小正周期,同样的, 2π是余弦函数的最小正周期,而正切函数的最小正周期是π.
结论:
1. 正弦函数和余弦函数都是周期函数,2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期,它们的最小正周期都是2π.
2. 正切函数也是周期函数,kπ (k∈Z且k≠0)都是它的周期,它的最小正周期是π.
三、 数学运用
【例1】　(教材第25页例1)若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
(1) 求该函数的周期;
(2) 求t=10s时钟摆的高度. (见学生用书P17)
[处理建议]　(1)引导学生观察图象的两个相邻最高点或最低点,从而可求出周期;(2)利用周期函数的定义,将f(10)等价转化为f(1).
[规范板书]　解　(1) 由图象可知,该函数的周期为1.5s.
(2) 设h=f(t),由函数f(t)的周期为1.5s,可知
f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20,
故t=10s时钟摆的高度为20mm.
[题后反思]　函数的周期反映到函数图象上,是两相邻最高点(或两相邻最低点)的横坐标之差的绝对值.
变式　若函数f(x)(x∈R)的图象如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式)
(1) 求该函数的周期;
(2) 求函数f(x)在区间[4, 6]上的解析式.
答案:(1)该函数的周期为2;(2)f(x)=|2x-10|, x∈[4, 6].
问题1　对于熟悉的函数,借助于图象,我们 ( http: / / www.21cnjy.com )可以直观地观察出函数的周期性,从而求出函数的周期.而对于不熟悉的函数,我们怎样判断函数是否具有周期性呢
【例2】　(根据教材第25页例2改编) ( http: / / www.21cnjy.com )试研究函数f(x)=cos2x是否为周期函数.如果是,求出函数的周期;如果不是,说明理由. (见学生用书P18)
[处理建议]　求一个函数的周期,应利用周期函数的定义,寻找满足等式:f(x+T)=f(x)的非零常数T.
[规范板书]　解　假设函数f(x)为周期函数 ( http: / / www.21cnjy.com ),并且其周期为T,则f(x+T)=f(x),即cos2(x+T)=cos2x对任意实数x都成立,也就是cos(μ+2T)=cosμ对任意实数μ都成立,其中μ=2x.
由y=cosμ的周期为2π,可知使得cos(μ+2T)=cosμ对任意实数μ都成立的2T的最小正值为2π,可知2T=2π,即T=π.
所以函数f(x)=cos2x为周期函数,其周期为π.　
[题后反思]　根据定义证明(或 ( http: / / www.21cnjy.com )判断)函数周期性的一般步骤是:(1)设T是函数f(x)的周期;(2)构建关系式f(x+T)=f(x);(3)利用上式对定义域内的任意x都成立(恒等式)的思想确定出T的值.
变式　(1)求函数y=2sin3x的周期;(2)求函数f(x)=sin的周期.
[处理建议]　由学生模仿例2的解题思路求解.
解　(1)函数周期为π;(2)函数周期为π.
问题1　通过对上述例2及变式的解答,你能说出函数y=cosx, y=cos, y=sin4x, y=2sin的周期吗
(周期分别为4π, 4π, , )
问题2　你能求出函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A, ω, φ为常数,且A≠0, ω>0)的周期吗
问题3　如果函数y=f(x)的周期为T,你能求出函数y=Af(ωx+φ)(其中A, ω, φ为常数,且A≠0, ω≠0)的周期吗
(T'=,教学时可与学生一起讨论,分析对周期产生影响的系数是哪一个,这样的分析会给学生留下深刻的印象)
*【例3】　若函数f(n)=sinπ (n∈Z),求f(97)+f(98)+f(99)+…+f(102)的值.
[处理建议]　学生可能会直接求,但较繁,教师可以启发学生能否利用本课学习的知识解答.
[规范板书]　解　∵ f(n)为周期函数,其周期为T==12, ∴ f(n)=f(n+12).
∵ 97=12×8+1, …, 102=12×8+6,
∴ f(97)+f(98)+f(99)+…+f(102)=f(1)+f(2)+…+f(6)=sin+sin+…+sin=++1+++0=2+.
[题后反思]　当函数值的出现具有一定的周期性时,可以先研究函数在一个周期内的函数值的变化情况,再进行转化求值.
变式　若函数f(n)=sinπ (n∈Z),求f(1)+f(2)+…+f(2012)的值.
[处理建议]　可模仿例3的解题思路求解.
解　函数周期为6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,故f(1)+f(2)+…+f(2012)=f(1)+f(2)=.
四、 课堂练习
1. 判断下列命题的真假:
(1) f(x)=sinx+x是周期函数; (假)
(2) g(x)=3是周期函数; (真)
(3) h(x)=sin(2x+3)不是周期函数; (假)
(4) u(x)=sin(-x)不是周期函数. (假)
2. 求下列函数的周期:
(1)y=2sinx;(2)y=cos;(3)y=2sin.
解　(1)T=4π;(2)T=2π;(3)T=3π.
3. 已知函数y=sin的最小正周期为3π,求正数A的值.
解　∵ T==3π,解得A=.
4. 若函数f(x)是周期为4的奇函数,且f(1)=3,求f(2015)的值.
解　f(2015)=f(4×504-1)=f(-1)=-f(1)=-3.
五、 课堂小结
1. 函数的周期性是函数的全局性 ( http: / / www.21cnjy.com )质,因此一定要强调f(x+T)=f(x)对定义域中的任意x都要成立;函数的周期性反映了函数图象的周而复始的变化趋势.
2. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的周期.
3. 知道如何根据y=f(x)的周期计算函数y=Af(ωx+φ)的周期.
第10课时　三角函数的图象与性质(1)
　 教学过程
一、 问题情境
先观看一个物理实验:
这个实验的名称叫做“砂摆实验 ( http: / / www.21cnjy.com )”,就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上,我们通过实验看看落在木板上的细砂轨迹是什么
二、 数学建构
这个曲线在实际生活中经常遇到,同时它也是我们 ( http: / / www.21cnjy.com )平常所学习过的一个函数的图象,该曲线就是我们这阶段正在学习的正弦函数或余弦函数的图象,点明课题:正弦函数、余弦函数的图象及其画法.
首先研究一下正弦函数y=sinx的图象画法,
问题1　对于正弦函数y=sinx,在上节课我们已知道正弦函数是周期函数,那么这对作出正弦函数y=sinx的图象有没有帮助
(正弦函数y=sinx是周期函数,它的最小 ( http: / / www.21cnjy.com )正周期为2π;由于正弦函数的周期为2π,因此我们只需画出一个周期的图象,然后根据周期性就可以得到整个函数的图象了)
问题2　如果请你画,你会选择怎样的区间
(选择最熟悉的区间[0, 2π])
问题3　作函数y=sinx, x∈[0, 2π]的图象最基本的方法是什么 其具体步骤又是什么
(描点法(列表、描点、连线))
下面可以结合学生的预习,投影展示利用描点法作出正弦函数y=sinx, x∈[0, 2π]上的图象.
(1) 列表:
x 0 π π π … 2π
y 0 1 0 … 0
　　(2) 描点;
(3) 连线.(如图1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
问题4　以上我们利用描点法作出了正弦函数y=sinx, x∈[0, 2π]的图象,在上面作图中,你觉得有不满意的地方吗
(描点越多,图象越准确,感觉描的点还不够多(等等))学生可能不会注意点的位置精确度不高,教师可作如下点评:
在上面的作图中,我们只是借助于有限的几个特殊 ( http: / / www.21cnjy.com )角进行描点,这样作出的图象精确度就会打折扣,如果图画得不准确,会影响后面更深入地研究正弦函数的性质.
问题5　有没有办法精确地标出正弦函数y=sinx, x∈[0, 2π]上任意一点Q(x0, sinx0)呢
(学生可能会提供下面的方法1,在前面指、对数函数和幂函数中已经多次使用过:
方法1:我们可以借助计算机计算出sinx0,从而采用描点法作出正弦函数的图象(如图2):
x sinx x sinx
0 0 1 0.841471
0.1 0.099833 1.1 0.891207
0.2 0.198669 1.2 0.932039
0.3 0.29552 1.3 0.963558
0.4 0.389418 1.4 0.98545
0.5 0.479426 1.5 0.997495
0.6 0.564642 1.6 0.999574
0.7 0.644218 1.7 0.991665
0.8 0.717356 1.8 0.973848
0.9 0.783327 1.9 0.9463
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
　　教师可以接着提问下面的问题:可不可以不借助电脑而直接利用尺规来描点作图呢 (换句话说就是能否利用几何图形表示出sinx0)
方法2:借助正弦线描点作出正弦函数的图象.
第一步:列表.首先在单位圆中画出0, , , , …, 2π的正弦线,并在x轴上[0, 2π]这一段相应的分成12等份.
第二步:描点.把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点.
第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线平移后的终点连接起来,就得到正弦函数y=sinx, x∈[0, 2π]的图象(如图3).
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
作法点评:相比较方法1,方法2作出的图象较为精确了,特别对于利用正弦线作图,图象的变化一目了然:(教师可以再用动画演示一下)当自变量x由0逐渐增大时,图象在递增并且呈上凸形状,在处函数达到最大值,在递减且上凸,过了π点,在继续递减并且下凸,到π达到最小值,之后在递增且下凸……
问题6　以上作出了y=sinx, x∈[0, 2π]的图象,那么y=sinx, x∈R的图象怎么作出呢
(先作出函数y=sinx, x ( http: / / www.21cnjy.com )∈[0, 2π]的图象,然后将作出的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx, x∈R的图象(如图4)).
( http: / / www.21cnjy.com )
(图4)
一般来说,我们将正弦函数的图象叫做正弦曲线.[3]
问题7　再观察y=sinx, x∈[0, 2π]的图象,其图象变化有没有一些关键特征
观察正弦函数在[0, 2π]内的图象,可以发现起关键作用的点有以下五个:
(0, 0), , (π, 0),, (2π, 0).
事实上,描出这五点后,函数y=sinx, x ( http: / / www.21cnjy.com )∈[0, 2π]的图象形状就基本确定了.因此在精确度要求不高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就得到函数的简图.
五点法的几点总结:
(1) 注意五点的特征:最 ( http: / / www.21cnjy.com )高点(波峰)、最低点(波谷)、平衡点(使得sinx, cosx等于0的点),它们属于三种特殊的函数值(正弦值为1, -1, 0);
(2) 五点的横向间隔相等,其长度等于周期的;
(3) 五点是连续变化的五点.
问题8　能否以正弦曲线的画法为基础,作出余弦函数y=cosx, x∈R的图象呢 你现在有几种方法
用平移变换法作y=cosx, x∈R的图象(放手让学生独立思考,自主活动,通过自己的探究得出余弦函数的图象.实际上,只要学生能够想到正弦函数和余弦函数的内在联系,即cosx=sin,通过图象变换,由正弦函数图象得出余弦函数图象的方法是比较容易想到的),因为cosx=sin,所以只需将y=sinx, x∈R的图象向左平移个单位即得.　
课件演示:
由于y=cosx=cos(-x)=sin=sin,所以余弦函数y=cosx, x∈R与函数y=sin, x∈R是同一个函数;这样,余弦函数的图象可由正弦函数的图象向左平移个单位得到,如图5所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图5)
　　余弦函数的图象叫做余弦曲线.
问题9　对比正弦曲线、余弦曲线,这两类曲线有相似之处吗
(这两个曲线形状一模一样,只不过是在坐标轴上的位置不同而已)
问题10　能否也用五点快速作出余弦曲线的图象
(同正弦函数图象一样,决定余弦曲线图象的也是五个关键点:(0, 1), , (π, -1), , (2π, 1),如果精确度要求不高,也可以借助此五点作出余弦函数在一个周期内的图象,进而利用周期性作出整个图象)
课件演示:“余弦函数图象的五点作法”(略)
三、 数学运用
【例1】　用“五点法”画出下列函数的简图:
(1) y=2cosx, x∈R;　　(2) y=sin2x, x∈R.
(见学生用书P19)
[处理建议]　第(1)小题中,x分别取0, , π, , 2π这五个值就可以找到关键的五个点;第(2)小题中,2π相当于正弦函数中的x,所以应该是2x分别取0, , π, , 2π这五个值,然后得到x分别取的五个值.可让学生先尝试自己列表、作图,教师然后指出不足.
[规范板书]　解　(1)先用“五点法”画一个周期的图象,列表:
x 0 π 2π
cosx 1 0 -1 0 1
2cosx 2 0 -2 0 2
描点画图,然后由周期性得整个图象(如图(1)).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1(1))
(2) 先用“五点法”画一个周期的图象,列表:
x 0 π
2x 0 π 2π
sin2x 0 1 0 -1 0
描点画图,然后由周期性得整个图象(如图(2)).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1(2))
[题后反思]　如何找到五点 ( http: / / www.21cnjy.com )是解决本题的关键,应根据五点的图形特征来列表,即应该是图象上的最高、最低点,与x轴的交点.而描点的时候应该是x的取值和对应的y值组成一个点的坐标.
思考　函数y=2cosx与y=cosx的图象之间有何联系 函数y=sin2x与y=sinx的图象之间有何关系
(函数y=2cosx的图象应该是由函数y=cosx的图象上所有点的横坐标不变而纵坐标变为原来的2倍得到;函数y=sin2x的图象应该是由函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标不变而横坐标变为原来的得到)
【例2】　画出函数y=sinx+|sinx|的简图.
(见学生用书P20)
[处理建议]　引导学生先求出三角函数的周期,然后作出在一个周期内的图象.要重视对函数解析式的变形.
[规范板书]　函数的周期为2π,在x∈[0, 2π]时,y=
作出函数图象如图:
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
[题后反思]　通过本例的学习,体会在数学解题中的等价转化思想,培养学生的分析、解决问题的能力.
变式　求函数y=sinx+|sinx|的值域.
答案　[0, 2].
[题后反思]　通过变题,让学生清楚画好函数图象是今后研究函数的性质的基础.
四、 课堂练习
1. 用“五点法”画出函数y=2sinx的简图.
解　略.
2. 用“五点法”画出函数y=cosx-1的简图.
解　略.
3. 利用函数y=cosx的图象写出方程cosx=的解集.
解　.
4. 利用函数y=sinx的图象写出不等式sinx>的解集.
解　, k∈Z.
五、 课堂小结
1. 正弦函数图象的几何描点作图法(利用三角函数线来描点).
2. 正弦函数图象的五点作图法(注意五点的选取).
3. 由正弦函数的图象平移得到余弦函数的图象.
4. 重视利用正弦、余弦函数的图象来研究函数的性质.
第11课时　三角函数的图象与性质(2)
　 教学过程
一、 问题情境
前一课时我们学习了正弦函数、余弦函数图象的画法,请同学们画出它们的图象.
( http: / / www.21cnjy.com )
你能根据图象总结出正弦函数、余弦函数的性质吗
二、 数学建构
问题1　通过前面的学习,我们所研究的函数性质主要有哪些
(函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性)
问题2　能否根据图象观察出正弦函数、余弦函数的定义域
(① 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R)
问题3　正弦函数、余弦函数的值域是否也是R呢 它们是否有最值
(由正弦曲线和余弦曲线可以发现,-1≤sinx≤1, -1≤cosx≤1,而且sinx, cosx都可以取[-1, 1]中的一切值,这说明:②正弦函数、余弦函数的值域都是[-1, 1],而且对于正弦函数当且仅当x=+2kπ (k∈Z)时取得最大值1,当且仅当x=-+2kπ (k∈Z)时取得最小值-1;对于余弦函数当且仅当x=2kπ (k∈Z)时取得最大值1,当且仅当x=(2k+1)π (k∈Z)时取得最小值-1)
问题4　正弦函数、余弦函数的周期性如何,奇偶性又如何
(③正弦函数和余弦函数都是周期函数,并且周期都是2π;④正弦函数是奇函数,其图象关于原点对称;余弦函数是偶函数,其图象关于y轴对称)
问题5　你能根据正弦函数图象说出正弦函数的单调性吗 类似地,余弦函数的单调性呢
(由正弦曲线可以看出,当x由-增大到时,曲线逐渐上升,sinx的值由-1增大到1;当x由增大到π时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到-1.这个变化情况如下表所示:
x - 0 π π
sinx -1 0 1 0 -1
　　由正弦函数的周期性可知:
⑤ 正弦函数在每一个闭区间-+2kπ, +2kπ (k∈Z)上都是单调增函数,其值由-1增大到1;在每一个闭区间 (k∈Z)上都是单调减函数,其值由1减小到-1.余弦函数在每一个闭区间[-π+2kπ, 2kπ] (k∈Z)上都是单调增函数,其值由-1增大到1;在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ] (k∈Z)上都是单调减函数,其值由1减小到-1)　
通过以上讨论,我们给出了正弦函数、余 ( http: / / www.21cnjy.com )弦函数的5条基本性质(①⑤),在平时的学习中要注意养成利用图象认识、研究、记忆函数性质的习惯,要做到以图识性,以图记性.
三、 数学运用
【例1】　求下列函数的定义域:
(1) y=sin2x;　　　　(2) y=lgcosx.(见学生用书P21)
[处理建议]　由正、余弦函数的定义域出发,结合正、余弦函数的图象,解简单的三角函数不等式.
[规范板书]　解　(1) 因为正弦函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域为R,要使函数y=sin2x有意义,必须2x∈R,解得x∈R,即函数y=sin2x的定义域为R.
(2) 要使函数y=lgcosx有意义,必须cosx>0,
结合余弦函数的图象,解得x∈-+2kπ, +2kπ (k∈Z),即函数y=lgcosx的定义域为 (k∈Z).
[题后反思]　根据正、余弦函数性质可知正、余弦函数对变量的取值没有限制,而解有关三角函数不等式,可以利用三角函数的图象来处理.
变式　求下列函数的定义域:
(1) y=;
(2) y=+.
[处理建议]　要启发学生利用图象解决含sinx, cosx的不等式问题.
解　(1) 函数的定义域为{x|x≠π+2kπ, k∈Z};
(2) 函数的定义域为 (k∈Z).　
【例2】　(根据教材第30页例2改编)求使下列函数取得最大值的自变量x的集合,并写出最大值是什么;同时指出函数图象的对称轴和对称中心.
(1) y=cos;　(2) y=2-sin2x.(见学生用书P21)
[处理建议]　引导学生要有整体角的概念.在第(1)小题中,角相当于余弦函数中的角x;在第(2)小题中,角2x相当于正弦函数中的角x.这样就可以把已知的函数看成正、余弦函数了.
[规范板书]　解　(1) 函数y=cos的最大值为1.
因为使cosz取得最大值的z的集合为{z|z=2kπ, k∈Z},
令z=,由=2kπ,得x=6kπ (k∈Z).
所以,使函数y=cos取得最大值的x的集合为{x|x=6kπ, k∈Z}.
函数图象的对称轴是直线x=3kπ (k∈Z),对称中心是点 (k∈Z).
(2) 函数y=2-sin2x的最大值为2-(-1)=3.
因为使sinz取得最小值的z的集合为{z|z=-+2kπ, k∈Z},
令π-,得x=kπ-,
所以,使函数y=2-sin2x取得最大值的x的集合为{x|x=kπ-, k∈Z}.
函数图象的对称轴是直线x=+ (k∈Z),对称中心是点(k∈Z).
[题后反思]　要启发学生利用代换的 ( http: / / www.21cnjy.com )思想将所研究的问题转化到熟悉的基本函数中,这种整体代换的思想在数学解题中有很大的应用,要注意在教学中逐步渗透.
变式1　求函数y=sin在区间(0,π)上的值域.
变式2　求函数y=cos, x∈的最值,并求出相应的x的值.
[处理建议]　利用整体代换计算出括号内角的范围,再结合正、余弦函数的图象解决问题.
解　变式1:;
变式2:最大值为1,相应的x的值为-;最小值为-,相应的x的值为.
变式3　求下列函数的单调增区间:
(1) y=sin;
(2) y=sin.
[处理建议]　将括号内的式子看成整 ( http: / / www.21cnjy.com )体处理,但单调性反映的是自变量x的变化对函数值y的影响,因而如果x的系数为正,则可以整体代入增区间即可,而如果x的系数为负,则必须整体代入减区间才行.
解　(1) [kπ-π, kπ+] (k∈Z);
(2) [3kπ+π, 3kπ+π] (k∈Z).
[题后反思]　求函数y=si ( http: / / www.21cnjy.com )n(ωx+φ), y=cos(ωx+φ)的单调区间时,可将将ωx+φ看成一个整体,当ω>0时,代增得增、代减得减;而当ω<0时最好先利用诱导公式将x的系数化为正数,再求单调区间.
【例3】　判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=xsinx;
(2) f(x)=.(见学生用书P22)
[处理建议]　引导学生根据函数的奇偶性的定义判断,但首先应确定函数的定义域是否关于原点对称.
[规范板书]　解　(1) 函数的定义域为R,关于原点对称,
f(-x)=-xsin(-x)=-x(-sinx)=xsinx
　　　　　=f(x),
∴ f(x)为偶函数.
(2) 当x=时,函数f(x)无意义,而当x=-时,函数f(x)=-1有意义,故函数定义域关于原点不对称,函数f(x)无奇偶性可言.
[题后反思]　判断函数的奇偶性时,一定先要看看定义域是否关于原点对称,在研究函数相关问题时要始终牢记“定义域优先”的原则.
变式　若函数f(x)=cos(x-θ)是偶函数,求θ值;若是奇函数呢
[处理建议]　引导学生借助函数图象解决,通过左右平移,确定出θ的值,再次表明利用图象研究函数性质的便利性.
解　若函数f(x)是偶函数,则θ=kπ (k∈Z);若函数f(x)是奇函数,则θ=kπ+ (k∈Z).
【例4】　(根据教材第31页例3改编)不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) sin, sin;　(2) sin1, sin2. (见学生用书P22)
[处理建议]　启发学生能否直接利用函数的单调性比较大小,如果不能,能否转化.
[规范板书]　解　(1) 因为y=sinx在区间上是单调增函数,且<,从而sin(2) 因为y=sinx在区间[0,]上是单调增函数,且sin2=sin(π-2),又>π-2>1>0,所以sin(π-2)>sin1,即sin1[题后反思]　(1)利用单调性比 ( http: / / www.21cnjy.com )较大小时,必须保证角在同一个单调区间内;(2)若角不在同一个单调区间内,则需利用诱导公式将角转化到同一个单调区间内,再比较大小.
变式　不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) cos1, cos2;　　　(2) cos, cos.
[处理建议]　引导学生利用诱导公式实现三角函数的转化.
解　(1)cos1>cos2;(2)cos四、 课堂练习
1. 函数y=sinx的最大值为1.
2. 函数y=sin的单调减区间为[2kπ+, 2kπ+] (k∈Z),对称轴是直线x=+kπ (k∈Z),对称中心坐标为 (k∈Z).
3. 函数y=asinx+b的最大值为|a|+b,最小值为-|a|+b.(结果用a, b表示)
4. 函数y=|sinx|+|cosx|的奇偶性为偶函数.
五、 课堂小结
1. 函数图象是研究函数性质的基础,三角函数亦是如此,要养成以图识性、以图记性的好习惯.
2. 以正弦函数、余弦函数的性质为基础可以研究较复杂的三角函数的性质,因而要熟练掌握正弦函数、余弦函数的性质.
第12课时　三角函数的图象与性质(3)
答案　略.
　 教学过程
一、 问题情境[3]
前面我们利用正弦线作出了正弦函数的图象,那么能否利用正切线作出正切函数的图象 请同学们作一个尝试.
二、 数学建构
问题1　正切函数是以π为周期的函数,因此画正切函数图象只需先画出一个周期内的图象,那么选择怎样的一个周期合适呢
问题2　仿照由正弦线画正弦函数图象的方法,自己尝试用该方法作出y=tanx, x∈-, 的图象.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
说明:(1) 根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右平移(每次π个单位),就可得到正切函数y=tanx, x∈R,且x≠+kπ (k∈Z)的图象,并把它称为“正切曲线”(如图2).[4]
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
(2) 由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线x=kπ+ (k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的,并且这些直线是该图象的渐近线,而在相邻两条平行线之间的图象是连续的,呈上升趋势.
问题3　联想一下正弦、余弦函数图象的“五点法”画图,如何较快地作出正切函数的图象 请以y=tanx, x∈的图象为例.
(在精确度要求不高时,我们一般采用“两线一点”作图法:先画出两条渐近线x=±,然后选择原点即可绘出y=tanx, x∈的图象,最后再通过左、右平移即得到函数y=tanx的整个图象)
问题4　能否根据上述正切函数的图象总结出正切函数的性质
正切函数的性质:
(1) 定义域:;
(2) 值域:R
观察:当x小于kπ+ (k∈Z),且xkπ+时,tanx+∞
当x大于+kπ (k∈Z),且x+kπ时,tanx-∞.
(3) 周期性:T=π;
(4) 奇偶性:由tan(-x)=-tanx知,正切函数是奇函数,图象关于原点对称;
(5) 单调性:在每一个开区间-+kπ, +kπ (k∈Z)内,函数单调递增.
三、 数学运用
【例1】　观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围.
(1) tanx>0;　　　　(2) tanx<-1.(见学生用书P23)
[处理建议]　让学生亲自作图,从图形观察出不等式的解集,体现数形结合思想.
[规范板书]　解　(1) 画出y=tanx在上的图象,不难看出在此区间上满足tanx>0的x的范围为0(2) 画出y=tanx在上的图象,不难看出在此区间上满足tanx<-1的x的范围为-[题后反思]　正确运用正切函数图象求解有关正切函数的三角方程和三角不等式,注意三角函数的周期性.
变式　求函数y=的定义域.
[处理建议]　引导学生得到tanx≠1,同时应考虑正切函数的定义域.
解　函数的定义域为x|x≠kπ+,且x≠kπ+, k∈Z.
[题后反思]　本题学生往往容易忽视正切函数的定义域,应提醒学生特别注意正切函数的定义域.
【例2】　求函数y=tan的定义域,并讨论它的单调性.(见学生用书P24)
[处理建议]　启发学生类比正、余弦函数的处理方法,把角x+看成一个整体,用整体思想来处理.
[规范板书]　解　由x+≠kπ+ (k∈Z),得x≠kπ+ (k∈Z),
∴ y=tan的定义域为x|x∈R且x≠kπ+, k∈Z.
又由在每个区间上正切函数是增函数可知kπ-解得kπ-[题后反思]　正切函数有关问题的处理方法与正、余弦函数中相关问题处理方法基本一致,解题时要多进行类比、迁移.
变式　讨论函数y=tan的单调性.
[处理建议]　这是学生易错的一类题型,尝试让学生自己解决,通过纠错巩固对这类题目的处理方法.
解　函数没有增区间,函数的减区间为 (k∈Z).
【例3】　函数y=tan2x是否具有周期性 若具有周期性,则求出最小正周期;若不具有周期性,则说明理由. (见学生用书P24)
[处理建议]　求一个函数的周期,应利用周期函数的定义,寻找满足等式:f(x+T)=f(x)的非零常数T.
[规范板书]　提示　可参照教材P25例2的解法得函数y=tan2x的最小正周期为.
[题后反思]　函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0, ω≠0)的周期T=.
变式　求下列函数的周期:
(1) y=|tanx|;　　　(2) y=|tanx+1|.
[处理建议]　引导学生通过作出函数的图象来确定周期.
解　两函数的周期都是π.
【例4】　不求值,比较下列各组值的大小:
(1) tan135°, tan143°;
(2) tan, tan. (见学生用书P24)
[处理建议]　引导学生考虑正切函数的单调性.
[规范板书]　解　(1) 因为y=tanx在区间(90°, 180°)内为增函数,且135°<143°,故tan135°(2) 因为tan=tanπ, tan=tanπ,而y=tanx在区间内为增函数,且π>π,故tan>tan.
[题后反思]　利用三角函数的单调性比较大小时,要先将两个角化到同一个单调区间,再利用单调性比较大小,通常利用诱导公式来转化角.
变式　(教材第33页练习第3(1)题)不求值,判断tan138°-tan143°的符号.
[处理建议]　本题实质就是利用单调性比较两个角的大小.
答案　负号.
四、 课堂练习
1. 观察正切函数的图象,写出满足条件tanx<0的解集为　(kπ-, kπ) (k∈Z).
2. 函数y=tan的定义域为.
3. 函数y=tanx, x∈的值域为(-1, 1).
4. 函数y=tan的单调增区间为 (k∈Z),对称中心的坐标为 (k∈Z).
五、 课堂小结
1. 正切函数的图象.
2. 正切函数的性质.
3. 正切函数相关问题的处理思路.
第13课时　三角函数的图象与性质(4)
　 教学过程
一、 问题情境[2]
前面我们学习了正弦、余弦和正切函数的图象与性质,课前请同学们巩固了上述知识,下面请一位同学将填好的表格展示一下.
二、 数学运用
【例1】　填空:
(1) 若角α的终边在第三、四象限,sinα=2m-3,则m的取值范围是.[3]
(2) 函数y=4cos2x+4cosx-2的值域是[-3, 6].[4]
(3) 函数y=3sin的周期是π,当x=x=kπ+, k∈Z时,y有最大值3.
(4) 函数y=1+2sin2x的单调增区间是[kπ-, kπ+], k∈Z.[5]
(5) 函数y=asinx+b (a<0)的最大值为2,最小值为-4,则a=-3, b=-1.
(6) 若y=sinx与y=cosx都是减函数,则x的取值范围是, k∈Z.[6]
(7) 已知f(x)=ax+bsinx+c (a, b, c为常数),若f(5)=7, f(0)=1,则f(-5)=-5.[7]
(8) 函数y=2sin3x与函数y=2的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是. (见学生用书P25)
[题后反思]　通过一组小题,巩固学生对基本知识的掌握程度,用问题串的方式复习知识点可以让学生更感兴趣.
【例2】　求下列函数的周期:
(1)y=sinπx;(2)y=|sin|.(见学生用书P26)
[处理建议]　三角函数式中含有绝对值符号,通常要作出其图象得到周期.
[规范板书]　解　(1) y=sinπx的周期为T==2;
(2) 由y=Asin(ωx+φ)的周期是T=,得y=sin的周期是π.
作出函数y=|sin|的图象,可以发现周期压缩为原来的一半,
故可得y=|sin|的周期是.
[题后反思]　掌握求三角函数周期的基本方法(公式法、图象法).
变式　讨论下列函数是否存在周期,如果存在,求出周期,如果不存在,说明理由.
(1)y=sin|x|;(2)y=|sinx|;(3)y=cos|x|;(4)y=|cosx|;(5)y=tan|x|.
[处理建议]　学生自主动手画图,展示得出结论,适当时可以让学生上台展示讨论.
解　(1)没有