《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第三章 三角恒等变换（含解析）
文档属性
| 名称 | 《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第三章 三角恒等变换（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 466.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-20 07:06:04 | ||
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文档简介
第 3 章 三角恒等变换
第1课时 两角和与差的余弦
教学过程
一、 问题情境[1]
在实数运算中,有公式a(b+c)=ab+ ( http: / / www.21cnjy.com )ac;在向量运算中,有公式a·(b+c)=a·b+a·c;在三角运算中,有公式cos(α-β)=cosα-cosβ吗 如果没有,式子一定不成立吗
二、 数学建构
问题1 在直角坐标系xOy中,以Ox为始边分别作角α, β (0≤β≤α≤π),其终边分别与单位圆交于P1, P2,则向量, 的夹角是多少 ·的值是多少 [2]
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
由图1可得向量, 的夹角是α-β,=(cosα, sinα), =(cosβ, sinβ).
一方面,由向量数量积的定义,有·=||·||cos(α-β)=cos(α-β).
另一方面,由向量数量积的坐标表示,有·=cosαcosβ+sinαsinβ.
从而cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 0≤β≤α≤π.
问题2 如果α, β∈R,上述公式还成立吗 [3]
当α-β∈[0, π]时, α-β就是, 的夹角,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
对于任意的α, β,总可选适当的整数k,使α-β-2kπ∈[-π, π).记β1=β+2kπ,则β1与β的终边相同,且α-β1∈[-π, π),从而|α-β1|≤π, |α-β1|就是, 的夹角.因此cos(|α-β1|)=cos(α-β1)=cos(α-β-2kπ)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
综上,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,这就是两角差的余弦公式,记为C(α-β).
问题3 cos(β-α)的展开式是什么 它与cos(α-β)展开式相等吗 为什么
cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ,它们展开式相等.因为余弦函数是偶函数,所以cos(α-β)=cos(β-α).
问题4 能利用两角差的余弦公式求cos(α+β)吗 [4]
在两角差的余弦公式中,用-β代替β,就可以 ( http: / / www.21cnjy.com )得到cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,这就是两角和的余弦公式,记为C(α+β).
思考 “用-β代替β”的换元方法体现在图形上有什么几何意义 能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗
用“-β代替β”的几何意义就是作出角β关于x轴的对称图形.
(一) 公式理解
1. 结构特征:①左边是两角差的余弦,右边是同名积的和;②左边是两角和的余弦,右边是同名积的差.
2. 公式中的α, β可以是任意的角(或式子).
3. 当α, β中有一个是90°的整数倍时,用诱导公式比较简便.
(二) 巩固概念
问题5 (教材第104页例1(1))请利用两角和(差)的余弦公式证明cos=sinα.[5]
cos=coscosα+sinsinα=sinα.
三、 数学运用
【例1】 (教材第105页例2)利用两角和(差)的余弦公式,求cos75°, cos15°, sin15°, tan15°.[6]
(见学生用书P61)
[处理建议] 引导学生将75°, 15°转化为两个特殊角的和或差,正弦需转化为余弦.
[规范板书] 解 (1) 方法1:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.
方法2:cos75°=cos(120°-45°)=cos120°cos45°+sin120°sin45°=.
(2) 方法1:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.
方法2:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=.
(3) sin15°=cos(90°-75°)=cos75°=.
(4) tan15°===2-.
[题后反思] (1)两角差(和)的余弦公式 ( http: / / www.21cnjy.com )也适用于形式上不是差(和)角,但可以拆分成两角差(和)的情形;(2)角的拆分可能有多种形式,要根据题目选择适当的拆分.
变式 化简cos+cos.
[规范板书] 解 原式=coscosα-sinsinα+coscosα+sinsinα=cosα.
【例2】 不查表,求下列式子的值:
(1) cos120°cos15°-sin120°sin15°;
(2) cos58°sin77°+sin122°sin13°.
(见学生用书P62)
[处理建议] 本例是逆用两角和(差)的余弦公式求值,要引导学生构造公式中的结构.
[规范板书] 解 (1)原式=cos(120°+15°)=cos135°=-.
(2) 原式=cos58°cos13°+sin58°sin13°=cos(58°-13°)=.
变式 不查表,求cos215°-sin215°的值.
[规范板书] 解 cos215°-sin215°=cos(15°+15°)=.
[题后反思] 只有式子结构与公式结构完全相同时才能逆用公式,否则需对式子进行变形.
【例3】 (教材第105页例3)已知sinα=, α∈, cosβ=-,β∈,求cos(α+β)的值. (见学生用书P62)
[处理建议] 由公式C(α ( http: / / www.21cnjy.com )+β)可知,欲求cos(α+β),应先计算cosα,sinβ的值.cosα, sinβ是通过sin2x+cos2x=1(x为任意角)来求解的,要注意“±”的选取.
[规范板书] 解 因为α∈, sinα=,所以cosα=-=-=-.
又因为cosβ=-,β∈π, ,所以sinβ=-=-=-,
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-×--×=.
[题后反思] 思考:在例3中,你能求出sin(α+β)的值吗
*【例4】 若α, β为锐角,且满足cosα=, cos(α+β)=,求cosβ的值.
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路 ( http: / / www.21cnjy.com ),可能是“展开cos(α+β),与sin2β+cos2β=1联立,解方程组”.再引导学生观察发现α, α+β, β三个角之间的关系为β=(α+β)-α,用两角差的余弦公式求解.最后由学生比较两种方法的简易度,让学生体会拆角方法的简捷和思路的合理性.
[规范板书] 解 因为α, β为锐角,所以0<α<, 0<β<, 0<α+β<π.
因为cosα=, cos(α+β)=,所以sinα=, sin(α+β)=,
所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.
[题后反思] 在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为α+β和α,所求角是β,则β=(α+β)-α.
变式 已知cos(2α-β)=-, sin(α-2β)=,且<α<, 0<β<,求cos(α+β)的值.
[处理建议] 引导学生寻找已知角与 ( http: / / www.21cnjy.com )所求角之间的关系,即(2α-β)-(α-2β)=α+β.由α, β的取值范围,分别求出2α-β, α-2β的正弦值和余弦值,再利用公式即可求解.
[规范板书] 解 ∵ <α<, 0<β<, ∴ <2α-β<π, -<α-2β<.
由cos(2α-β)=-, sin(α-2β)=,
得sin(2α-β)=, cos(α-2β)=,
∴ cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α
-β)·cos(α-2β)+sin(2α-β)·sin(α-2β)=×+×=.
四、 课堂练习
1. 化简:cos(30°+α)-cos(30°-α)=-sinα.
2. 化简:cos65°cos115°-cos25°sin115°=-1.
提示 原式=cos65°cos115°-sin65°sin115°=cos(65°+115°)=cos180°=-1.
3. 已知sinα=, α∈, cosβ=-,β是第三象限角,则cos(α-β)=-.
提示 因为α∈, sinα=,所以cosα=-=-=-.
又因为cosβ=-,β是第三象限角,所以sinβ=-=-=-,
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=-.
4. 已知α∈, cos=,则cosα=.
提示 因为α∈,所以α-∈, 所以sin=-.因此,cosα=cos=cos-sin=.
五、 课堂小结
1. 运用向量数量积的定义及坐标运算公式推导两角差的余弦公式,在两角差的余弦公式上用赋值法得到两角和的余弦公式.
2. 两角和与差的余弦公式的结构特证.
3. 三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).
第2课时 两角和与差的正弦(1)
教学过程
一、 问题情境[1]
如何求sin15°的值
二、 数学建构
问题1 上节课中,我们是如何求sin15°的值
我们是将sin15°变换成cos7 ( http: / / www.21cnjy.com )5°,再利用两角和的余弦公式来计算.而sin15°=sin(45°-30°),有没有两角和(差)的正弦公式
问题2 能否用上述方法,将sin(α+β)转化成某个角的余弦
sin(α+β)=cos.
问题3 上述中涉及三个角和的余弦,如何展开才能使结果只含有α, β的正弦和余弦
cos=cos=coscosβ+sinsinβ=sinαcosβ+cosαsinβ,即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,这就是两角和的正弦公式,记为S(α+β).
问题4 能得到两角差的正弦公式吗 即sin(α-β)= .[2]
解法一 在两角和的正弦公式中,用-β代替β, ( http: / / www.21cnjy.com )就可以得到sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,这就是两角差的正弦公式,记为S(α-β).
解法二 sin(α-β)=cos-(α-β)=cos-α+β=cos-αcosβ-sin-αsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.
问题5 能用同角三角函数的关系,由C(α±β)推导出S(α±β) 这样做有什么困难
用同角三角函数的关系推导时,会遇到符号确定的困难.
问题6 sin(β-α)的展开式是什么 它与sin(α-β)的展开式相同吗 为什么
sin(α-β)=sinβ ( http: / / www.21cnjy.com )cosα-cosβsina,它与sin(α-β)的展开式互为相反数.因为正弦函数是奇函数,所以sin(β-α)=-sin(α-β).
公式理解
1. 结构特征:①左边是两角和的正弦,右边是异名积的和;②左边是两角差的余弦,右边是异名积的差.
2. 公式中的α, β可以是任意的角(或式子).
3. 运用公式要注意角及函数的位置排列顺序.
4. 当α, β中有一个是90°的整数倍时,用诱导公式比较简便.
三、 数学运用
【例1】 已知sinα=-, α是第四象限角,求sin的值.(见学生用书P63)
[处理建议] 由学生自己分析解题思路,教师引导学生注意cosα的正负.
[规范板书] 解 因为sinα=-, α是第四象限角,所以cosα==,
所以sin-α=sincosα-cossinα=×-×=.
变式 化简:sin+sin.
[规范板书] 解 原式=sincosα-cossinα+=2sincosα=cosα.
【例2】 已知α∈, sin=,求sinα的值.(见学生用书P64)
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路,可能是“展开sin,与sin2α+cos2α=1联立,解方程组”.再引导学生观察分析α, α+之间的关系,根据两角差的正弦公式求解.
[规范板书] 解 因为α∈, 所以α+∈, .又因为sin=,所以 cosα+=,
所以sinα=sin+α-=sin+αcos-cos+αsin=×-×=-.
[题后反思] (1)三角变换中要注意角与角的关系,如α=-, α=+等等.(2)利用平方关系确定cos时,一定要注意α+的范围.
变式 已知α∈, sin=,求sinα的值.
[规范板书] 解 因为α∈, 所以α+∈.又因为sin(α+)=,所以 cosα+=±.
(1) 当cos=-时, cos,即α>(舍去).
(2) 当cos=时,sinα=sin=sincos-cossin=×-×=-.
【例3】 (教材第108页例2)已知cos(α+β)=, cosβ=, α, β均为锐角,求sinα的值.
(见学生用书P64)
[处理建议] 先由学生自 ( http: / / www.21cnjy.com )己分析解题思路,可能是“展开cos(α+β),与sin2β+cos2β=1联立,解方程组”.再引导学生思考:在学习两角和差的余弦公式时,有类似的题目吗 是如何解决的 (将α看成是α+β与β的差,即α=(α+β)-β,再用两角差的正弦公式求解)
[规范板书] 解 因为α, β均为锐角,所以α+β∈(0, π).
又因为cos(α+β)=, cosβ=,
所以sin(α+β)=, sinβ=,
所以sinα=sin=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=×-×=.
[题后反思] (1)在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为α+β和β,所求角是α,则α=(α+β)-β.(2)在解三角函数问题时,常通过条件缩小角的范围,避免讨论.如将本题β的范围改为(0, π),则如何求解呢 (由cosβ=, β∈(0, π),得β∈)
变式 已知<α<, 0<β<, cos=, sin=,试求sin(α+β)的值.
[处理建议] 引导学生思考:(1) 本题中的已知角是什么 所求角是什么 两者间有什么关系 (已知角是+β, -α,所求角是α+β,两者间的关系是-=+(α+β))
(2) 已知角的和是+(α+β),不是α+β,如何求sin(α+β) (先求cos)
[规范板书] 解 因为<α<, 0<β<,所以-α∈, +β∈.
又因为cos=, sin=,所以sin=-, cos=-.
所以cos=cos+β--α=cos+βcos-α+sin+βsin-α=-×+×-=-.
又因为cos=-sin(α+β),所以sin(α+β)=.
*【例4】 cos33°cos12°-cos57°cos78°= .
[处理建议] 引导学生从公式结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.
[规范板书] 解法一 (用两角和的余弦公式)原式=cos33°cos12°-sin33°sin12°=cos(33°+12°)=.
解法二 (用两角差的正弦公式)原式=sin57°cos12°-cos57°sin12°=sin(57°-12°)=.
[题后反思] 逆用公式要注意公式的结构与条件结构是否相同.
变式1 (教材第109页例3)求函数y=sinx+cosx的最大值.
[处理建议] 引导学生思考:(1) 正弦函数、余弦函数分别在何时取最大值 (正弦函数当x=2kπ+,k∈Z时取最大值,余弦函数当x=2kπ,k∈Z时取最大值)
(2) 题中函数的最值是在x=2kπ+,k∈Z,或x=2kπ,k∈Z时取得吗
(3) 本题如何求最大值
[规范板书] 解 y=sinxcos+cosxsin=sin.
当x+=2kπ+,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值1.
[题后反思] 本题还有其他解法吗 (y=sinxsin+cosxcos=cos.当x-=2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值1)
变式2 (教材第112页习题3.1(2)第5(3)题)求函数y=sinx+cosx的最大值.
[处理建议] 引导学生发现变式1与变式2之间的关系.
[规范板书] 解 y=2sinx+cosx=2sinxsin+cosxcos=2cosx-.
当x-=2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值2.
[题后反思] 解题过程中提出的系数2与原系数1, 有何关系 (2=)
四、 课堂练习
1. 计算:sin69°cos99°-cos69°sin99°=-.
2. 在△ABC中, A=, cosB=,则sinC=.
提示 ∵ A=, ∴ cosA=sinA=.又∵cosB=,B∈(0, π),∴ sinB=,∴ sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.
3. 函数y=sinx-cosx的最小值是-2.
提示 y=2=2sinx-.当x-=2kπ-,k∈Z,即x=2kπ-,k∈Z时,函数y取得最小值-2.
4. 已知cosα=, cos(α+β)=,且α, β都为锐角,求sinβ的值.
解 由已知条件可得sinα=, sin(α+β)=,所以sinβ=sin=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=.
五、 课堂小结
1. 运用两角和与差的余弦公式及三角函数的诱导公式来推导两角和与差的正弦公式.
2. 两角和与差的正弦公式的结构特征.
3. 三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).
第3课时 两角和与差的正弦(2)
教学过程
一、 问题情境
化简:sin+cos.
二、 数学建构
活动 解决问题情境中的问题.
解 原式=sin2xcos-cos2xsin+cos2xcos-sin2xsin=sin2x-cos2x+cos2x-sin2x=0.
问题1 在“两角和与差的余弦”这一课中 ( http: / / www.21cnjy.com ),我们曾发现在求解三角函数问题时,如果能注意到角与角的关系,可以减少运算量,那么这道题中涉及哪些角,它们有什么关系
从局部看,本题涉及2x, , ,它们没有明显关系.从整体来看,本题涉及2x-, 2x+,它们的关系为-=.
问题2 能否根据上述回答想到其他解决思路
原式=sin2x-+cos+2x-=sin2x--sin2x-=0.
总结 在求解三角函数问题时,要注意角与角之间的关系.
三、 数学运用
【例1】 求的值.
(见学生用书P65)
[处理建议] 引导学生寻找题中角的关系,将50°看成60°-10°,从而减少非特殊角的个数(消元的思想).
[规范板书] 解 原式===.
[题后反思] (1) 通过寻找角与角间 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系,减少非特殊角的个数,这是三角变换的重要思路之一.(2) 思考:为什么不将10°改写成60°—50°
【例2】 已知sin(2α+β)+2sinβ=0, cos(α+β)cosα≠0,求证:tanα=3tan(α+β).
(见学生用书P65)
[处理建议] 引导学生观察条件中的角与结论中的角之间的关系.
[规范板书] 证明 sin(2α+β)+2sinβ
=sin+2sin
=[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα]+2[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]
=3sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=0.
又因为cos(α+β)cosα≠0,所以=,即tanα=3tan(α+β).
【例3】 (教材第110页例6)已知sin(α+β)=, sin(α-β)=-,求的值.(见学生用书P66)
[处理建议] 引导学生思考:(1) 条件是关于角的正弦,结论是关于角的正切,这种既含有正弦、余弦,又含有正切的问题,我们一般先做什么 (化切为弦,即求)
(2) 要求,就要求sinαcosβ, cosαsinβ,条件中有吗 (只需将sin(α+β), sin(α-β)展开即可)
[规范板书] 解 由已知条件得所以
从而==×=.
[题后反思] (1)三角变换要会“ ( http: / / www.21cnjy.com )执果索因”,如本例及例1中将所求角表示成已知角.(2)本例的解法体现了方程思想.(3)思考:从本例的解题过程可以看出,只要知道sin(α+β), sin(α-β)的值,就可以求出sinαcosβ, cosαsinβ.据此你能用α+β, α-β的正弦与余弦表示sinαcosβ, cosαsinβ, cosαcosβ, sinαsinβ吗
【例4】 化简:sin(α+β)cosα-[sin(2α+β)-sinβ].(见学生用书P66)
[处理建议] 引导学生观察2α+β, β ( http: / / www.21cnjy.com ), α+β, α四个角之间的关系,即2α+β=(α+β)+α, β=(α+β)-α,从而可将原三角函数式化为关于角α+β和α的三角函数式,再做适当整合、化简.
[规范板书] 解 原式=sin(α+β)cosα-=sin(α+β)cosα-·2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin=sinβ.
[题后反思] (1)正确逆用两角和与 ( http: / / www.21cnjy.com )差的正、余弦公式,是化简三角函数式的基本途径.(2)化简三角函数式要从分析角的关系入手,即找题中角与角的关系,这是化简三角函数式的一个切入点.
四、 课堂练习
1. 求的值.
解 原式=
=
==.
2. 证明:=tan(α+β).
证明 左边=
==tan(α+β)=右边.
五、 课堂小结
1. 三角变换时,要注意角与角的关系,会“执果索因”.
2. 灵活运用两角和(差)公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.
第4课时 两角和与差的正切(1)
教学过程
一、 问题情境
回顾“两角和与差的余弦”例1中求tan ( http: / / www.21cnjy.com )15°的过程,我们是先分别求出sin15°, cos15°,再由同角三角函数关系求出tan15°,那么能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢 [1]
二、 数学建构
问题1 对于一般的角α, β,当α, β, α+β的正切值存在时,能由tanα, tanβ直接表示tan(α+β)吗
tan(α+β)===
.
问题2 上述公式对于任意角α, β都成立吗
当α, β, α+β均不等于kπ+,k∈Z时,式子才成立,这就是两角和的正切公式,记为T(α+β).
问题3 如何由tanα, tanβ直接表示tan(α-β)
解法一tan(α-β)===.
解法二 用-β代换β,就可以得到tan(α-β)==.
公式理解
1. 结构特征:公式右边分子上的符号与左边的符号一致,而分母的符号与分子的符号相反;分子是两角正切值的和与差,分母含有两角正切值的积.
2. 公式中的α, β, α+β, α-β的正切值都存在时,公式才能成立.
三、 数学运用
【例1】 (1) 已知tanα=, tanβ=,则tan(α+β)= ;
(2) (根据教材第115页练习第1(1)题改编)已知tanα=3,则tan= . (见学生用书P67)
答案 (1) 1; (2) -.
[处理建议] 本题是公式的直接运用,可让学生自己求解.
变式1 已知α, β均为锐角,且tanα=, tanβ=,则α+β= .
[处理建议] 引导学生思考:(1) 要求角的大小,先要求什么 (角的某个三角函数值和角的范围)
(2) 本题中用哪个三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com )为什么 (本题中用正切.一是因为题中涉及角的正切;二是因为α+β∈(0, π),且在此范围内一个正切值对应一个角)
[规范板书] 解 tan(α+β)===1.又因为α, β均为锐角,所以α+β∈(0, π),所以α+β=.
[题后反思] 求角的大小,先求角的某一三角函数值和角的范围.
变式2 (教材第115页例3)如图,三个相同的正方形相接,求证:α+β=.
(变式2)
[处理建议] 引导学生选择适当的三角函数求解.
[规范板书] 解法一 由题可知tanα=, tanβ=,
所以tan(α+β)===1.
又因为α, β均为锐角,所以α+β∈(0, π),所以α+β=.
解法二 由题可知cosβ=, sinβ=, cosα=, sinα=,
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.
又因为α, β均为锐角,所以α+β∈(0, π),所以α+β=.
【例2】 已知=4+,求tan的值.(见学生用书P68)
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路,可能会有两种:一是由已知求出tanα的值,然后由两角差的正切公式求出tan;二是由=tan直接得到答案.引导学生观察条件和结论之间的关系,学会用整体思想去分析问题.
[规范板书] 解法一 由=4+,解出tanα=-,
所以tan==4+.
解法二 tan==4+.
变式1 求值:.
[规范板书] 解 原式==tan(45°-15°)=.
变式2 求值:.
[规范板书] 解 原式==tan(60°-15°)=1.
【例3】 已知tanα与tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根,求tan(α+β)的值.(见学生用书P68)
[处理建议] 本题可以先直接求出tan ( http: / / www.21cnjy.com )α, tanβ,然后利用公式求tan(α+β);也可以用韦达定理先求tanα+tanβ, tanαtanβ,然后利用公式求tan(α+β).再让学生比较这两种方法的繁易程度.
[规范板书] 解法一 因为方程x2-3x-3=0的两个根为,
所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,
所以tan(α+β)===.
解法二 由题可知Δ=(-3)2-4×(-3)=12>0,
所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,
所以tan(α+β)===.
变式 已知tanα与tanβ是方程x2-3 ( http: / / www.21cnjy.com )x-3=0的两个根,求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.
[规范板书] 解 由题可知Δ=(-3)2-4×(-3)=12>0,
所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,
所以tan(α+β)===.
故sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)
=
==
=-3.
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(例4)
*【例4】 如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α, β,它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点,已知A, B的横坐标分别为, .
(1) 求tan(α+β)的值;
(2) 求α+2β的值.
[处理建议] 引导学生根据三 ( http: / / www.21cnjy.com )角函数的定义,求出tanα, tanβ,从而求出tan(α+β)和tan(α+2β),并通过α+2β的范围确定α+2β的大小.
[规范板书] 解 由题意知cosα=, cosβ=,又α, β为锐角,∴sinα=, sinβ=.因此tanα=7, tanβ=.
(1) tan(α+β)==-3.
(2) tan(α+2β)=tan==-1.
∵ α, β为锐角, ∴ 0<α+2β<, ∴ α+2β=.
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(变式)
变式 如图, A, B是单位圆O上的点,且A点坐标为, B在第二象限, C是圆O与x轴正半轴的交点,△AOB为正三角形,求tan∠BOC的值.
[规范板书] 解 由题可知tan∠AOC=, ∴ tan∠BOC=tan(∠AOC+60°)====-.
四、 课堂练习
1. 已知tanα=-2, tanβ=5,则tan(α-β)=.
2. 计算:=-.
提示 原式==tan(45°+75°)=-.
3. 已知α为锐角, cosα=,则tan=-3.
提示 由cosα=, α为锐角,得sinα=,
则tanα=2,所以tan==-3.
4. 已知0<α<, 0<β<,且tanα, tanβ是方程3x2+4x-1=0的两根,求α+β的值.
解 因为方程3x2+4x-1=0的两根为,所以tanα+tanβ=-, tanα·tanβ=-,则tan(α+β)===-1.又0<α<, 0<β<,所以α+β∈(0, π), 故α+β=.
五、 课堂小结
1. 运用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式.
2. 两角和与差的正切公式的结构特征和角的限制.
3. 求角的步骤:先求出某个三角函数值,再根据角的范围求解.
第5课时 两角和与差的正切(2)
教学过程
一、 问题情境
已知tan=2,则tanα= .
二、 数学建构
活动 解决问题情境中的问题.
解 tan==2,解得tanα=.
问题1 本题条件中的角与结论中的角分别是什么
条件中的角是α+,结论中的角是α.
问题2 在即时体验2中,我们是如何求cosα的
先用条件中的角表示结论中的角,即α=-,再用两角差的余弦公式求解.
问题3 本题还有其他解法吗
tanα=tan+α-==.
三、 数学运用
【例1】 已知tan=2, tan=3,求tan(α+β)的值.(见学生用书P69)
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路,可能的思路有两个:一是由tan=2求出tanα,由tan=3求出tanβ,然后再求tan(α+β);二是由-=+α+β,先求出tan,而后再求tan(α+β).再引导学生比较两种方法的繁简程度.
[规范板书] 解 ∵ tan+α+β=tanβ+--α=
==,
∴ tan(α+β)=tan===.
[题后反思] 在三角函数“给式求值”问题中,要注意已知角与所求角之间的关系.
【例2】 证明:tanx-tan=.
(见学生用书P69)
[处理建议] 用问题:“本题中涉及几个角 它们有什么关系 ”引导学生寻找角与角之间的关系.
[规范板书] 证明
右边==
==tan-tan=左边.
变式 已知sin(2α+β)=5sinβ,求证:3tanα=2tan(α+β).
[规范板书] 证明 由题可知sin(α+β)+α=5sin,
则sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5,
化简得4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα,
两边同除以cosα cos(α+β)得3tanα=2tan(α+β).
【例3】 求tan23°+tan37°+tan23°tan37°的值.
(见学生用书P70)
[处理建议] 引导学生由式中含有两角正切值的和与积,联想到两角和差的正切公式.
[规范板书] 解 原式=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+tan23°tan37°=.
[题后反思] 当题中出现两角正切值的 ( http: / / www.21cnjy.com )和(差)与积时,要联想到两角和(差)的正切公式的变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).
变式 (教材第116页例4)在斜三角形ABC中,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
[处理建议] 引导学生分析式子的结构,发现式子中含正切值的和与积.
[规范板书] 证明 在斜三角形ABC中,有A+B+C=π,即A+B=π-C,且A, B, A+B≠,所以左边=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-C)(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC=右边.
[题后反思] 一般地,当角A, B, C满足什么条件时,能使等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立 (一般地,当A+B+C=kπ, k∈Z时,此结论成立)
【例4】 (教材第116页例5)如图(1 ( http: / / www.21cnjy.com )),两座建筑物AB, CD的高度分别为9m和15m,从建筑物 AB的顶部A看建筑物 CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB与CD的底部之间的距离BD.(见学生用书P70)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4(1))
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4(2))
[处理建议] 引导学生通过作 CD的垂线 AE,将中涉及到的量转移到两个直角三角形中.
[规范板书] 解 如图(2),作AE⊥CD于E.
因为AB∥CD, AB=9, CD=15,所以DE=9, EC=6.
设AE=x, ∠CAE=α.
因为∠CAD=45°,所以∠DAE=45°-α.
在Rt△AEC和Rt△AED中,有tanα=,tan(45°-α)=.
因为tan(45°-α)=,所以=,解得x=18, x=-3(舍去).
答:建筑物 AB与 CD的底部之间的距离 BD为18m.
四、 课堂练习
1. 已知tan(α-β)=, tan=, 则tan=.
提示 tanα+=tan(α-β)+β+=.
2. 计算:=.
提示 原式=
==.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题)
3. 如图,在矩形ABCD中,AB=a, BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tan∠APD的值.
解 由AB+BP=PD,得a+BP=,
解得BP=a,故CP=a.
设∠APB=α, ∠DPC=β,
则tanα==, tanβ==,
所以tan(α+β)==-18,
所以tan∠APD=tan(π-α-β)=-tan(α+β)=18.
五、 课堂小结
1. 三角变换时,要注意角与角的关系,学会“执果索因”.
2. 当条件中出现两角正切值的和(差)时,会用两角和(差)的正切公式的变形解题.
第6课时 二倍角的三角函数(1)
教学过程
一、 问题情境
问题 我们已经知道函数y=sin2x与y=s ( http: / / www.21cnjy.com )inx的图象关系,也知道α+β的正弦、余弦和正切可用α, β的正弦、余弦和正切来表示,那么角α的三角函数和角2α的三角函数之间有怎样的数量关系 [1]
在S(α+β), C(α+β), T(α+β)公式中,令β=α,就可以得到结果:sin2α=2sinαcosα (S2α); cos2α=cos2α-sin2α (C2α); tan2α= (T2α).
二、 数学建构
问题1 二倍角公式中,角有限制吗
二倍角的正弦、余弦公式中的角是任意角,但二倍角的正切公式中,2α≠+kπ, α≠+kπ,k∈Z.
问题2 二倍角的余弦公式中,同时出现了sin2α, cos2α,能否只保留一个
能.cos2α=2cos2α-1, cos2α=1-2sin2α.
三、 数学运用
【例1】 (教材第119页例1)已知sinα=, α∈,求sin2α, cos2α, tan2α的值.[2]
(见学生用书P71)
[处理建议] 引导学生先求出cosα的值,然后正确运用二倍角公式计算.
[规范板书] 解 因为sinα=, α∈,所以cosα=-.
于是,sin2α=2sinαcosα=2××=-,
cos2α=1-2sin2α=1-2×=-,
tan2α==×=.
[题后反思] (1)还有其他方法求tan2α吗
(tanα==-, tan2α=)(2)已知sinα,求cos2α时,用公式cos2α=1-2sin2α可以避免讨论.若用sin22α+cos22α=1求解,则cos2α=±.哪种是错误答案,如何修正 (cos2α=±是错的.因为sinα=, α∈,所以α∈, 2α∈,所以cos2α=-)(3)已知角的某个三角函数值及范围,可以缩小角的范围.
变式 (教材第120页练习第2题)已知sinα=0.8, α∈,求sin2α, cos2α的值.
[规范板书] 解 因为sinα=0.8, α∈,所以cosα=0.6, 所以sin2α=2sinαcosα=0.96, cos2α=1-2sin2α=-0.28.
【例2】 化简:
(1) coscos; (2) cos4-sin4; (3) .(见学生用书P71)
[处理建议] 引导学生从公式的结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.
[规范板书] 解 (1)原式=cossin==sin=.
(2) 原式=cos2-sin2cos2+sin2=cos2-sin2=cosα.
(3) 原式=·=tan45°=.
[题后反思] (1)公式变形:sinαcosα=sin2α;(2)倍角公式中的倍角是相对的,如4α是2α的倍角,α是的倍角等.
变式 (1) 计算:-=4;
(2) (教材第122页练习第1(5)题)化简:-=tan2α.
[规范板书] 解 (1)原式====4.
(2) 原式==tan2α.
【例3】 (根据教材第120页例2改编)求证:= .(见学生用书P72)
[处理建议] 引导学生思考:(1) ( http: / / www.21cnjy.com )式子左右两边有什么差异 (从角的差异来看,左边角是右边角的二倍;从名称的差异来看,题中涉及正弦、余弦和正切)
(2) 三角变换时,从哪个差异入手比较简单 (从角的差异入手)
[规范板书] 证明 左边=
===tan2θ==右边.
∴ 原式得证.
[题后反思] (1)三角变换时,首先要 ( http: / / www.21cnjy.com )找到角与角之间的关系,如倍角关系、 α=(α+β)-β等.(2)当题中出现1+cosα, 1-cosα时,要想到用倍角公式消1.
变式 若270°<α<360°,则=-cos.
[处理建议] 引导学生对结构“1+cos2α”进行变形,同时要注意开方后“±”的选取.
[规范板书] 解 因为270°<α<360°,所以135°<<180°, cosα>0, cos<0.
原式=====-cos.
四、 课堂练习
1. 计算:
(1) (sin15°+cos15°)2=.
(2) sin22°30'cos22°30'=.
(3) -=.
(4) sin2-cos2=-.
2. 求证:=tan(+x).
证明 ====tan.
五、 课堂小结
1. 运用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式.
2. 注意二倍角正切公式中角的限制.
3. 三角变换技巧:①变名;②变角;③变结构.
第7课时 二倍角的三角函数(2)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知sinθ+cosθ=,θ∈,求sinθ·cosθ, sin2θ, cos2θ, sinθ, cosθ的值.
(见学生用书P73)
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路,可能是“联立方程sinθ+cosθ=与sin2θ+cos2θ=1求解”.再引导学生思考:(1)能否不通过sinθ, cosθ,直接求出sinθ cosθ,sin2θ, cos2θ (2) 结论中的sinθ cosθ在条件中并没有出现,如何才能出现 (只需将sinθ+cosθ=平方即可)
[规范板书] 解法一 由sinθ+cosθ=,得sinθ=-cosθ,将其代入恒等式sin2θ+cos2θ=1,
得+cos2θ=1,化简得50cos2θ-10cosθ-24=0,解得cosθ=-或cosθ=.
又因为θ∈,所以cosθ=-,则sinθ=-cosθ=,于是sinθ·cosθ=-, sin2θ=-, cos2θ=1-2sin2θ=1-2×=-.
综上所述, sinθ·cosθ=-, sin2θ=-, cos2θ=-, sinθ=, cosθ=-.
解法二 由题意知(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-, sin2θ=-.
又因为θ∈,所以2θ∈, 故cos2θ=-.
(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=,又因为θ∈,所以cosθ-sinθ=-,与sinθ+cosθ=联立,解得sinθ=, cosθ=-.
综上所述, sinθ·cosθ=-, sin2θ=-, cos2θ=-, sinθ=, cosθ=-.
[题后反思] (1)三角变换时要会“执果 ( http: / / www.21cnjy.com )索因”,即用已知条件构造结果中的结构.(2)sinα+cosα, sinα·cosα, sinα-cosα三者之间可以互相转化.
变式 将例1中 “θ∈”改为“θ∈(0, π)”.
[处理建议] 在解题过程中,引导学生根据结果适当缩小角的范围.
[规范板书] 解法一 由sinθ+cosθ=,得sinθ=-cosθ,将其代入恒等式sin2θ+cos2θ=1,得+cos2θ=1,化简得50cos2θ-10cosθ-24=0,解得cosθ=-或cosθ=,代入sinθ=-cosθ,
所以或
又因为θ∈(0, π),所以以下同例1的解法一.
解法二 由题可知(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-, sin2θ=-.
又因为θ∈(0, π),所以θ∈.
又因为sinθ+cosθ=>0,所以θ∈,即2θ∈, 故cos2θ=-.
以下同例1题的解法二.
[题后反思] 三角函数问题常需根据条件缩小角的范围,以避免讨论.
【例2】 已知sin=,0<θ<,求cos2θ, cos的值.(见学生用书P73)
[处理建议] 引导学生寻找条件中的角与结论中角的关系.关系有两种:一是将条件中的-θ转化成θ求解;二是条件中角的两倍与结论中的2θ的和是,即2+2θ=.
[规范板书] 解法一 因为0<θ<,所以-θ∈.
又因为sin=,所以cos=,
所以sinθ=sin--θ=cos-θ-sin-θ==, cosθ=.
于是,cos2θ=1-2sin2θ=, cos=(cosθ-sinθ)=.
解法二 因为0<θ<,所以-θ∈.
又因为sin=,所以cos-θ=,
所以sin-2θ=2sin-θcos-θ=2××=,即cos2θ=,
cos+θ=cos--θ=sin-θ=.
[题后反思] 三角变换时,要注意题中角与角的关系:如是否可以用一(两)个角表示其他角;α±β, α±2β是否特殊角等.
变式 设sin=,则sin2θ=-.
[处理建议] 引导学生思考:题中的角+θ与结论中的角2θ之间有什么关系 2+θ-2θ=
[规范板书] 解 cos=cos2+θ=1-2sin2+θ=,
所以sin2θ=-cos=-.
【例3】 (教材第121页例3)化简:sin2α-+sin2α+-sin2α.(见学生用书P74)
[处理建议] 引导学生分析式中角的关系与结构特征.
[规范板书] 解法一 原式=+-sin2α=sin2α+cos2α-sin2α=.
解法二 由倍角公式cos2α=1-2sin2α,得sin2α=,
于是,原式=+-
=-
=-=.
[题后反思] (1)二倍角余弦公式的变形(降幂公式):sin2α=, cos2α=.(2) 三角变换也可从“变结构”入手,常见的结构有1+cosα, 1-cosα等.
变式 求证:cos8α-sin8α=cos2α(1-sin22α).
[处理建议] 引导学生思考:(1) ( http: / / www.21cnjy.com )式子的左右两边有什么差异 (结构上的差异:三角函数的次方不同;角上的差异:角α与角2α有倍角关系)(2)本题从什么差异入手比较简单 (从结构入手,将左边的次数降低)
[规范板书] 证明 左边=(cos4α-sin4α)(cos4α+sin4α)=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)(cos4α+sin4α)=cos2α·(cos2α+sin2α)2-2sin2αcos2α=cos2α·1-2sin2αcos2α=cos2α·=右边.
*【例4】 (教材第122页例5)在半圆钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大
[处理建议] 引导学生作图,并选择圆心角∠BOA(θ)为自变量,建立关于θ的函数,同时注意应用题的书写规范.
[规范板书]
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
解 如图,设∠BOA=θ,且θ为锐角 ( http: / / www.21cnjy.com ),半圆的半径为R,则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O,且两边长分别为AB=Rsinθ, DA=2OA=2Rcosθ,
所以这个矩形的面积S=AB·DA=Rsinθ·2Rcosθ=R2sin2θ.
所以当sin2θ=1(θ为锐角),即θ=45°时,矩形ABCD的面积取得最大值R2.此时AD=R, AB=R.
答:当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是1∶2∶时,所截矩形的面积最大.
[题后反思] 求解与圆有关的最值问题时,常以圆心角为自变量.
变式 在一个圆的所有内接矩形中,怎样的矩形面积最大
[规范板书] 解 设ABCD是☉O的内 ( http: / / www.21cnjy.com )接矩形,☉O半径为R, ∠ACB=θ,则AB=2Rsinθ, BC=2Rcosθ,所以矩形ABCD的面积S=AB·BC=4R2sinθcosθ=2R2sin2θ.当sin2θ=1(θ为锐角),即θ=45°时,矩形ABCD的面积最大.
二、 课堂练习
1. 已知sin=,则sin2x=.
提示 sin2x=cos-2x=cos2-x=1-2sin2-x=1-2×2=.
2. 如果sin2α=,α∈,那么cosα-sinα=-.
提示 (cosα-sinα)2=1-sin2α=,又α∈,所以cosα-sinα<0, 故cosα-sinα=-.
3. 化简:cos2θ+cos2+cos2.
解法一 原式=++=+++=.
解法二 原式=cos2θ++=cos2θ+cos2θ+sinθ cosθ+sin2θ+cos2θ-sinθ cosθ+sin2θ=.
三、 课堂小结
1. sinα+cosα, sinα cosα, sinα-cosα三者之间的转化.
2. 三角变换技巧:①变名(化切为弦);②变角(用已知角表示所求角);③变结构(降幂公式).
第8课时 本章复习
教学过程
一、 数学运用
【例1】 化简:.
(见学生用书P75)
[处理建议] 观察分析待化简的式子,可以看到分子较容易处理,它是二倍角余弦公式的逆用.分母相对复杂,从名称看,有弦有切;从角看,两个角与分子中的角都不同,但-α, +α互余;从结构看,涉及正弦的平方.而后请学生从式子“角”、“结构”上的差异着手,使用不同的公式求解.
[规范板书] 解法一
原式=
(复角化单角)
= (化切为弦)
==1. (化简繁分式)
解法二 原式=
(将分母化同角)
=(化切为弦)
===1.
(逆用二倍角正弦公式)
[题后反思] 三角变换的实质是灵活地运用公式进行运算,在这个过程中,要从“名”、“角”、“结构”上的差异入手.
变式 化简:.(见学生用书P75)
[规范板书] 解 原式=·=·tan10°=·=-2.
【例2】 若sin=,则cos=-. (见学生用书P75)
[处理建议] 引导学生找出已知角与所求角,并找出两角之间的关系:2+=π.
[规范板书] 解 cos+2α=cosπ-2-α=-cos2-α=2sin2-π-1=-.
[题后反思] 三角变换过程中要注意寻找题中角与角的关系.
变式1 设α为锐角,若cos=,则sin= .(见学生用书P75)
[规范板书] 解 ∵ α为锐角,∴ <α+<.又cos=, ∴ sin=.
∴ sin=2sincos=, cos=2cos2-1=.
∴ sin=sin=sincos-cossin=.
[题后反思] 本题是2012年江苏高考卷第11题,解题的关键是寻找所求角与已知角之间的关系.本题也可以先求出sinα和cosα的值,从而可求得sin2α和cos2α的值,进一步可求得sin的值.
变式2 已知函数f(x)=sin+cos, x∈R.
(1) 求f(x)的最小正周期和最小值;
(2) 已知cos(β-α)=, cos(β+α)=-, 0<α<β≤,求证:-2=0.
[规范板书] 解 (1)因为f(x)=sin+sinx-+=2sinx-,
所以T=2π,f(x)的最小值为-2.
(2) 由已知可得cosβcosα+sinβsinα=, cosβcosα-sinβsinα=-,两式相加得2cosαcosβ=0.
又因为0<α<β≤,所以β=,
所以-2=-2=0.
【例3】 已知函数f(x)=sin-cos+2cos2x.
(1) 求f的值;
(2) 求f(x)的最大值及相应x的值.
(见学生用书P76)
[处理建议] 第(1)问可直接代入化简、求值;第(2)问需将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)+B的形式.
[规范板书] 解 (1) f=sin2×+-cos2×++2cos2=sin-cos+1+cos=+1.
(2) f(x)=sin-cos+2cos2x=sin2xcos+cos2xsin-cos2xcos+sin2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin+1.
当sin=1时,[f(x)]max=2+1=3,
此时2x+=2kπ+,即x=kπ+,k∈Z.
[题后反思] (1) 分析、 ( http: / / www.21cnjy.com )研究三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的解析式变形化简成“一一型”(一个角的一个三角函数),然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
(2) 相应于sinx-cosx=2sin,还有更一般的情况:asinx+bcosx=sinx·+cosx·.∵ +=1, ∴ 设=cosφ, =sinφ,则asinx+bcosx=sin(x+φ),并由此可求出asinx+bcosx的取值范围.
(如3sinx-4cosx=5,设cosφ=, sinφ=,则3sinx-4cosx=5sin(x-φ).若x∈R,则3sinx-4cosx∈[-5, 5])
变式1 求函数y=2coscos+sin2x的值域和最小正周期. (见学生用书P76)
答案 y=2sin,值域为[-2, 2],最小正周期T=π.
变式2 若函数f(x)=-asincos的最大值为2,试确定常数a的值.
[规范板书] 解 f(x)=+sinx=sin(x+φ),其中φ满足sinφ=.由已知可得+=4,解得a=±.
【例4】 如图(1), A, B是半径为1的圆O上任意两点,以AB为一边作等边三角形ABC,问:A, B处于怎样的位置时,四边形OACB的面积最大 最大面积是多少 (见学生用书P76)
[处理建议] 引导学生分析四边形面积变化的 ( http: / / www.21cnjy.com )原因,选择∠AOB为自变量,将四边形OACB的面积表示成∠AOB的函数,再求这个三角函数的最大值.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4(1))
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4(2))
[规范板书] 解 设∠AOB=θ(0<θ<π),四边形OACB的面积为S.如图(2),取AB中点D,连接OD,则OD⊥AB.
在Rt△ODA中,OA=1, ∠AOD=,所以AD=AOsin∠AOD=sin,
所以AB=2AD=2sin,
于是S=S△ABC+S△AOB=AC·BCsin60°+OA·OBsinθ=+sinθ=sin2+sinθ=sinθ-cosθ+=sin+.
因为0<θ<π,所以当θ-=,即θ=时,S取得最大值1+.
故当OA与OB夹角为时,四边形OACB的面积最大,最大面积是1+.
[题后反思] (1)有关圆的最值问题要想到设圆心角为自变量.(2)四边形OACB的面积还可以根据AB的变化而变化.即设AB=x,则S=S△ABC+S△AOB=x2+x.
变式1 如图,工人师傅要从一块圆心角为45° ( http: / / www.21cnjy.com )的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径为1,求割出的长方形桌面的最大面积. (见学生用书P76)
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式1)
[规范板书] 解 如图,连接OC,设∠COB=θ,则0°<θ<45°, OC=1.
∵ AB=OB-OA=cosθ-AD=cosθ-sinθ,
∴ S矩形ABCD=AB·BC=(cosθ-sinθ)·sinθ=-sin2θ+sinθcosθ=-(1-cos2θ)+sin2θ=(sin2θ+cos2θ)-=cos(2θ-45°)-.
当2θ-45°=0°,即θ=22.5°时,Smax=.
∴ 割出的长方形桌面的最大面积为.
变式2 如图(1),四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心, 9为半径画弧,分别交AB, AD于点E, F,P是上一动点,过点P分别作PM⊥BC, PN⊥CD,垂足为M, N,求矩形PMCN的面积的最小值.
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(变式2(1))
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(变式2(2))
[规范板书] 解 如图(2),连接PA,延长NP交AB于H.设∠PAE=θ0≤θ≤,矩形PMCN的面积为S,则
PM=HB=AB-AH=10-9cosθ,
PN=HN-HP=10-9sinθ,
于是S=PM·PN=(10-9cosθ)(10-9sinθ)
=100-90(sinθ+cosθ)+81sinθcosθ.
令sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=,
所以S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+=+.
因为θ∈,所以t=sinθ+cosθ=sin∈,
所以当t=时, Smin=.
故矩形PMCN的面积的最小值是.
二、 补充练习
1. 函数f(x)=3sin+4cos的最小值是-5.
提示 因为f(x)=5sin(x++φ),所以f(x)的最小值是-5.
2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx,求f(x)的最大值和最小值.
解 f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3-.
因为cosx∈[-1, 1],所以当cosx=-1时,f(x)取最大值6;当cosx=时,f(x)取最小值-.
三、 课堂小结
1. 三角恒等变换公式:两角和(差)的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.
2. 求值常用的方法:化切为弦、升幂降幂、“1”的代换等.
3. 基本思想方法:化归思想、整体思想.
第1课时 两角和与差的余弦
教学过程
一、 问题情境[1]
在实数运算中,有公式a(b+c)=ab+ ( http: / / www.21cnjy.com )ac;在向量运算中,有公式a·(b+c)=a·b+a·c;在三角运算中,有公式cos(α-β)=cosα-cosβ吗 如果没有,式子一定不成立吗
二、 数学建构
问题1 在直角坐标系xOy中,以Ox为始边分别作角α, β (0≤β≤α≤π),其终边分别与单位圆交于P1, P2,则向量, 的夹角是多少 ·的值是多少 [2]
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(图1)
由图1可得向量, 的夹角是α-β,=(cosα, sinα), =(cosβ, sinβ).
一方面,由向量数量积的定义,有·=||·||cos(α-β)=cos(α-β).
另一方面,由向量数量积的坐标表示,有·=cosαcosβ+sinαsinβ.
从而cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 0≤β≤α≤π.
问题2 如果α, β∈R,上述公式还成立吗 [3]
当α-β∈[0, π]时, α-β就是, 的夹角,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
对于任意的α, β,总可选适当的整数k,使α-β-2kπ∈[-π, π).记β1=β+2kπ,则β1与β的终边相同,且α-β1∈[-π, π),从而|α-β1|≤π, |α-β1|就是, 的夹角.因此cos(|α-β1|)=cos(α-β1)=cos(α-β-2kπ)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
综上,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,这就是两角差的余弦公式,记为C(α-β).
问题3 cos(β-α)的展开式是什么 它与cos(α-β)展开式相等吗 为什么
cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ,它们展开式相等.因为余弦函数是偶函数,所以cos(α-β)=cos(β-α).
问题4 能利用两角差的余弦公式求cos(α+β)吗 [4]
在两角差的余弦公式中,用-β代替β,就可以 ( http: / / www.21cnjy.com )得到cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,这就是两角和的余弦公式,记为C(α+β).
思考 “用-β代替β”的换元方法体现在图形上有什么几何意义 能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗
用“-β代替β”的几何意义就是作出角β关于x轴的对称图形.
(一) 公式理解
1. 结构特征:①左边是两角差的余弦,右边是同名积的和;②左边是两角和的余弦,右边是同名积的差.
2. 公式中的α, β可以是任意的角(或式子).
3. 当α, β中有一个是90°的整数倍时,用诱导公式比较简便.
(二) 巩固概念
问题5 (教材第104页例1(1))请利用两角和(差)的余弦公式证明cos=sinα.[5]
cos=coscosα+sinsinα=sinα.
三、 数学运用
【例1】 (教材第105页例2)利用两角和(差)的余弦公式,求cos75°, cos15°, sin15°, tan15°.[6]
(见学生用书P61)
[处理建议] 引导学生将75°, 15°转化为两个特殊角的和或差,正弦需转化为余弦.
[规范板书] 解 (1) 方法1:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.
方法2:cos75°=cos(120°-45°)=cos120°cos45°+sin120°sin45°=.
(2) 方法1:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.
方法2:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=.
(3) sin15°=cos(90°-75°)=cos75°=.
(4) tan15°===2-.
[题后反思] (1)两角差(和)的余弦公式 ( http: / / www.21cnjy.com )也适用于形式上不是差(和)角,但可以拆分成两角差(和)的情形;(2)角的拆分可能有多种形式,要根据题目选择适当的拆分.
变式 化简cos+cos.
[规范板书] 解 原式=coscosα-sinsinα+coscosα+sinsinα=cosα.
【例2】 不查表,求下列式子的值:
(1) cos120°cos15°-sin120°sin15°;
(2) cos58°sin77°+sin122°sin13°.
(见学生用书P62)
[处理建议] 本例是逆用两角和(差)的余弦公式求值,要引导学生构造公式中的结构.
[规范板书] 解 (1)原式=cos(120°+15°)=cos135°=-.
(2) 原式=cos58°cos13°+sin58°sin13°=cos(58°-13°)=.
变式 不查表,求cos215°-sin215°的值.
[规范板书] 解 cos215°-sin215°=cos(15°+15°)=.
[题后反思] 只有式子结构与公式结构完全相同时才能逆用公式,否则需对式子进行变形.
【例3】 (教材第105页例3)已知sinα=, α∈, cosβ=-,β∈,求cos(α+β)的值. (见学生用书P62)
[处理建议] 由公式C(α ( http: / / www.21cnjy.com )+β)可知,欲求cos(α+β),应先计算cosα,sinβ的值.cosα, sinβ是通过sin2x+cos2x=1(x为任意角)来求解的,要注意“±”的选取.
[规范板书] 解 因为α∈, sinα=,所以cosα=-=-=-.
又因为cosβ=-,β∈π, ,所以sinβ=-=-=-,
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-×--×=.
[题后反思] 思考:在例3中,你能求出sin(α+β)的值吗
*【例4】 若α, β为锐角,且满足cosα=, cos(α+β)=,求cosβ的值.
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路 ( http: / / www.21cnjy.com ),可能是“展开cos(α+β),与sin2β+cos2β=1联立,解方程组”.再引导学生观察发现α, α+β, β三个角之间的关系为β=(α+β)-α,用两角差的余弦公式求解.最后由学生比较两种方法的简易度,让学生体会拆角方法的简捷和思路的合理性.
[规范板书] 解 因为α, β为锐角,所以0<α<, 0<β<, 0<α+β<π.
因为cosα=, cos(α+β)=,所以sinα=, sin(α+β)=,
所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.
[题后反思] 在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为α+β和α,所求角是β,则β=(α+β)-α.
变式 已知cos(2α-β)=-, sin(α-2β)=,且<α<, 0<β<,求cos(α+β)的值.
[处理建议] 引导学生寻找已知角与 ( http: / / www.21cnjy.com )所求角之间的关系,即(2α-β)-(α-2β)=α+β.由α, β的取值范围,分别求出2α-β, α-2β的正弦值和余弦值,再利用公式即可求解.
[规范板书] 解 ∵ <α<, 0<β<, ∴ <2α-β<π, -<α-2β<.
由cos(2α-β)=-, sin(α-2β)=,
得sin(2α-β)=, cos(α-2β)=,
∴ cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α
-β)·cos(α-2β)+sin(2α-β)·sin(α-2β)=×+×=.
四、 课堂练习
1. 化简:cos(30°+α)-cos(30°-α)=-sinα.
2. 化简:cos65°cos115°-cos25°sin115°=-1.
提示 原式=cos65°cos115°-sin65°sin115°=cos(65°+115°)=cos180°=-1.
3. 已知sinα=, α∈, cosβ=-,β是第三象限角,则cos(α-β)=-.
提示 因为α∈, sinα=,所以cosα=-=-=-.
又因为cosβ=-,β是第三象限角,所以sinβ=-=-=-,
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=-.
4. 已知α∈, cos=,则cosα=.
提示 因为α∈,所以α-∈, 所以sin=-.因此,cosα=cos=cos-sin=.
五、 课堂小结
1. 运用向量数量积的定义及坐标运算公式推导两角差的余弦公式,在两角差的余弦公式上用赋值法得到两角和的余弦公式.
2. 两角和与差的余弦公式的结构特证.
3. 三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).
第2课时 两角和与差的正弦(1)
教学过程
一、 问题情境[1]
如何求sin15°的值
二、 数学建构
问题1 上节课中,我们是如何求sin15°的值
我们是将sin15°变换成cos7 ( http: / / www.21cnjy.com )5°,再利用两角和的余弦公式来计算.而sin15°=sin(45°-30°),有没有两角和(差)的正弦公式
问题2 能否用上述方法,将sin(α+β)转化成某个角的余弦
sin(α+β)=cos.
问题3 上述中涉及三个角和的余弦,如何展开才能使结果只含有α, β的正弦和余弦
cos=cos=coscosβ+sinsinβ=sinαcosβ+cosαsinβ,即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,这就是两角和的正弦公式,记为S(α+β).
问题4 能得到两角差的正弦公式吗 即sin(α-β)= .[2]
解法一 在两角和的正弦公式中,用-β代替β, ( http: / / www.21cnjy.com )就可以得到sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,这就是两角差的正弦公式,记为S(α-β).
解法二 sin(α-β)=cos-(α-β)=cos-α+β=cos-αcosβ-sin-αsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.
问题5 能用同角三角函数的关系,由C(α±β)推导出S(α±β) 这样做有什么困难
用同角三角函数的关系推导时,会遇到符号确定的困难.
问题6 sin(β-α)的展开式是什么 它与sin(α-β)的展开式相同吗 为什么
sin(α-β)=sinβ ( http: / / www.21cnjy.com )cosα-cosβsina,它与sin(α-β)的展开式互为相反数.因为正弦函数是奇函数,所以sin(β-α)=-sin(α-β).
公式理解
1. 结构特征:①左边是两角和的正弦,右边是异名积的和;②左边是两角差的余弦,右边是异名积的差.
2. 公式中的α, β可以是任意的角(或式子).
3. 运用公式要注意角及函数的位置排列顺序.
4. 当α, β中有一个是90°的整数倍时,用诱导公式比较简便.
三、 数学运用
【例1】 已知sinα=-, α是第四象限角,求sin的值.(见学生用书P63)
[处理建议] 由学生自己分析解题思路,教师引导学生注意cosα的正负.
[规范板书] 解 因为sinα=-, α是第四象限角,所以cosα==,
所以sin-α=sincosα-cossinα=×-×=.
变式 化简:sin+sin.
[规范板书] 解 原式=sincosα-cossinα+=2sincosα=cosα.
【例2】 已知α∈, sin=,求sinα的值.(见学生用书P64)
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路,可能是“展开sin,与sin2α+cos2α=1联立,解方程组”.再引导学生观察分析α, α+之间的关系,根据两角差的正弦公式求解.
[规范板书] 解 因为α∈, 所以α+∈, .又因为sin=,所以 cosα+=,
所以sinα=sin+α-=sin+αcos-cos+αsin=×-×=-.
[题后反思] (1)三角变换中要注意角与角的关系,如α=-, α=+等等.(2)利用平方关系确定cos时,一定要注意α+的范围.
变式 已知α∈, sin=,求sinα的值.
[规范板书] 解 因为α∈, 所以α+∈.又因为sin(α+)=,所以 cosα+=±.
(1) 当cos=-时, cos
(2) 当cos=时,sinα=sin=sincos-cossin=×-×=-.
【例3】 (教材第108页例2)已知cos(α+β)=, cosβ=, α, β均为锐角,求sinα的值.
(见学生用书P64)
[处理建议] 先由学生自 ( http: / / www.21cnjy.com )己分析解题思路,可能是“展开cos(α+β),与sin2β+cos2β=1联立,解方程组”.再引导学生思考:在学习两角和差的余弦公式时,有类似的题目吗 是如何解决的 (将α看成是α+β与β的差,即α=(α+β)-β,再用两角差的正弦公式求解)
[规范板书] 解 因为α, β均为锐角,所以α+β∈(0, π).
又因为cos(α+β)=, cosβ=,
所以sin(α+β)=, sinβ=,
所以sinα=sin=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=×-×=.
[题后反思] (1)在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为α+β和β,所求角是α,则α=(α+β)-β.(2)在解三角函数问题时,常通过条件缩小角的范围,避免讨论.如将本题β的范围改为(0, π),则如何求解呢 (由cosβ=, β∈(0, π),得β∈)
变式 已知<α<, 0<β<, cos=, sin=,试求sin(α+β)的值.
[处理建议] 引导学生思考:(1) 本题中的已知角是什么 所求角是什么 两者间有什么关系 (已知角是+β, -α,所求角是α+β,两者间的关系是-=+(α+β))
(2) 已知角的和是+(α+β),不是α+β,如何求sin(α+β) (先求cos)
[规范板书] 解 因为<α<, 0<β<,所以-α∈, +β∈.
又因为cos=, sin=,所以sin=-, cos=-.
所以cos=cos+β--α=cos+βcos-α+sin+βsin-α=-×+×-=-.
又因为cos=-sin(α+β),所以sin(α+β)=.
*【例4】 cos33°cos12°-cos57°cos78°= .
[处理建议] 引导学生从公式结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.
[规范板书] 解法一 (用两角和的余弦公式)原式=cos33°cos12°-sin33°sin12°=cos(33°+12°)=.
解法二 (用两角差的正弦公式)原式=sin57°cos12°-cos57°sin12°=sin(57°-12°)=.
[题后反思] 逆用公式要注意公式的结构与条件结构是否相同.
变式1 (教材第109页例3)求函数y=sinx+cosx的最大值.
[处理建议] 引导学生思考:(1) 正弦函数、余弦函数分别在何时取最大值 (正弦函数当x=2kπ+,k∈Z时取最大值,余弦函数当x=2kπ,k∈Z时取最大值)
(2) 题中函数的最值是在x=2kπ+,k∈Z,或x=2kπ,k∈Z时取得吗
(3) 本题如何求最大值
[规范板书] 解 y=sinxcos+cosxsin=sin.
当x+=2kπ+,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值1.
[题后反思] 本题还有其他解法吗 (y=sinxsin+cosxcos=cos.当x-=2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值1)
变式2 (教材第112页习题3.1(2)第5(3)题)求函数y=sinx+cosx的最大值.
[处理建议] 引导学生发现变式1与变式2之间的关系.
[规范板书] 解 y=2sinx+cosx=2sinxsin+cosxcos=2cosx-.
当x-=2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值2.
[题后反思] 解题过程中提出的系数2与原系数1, 有何关系 (2=)
四、 课堂练习
1. 计算:sin69°cos99°-cos69°sin99°=-.
2. 在△ABC中, A=, cosB=,则sinC=.
提示 ∵ A=, ∴ cosA=sinA=.又∵cosB=,B∈(0, π),∴ sinB=,∴ sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.
3. 函数y=sinx-cosx的最小值是-2.
提示 y=2=2sinx-.当x-=2kπ-,k∈Z,即x=2kπ-,k∈Z时,函数y取得最小值-2.
4. 已知cosα=, cos(α+β)=,且α, β都为锐角,求sinβ的值.
解 由已知条件可得sinα=, sin(α+β)=,所以sinβ=sin=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=.
五、 课堂小结
1. 运用两角和与差的余弦公式及三角函数的诱导公式来推导两角和与差的正弦公式.
2. 两角和与差的正弦公式的结构特征.
3. 三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).
第3课时 两角和与差的正弦(2)
教学过程
一、 问题情境
化简:sin+cos.
二、 数学建构
活动 解决问题情境中的问题.
解 原式=sin2xcos-cos2xsin+cos2xcos-sin2xsin=sin2x-cos2x+cos2x-sin2x=0.
问题1 在“两角和与差的余弦”这一课中 ( http: / / www.21cnjy.com ),我们曾发现在求解三角函数问题时,如果能注意到角与角的关系,可以减少运算量,那么这道题中涉及哪些角,它们有什么关系
从局部看,本题涉及2x, , ,它们没有明显关系.从整体来看,本题涉及2x-, 2x+,它们的关系为-=.
问题2 能否根据上述回答想到其他解决思路
原式=sin2x-+cos+2x-=sin2x--sin2x-=0.
总结 在求解三角函数问题时,要注意角与角之间的关系.
三、 数学运用
【例1】 求的值.
(见学生用书P65)
[处理建议] 引导学生寻找题中角的关系,将50°看成60°-10°,从而减少非特殊角的个数(消元的思想).
[规范板书] 解 原式===.
[题后反思] (1) 通过寻找角与角间 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系,减少非特殊角的个数,这是三角变换的重要思路之一.(2) 思考:为什么不将10°改写成60°—50°
【例2】 已知sin(2α+β)+2sinβ=0, cos(α+β)cosα≠0,求证:tanα=3tan(α+β).
(见学生用书P65)
[处理建议] 引导学生观察条件中的角与结论中的角之间的关系.
[规范板书] 证明 sin(2α+β)+2sinβ
=sin+2sin
=[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα]+2[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]
=3sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=0.
又因为cos(α+β)cosα≠0,所以=,即tanα=3tan(α+β).
【例3】 (教材第110页例6)已知sin(α+β)=, sin(α-β)=-,求的值.(见学生用书P66)
[处理建议] 引导学生思考:(1) 条件是关于角的正弦,结论是关于角的正切,这种既含有正弦、余弦,又含有正切的问题,我们一般先做什么 (化切为弦,即求)
(2) 要求,就要求sinαcosβ, cosαsinβ,条件中有吗 (只需将sin(α+β), sin(α-β)展开即可)
[规范板书] 解 由已知条件得所以
从而==×=.
[题后反思] (1)三角变换要会“ ( http: / / www.21cnjy.com )执果索因”,如本例及例1中将所求角表示成已知角.(2)本例的解法体现了方程思想.(3)思考:从本例的解题过程可以看出,只要知道sin(α+β), sin(α-β)的值,就可以求出sinαcosβ, cosαsinβ.据此你能用α+β, α-β的正弦与余弦表示sinαcosβ, cosαsinβ, cosαcosβ, sinαsinβ吗
【例4】 化简:sin(α+β)cosα-[sin(2α+β)-sinβ].(见学生用书P66)
[处理建议] 引导学生观察2α+β, β ( http: / / www.21cnjy.com ), α+β, α四个角之间的关系,即2α+β=(α+β)+α, β=(α+β)-α,从而可将原三角函数式化为关于角α+β和α的三角函数式,再做适当整合、化简.
[规范板书] 解 原式=sin(α+β)cosα-=sin(α+β)cosα-·2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin=sinβ.
[题后反思] (1)正确逆用两角和与 ( http: / / www.21cnjy.com )差的正、余弦公式,是化简三角函数式的基本途径.(2)化简三角函数式要从分析角的关系入手,即找题中角与角的关系,这是化简三角函数式的一个切入点.
四、 课堂练习
1. 求的值.
解 原式=
=
==.
2. 证明:=tan(α+β).
证明 左边=
==tan(α+β)=右边.
五、 课堂小结
1. 三角变换时,要注意角与角的关系,会“执果索因”.
2. 灵活运用两角和(差)公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.
第4课时 两角和与差的正切(1)
教学过程
一、 问题情境
回顾“两角和与差的余弦”例1中求tan ( http: / / www.21cnjy.com )15°的过程,我们是先分别求出sin15°, cos15°,再由同角三角函数关系求出tan15°,那么能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢 [1]
二、 数学建构
问题1 对于一般的角α, β,当α, β, α+β的正切值存在时,能由tanα, tanβ直接表示tan(α+β)吗
tan(α+β)===
.
问题2 上述公式对于任意角α, β都成立吗
当α, β, α+β均不等于kπ+,k∈Z时,式子才成立,这就是两角和的正切公式,记为T(α+β).
问题3 如何由tanα, tanβ直接表示tan(α-β)
解法一tan(α-β)===.
解法二 用-β代换β,就可以得到tan(α-β)==.
公式理解
1. 结构特征:公式右边分子上的符号与左边的符号一致,而分母的符号与分子的符号相反;分子是两角正切值的和与差,分母含有两角正切值的积.
2. 公式中的α, β, α+β, α-β的正切值都存在时,公式才能成立.
三、 数学运用
【例1】 (1) 已知tanα=, tanβ=,则tan(α+β)= ;
(2) (根据教材第115页练习第1(1)题改编)已知tanα=3,则tan= . (见学生用书P67)
答案 (1) 1; (2) -.
[处理建议] 本题是公式的直接运用,可让学生自己求解.
变式1 已知α, β均为锐角,且tanα=, tanβ=,则α+β= .
[处理建议] 引导学生思考:(1) 要求角的大小,先要求什么 (角的某个三角函数值和角的范围)
(2) 本题中用哪个三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com )为什么 (本题中用正切.一是因为题中涉及角的正切;二是因为α+β∈(0, π),且在此范围内一个正切值对应一个角)
[规范板书] 解 tan(α+β)===1.又因为α, β均为锐角,所以α+β∈(0, π),所以α+β=.
[题后反思] 求角的大小,先求角的某一三角函数值和角的范围.
变式2 (教材第115页例3)如图,三个相同的正方形相接,求证:α+β=.
(变式2)
[处理建议] 引导学生选择适当的三角函数求解.
[规范板书] 解法一 由题可知tanα=, tanβ=,
所以tan(α+β)===1.
又因为α, β均为锐角,所以α+β∈(0, π),所以α+β=.
解法二 由题可知cosβ=, sinβ=, cosα=, sinα=,
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.
又因为α, β均为锐角,所以α+β∈(0, π),所以α+β=.
【例2】 已知=4+,求tan的值.(见学生用书P68)
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路,可能会有两种:一是由已知求出tanα的值,然后由两角差的正切公式求出tan;二是由=tan直接得到答案.引导学生观察条件和结论之间的关系,学会用整体思想去分析问题.
[规范板书] 解法一 由=4+,解出tanα=-,
所以tan==4+.
解法二 tan==4+.
变式1 求值:.
[规范板书] 解 原式==tan(45°-15°)=.
变式2 求值:.
[规范板书] 解 原式==tan(60°-15°)=1.
【例3】 已知tanα与tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根,求tan(α+β)的值.(见学生用书P68)
[处理建议] 本题可以先直接求出tan ( http: / / www.21cnjy.com )α, tanβ,然后利用公式求tan(α+β);也可以用韦达定理先求tanα+tanβ, tanαtanβ,然后利用公式求tan(α+β).再让学生比较这两种方法的繁易程度.
[规范板书] 解法一 因为方程x2-3x-3=0的两个根为,
所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,
所以tan(α+β)===.
解法二 由题可知Δ=(-3)2-4×(-3)=12>0,
所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,
所以tan(α+β)===.
变式 已知tanα与tanβ是方程x2-3 ( http: / / www.21cnjy.com )x-3=0的两个根,求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.
[规范板书] 解 由题可知Δ=(-3)2-4×(-3)=12>0,
所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,
所以tan(α+β)===.
故sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)
=
==
=-3.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
*【例4】 如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α, β,它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点,已知A, B的横坐标分别为, .
(1) 求tan(α+β)的值;
(2) 求α+2β的值.
[处理建议] 引导学生根据三 ( http: / / www.21cnjy.com )角函数的定义,求出tanα, tanβ,从而求出tan(α+β)和tan(α+2β),并通过α+2β的范围确定α+2β的大小.
[规范板书] 解 由题意知cosα=, cosβ=,又α, β为锐角,∴sinα=, sinβ=.因此tanα=7, tanβ=.
(1) tan(α+β)==-3.
(2) tan(α+2β)=tan==-1.
∵ α, β为锐角, ∴ 0<α+2β<, ∴ α+2β=.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式)
变式 如图, A, B是单位圆O上的点,且A点坐标为, B在第二象限, C是圆O与x轴正半轴的交点,△AOB为正三角形,求tan∠BOC的值.
[规范板书] 解 由题可知tan∠AOC=, ∴ tan∠BOC=tan(∠AOC+60°)====-.
四、 课堂练习
1. 已知tanα=-2, tanβ=5,则tan(α-β)=.
2. 计算:=-.
提示 原式==tan(45°+75°)=-.
3. 已知α为锐角, cosα=,则tan=-3.
提示 由cosα=, α为锐角,得sinα=,
则tanα=2,所以tan==-3.
4. 已知0<α<, 0<β<,且tanα, tanβ是方程3x2+4x-1=0的两根,求α+β的值.
解 因为方程3x2+4x-1=0的两根为,所以tanα+tanβ=-, tanα·tanβ=-,则tan(α+β)===-1.又0<α<, 0<β<,所以α+β∈(0, π), 故α+β=.
五、 课堂小结
1. 运用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式.
2. 两角和与差的正切公式的结构特征和角的限制.
3. 求角的步骤:先求出某个三角函数值,再根据角的范围求解.
第5课时 两角和与差的正切(2)
教学过程
一、 问题情境
已知tan=2,则tanα= .
二、 数学建构
活动 解决问题情境中的问题.
解 tan==2,解得tanα=.
问题1 本题条件中的角与结论中的角分别是什么
条件中的角是α+,结论中的角是α.
问题2 在即时体验2中,我们是如何求cosα的
先用条件中的角表示结论中的角,即α=-,再用两角差的余弦公式求解.
问题3 本题还有其他解法吗
tanα=tan+α-==.
三、 数学运用
【例1】 已知tan=2, tan=3,求tan(α+β)的值.(见学生用书P69)
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路,可能的思路有两个:一是由tan=2求出tanα,由tan=3求出tanβ,然后再求tan(α+β);二是由-=+α+β,先求出tan,而后再求tan(α+β).再引导学生比较两种方法的繁简程度.
[规范板书] 解 ∵ tan+α+β=tanβ+--α=
==,
∴ tan(α+β)=tan===.
[题后反思] 在三角函数“给式求值”问题中,要注意已知角与所求角之间的关系.
【例2】 证明:tanx-tan=.
(见学生用书P69)
[处理建议] 用问题:“本题中涉及几个角 它们有什么关系 ”引导学生寻找角与角之间的关系.
[规范板书] 证明
右边==
==tan-tan=左边.
变式 已知sin(2α+β)=5sinβ,求证:3tanα=2tan(α+β).
[规范板书] 证明 由题可知sin(α+β)+α=5sin,
则sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5,
化简得4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα,
两边同除以cosα cos(α+β)得3tanα=2tan(α+β).
【例3】 求tan23°+tan37°+tan23°tan37°的值.
(见学生用书P70)
[处理建议] 引导学生由式中含有两角正切值的和与积,联想到两角和差的正切公式.
[规范板书] 解 原式=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+tan23°tan37°=.
[题后反思] 当题中出现两角正切值的 ( http: / / www.21cnjy.com )和(差)与积时,要联想到两角和(差)的正切公式的变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).
变式 (教材第116页例4)在斜三角形ABC中,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
[处理建议] 引导学生分析式子的结构,发现式子中含正切值的和与积.
[规范板书] 证明 在斜三角形ABC中,有A+B+C=π,即A+B=π-C,且A, B, A+B≠,所以左边=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-C)(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC=右边.
[题后反思] 一般地,当角A, B, C满足什么条件时,能使等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立 (一般地,当A+B+C=kπ, k∈Z时,此结论成立)
【例4】 (教材第116页例5)如图(1 ( http: / / www.21cnjy.com )),两座建筑物AB, CD的高度分别为9m和15m,从建筑物 AB的顶部A看建筑物 CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB与CD的底部之间的距离BD.(见学生用书P70)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4(1))
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4(2))
[处理建议] 引导学生通过作 CD的垂线 AE,将中涉及到的量转移到两个直角三角形中.
[规范板书] 解 如图(2),作AE⊥CD于E.
因为AB∥CD, AB=9, CD=15,所以DE=9, EC=6.
设AE=x, ∠CAE=α.
因为∠CAD=45°,所以∠DAE=45°-α.
在Rt△AEC和Rt△AED中,有tanα=,tan(45°-α)=.
因为tan(45°-α)=,所以=,解得x=18, x=-3(舍去).
答:建筑物 AB与 CD的底部之间的距离 BD为18m.
四、 课堂练习
1. 已知tan(α-β)=, tan=, 则tan=.
提示 tanα+=tan(α-β)+β+=.
2. 计算:=.
提示 原式=
==.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题)
3. 如图,在矩形ABCD中,AB=a, BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tan∠APD的值.
解 由AB+BP=PD,得a+BP=,
解得BP=a,故CP=a.
设∠APB=α, ∠DPC=β,
则tanα==, tanβ==,
所以tan(α+β)==-18,
所以tan∠APD=tan(π-α-β)=-tan(α+β)=18.
五、 课堂小结
1. 三角变换时,要注意角与角的关系,学会“执果索因”.
2. 当条件中出现两角正切值的和(差)时,会用两角和(差)的正切公式的变形解题.
第6课时 二倍角的三角函数(1)
教学过程
一、 问题情境
问题 我们已经知道函数y=sin2x与y=s ( http: / / www.21cnjy.com )inx的图象关系,也知道α+β的正弦、余弦和正切可用α, β的正弦、余弦和正切来表示,那么角α的三角函数和角2α的三角函数之间有怎样的数量关系 [1]
在S(α+β), C(α+β), T(α+β)公式中,令β=α,就可以得到结果:sin2α=2sinαcosα (S2α); cos2α=cos2α-sin2α (C2α); tan2α= (T2α).
二、 数学建构
问题1 二倍角公式中,角有限制吗
二倍角的正弦、余弦公式中的角是任意角,但二倍角的正切公式中,2α≠+kπ, α≠+kπ,k∈Z.
问题2 二倍角的余弦公式中,同时出现了sin2α, cos2α,能否只保留一个
能.cos2α=2cos2α-1, cos2α=1-2sin2α.
三、 数学运用
【例1】 (教材第119页例1)已知sinα=, α∈,求sin2α, cos2α, tan2α的值.[2]
(见学生用书P71)
[处理建议] 引导学生先求出cosα的值,然后正确运用二倍角公式计算.
[规范板书] 解 因为sinα=, α∈,所以cosα=-.
于是,sin2α=2sinαcosα=2××=-,
cos2α=1-2sin2α=1-2×=-,
tan2α==×=.
[题后反思] (1)还有其他方法求tan2α吗
(tanα==-, tan2α=)(2)已知sinα,求cos2α时,用公式cos2α=1-2sin2α可以避免讨论.若用sin22α+cos22α=1求解,则cos2α=±.哪种是错误答案,如何修正 (cos2α=±是错的.因为sinα=, α∈,所以α∈, 2α∈,所以cos2α=-)(3)已知角的某个三角函数值及范围,可以缩小角的范围.
变式 (教材第120页练习第2题)已知sinα=0.8, α∈,求sin2α, cos2α的值.
[规范板书] 解 因为sinα=0.8, α∈,所以cosα=0.6, 所以sin2α=2sinαcosα=0.96, cos2α=1-2sin2α=-0.28.
【例2】 化简:
(1) coscos; (2) cos4-sin4; (3) .(见学生用书P71)
[处理建议] 引导学生从公式的结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.
[规范板书] 解 (1)原式=cossin==sin=.
(2) 原式=cos2-sin2cos2+sin2=cos2-sin2=cosα.
(3) 原式=·=tan45°=.
[题后反思] (1)公式变形:sinαcosα=sin2α;(2)倍角公式中的倍角是相对的,如4α是2α的倍角,α是的倍角等.
变式 (1) 计算:-=4;
(2) (教材第122页练习第1(5)题)化简:-=tan2α.
[规范板书] 解 (1)原式====4.
(2) 原式==tan2α.
【例3】 (根据教材第120页例2改编)求证:= .(见学生用书P72)
[处理建议] 引导学生思考:(1) ( http: / / www.21cnjy.com )式子左右两边有什么差异 (从角的差异来看,左边角是右边角的二倍;从名称的差异来看,题中涉及正弦、余弦和正切)
(2) 三角变换时,从哪个差异入手比较简单 (从角的差异入手)
[规范板书] 证明 左边=
===tan2θ==右边.
∴ 原式得证.
[题后反思] (1)三角变换时,首先要 ( http: / / www.21cnjy.com )找到角与角之间的关系,如倍角关系、 α=(α+β)-β等.(2)当题中出现1+cosα, 1-cosα时,要想到用倍角公式消1.
变式 若270°<α<360°,则=-cos.
[处理建议] 引导学生对结构“1+cos2α”进行变形,同时要注意开方后“±”的选取.
[规范板书] 解 因为270°<α<360°,所以135°<<180°, cosα>0, cos<0.
原式=====-cos.
四、 课堂练习
1. 计算:
(1) (sin15°+cos15°)2=.
(2) sin22°30'cos22°30'=.
(3) -=.
(4) sin2-cos2=-.
2. 求证:=tan(+x).
证明 ====tan.
五、 课堂小结
1. 运用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式.
2. 注意二倍角正切公式中角的限制.
3. 三角变换技巧:①变名;②变角;③变结构.
第7课时 二倍角的三角函数(2)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知sinθ+cosθ=,θ∈,求sinθ·cosθ, sin2θ, cos2θ, sinθ, cosθ的值.
(见学生用书P73)
[处理建议] 先由学生自己分析解题思路,可能是“联立方程sinθ+cosθ=与sin2θ+cos2θ=1求解”.再引导学生思考:(1)能否不通过sinθ, cosθ,直接求出sinθ cosθ,sin2θ, cos2θ (2) 结论中的sinθ cosθ在条件中并没有出现,如何才能出现 (只需将sinθ+cosθ=平方即可)
[规范板书] 解法一 由sinθ+cosθ=,得sinθ=-cosθ,将其代入恒等式sin2θ+cos2θ=1,
得+cos2θ=1,化简得50cos2θ-10cosθ-24=0,解得cosθ=-或cosθ=.
又因为θ∈,所以cosθ=-,则sinθ=-cosθ=,于是sinθ·cosθ=-, sin2θ=-, cos2θ=1-2sin2θ=1-2×=-.
综上所述, sinθ·cosθ=-, sin2θ=-, cos2θ=-, sinθ=, cosθ=-.
解法二 由题意知(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-, sin2θ=-.
又因为θ∈,所以2θ∈, 故cos2θ=-.
(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=,又因为θ∈,所以cosθ-sinθ=-,与sinθ+cosθ=联立,解得sinθ=, cosθ=-.
综上所述, sinθ·cosθ=-, sin2θ=-, cos2θ=-, sinθ=, cosθ=-.
[题后反思] (1)三角变换时要会“执果 ( http: / / www.21cnjy.com )索因”,即用已知条件构造结果中的结构.(2)sinα+cosα, sinα·cosα, sinα-cosα三者之间可以互相转化.
变式 将例1中 “θ∈”改为“θ∈(0, π)”.
[处理建议] 在解题过程中,引导学生根据结果适当缩小角的范围.
[规范板书] 解法一 由sinθ+cosθ=,得sinθ=-cosθ,将其代入恒等式sin2θ+cos2θ=1,得+cos2θ=1,化简得50cos2θ-10cosθ-24=0,解得cosθ=-或cosθ=,代入sinθ=-cosθ,
所以或
又因为θ∈(0, π),所以以下同例1的解法一.
解法二 由题可知(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-, sin2θ=-.
又因为θ∈(0, π),所以θ∈.
又因为sinθ+cosθ=>0,所以θ∈,即2θ∈, 故cos2θ=-.
以下同例1题的解法二.
[题后反思] 三角函数问题常需根据条件缩小角的范围,以避免讨论.
【例2】 已知sin=,0<θ<,求cos2θ, cos的值.(见学生用书P73)
[处理建议] 引导学生寻找条件中的角与结论中角的关系.关系有两种:一是将条件中的-θ转化成θ求解;二是条件中角的两倍与结论中的2θ的和是,即2+2θ=.
[规范板书] 解法一 因为0<θ<,所以-θ∈.
又因为sin=,所以cos=,
所以sinθ=sin--θ=cos-θ-sin-θ==, cosθ=.
于是,cos2θ=1-2sin2θ=, cos=(cosθ-sinθ)=.
解法二 因为0<θ<,所以-θ∈.
又因为sin=,所以cos-θ=,
所以sin-2θ=2sin-θcos-θ=2××=,即cos2θ=,
cos+θ=cos--θ=sin-θ=.
[题后反思] 三角变换时,要注意题中角与角的关系:如是否可以用一(两)个角表示其他角;α±β, α±2β是否特殊角等.
变式 设sin=,则sin2θ=-.
[处理建议] 引导学生思考:题中的角+θ与结论中的角2θ之间有什么关系 2+θ-2θ=
[规范板书] 解 cos=cos2+θ=1-2sin2+θ=,
所以sin2θ=-cos=-.
【例3】 (教材第121页例3)化简:sin2α-+sin2α+-sin2α.(见学生用书P74)
[处理建议] 引导学生分析式中角的关系与结构特征.
[规范板书] 解法一 原式=+-sin2α=sin2α+cos2α-sin2α=.
解法二 由倍角公式cos2α=1-2sin2α,得sin2α=,
于是,原式=+-
=-
=-=.
[题后反思] (1)二倍角余弦公式的变形(降幂公式):sin2α=, cos2α=.(2) 三角变换也可从“变结构”入手,常见的结构有1+cosα, 1-cosα等.
变式 求证:cos8α-sin8α=cos2α(1-sin22α).
[处理建议] 引导学生思考:(1) ( http: / / www.21cnjy.com )式子的左右两边有什么差异 (结构上的差异:三角函数的次方不同;角上的差异:角α与角2α有倍角关系)(2)本题从什么差异入手比较简单 (从结构入手,将左边的次数降低)
[规范板书] 证明 左边=(cos4α-sin4α)(cos4α+sin4α)=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)(cos4α+sin4α)=cos2α·(cos2α+sin2α)2-2sin2αcos2α=cos2α·1-2sin2αcos2α=cos2α·=右边.
*【例4】 (教材第122页例5)在半圆钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大
[处理建议] 引导学生作图,并选择圆心角∠BOA(θ)为自变量,建立关于θ的函数,同时注意应用题的书写规范.
[规范板书]
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
解 如图,设∠BOA=θ,且θ为锐角 ( http: / / www.21cnjy.com ),半圆的半径为R,则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O,且两边长分别为AB=Rsinθ, DA=2OA=2Rcosθ,
所以这个矩形的面积S=AB·DA=Rsinθ·2Rcosθ=R2sin2θ.
所以当sin2θ=1(θ为锐角),即θ=45°时,矩形ABCD的面积取得最大值R2.此时AD=R, AB=R.
答:当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是1∶2∶时,所截矩形的面积最大.
[题后反思] 求解与圆有关的最值问题时,常以圆心角为自变量.
变式 在一个圆的所有内接矩形中,怎样的矩形面积最大
[规范板书] 解 设ABCD是☉O的内 ( http: / / www.21cnjy.com )接矩形,☉O半径为R, ∠ACB=θ,则AB=2Rsinθ, BC=2Rcosθ,所以矩形ABCD的面积S=AB·BC=4R2sinθcosθ=2R2sin2θ.当sin2θ=1(θ为锐角),即θ=45°时,矩形ABCD的面积最大.
二、 课堂练习
1. 已知sin=,则sin2x=.
提示 sin2x=cos-2x=cos2-x=1-2sin2-x=1-2×2=.
2. 如果sin2α=,α∈,那么cosα-sinα=-.
提示 (cosα-sinα)2=1-sin2α=,又α∈,所以cosα-sinα<0, 故cosα-sinα=-.
3. 化简:cos2θ+cos2+cos2.
解法一 原式=++=+++=.
解法二 原式=cos2θ++=cos2θ+cos2θ+sinθ cosθ+sin2θ+cos2θ-sinθ cosθ+sin2θ=.
三、 课堂小结
1. sinα+cosα, sinα cosα, sinα-cosα三者之间的转化.
2. 三角变换技巧:①变名(化切为弦);②变角(用已知角表示所求角);③变结构(降幂公式).
第8课时 本章复习
教学过程
一、 数学运用
【例1】 化简:.
(见学生用书P75)
[处理建议] 观察分析待化简的式子,可以看到分子较容易处理,它是二倍角余弦公式的逆用.分母相对复杂,从名称看,有弦有切;从角看,两个角与分子中的角都不同,但-α, +α互余;从结构看,涉及正弦的平方.而后请学生从式子“角”、“结构”上的差异着手,使用不同的公式求解.
[规范板书] 解法一
原式=
(复角化单角)
= (化切为弦)
==1. (化简繁分式)
解法二 原式=
(将分母化同角)
=(化切为弦)
===1.
(逆用二倍角正弦公式)
[题后反思] 三角变换的实质是灵活地运用公式进行运算,在这个过程中,要从“名”、“角”、“结构”上的差异入手.
变式 化简:.(见学生用书P75)
[规范板书] 解 原式=·=·tan10°=·=-2.
【例2】 若sin=,则cos=-. (见学生用书P75)
[处理建议] 引导学生找出已知角与所求角,并找出两角之间的关系:2+=π.
[规范板书] 解 cos+2α=cosπ-2-α=-cos2-α=2sin2-π-1=-.
[题后反思] 三角变换过程中要注意寻找题中角与角的关系.
变式1 设α为锐角,若cos=,则sin= .(见学生用书P75)
[规范板书] 解 ∵ α为锐角,∴ <α+<.又cos=, ∴ sin=.
∴ sin=2sincos=, cos=2cos2-1=.
∴ sin=sin=sincos-cossin=.
[题后反思] 本题是2012年江苏高考卷第11题,解题的关键是寻找所求角与已知角之间的关系.本题也可以先求出sinα和cosα的值,从而可求得sin2α和cos2α的值,进一步可求得sin的值.
变式2 已知函数f(x)=sin+cos, x∈R.
(1) 求f(x)的最小正周期和最小值;
(2) 已知cos(β-α)=, cos(β+α)=-, 0<α<β≤,求证:-2=0.
[规范板书] 解 (1)因为f(x)=sin+sinx-+=2sinx-,
所以T=2π,f(x)的最小值为-2.
(2) 由已知可得cosβcosα+sinβsinα=, cosβcosα-sinβsinα=-,两式相加得2cosαcosβ=0.
又因为0<α<β≤,所以β=,
所以-2=-2=0.
【例3】 已知函数f(x)=sin-cos+2cos2x.
(1) 求f的值;
(2) 求f(x)的最大值及相应x的值.
(见学生用书P76)
[处理建议] 第(1)问可直接代入化简、求值;第(2)问需将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)+B的形式.
[规范板书] 解 (1) f=sin2×+-cos2×++2cos2=sin-cos+1+cos=+1.
(2) f(x)=sin-cos+2cos2x=sin2xcos+cos2xsin-cos2xcos+sin2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin+1.
当sin=1时,[f(x)]max=2+1=3,
此时2x+=2kπ+,即x=kπ+,k∈Z.
[题后反思] (1) 分析、 ( http: / / www.21cnjy.com )研究三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的解析式变形化简成“一一型”(一个角的一个三角函数),然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
(2) 相应于sinx-cosx=2sin,还有更一般的情况:asinx+bcosx=sinx·+cosx·.∵ +=1, ∴ 设=cosφ, =sinφ,则asinx+bcosx=sin(x+φ),并由此可求出asinx+bcosx的取值范围.
(如3sinx-4cosx=5,设cosφ=, sinφ=,则3sinx-4cosx=5sin(x-φ).若x∈R,则3sinx-4cosx∈[-5, 5])
变式1 求函数y=2coscos+sin2x的值域和最小正周期. (见学生用书P76)
答案 y=2sin,值域为[-2, 2],最小正周期T=π.
变式2 若函数f(x)=-asincos的最大值为2,试确定常数a的值.
[规范板书] 解 f(x)=+sinx=sin(x+φ),其中φ满足sinφ=.由已知可得+=4,解得a=±.
【例4】 如图(1), A, B是半径为1的圆O上任意两点,以AB为一边作等边三角形ABC,问:A, B处于怎样的位置时,四边形OACB的面积最大 最大面积是多少 (见学生用书P76)
[处理建议] 引导学生分析四边形面积变化的 ( http: / / www.21cnjy.com )原因,选择∠AOB为自变量,将四边形OACB的面积表示成∠AOB的函数,再求这个三角函数的最大值.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4(1))
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4(2))
[规范板书] 解 设∠AOB=θ(0<θ<π),四边形OACB的面积为S.如图(2),取AB中点D,连接OD,则OD⊥AB.
在Rt△ODA中,OA=1, ∠AOD=,所以AD=AOsin∠AOD=sin,
所以AB=2AD=2sin,
于是S=S△ABC+S△AOB=AC·BCsin60°+OA·OBsinθ=+sinθ=sin2+sinθ=sinθ-cosθ+=sin+.
因为0<θ<π,所以当θ-=,即θ=时,S取得最大值1+.
故当OA与OB夹角为时,四边形OACB的面积最大,最大面积是1+.
[题后反思] (1)有关圆的最值问题要想到设圆心角为自变量.(2)四边形OACB的面积还可以根据AB的变化而变化.即设AB=x,则S=S△ABC+S△AOB=x2+x.
变式1 如图,工人师傅要从一块圆心角为45° ( http: / / www.21cnjy.com )的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径为1,求割出的长方形桌面的最大面积. (见学生用书P76)
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(变式1)
[规范板书] 解 如图,连接OC,设∠COB=θ,则0°<θ<45°, OC=1.
∵ AB=OB-OA=cosθ-AD=cosθ-sinθ,
∴ S矩形ABCD=AB·BC=(cosθ-sinθ)·sinθ=-sin2θ+sinθcosθ=-(1-cos2θ)+sin2θ=(sin2θ+cos2θ)-=cos(2θ-45°)-.
当2θ-45°=0°,即θ=22.5°时,Smax=.
∴ 割出的长方形桌面的最大面积为.
变式2 如图(1),四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心, 9为半径画弧,分别交AB, AD于点E, F,P是上一动点,过点P分别作PM⊥BC, PN⊥CD,垂足为M, N,求矩形PMCN的面积的最小值.
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(变式2(1))
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(变式2(2))
[规范板书] 解 如图(2),连接PA,延长NP交AB于H.设∠PAE=θ0≤θ≤,矩形PMCN的面积为S,则
PM=HB=AB-AH=10-9cosθ,
PN=HN-HP=10-9sinθ,
于是S=PM·PN=(10-9cosθ)(10-9sinθ)
=100-90(sinθ+cosθ)+81sinθcosθ.
令sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=,
所以S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+=+.
因为θ∈,所以t=sinθ+cosθ=sin∈,
所以当t=时, Smin=.
故矩形PMCN的面积的最小值是.
二、 补充练习
1. 函数f(x)=3sin+4cos的最小值是-5.
提示 因为f(x)=5sin(x++φ),所以f(x)的最小值是-5.
2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx,求f(x)的最大值和最小值.
解 f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3-.
因为cosx∈[-1, 1],所以当cosx=-1时,f(x)取最大值6;当cosx=时,f(x)取最小值-.
三、 课堂小结
1. 三角恒等变换公式:两角和(差)的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.
2. 求值常用的方法:化切为弦、升幂降幂、“1”的代换等.
3. 基本思想方法:化归思想、整体思想.