《新学案》2015年春高中数学苏教版必修5名师导学：第二章 数列（含解析）
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| 名称 | 《新学案》2015年春高中数学苏教版必修5名师导学：第二章 数列（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 495.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-20 07:11:11 | ||
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文档简介
第 2 章 数列
第1课时 数列(1)
教学过程
一、 问题情境
如图1,某剧场有30排座位,第一排有20 ( http: / / www.21cnjy.com )个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位,那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28,….
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为1,2,4,8,16,….
从1984年到2004年,我国共参加了6次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32.
这些问题有什么共同的特点
二、 数学建构
1. 数列定义:像这样按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项.
问题1 你能举出学习与生活中相关的例子吗 [1]
师生共同点评,找几个有代表性的例子进行分析.例如:
① 学生的学号由小到大为:1,2,3,4,5,…,50.
② “一尺之棰,日取其半,万世不竭”,依次写出每次得到的数:1,,,,,….
③ 堆放的钢管如图2所示,各层的钢管数从下至上为:9,8,7,6,5,4.
(图2)
④ 某人2011年1~12月份的工资依次为:2500,2500,…,2500.
⑤ (-1)n,n=1,2,3,…取到的值为:-1,1,-1,1,….[2]
问题2 下列说法是否正确 为什么
(1) 数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列;
(2) 数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列;
(3) 数列a,b,c与数列c,b,a一定不是同一数列.
(都不对,对于(2),前一个数列只有3项,后一个数列不止3项;对于(3),可举反例,如:a=b=c=1)
问题3 观察所举例子,请你分析各数列项的个数.[3]
2. 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
问题4 数π的所有不足近似值按从小到大依次排列得到一个数列,你能写出它的前7项吗 原数列是有穷数列还是无穷数列
(前7项分别为3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.141592.原数列是无穷数列)
数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为,其中a1称为数列的第1项(或称为首项),a2称为第2项,…,an称为第n项.
探讨活动:体会数列与函数概念的联系.
教师将序号写在举例数列相应项的上面,引导学生说出上下两行分别是两组变量,并体会项与序号的关系.
(让学生自主思考或交流讨论,通过联想函数变量之间的关系,进而认识数列是函数.然后师生共同找出数列的定义域)
数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集 ( http: / / www.21cnjy.com ){1,2,3,4,…,k})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列:f(1),f(2),f(3),…,f(n),….
三、 数学运用
【例1】 (根据教材P32例1改编)已知数 ( http: / / www.21cnjy.com )列的第n项an为2n-1,写出这个数列的首项、第2项、第3项、第n-1项和an+1. (见学生用书课堂本P17)
[处理意见] 教师可以提出以下问题:
① 数列的第n项an为2n ( http: / / www.21cnjy.com )-1,这里的n可以是哪些数 如何求第1项 (答案:n可以是1,2,3,…等任意的正整数.只需用1代换2n-1中的n就可以求出第1项)
② 如何求数列中的第n-1项 (答案:与求第1项的方法相同,只需用n-1代换2n-1中的n即可)
③ (本问可在学生解完例1后再提问,本 ( http: / / www.21cnjy.com )问的目的是引出数列与函数的关系)求第1项即用1代换2n-1中的n,求第2项即用2代换2n-1中的n,…,求第n+1项即用n+1代换2n-1中的n,这种方法你在哪个知识里曾遇到过 (答案:在函数中遇到过,如已知函数解析式f(x),求f(1),f(2),…,f(x+1))
[规范板书] 解 首项为a1=2× ( http: / / www.21cnjy.com )1-1=1;第2项为a2=2×2-1=3;第3项为a3=2×3-1=5;第n-1项为an-1=2×(n-1)-1=2n-3;an+1即数列的第n+1项,an+1=2×(n+1)-1=2n+1.
[题后反思] ① 如果数列{an} ( http: / / www.21cnjy.com )的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.② 数列的通项公式反映了第n项与序号n之间的关系.
变式 已知数列的通项公式为an=,那么5是否为该数列中的项 如果是,是第几项
[规范板书] 解 令=5,解得n=7,所以5是该数列中的第7项.
【例2】 某家庭记录了2011年内每月的用电量如下:
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
用电量(kW·h) 110 120 90 80 62 80 103 115 84 65 81 95
将用电量按月份排列得到一个12项的数列, ( http: / / www.21cnjy.com )试写出该数列的最大项、最小项、首项、末项;并以月份作为横坐标,用电量作为纵坐标,在平面直角坐标系中标出该家庭这一年中每月用电量的大致情况.
(见学生用书课堂本P18)
[处理意见] 由学生自主思考或交流讨论.
[规范板书] 解 每一个月 ( http: / / www.21cnjy.com )的用电量依次记为a1,a2,…,a12,最大项为a2=120,最小项为a5=62,首项为a1=110,末项为a12=95.它们的图象如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
[题后反思] (1) 数列可以用通项公式、列表或图象表示.(2) 数列的图象是一个个孤立的点.
【例3】 写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1) -3,0,3,6,9;
(2) 3,5,9,17,33;
(3) ,,,;
(4) -1,1,-1,1. (见学生用书课堂本P18)
[处理意见] 由学生先自 ( http: / / www.21cnjy.com )主思考并交流讨论,教师进行适当引导.观察各项与序号之间的关系:(1) 后一项均等于前一项加3,那么第n项就是第一项加n-1个3.(2) 每一项减1为2的幂.(3) 各项是分式,且分子是2的幂,分母加1是偶数的平方.(4) 各项是-1的幂;奇数项为-1,偶数项为1.(其中第(4)小题答案较多,可让学生分组讨论交流)
[规范板书] 解 (1) an=3n-6; (2) an=2n+1; (3) an==; (4) an=(-1)n或an=cosnπ或an=
[题后反思] (1) 同一数列的通项公 ( http: / / www.21cnjy.com )式可以不同;(2) 数列是个特殊的函数,它的通项公式也可以和分段函数一样表示成分段的形式;(3) 有一类数列叫周期数列(说明:对于周期数列不用下严格定义,只要让学生了解即可).
思考 数列都有通项公式吗
(答案:不是,如例2中的数列没有通项公式)
变式 (教材P33例3)写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1) ,-,,-;
(2) 0,2,0,2.
[规范板书] 解 (1) an=.
(2) an=1+(-1)n或an=1+cosnπ或an=
*【例4】 已知数列的通项公式an=.
(1) 写出该数列的前5项;
(2) 判断并证明该数列的单调性.
[处理意见] 第(1)题及第(2)题中 ( http: / / www.21cnjy.com )判断该数列的单调性比较简单,可由学生自己作答.第(2)题中证明该数列的单调性可先让学生回忆函数单调性的定义及数列与函数的关系,再引导学生得出数列单调性的定义.
[规范板书] 解 (1) 前5项分别是1,,,,.
(2) 数列是单调递减数列.
因为an+1-an=-=<0,所以an+1[题后反思] 对于数列来说:① 若anan+1,则称数列{an}是单调递减数列.
变式 已知数列的通项公式为an=n2-5n+4.
(1) 该数列中有多少项是负数
(2) n为何值时,an有最小值 并求出最小值.
[处理意见] 第(1)题让学生自主思考或交流讨论;第(2)题要引导学生注意数列是个特殊的函数,那么函数如何求最值呢
[规范板书] 解 (1) 由an=n2-5n+4<0,解得1(2) 方法一 因为an=n2-5n+4=-,又因为n∈N*,所以当n=2或3时,an有最小值,其最小值为-2.
方法二 由an-an-1=n2-5 ( http: / / www.21cnjy.com )n+4-[(n-1)2-5(n-1)+4]=2n-6>0,得n>3,所以a1>a2=a3,a2=a3四、 课堂练习
1. 根据数列{an}的通项公式,写出它的前5项:
(1) an=;(2) an=(-1)nn.
解 (1) a1=,a2=,a3=,a4=,a5=.
(2) a1=-1,a2=2,a3=-3,a4=4,a5=-5.
2. 写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1) 3,5,7,9,11; (2) 0,1,0,1,0,1; (3) 2,-6,18,-54,162.
解 (1) an=2n+1; (2) an=+; (3) an=(-1)n+12×3n-1.
3. -35是否为数列{-3n-2}中的项 如果是,是第几项
解 由-3n-2=-35,解得n=11,所以-35是数列{-3n-2}中的第11项.
五、 课堂小结
1. 数列与集合的区别.
2. 数列与函数的关系及数列的性质(单调性、周期性).
3. 数列通项公式的形式.
第2课时 数列(2)
教学过程
一、 问题情境
问题1 设数列的通项公式为an=2n+1,其前n项和为Sn,即Sn=a1+a2+…+an,求S1,S2,S3.
(由题可知a1=3,a2=5,a3=7,则S1=a1=3,S2=a1+a2=8,S3=a1+a2+a3=15)
问题2 已知数列的通项公式,就可以求出数列的前n项和Sn.若已知数列的前n项和Sn,能求出数列的通项公式吗
二、 数学运用
【例1】 已知数列的前n项和Sn=n2+2n.
(1) 求S1,S2,S3及Sn-1;
(2) 求a1,a2,a3;
(3) 求an. (见学生用书课堂本P19)
[处理意见] (1) 本题可先由学生自主 ( http: / / www.21cnjy.com )思考,一般都能求出S1,S2,S3,Sn-1和a1,a2,a3,但部分学生得出答案却不能发现规律,教师可进行适当引导或请其他学生讲解,从而顺利过渡到求an.(2) 第三小题要引导学生注意an=Sn-Sn-1中n≥2,并强调当n=1时要单独考虑.
[规范板书] 解 (1) S1=12 ( http: / / www.21cnjy.com )+2×1=3,S2=22+2×2=8,S3=32+2×3=15,Sn-1=(n-1)2+2(n-1)=n2-1.
(2) 方法一 a1=S1=3;由S2=a1+a2,得a2=5;由S3=a1+a2+a3,得a3=7.
方法二 a1=S1=3;a2=S2-S1=5;a3=S3-S2=7.
(3) 当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.
综上所述,an=2n+1.
变式 已知数列的前n项和Sn=n2+2n+1,求an.
[处理意见] 可先由学生自己书写解题过程,教师选择书写不规范的展示,强调n=1时要单独考虑.
[规范板书] 解 当n=1时,a1=S1=4;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n+1-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1.
综上所述,an=
[题后反思] (1) 数列的通项与前n项和的关系是:an=一般像这种已知数列的前n项和求通项的方法,称为退位相减法.(2) 已知数列的前n项和,就可以求出数列的通项公式.
【例2】 已知数列中,a1=2,an=2an-1+4(n≥2,n∈N*),写出该数列的前5项. (见学生用书课堂本P20)
[处理意见] 让学生自己解题,教师随后给出递推数列的定义.
[规范板书] 解 a1=2,a2=2a1+4=8,a3=2a2+4=20,a4=2a3+4=44,a5=2a4+4=92.
[题后反思] ① 已知数列的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.
② 问题:已知数列的首项,以及任意相邻两项之间的关系,能写出该数列的所有项吗
变式 已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列{an}的前100项和为200.
[处理建议] 由a1=2,an+1=得a2==3,a3==1,a4==2,则可知数列{an}是周期数列,则S100=(2+3+1)×33+2=200.
【例3】 已知数列的通项公式an与前n项和Sn之间满足Sn=2-3an.
(1) 求a1;
(2) 求an与an-1(n≥2,n∈N*)之间的关系,并猜测数列的通项公式. (见学生用书课堂本P20)
[处理意见] 教师可提出以下问题:① 根据条件,如何出现a1 ② 条件中有Sn,an,但没有an-1,怎么办
[规范板书] 解 (1) 当n=1时,S1=a1=2-3a1,所以a1=.
(2) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2-3an)-(2-3an-1),所以4an=3an-1,即an=an-1(n≥2).
由a2=a1=×,a3=a2=×,a4=a3=×,可猜测an=×.
[题后反思] 当题中出现an与Sn的关系时,可通过an=实施和项互化.
变式 设数列的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn,求b5.
[规范板书] 解 令n=1,则b1=2-2S1.又S1=b1,所以b1=.
当n≥2时,由bn=2-2Sn,可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即bn=bn-1.
于是b5=b4=b3=b2=b1=×=.
三、 课堂练习
1. 已知数列中,a1=2,且各项满足an+1=2an-1,则该数列的前4项分别为2,3,5,9.
提示 a2=2a1-1=3,a3=2a2-1=5,a4=2a3-1=9.
2. 已知Sn是数列的前n项和,且an=则S5=38.
提示 S5=a1+a2+a3+a4+a5=2×1+22+2×3+24+2×5=38.
3. 已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则a2=4.
提示 由a1=S1=2a1-2,得a1=2;由a1+a2=S2=2a2-2,得a2=4.
4. 已知数列的前n项和Sn=3n-2,求该数列的通项公式.
解 当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1=2×3n-1.
综上所述,an=
四、 课堂小结
1. 数列前n项和与项之间的关系.
2. 给出数列的递推关系就可以确定数列的项.
第3课时 等差数列的概念
教学过程
一、 问题情境
情境1:某剧场有30排座位,第一排有2 ( http: / / www.21cnjy.com )0个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位,那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28,….
情境2:第23届到第28届奥运会举行的年份依次为1984,1988,1992,1996,2000,2004.
情境3:某电信公司的一种计费标 ( http: / / www.21cnjy.com )准是:通话时间不超过3分钟,收话费0.2元,以后每分钟收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依次为0.2,0.2+0.1,0.2+0.1×2,0.2+0.1×3,….
情境4:如果1年期储蓄的月利率为1.6 ( http: / / www.21cnjy.com )5‰,那么将10000元分别存1个月,2个月,3个月,……,12个月,所得的本利和依次为10000+16.5,10000+16.5×2,…,10000+16.5×12.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 上面这些数列有什么特点
(结合数列知识,引导学生说出:后一项与前一项之差为定值)
问题2 怎样用数学语言刻画数列中后一项与前一项之差为定值
(引导学生说出:每一项与它的前一项的差等于同一个常数)
问题3 我们是否能说“等差数列从第二项起,每一项减去它的前一项都是一个常数”
(引导学生理解:都必须是同一个常数,即d应与n无关)
问题4 你能再举一些等差数列的例子吗
(引导学生自己寻找生活中的实例,帮助学生理解)
通过讨论,给出等差数列的定义.
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去 ( http: / / www.21cnjy.com )它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
(二) 理解概念
1. 等差数列的定义可以用数学表达式an-an-1=d(n∈N,n≥2)或an+1-an=d(n∈N,n≥1)来表示.
2. 当d>0时,数列是单调递增数列;当d<0时,数列是单调递减数列;当d=0时,数列是常数数列.
(三) 巩固概念
问题5 请说出上面问题情境中的几个等差数列的公差分别是多少.
(上面问题情境中的几个等差数列的公差分别是2,4,0.1,16.5)
三、 数学运用
【例1】 判断下列数列是否为等差数列:
(1) 0,-3,-6,-9,-12;
(2) 1,-1,1,-1,1,-1;
(3) 6,6,6,6,6;
(4) 6,5,3,1,-1,-3.[3]
(见学生用书课堂本P21)
[处理建议] 引导学生从定义思考,可以让学生个别回答,也可以是集体回答,对于不成立的情形,要求学生说明不成立的理由.
[规范板书] 解 (1) 是首项为0,公差为-3的等差数列.
(2) 不是等差数列,因为-1-1=-2,1-(-1)=2,它们不等于同一个常数.
(3) 是首项为6,公差为0的等差数列.
(4) 不是等差数列,因为5-6=-1,而从第三项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2.
[题后反思] 判断一个数列是否是等差数列,关键看它是否符合定义.
变式 判断数列m,m+n,m+2n,2m+n是否是等差数列.
[处理建议] 学生讨论、判断,并且由学生给出理由.
[规范板书] 解 (m+n)-m=(m+2n)-(m+n)=n,(2m+n)-(m+2n)=m-n.
若m=2n,则该数列是等差数列;若m≠2n,则该数列不是等差数列.
【例2】 已知数列的通项公式为an=2n+5,求证:数列是等差数列.[4] (见学生用书课堂本P21)
[处理建议] ① 围绕等差数 ( http: / / www.21cnjy.com )列的定义,关键是用什么方法表示“从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数”;② 先由学生讨论,尝试运用等差数列定义进行证明;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的证明过程,纠正出现的错误.
[规范板书] 证明 因为an=2n+5,所以an-1=2(n-1)+5=2n+3(n≥2).所以an-an-1=(2n+5)-(2n+3)=2.所以数列是等差数列.
[题后反思] 根据定义证明(或判断)等 ( http: / / www.21cnjy.com )差数列时,要紧扣定义:从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即an-an-1=d(n∈N,n≥2)或an+1-an=d(n∈N,n≥1).
变式 若数列a1,a2,…,an,…为等差数列,证明:数列a2,a4,a6,…,a2n,…是等差数列.
[处理建议] 先由学生讨论,再让学生尝试模仿例2进行证明.
[规范板书] 证明 设等差数列a1,a ( http: / / www.21cnjy.com )2,…,an…的公差为d,即an-an-1=d(n∈N*,n≥2),则a2n-a2(n-1)=2d,所以数列a2,a4,a6,…,a2n,…是等差数列.
【例3】 (教材P36例2)求出下列等差数列中的未知项:
(1) 3,a,5;
(2) 3,b,c,-9.[5] (见学生用书课堂本P22)
[处理建议] 求值题,需要列出等量关系式,那么怎样利用等差数列的定义建立关系式是关键.
[规范板书] 解 (1) 根据题意得a-3=5-a,解得a=4.
(2) 根据题意得解得
[题后反思] ① 根据等差数列的定义列出 ( http: / / www.21cnjy.com )关系式,然后进行解方程或方程组;② 第(1)题中三项成等差数列,称a是3与5的等差中项,即若a,A,b成等差数列,则称A是a与b的等差中项,那么有2A=a+b.
变式 求2和16的等差中项.
[规范板书] 解 设A是2和16的等差中项,则2A=18,所以A=9.
四、 课堂练习
1. 判断下列数列是否为等差数列:
(1) -2,-2,-2,-2,-2;
(2) ,,,,;
(3) 0,2,0,2,0,2;
(4) -2,0,2,4,6;
(5) 8,13,18,23,28.
解 (1) 是; (2) 不是; (3) 不是; (4) 是; (5) 是.
2. 已知a是与a+的等差中项,则a=2.
提示 由题意得2a=+,解得a=2.
3. 已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数:
(1) ( ),6,13,( );
(2) 1,,( ),( );
(3) 21,( ),( ),3.
解 (1) -1,20; (2) 2-1,3-2; (3) 15,9.
4. 若数列a1,a2,…,an-1,an是等差数列,则数列an,an-1,…,a2,a1是等差数列吗 为什么
解 数列an,an-1,…,a2,a1是等差数列,它的首项为an,公差为数列a1,a2,…,an-1,an的公差的相反数.
五、 课堂小结
1. 等差数列的概念,利用定义作简单的判定和证明.
2. 等差中项的概念.
第4课时 等差数列的通项公式
教学过程
一、 问题情境
引入“即时体验”中的问题,观察数列:4,7,10,13,16,…,如何写出它的第100项a100呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 说出该数列的通项公式.
(结合前面所学知识,引导学生进行归纳)
问题2 这个数列是等差数列吗 为什么 如果是等差数列,它的公差是多少
(引导学生看到连续两项的差是定值,即a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,…,这一串式子要给出板书)
问题3 对于这个数列,我们已经知道了它是等差数列,那么现在不用归纳的方法,你能求出它的通项公式吗
(让学生观察a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,…,引导学生进行叠加,进而求出该数列的通项公式)
问题4 设数列是一个首项为a1,公差为d的等差数列,你能求出它的通项公式吗
(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)
通过讨论,结合前面的具体问题,给出等差数列通项公式的推导过程以及通项公式.
证明:因为数列是等差数列,所以当n≥2时,有
a2-a1=d,
a3-a2=d,
……
an-an-1=d.
将上面n-1个等式的两边分别相加,得an-a1=(n-1)d,所以an=a1+(n-1)d.
当n=1时,上面的等式也成立.
(二) 理解概念
1. 强化推导方法中“叠加法”的使用,同时,指出这一推导思想也是以后求等差数列通项公式的重要思想.
2. 等差数列通项公式an中的n是取值于从 ( http: / / www.21cnjy.com )1开始的正整数,而在等差数列通项公式的证明过程中,n是取大于或等于2的正整数,所以要独立验证n=1时的情形.
(三) 巩固概念
问题5 利用推导的公式,写出“问题情境”中问题的通项公式.
(首项a1=4,公差d=3,所以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×3=3n+1)
问题6 (根据教材P39练习第2题改 ( http: / / www.21cnjy.com )编)求等差数列8,5,2,…的第20项;-25,-30是不是这个数列的项 如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.
(首项a1=8,公差d=-3,则an=a1+(n-1)d=8+(n-1)×(-3)=-3n+11,所以a20=-3×20+11=-49.令-3n+11=-25,解得n=12,所以-25是这个数列的第12项.令-3n+11=-30,解得n=,而n∈N*,所以-30不是这个数列中的项)
三、 数学运用
【例1】 (教材P38例2)在等差数列中,已知a3=10,a9=28,求a12.[3]
(见学生用书课堂本P23)
[处理建议] 分析确定一个等差数列的两个基本量是a1,d,则条件可以用来建立二元方程.
[规范板书] 解 由题意得解得所以a12=4+(12-1)×3=37.
[题后反思] ① 利用等差数列的首项和 ( http: / / www.21cnjy.com )公差(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式;② 知道了等差数列的首项和公差可以求数列的任意一项;③ 知道等差数列的任意两项,可以确定该数列的任意一项.
变式1 从上面的求解过程可以看到:a3比 ( http: / / www.21cnjy.com )a1多2个d,a9比a1多8个d,则a9比a3多6个d,即a9=a3+6d.能不能不需要求出a1,也能求出a12呢
[处理建议] 引导学生从项与项的关系进行思考.
[规范板书] 解 由a9=a3+6d,得d=3,所以a12=a3+9d=37(或a12=a9+3d=37).
[题后反思] ① 通过等差数列的任意两项的关系,可以获得更具一般性的等差数列的通项公式:由(m,n∈N*,m≠n)得an-am=(n-m)d,所以an=am+(n-m)d.② 将an=am+(n-m)d变形为d=,这和我们学过的什么知识很相似 (让学生先思考,不要急于让学生回答)
变式2 (教材P41习题2.2(1)第16题)在等差数列中,已知ap=q,aq=p(p≠q),求ap+q.
[规范板书] 解法一 两式相减得(p-q)d=q-p,因为p≠q,所以d=-1.则ap=a1+(p-1)(-1)=q,所以a1=p+q-1,所以ap+q=a1+(p+q-1)d=(p+q-1)+(p+q-1)(-1)=0.
解法二 ap=aq+(p-q)d, ( http: / / www.21cnjy.com )即q=p+(p-q)d,得(p-q)d=q-p,因为p≠q,所以d=-1.所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0.
【例2】 已知等差数列{an}的通项公式为an=3n+1,请你作出它的图象.[4]
(见学生用书课堂本P24)
[处理建议] 此数列的通项公式an= ( http: / / www.21cnjy.com )3n+1是从“问题情境”得到,可先由学生讨论,尝试进行作图;然后教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生所作图象,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解 如图:
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
[题后反思] 等差数列{an}的通项公 ( http: / / www.21cnjy.com )式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)是关于n的一次式,但等差数列只是其对应一次函数的一系列孤立的函数值;一次函数的定义域是实数集R,图象是一条直线,等差数列的图象只是直线上均匀分布的一些点.
变式 已知数列的通项公式an=kn+b,其中k,b是常数,那么这个数列是否一定是等差数列 若是,首项与公差分别是什么
[处理建议] 先由学生回忆,讨论判定数列是不是等差数列的方法,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解 当n≥2时,an-an-1=(kn+b)-[k(n-1)+b]=kn+b-(kn-k+b)=k,它为常数,所以数列是等差数列.它的首项为a1=k+b,公差为k.
[题后反思] ① 若k=0,则数列是公差为0的等差数列,即为常数列b,b,b,…;② 若k≠0,则数列是关于n的一次式,一次项的系数k即为公差d.(回头看例1变式1题后反思中的d=,可问学生感悟到什么)
*【例3】 在等差数列中,若a1+a9=32,a4=13,求a6,a5.[5]
[处理建议] 可先由学生讨论 ( http: / / www.21cnjy.com ),利用基本量解方程组,进而进行求解,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.本题的关键是引导学生观察所给项的下标,通过它们与a1,d的关系,找出项的和之间的关系式.
[规范板书] 解 因为a1+a9=2a1+8d,而a4+a6=2a1+8d=a1+a9=32,a4=13,所以a6=19.而a5=a1+4d=(a4+a6)=16.
[题后反思] ① 在处理等差数列的计算时,有时候可以用整体的思想来解题.② 在等差数列中,首项为a1,公差为d,若m,n,p,q,s∈N*,且m+n=p+q=2s,则有am+an=ap+aq=2as.(证明:am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,as=a1+(s-1)d,因为m+n=p+q=2s,所以am+an=ap+aq=2as)也可理解成:as是am与an(或ap与aq)的等差中项.
变式 已知等差数列中,a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8.
[规范板书] 解 因为a3 ( http: / / www.21cnjy.com )+a7=2a5,a4+a6=2a5.所以由a3+a4+a5+a6+a7=450,得5a5=450,所以a5=90.所以a2+a8=2a5=180.
四、 课堂练习
1. -30是不是等差数列0,-,-11,…的项 如果是,是第几项 如果不是,请说明理由.
解 由题意得an=-n+.令-n+=-30,解得n=,而n∈N*,所以-30不是这个数列的项.
2. 在等差数列中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=-2,公差d=3.
提示 由题可得解得a1=-2,d=3.
3. 在等差数列中,若a5=a,a10=b,则a15=2b-a.
提示 2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.
4. 某货运公司的一种计费标准是:1km以内收费5元,以后每千米加收2.5元.如果运输某批物资80km,那么需支付多少元运费
解 需支付运费5+(80-1)×2.5=202.5(元).
五、 课堂小结
1. 要会推导等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,掌握其基本应用,并掌握更具一般性的通项公式形式:an=am+(n-m)d.
2. 理解等差数列与一次函数的关系.
3. 理解并掌握等差数列的重要性质:在等差数列中,若m,n,p,q,s∈N*,且m+n=p+q=2s,则有am+an=ap+aq=2as.
第5课时 等差数列的前n项和(1)
教学过程
一、 问题情境
数学家高斯10岁时,有一次老师出了一道题目 ( http: / / www.21cnjy.com ):“计算:1+2+3+…+100.”正当大家在一个一个相加时,高斯给出了答案:“5050.”老师问高斯:“你是如何算出答案的 ”高斯回答:“因为1+100=101,2+99=101,…,50+51=101,所以101×50=5050.”
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 高斯的老师提出计算这一串数的和本质上是什么数列求和
(结合已学知识,引导学生说出:本质上是等差数列求和)
问题2 高斯使用的方法,其实是发现了这个数列哪些项的和具有特殊性
(引导学生看到:a1+a100=a2+a99=a3+a98=…)
问题3 在一般的等差数列中,当满足什么条件时,这种两项和相等的关系仍然存在
(引导学生说出等差数列的性质:若m+n=p+q,则有am+an=ap+aq)
问题4 设等差数列的前n项和为Sn,你能用高斯的方法求出等差数列的前n项和吗
(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)
通过讨论,结合前面具体问题,给出等差数列前n项和公式的推导过程以及前n项和公式.
因为Sn=a1+a2+a3+…+an,把各项的次序反过来,Sn又可以写成Sn=an+an-1+an-2+…+a1,两式相加,得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).因为1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=…=n+1,所以a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1,所以2Sn=n(a1+an),即有Sn=.
(二) 理解概念
1. 强化推导方法“倒序相加法”的使用,同时,指出这一推导思想也是两项和性质的应用.
2. 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,又可以得到Sn=na1+.(围绕基本量a1和d)
3. 整理Sn=na1+,又可以得到Sn=n2+n,所以等差数列的前n项和公式是一个无常数项的一元二次函数形式.
(三) 巩固概念
问题5 请说出高斯的老师需要计算的这个数列的前n项和.
这个数列的前n项和Sn=或Sn=n×1+=
问题6 (根据教材P44练习第2题改编)(1) 已知等差数列中,a1=7,a10=-43,则S10=-180;(2) 已知等差数列中,a1=100,d=-2,则S50=2550.
三、 数学运用
【例1】 (教材P43例2)在等差数列中,已知d=,an=,Sn=-,求a1及n.[3]
(见学生用书课堂本P25)
[处理建议] 利用等差数列的通项公式及前n项和公式建立等量关系,让学生应用公式进行计算,其中体现了方程的思想.
[规范板书] 解 由题意得
由②得a1=-n+2,代入①后化简得n2-7n-30=0,所以n=10或n=-3(舍去),从而a1=-3.
[题后反思] ① 利用等差数列的首项和公差( ( http: / / www.21cnjy.com )一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式;② 在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有a1,d,n,an,Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量.
变式 在等差数列中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10,S10.
[处理建议] 让学生先讨论,运用公式进行计算,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解 设这个等差数列的首项为a1,公差为d,由已知得解得a1=2,d=3.所以a10=a1+9d=29,S10=10a1+d=155.
【例2】 若等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求该等差数列的前110项和.[4]
(见学生用书课堂本P26)
[处理建议] 处理等差数列的问题,找到基本量 ( http: / / www.21cnjy.com )就能解决,两个条件刚好可以提供求解基本量的二元方程;讲解时,可以先由学生讨论,尝试进行计算;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的不同的计算方法及过程,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解法一 设等差数列的首项为a1,公差为d,
由已知得
①×10-②,整理得d=-,代入①解得a1=.所以S110=110a1+d=110×+×=-110.
[题后反思] 在与等差数列相 ( http: / / www.21cnjy.com )关的计算问题中,a1,d,n,an,Sn这五个量可知三求二,其中a1,d是基本量,利用它们列方程或方程组是处理问题的最基础的手段.
解法二 设等差数列的前n项和为Sn=an2+bn,则由已知得解得a=-,b=.所以Sn=-n2+n,所以S110=-×1102+×110=-110.
[题后反思] 等差数列前n项和公 ( http: / / www.21cnjy.com )式Sn是关于n的无常数项的一元二次函数式,利用这个公式特征进行代定系数法求解,比解法一中用基本量公式计算简洁,简化了计算.
解法三 设等差数列的前n项和为Sn,则显然数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为D.
这个新数列的前10项和为S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90)=10S10+·D,即S100=10S10+45D,解得D=-22.
S110-S100是这个新等差数列中的第1 ( http: / / www.21cnjy.com )1项,所以S110-S100=S10+(11-1)D=-120.所以S110=-120+S100=-110.
[题后反思] ① 利用等差数列前n项和公式Sn的性质,整体考虑数列,回避了数列内部基本量的求解,直接就Sn本身解决问题;② 思考:在等差数列中,其前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列吗 (成等差数列,且公差为n2d,证明略)
解法四 设等差数列的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,
令
①-②得(p-q)a1+d=-(p-q).又p≠q,则a1+d=-1,所以Sp+q=(p+q)a1+d=(p+q)(-1).
所以S110=-110.
[题后反思] 在等差数列的前n项和Sn ( http: / / www.21cnjy.com )中,若Sp=q,Sq=p(p≠q),则有Sp+q=-(p+q).记住数列中一些特殊的结论,有利于我们突破题中条件的限制,使思考更深入.
四、 课堂练习
1.
提示
2. 已知等差数列中,S10=120,那么a1+a10=24.
提示 S10==120,所以a1+a10=24.
3. 在等差数列0,,,,,…中,S20=;若Sn=11,则n=12.
提示 由题意可得a1=0,d=,则S20=20×0+×=.∵ Sn=11,∴ ×=11,解得n=12或n=-11(舍去).
4. 在等差数列中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20=9.
提示 S4=1,S8-S4=3,而 ( http: / / www.21cnjy.com )S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,即1,3,5,7,9,所以a17+a18+a19+a20=S20-S16=9.
五、 课堂小结
1. 等差数列的前n项和公式的推导方法:倒序相加法.
2. 在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有a1,d,n,an,Sn五个量,可以知三求二.
3. 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过列方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式.
第6课时 等差数列的前n项和(2)
教学过程
一、 问题情境
含有2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为多少
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 等差数列的奇数项与偶数项分别构成什么样的数列
(结合等差数列的定义,引导学生说出:仍为等差数列.并进一步推广至“等差数列中抽取的下标为等差数列的项构成的数列均为等差数列”)
问题2 奇数项与偶数项构成的等差数列分别有多少项 它们的首项和公差又分别是什么
(引导学生研究等差数列要从a1,d,n,an,Sn入手)
问题3 奇数项与偶数项之间是什么关系
(引导学生研究等差数列也可以从整体上进行把握)
通过讨论,结合投影,给出问题的解答.
探究 设原等差数列为a1,a ( http: / / www.21cnjy.com )2,a3,…,a2n+1,公差为d,则其中奇数项a1,a3,…,a2n+1的首项为a1,公差为2d,有n+1项;偶数项a2,a4,…,a2n的首项为a2,公差为2d,有n项.记奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶.
方法一 S奇=a1+a3+a5+…+a2n+1=(n+1)a1+·2d=(n+1)(a1+nd),
S偶=a2+a4+a6+…+a2n=na2+·2d=n(a1+nd),
所以==.
方法二 S奇=a1+a3+a5+…+a2n+1=,
S偶=a2+a4+a6+…+a2n=,
因为a1+a2n+1=a2+a2n,所以=.
(二) 理解概念
1. 奇数项与偶数项实际上是两个新的等差数列的问题的处理.
2. 等差数列问题的研究可以从基本量和整体两个角度思考.
(三) 巩固概念
问题4 这个等差数列的奇数项与偶数项之间还有哪些特殊的性质
(S奇=(n+1)an+1,S偶=nan+1,S奇-S偶=an+1)
三、 数学运用
【例1】 (教材P48习题2.2(2) ( http: / / www.21cnjy.com )第8题)一个等差数列的前12项和为354,前12项中,偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,求公差d.[3]
(见学生用书课堂本P27)
[处理建议] 让学生先讨论,模仿前 ( http: / / www.21cnjy.com )面问题的处理方法来解决问题,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解法一 设这个数列的首项为a1,公差为d,则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列.由已知得解得d=5.
解法二 设偶数项的和与奇数项的和分别为S偶,S奇,则由已知得解得S偶=192,S奇=162.而S偶-S奇=6d,所以d=5.
[题后反思] ① 若等差数列含有2n项,则奇数项与偶数项各有n项,且S偶-S奇=nd,=;② 等差数列的奇数项与偶数项的相关结论其实是等差数列的通项公式和前n项和公式的应用.
变式 已知等差数列{an},{bn},它们的前n项和分别为An,Bn,且=,求这两个数列的第9项之比.
[处理建议] 学生讨论,找出数列的项与和的关系式.
[规范板书] 解 ====.
[题后反思] 思考:因为=,那么能不能用来解呢 不可以,因为比式已经有公共的n被约去.可设An=tn(5n+3),Bn=tn(2n-1),则===
【例2】 在等差数列中,已知a3=12,a11=-4,那么该数列前多少项和最大 并求出最大值.[4]
(见学生用书课堂本P28)
[处理建议] 先由学生讨论,提示学生 ( http: / / www.21cnjy.com )等差数列当d≠0时前n项和公式是关于n的二次形式(不含常数项);同时要通过数列的项正负的变化让学生明白为什么等差数列前n项和会在某处取得最值.
[规范板书] 解法一 设等差数列的首项为a1,公差为d,则a11=a3+(11-3)d,所以d=-2.又a3=a1+2d=12,所以a1=16.
所以Sn=na1+d=-n2+17n=+,所以当n=8或n=9时,Sn最大,最大值为S8=S9=72.
[题后反思] ① 利用了等差数列前n项和公式Sn是关于n的二次函数形式来求最值,需要注意n是正整数,不一定在对称轴处取得.
② 思考一:为什么并不一定每次都是在对 ( http: / / www.21cnjy.com )称轴处取得最值,此时该怎么办呢 (因为等差数列前n项和Sn是关于n的二次式,这里的n要求是正整数,而关于n的二次式的对称轴的值并不一定是正整数,所以此时要在对称轴附近找最接近的正整数值)
③ 思考二:为什么会出现两项同时取得最大值 此时的等差数列具有什么特征
解法二 设等差数列的首项为a1,公差为d,则a11=a3+(11-3)d,所以d=-2.又a3=a1+2d=12,所以a1=16.所以an=a1+(n-1)d=-2n+18.
由得8≤n≤9,而数列{an}是单调递减数列,所以当n=8或n=9时,Sn最大,最大值为S8=S9=72.
[题后反思] ① 在等差数列中,若首项a1>0,公差d<0,则当满足时,前n项和Sn最大.
② 思考:在等差数列中,若首项a1<0,公差d>0,那么满足什么条件时前n项和Sn最小 答案:
变式 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1) 求公差d的取值范围;
(2) S1,S2,…,S12中哪一个值最大 并说明理由.
[处理建议] 让学生先讨论,模仿上面问题的处理方法来解决问题,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解
(1) 解得因为a3=a1+2d=12,代入上式得所以-(2) 因为S13=13 ( http: / / www.21cnjy.com )a7<0,所以a7<0.因为S12=6(a6+a7)>0,所以a6+a7>0,所以a6>0.所以数列{an}是单调递减数列,所以S6最大.
*【例3】 一个“V”型铅笔架(如 ( http: / / www.21cnjy.com )图)的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支,这个V形架上共放着多少支铅笔 [5]
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[处理建议] 让学生先讨论,主要是引导学生能够建立等差数列模型.
[规范板书] 解 由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔,且自下而上各层的铅笔数成等差数列,记为,其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和公式,得==7260.
答:V形架上共放着7260支铅笔.
[题后反思] 通过本例让学生体会到生活中的数学无处不在,也让他们体会到用数学的乐趣.
四、 课堂练习
1. 若等差数列满足a1+a2+a3+…+a101=0,则 (C)
A. a1+a101>0 B. a1+a101<0
C. a1+a101=0 D. a51=51
提示 因为a1+a2+a3+…+a101==0,所以a1+a101=0.
2. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=1.
提示 ==×=1.
3. 在等差数列中,若Sn=3n2+2n,则公差d=6.
提示 因为等差数列的前n项和公式可整理成Sn=n2+n,所以解得d=6.
4. 求集合M={m|m=7n,n∈N*且m<100}中元素的个数,并求出这些元素的和.
解 由7n<100,得n<=14,所以正整数n共有14个,即集合M中共有14个元素,即7,14,21,…,98,它是以a1=7为首项,a14=98为末项的等差数列.所以S14==735.
五、 课堂小结
1. 关于等差数列前n项和公式的使用,既可以通过基本量建立方程组处理问题,也可以利用性质整体处理问题.
2. 当d≠0时,等差数列的前n项和公式是关于n的二次形式,可以利用函数知识辅助处理.
3. 建立等差数列模型.
第7课时 等比数列的概念
教学过程
一、 问题情境
情境1:某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为1, 2, 4, 8, 16, ….
情境2:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为1份,那么每日剩下的部分依次为1, , , , , ….
情境3:某轿车的售价约3 ( http: / / www.21cnjy.com )6万元,年折旧率约为10%(就是说这辆车的价值每年减少10%),那么该车从购买当年算起,逐年的价值依次为36, 36×0.9, 36×0.92, 36×0.93, ….
情境4:某人年初投资10000元, ( http: / / www.21cnjy.com )如果年收益率是5%,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为10000×1.05, 10000×1.052, …, 10000×1.055.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 单利与复利的本利和分别是怎样计算的
(单利本利和=本金×(1+存期×利率),复利本利和=本金×(1+利率)存期)
问题2 与等差数列相比,上面这些数列有什么特点
(结合等差数列知识,引导学生说出:后项与前项之比为定值)
问题3 怎样用数学语言刻画数列中后项与前项之比为定值
(引导学生模仿等差数列的定义叙述等比数列的定义)
通过讨论,类比等差数列的定义,给出等比数列的定义.
一般地,如果一个数列从第二项起, ( http: / / www.21cnjy.com )每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
问题4 等比数列各项应具有怎样的特点
(引导学生理解:等比数列各项不为零)
(二) 理解概念
1. 等比数列的定义可以用数学表达式表示为:=q(n∈N, n≥2)或=q(n∈N, n≥1).
2. 等比数列的定义中隐含着一个条件:任意一项an≠0,且q≠0.
3. 当a1>0, q>1或a1<0, 00, 01时,等比数列是单调递减数列;当q=1时,等比数列是常数数列;当q<0时,等比数列是摆动数列.
(三) 巩固概念
问题5 上面问题情境中的几个数列的公比分别是多少
问题6 常数数列一定是等比数列吗
(不一定,只有非零的常数数列才一定是等比数列,且公比为1)
三、 数学运用
【例1】 (根据教材P49例1改编)判断下列数列是否为等比数列:
(1) 2, 4, 8, 3, 6, 12;
(2) 1, -1, 1, -1, 1, -1;
(3) 1, -, , -, ;
(4) 0, 2, 4, 8, 16.[3] (见学生用书课堂本P29)
[处理建议] 引导学生从定义思考.
[规范板书] 解 (1) 不是等比数列;
(2) 是等比数列,首项为1,公比为-1;
(3) 是等比数列,首项为1,公比为-;
(4) 不是等比数列,因为0不能作为等比数列中的项.
[题后反思] 由于等比数列每一项都可能作为分母,故每一项都不为零;为同一常数,即比值相等.
变式 判断数列a, a, a, a, …是否为等比数列.
[处理建议] 学生讨论、判断,并且由学生给出理由.
[规范板书] 解 当a=0时,它不是等比数列;当a≠0时,它是等比数列.
【例2】 已知等比数列的公比为q,求证:{m·an}(m≠0)是等比数列.[4]
(见学生用书课堂本P30)
[处理建议] 先由学生讨论,尝试利用等比数列定义进行证明;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的证明过程,纠正出现的错误.
[规范板书] 证明 设bn=m·an,则bn+1=m·an+1,所以===q,所以是公比为q的等比数列.
[题后反思] 根据定义证明(或判断)等比数列时,要紧扣定义:从第二项起,后一项与它的前一项的比等于同一个常数,即=q(n∈N, n≥2)或=q(n∈N, n≥1).
变式 若数列a1, a2, …, an, …是等比数列,证明:数列a2, a4, a6, …, a2n, …是等比数列.
[处理建议] 先由学生讨论,并尝试模仿证明上面例题的方法进行证明.
[规范板书] 证明 设等比数列a1, a2,…, an,…的公比为q,则=q(n∈N, n≥2),则=q2(n∈N, n≥2),所以数列a2, a4, a6, …, a2n, …也是等比数列.
【例3】 (教材P50例2)求出下列等比数列中的未知项:
(1) 2, a, 8;
(2) -4, b, c, .[5] (见学生用书课堂本P30)
[处理建议] 引导学生利用等比数列定义进行求解.
[规范板书] 解 (1) 根据题意得=,所以a=4或a=-4.
(2) 根据题意得解得
[题后反思] ① 根据等比数列的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义列出关系式,进行解方程或方程组;② 第(1)小题中三项成等比数列,称a是2与8的等比中项,即若a, G, b成等比数列,则称G是a与b的等比中项,那么有G2=ab.
变式 求1和16的等比中项.
[规范板书] 解 设G是1和16的等比中项,则G2=16,所以G=±4.
四、 课堂练习
1. 给定下列数列:① 2, 1, 2, 1, 2;② -5, -5, -5, -5; ③ -1, , -, , -; ④ 3, 1, , , , 0.其中是等比数列的有②③.(填序号)
2. 已知a是2与a+的等比中项,则a=3或-1.
提示 由题意得a2=2,解得a=3或a=-1.
3. 已知下列数列是等比数列,试在括号内填上适当的数:
(1) ( ), -3, 27;
(2) 2, ( ), 7, ( );
(3) 1, , , -.
解 (1) ; (2) ±, ±; (3) -, .
4. 若数列a1, a2, …, an-1, an是等比数列,则数列, , , …, 是等比数列吗
解 是,数列, , , …, 的首项是,公比是数列a1, a2, …, an-1, an公比的倒数.
五、 课堂小结
1. 理解等比数列的概念,并能够运用定义作简单的判定和证明.
2. 掌握等比中项的概念.
第8课时 等比数列的通项公式
教学过程
一、 问题情境
设是首项为a1,公比为q的等比数列,则a2=a1q, a3=a2q=a1q2, a4=a3q=a1q3, ….
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 你能写出它的第n项an吗
(结合由有限项写通项公式的知识,引导学生归纳出:an=a1qn-1)
问题2 归纳出来的结果能直接使用吗 我们该如何证明呢
(培养学生严谨的数学学习习惯,即观察、归纳、猜想、证明的全过程)
问题3 回忆一下:等差数列是怎样定义的 它的通项公式又是怎样推导而来的
(引导学生回忆等差数列通项公式的推导方法,进而应用于等比数列通项公式的推导)
问题4 如何进行等比数列通项公式的推导或证明呢
(通过对等差数列的定义及通项公式的推导方法——叠加法的复习,引导学生在等比数列通项公式的推导时使用叠乘法)
通过讨论,类比等差数列通项公式的推导,给出等比数列通项公式的推导.
证明:因为是等比数列,所以当n≥2时,有=q, =q, =q, …, =q.将上面n-1个等式的左右两边分别相乘,得=qn-1,所以an=a1qn-1.
当n=1时,上面的等式也成立.
(二) 理解概念
1. 强化推导方法“叠乘法”的使用,同时,指出这一推导思想也是以后求等比数列通项公式的重要思想.
2. 等比数列通项公式a ( http: / / www.21cnjy.com )n中的n是从1开始的正整数,而在等比数列通项公式的证明过程中,n是大于或等于2的正整数,所以要单独验证n=1时的情形.
(三) 巩固概念
问题5 请你说出首项a1=-2,公比q=3的等比数列的通项公式.
(an=-2×3n-1)
三、 数学运用
【例1】 (根据教材P52例1改编)在等比数列中,已知a3=20, a6=160,求a9.[3] (见学生用书课堂本P31)
[处理建议] 让学生应用等比数列通项公式进行计算,其中体现了方程的思想.
[规范板书] 解 设等比数列的公比为q,由题意得解得
所以an=a1qn-1=5×2n-1,则a9=5×28=1280.
[题后反思] ① 利用等比数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的首项和公比(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式;② 知道了等比数列的首项和公比可以求出数列的任意一项;③ 知道了等比数列的任意两项,可以确定该数列的任意一项;④ an=a1qn-1=5×2n-1是一个常数与指数式的乘积.从图象上看(如图1),表示这个数列的各点(n, an)均在函数y=5×2x-1的图象上.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
变式1 从上面的求解过程可以看到:a3是a1 ( http: / / www.21cnjy.com )的q2倍;a6是a1的q5倍,是a3的q3倍;a9是a1的q8倍,是a6的q3倍.能不能不需要求出a1,也能求出a12呢
[处理建议] 引导学生从项与项的关系进行思考.
[规范板书] 解 因为a3=20, ( http: / / www.21cnjy.com )a6=160,而a6=a3·q3,所以q=2.所以a9=a3·q6=1280(或a9=a6·q3=1280).
[题后反思] 通过等比数列中任意两项的关系,可以获得更具一般性的等比数列的通项公式:若(m, n∈N*, m≠n),则=qn-m,所以an=am·qn-m.
变式2 例1中的a3,a6,a9之间又是什么关系呢 你能用另外一种方法求a9吗
[处理建议] 引导学生从等比数列的定义上进行思考.
[规范板书] 解 显然有=,即a3, a6, a9构成新的等比数列.因此,=a3·a9,所以a9===1280.
[题后反思] 在等比数列中,抽取下标为等差数列的项仍构成等比数列.
【例2】 (教材P52例2)在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列.
(见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 引导学生从等比数列的定义上进行思考.
[规范板书] 解 设插入的3个数分别为a2, a3, a4,由题意得243, a2, a3, a4, 3成等比数列,设公比为q,则3=243q5-1,解得q=±.所以所求的3个数分别为81, 27, 9或-81, 27, -9.
[题后反思] 对于插入数字类型的题目,可以直接根据定义进行操作.
【例3】 在等比数列中,若a1a9=64,a4=4,求a6, a5.[4] (见学生用书课堂本P32)
[处理建议] ① 先由学 ( http: / / www.21cnjy.com )生讨论,利用基本量解方程组,进而进行求解,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.② 引导学生观察所给项的下标,通过它们与a1,q的关系,找出项的积之间的关系式.
[规范板书] 解 因为a1a9=·q8=64,所以a4a6=·q8=64,所以a6=16.
而a5=a1·q4,所以a5=±8.
[题后反思] ① 在处理等比数列的计算时,有时候可以运用整体的思想来解题.
② 已知等比数列中,首项为a1,公比为q.若m, n, s, t, p∈N*,且m+n=s+t=2p,则有am·an=as·at=.(证明:am·an=(a1·qm-1)·(a1·qn-1)=·qm+n-2, as·at=(a1·qs-1)·(a1·qt-1)=·qs+t-2, (ap)2=(a1qp-1)2=·q2p-2,因为m+n=s+t=2p,所以am·an=as·at=)
变式 已知是等比数列,且an>0, a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.
[规范板书] 解 因为是等比数列,所以a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+==25,又an>0,所以a3+a5=5.
*【例4】 已知无穷数列, , , …, , …,求证:
(1) 这个数列是等比数列;
(2) 这个数列中的任一项是它后面第五项的;
(3) 这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.[5]
[处理建议] 从定义入手,正确进行分数指数幂的运算.
[规范板书] 证明 (1) 当n≥2时,==,所以该数列是等比数列.
(2) ==10-1=,即an=an+5.
(3) 设ap, aq是该数列的任意两项,其中p∈N*, q∈N*, apaq=·=,因为p,q∈N*,所以p+q≥2.所以p+q-1≥1,且p+q-1∈N*,所以∈,且它为该数列的第p+q-1项.
[题后反思] 学习数学,是为了分析问题、解决问题,通过本例让学生体会到用数学的乐趣.
四、 课堂练习
1. 已知等比数列中,a2=18,a4=162,则首项a1=±6,公比q=±3.
提示 =q2=9,解得q=±3,所以a1=±6.
2. 在等比数列{an}中,若a1=, an=, q=,则项数n=4.
提示 由题意得=×,解得n=4.
3. 在等比数列中,若a3=3,a9=75,则a10=±75.
提示 由题意得q6=25,解得q=±,所以a10=a9q=±75.
4. 在等比数列中,若a1, a10是方程3x2-2x-6=0的两个根,则a4a7=-2.
提示 a4a7=a1a10=-2.
五、 课堂小结
1. 要会推导等比数列的通项公式:an=a1qn-1,并掌握其基本应用,以及更具一般性的通项公式形式:an=amqn-m.
2. 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量),通过列方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式.
3. 理解并掌握等比数列的重要性质:在等比数列中,若m, n, s, t, p∈N*,且m+n=s+t=2p,则有am·an=as·at=.
第9课时 等比数列的前n项和(1)
教学过程
一、 问题情境
国王要奖赏国际象棋的发明 ( http: / / www.21cnjy.com )者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,……依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子,请给我足够的粮食来实现上述要求.”
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 请你说说国王一共需要给这个发明者多少颗麦粒.
(国王一共需要给这个发明者1+2+22+…+263颗麦粒,引导学生说出:这是一个首项为1,公比为2的等比数列的前64项之和)
问题2 国王能满足他的要求吗 怎样来求这个和呢
(引导学生回忆等差数列求和公式的推导)
问题3 我们能用倒序相加法来求这个等比数列的64项之和吗 用倒序相加法求等差数列前n项和的时候最主要体现了什么样的特征
(引导学生理解将Sn与Sn的倒序和两式相加,这样的2Sn就是一个有n项的且每一项都是a1+an的常数列,从而导出了Sn的公式)
问题4 那么等比数列前n项和公式的推导能不能用倒序相加法呢 如果不能,那么是不是可以构造出一个常数列或者部分常数列呢
(仿照等差数列前n项和公式的推导构造常数列,引导学生每一项乘以公比以后会与后一项相同)
通过讨论,给出等比数列前n项和公式的推导过程以及前n项和公式.
方法一:设等比数列的首项为a1,公比为q,则它的前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①,① 式两边同乘以q,得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn ②,①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn,所以当q≠1时,Sn=.
显然,当q=1时,Sn=na1.
(二) 理解概念
1. 推导过程中的“错位相减法”是等比数列求和的一种常用方法.
2. 根据a1qn=anq,又可得到Sn=(q≠1).
3. 公比q是否为1一般需要进行讨论.
(三) 巩固概念
问题5 请你说说国王需要给出的麦粒数.
国王需要给出1+2+22+…+263==264-1颗麦粒
问题6 请你说说等差数列求和公式的推导与等比数列求和公式的推导的相同之处.
(两种数列求和公式推导的基本思路都是 ( http: / / www.21cnjy.com )构造常数列,构造常数列的思想也是其他一些数列求和的基本思想,主要是通过消除数列中一些项与项的差异来解决问题)
问题7 除了用错位相减法来推导等比数列的求和公式,你还能找到其他方法吗
下面我们给出等比数列前n项和公式的其他推导方法:
方法二:由等比数列的定义得==…==q,根据等比定理得==q,解得(1-q)Sn=a1-anq,所以当q≠1时,Sn==.显然,当q=1时,Sn=na1.
方法二围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式.
方法三:Sn=a1+a2+a3+…an=a1+q(a1+a2+a3+…+an-1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),所以(1-q)Sn=a1-anq,所以当q≠1时,Sn==.显然,当q=1时,Sn=na1.
方法三运用了方程思想,“方程”在代数课 ( http: / / www.21cnjy.com )程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方程思想,可以在已知量和未知量之间搭起桥梁,从而使问题得到解决.
三、 数学运用
【例1】 已知等比数列中,a1=1,a6=32,求该等比数列从第5项到第10项的和.[3]
(见学生用书课堂本P33)
[处理建议] 让学生应用公式进行计算,达到熟悉公式,进而熟练使用公式的目的.
[规范板书] 解 由a6=a1·q5=1·q5=32,解得q=2,则S4==15,S10==1023.所以从第5项到第10项的和为S10-S4=1008.
[题后反思] 在等比数列的通项公式与前n ( http: / / www.21cnjy.com )项和公式中,含有a1, q, n, an, Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量.
变式 已知为等比数列,a1a3=36, a2+a4=60, Sn>400,求n的范围.
[处理建议] 让学生应用公式进行计算,其过程体现方程的思想.
[规范板书] 解 由题意得a1a3==36, a2(1+q2)=60,所以a2>0,所以a2=6, 1+q2=10,所以q=±3.
当q=3时,a1=2, Sn=>400,即3n>401,解得n≥6,且n∈N*;
当q=-3时,a1=-2, Sn=>400,即(-3)n>801,解得n≥8,且n为偶数.
综上所述,所以n≥8,且n为偶数.
【例2】 (教材P56例2)在等比数列中,S3=, S6=,求an.[4]
(见学生用书课堂本P34)
[处理建议] 让学生应用公式进行计算,其过程体现方程的思想.
[规范板书] 解法一 若q=1,则S6=2S3,这与已知S3=, S6=是矛盾的,所以q≠1.从而将两式两边分别相除,得1+q3=9,所以q=2.由此可得a1=,所以an=×2n-1=2n-2.
[题后反思] 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式.
解法二 S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=S3+q3S3,即S6=(1+q3)S3,得1+q3=9,所以q=2.由此可得a1=,所以an=×2n-1=2n-2.
[题后反思] ① 等比数列中应用整体的思想,可以回避等比数列内部基本量的计算,是解决问题的常见手段.
② 思考一:根据解法二,那么在这个等比 ( http: / / www.21cnjy.com )数列中,S3, S6, S9是什么关系 (引导学生模仿解法二过程进行思考,进而得出:S3, S6-S3, S9-S6构成等比数列)
③ 思考二:在等比数列中,Sn, S2n-Sn, S3n-S2n,…还是等比数列吗 (不一定.当q=-1, n为偶数时,Sn=0, Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, …不能构成等比数列)
变式 已知为等比数列,且Sn=a,S2n=b(ab≠0),求S3n.
[处理建议] 含参数字母的等比数列求和问题,学生常常忽略q=1的情况,这要引起足够的重视,进而培养学生思维的严密性.
[规范板书] 解法一 设等比数列的公比为q.
若q=1(此时数列为常数列),则Sn=na1=a, S2n=2na1=b,则2a=b,所以S3n=3na1=3a;
若q≠1(即2a≠b),则Sn==a ①, S2n==b ②, 又ab≠0, ②÷①得1+qn=, qn=-1 ③,将③式代入①式得=,所以S3n==1-=.
解法二 由题可得Sn, S2n-Sn, S3n-S2n成等比数列,即a, b-a, S3n-b成等比数列,所以a(S3n-b)=(b-a)2,所以S3n=(包含了q=1的情况).
*【例3】 一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数,如果其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.[5]
[处理建议] 引导学生尝试利用基本量或联系项与项的关系解决问题.
[规范板书] 解法一 设此数列的公比为q, (显然q≠1),项数为2n,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S奇==85, S偶==170,==q=2,所以=85, 22n=256, 2n=8.所以q=2,项数为8.
解法二 设此数列的公比为q(显然q≠1),项 ( http: / / www.21cnjy.com )数为2n,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,显然S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇,所以q=2,易得项数为8.
[题后反思] ① 在等比数列中,抽取的奇数项或偶数项仍构成等比数列.② 推广:在等比数列中,抽取下标为等差数列的项构成的数列均为等比数列.
四、 课堂练习
1. 求等比数列-4, -2, -1, -, …的前10项和.
解 S10==-.
2. 已知数列的通项公式为an=22n-1,则该数列的前5项和S5=682.
提示 由题意知为等比数列,且a1=2,q=4,所以S5==682.
3. 求和:
提示
4. 已知等比数列中,a3=-12, S3=-9,则a1=-3,公比q=-2.
提示 由题意得解得
五、 课堂小结
1. 等比数列前n项和公式在推导过程中采用了错位相减法.
2. 在等比数列的通项公式与前n项和公式中,含有a1, q, n, an, Sn五个量,可以知三求二.
3. 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量),通过列方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式.
4. 在处理等比数列问题的过程中,注意运用整体思想及性质解题.
第10课时 等比数列的前n项和(2)
教学过程
一、 问题情境
在“即时体验”第2题中,由是等比数列可得r=-1;反过来,当r=-1时,是等比数列吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 怎样说明一个数列是等比数列
结合等比数列的定义,引导学生说出:(n≥2)为定值
问题2 你能直接看到结果和该等比数列的公比吗
(引导学生思考等比数列前n项和公式的特征)
问题3 若数列的前n项和变为Sn=3n+1,那么该数列还是等比数列吗
(引导学生跳出具体的数列,找出等比数列前n项和公式的一般形式)
问题4 你能求出等比数列前n项和组成的数列的前n项和吗
(引导学生:数列求和的关键是研究数列项的特征)
先通过讨论,再给出等比数列前n项和组成的数列的前n项和Tn(如下).
设等比数列的首项为a1,公比为q,
当q=1时,Sn=na1,则Tn=a1+2a1+3a1+…+na1=a1;
当q≠1时,Sn==-qn,则Tn=+++…+=-(q1+q2+q3+…+qn)=-·=-.
(二) 理解概念
1. 强调公比q不确定时,要讨论q是否为1.
2. 一般的数列求和要化归为特殊数列求和.
(三) 巩固概念
问题5 当q≠1时,等比数列的前n项和公式有什么特征
(引导学生归纳出:Sn=A·qn-A,其中A为常数)
三、 数学运用
【例1】 (教材P57例3)求数列1+, 2+, 3+, …, n+,…的前n项和.[3]
(见学生用书课堂本P35)
[处理建议] 可由学生分析该数列的特征:这个数列的每一项都是一个等差数列和一个等比数列的对应项的和,因此采用分组求和.
[规范板书] 解 Sn=+++…+=(1+2+3+…+n)++++…+=+=+1-.
[题后反思] 一般数列求和的处理,要从通项入手,观察其特征,化归为特殊数列,如常数列、等差数列或等比数列的求和.
变式 求和:++…+(其中x≠0, x≠1, y≠1).
[处理建议] 让学生观察表达式 ( http: / / www.21cnjy.com ),模仿例1,找出数列的通项;可以看出上面各个括号内的前一项与后一项分别组成等比数列,分别求出这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和.
[规范板书] 解 当x≠0, x≠1, y≠1时,++…+=(x+x2+…+xn)+=+=+.
【例2】 某家用电器售价2000元 ( http: / / www.21cnjy.com ),若顾客采用分期付款,则每期付款数相同,每期为一个月,购买后一个月付款一次,共需付12次,即购买后一年付清;如果按月利率8‰,每月复利一次计算,那么每期应付款多少元 [4] (见学生用书课堂本P36)
[处理建议] 对于分期付款, ( http: / / www.21cnjy.com )银行有如下规定:① 分期付款为复利计息,每期付款数相同,且在期末付款;② 到最后一次付款时,各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.
[规范板书] 解法一 设每期付款x元,则
第1次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,
第2次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,
……
第11次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,
第12次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,
所以各期付款连同利息之和为x(1+1.008+…+1.00811)=x.
又所购电器的现价及其利息之和为2000×(1+0.008)12,
于是有x=2000×(1+0.008)12,
解得x≈175.46,即每期应付款约175.46元.
解法二 设每期付款x元,第k月后欠款为ak元(k=1, 2, …, 12),则
a1=2000×-x,
a2=a1×-x,
……
an=an-1×-x.
设an-λ=1.008,则λ=,所以an-=1.008,所以数列构成等比数列,所以an=1.008n-1+.
因为a12=0,即1.00811+=0,将a1=2016-x代入上式,解得x≈175.46,即每期应付款约175.46元.
[题后反思] 应用问题的关键是弄懂题意,让学 ( http: / / www.21cnjy.com )生能够逐一了解各个月份的情形.学习数学,是为了分析问题、解决问题,通过本例,让学生体会到生活的数学无处不在,也让他们体会到用数学的乐趣.
*【例3】 (教材P62习题2.3(2)第13题)求和:Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1.[5]
[处理建议] 由学生观察数列的特点,找出特殊之处;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.
[规范板书] 解 (1) 当x=0时,Sn=1.
(2) 当x≠0时,Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1 ①,xSn=x+2x2+3x3+…+xn-1+nxn ②,①-②得Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn,
当x≠1时,Sn=-nxn==,所以Sn=;
当x=1时,Sn=1+2+3+4+…+n=.
[题后反思] 本题中数列各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的积,我们一般称之为差比数列,通常采用错位相减法求和.
四、 课堂练习
1. 某厂去年的产值记为1,计划在今后五年内每年的产值比前一年增长10%,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为11×(1.15-1).
提示 这个厂从今年起到第五年的产值组成以1.1为首项,1+10%为公比的等比数列,所以S5==11×(1.15-1).
2. 已知等比数列的首项为1,公比为q,前n项和为Sn,则数列的前n项和Tn=q1-nSn.(用含Sn的式子表示)
提示 当q=1时,Tn=Sn;当q≠1时,Tn==··q1-n=·q1-n=Sn·q1-n,综上可得Tn=q1-nSn.
3. 已知数列中,an=2×3n-1,由它的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn=.
提示 新数列是首项为6,公比为9的等比数列,则Sn==.
4. 已知数列的通项公式为an=3n-2n,则它的前n项和Sn=.
提示 Sn=(31-21)+(32-22)+(33-23)+…+(3n-2n)=(31+32+33+…+3n)-(21+22+23+…+2n)=-=.
五、 课堂小结
1. 对于常见数列的求和问题,要先研究其通项,再化归为等差数列或等比数列来处理.
2. 对于实际应用问题,关键是建立等比数列的模型.
第11课时 本章复习(1)
教学过程
一、 知识梳理
(一) 数列
1. 数列的概念
(1) 从定义角度看:按照一定次序排列的一列数称为数列.
(2) 从函数角度看:数列可以看成以正整数 ( http: / / www.21cnjy.com )集N*或它的有限子集为定义域的函数an=f(n),当自变量按从小到大依次取值时,所对应的一列函数值.
2. 数列的表示
(1) 列表法.
(2) 图象法(注意图象是一些孤立的点).
(3) 通项公式.
(4) 递推公式.
3. 数列的分类
(1) 按数列项数的多少,可以分为有穷数列和无穷数列.
(2) 按数列中相邻两项的大小关系,可以分为单调递增数列、单调递减数列、常数列和摆动数列.
4. 数列的通项an与前n项和Sn之间的关系
对于任一数列{an},都有an=
(二) 等差数列
1. 等差数列的定义
若an-=d(其中n≥2, n∈N*),则数列{an}为等差数列.
2. 等差中项
如果a, A, b这三个数成等差数列,那么A=.我们把A=叫做a和b的等差中项.
3. 等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d.
4. 等差数列的前n项和公式
Sn=; Sn=na1+d.
5. 等差数列的性质
(1) 在等差数列{an}中,有an-am=(n-m)d.
(2) 在等差数列{an}中,若m+n=p+ ( http: / / www.21cnjy.com )q=2s(其中m, n, p, q, s∈N*),则am+an=ap+aq=2as,也称as为am,an或ap, aq的等差中项.
(3) 当d>0时,等差数列{an}为单调递增数列;当d<0时,等差数列{an}为单调递减数列;当d=0时,等差数列{an}为常数列.
6. (1) 若三个数成等差数列,可设这三个数为a-d, a, a+d.
(2) 若四个数成等差数列,可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
(三) 等比数列
1. 等比数列的定义
若=q(n≥2, n∈N*, q≠0),则数列{an}为等比数列.
2. 等比中项
如果a, G, b这三个数成等比数列,那么G2=ab.我们把G=±叫做a和b的等比中项.
3. 等比数列的通项公式
an=a1.
4. 等比数列的前n项和公式
Sn=
5. 等比数列的性质
(1) 在等比数列{an}中,有an=am.
(2) 在等比数列{an}中,若m+n=s+t=2p(其中m, n, s, t, p∈N*),则aman=asat=,也称ap为am,an或as, at的等比中项.
(3) 当a1>0, q>1或 ( http: / / www.21cnjy.com )a1<0, 00, 01时,等比数列{an}为单调递减数列;当q=1时,等比数列{an}为常数数列;当q<0时,等比数列{an}为摆动数列.
6. (1) 若三个数成等比数列,可设这三个数为, a, aq.
(2) 若四个数成等比数列,可设这四个数为, , aq, aq2.
二、 数学运用
(一) 等差数列、等比数列的概念及基本量运算
【例1】 已知{an}是公差不为0的等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com ),{bn}是等比数列,其中a1=2, b1=1, a2=b2, 2a4=b3,且存在常数α, β使得an=logαbn+β对于每一个正整数n都成立,求αβ的值.
(见学生用书课堂本P37)
[处理建议] 教师可以提出问题:解决等差、等比数列的基本方法是什么
[规范板书] 解 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q,则解得所以an=2n,bn=4n-1.若an=logαbn+β对于每一个正整数n都成立,则2n=logα4n-1+β对于每一个正整数n都成立,即2n=nlogα4+β-logα4对于每一个正整数n都成立,所以解得所以αβ=4.
变式 已知{an}是等差数 ( http: / / www.21cnjy.com )列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1, a3+b5=21, a5+b3=13,求数列{an}, {bn}的通项公式.
[规范板书] 解 设等差数列{an}的公差为d, 等比数列{bn}的公比为q,依题意有q>0,
且解得d=2, q=2.所以an=2n-1, bn=2n-1.
[题后反思] 解决等差、等比数列问题的基本方法是回归到首项、公差(比)来探究.
(二) 等差数列、等比数列中累加法与累乘法思想的应用
【例2】 已知数列满足a1=1, an=3n-1+an-1(n≥2, n∈N*).
(1) 求a2, a3;
(2) 求数列的通项公式. (见学生用书课堂本P38)
[处理建议] 本题可先由学生自己求解,教师展示其解题过程,最后将其与等差数列通项公式的推导过程联系起来,并形成结论.
[规范板书] 解 (1) 因为a1=1,所以a2=3+1=4, a3=32+4=13.
(2) 方法一 当n≥2时,an=3n-1+an-1=3n-1+3n-2+an-2=…=3n-1+3n-2+…+3+a1=+1=;当n=1时,a1=1也满足上式.所以an=.
方法二 由题意得an-an-1=3n-1, an-1-an-2=3n-2, an-2-an-3=3n-3, …, a2-a1=31,将以上各式相加得an-a1=3n-1+3n-2+…+3==,所以an=,n≥2;当n=1时,a1=1也满足上式.所以an=.
[题后反思] 如果数列的递推公式为an=an-1+f(n)型时,并且{f(n)}容易求和,这时可采用叠加法.
变式1 已知数列满足an+1=an+3n-2,且a1=1,求数列的通项公式.
[规范板书] 解 因为an+1=an+3n-2,所以an+1-an=3n-2,所以将以上各式相加得an-a1=1+4+…+==,所以an=.
变式2 在数列中,已知a1=4, an+1=5nan,求数列{an}的通项公式.
[规范板书] 解 由题意得=5n,所以=5, =52, …, =5n-1,将以上各式相乘得=5×52×…×5n-1=51+2+…+(n-1)=,所以an=4×.
(三) 数列通项公式的求法
【例3】 若数列对于一切正整数n都满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=9-6n,求数列的通项公式. (见学生用书课堂本P38)
[处理建议] 教师可提出以下问题:① 条件的左边有很多项,但结果只要保留一项an,如何将多余的各项消去 ② 用退位相减法时要注意什么
[规范板书] 解 当n=1时,a1=9-6×1=3;
当n≥2时,2n-1an=(a1+2a2+22a3+…+2n-1an)-(a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1)=(9-6n)-[9-6(n-1)]=-6,所以an=.
综上所述,an=
[题后反思] (1) 已知 ( http: / / www.21cnjy.com )数列的前n项和,可用退位相减法求通项公式,但要注意单独考虑“n=1”时的情形.(2) 已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=9-6n,本质上是一个数列的前n项和.
变式 已知数列的前n项积Tn=n2,求an.
[处理建议] 引导学生通过数列项与和的关系,类比发现项与积的关系.
[规范板书] 解 当n=1时,a1=T1=1;当n≥2时,an==.
综上所述,an=
[题后反思] 已知数列的前n项积,可用退位相除法求通项公式,但要注意单独考虑“n=1”时的情形.
(四) 等差数列、等比数列的判定
*【例4】 已知数列满足an=2an-1+2n-1(n≥2),且a1=5.
(1) 求证:为等差数列.
(2) 求数列的通项公式. (见学生用书课堂本P20)
[处理建议] 引导学生通过条件构造的结构.
[规范板书] 解 (1) ∵ an=2an-1+2n-1,∴ an-1=2(an-1-1)+2n, ∴ =+1,∴ -=1,∴ 数列是公差为1的等差数列.
(2) 由(1)知=+(n-1)×1=n+1, ∴ an=(n+1)2n+1(n≥2);当n=1时,a1=5也满足上式.所以an=(n+1)2n+1.
变式 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2, 5, 13后成为等比数列中的b3, b4, b5.
(1) 求等比数列的通项公式;
(2) 若等比数列的前n项和为Sn,求证:是等比数列.
[处理建议] 第(1)问由学生讲解思路,教师要注意引导学生说出“已知三个数成等差数列,常对称设元”.
[规范板书] 解 (1) 设成等差数列的三个正数分别为a-d, a, a+d,依题意得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以等比数列中的b3, b4, b5依次为7-d, 10, 18+d,则(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故等比数列的第3项为5,公比为2.由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.所以等比数列是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn=×2n-1=5×2n-3.
(2) 由(1)知等比数列的前n项和Sn==5×2n-2-,即Sn+=5×2n-2,所以S1+=, ==2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.
[题后反思] 根据条件构造一个与an有关的新数列,通过新数列通项公式的求解求得数列的通项公式,这是求不熟悉数列通项公式的常用方法.
三、 课堂练习
1. 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则a4=11.
提示 a4=S4-S3=11.
2. 已知数列的前n项和Sn=n2+1,求数列的通项公式.
解 当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.综上所述,an=
3. 设等差数列{an}的公差d≠0, a1=4d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k的值为3.
提示 由题意知an=(n+3)d,又因为ak是a1与a2k的等比中项,所以=a1a2k,即d2=4d·d,且d≠0,解得k=3.
4. 已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1,试证明{an+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.
解 ∵ an+1=2an+1, ∴ an+1+1=2(an+1), ∴ =2, ∴ 是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴ an+1=2n, ∴ an=2n-1.
四、 课堂小结
1. 求数列通项公式的方法有观察法、待定系数法、累和法、退位相减法、构造法等.
2. 求数列的通项公式通常采用由特殊到一般、化归、方程等思想.
第12课时 本章复习(2)
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教学过程
一、 数学运用
(一) 数列通项公式的求法
【例1】 设是公比大于1的等比数列,Sn为等比数列的前n项和.已知S3=7,且a1+3, 3a2, a3+4构成等差数列.
(1) 求等比数列的通项公式;
(2) 令bn=lna3n+1, n=1, 2, …,求数列的前n项和Tn. (见学生用书课堂本P39)
[处理建议] 本题可由学生自己思考、交流、展示、点评.本例是用等差(比)数列前n项和公式求和的题型.
[规范板书] 解 (1) 设等比数列的公比为q(q>1),由已知得即解得所以等比数列的通项公式为an=2n-1.
(2) 由(1)得a3n+1=23n,所以bn=ln23n=3nln2.又bn+1-bn=3ln2,所以数列是以b1=3ln2为首项,3ln2为公差的等差数列.所以Tn==.
[题后反思] 数列求和要先求通项,然后根据通项的类型选择适当方法求和.
变式 已知{an}是等差数列,an>0,且公差d≠0; {bn}是等比数列,bn>0, 且公比q>1.
(1) 若a1=b1, a2n+1=b2n+1,请比较an+1与bn+1的大小,并证明你的结论;
(2) 若a1=b1, a2=b2,当n>2时,请比较an+1与bn+1的大小,并证明你的结论.
[处理建议] 由数列的通项公式,知等差数列{an}满足an=nd+(a1-d),所以它的图象在一直线上;等比数列{bn}满足bn=qn,所以它的图象在一“指数函数”图象上.然后借助函数图象讨论数列项之间的大小关系.
[规范板书] 解 因为等差数列{an ( http: / / www.21cnjy.com )}满足an>0,所以d>0,即{an}是单调递增数列;因为bn>0,且公比q>1,所以{bn}也是单调递增数列.根据(1)可得图甲,此时an+1>bn+1;由(2)可得图乙,此时an+1( http: / / www.21cnjy.com )
(变式图甲)
(1) 由a2n+1=b2n+1,得a1+2nd=b1q2n, nd=(b1q2n-a1). 因为an+1-bn+1=a1+nd-b1qn=a1+(b1q2n-a1)-b1qn=(q2n-2qn+1)=(qn-1)2>0,所以an+1>bn+1.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式图乙)
(2) 由a1=b1, a2=b2,可得a1+d=b1q, d=a1(q-1). bn+1-an+1=b1qn-a1-nd=a1qn-a1-na1(q-1)=a1[(qn-1)-n(q-1)],因为1+q+q2+…+qn-1=,所以qn-1=(q-1)(1+q+q2+…+qn-1).所以bn+1-an+1=a1[(q-1)(1+q+q2+…+qn-1)-n(q-1)]=a1(q-1)(1+q+q2+…+qn-1-n).因为q>1, 所以qi>1(i=0, 1, 2, …, n-1). 所以1+q+q2+…+qn-1>1+1+…+1=n. 所以bn+1-an+1>0,即bn+1>an+1.
[题后反思] 本题先利用函数的图象判断出an+1和bn+1的关系,得到结论后,再给出证明.这样解题,思路清晰,降低了难度.
(二) 数列的和的求法
【例2】 (1) 已知数列中,an=2n-3+2n,求数列的前n项和Sn.
(2) 求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).
(见学生用书课堂本P39)
[处理建议] 对于第(1)题,可引导学生分析通项公式的结构;对于第(2)题,可引导学生先求出S1, S2, S3, S4,以便于发现规律.
[规范板书] 解 (1) Sn=-1+1+3+5+…+(2n-3)+2+4+…+2n=+=n(n-2)+2n+1-2.
(2) 当n为偶数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+=2×=n;
当n为奇数时,Sn=-1+(3-5)+(7-9)+…+=-1+(-2)×=-n.
所以,Sn=
[题后反思] 根据数列通项公式的结构将数列的每一项拆成多项,或将数列的两项(或多项)组成一项,将一般数列求和转化成特殊数列求和.
(三) 利用“错位相减法”求数列的和
【例3】 已知cn=,n=1, 2, 3,…,Tn为数列的前n项和,求Tn.
(见学生用书课堂本P40)
[处理建议] (1) 本题中的数列是一种新类型的数列,大部分学生将没有解题思路,可让学生先将Tn还原成各项和的形式,即Tn=4×+10×+16×+…+×.
(2) 教师可以提出以下问题:
① 数列是等差数列还是等比数列 (数列既不是等差数列也不是等比数列,它是由一个等差数列乘以一个等比数列而得到的新数列,我们称这样的数列为差比数列)
② 等差数列与等比数列的求和公式是用什么 ( http: / / www.21cnjy.com )方法推导的 (等差数列求和公式的推导过程是采用倒序相加法,等比数列求和公式的推导过程是采用错位相减法)
③ 这两种方法在本题中还能用吗 (引导学生分析数列通项公式的结构,回顾已有方法,并用已有方法进行探索)
[规范板书] 解 由题可知cn=2(3n-1),
∴ Tn=22×+5×+8×+…+(3n-1)×,
Tn=22×+5×+…+(3n-4)×+(3n-1)×,
∴ Tn=22×+3×+3×+…+3×-(3n-1),
解得Tn=--.
[题后反思] (1) 我们已经发现数列是由一个等差数列乘以一个等比数列得到的新数列(一般称为差比数列),并采用错位相减法求出了它的前n项和,那么这个方法可以推广吗 (2) 如果一个数列由一个等差数列乘以一个等比数列得到的,那么可采用错位相减法求出它的前n和,即先在Tn=a1+a2+…+an的两边同时乘以等比数列的公比,然后“错位”作差.
变式 已知等差数列满足a2=0, a6+a8=-10.
(1) 求等差数列的通项公式;
(2) 求数列的前n项和.
[规范板书] 解 (1) 设等差数列的公差为d,由已知条件可得解得故等差数列的通项公式为an=2-n.
(2) 设数列的前n项和为Sn,则S1=a1=1,
Sn=a1++…+ ①,
=++…+ ② ,
所以,当n>1时,由①-②得=a1++…+-=1--=1--=,所以Sn=.
综上所述,数列的前n项和为Sn=.
(四) 利用“裂项法”求数列的和
*【例4】 求+++…+的前n项和.
[处理建议] 教师可以提出以下问题:
① 求和需要先求通项公式,本题中数列的通项公式什么
② 如何将多个分式的和化简 通分吗
③ 求和需要先求通项公式,然后根据通项公式的结构选择求和方法,本题中an是什么结构,可变形吗 学生可能只将其变形为,也可能将其变形为
④ 上面的两种变形结果,哪种可行 为什么 (第二种可行,将它各项相加后可以消去很多项)
⑤ 在消项的过程中有规律吗 (成对消项,最后前面剩几项,后面剩几项,即前面剩第k项,后面剩倒数第k项)
[规范板书] 解 设数列的通项公式an===.
所以,+++…+=+++-+…+==--.
变式 设Sn为数列的前n项和,且an=,求S120.
[规范板书] 解 因为an==-,所以Sn=+++…+=-1.∴ S120=-1=10.
[题后反思] (1) 裂项相消求和就是将数列的每一项拆成两项或多项,让分裂的项有规律的抵消,从而达到求和的目的.
(2) 设数列是等差数列,cn=,则数列可通过裂项相消法求其前n项和.
(3) 常见的裂项形式有:
① =-;
② =;
③ =-.
二、 课堂练习
1. 若数列的通项公式为an=++…+,则a2=.
提示 a2=++=.
2. 已知数列中,an=,则其前10项和S10=.
提示 因为an==,所以S10=++…+=.
3. 在各项均不为零的等差数列中,若an+1-+an-1=0(n≥2, n∈N*),则S2n-1-4n=-2.
提示 设等差数列的公差为d,则=an+d,=an-d.
由an+1-+an-1=0(n≥2)可得2an-=0,解得an=2或an=0(舍去),故S2n-1-4n=2·(2n-1)-4n=-2.
4. 已知数列的通项公式为an=(2n-1)4n-1,则其前n项和Tn=[(6n-5)4n+5].
提示 由题意得Tn=[1+3×41+5×42+…+(2n-1)4n-1],4Tn=[1×4+3×42+5×43+…+(2n-3)4n-1+(2n-1)4n],两式相减得3Tn=-1-2(41+42+43+…+4n-1)+(2n-1)4n=[(6n-5)4n+5],∴ Tn=[(6n-5)4n+5].
三、 课堂小结
数列求和主要有以下几种方法:
(1) 公式法:
① 等差数列:Sn=或Sn=na1+d.
② 等比数列:Sn=
(2) 倒序相加法:将一个数列倒过 ( http: / / www.21cnjy.com )来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前n项和公式在推导时就采用了倒序相加法).
(3) 错位相减法:若{an}是等 ( http: / / www.21cnjy.com )差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和时,可在等式两边同乘以等比数列{bn}的公比,再与原式相减,然后求和(等比数列前n项和公式在推导时就采用了错位相减法).
(4) 裂项相消法:若{an}是等差数列,求数列的前n项和时,可把一项拆成两项的差的形式从而求和,也适合于其他裂项后易于求和的数列.
(5) 分组求和法:对于既非 ( http: / / www.21cnjy.com )等差数列又非等比数列的一类数列,若将数列的项进行适当的拆分,可分成等差数列、等比数列或常数列,则可以采用分组求和.
(6) 并项求和法:当相邻两项的和为常数或有一定规律易于求和时可采用并项求和法.
第1课时 数列(1)
教学过程
一、 问题情境
如图1,某剧场有30排座位,第一排有20 ( http: / / www.21cnjy.com )个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位,那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28,….
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为1,2,4,8,16,….
从1984年到2004年,我国共参加了6次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32.
这些问题有什么共同的特点
二、 数学建构
1. 数列定义:像这样按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项.
问题1 你能举出学习与生活中相关的例子吗 [1]
师生共同点评,找几个有代表性的例子进行分析.例如:
① 学生的学号由小到大为:1,2,3,4,5,…,50.
② “一尺之棰,日取其半,万世不竭”,依次写出每次得到的数:1,,,,,….
③ 堆放的钢管如图2所示,各层的钢管数从下至上为:9,8,7,6,5,4.
(图2)
④ 某人2011年1~12月份的工资依次为:2500,2500,…,2500.
⑤ (-1)n,n=1,2,3,…取到的值为:-1,1,-1,1,….[2]
问题2 下列说法是否正确 为什么
(1) 数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列;
(2) 数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列;
(3) 数列a,b,c与数列c,b,a一定不是同一数列.
(都不对,对于(2),前一个数列只有3项,后一个数列不止3项;对于(3),可举反例,如:a=b=c=1)
问题3 观察所举例子,请你分析各数列项的个数.[3]
2. 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
问题4 数π的所有不足近似值按从小到大依次排列得到一个数列,你能写出它的前7项吗 原数列是有穷数列还是无穷数列
(前7项分别为3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.141592.原数列是无穷数列)
数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为,其中a1称为数列的第1项(或称为首项),a2称为第2项,…,an称为第n项.
探讨活动:体会数列与函数概念的联系.
教师将序号写在举例数列相应项的上面,引导学生说出上下两行分别是两组变量,并体会项与序号的关系.
(让学生自主思考或交流讨论,通过联想函数变量之间的关系,进而认识数列是函数.然后师生共同找出数列的定义域)
数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集 ( http: / / www.21cnjy.com ){1,2,3,4,…,k})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列:f(1),f(2),f(3),…,f(n),….
三、 数学运用
【例1】 (根据教材P32例1改编)已知数 ( http: / / www.21cnjy.com )列的第n项an为2n-1,写出这个数列的首项、第2项、第3项、第n-1项和an+1. (见学生用书课堂本P17)
[处理意见] 教师可以提出以下问题:
① 数列的第n项an为2n ( http: / / www.21cnjy.com )-1,这里的n可以是哪些数 如何求第1项 (答案:n可以是1,2,3,…等任意的正整数.只需用1代换2n-1中的n就可以求出第1项)
② 如何求数列中的第n-1项 (答案:与求第1项的方法相同,只需用n-1代换2n-1中的n即可)
③ (本问可在学生解完例1后再提问,本 ( http: / / www.21cnjy.com )问的目的是引出数列与函数的关系)求第1项即用1代换2n-1中的n,求第2项即用2代换2n-1中的n,…,求第n+1项即用n+1代换2n-1中的n,这种方法你在哪个知识里曾遇到过 (答案:在函数中遇到过,如已知函数解析式f(x),求f(1),f(2),…,f(x+1))
[规范板书] 解 首项为a1=2× ( http: / / www.21cnjy.com )1-1=1;第2项为a2=2×2-1=3;第3项为a3=2×3-1=5;第n-1项为an-1=2×(n-1)-1=2n-3;an+1即数列的第n+1项,an+1=2×(n+1)-1=2n+1.
[题后反思] ① 如果数列{an} ( http: / / www.21cnjy.com )的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.② 数列的通项公式反映了第n项与序号n之间的关系.
变式 已知数列的通项公式为an=,那么5是否为该数列中的项 如果是,是第几项
[规范板书] 解 令=5,解得n=7,所以5是该数列中的第7项.
【例2】 某家庭记录了2011年内每月的用电量如下:
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
用电量(kW·h) 110 120 90 80 62 80 103 115 84 65 81 95
将用电量按月份排列得到一个12项的数列, ( http: / / www.21cnjy.com )试写出该数列的最大项、最小项、首项、末项;并以月份作为横坐标,用电量作为纵坐标,在平面直角坐标系中标出该家庭这一年中每月用电量的大致情况.
(见学生用书课堂本P18)
[处理意见] 由学生自主思考或交流讨论.
[规范板书] 解 每一个月 ( http: / / www.21cnjy.com )的用电量依次记为a1,a2,…,a12,最大项为a2=120,最小项为a5=62,首项为a1=110,末项为a12=95.它们的图象如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
[题后反思] (1) 数列可以用通项公式、列表或图象表示.(2) 数列的图象是一个个孤立的点.
【例3】 写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1) -3,0,3,6,9;
(2) 3,5,9,17,33;
(3) ,,,;
(4) -1,1,-1,1. (见学生用书课堂本P18)
[处理意见] 由学生先自 ( http: / / www.21cnjy.com )主思考并交流讨论,教师进行适当引导.观察各项与序号之间的关系:(1) 后一项均等于前一项加3,那么第n项就是第一项加n-1个3.(2) 每一项减1为2的幂.(3) 各项是分式,且分子是2的幂,分母加1是偶数的平方.(4) 各项是-1的幂;奇数项为-1,偶数项为1.(其中第(4)小题答案较多,可让学生分组讨论交流)
[规范板书] 解 (1) an=3n-6; (2) an=2n+1; (3) an==; (4) an=(-1)n或an=cosnπ或an=
[题后反思] (1) 同一数列的通项公 ( http: / / www.21cnjy.com )式可以不同;(2) 数列是个特殊的函数,它的通项公式也可以和分段函数一样表示成分段的形式;(3) 有一类数列叫周期数列(说明:对于周期数列不用下严格定义,只要让学生了解即可).
思考 数列都有通项公式吗
(答案:不是,如例2中的数列没有通项公式)
变式 (教材P33例3)写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1) ,-,,-;
(2) 0,2,0,2.
[规范板书] 解 (1) an=.
(2) an=1+(-1)n或an=1+cosnπ或an=
*【例4】 已知数列的通项公式an=.
(1) 写出该数列的前5项;
(2) 判断并证明该数列的单调性.
[处理意见] 第(1)题及第(2)题中 ( http: / / www.21cnjy.com )判断该数列的单调性比较简单,可由学生自己作答.第(2)题中证明该数列的单调性可先让学生回忆函数单调性的定义及数列与函数的关系,再引导学生得出数列单调性的定义.
[规范板书] 解 (1) 前5项分别是1,,,,.
(2) 数列是单调递减数列.
因为an+1-an=-=<0,所以an+1
变式 已知数列的通项公式为an=n2-5n+4.
(1) 该数列中有多少项是负数
(2) n为何值时,an有最小值 并求出最小值.
[处理意见] 第(1)题让学生自主思考或交流讨论;第(2)题要引导学生注意数列是个特殊的函数,那么函数如何求最值呢
[规范板书] 解 (1) 由an=n2-5n+4<0,解得1
方法二 由an-an-1=n2-5 ( http: / / www.21cnjy.com )n+4-[(n-1)2-5(n-1)+4]=2n-6>0,得n>3,所以a1>a2=a3,a2=a3
1. 根据数列{an}的通项公式,写出它的前5项:
(1) an=;(2) an=(-1)nn.
解 (1) a1=,a2=,a3=,a4=,a5=.
(2) a1=-1,a2=2,a3=-3,a4=4,a5=-5.
2. 写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1) 3,5,7,9,11; (2) 0,1,0,1,0,1; (3) 2,-6,18,-54,162.
解 (1) an=2n+1; (2) an=+; (3) an=(-1)n+12×3n-1.
3. -35是否为数列{-3n-2}中的项 如果是,是第几项
解 由-3n-2=-35,解得n=11,所以-35是数列{-3n-2}中的第11项.
五、 课堂小结
1. 数列与集合的区别.
2. 数列与函数的关系及数列的性质(单调性、周期性).
3. 数列通项公式的形式.
第2课时 数列(2)
教学过程
一、 问题情境
问题1 设数列的通项公式为an=2n+1,其前n项和为Sn,即Sn=a1+a2+…+an,求S1,S2,S3.
(由题可知a1=3,a2=5,a3=7,则S1=a1=3,S2=a1+a2=8,S3=a1+a2+a3=15)
问题2 已知数列的通项公式,就可以求出数列的前n项和Sn.若已知数列的前n项和Sn,能求出数列的通项公式吗
二、 数学运用
【例1】 已知数列的前n项和Sn=n2+2n.
(1) 求S1,S2,S3及Sn-1;
(2) 求a1,a2,a3;
(3) 求an. (见学生用书课堂本P19)
[处理意见] (1) 本题可先由学生自主 ( http: / / www.21cnjy.com )思考,一般都能求出S1,S2,S3,Sn-1和a1,a2,a3,但部分学生得出答案却不能发现规律,教师可进行适当引导或请其他学生讲解,从而顺利过渡到求an.(2) 第三小题要引导学生注意an=Sn-Sn-1中n≥2,并强调当n=1时要单独考虑.
[规范板书] 解 (1) S1=12 ( http: / / www.21cnjy.com )+2×1=3,S2=22+2×2=8,S3=32+2×3=15,Sn-1=(n-1)2+2(n-1)=n2-1.
(2) 方法一 a1=S1=3;由S2=a1+a2,得a2=5;由S3=a1+a2+a3,得a3=7.
方法二 a1=S1=3;a2=S2-S1=5;a3=S3-S2=7.
(3) 当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.
综上所述,an=2n+1.
变式 已知数列的前n项和Sn=n2+2n+1,求an.
[处理意见] 可先由学生自己书写解题过程,教师选择书写不规范的展示,强调n=1时要单独考虑.
[规范板书] 解 当n=1时,a1=S1=4;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n+1-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1.
综上所述,an=
[题后反思] (1) 数列的通项与前n项和的关系是:an=一般像这种已知数列的前n项和求通项的方法,称为退位相减法.(2) 已知数列的前n项和,就可以求出数列的通项公式.
【例2】 已知数列中,a1=2,an=2an-1+4(n≥2,n∈N*),写出该数列的前5项. (见学生用书课堂本P20)
[处理意见] 让学生自己解题,教师随后给出递推数列的定义.
[规范板书] 解 a1=2,a2=2a1+4=8,a3=2a2+4=20,a4=2a3+4=44,a5=2a4+4=92.
[题后反思] ① 已知数列的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.
② 问题:已知数列的首项,以及任意相邻两项之间的关系,能写出该数列的所有项吗
变式 已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列{an}的前100项和为200.
[处理建议] 由a1=2,an+1=得a2==3,a3==1,a4==2,则可知数列{an}是周期数列,则S100=(2+3+1)×33+2=200.
【例3】 已知数列的通项公式an与前n项和Sn之间满足Sn=2-3an.
(1) 求a1;
(2) 求an与an-1(n≥2,n∈N*)之间的关系,并猜测数列的通项公式. (见学生用书课堂本P20)
[处理意见] 教师可提出以下问题:① 根据条件,如何出现a1 ② 条件中有Sn,an,但没有an-1,怎么办
[规范板书] 解 (1) 当n=1时,S1=a1=2-3a1,所以a1=.
(2) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2-3an)-(2-3an-1),所以4an=3an-1,即an=an-1(n≥2).
由a2=a1=×,a3=a2=×,a4=a3=×,可猜测an=×.
[题后反思] 当题中出现an与Sn的关系时,可通过an=实施和项互化.
变式 设数列的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn,求b5.
[规范板书] 解 令n=1,则b1=2-2S1.又S1=b1,所以b1=.
当n≥2时,由bn=2-2Sn,可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即bn=bn-1.
于是b5=b4=b3=b2=b1=×=.
三、 课堂练习
1. 已知数列中,a1=2,且各项满足an+1=2an-1,则该数列的前4项分别为2,3,5,9.
提示 a2=2a1-1=3,a3=2a2-1=5,a4=2a3-1=9.
2. 已知Sn是数列的前n项和,且an=则S5=38.
提示 S5=a1+a2+a3+a4+a5=2×1+22+2×3+24+2×5=38.
3. 已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则a2=4.
提示 由a1=S1=2a1-2,得a1=2;由a1+a2=S2=2a2-2,得a2=4.
4. 已知数列的前n项和Sn=3n-2,求该数列的通项公式.
解 当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1=2×3n-1.
综上所述,an=
四、 课堂小结
1. 数列前n项和与项之间的关系.
2. 给出数列的递推关系就可以确定数列的项.
第3课时 等差数列的概念
教学过程
一、 问题情境
情境1:某剧场有30排座位,第一排有2 ( http: / / www.21cnjy.com )0个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位,那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28,….
情境2:第23届到第28届奥运会举行的年份依次为1984,1988,1992,1996,2000,2004.
情境3:某电信公司的一种计费标 ( http: / / www.21cnjy.com )准是:通话时间不超过3分钟,收话费0.2元,以后每分钟收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依次为0.2,0.2+0.1,0.2+0.1×2,0.2+0.1×3,….
情境4:如果1年期储蓄的月利率为1.6 ( http: / / www.21cnjy.com )5‰,那么将10000元分别存1个月,2个月,3个月,……,12个月,所得的本利和依次为10000+16.5,10000+16.5×2,…,10000+16.5×12.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 上面这些数列有什么特点
(结合数列知识,引导学生说出:后一项与前一项之差为定值)
问题2 怎样用数学语言刻画数列中后一项与前一项之差为定值
(引导学生说出:每一项与它的前一项的差等于同一个常数)
问题3 我们是否能说“等差数列从第二项起,每一项减去它的前一项都是一个常数”
(引导学生理解:都必须是同一个常数,即d应与n无关)
问题4 你能再举一些等差数列的例子吗
(引导学生自己寻找生活中的实例,帮助学生理解)
通过讨论,给出等差数列的定义.
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去 ( http: / / www.21cnjy.com )它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
(二) 理解概念
1. 等差数列的定义可以用数学表达式an-an-1=d(n∈N,n≥2)或an+1-an=d(n∈N,n≥1)来表示.
2. 当d>0时,数列是单调递增数列;当d<0时,数列是单调递减数列;当d=0时,数列是常数数列.
(三) 巩固概念
问题5 请说出上面问题情境中的几个等差数列的公差分别是多少.
(上面问题情境中的几个等差数列的公差分别是2,4,0.1,16.5)
三、 数学运用
【例1】 判断下列数列是否为等差数列:
(1) 0,-3,-6,-9,-12;
(2) 1,-1,1,-1,1,-1;
(3) 6,6,6,6,6;
(4) 6,5,3,1,-1,-3.[3]
(见学生用书课堂本P21)
[处理建议] 引导学生从定义思考,可以让学生个别回答,也可以是集体回答,对于不成立的情形,要求学生说明不成立的理由.
[规范板书] 解 (1) 是首项为0,公差为-3的等差数列.
(2) 不是等差数列,因为-1-1=-2,1-(-1)=2,它们不等于同一个常数.
(3) 是首项为6,公差为0的等差数列.
(4) 不是等差数列,因为5-6=-1,而从第三项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2.
[题后反思] 判断一个数列是否是等差数列,关键看它是否符合定义.
变式 判断数列m,m+n,m+2n,2m+n是否是等差数列.
[处理建议] 学生讨论、判断,并且由学生给出理由.
[规范板书] 解 (m+n)-m=(m+2n)-(m+n)=n,(2m+n)-(m+2n)=m-n.
若m=2n,则该数列是等差数列;若m≠2n,则该数列不是等差数列.
【例2】 已知数列的通项公式为an=2n+5,求证:数列是等差数列.[4] (见学生用书课堂本P21)
[处理建议] ① 围绕等差数 ( http: / / www.21cnjy.com )列的定义,关键是用什么方法表示“从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数”;② 先由学生讨论,尝试运用等差数列定义进行证明;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的证明过程,纠正出现的错误.
[规范板书] 证明 因为an=2n+5,所以an-1=2(n-1)+5=2n+3(n≥2).所以an-an-1=(2n+5)-(2n+3)=2.所以数列是等差数列.
[题后反思] 根据定义证明(或判断)等 ( http: / / www.21cnjy.com )差数列时,要紧扣定义:从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即an-an-1=d(n∈N,n≥2)或an+1-an=d(n∈N,n≥1).
变式 若数列a1,a2,…,an,…为等差数列,证明:数列a2,a4,a6,…,a2n,…是等差数列.
[处理建议] 先由学生讨论,再让学生尝试模仿例2进行证明.
[规范板书] 证明 设等差数列a1,a ( http: / / www.21cnjy.com )2,…,an…的公差为d,即an-an-1=d(n∈N*,n≥2),则a2n-a2(n-1)=2d,所以数列a2,a4,a6,…,a2n,…是等差数列.
【例3】 (教材P36例2)求出下列等差数列中的未知项:
(1) 3,a,5;
(2) 3,b,c,-9.[5] (见学生用书课堂本P22)
[处理建议] 求值题,需要列出等量关系式,那么怎样利用等差数列的定义建立关系式是关键.
[规范板书] 解 (1) 根据题意得a-3=5-a,解得a=4.
(2) 根据题意得解得
[题后反思] ① 根据等差数列的定义列出 ( http: / / www.21cnjy.com )关系式,然后进行解方程或方程组;② 第(1)题中三项成等差数列,称a是3与5的等差中项,即若a,A,b成等差数列,则称A是a与b的等差中项,那么有2A=a+b.
变式 求2和16的等差中项.
[规范板书] 解 设A是2和16的等差中项,则2A=18,所以A=9.
四、 课堂练习
1. 判断下列数列是否为等差数列:
(1) -2,-2,-2,-2,-2;
(2) ,,,,;
(3) 0,2,0,2,0,2;
(4) -2,0,2,4,6;
(5) 8,13,18,23,28.
解 (1) 是; (2) 不是; (3) 不是; (4) 是; (5) 是.
2. 已知a是与a+的等差中项,则a=2.
提示 由题意得2a=+,解得a=2.
3. 已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数:
(1) ( ),6,13,( );
(2) 1,,( ),( );
(3) 21,( ),( ),3.
解 (1) -1,20; (2) 2-1,3-2; (3) 15,9.
4. 若数列a1,a2,…,an-1,an是等差数列,则数列an,an-1,…,a2,a1是等差数列吗 为什么
解 数列an,an-1,…,a2,a1是等差数列,它的首项为an,公差为数列a1,a2,…,an-1,an的公差的相反数.
五、 课堂小结
1. 等差数列的概念,利用定义作简单的判定和证明.
2. 等差中项的概念.
第4课时 等差数列的通项公式
教学过程
一、 问题情境
引入“即时体验”中的问题,观察数列:4,7,10,13,16,…,如何写出它的第100项a100呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 说出该数列的通项公式.
(结合前面所学知识,引导学生进行归纳)
问题2 这个数列是等差数列吗 为什么 如果是等差数列,它的公差是多少
(引导学生看到连续两项的差是定值,即a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,…,这一串式子要给出板书)
问题3 对于这个数列,我们已经知道了它是等差数列,那么现在不用归纳的方法,你能求出它的通项公式吗
(让学生观察a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,…,引导学生进行叠加,进而求出该数列的通项公式)
问题4 设数列是一个首项为a1,公差为d的等差数列,你能求出它的通项公式吗
(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)
通过讨论,结合前面的具体问题,给出等差数列通项公式的推导过程以及通项公式.
证明:因为数列是等差数列,所以当n≥2时,有
a2-a1=d,
a3-a2=d,
……
an-an-1=d.
将上面n-1个等式的两边分别相加,得an-a1=(n-1)d,所以an=a1+(n-1)d.
当n=1时,上面的等式也成立.
(二) 理解概念
1. 强化推导方法中“叠加法”的使用,同时,指出这一推导思想也是以后求等差数列通项公式的重要思想.
2. 等差数列通项公式an中的n是取值于从 ( http: / / www.21cnjy.com )1开始的正整数,而在等差数列通项公式的证明过程中,n是取大于或等于2的正整数,所以要独立验证n=1时的情形.
(三) 巩固概念
问题5 利用推导的公式,写出“问题情境”中问题的通项公式.
(首项a1=4,公差d=3,所以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×3=3n+1)
问题6 (根据教材P39练习第2题改 ( http: / / www.21cnjy.com )编)求等差数列8,5,2,…的第20项;-25,-30是不是这个数列的项 如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.
(首项a1=8,公差d=-3,则an=a1+(n-1)d=8+(n-1)×(-3)=-3n+11,所以a20=-3×20+11=-49.令-3n+11=-25,解得n=12,所以-25是这个数列的第12项.令-3n+11=-30,解得n=,而n∈N*,所以-30不是这个数列中的项)
三、 数学运用
【例1】 (教材P38例2)在等差数列中,已知a3=10,a9=28,求a12.[3]
(见学生用书课堂本P23)
[处理建议] 分析确定一个等差数列的两个基本量是a1,d,则条件可以用来建立二元方程.
[规范板书] 解 由题意得解得所以a12=4+(12-1)×3=37.
[题后反思] ① 利用等差数列的首项和 ( http: / / www.21cnjy.com )公差(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式;② 知道了等差数列的首项和公差可以求数列的任意一项;③ 知道等差数列的任意两项,可以确定该数列的任意一项.
变式1 从上面的求解过程可以看到:a3比 ( http: / / www.21cnjy.com )a1多2个d,a9比a1多8个d,则a9比a3多6个d,即a9=a3+6d.能不能不需要求出a1,也能求出a12呢
[处理建议] 引导学生从项与项的关系进行思考.
[规范板书] 解 由a9=a3+6d,得d=3,所以a12=a3+9d=37(或a12=a9+3d=37).
[题后反思] ① 通过等差数列的任意两项的关系,可以获得更具一般性的等差数列的通项公式:由(m,n∈N*,m≠n)得an-am=(n-m)d,所以an=am+(n-m)d.② 将an=am+(n-m)d变形为d=,这和我们学过的什么知识很相似 (让学生先思考,不要急于让学生回答)
变式2 (教材P41习题2.2(1)第16题)在等差数列中,已知ap=q,aq=p(p≠q),求ap+q.
[规范板书] 解法一 两式相减得(p-q)d=q-p,因为p≠q,所以d=-1.则ap=a1+(p-1)(-1)=q,所以a1=p+q-1,所以ap+q=a1+(p+q-1)d=(p+q-1)+(p+q-1)(-1)=0.
解法二 ap=aq+(p-q)d, ( http: / / www.21cnjy.com )即q=p+(p-q)d,得(p-q)d=q-p,因为p≠q,所以d=-1.所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0.
【例2】 已知等差数列{an}的通项公式为an=3n+1,请你作出它的图象.[4]
(见学生用书课堂本P24)
[处理建议] 此数列的通项公式an= ( http: / / www.21cnjy.com )3n+1是从“问题情境”得到,可先由学生讨论,尝试进行作图;然后教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生所作图象,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解 如图:
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
[题后反思] 等差数列{an}的通项公 ( http: / / www.21cnjy.com )式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)是关于n的一次式,但等差数列只是其对应一次函数的一系列孤立的函数值;一次函数的定义域是实数集R,图象是一条直线,等差数列的图象只是直线上均匀分布的一些点.
变式 已知数列的通项公式an=kn+b,其中k,b是常数,那么这个数列是否一定是等差数列 若是,首项与公差分别是什么
[处理建议] 先由学生回忆,讨论判定数列是不是等差数列的方法,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解 当n≥2时,an-an-1=(kn+b)-[k(n-1)+b]=kn+b-(kn-k+b)=k,它为常数,所以数列是等差数列.它的首项为a1=k+b,公差为k.
[题后反思] ① 若k=0,则数列是公差为0的等差数列,即为常数列b,b,b,…;② 若k≠0,则数列是关于n的一次式,一次项的系数k即为公差d.(回头看例1变式1题后反思中的d=,可问学生感悟到什么)
*【例3】 在等差数列中,若a1+a9=32,a4=13,求a6,a5.[5]
[处理建议] 可先由学生讨论 ( http: / / www.21cnjy.com ),利用基本量解方程组,进而进行求解,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.本题的关键是引导学生观察所给项的下标,通过它们与a1,d的关系,找出项的和之间的关系式.
[规范板书] 解 因为a1+a9=2a1+8d,而a4+a6=2a1+8d=a1+a9=32,a4=13,所以a6=19.而a5=a1+4d=(a4+a6)=16.
[题后反思] ① 在处理等差数列的计算时,有时候可以用整体的思想来解题.② 在等差数列中,首项为a1,公差为d,若m,n,p,q,s∈N*,且m+n=p+q=2s,则有am+an=ap+aq=2as.(证明:am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,as=a1+(s-1)d,因为m+n=p+q=2s,所以am+an=ap+aq=2as)也可理解成:as是am与an(或ap与aq)的等差中项.
变式 已知等差数列中,a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8.
[规范板书] 解 因为a3 ( http: / / www.21cnjy.com )+a7=2a5,a4+a6=2a5.所以由a3+a4+a5+a6+a7=450,得5a5=450,所以a5=90.所以a2+a8=2a5=180.
四、 课堂练习
1. -30是不是等差数列0,-,-11,…的项 如果是,是第几项 如果不是,请说明理由.
解 由题意得an=-n+.令-n+=-30,解得n=,而n∈N*,所以-30不是这个数列的项.
2. 在等差数列中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=-2,公差d=3.
提示 由题可得解得a1=-2,d=3.
3. 在等差数列中,若a5=a,a10=b,则a15=2b-a.
提示 2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.
4. 某货运公司的一种计费标准是:1km以内收费5元,以后每千米加收2.5元.如果运输某批物资80km,那么需支付多少元运费
解 需支付运费5+(80-1)×2.5=202.5(元).
五、 课堂小结
1. 要会推导等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,掌握其基本应用,并掌握更具一般性的通项公式形式:an=am+(n-m)d.
2. 理解等差数列与一次函数的关系.
3. 理解并掌握等差数列的重要性质:在等差数列中,若m,n,p,q,s∈N*,且m+n=p+q=2s,则有am+an=ap+aq=2as.
第5课时 等差数列的前n项和(1)
教学过程
一、 问题情境
数学家高斯10岁时,有一次老师出了一道题目 ( http: / / www.21cnjy.com ):“计算:1+2+3+…+100.”正当大家在一个一个相加时,高斯给出了答案:“5050.”老师问高斯:“你是如何算出答案的 ”高斯回答:“因为1+100=101,2+99=101,…,50+51=101,所以101×50=5050.”
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 高斯的老师提出计算这一串数的和本质上是什么数列求和
(结合已学知识,引导学生说出:本质上是等差数列求和)
问题2 高斯使用的方法,其实是发现了这个数列哪些项的和具有特殊性
(引导学生看到:a1+a100=a2+a99=a3+a98=…)
问题3 在一般的等差数列中,当满足什么条件时,这种两项和相等的关系仍然存在
(引导学生说出等差数列的性质:若m+n=p+q,则有am+an=ap+aq)
问题4 设等差数列的前n项和为Sn,你能用高斯的方法求出等差数列的前n项和吗
(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)
通过讨论,结合前面具体问题,给出等差数列前n项和公式的推导过程以及前n项和公式.
因为Sn=a1+a2+a3+…+an,把各项的次序反过来,Sn又可以写成Sn=an+an-1+an-2+…+a1,两式相加,得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).因为1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=…=n+1,所以a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1,所以2Sn=n(a1+an),即有Sn=.
(二) 理解概念
1. 强化推导方法“倒序相加法”的使用,同时,指出这一推导思想也是两项和性质的应用.
2. 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,又可以得到Sn=na1+.(围绕基本量a1和d)
3. 整理Sn=na1+,又可以得到Sn=n2+n,所以等差数列的前n项和公式是一个无常数项的一元二次函数形式.
(三) 巩固概念
问题5 请说出高斯的老师需要计算的这个数列的前n项和.
这个数列的前n项和Sn=或Sn=n×1+=
问题6 (根据教材P44练习第2题改编)(1) 已知等差数列中,a1=7,a10=-43,则S10=-180;(2) 已知等差数列中,a1=100,d=-2,则S50=2550.
三、 数学运用
【例1】 (教材P43例2)在等差数列中,已知d=,an=,Sn=-,求a1及n.[3]
(见学生用书课堂本P25)
[处理建议] 利用等差数列的通项公式及前n项和公式建立等量关系,让学生应用公式进行计算,其中体现了方程的思想.
[规范板书] 解 由题意得
由②得a1=-n+2,代入①后化简得n2-7n-30=0,所以n=10或n=-3(舍去),从而a1=-3.
[题后反思] ① 利用等差数列的首项和公差( ( http: / / www.21cnjy.com )一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式;② 在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有a1,d,n,an,Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量.
变式 在等差数列中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10,S10.
[处理建议] 让学生先讨论,运用公式进行计算,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解 设这个等差数列的首项为a1,公差为d,由已知得解得a1=2,d=3.所以a10=a1+9d=29,S10=10a1+d=155.
【例2】 若等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求该等差数列的前110项和.[4]
(见学生用书课堂本P26)
[处理建议] 处理等差数列的问题,找到基本量 ( http: / / www.21cnjy.com )就能解决,两个条件刚好可以提供求解基本量的二元方程;讲解时,可以先由学生讨论,尝试进行计算;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的不同的计算方法及过程,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解法一 设等差数列的首项为a1,公差为d,
由已知得
①×10-②,整理得d=-,代入①解得a1=.所以S110=110a1+d=110×+×=-110.
[题后反思] 在与等差数列相 ( http: / / www.21cnjy.com )关的计算问题中,a1,d,n,an,Sn这五个量可知三求二,其中a1,d是基本量,利用它们列方程或方程组是处理问题的最基础的手段.
解法二 设等差数列的前n项和为Sn=an2+bn,则由已知得解得a=-,b=.所以Sn=-n2+n,所以S110=-×1102+×110=-110.
[题后反思] 等差数列前n项和公 ( http: / / www.21cnjy.com )式Sn是关于n的无常数项的一元二次函数式,利用这个公式特征进行代定系数法求解,比解法一中用基本量公式计算简洁,简化了计算.
解法三 设等差数列的前n项和为Sn,则显然数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为D.
这个新数列的前10项和为S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90)=10S10+·D,即S100=10S10+45D,解得D=-22.
S110-S100是这个新等差数列中的第1 ( http: / / www.21cnjy.com )1项,所以S110-S100=S10+(11-1)D=-120.所以S110=-120+S100=-110.
[题后反思] ① 利用等差数列前n项和公式Sn的性质,整体考虑数列,回避了数列内部基本量的求解,直接就Sn本身解决问题;② 思考:在等差数列中,其前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列吗 (成等差数列,且公差为n2d,证明略)
解法四 设等差数列的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,
令
①-②得(p-q)a1+d=-(p-q).又p≠q,则a1+d=-1,所以Sp+q=(p+q)a1+d=(p+q)(-1).
所以S110=-110.
[题后反思] 在等差数列的前n项和Sn ( http: / / www.21cnjy.com )中,若Sp=q,Sq=p(p≠q),则有Sp+q=-(p+q).记住数列中一些特殊的结论,有利于我们突破题中条件的限制,使思考更深入.
四、 课堂练习
1.
提示
2. 已知等差数列中,S10=120,那么a1+a10=24.
提示 S10==120,所以a1+a10=24.
3. 在等差数列0,,,,,…中,S20=;若Sn=11,则n=12.
提示 由题意可得a1=0,d=,则S20=20×0+×=.∵ Sn=11,∴ ×=11,解得n=12或n=-11(舍去).
4. 在等差数列中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20=9.
提示 S4=1,S8-S4=3,而 ( http: / / www.21cnjy.com )S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,即1,3,5,7,9,所以a17+a18+a19+a20=S20-S16=9.
五、 课堂小结
1. 等差数列的前n项和公式的推导方法:倒序相加法.
2. 在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有a1,d,n,an,Sn五个量,可以知三求二.
3. 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过列方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式.
第6课时 等差数列的前n项和(2)
教学过程
一、 问题情境
含有2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为多少
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 等差数列的奇数项与偶数项分别构成什么样的数列
(结合等差数列的定义,引导学生说出:仍为等差数列.并进一步推广至“等差数列中抽取的下标为等差数列的项构成的数列均为等差数列”)
问题2 奇数项与偶数项构成的等差数列分别有多少项 它们的首项和公差又分别是什么
(引导学生研究等差数列要从a1,d,n,an,Sn入手)
问题3 奇数项与偶数项之间是什么关系
(引导学生研究等差数列也可以从整体上进行把握)
通过讨论,结合投影,给出问题的解答.
探究 设原等差数列为a1,a ( http: / / www.21cnjy.com )2,a3,…,a2n+1,公差为d,则其中奇数项a1,a3,…,a2n+1的首项为a1,公差为2d,有n+1项;偶数项a2,a4,…,a2n的首项为a2,公差为2d,有n项.记奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶.
方法一 S奇=a1+a3+a5+…+a2n+1=(n+1)a1+·2d=(n+1)(a1+nd),
S偶=a2+a4+a6+…+a2n=na2+·2d=n(a1+nd),
所以==.
方法二 S奇=a1+a3+a5+…+a2n+1=,
S偶=a2+a4+a6+…+a2n=,
因为a1+a2n+1=a2+a2n,所以=.
(二) 理解概念
1. 奇数项与偶数项实际上是两个新的等差数列的问题的处理.
2. 等差数列问题的研究可以从基本量和整体两个角度思考.
(三) 巩固概念
问题4 这个等差数列的奇数项与偶数项之间还有哪些特殊的性质
(S奇=(n+1)an+1,S偶=nan+1,S奇-S偶=an+1)
三、 数学运用
【例1】 (教材P48习题2.2(2) ( http: / / www.21cnjy.com )第8题)一个等差数列的前12项和为354,前12项中,偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,求公差d.[3]
(见学生用书课堂本P27)
[处理建议] 让学生先讨论,模仿前 ( http: / / www.21cnjy.com )面问题的处理方法来解决问题,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解法一 设这个数列的首项为a1,公差为d,则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列.由已知得解得d=5.
解法二 设偶数项的和与奇数项的和分别为S偶,S奇,则由已知得解得S偶=192,S奇=162.而S偶-S奇=6d,所以d=5.
[题后反思] ① 若等差数列含有2n项,则奇数项与偶数项各有n项,且S偶-S奇=nd,=;② 等差数列的奇数项与偶数项的相关结论其实是等差数列的通项公式和前n项和公式的应用.
变式 已知等差数列{an},{bn},它们的前n项和分别为An,Bn,且=,求这两个数列的第9项之比.
[处理建议] 学生讨论,找出数列的项与和的关系式.
[规范板书] 解 ====.
[题后反思] 思考:因为=,那么能不能用来解呢 不可以,因为比式已经有公共的n被约去.可设An=tn(5n+3),Bn=tn(2n-1),则===
【例2】 在等差数列中,已知a3=12,a11=-4,那么该数列前多少项和最大 并求出最大值.[4]
(见学生用书课堂本P28)
[处理建议] 先由学生讨论,提示学生 ( http: / / www.21cnjy.com )等差数列当d≠0时前n项和公式是关于n的二次形式(不含常数项);同时要通过数列的项正负的变化让学生明白为什么等差数列前n项和会在某处取得最值.
[规范板书] 解法一 设等差数列的首项为a1,公差为d,则a11=a3+(11-3)d,所以d=-2.又a3=a1+2d=12,所以a1=16.
所以Sn=na1+d=-n2+17n=+,所以当n=8或n=9时,Sn最大,最大值为S8=S9=72.
[题后反思] ① 利用了等差数列前n项和公式Sn是关于n的二次函数形式来求最值,需要注意n是正整数,不一定在对称轴处取得.
② 思考一:为什么并不一定每次都是在对 ( http: / / www.21cnjy.com )称轴处取得最值,此时该怎么办呢 (因为等差数列前n项和Sn是关于n的二次式,这里的n要求是正整数,而关于n的二次式的对称轴的值并不一定是正整数,所以此时要在对称轴附近找最接近的正整数值)
③ 思考二:为什么会出现两项同时取得最大值 此时的等差数列具有什么特征
解法二 设等差数列的首项为a1,公差为d,则a11=a3+(11-3)d,所以d=-2.又a3=a1+2d=12,所以a1=16.所以an=a1+(n-1)d=-2n+18.
由得8≤n≤9,而数列{an}是单调递减数列,所以当n=8或n=9时,Sn最大,最大值为S8=S9=72.
[题后反思] ① 在等差数列中,若首项a1>0,公差d<0,则当满足时,前n项和Sn最大.
② 思考:在等差数列中,若首项a1<0,公差d>0,那么满足什么条件时前n项和Sn最小 答案:
变式 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1) 求公差d的取值范围;
(2) S1,S2,…,S12中哪一个值最大 并说明理由.
[处理建议] 让学生先讨论,模仿上面问题的处理方法来解决问题,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.
[规范板书] 解
(1) 解得因为a3=a1+2d=12,代入上式得所以-
*【例3】 一个“V”型铅笔架(如 ( http: / / www.21cnjy.com )图)的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支,这个V形架上共放着多少支铅笔 [5]
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[处理建议] 让学生先讨论,主要是引导学生能够建立等差数列模型.
[规范板书] 解 由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔,且自下而上各层的铅笔数成等差数列,记为,其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和公式,得==7260.
答:V形架上共放着7260支铅笔.
[题后反思] 通过本例让学生体会到生活中的数学无处不在,也让他们体会到用数学的乐趣.
四、 课堂练习
1. 若等差数列满足a1+a2+a3+…+a101=0,则 (C)
A. a1+a101>0 B. a1+a101<0
C. a1+a101=0 D. a51=51
提示 因为a1+a2+a3+…+a101==0,所以a1+a101=0.
2. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=1.
提示 ==×=1.
3. 在等差数列中,若Sn=3n2+2n,则公差d=6.
提示 因为等差数列的前n项和公式可整理成Sn=n2+n,所以解得d=6.
4. 求集合M={m|m=7n,n∈N*且m<100}中元素的个数,并求出这些元素的和.
解 由7n<100,得n<=14,所以正整数n共有14个,即集合M中共有14个元素,即7,14,21,…,98,它是以a1=7为首项,a14=98为末项的等差数列.所以S14==735.
五、 课堂小结
1. 关于等差数列前n项和公式的使用,既可以通过基本量建立方程组处理问题,也可以利用性质整体处理问题.
2. 当d≠0时,等差数列的前n项和公式是关于n的二次形式,可以利用函数知识辅助处理.
3. 建立等差数列模型.
第7课时 等比数列的概念
教学过程
一、 问题情境
情境1:某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为1, 2, 4, 8, 16, ….
情境2:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为1份,那么每日剩下的部分依次为1, , , , , ….
情境3:某轿车的售价约3 ( http: / / www.21cnjy.com )6万元,年折旧率约为10%(就是说这辆车的价值每年减少10%),那么该车从购买当年算起,逐年的价值依次为36, 36×0.9, 36×0.92, 36×0.93, ….
情境4:某人年初投资10000元, ( http: / / www.21cnjy.com )如果年收益率是5%,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为10000×1.05, 10000×1.052, …, 10000×1.055.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 单利与复利的本利和分别是怎样计算的
(单利本利和=本金×(1+存期×利率),复利本利和=本金×(1+利率)存期)
问题2 与等差数列相比,上面这些数列有什么特点
(结合等差数列知识,引导学生说出:后项与前项之比为定值)
问题3 怎样用数学语言刻画数列中后项与前项之比为定值
(引导学生模仿等差数列的定义叙述等比数列的定义)
通过讨论,类比等差数列的定义,给出等比数列的定义.
一般地,如果一个数列从第二项起, ( http: / / www.21cnjy.com )每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
问题4 等比数列各项应具有怎样的特点
(引导学生理解:等比数列各项不为零)
(二) 理解概念
1. 等比数列的定义可以用数学表达式表示为:=q(n∈N, n≥2)或=q(n∈N, n≥1).
2. 等比数列的定义中隐含着一个条件:任意一项an≠0,且q≠0.
3. 当a1>0, q>1或a1<0, 0
(三) 巩固概念
问题5 上面问题情境中的几个数列的公比分别是多少
问题6 常数数列一定是等比数列吗
(不一定,只有非零的常数数列才一定是等比数列,且公比为1)
三、 数学运用
【例1】 (根据教材P49例1改编)判断下列数列是否为等比数列:
(1) 2, 4, 8, 3, 6, 12;
(2) 1, -1, 1, -1, 1, -1;
(3) 1, -, , -, ;
(4) 0, 2, 4, 8, 16.[3] (见学生用书课堂本P29)
[处理建议] 引导学生从定义思考.
[规范板书] 解 (1) 不是等比数列;
(2) 是等比数列,首项为1,公比为-1;
(3) 是等比数列,首项为1,公比为-;
(4) 不是等比数列,因为0不能作为等比数列中的项.
[题后反思] 由于等比数列每一项都可能作为分母,故每一项都不为零;为同一常数,即比值相等.
变式 判断数列a, a, a, a, …是否为等比数列.
[处理建议] 学生讨论、判断,并且由学生给出理由.
[规范板书] 解 当a=0时,它不是等比数列;当a≠0时,它是等比数列.
【例2】 已知等比数列的公比为q,求证:{m·an}(m≠0)是等比数列.[4]
(见学生用书课堂本P30)
[处理建议] 先由学生讨论,尝试利用等比数列定义进行证明;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的证明过程,纠正出现的错误.
[规范板书] 证明 设bn=m·an,则bn+1=m·an+1,所以===q,所以是公比为q的等比数列.
[题后反思] 根据定义证明(或判断)等比数列时,要紧扣定义:从第二项起,后一项与它的前一项的比等于同一个常数,即=q(n∈N, n≥2)或=q(n∈N, n≥1).
变式 若数列a1, a2, …, an, …是等比数列,证明:数列a2, a4, a6, …, a2n, …是等比数列.
[处理建议] 先由学生讨论,并尝试模仿证明上面例题的方法进行证明.
[规范板书] 证明 设等比数列a1, a2,…, an,…的公比为q,则=q(n∈N, n≥2),则=q2(n∈N, n≥2),所以数列a2, a4, a6, …, a2n, …也是等比数列.
【例3】 (教材P50例2)求出下列等比数列中的未知项:
(1) 2, a, 8;
(2) -4, b, c, .[5] (见学生用书课堂本P30)
[处理建议] 引导学生利用等比数列定义进行求解.
[规范板书] 解 (1) 根据题意得=,所以a=4或a=-4.
(2) 根据题意得解得
[题后反思] ① 根据等比数列的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义列出关系式,进行解方程或方程组;② 第(1)小题中三项成等比数列,称a是2与8的等比中项,即若a, G, b成等比数列,则称G是a与b的等比中项,那么有G2=ab.
变式 求1和16的等比中项.
[规范板书] 解 设G是1和16的等比中项,则G2=16,所以G=±4.
四、 课堂练习
1. 给定下列数列:① 2, 1, 2, 1, 2;② -5, -5, -5, -5; ③ -1, , -, , -; ④ 3, 1, , , , 0.其中是等比数列的有②③.(填序号)
2. 已知a是2与a+的等比中项,则a=3或-1.
提示 由题意得a2=2,解得a=3或a=-1.
3. 已知下列数列是等比数列,试在括号内填上适当的数:
(1) ( ), -3, 27;
(2) 2, ( ), 7, ( );
(3) 1, , , -.
解 (1) ; (2) ±, ±; (3) -, .
4. 若数列a1, a2, …, an-1, an是等比数列,则数列, , , …, 是等比数列吗
解 是,数列, , , …, 的首项是,公比是数列a1, a2, …, an-1, an公比的倒数.
五、 课堂小结
1. 理解等比数列的概念,并能够运用定义作简单的判定和证明.
2. 掌握等比中项的概念.
第8课时 等比数列的通项公式
教学过程
一、 问题情境
设是首项为a1,公比为q的等比数列,则a2=a1q, a3=a2q=a1q2, a4=a3q=a1q3, ….
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 你能写出它的第n项an吗
(结合由有限项写通项公式的知识,引导学生归纳出:an=a1qn-1)
问题2 归纳出来的结果能直接使用吗 我们该如何证明呢
(培养学生严谨的数学学习习惯,即观察、归纳、猜想、证明的全过程)
问题3 回忆一下:等差数列是怎样定义的 它的通项公式又是怎样推导而来的
(引导学生回忆等差数列通项公式的推导方法,进而应用于等比数列通项公式的推导)
问题4 如何进行等比数列通项公式的推导或证明呢
(通过对等差数列的定义及通项公式的推导方法——叠加法的复习,引导学生在等比数列通项公式的推导时使用叠乘法)
通过讨论,类比等差数列通项公式的推导,给出等比数列通项公式的推导.
证明:因为是等比数列,所以当n≥2时,有=q, =q, =q, …, =q.将上面n-1个等式的左右两边分别相乘,得=qn-1,所以an=a1qn-1.
当n=1时,上面的等式也成立.
(二) 理解概念
1. 强化推导方法“叠乘法”的使用,同时,指出这一推导思想也是以后求等比数列通项公式的重要思想.
2. 等比数列通项公式a ( http: / / www.21cnjy.com )n中的n是从1开始的正整数,而在等比数列通项公式的证明过程中,n是大于或等于2的正整数,所以要单独验证n=1时的情形.
(三) 巩固概念
问题5 请你说出首项a1=-2,公比q=3的等比数列的通项公式.
(an=-2×3n-1)
三、 数学运用
【例1】 (根据教材P52例1改编)在等比数列中,已知a3=20, a6=160,求a9.[3] (见学生用书课堂本P31)
[处理建议] 让学生应用等比数列通项公式进行计算,其中体现了方程的思想.
[规范板书] 解 设等比数列的公比为q,由题意得解得
所以an=a1qn-1=5×2n-1,则a9=5×28=1280.
[题后反思] ① 利用等比数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的首项和公比(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式;② 知道了等比数列的首项和公比可以求出数列的任意一项;③ 知道了等比数列的任意两项,可以确定该数列的任意一项;④ an=a1qn-1=5×2n-1是一个常数与指数式的乘积.从图象上看(如图1),表示这个数列的各点(n, an)均在函数y=5×2x-1的图象上.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
变式1 从上面的求解过程可以看到:a3是a1 ( http: / / www.21cnjy.com )的q2倍;a6是a1的q5倍,是a3的q3倍;a9是a1的q8倍,是a6的q3倍.能不能不需要求出a1,也能求出a12呢
[处理建议] 引导学生从项与项的关系进行思考.
[规范板书] 解 因为a3=20, ( http: / / www.21cnjy.com )a6=160,而a6=a3·q3,所以q=2.所以a9=a3·q6=1280(或a9=a6·q3=1280).
[题后反思] 通过等比数列中任意两项的关系,可以获得更具一般性的等比数列的通项公式:若(m, n∈N*, m≠n),则=qn-m,所以an=am·qn-m.
变式2 例1中的a3,a6,a9之间又是什么关系呢 你能用另外一种方法求a9吗
[处理建议] 引导学生从等比数列的定义上进行思考.
[规范板书] 解 显然有=,即a3, a6, a9构成新的等比数列.因此,=a3·a9,所以a9===1280.
[题后反思] 在等比数列中,抽取下标为等差数列的项仍构成等比数列.
【例2】 (教材P52例2)在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列.
(见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 引导学生从等比数列的定义上进行思考.
[规范板书] 解 设插入的3个数分别为a2, a3, a4,由题意得243, a2, a3, a4, 3成等比数列,设公比为q,则3=243q5-1,解得q=±.所以所求的3个数分别为81, 27, 9或-81, 27, -9.
[题后反思] 对于插入数字类型的题目,可以直接根据定义进行操作.
【例3】 在等比数列中,若a1a9=64,a4=4,求a6, a5.[4] (见学生用书课堂本P32)
[处理建议] ① 先由学 ( http: / / www.21cnjy.com )生讨论,利用基本量解方程组,进而进行求解,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.② 引导学生观察所给项的下标,通过它们与a1,q的关系,找出项的积之间的关系式.
[规范板书] 解 因为a1a9=·q8=64,所以a4a6=·q8=64,所以a6=16.
而a5=a1·q4,所以a5=±8.
[题后反思] ① 在处理等比数列的计算时,有时候可以运用整体的思想来解题.
② 已知等比数列中,首项为a1,公比为q.若m, n, s, t, p∈N*,且m+n=s+t=2p,则有am·an=as·at=.(证明:am·an=(a1·qm-1)·(a1·qn-1)=·qm+n-2, as·at=(a1·qs-1)·(a1·qt-1)=·qs+t-2, (ap)2=(a1qp-1)2=·q2p-2,因为m+n=s+t=2p,所以am·an=as·at=)
变式 已知是等比数列,且an>0, a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.
[规范板书] 解 因为是等比数列,所以a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+==25,又an>0,所以a3+a5=5.
*【例4】 已知无穷数列, , , …, , …,求证:
(1) 这个数列是等比数列;
(2) 这个数列中的任一项是它后面第五项的;
(3) 这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.[5]
[处理建议] 从定义入手,正确进行分数指数幂的运算.
[规范板书] 证明 (1) 当n≥2时,==,所以该数列是等比数列.
(2) ==10-1=,即an=an+5.
(3) 设ap, aq是该数列的任意两项,其中p∈N*, q∈N*, apaq=·=,因为p,q∈N*,所以p+q≥2.所以p+q-1≥1,且p+q-1∈N*,所以∈,且它为该数列的第p+q-1项.
[题后反思] 学习数学,是为了分析问题、解决问题,通过本例让学生体会到用数学的乐趣.
四、 课堂练习
1. 已知等比数列中,a2=18,a4=162,则首项a1=±6,公比q=±3.
提示 =q2=9,解得q=±3,所以a1=±6.
2. 在等比数列{an}中,若a1=, an=, q=,则项数n=4.
提示 由题意得=×,解得n=4.
3. 在等比数列中,若a3=3,a9=75,则a10=±75.
提示 由题意得q6=25,解得q=±,所以a10=a9q=±75.
4. 在等比数列中,若a1, a10是方程3x2-2x-6=0的两个根,则a4a7=-2.
提示 a4a7=a1a10=-2.
五、 课堂小结
1. 要会推导等比数列的通项公式:an=a1qn-1,并掌握其基本应用,以及更具一般性的通项公式形式:an=amqn-m.
2. 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量),通过列方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式.
3. 理解并掌握等比数列的重要性质:在等比数列中,若m, n, s, t, p∈N*,且m+n=s+t=2p,则有am·an=as·at=.
第9课时 等比数列的前n项和(1)
教学过程
一、 问题情境
国王要奖赏国际象棋的发明 ( http: / / www.21cnjy.com )者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,……依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子,请给我足够的粮食来实现上述要求.”
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 请你说说国王一共需要给这个发明者多少颗麦粒.
(国王一共需要给这个发明者1+2+22+…+263颗麦粒,引导学生说出:这是一个首项为1,公比为2的等比数列的前64项之和)
问题2 国王能满足他的要求吗 怎样来求这个和呢
(引导学生回忆等差数列求和公式的推导)
问题3 我们能用倒序相加法来求这个等比数列的64项之和吗 用倒序相加法求等差数列前n项和的时候最主要体现了什么样的特征
(引导学生理解将Sn与Sn的倒序和两式相加,这样的2Sn就是一个有n项的且每一项都是a1+an的常数列,从而导出了Sn的公式)
问题4 那么等比数列前n项和公式的推导能不能用倒序相加法呢 如果不能,那么是不是可以构造出一个常数列或者部分常数列呢
(仿照等差数列前n项和公式的推导构造常数列,引导学生每一项乘以公比以后会与后一项相同)
通过讨论,给出等比数列前n项和公式的推导过程以及前n项和公式.
方法一:设等比数列的首项为a1,公比为q,则它的前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①,① 式两边同乘以q,得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn ②,①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn,所以当q≠1时,Sn=.
显然,当q=1时,Sn=na1.
(二) 理解概念
1. 推导过程中的“错位相减法”是等比数列求和的一种常用方法.
2. 根据a1qn=anq,又可得到Sn=(q≠1).
3. 公比q是否为1一般需要进行讨论.
(三) 巩固概念
问题5 请你说说国王需要给出的麦粒数.
国王需要给出1+2+22+…+263==264-1颗麦粒
问题6 请你说说等差数列求和公式的推导与等比数列求和公式的推导的相同之处.
(两种数列求和公式推导的基本思路都是 ( http: / / www.21cnjy.com )构造常数列,构造常数列的思想也是其他一些数列求和的基本思想,主要是通过消除数列中一些项与项的差异来解决问题)
问题7 除了用错位相减法来推导等比数列的求和公式,你还能找到其他方法吗
下面我们给出等比数列前n项和公式的其他推导方法:
方法二:由等比数列的定义得==…==q,根据等比定理得==q,解得(1-q)Sn=a1-anq,所以当q≠1时,Sn==.显然,当q=1时,Sn=na1.
方法二围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式.
方法三:Sn=a1+a2+a3+…an=a1+q(a1+a2+a3+…+an-1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),所以(1-q)Sn=a1-anq,所以当q≠1时,Sn==.显然,当q=1时,Sn=na1.
方法三运用了方程思想,“方程”在代数课 ( http: / / www.21cnjy.com )程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方程思想,可以在已知量和未知量之间搭起桥梁,从而使问题得到解决.
三、 数学运用
【例1】 已知等比数列中,a1=1,a6=32,求该等比数列从第5项到第10项的和.[3]
(见学生用书课堂本P33)
[处理建议] 让学生应用公式进行计算,达到熟悉公式,进而熟练使用公式的目的.
[规范板书] 解 由a6=a1·q5=1·q5=32,解得q=2,则S4==15,S10==1023.所以从第5项到第10项的和为S10-S4=1008.
[题后反思] 在等比数列的通项公式与前n ( http: / / www.21cnjy.com )项和公式中,含有a1, q, n, an, Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量.
变式 已知为等比数列,a1a3=36, a2+a4=60, Sn>400,求n的范围.
[处理建议] 让学生应用公式进行计算,其过程体现方程的思想.
[规范板书] 解 由题意得a1a3==36, a2(1+q2)=60,所以a2>0,所以a2=6, 1+q2=10,所以q=±3.
当q=3时,a1=2, Sn=>400,即3n>401,解得n≥6,且n∈N*;
当q=-3时,a1=-2, Sn=>400,即(-3)n>801,解得n≥8,且n为偶数.
综上所述,所以n≥8,且n为偶数.
【例2】 (教材P56例2)在等比数列中,S3=, S6=,求an.[4]
(见学生用书课堂本P34)
[处理建议] 让学生应用公式进行计算,其过程体现方程的思想.
[规范板书] 解法一 若q=1,则S6=2S3,这与已知S3=, S6=是矛盾的,所以q≠1.从而将两式两边分别相除,得1+q3=9,所以q=2.由此可得a1=,所以an=×2n-1=2n-2.
[题后反思] 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式.
解法二 S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=S3+q3S3,即S6=(1+q3)S3,得1+q3=9,所以q=2.由此可得a1=,所以an=×2n-1=2n-2.
[题后反思] ① 等比数列中应用整体的思想,可以回避等比数列内部基本量的计算,是解决问题的常见手段.
② 思考一:根据解法二,那么在这个等比 ( http: / / www.21cnjy.com )数列中,S3, S6, S9是什么关系 (引导学生模仿解法二过程进行思考,进而得出:S3, S6-S3, S9-S6构成等比数列)
③ 思考二:在等比数列中,Sn, S2n-Sn, S3n-S2n,…还是等比数列吗 (不一定.当q=-1, n为偶数时,Sn=0, Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, …不能构成等比数列)
变式 已知为等比数列,且Sn=a,S2n=b(ab≠0),求S3n.
[处理建议] 含参数字母的等比数列求和问题,学生常常忽略q=1的情况,这要引起足够的重视,进而培养学生思维的严密性.
[规范板书] 解法一 设等比数列的公比为q.
若q=1(此时数列为常数列),则Sn=na1=a, S2n=2na1=b,则2a=b,所以S3n=3na1=3a;
若q≠1(即2a≠b),则Sn==a ①, S2n==b ②, 又ab≠0, ②÷①得1+qn=, qn=-1 ③,将③式代入①式得=,所以S3n==1-=.
解法二 由题可得Sn, S2n-Sn, S3n-S2n成等比数列,即a, b-a, S3n-b成等比数列,所以a(S3n-b)=(b-a)2,所以S3n=(包含了q=1的情况).
*【例3】 一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数,如果其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.[5]
[处理建议] 引导学生尝试利用基本量或联系项与项的关系解决问题.
[规范板书] 解法一 设此数列的公比为q, (显然q≠1),项数为2n,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S奇==85, S偶==170,==q=2,所以=85, 22n=256, 2n=8.所以q=2,项数为8.
解法二 设此数列的公比为q(显然q≠1),项 ( http: / / www.21cnjy.com )数为2n,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,显然S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇,所以q=2,易得项数为8.
[题后反思] ① 在等比数列中,抽取的奇数项或偶数项仍构成等比数列.② 推广:在等比数列中,抽取下标为等差数列的项构成的数列均为等比数列.
四、 课堂练习
1. 求等比数列-4, -2, -1, -, …的前10项和.
解 S10==-.
2. 已知数列的通项公式为an=22n-1,则该数列的前5项和S5=682.
提示 由题意知为等比数列,且a1=2,q=4,所以S5==682.
3. 求和:
提示
4. 已知等比数列中,a3=-12, S3=-9,则a1=-3,公比q=-2.
提示 由题意得解得
五、 课堂小结
1. 等比数列前n项和公式在推导过程中采用了错位相减法.
2. 在等比数列的通项公式与前n项和公式中,含有a1, q, n, an, Sn五个量,可以知三求二.
3. 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量),通过列方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式.
4. 在处理等比数列问题的过程中,注意运用整体思想及性质解题.
第10课时 等比数列的前n项和(2)
教学过程
一、 问题情境
在“即时体验”第2题中,由是等比数列可得r=-1;反过来,当r=-1时,是等比数列吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 怎样说明一个数列是等比数列
结合等比数列的定义,引导学生说出:(n≥2)为定值
问题2 你能直接看到结果和该等比数列的公比吗
(引导学生思考等比数列前n项和公式的特征)
问题3 若数列的前n项和变为Sn=3n+1,那么该数列还是等比数列吗
(引导学生跳出具体的数列,找出等比数列前n项和公式的一般形式)
问题4 你能求出等比数列前n项和组成的数列的前n项和吗
(引导学生:数列求和的关键是研究数列项的特征)
先通过讨论,再给出等比数列前n项和组成的数列的前n项和Tn(如下).
设等比数列的首项为a1,公比为q,
当q=1时,Sn=na1,则Tn=a1+2a1+3a1+…+na1=a1;
当q≠1时,Sn==-qn,则Tn=+++…+=-(q1+q2+q3+…+qn)=-·=-.
(二) 理解概念
1. 强调公比q不确定时,要讨论q是否为1.
2. 一般的数列求和要化归为特殊数列求和.
(三) 巩固概念
问题5 当q≠1时,等比数列的前n项和公式有什么特征
(引导学生归纳出:Sn=A·qn-A,其中A为常数)
三、 数学运用
【例1】 (教材P57例3)求数列1+, 2+, 3+, …, n+,…的前n项和.[3]
(见学生用书课堂本P35)
[处理建议] 可由学生分析该数列的特征:这个数列的每一项都是一个等差数列和一个等比数列的对应项的和,因此采用分组求和.
[规范板书] 解 Sn=+++…+=(1+2+3+…+n)++++…+=+=+1-.
[题后反思] 一般数列求和的处理,要从通项入手,观察其特征,化归为特殊数列,如常数列、等差数列或等比数列的求和.
变式 求和:++…+(其中x≠0, x≠1, y≠1).
[处理建议] 让学生观察表达式 ( http: / / www.21cnjy.com ),模仿例1,找出数列的通项;可以看出上面各个括号内的前一项与后一项分别组成等比数列,分别求出这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和.
[规范板书] 解 当x≠0, x≠1, y≠1时,++…+=(x+x2+…+xn)+=+=+.
【例2】 某家用电器售价2000元 ( http: / / www.21cnjy.com ),若顾客采用分期付款,则每期付款数相同,每期为一个月,购买后一个月付款一次,共需付12次,即购买后一年付清;如果按月利率8‰,每月复利一次计算,那么每期应付款多少元 [4] (见学生用书课堂本P36)
[处理建议] 对于分期付款, ( http: / / www.21cnjy.com )银行有如下规定:① 分期付款为复利计息,每期付款数相同,且在期末付款;② 到最后一次付款时,各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.
[规范板书] 解法一 设每期付款x元,则
第1次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,
第2次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,
……
第11次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,
第12次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,
所以各期付款连同利息之和为x(1+1.008+…+1.00811)=x.
又所购电器的现价及其利息之和为2000×(1+0.008)12,
于是有x=2000×(1+0.008)12,
解得x≈175.46,即每期应付款约175.46元.
解法二 设每期付款x元,第k月后欠款为ak元(k=1, 2, …, 12),则
a1=2000×-x,
a2=a1×-x,
……
an=an-1×-x.
设an-λ=1.008,则λ=,所以an-=1.008,所以数列构成等比数列,所以an=1.008n-1+.
因为a12=0,即1.00811+=0,将a1=2016-x代入上式,解得x≈175.46,即每期应付款约175.46元.
[题后反思] 应用问题的关键是弄懂题意,让学 ( http: / / www.21cnjy.com )生能够逐一了解各个月份的情形.学习数学,是为了分析问题、解决问题,通过本例,让学生体会到生活的数学无处不在,也让他们体会到用数学的乐趣.
*【例3】 (教材P62习题2.3(2)第13题)求和:Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1.[5]
[处理建议] 由学生观察数列的特点,找出特殊之处;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.
[规范板书] 解 (1) 当x=0时,Sn=1.
(2) 当x≠0时,Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1 ①,xSn=x+2x2+3x3+…+xn-1+nxn ②,①-②得Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn,
当x≠1时,Sn=-nxn==,所以Sn=;
当x=1时,Sn=1+2+3+4+…+n=.
[题后反思] 本题中数列各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的积,我们一般称之为差比数列,通常采用错位相减法求和.
四、 课堂练习
1. 某厂去年的产值记为1,计划在今后五年内每年的产值比前一年增长10%,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为11×(1.15-1).
提示 这个厂从今年起到第五年的产值组成以1.1为首项,1+10%为公比的等比数列,所以S5==11×(1.15-1).
2. 已知等比数列的首项为1,公比为q,前n项和为Sn,则数列的前n项和Tn=q1-nSn.(用含Sn的式子表示)
提示 当q=1时,Tn=Sn;当q≠1时,Tn==··q1-n=·q1-n=Sn·q1-n,综上可得Tn=q1-nSn.
3. 已知数列中,an=2×3n-1,由它的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn=.
提示 新数列是首项为6,公比为9的等比数列,则Sn==.
4. 已知数列的通项公式为an=3n-2n,则它的前n项和Sn=.
提示 Sn=(31-21)+(32-22)+(33-23)+…+(3n-2n)=(31+32+33+…+3n)-(21+22+23+…+2n)=-=.
五、 课堂小结
1. 对于常见数列的求和问题,要先研究其通项,再化归为等差数列或等比数列来处理.
2. 对于实际应用问题,关键是建立等比数列的模型.
第11课时 本章复习(1)
教学过程
一、 知识梳理
(一) 数列
1. 数列的概念
(1) 从定义角度看:按照一定次序排列的一列数称为数列.
(2) 从函数角度看:数列可以看成以正整数 ( http: / / www.21cnjy.com )集N*或它的有限子集为定义域的函数an=f(n),当自变量按从小到大依次取值时,所对应的一列函数值.
2. 数列的表示
(1) 列表法.
(2) 图象法(注意图象是一些孤立的点).
(3) 通项公式.
(4) 递推公式.
3. 数列的分类
(1) 按数列项数的多少,可以分为有穷数列和无穷数列.
(2) 按数列中相邻两项的大小关系,可以分为单调递增数列、单调递减数列、常数列和摆动数列.
4. 数列的通项an与前n项和Sn之间的关系
对于任一数列{an},都有an=
(二) 等差数列
1. 等差数列的定义
若an-=d(其中n≥2, n∈N*),则数列{an}为等差数列.
2. 等差中项
如果a, A, b这三个数成等差数列,那么A=.我们把A=叫做a和b的等差中项.
3. 等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d.
4. 等差数列的前n项和公式
Sn=; Sn=na1+d.
5. 等差数列的性质
(1) 在等差数列{an}中,有an-am=(n-m)d.
(2) 在等差数列{an}中,若m+n=p+ ( http: / / www.21cnjy.com )q=2s(其中m, n, p, q, s∈N*),则am+an=ap+aq=2as,也称as为am,an或ap, aq的等差中项.
(3) 当d>0时,等差数列{an}为单调递增数列;当d<0时,等差数列{an}为单调递减数列;当d=0时,等差数列{an}为常数列.
6. (1) 若三个数成等差数列,可设这三个数为a-d, a, a+d.
(2) 若四个数成等差数列,可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
(三) 等比数列
1. 等比数列的定义
若=q(n≥2, n∈N*, q≠0),则数列{an}为等比数列.
2. 等比中项
如果a, G, b这三个数成等比数列,那么G2=ab.我们把G=±叫做a和b的等比中项.
3. 等比数列的通项公式
an=a1.
4. 等比数列的前n项和公式
Sn=
5. 等比数列的性质
(1) 在等比数列{an}中,有an=am.
(2) 在等比数列{an}中,若m+n=s+t=2p(其中m, n, s, t, p∈N*),则aman=asat=,也称ap为am,an或as, at的等比中项.
(3) 当a1>0, q>1或 ( http: / / www.21cnjy.com )a1<0, 0
6. (1) 若三个数成等比数列,可设这三个数为, a, aq.
(2) 若四个数成等比数列,可设这四个数为, , aq, aq2.
二、 数学运用
(一) 等差数列、等比数列的概念及基本量运算
【例1】 已知{an}是公差不为0的等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com ),{bn}是等比数列,其中a1=2, b1=1, a2=b2, 2a4=b3,且存在常数α, β使得an=logαbn+β对于每一个正整数n都成立,求αβ的值.
(见学生用书课堂本P37)
[处理建议] 教师可以提出问题:解决等差、等比数列的基本方法是什么
[规范板书] 解 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q,则解得所以an=2n,bn=4n-1.若an=logαbn+β对于每一个正整数n都成立,则2n=logα4n-1+β对于每一个正整数n都成立,即2n=nlogα4+β-logα4对于每一个正整数n都成立,所以解得所以αβ=4.
变式 已知{an}是等差数 ( http: / / www.21cnjy.com )列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1, a3+b5=21, a5+b3=13,求数列{an}, {bn}的通项公式.
[规范板书] 解 设等差数列{an}的公差为d, 等比数列{bn}的公比为q,依题意有q>0,
且解得d=2, q=2.所以an=2n-1, bn=2n-1.
[题后反思] 解决等差、等比数列问题的基本方法是回归到首项、公差(比)来探究.
(二) 等差数列、等比数列中累加法与累乘法思想的应用
【例2】 已知数列满足a1=1, an=3n-1+an-1(n≥2, n∈N*).
(1) 求a2, a3;
(2) 求数列的通项公式. (见学生用书课堂本P38)
[处理建议] 本题可先由学生自己求解,教师展示其解题过程,最后将其与等差数列通项公式的推导过程联系起来,并形成结论.
[规范板书] 解 (1) 因为a1=1,所以a2=3+1=4, a3=32+4=13.
(2) 方法一 当n≥2时,an=3n-1+an-1=3n-1+3n-2+an-2=…=3n-1+3n-2+…+3+a1=+1=;当n=1时,a1=1也满足上式.所以an=.
方法二 由题意得an-an-1=3n-1, an-1-an-2=3n-2, an-2-an-3=3n-3, …, a2-a1=31,将以上各式相加得an-a1=3n-1+3n-2+…+3==,所以an=,n≥2;当n=1时,a1=1也满足上式.所以an=.
[题后反思] 如果数列的递推公式为an=an-1+f(n)型时,并且{f(n)}容易求和,这时可采用叠加法.
变式1 已知数列满足an+1=an+3n-2,且a1=1,求数列的通项公式.
[规范板书] 解 因为an+1=an+3n-2,所以an+1-an=3n-2,所以将以上各式相加得an-a1=1+4+…+==,所以an=.
变式2 在数列中,已知a1=4, an+1=5nan,求数列{an}的通项公式.
[规范板书] 解 由题意得=5n,所以=5, =52, …, =5n-1,将以上各式相乘得=5×52×…×5n-1=51+2+…+(n-1)=,所以an=4×.
(三) 数列通项公式的求法
【例3】 若数列对于一切正整数n都满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=9-6n,求数列的通项公式. (见学生用书课堂本P38)
[处理建议] 教师可提出以下问题:① 条件的左边有很多项,但结果只要保留一项an,如何将多余的各项消去 ② 用退位相减法时要注意什么
[规范板书] 解 当n=1时,a1=9-6×1=3;
当n≥2时,2n-1an=(a1+2a2+22a3+…+2n-1an)-(a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1)=(9-6n)-[9-6(n-1)]=-6,所以an=.
综上所述,an=
[题后反思] (1) 已知 ( http: / / www.21cnjy.com )数列的前n项和,可用退位相减法求通项公式,但要注意单独考虑“n=1”时的情形.(2) 已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=9-6n,本质上是一个数列的前n项和.
变式 已知数列的前n项积Tn=n2,求an.
[处理建议] 引导学生通过数列项与和的关系,类比发现项与积的关系.
[规范板书] 解 当n=1时,a1=T1=1;当n≥2时,an==.
综上所述,an=
[题后反思] 已知数列的前n项积,可用退位相除法求通项公式,但要注意单独考虑“n=1”时的情形.
(四) 等差数列、等比数列的判定
*【例4】 已知数列满足an=2an-1+2n-1(n≥2),且a1=5.
(1) 求证:为等差数列.
(2) 求数列的通项公式. (见学生用书课堂本P20)
[处理建议] 引导学生通过条件构造的结构.
[规范板书] 解 (1) ∵ an=2an-1+2n-1,∴ an-1=2(an-1-1)+2n, ∴ =+1,∴ -=1,∴ 数列是公差为1的等差数列.
(2) 由(1)知=+(n-1)×1=n+1, ∴ an=(n+1)2n+1(n≥2);当n=1时,a1=5也满足上式.所以an=(n+1)2n+1.
变式 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2, 5, 13后成为等比数列中的b3, b4, b5.
(1) 求等比数列的通项公式;
(2) 若等比数列的前n项和为Sn,求证:是等比数列.
[处理建议] 第(1)问由学生讲解思路,教师要注意引导学生说出“已知三个数成等差数列,常对称设元”.
[规范板书] 解 (1) 设成等差数列的三个正数分别为a-d, a, a+d,依题意得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以等比数列中的b3, b4, b5依次为7-d, 10, 18+d,则(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故等比数列的第3项为5,公比为2.由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.所以等比数列是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn=×2n-1=5×2n-3.
(2) 由(1)知等比数列的前n项和Sn==5×2n-2-,即Sn+=5×2n-2,所以S1+=, ==2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.
[题后反思] 根据条件构造一个与an有关的新数列,通过新数列通项公式的求解求得数列的通项公式,这是求不熟悉数列通项公式的常用方法.
三、 课堂练习
1. 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则a4=11.
提示 a4=S4-S3=11.
2. 已知数列的前n项和Sn=n2+1,求数列的通项公式.
解 当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.综上所述,an=
3. 设等差数列{an}的公差d≠0, a1=4d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k的值为3.
提示 由题意知an=(n+3)d,又因为ak是a1与a2k的等比中项,所以=a1a2k,即d2=4d·d,且d≠0,解得k=3.
4. 已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1,试证明{an+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.
解 ∵ an+1=2an+1, ∴ an+1+1=2(an+1), ∴ =2, ∴ 是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴ an+1=2n, ∴ an=2n-1.
四、 课堂小结
1. 求数列通项公式的方法有观察法、待定系数法、累和法、退位相减法、构造法等.
2. 求数列的通项公式通常采用由特殊到一般、化归、方程等思想.
第12课时 本章复习(2)
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教学过程
一、 数学运用
(一) 数列通项公式的求法
【例1】 设是公比大于1的等比数列,Sn为等比数列的前n项和.已知S3=7,且a1+3, 3a2, a3+4构成等差数列.
(1) 求等比数列的通项公式;
(2) 令bn=lna3n+1, n=1, 2, …,求数列的前n项和Tn. (见学生用书课堂本P39)
[处理建议] 本题可由学生自己思考、交流、展示、点评.本例是用等差(比)数列前n项和公式求和的题型.
[规范板书] 解 (1) 设等比数列的公比为q(q>1),由已知得即解得所以等比数列的通项公式为an=2n-1.
(2) 由(1)得a3n+1=23n,所以bn=ln23n=3nln2.又bn+1-bn=3ln2,所以数列是以b1=3ln2为首项,3ln2为公差的等差数列.所以Tn==.
[题后反思] 数列求和要先求通项,然后根据通项的类型选择适当方法求和.
变式 已知{an}是等差数列,an>0,且公差d≠0; {bn}是等比数列,bn>0, 且公比q>1.
(1) 若a1=b1, a2n+1=b2n+1,请比较an+1与bn+1的大小,并证明你的结论;
(2) 若a1=b1, a2=b2,当n>2时,请比较an+1与bn+1的大小,并证明你的结论.
[处理建议] 由数列的通项公式,知等差数列{an}满足an=nd+(a1-d),所以它的图象在一直线上;等比数列{bn}满足bn=qn,所以它的图象在一“指数函数”图象上.然后借助函数图象讨论数列项之间的大小关系.
[规范板书] 解 因为等差数列{an ( http: / / www.21cnjy.com )}满足an>0,所以d>0,即{an}是单调递增数列;因为bn>0,且公比q>1,所以{bn}也是单调递增数列.根据(1)可得图甲,此时an+1>bn+1;由(2)可得图乙,此时an+1
(变式图甲)
(1) 由a2n+1=b2n+1,得a1+2nd=b1q2n, nd=(b1q2n-a1). 因为an+1-bn+1=a1+nd-b1qn=a1+(b1q2n-a1)-b1qn=(q2n-2qn+1)=(qn-1)2>0,所以an+1>bn+1.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式图乙)
(2) 由a1=b1, a2=b2,可得a1+d=b1q, d=a1(q-1). bn+1-an+1=b1qn-a1-nd=a1qn-a1-na1(q-1)=a1[(qn-1)-n(q-1)],因为1+q+q2+…+qn-1=,所以qn-1=(q-1)(1+q+q2+…+qn-1).所以bn+1-an+1=a1[(q-1)(1+q+q2+…+qn-1)-n(q-1)]=a1(q-1)(1+q+q2+…+qn-1-n).因为q>1, 所以qi>1(i=0, 1, 2, …, n-1). 所以1+q+q2+…+qn-1>1+1+…+1=n. 所以bn+1-an+1>0,即bn+1>an+1.
[题后反思] 本题先利用函数的图象判断出an+1和bn+1的关系,得到结论后,再给出证明.这样解题,思路清晰,降低了难度.
(二) 数列的和的求法
【例2】 (1) 已知数列中,an=2n-3+2n,求数列的前n项和Sn.
(2) 求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).
(见学生用书课堂本P39)
[处理建议] 对于第(1)题,可引导学生分析通项公式的结构;对于第(2)题,可引导学生先求出S1, S2, S3, S4,以便于发现规律.
[规范板书] 解 (1) Sn=-1+1+3+5+…+(2n-3)+2+4+…+2n=+=n(n-2)+2n+1-2.
(2) 当n为偶数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+=2×=n;
当n为奇数时,Sn=-1+(3-5)+(7-9)+…+=-1+(-2)×=-n.
所以,Sn=
[题后反思] 根据数列通项公式的结构将数列的每一项拆成多项,或将数列的两项(或多项)组成一项,将一般数列求和转化成特殊数列求和.
(三) 利用“错位相减法”求数列的和
【例3】 已知cn=,n=1, 2, 3,…,Tn为数列的前n项和,求Tn.
(见学生用书课堂本P40)
[处理建议] (1) 本题中的数列是一种新类型的数列,大部分学生将没有解题思路,可让学生先将Tn还原成各项和的形式,即Tn=4×+10×+16×+…+×.
(2) 教师可以提出以下问题:
① 数列是等差数列还是等比数列 (数列既不是等差数列也不是等比数列,它是由一个等差数列乘以一个等比数列而得到的新数列,我们称这样的数列为差比数列)
② 等差数列与等比数列的求和公式是用什么 ( http: / / www.21cnjy.com )方法推导的 (等差数列求和公式的推导过程是采用倒序相加法,等比数列求和公式的推导过程是采用错位相减法)
③ 这两种方法在本题中还能用吗 (引导学生分析数列通项公式的结构,回顾已有方法,并用已有方法进行探索)
[规范板书] 解 由题可知cn=2(3n-1),
∴ Tn=22×+5×+8×+…+(3n-1)×,
Tn=22×+5×+…+(3n-4)×+(3n-1)×,
∴ Tn=22×+3×+3×+…+3×-(3n-1),
解得Tn=--.
[题后反思] (1) 我们已经发现数列是由一个等差数列乘以一个等比数列得到的新数列(一般称为差比数列),并采用错位相减法求出了它的前n项和,那么这个方法可以推广吗 (2) 如果一个数列由一个等差数列乘以一个等比数列得到的,那么可采用错位相减法求出它的前n和,即先在Tn=a1+a2+…+an的两边同时乘以等比数列的公比,然后“错位”作差.
变式 已知等差数列满足a2=0, a6+a8=-10.
(1) 求等差数列的通项公式;
(2) 求数列的前n项和.
[规范板书] 解 (1) 设等差数列的公差为d,由已知条件可得解得故等差数列的通项公式为an=2-n.
(2) 设数列的前n项和为Sn,则S1=a1=1,
Sn=a1++…+ ①,
=++…+ ② ,
所以,当n>1时,由①-②得=a1++…+-=1--=1--=,所以Sn=.
综上所述,数列的前n项和为Sn=.
(四) 利用“裂项法”求数列的和
*【例4】 求+++…+的前n项和.
[处理建议] 教师可以提出以下问题:
① 求和需要先求通项公式,本题中数列的通项公式什么
② 如何将多个分式的和化简 通分吗
③ 求和需要先求通项公式,然后根据通项公式的结构选择求和方法,本题中an是什么结构,可变形吗 学生可能只将其变形为,也可能将其变形为
④ 上面的两种变形结果,哪种可行 为什么 (第二种可行,将它各项相加后可以消去很多项)
⑤ 在消项的过程中有规律吗 (成对消项,最后前面剩几项,后面剩几项,即前面剩第k项,后面剩倒数第k项)
[规范板书] 解 设数列的通项公式an===.
所以,+++…+=+++-+…+==--.
变式 设Sn为数列的前n项和,且an=,求S120.
[规范板书] 解 因为an==-,所以Sn=+++…+=-1.∴ S120=-1=10.
[题后反思] (1) 裂项相消求和就是将数列的每一项拆成两项或多项,让分裂的项有规律的抵消,从而达到求和的目的.
(2) 设数列是等差数列,cn=,则数列可通过裂项相消法求其前n项和.
(3) 常见的裂项形式有:
① =-;
② =;
③ =-.
二、 课堂练习
1. 若数列的通项公式为an=++…+,则a2=.
提示 a2=++=.
2. 已知数列中,an=,则其前10项和S10=.
提示 因为an==,所以S10=++…+=.
3. 在各项均不为零的等差数列中,若an+1-+an-1=0(n≥2, n∈N*),则S2n-1-4n=-2.
提示 设等差数列的公差为d,则=an+d,=an-d.
由an+1-+an-1=0(n≥2)可得2an-=0,解得an=2或an=0(舍去),故S2n-1-4n=2·(2n-1)-4n=-2.
4. 已知数列的通项公式为an=(2n-1)4n-1,则其前n项和Tn=[(6n-5)4n+5].
提示 由题意得Tn=[1+3×41+5×42+…+(2n-1)4n-1],4Tn=[1×4+3×42+5×43+…+(2n-3)4n-1+(2n-1)4n],两式相减得3Tn=-1-2(41+42+43+…+4n-1)+(2n-1)4n=[(6n-5)4n+5],∴ Tn=[(6n-5)4n+5].
三、 课堂小结
数列求和主要有以下几种方法:
(1) 公式法:
① 等差数列:Sn=或Sn=na1+d.
② 等比数列:Sn=
(2) 倒序相加法:将一个数列倒过 ( http: / / www.21cnjy.com )来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前n项和公式在推导时就采用了倒序相加法).
(3) 错位相减法:若{an}是等 ( http: / / www.21cnjy.com )差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和时,可在等式两边同乘以等比数列{bn}的公比,再与原式相减,然后求和(等比数列前n项和公式在推导时就采用了错位相减法).
(4) 裂项相消法:若{an}是等差数列,求数列的前n项和时,可把一项拆成两项的差的形式从而求和,也适合于其他裂项后易于求和的数列.
(5) 分组求和法:对于既非 ( http: / / www.21cnjy.com )等差数列又非等比数列的一类数列,若将数列的项进行适当的拆分,可分成等差数列、等比数列或常数列,则可以采用分组求和.
(6) 并项求和法:当相邻两项的和为常数或有一定规律易于求和时可采用并项求和法.