《新学案》2015年春高中数学苏教版必修5名师导学：第三章 不等式（含解析）
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| 名称 | 《新学案》2015年春高中数学苏教版必修5名师导学：第三章 不等式（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 987.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-20 07:06:53 | ||
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文档简介
第 3 章 不等式
第1课时 不等关系
教学过程
一、 问题情境
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较,反映在数量关系上就是相等与不等两种情况.例如:
问题1 某博物馆的门票每位10元,20人以上(含20人)的团体票8折优惠.那么不足20人时,应该选择怎样的购票策略
问题2 某杂志以每本2元的价格发行时,发 ( http: / / www.21cnjy.com )行量为10万册.经过调查,若价格每提高0.2元,发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内
问题3 下表给出了X,Y, Z三种食物的维生素含量及成本:
维生素A(单位/kg) 维生素B(单位/kg) 成本(元/kg)
X 300 700 5
Y 500 100 4
Z 300 300 3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食 ( http: / / www.21cnjy.com )品,要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B,设X, Y这两种食物各取xkg, ykg,那么x, y应满足怎样的关系
思考 用怎样的数学模型刻画上述问题
二、 数学建构
(一) 生成概念
在问题1中,设x人(x<20)买20人的团体票不比普通票贵,则有8×20≤10x.
在问题2中,设每本杂志价格提高x元,则发行量减少0.5×=万册,杂志社的销售收入为(2+x)·万元.根据题意,得(2+x)>22.4,化简,得5x2-10x+4.8<0.
在问题3中,食物X, Y各取xkg, ykg,则食物Z取(10-x-y)kg,则有即
上面的例子表明,我们可以用不等式(组)来刻 ( http: / / www.21cnjy.com )画不等关系.表示不等关系的式子叫做不等式,常用“<”,“>”,“≤”,“≥”,“≠”等表示不等关系.
(二) 理解概念
1. 建立不等式模型:通过具体情境,对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析,找出其中的不等关系,并由此建立不等式.
问题1中的数学模型为一元一次不等式,问题2中的数学模型为一元二次不等式,问题3中的数学模型为线性规划问题.
2. 比较两个实数大小的方法——作差比较法:
比较两个实数a与b的大小, ( http: / / www.21cnjy.com )归结为判断它们的差a-b的符号;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号.
三、 数学运用
【例1】 某钢铁厂要把长度为4000m ( http: / / www.21cnjy.com )m的钢管截成500mm和600mm两种,按照生产的要求,所截600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍.试写出满足题意的不等关系. (见学生用书课堂本P41)
[规范板书] 解 假设所截500mm钢管x根,600mm钢管y根.根据题意,应有如下的不等关系:
[题后反思] 关键是找出题目中的限制条件,利用限制条件列出不等关系.
【例2】 某校学生以面粉和大米为主 ( http: / / www.21cnjy.com )食.已知面食每100克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位;米饭每100克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位.某快餐公司给学生配餐,现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克,试写出x, y所满足的条件. (见学生用书课堂本P41)
[规范板书] 解 x, y所满足的条件为
[题后反思] (1) 不等式(组) ( http: / / www.21cnjy.com )是刻画不等关系的数学模型;(2) 建立不等式(组)模型的基本思路:① 找出不等关系;② 语言化不等关系;③ 设变量后,数量化不等关系,即列出不等式(组).
【例3】 比较大小:
(1) (a+3)(a-5)与(a+2)(a-4);
(2) 与(其中b>a>0,m>0).
(见学生用书课堂本P42)
[处理建议] 此题属于两个代数式比较大小的问 ( http: / / www.21cnjy.com )题,实际上是比较它们的值的大小,可以先作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
[规范板书] 解 (1) ( http: / / www.21cnjy.com )∵ (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,∴ (a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).
(2) -==,∵ b>a>0, m>0, ∴ >0, ∴ >.
[题后反思] 不等式>(b>a>0, m>0)在生活中可以找到原型:bg糖水中有ag糖(b>a>0),若再添加mg糖(m>0),则糖水就更加甜了.
变式 建筑学规定,民用住 ( http: / / www.21cnjy.com )宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户的面积与地板的面积之比应不小于10%,并且这个比越大,住宅的采光条件越好,若同时增加相等的窗户面积和地板面积,则住宅的采光条件是变 好 .(填“好”或“坏”)
*【例4】 已知x>2,试比较x3+11x与6x2+6的大小.
[规范板书] 解 x3+11x-(6x ( http: / / www.21cnjy.com )2+6)=x3-3x2-3x2+11x-6=x2(x-3)+(-3x+2)(x-3)=(x-3)(x-2)(x-1) (*).
(1) 当x>3时,(*)式大于0,所以x3+11x>6x2+6;
(2) 当x=3时,(*)式等于0,所以x3+11x=6x2+6;
(3) 当2[题后反思] (1) ① 比较大小的步 ( http: / / www.21cnjy.com )骤:作差→变形→定号→结论;② 比较大小的问题一般可用作差比较法,其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号.
四、 课堂练习
1. 铁路旅行规定:旅客每人免费 ( http: / / www.21cnjy.com )携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160cm.设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a, b, c(单位:cm),则这个规定用数学关系式表示为 (C)
A. a+b+c<160
B. a+b+c>160
C. a+b+c≤160
D. a+b+c≥160
2. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来 ( http: / / www.21cnjy.com )多19km,那么在8天内它的行程就超过2200km;如果它每天行驶的路程比原来少12km,那么它行驶同样的路程就得花9天多时间,这辆汽车原来每天行程的千米数x满足的条件是256提示
3. 某地每年消耗木材约20万立方米,每立方米价格为480元.为了减少木材消耗,决定按t%征收木材税,这样每年的木材消耗量就减少t万立方米,为了既减少木材消耗又保证每年税金收入不少于180万元,则t应满足的条件是480××t%≥180.
4. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出\路口A, B, C的机动车辆数如图所示,图中x1, x2, x3分别表示该时段单位时间通过路段, , 的机动车辆数(假设单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 (C)
A. x1>x2>x3 B. x1>x3>x2
C. x2>x3>x1 D. x3>x2>x1
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
五、 课堂小结
1. 通过具体情境建立不等式模型.
2. 比较两个代数式大小的方法:作差比较法.
第2课时 一元二次不等式(1)
教学过程
一、 问题情境
在上一节课“不等关系”的问题2中,我 ( http: / / www.21cnjy.com )们得到不等式5x2-10x+4.8<0,像这样只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.
我们知道,一元二次方程和相应的二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )有着密切的联系,一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.那么,一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系
二、 数学建构
问题 当x是什么实数时,函数y=5x2-10x+4.8的值是(1) 0 (2) 正数 (3) 负数
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
通过观察函数y=5x2-10x ( http: / / www.21cnjy.com )+4.8的图象(如图1),可以看出,一元二次不等式5x2-10x+4.8<0的解集就是二次函数y=5x2-10x+4.8的图象(抛物线)位于x轴下方的点所对应的x值的集合.
因此,求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程,确定抛物线与x轴交点的横坐标,再根据图象写出不等式的解集.
第一步:解方程5x2-10x+4.8=0,得x1=0.8, x2=1.2;
第二步:画出抛物线y=5x2-10x+4.8的草图;
第三步:根据抛物线的图象,可知5x2-10x+4.8<0的解集为{x|0.8当a>0时,一元二次不等式ax2+bx ( http: / / www.21cnjy.com )+c>0(<0)与相应的二次函数y=ax2+bx+c、一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系如下表所示:
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异实根x1, x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1三、 数学运用
【例1】 (1) 不等式x2+2x-15<0的解集是;
(2) 不等式-x2+3x+2<6x-2的解集是;
(3) 不等式x2+2x+4≥0的解集是R;
(4) 不等式>3的解集是 .
(见学生用书课堂本P43)
【例2】 已知关于x的不等式mx2+2x+6m>0.
(1) 若此不等式的解集为{x|2(2) 若此不等式的解集为,求实数m的值;
(3) 若此不等式的解集为R,求实数m的取值范围;
(4) 若此不等式的解集为 ,求实数m的取值范围. (见学生用书课堂本P43)
[规范板书] 解 (1) 由题可知2, 3是方程mx2+2x+6m=0的两个实数根,且m<0,所以m=-.
(2) 由题可知m>0且Δ=4-24m2=0,所以m=.
(3) 由题可知m>0且Δ=4-24m2<0,所以0(4) 由题可知m<0且Δ=4-24m2≤0,所以-≤m<0.
【例3】 解下列关于x的不等式:
(1) x2-(a+a2)x+a3>0;
(2) a(x-a)(x+2a)<0.
(见学生用书课堂本P44)
[处理建议] 要对参数a进行分类讨论.
[规范板书] 解 (1) x2-(a+a2)x+a3=.
① 若a=0,则原不等式的解集为;
② 若a=1,则原不等式的解集为;
③ 若a<0或a>1,则a④ 若0a2,原不等式的解集为.
(2) ① 若a=0,则原不等式的解集为 ;
② 若a>0,则原不等式的解集为x-2a③ 若a<0,则原不等式的解集为xx>-2a或x[题后反思] 若对参数进行分类讨论,其结果应对参数分类叙述,不可将各类结果求并集,为了表述简洁明了,可把其解的结构一样的相同参数合在一起.
*【例4】 解关于x的不等式:2x2+ax-a≤0.
[规范板书] 解 Δ=a2+8a=a.
(1) 当Δ>0,即a<-8或a>0时,原不等式的解集为;
(2) 当Δ=0,即a=-8或a=0时,原不等式的解集为;
(3) 当Δ<0,即-8[题后反思] (1) 解一元二次不等式的步骤:
① 判号:检查二次项系数a是否为正,若为负值,则利用不等式性质转化为正值;
② 求根:计算判别式Δ,求出相应方程的实数根;
③ 标根:在数轴上标出所得的实数根(注意两实数根的大小顺序,特别是当实数根中含有字母系数时),并画出开口向上的抛物线的示意图;
④ 写解集:根据示意图及其一元二次不等式的几何意义写出解集.
(2) 当一元二次不等式的二次项系数含有字母系数时,不能忽略二次项系数为零的特殊情形.
(3) 不等式的解集要用集合或区间表示.
四、 课堂练习
1. 下列不等式中,解集为 的是 (D)
A. 2x2-3x+2>0 B. x2+4x+4≤0
C. 4-4x-x2<0 D. -2+3x-2x2>0
2. 已知集合A=, B=,则A∩B的子集有16个.
3. 若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a-b=-10.
4. 若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解是x<-2或x>-,则关于x的不等式cx2-bx+a>0的解是五、 课堂小结
1. 解一元二次不等式的步骤.
2. 当一元二次不等式的二次项系数含有字母时,不能忽略二次项系数为零的特殊情形.
3. 不等式的解集要用集合或区间表示.
第3课时 一元二次不等式(2)
教学过程
一、 数学建构
1. 同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式.
2. 同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形.
过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母 ( http: / / www.21cnjy.com )、去括号、移项、合并同类项等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解.解一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式的实质是利用同解变形进行转化.
3. (1) >0 f(x)g(x)>0.
(2) <0 f(x)g(x)<0.
(3) ≥0
(4) ≤0
4. 简单的一元高次不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )的求解方法:先因式分解,再采用“数轴标根法”,其具体步骤如下:① 化一边为零且让最高次项系数为正;② 把根标在数轴上;③ 右上方向起画曲线,让曲线依次穿过标在数轴上的各个根(重根问题处理原则是“奇过偶不过”);④ 根据“大于0在上方,小于0在下方”写出解集.
如:把不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)>0(其中x1(图1)
所以不等式的解集为{x|xx4}.
5. 一元分式不等式的求解方法:采用“数轴标根法”,其步骤如下:移项、通分、化整式、采用“数轴标根法”求解.
注意:① “数轴标根法”的本质是考虑各 ( http: / / www.21cnjy.com )因式的符号,对于偶次因式,要单独考虑此因式的值能否为零,而奇次因式的符号与一次因式的符号是相同的;② 如果不等式的一端非零,那么要先移项进行因式分解,再判断符号,其中因式分解要彻底.
二、 数学运用
【例1】 解下列不等式:
(1) <0;
(2) (x+2)2(x-1)3(x+1)(x-2)<0. (见学生用书课堂本P45)
[处理建议] 可由学生思考、交流并展示,教师点评.
[规范板书] 解 (1) 原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集:
① ②
解①得1综上所述,∴ 原不等式的解集是{x|1(2) 原不等式等价于(x-1)(x+1)(x-2)<0且x≠-2, x≠1,∴ 由数轴标根法可得原不等式的解集为{x|1[题后反思] 一些较复杂的不等式,通常可 ( http: / / www.21cnjy.com )转化为不等式组进行求解,但在求解的过程中要注意何时取交集,何时取并集.第(1)小题也可以采用数轴标根法来求解.
变式 若将第(2)小题改为(x+2)2(x-1)3(x+1)(x-2)≤0,又将如何求解
[处理建议] 原不等式等价于(x-1)(x+1)(x-2)≤0,然后利用数轴标根法可求解.
【例2】 解下列不等式:
(1) <0;
(2) >1. (见学生用书课堂本P46)
[规范板书] 解 (1) 原不等式等价于(x2-5x+6)(x2-3x-4)<0,即(x+1)(x-2)(x-3)(x-4)<0.
令(x+1)(x-2)(x-3)(x-4)=0,可得零点为-1, 2, 3或4,它将数轴分成5个部分(如图).
(例2(1))
由数轴标根法可得所求不等式的解集为{x|-1(2) 原不等式等价于-1>0,通分整理得>0,它等价于(x2-2x-3)(x2-3x+2)>0,即(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0.
(例2(2))
如图,由数轴标根法可得所求不等式的解集为{x|x<-1或13}.
【例3】 解下列不等式:
(1) 3x+1+18×3-x>29;
(2) log(x-3)(x-1)≥2. (见学生用书课堂本P46)
[规范板书] 解 (1) 原不等式可化为3×32x-29×3x+18>0,即(3x-9)(3×3x-2)>0,解得3x>9或3x<,∴ x>2或x(2) 原不等式等价于①或②
解①得4综上所述,∴ 原不等式的解集为{x|4[题后反思] 指数不等式与对数不等式的处理原 ( http: / / www.21cnjy.com )则是转化为一般的不等式,若含参数,还要兼顾到底数的分类,按a>1, 0*【例4】 设函数f(x)=(a, b为实常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实数根x1=3, x2=4.
(1) 求函数f(x)的解析式;
(2) 设k>1,解关于x的不等式:f(x)<.
[规范板书] 解 (1)由题意得解得∴ f(x)=.
(2) 由题意可知<,即<0,它等价于(x-2)(x-1)(x-k)>0.
当1当k=2时,可得原不等式的解集为(1, 2)∪(2, +∞);
当k>2时,可得原不等式的解集为(1, 2)∪(k, +∞).
[题后反思] 含有参变量的不等式,要注意分类讨论.
三、 课堂练习
1. 不等式(x2-4)(x2-3x-4)>0的解集是∪∪.
2. 不等式<+1的解集是∪.
3. 不等式<的解集是.
四、 课堂小结
1. 一元一次不等式和一元二次不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式的解法是解各类不等式的基础,要予以高度重视,尤其把握好一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正值;二是确定一元二次不等式对应的一元二次方程根的情况(由判别式来确定);三是结合对应二次函数的图象写出不等式的解集.
2. 解一元高次不等式的方法与步骤:
方法:数轴标根法.
步骤:① 化一边为零且让最高次项系数为 ( http: / / www.21cnjy.com )正;② 把根标在数轴上;③ 右上方向起画曲线,让曲线依次穿过标在数轴上的各个根;④ 根据“大于0在上方,小于0在下方”写出解集.
注意:重根问题处理原则是“奇过偶不过”;分式不等式转化为高次不等式求解.
3. 关于指数不等式、对数不等式等一些特殊不等式的求解,转化是一方面,借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段.
第4课时 一元二次不等式(3)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知关于x的不等式x2-mx+n≤0的解集是{x|-5≤x≤1},求实数m, n的值.
(见学生用书课堂本P47)
[规范板书] 解 ∵ 不等式x2-mx+n≤0的解集是{x|-5≤x≤1},∴ x1=-5, x2=1是方程x2-mx+n=0的两个实数根,由韦达定理知∴
变式 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|20的解集.
[规范板书] 解 由题意得即代入不等式cx2-bx+a>0,得6ax2+5ax+a>0(a<0),即6x2+5x+1<0,∴ 所求不等式的解集为.
【例2】 已知关于x的一元二次不等式(m-2)x2+2(m-2)x+4>0的解集为R,求实数m的取值范围. (见学生用书课堂本P47)
[规范板书] 解 由题意可知m≠2.∵ ( http: / / www.21cnjy.com )(m-2)x2+2(m-2)x+4>0的解集为R,即二次函数y=(m-2)x2+2(m-2)x+4的值恒大于零,
∴ 即即∴ m的取值范围为{m|2[题后反思] (1) 教师可以拓展得到以下3个变式:
① 已知二次函数y=(m-2)x2+2(m-2)x+4的值恒大于等于零,求m的取值范围.
② 已知一元二次不等式(m-2)x2+2(m-2)x+4≤0的解集为 ,求m的取值范围.
③ 若不等式(m-2)x2+2(m-2)x+4≤0的解集为 ,求m的取值范围.
(2) 总结归纳:
一元二次不等式恒成立的情况小结:
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立
变式 设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1) 若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;
(2) 若对于m∈[-2, 2], f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围.
[规范板书] 解 (1) 由f(x)<0恒成立,知m=0,或m<0且Δ=m2+4m<0,解得-4(2) 由f(x)<-m+5,得g=m-6<0对一切m∈[-2, 2]恒成立,由于g在m∈[-2, 2]上的图象是线段,故欲使g<0恒成立,只需解得-1【例3】 若函数y=中自变量x的取值范围是一切实数,求k的取值范围.
(见学生用书课堂本P48)
[规范板书] 解 ∵ y=中自变量x的取值范围是R,∴ x2+2kx+k≥0恒成立,∴ Δ=4k2-4k≤0, ∴ 0≤k≤1.
变式 若将例3中的函数改为y=,如何求k的取值范围
[规范板书] 解 ∵ y=中自变量x的取值范围是R, ∴ x2+2kx+k>0恒成立,∴ Δ=4k2-4k<0, ∴ 0*【例4】 若不等式mx2-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求实数x的取值范围.
[规范板书] 解 原不等式可化为( ( http: / / www.21cnjy.com )x2-1)m+(1-2x)<0.设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),这是一个关于m的一次函数(或常数函数),从图象上看,要使f(m)<0在-2≤m≤2时恒成立,其等价条件如下:
即解得所以,实数x的取值范围是.
变式 对一切实数x∈,函数f=lg都有意义,求实数a的取值范围.
[规范板书] 解 只需-a<+对一切实数x∈恒成立,因为g=+在上为单调减函数,所以g≥g=,故a>-.
[题后反思] 等价转化是把未知解的问 ( http: / / www.21cnjy.com )题转化到在已有知识范围内可解的问题,它是一种重要的思想方法.通过不断的转化,可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单化的问题.恒成立问题是高考考查的一种重要题型,数形结合与分离参量是解决恒成立问题的有效方法.
二、 课堂练习
1. 若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则实数a的最小值是-.
提示 由题意可知-a≤x+对一切x∈恒成立,所以-a≤,所以a≥-.
2. 若关于x的不等式2x2-8x-4-a>0在1提示 因为关于x的不等式a<2x2-8x-4在13. 当x∈时,不等式1+2x+·4x>0恒成立,则实数a的取值范围是.
提示 由题意知a2-a<+对一切x∈恒成立,而g(x)=+在上是单调减函数,所以a2-a<,所以-4. 若对于任意实数x,不等式ax2-(a-2)x+a>0恒成立,则实数a的取值范围是a>.
提示 由题可知解得a>.
三、 课堂小结
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知 ( http: / / www.21cnjy.com )识范围内可解的问题,它是一种重要的思想方法.通过不断地转化,可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单化的问题.恒成立问题是高考考查的一种重要题型,数形结合与分离参量是解决恒成立问题的有效方法.
第5课时 二元一次不等式表示的平面区域
教学过程
一、 问题情境
(教材P73引例(3))
下表给出了X, Y, Z三种食物的维生素含量及成本:
维生素A(单位/kg) 维生素B(单位/kg) 成 本(元/kg)
X 300 700 5
Y 500 100 4
Z 300 300 3
某人欲将这三种食物混合成 ( http: / / www.21cnjy.com )100kg的食品,要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B,设X, Y这两种食物各取xkg, ykg,那么x, y应满足怎样的关系
解 ∵ X, Y这两种食物分别取xkg, ykg, ∴ 食物Z取(100-x-y)kg,则有
即
又∵ x≥0, y≥0, 100-x-y≥0, ∴ (介绍二元一次不等式的概念)
探究:进一步地,x, y如何取值才能使总成本W最小呢 如何解决该问题
因此,问题转化为在以上不等式组约束条件下,求W=5x+4y+3(100-x-y)=2x+y+300的最小值问题.
要解决以上问题,我们首先要了解二元一次不等式的几何意义.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 坐标满足二元一次方程x+y-2=0的点组成的图形是一条直线l,怎样才能快速准确地画出直线l呢
(描两点连成线.例如:该直线经过点A(2, 0)和B(0, 2),画出经过A, B两点的直线即为所求)
问题2 怎样判断点(1, 3)在不在直线l上呢
(点的坐标满足直线的方程,则点在直线上;点的坐标不满足直线的方程,则点不在直线上)
问题3 坐标满足不等式x+y-2>0的点是否在直线l上呢 这些点在哪儿呢 与直线l的位置有什么关系呢
(通过代特殊点的方法,检验 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标满足不等式x+y-2>0的点的位置,并猜想出结论:坐标满足不等式x+y-2>0的点在直线x+y-2=0的上方.教师可以用几何画板验证以上结论的正确性)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
进一步验证通过问题3得到的结论的正确性:
如图1,在直线x+y-2=0的上方任取一点 ( http: / / www.21cnjy.com )P(x, y),过点P作平行于y轴的直线交直线x+y-2=0于点A(x, -x+2).∵ 点P在直线x+y-2=0的上方,∴ 点P在点A的上方,∴ y>-x+2,即x+y-2>0.∵ 点P为直线x+y-2=0上方的任意一点,∴ 对于直线x+y-2=0上方的任意点(x, y)都有y>-x+2,即x+y-2>0.
同理,对于直线x+y-2=0下方的任意点(x, y)都有y<-x+2,即x+y-2<0.
又∵ 平面上任意一点不在直线x+y-2=0上 ( http: / / www.21cnjy.com ),即在直线x+y-2=0上方或下方,因此,满足不等式x+y-2>0的点在直线x+y-2=0的上方,我们称不等式x+y-2>0表示的是直线x+y-2=0上方的平面区域;同样,我们称不等式x+y-2>0表示的是直线x+y-2=0下方的平面区域.于是得出以下结论:
一般地,直线y=kx+b把平面分成两个区域(如图2):y>kx+b表示直线上方的平面区域;y( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
(二) 理解概念
1. y≥kx+b表示直线及直线上方的平面区域;y≤kx+b表示直线及直线下方的平面区域.
2. 对于不含边界的区域,要将边界画成虚线.
(三) 巩固概念
问题4 不等式2x-y+3>0表示的是直线2x-y+3=0的上方平面区域还是下方平面区域
(不等式2x-y+3>0等价于y<2x+3,所以不等式2x-y+3>0表示的是直线2x-y+3=0的下方平面区域)
三、 数学运用
【例1】 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域(用“上方”或“下方”填空):
(1) 不等式y>-+3表示直线y=-+3上方的平面区域;
(2) 不等式x+2y-3>0表示直线x+2y-3=0上方的平面区域;
(3) 不等式x-2y>0表示直线x-2y=0下方的平面区域;
(4) 不等式x+y<0表示直线x+y=0下方的平面区域.
(见学生用书课堂本P49)
[处理建议] 二元一次不等式Ax+By+C> ( http: / / www.21cnjy.com )0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.可以用“选点法”确定具体区域:任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若满足,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一侧为所求的平面区域.
【例2】 (教材P82例1)画出下列不等式所表示的平面区域:
(1) y>-2x+1; (2) x-y+2>0.
(见学生用书课堂本P49)
[规范板书] 解 (1)、(2)两个不等式所表示的平面区域如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
(例2)
【例3】 (教材P83例2)将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来(其中图(1)中的区域不包括y轴):
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)
(例3)
(见学生用书课堂本P50)
[规范板书] 解 (1) x>0. (2) 6x+5y≤22. (3) y>x.
【例4】 若原点和点(1, 1)在直线x+y-a=0的两侧,求实数a的取值范围. (见学生用书课堂本P50)
[处理建议] 将点(0, 0)和(1, 1)的坐标分别代入x+y-a中,并且所得的符号相反,即-a·(2-a)<0, ∴ 0[规范板书] 解 由题意可得-a·(2-a)<0, ∴ 0变式 若点和在直线2x+y+m=0的同侧,则实数m的取值范围是m<-5或m>10.
[处理建议] 由题意可得2×1+3+m2×-4-2+m>0,即>0, ∴ m<-5或m>10.
*【例5】 (1) 若点(-2, t)在直线2x-3y+6=0的下方区域,求实数t的取值范围.
(2) 若点(0, 0)在直线3x-2y+a=0的上方区域,则点(1, 3)在此直线的下方区域还是上方区域
[规范板书] 解 (1) ∵ 直线2x-3y+6=0下方区域内的点的坐标满足y(2) ∵ 直线3x-2y+a=0的上方区域内的点的坐标满足y>x+,∵ 点(0,0)在直线3x-2y+a=0的上方区域,∴ <0,∴ a<0.
又∵ ×1+-3=<0,∴ 点(1, 3)在此直线的上方区域.
四、 课堂练习
1. 判断下列命题是否正确:
(1) 点(0, 0)在平面区域x-y≥0内;
(2) 点(0, 0)在平面区域x+2y+1<0内;
(3) 点(1, 1)在平面区域y>3x内;
(4) 点(1, 1)在平面区域x-2y+1>0内.
解 (1) 正确; (2) 错误; (3) 错误; (4) 错误.
2. 不等式2x+3y-19≥0表示直线2x+3y-19=0 (C)
A. 上方的平面区域
B. 下方的平面区域
C. 上方的平面区域(包括直线)
D. 下方的平面区域(包括直线)
3. 用“上方”或“下方”填空:
(1) 若k>0,不等式y>kx+b表示的区域是直线y=kx+b的上方,不等式y(2) 若k<0,不等式y>kx+b表示的区域是直线y=kx+b的上方,不等式y五、 课堂小结
1. 二元一次不等式的几何意义.
2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定.
第6课时 二元一次不等式组表示的平面区域
教学过程
一、 问题情境
在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线Ax+By+C=0分成三类:
(1) 在直线Ax+By+C=0上的点;
(2) 在直线Ax+By+C=0上方区域内的点;
(3) 在直线Ax+By+C=0下方区域内的点.
其中,对于在同一区域内的点P1(x1, y1), P2(x2, y2),把它们的坐标分别代入Ax+By+C,所得结果符号相同.
二、 数学建构
1. 二元一次不等式表示的平面区域的判断方法:选点法.
在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,因为在同一侧的所有点的坐标代入Ax+By+C所得结果符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0)代入Ax+By+C,通过Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)
2. 不等式组表示的平面区域:不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.
三、 数学运用
【例1】 画出不等式组所表示的平面区域. (见学生用书课堂本P51)
[规范板书] 解 不等式x- ( http: / / www.21cnjy.com )y+5≥0表示直线x-y+5=0及其下方的平面区域,x+y≥0表示直线x+y=0及其上方的平面区域,x≤3表示直线x=3及其左边的平面区域.所以这三个平面区域的公共部分即为原不等式组所表示的平面区域(如图).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
[题后反思] 如何寻找满足不等式组的整数解
变式 在平面直角坐标系中,满足不等式x2-y2≥0的点(x, y)的集合(用阴影部分表示)是 ② .(填序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
[题后反思] ① x2-y2≥0 y2≤x2 |y|≤|x|.② 二元一次不等式y>kx+b表示直线y=kx+b的上方区域;二元一次不等式ya+c表示折线y=a+c的上方区域;二元二次不等式y>ax2+bx+c(a≠0)表示抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的上方区域.
【例2】 (1) 若不等式组所表示的平面区域是一个三角形,则实数a的取值范围是 (C)
A. a<5 B. a≥7
C. 5≤a<7 D. a<5或a≥7
(2) 设集合M={(x, y)|x, y, 1-x-y分别是某个三角形的三边长},则M所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 (A)
( http: / / www.21cnjy.com )
(见学生用书课堂本P5152)
[处理建议] 学生思考、交流并展示,教师点评.对于第(1)题,可以通过其图形来解决;对于第(2)题,M==.
*【例3】 (1) 在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是 4 .
(2) 在平面直角坐标系xOy中 ( http: / / www.21cnjy.com ),已知平面区域A={(x, y)|x+y≤1,且x≥0, y≥0},则平面区域B={(x+y, x-y)|(x, y)∈A}的面积为 1 .
[处理建议] (1) 由题可知不等式组所表示的平面区域为△ABC(如图),则S△ABC==4.(2) 令
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3(1))
则平面区域B={(x+y, x-y)|(x, y)∈A}=,画出其所表示的平面区域(三角形),求得其面积为1.
四、 课堂练习
1. 已知直线ax+by+1=0,则不等式ax+by+1>0表示的平面区域可能为③.(填序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
2. 不等式(x+y)(x-2y-4)≤0表示的平面区域是②.(填序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
3. 已知点P(0, 0), Q(1, 0), R(2, 3), S(3, 0),则在不等式组所表示的平面区域内的点是R, S.
4. 若不等式ax+(2a-1)y+1<0表示直线ax+(2a-1)y+1=0的下方区域,则实数a的取值范围为a>.
提示 因为直线ax+(2a―1)y+1=0恒过定点(―2, 1),而点(―2, 0)显然在点(―2, 1)的下方,故它应满足不等式,将点(―2, 0)代入不等式,即得―2a+1<0,所以a>.(其实本题可以从不等式的特点直接得到2a-1>0)
五、 课堂小结
1. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有 ( http: / / www.21cnjy.com )多种方法,常用的一种方法是“选点法”:任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若满足,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一侧为所求的平面区域.
2. 不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.
第7课时 简单的线性规划问题(1)
教学过程
一、 问题情境
探究下面的一个问题:
设t=2x+y,式中变量x, y满足下列条件如何求t的最大值和最小值
二、 数学建构
现在我们来解决上述问题,从变量x,y所 ( http: / / www.21cnjy.com )满足的条件看,变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC(如图1).
作一组与直线l0:2x+y=0平行的直线l:2x+y=t, t∈R(或平行移动直线l0),如图1.
在经过不等式组所表示的平面区域AB ( http: / / www.21cnjy.com )C内的点且平行于l的直线中,以经过点B(5, 2)的直线l2所对应的t值最大,以经过点A(1, 1)的直线l1所对应的t值最小.所以tmax=2×5+2=12, tmin=2×1+3=3.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
诸如上述问题中,不等式组是一组对 ( http: / / www.21cnjy.com )变量x,y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x, y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件(注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示).t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x, y的解析式,我们把它称为目标函数.
一般地,求目标函数在线性约束条件下的最 ( http: / / www.21cnjy.com )大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.例如:我们刚才研究的就是求目标函数t=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,即为线性规划问题.
那么,满足线性约束条件的解(x, ( http: / / www.21cnjy.com )y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(即约束条件所表示的平面区域).在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解(5, 2)和(1, 1)分别使得目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做该线性规划问题的最优解.
三、 数学运用
【例1】 给出下列命题:
① 线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y的值;
② 线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③ 线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④ 线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确的是④.(填序号) (见学生用书课堂本P53)
[处理建议] 学生思考、交流并展示,教师点评.注意对概念的辨析.
【例2】 已知变量x, y满足约束条件求t=2x-y的最大值和最小值.
(见学生用书课堂本P53)
[规范板书] 解 作出可行域(如图).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
作一组与直线l0:2x-y=0平行的直线l:2x-y=t, t∈R(或平行移动直线l0).
在经过可行域内的点且平行于l的直线中,以经过点B(5, 2)的直线l2所对应的t值最大,以经过点C的直线l1所对应的t值最小.
所以tmax=2×5-2=8, tmin=2×1-=-.
【例3】 (1) 已知变量x, y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3, 1)处取得最大值,则实数a的取值范围是(1, +∞);
(2) 已知平面区域D由以A(1, ( http: / / www.21cnjy.com )3), B(5, 2), C(3, 1)为顶点的三角形内部及边界组成.若在区域D内有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值,则实数m=1.
(见学生用书课堂本P54)
[处理建议] (1) 可行域为四边形ABCD(如图),其中A(3, 1), kAD=1, kAB=-1,目标函数z=ax+y(其中a>0)中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小,若仅在点处取得最大值,则斜率应小于kAB=-1,即-a<-1,所以实数a的取值范围为(1, +∞).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3(1))
(2) 依题意,令z=0,可得直线x+my=0的斜率为-.结合可行域可知,当直线x+my=0与直线AC平行时,线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值,而直线AC的斜率为-1,所以m=1.
*【例4】 设实数x, y满足不等式组
(1) 画出点(x, y)所在的平面区域;
(2) 设a>-1,在(1)所求的平面区域内求函数f(x, y)=y-ax的最值.
[规范板书] 解 (1) 原不等式组等价于①或②
满足不等式组①②的点(x, y)所在的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
其中,直线AB:y=2x-5;直线BC:x+y=4;
直线CD:y=-2x+1;直线DA:x+y=1.
(2) f(x, y)=y-ax可表示直线l:y-ax=k在y轴上的截距,且直线l与(1)中所求平面区域有公共点.
∵ a>-1,∴ 当直线l过顶点C时, ( http: / / www.21cnjy.com )f(x, y)=y-ax最大.∵ C点的坐标为(-3, 7), ∴ f(x, y)=y-ax的最大值为7+3a.
如果-1如果a>2,那么当直线l过顶点B(3, 1)时,f(x, y)=y-ax最小,最小值为1-3a.
[题后反思] (1) 由于直线l的斜率含参数a,所以在求截距k的最值时,要注意对参数a进行讨论,方法是将直线l动起来.
(2) 规律总结:
① 用图解法求简单的线性 ( http: / / www.21cnjy.com )规划问题的基本步骤如下:(ⅰ) 根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的平面区域);(ⅱ) 画出经过原点的初始直线l0;(ⅲ) 观察、分析,平移直线l0,从而找到最优解;(ⅳ) 最后求得目标函数的最大值或最小值.
② 已知变量x,y满足约束条件D, ( http: / / www.21cnjy.com )当b>0时,将直线ax+by=0向上平移时,目标函数t=ax+by的值越来越大;当b<0时,将直线ax+by=0向上平移时,目标函数t=ax+by的值越来越小.
四、 课堂练习
1. 在约束条件下,目标函数z=10x+y的最优解是(0, -1), (1, 0).
2. 设变量x, y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为 3 .
3. 设R为平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系上以A(4, 1), B(-1, -6), C(-3, 2)为顶点的三角形区域(包括边界),则z=4x-3y的最大值为13,最小值为-18.
4. 如图所示的坐标平面上的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数z=2x-ay取得最大值时的最优解有无数个,则实数a的值为-2.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
提示 当目标函数z=2x-ay移动到与直线BC重合时,此时取得最大值且最优解有无数个.
五、 课堂小结
简单的线性规划问题的解法.
第8课时 简单的线性规划问题(2)
教学过程
一、 问题情境
前面我们用图解法解决了一些求线性目标函数最大值、最小值的问题.在现实生活中,我们还会遇到与线性规划有关的哪些类型的问题呢
其实,在生活、生产中经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题,这些问题的解决就需要用到线性规划的知识.
二、 数学运用
【例1】 (教材P88例1)投资生 ( http: / / www.21cnjy.com )产A产品时,每生产100t需要资金200万元,需场地200m2,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产100m需要资金300万元,需场地100m2,可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900m2,问:应作怎样的组合投资,可使获利最大
(见学生用书课堂本P55)
[处理建议] 求解前,先将已知数据整理成下表:
资金(百万元) 场地(百平方米) 利润(百万元)
A产品(百吨) 2 2 3
B产品(百米) 3 1 2
限制 14 9
然后根据此表设未知数,列出约束条件和目标函数,最后作图求解.
[规范板书] 解 设生产A产品x百吨,生产B产品y百米,利润为S百万元,则约束条件为
目标函数为S=3x+2y.作出可行域(如图).将目标函数S=3x+2y变形为y=-x+,这是斜率为-,随S变化的一族直线.是直线在y轴上的截距,当最大时,S最大,但直线要与可行域相交.
由图可知,使3x+2y取得最大值 ( http: / / www.21cnjy.com )的(x, y)是两直线2x+y=9与2x+3y=14的交点(3.25, 2.5).此时S=3×3.25+2×2.5=14.75.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
答:生产A产品325t,生产B产品250m时,利润最大,且最大利润为1475万元.
[题后反思] (1) 线性规划的问题,题中的数据相对要多,因此首先要理清数据(经常借助于表格).
(2) 用数学模型解决实际问题的基 ( http: / / www.21cnjy.com )本步骤:实际问题 数学模型 数学模型的解 实际问题的解.解题的首要条件是建立恰当的数学模型,最后一定要从数学问题回到实际问题中.
(3) 对于有实际背景的线 ( http: / / www.21cnjy.com )性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,其最优解的确定,往往只需要考虑在各个顶点的情形,通过比较,即可得最优解.
【例2】 (教材P89例2)某 ( http: / / www.21cnjy.com )运输公司向某地区运送物资,每天至少运送180t,该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车,有10名驾驶员.每辆卡车每天往返次数为A型车4次,B型车3次.每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元,B型车为504元.试为该公司设计调配车辆方案,使公司花费的成本最低. (见学生用书课堂本P56)
[规范板书] 解 设每天调出A型车x辆,B型车y辆,公司花费成本z元,则约束条件为
目标函数为z=320x+504y.
作出可行域(如图).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
当直线320x+504y=z经过直线4x+5 ( http: / / www.21cnjy.com )y=30与x轴的交点(7.5, 0)时,z有最小值,但是(7.5, 0)不是整点,因此调整为直线320x+504y=z经过点(8, 0).
答:公司每天调出A型车8辆时,花费的成本最低.
[题后反思] 本题是寻找整点最优解问 ( http: / / www.21cnjy.com )题,有点难度,这要求我们要精确作图,并加以推理计算.如果区域内涉及的整点不多时,我们可以一一代入,进行比较找到最优解.
*【例3】 某厂拟生产甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A, B两种设备上加工,在设备A, B上加工一件甲产品所需工时分别为1h, 2h,加工一件乙产品所需工时分别为2h, 1h,A, B两种设备每月有效使用工时数分别为400h/台和500h/台.如何安排生产才能使销售收入最大
[规范板书] 解 设生产甲产品x件,乙产品y件,销售收入为z元,则约束条件为
目标函数为z=3x+2y.
作出可行域(如图).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
当直线3x+2y=z经过点M(200,100)时,z有最大值,且zmax=3×200+2×100=800.
答:生产甲产品200件,乙产品100件时,销售收入最大.
[题后反思] 本题也是求整点的线性规划问题,但由于交点处是整点,故不需要调整.
三、 课堂练习
1. 若实数x,y满足则x+2y的最大值为14.
提示 借助于例2的图,当直线x+2y=z经过点(6, 4)时,x+2y最大.
2. 若已知实数x, y满足则2x-y的最小值为-.
提示 借助于例1的图,当直线2x-y=z经过点时,2x-y最小.
3. (1) 设实数x, y满足约束条件则z=的最大值为1;
(2) 设实数x, y满足约束条件则的最大值为,最小值为.
4. 设实数x, y满足约束条件则的取值范围是[2, ].
四、 课堂小结
1. 有实际背景的线性规划问题,可行域一般为凸多边形区域,最优解往往出现在凸多形区域的顶点处.
2. 对于最优解是整点的线性规划问题,要注意找整点的方法.
3. 通过本节课的学习,使我们对线性规划有了更深刻的理解,拓宽了我们的视野,让我们体会到线性规划问题在现实生活中具有非常广泛的应用.
第9课时 基本不等式的证明(1)
教学过程
一、 问题情境
把一个物体放在天平的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计),那么a并非物体的实际质量.不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘上,此时称得物体的质量为b.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 如何合理地表示物体的质量呢
活动1:把两次称得的物体的质量“平均”一下,以表示物体的质量.
活动2:根据力学原理:设天平的两臂长分别为l1, l2,物体实际质量为M,则有l1M=l2a, l1b=l2M,两式相乘再除以l1l2,可得到M=.
(引导学生讨论活动1,2的合理性,并从物理学角度来探讨物体的质量)
问题2 对于正数a, b,我们把称为a, b的算术平均数,称为a, b的几何平均数.那么两个正数a, b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系
活动3:举一些数作试验,初步判断两者的大小关系.
组1 组2 组3 组4 组5
a
b
大小关系
活动4:给予严密的证明.
证法一(比较法):-=[+-2]=≥0,当且仅当=,即a=b时,取“=”.
证法二(分析法):要证≤,只要证2≤a+b,只要证0≤a-2+b,只要证0≤.因为最后一个不等式成立,所以≤成立,当且仅当a=b时取“=”号.
证法三(综合法):对于正数a,b,有≥0 a+b-2≥0 a+b≥2 ≥.
通过讨论,给出基本不等式:如果a,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时取“=”).
(二) 理解概念
1. 基本不等式成立的条件:a,b是正数.(当a≥0, b≥0时,这个不等式仍然成立)
2. 基本不等式证明的方法:比较法,分析法,综合法.
3. 从图形上理解基本不等式:如图1,以a+b为直径作圆,在直径AB上取点C(使得AC=a, BC=b),过C作弦DD'⊥AB,则CD2=CA·CB=ab,从而CD=,而半径≥CD=.基本不等式≤的几何意义是“半径不小于半弦”.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
4. 当且仅当a=b时取“=”的含义:一方面是当a=b时取等号,即a=b =;另一方面是仅当a=b时取等号,即= a=b.
5. (1) 在数学中,我们称为a, b的算术平均数,称为a, b的几何平均数.基本不等式还可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(2) 如果把看做是正数a, b的等差中项,看做是正数a, b的等比中项,那么基本不等式又可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
6. 通过基本不等式还可以推得:
(1) 如果a, b是正数,那么a+b≥2(当且仅当a=b时取“=”);
(2) 如果a, b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
三、 数学运用
【例1】 (教材P98例1)设a, b为正数,证明下列不等式成立:
(1) +≥2;
(2) a+≥2. (见学生用书课堂本P57)
[处理建议] 由学生叙述解题思路或方法,教师板书,强化基本不等式的应用.
[规范板书] 证明 (1) ∵ a, b为正数,∴ , 也为正数,由基本不等式得+≥2=2,∴ 原不等式成立.
(2) ∵ a, 均为正数,由基本不等式得a+≥2=2,∴ 原不等式成立.
[题后反思] 运用基本不等式解决不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式的证明问题,一要注意不等号的方向;二要注意定理运用的条件:a, b都是正数,证明过程中一定要体现这一点!
变式 (教材P99练习第3(1)题)设a>1,求证:a+≥3.
[处理建议] 让学生讨论,给出解题方法,并由学生板书.
[规范板书] 证明 ∵ a>1, ∴ a-1, 均为正数,由基本不等式得a-1+≥2,即a+≥3.
【例2】 已知a, b, c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca. (见学生用书课堂本P57)
[处理建议] 由学生思考讨论,然后进行交流.在解答中,注意纠正学生忽略的问题.
[规范板书] 证明 ∵ a, b, c为两两不相等的实数,∴ a2+b2>2ab, b2+c2>2bc, c2+a2>2ca,将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca, ∴ a2+b2+c2>ab+bc+ca.
[题后反思] 注意不等式“如果a, b∈ ( http: / / www.21cnjy.com )R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)”的运用,此时a, b都是实数,没有正数的要求!第二需要注意的是等号的取舍,由于本题中的“两两不相等”,所以题中的不等号是“>”.
变式 设a, b为实数,求证:a2+b2+2≥2a+2b.
[处理建议] 学生完成,教师点拨即可.
[规范板书] 证明 ∵ a, b为实数,a2+b2+2=(a2+1)+(b2+1)≥2a+2b, ∴ 原不等式成立.
【例3】 图(1)是在北京召开的第24 ( http: / / www.21cnjy.com )界国际数学家大会的会标,该会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.我们把“风车”造型抽象成图(2),在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的边长分别为a, b,那么正方形ABCD的面积为多少 在这个图案中隐藏了什么样的不等关系 (见学生用书课堂本P58)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
(例3)
[处理建议] 由学生思考讨论,然后进行交流.
[规范板书] 解 由题意可知正方形ABCD的边长为,所以它的面积为a2+b2.而四个直角三角形的面积是4×ab=2ab,从而有a2+b2≥2ab.
[题后反思] 本题告诉我们:可以从图形上理解“如果a, b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)”.
*【例4】 求证:>2.
[处理建议] 由学生思考讨论,然后进行交流.在交流中,教师适时点拨.
[规范板书] 证明 ∵ >0,又x2+3≠1, ∴ ≠,∴ ==+>2=2,即>2.
[题后反思] 本题对基本不等式的运用,关键是变形,抓住这一整体进行变形.
四、 课堂练习
1. 证明:x2+4≥4x.
提示 x2+4≥2·x·2=4x.
2. 当m∈(-∞,0)且m≠-1时,证明:m+<-2.
提示 当m∈(-∞,0)且m≠-1时,m+=-(-m)+<-2=-2.
3. 已知a, b, c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
提示 因为a, b, c都是正数,所以a+b≥2>0, b+c≥2>0, c+a≥2>0,从而有(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc.
4. 已知a, b, c, d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
提示 由a, b, c, d都是正数,得≥>0, ≥>0,∴ ≥abcd,即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
五、 课堂小结
1. 算术平均数与几何平均数的概念.
2. 基本不等式及其应用条件.
3. 不等式证明的三种常用方法.
4. 重要的公式:
(1) 如果a, b都是正数,那么≤(当且仅当a=b时取“=”);
(2) 如果a, b都是正数,那么a+b≥2(当且仅当a=b时取“=”);
(3) 如果a, b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
第10课时 基本不等式的证明(2)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知a, b都为正实数,求证:a3+b3≥a2b+ab2. (见学生用书课堂本P59)
[处理建议] 学生思考、交流,教师注意从多角度解决此题.
[规范板书] 证法一 (比较法)(a3+b3 ( http: / / www.21cnjy.com ))-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b), ∵ a, b为两正实数,∴ (a-b)2(a+b)≥0, ∴ (a3+b3)-(a2b+ab2)≥0,即a3+b3≥a2b+ab2.
证法二 (分析法)要证a3+b ( http: / / www.21cnjy.com )3≥a2b+ab2,只要证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b), ∵ a, b为两正实数,∴ 只要证a2-ab+b2≥ab,只要证a2-2ab+b2≥0,只要证(a-b)2≥0.∵ (a-b)2≥0恒成立,∴ a3+b3≥a2b+ab2,即原不等式成立.
证法三 (综合法)由(a-b)2≥ ( http: / / www.21cnjy.com )0得a2-ab+b2≥ab,∵ a, b为两正实数,∴ a+b为正数,∴ (a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b),即a3+b3≥a2b+ab2.
[题后反思] 三种证明方法进 ( http: / / www.21cnjy.com )行对比之后发现,比较法对式子的变形要求较高;分析法本质上是思考问题的一种方法,分析法有助于我们对问题的分析,只是书写格式要注意“要证……,只要证……,只要证……”;而综合法,其实与分析法是统一的,要从源头开始写,而分析法则是究根溯源!
变式 设a, b均为正数,证明:a5+b5≥ab4+a4b.
[规范板书] 证明 (比较法)a5+b5-( ( http: / / www.21cnjy.com )ab4+a4b)=(a5-ab4)+(b5-a4b)=(a-b)(a4-b4)=(a-b)2(a+b)(a2+b2),∵ a,b均为正数,∴ (a-b)2(a+b)(a2+b2)≥0,∴ a5+b5-(ab4+a4b)≥0, ∴ a5+b5≥ab4+a4b.
【例2】 已知a, b, c为两两不相等的正实数,求证:a+b+c>++.
(见学生用书课堂本P60)
[规范板书] 证明 ∵ a, b, c为两两不相等的正实数,∴ >, >, >, ∴ ++>++,∴ a+b+c>++.
[题后反思] 对所要证明的结论进行分析,寻求解题的思路.其实本题用比较法也可以解决!
变式 设a, b, c均为正数,证明:++≥++.
[规范板书] 证明 ∵ a, b, c均为正数,∴ , , 均为正数,∴ +≥2, +≥2, +≥2, ∴ ++≥++.
【例3】 已知a, b都是正数,且a+b=1,求证:+≤. (见学生用书课堂本P60)
[规范板书] 证明 ∵ a, b为正数,∴ 2≤a+b=1.而=a+b+2≤(a+b)+(a+b)=2, ∴ +≤.
[题后反思] 对于正数a, b,在基本不等式中有两种形式a+b, ab,因此解决本题的关键是创造条件ab,然后利用基本不等式!
变式 证明:+≤.
[规范板书] 证明 由题意得0≤x≤1, ∴ x, 1-x均为非负数, ∴ 2≤x+(1-x)=1, ∴ =1+2≤1+1=2, ∴ +≤.
*【例4】 (教材P106复习题第17题) ( http: / / www.21cnjy.com )如图,ABDC为梯形,其中AB=a, CD=b,设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线),KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段,EF表示平行于两底且过点O的线段,MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
试研究线段GH, KL, EF, MN与代数式, , , 之间的关系,并据此得到它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得的结论吗
[规范板书] 解 GH=, KL=, MN=, EF=.
由图可知EF用基本不等式证明如下:∵ a, b为不相等的正数,∴ 0<<, ∴ <1, ∴ <,即<.又∵ -==>0, ∴ >,∴ <.综上可得>>>.
[题后反思] 了解, , , 这四个代数式之间的关系,可以分别从数与形两个角度加以理解!
二、 课堂练习
1. 设x>1,试比较大小:x5+1>x4+x.
提示 (x5+1)-(x4+x)=(x-1)2(x+1)(x2+1).
2. 已知a>0,试比较大小:≥1.
提示 -1=.
3. 已知a>1,且b>1,试比较大小:logab+logba≥2.
提示 由a>1,且b>1得logab>0, ∴ logab+logba=logab+≥2.
4. 已知a+b=2,则+的最大值是 2 .
提示 =a+b+2≤2(a+b)=4.
三、 课堂小结
1. 基本不等式及其应用条件.
2. 不等式证明的三种常用方法.
第11课时 基本不等式的应用(1)
教学过程
一、 问题情境
前面我们学习了基本不等式,并且利用基本不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )证明了其他不等式的成立.在基本不等式中,我们强调“当且仅当a=b时取‘=’”,那么取“=”时所对应的那个值有什么特殊意义吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
活动1:当正数x, y满足x+y=4时,运用基本不等式,可以得到≤=2,当且仅当x=y=2时取“=”.
此时取“=”时,=2,即2是的最大值,也可以说4是xy的最大值.
活动2:当正数x, y满足xy=4时,运用基本不等式,可以得到≥=2,当且仅当x=y=2时取“=”.
此时取“=”时,=2,即2是的最小值,也可以说4是x+y的最小值.
活动3:将活动1,2所得的结论推广到一般情况:
若正数x,y满足x+y=s,则由≤=,得xy有最大值,此时x=y;
若正数x,y满足xy=p,则由≥=,得x+y有最小值2,此时x=y.
活动4:上述两个结论中,讨论能否将“正数x,y”中的正数改为实数.
(从基本不等式来考虑,两个最值模型均需要“正数”这一条件)
通过讨论,给出两个求最值的模型——最值定理:已知x, y都是正数,
① 如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
② 如果和x+y是定值s,那么当x=y时,积xy有最大值s2.
(二) 理解概念
1. 运用基本不等式求最值是求最值的一种常用方法.
2. 两个求最值的模型的共同条件:x, y都是正数.
3. 两个求最值模型的特征:积为定值,和有最小值;和为定值,积有最大值.也就是说,和与积必有一个为定值.
4. 两个求最值模型中,都是当x=y时才能取到最值.
5. 运用基本不等式求最值,要求“一正二定三相等”.
三、 数学运用
【例1】 (教材P99练习第5题)求函数y=4x2+的最小值,并求函数取最小值时x的值.
(见学生用书课堂本P62)
[规范板书] 解 由题意得x2>0,∴ 由基本不等式得4x2+≥2=12,当且仅当4x2=,即x=±时取“=”.∴ 当x=±时,函数取最小值12.
[题后反思] 学会观察,审题时寻找“和定”或“积定”的条件,运用基本不等式求最值时,要注意说明最值何时取到.
变式1 当x∈时,y=tanx+的最小值为 2 ,此时x=.
变式2 函数y=x+( 0[处理建议] 学生思考口答,教师注意纠正学生的错误.变式2不能运用基本不等式求解,只能从函数的单调性入手求最值.
【例2】 已知函数y=x(9-x), x∈,求此函数的最大值. (见学生用书课堂本P62)
[规范板书] 解 ∵ 00.由基本不等式得x(9-x)≤=,当且仅当x=9-x,即x=时取“=”.∴ 当x=时,函数取最大值.
[题后反思] 与例1相同,寻找“和定”或“积定”的条件,然后运用基本不等式求最值.
变式 已知函数y=x(4-2x), x∈,求此函数的最大值.
[规范板书] 解 ∵ 00.由基本不等式得x(4-2x)=2·x(2-x)≤2·=2,当且仅当x=2-x,即x=1时取“=”.∴ 当x=1时,函数取最大值2.
【例3】 (教材P98例2)已知函数y=x+, x∈,求此函数的最小值.
(见学生用书课堂本P62)
[规范板书] 解 ∵ x>-2, ∴ x+2>0.由基本不等式得x+=(x+2)+-2≥2-2=6,当且仅当x+2=,即x=2时取“=”.∴ 当x=2时,函数取得最小值6.
[题后反思] 运用基本不等式求最值时,有时需要我们创造条件,变形后创造“和定或积定”的条件.
变式 求函数y=(x>1)的最小值.
[规范板书] 解 ∵ x>1, ∴ x-1>0.由基本不等式得=x++1=(x-1)++2≥2+2=4,当且仅当x-1=,即x=2时取“=”.∴ 当x=2时,函数取最小值4.
*【例4】 已知0[规范板书] 解 ∵ 0[题后反思] 观察题目,学会寻找、创造条件,形成“和定”或“积定”的条件.
四、 课堂练习
1. 已知正数a, b满足ab=2,则2a+b的最小值为 4 .
2. 函数y=2x+1+2-x的最小值为 2 .
3. 函数y=(3-x)(2+x), -2≤x≤2的最大值为 .
4. 函数y=sinx++1的最小值为 .
五、 课堂小结
1. 运用基本不等式求最值,要注意“一正二定三相等”.
2. 运用基本不等式求最值,有时需要变形创造定值的条件,要了解常见的几种变形.
3. 利用基本不等式求最值问 ( http: / / www.21cnjy.com )题时,一定要交代等号何时成立,只有等号成立了,才能求得最值,否则要用其他方法.而在证明不等式时,一般不必要交代等号何时成立.
第12课时 基本不等式的应用(2)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知正数x, y满足xy=1,求+的最小值. (见学生用书课堂本P63)
[处理建议] 学生思考、交流,教师注意从多角度分析解决此题.
[规范板书] 解法一 ∵ x, y都是正数,∴ +≥2=2,当且仅当=,即x=y=1时取“=”.∴ 当x=y=1时,+取最小值2.
解法二 (消元法)∵ xy=1, ∴ =x. ∵ x为正数,∴ +=+x≥2=2,当且仅当=x,即x=y=1时取“=”.∴ 当x=y=1时,+取最小值2.
[题后反思] 求最值问题时,经常会遇到二元求 ( http: / / www.21cnjy.com )最值问题,如果在分析题目时,能发现“和定”或“积定”的条件,可以直接利用基本不等式;但如果不能发现我们所需要的条件时,常用的方法是消元,将二元问题转化为一元问题来解决.
变式 已知正数x, y满足xy=1,求+的最小值.
[规范板书] 解 ∵ x, y都是正数,∴ +≥2=2,当且仅当=,即时取“=”.∴ 当时,+取最小值2.
【例2】 (教材P106复习题第16题)若正数x, y满足x+2y=1,求+的最小值.
(见学生用书课堂本P63)
[规范板书] 解 ∵ x>0, y>0,且x+2y=1,
∴ +=+=1++2+=3+≥3+2,
当且仅当即时取“=”.
∴ 当x=-1, y=时,+取最小值3+2.
[题后反思] 充分利用题中的条件x+2y=1,巧妙地构造了, ,从而利用基本不等式就可以解决!从这里可以看出,我们变形的目的往往是构造互为倒数的两个式子.另外,+=+在题中是将分子上的“1”做了一个整体代换,其实也可以换种思路:+=·1=·(x+2y).
变式 已知正数x, y满足+=1,求x+y的最小值.
[规范板书] 解 ∵ x, y是正数,+=1,∴ x+y=(x+y)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即时取“=”.∴ 当时,x+y取最小值9.
【例3】 若x>0,y>0,且x+y=xy,求x+2y的最小值. (见学生用书课堂本P64)
[规范板书] 解法一 由x+y=xy得x=.∵ x>0, y>0, ∴ y>1.
∴ x+2y=+2y=1++2y=2(y-1)++3≥2+3=3+2,
当且仅当即时取“=”.
∴ 当时,x+2取最小值3+2.
解法二 由x+y=xy得+=1. ∵ x>0, y>0,∴ x+2y=(x+2y)=3+≥3+2,
当且仅当即时,取“=”.
∴ 当时,x+2y取最小值3+2.
[题后反思] 变形往往能给我们解题提供意想不到的方法,因此在平时的学习中,我们对题目的变形特征要多加留意.
变式 设0[规范板书] 解 ∵ 00.
∴ +=[x+(1-x)]=2++≥2+2=4,当且仅当=,即x=时取“=”.∴ 当x=时,+取最小值4.
*【例4】 (教材P100 ( http: / / www.21cnjy.com )例3)过点(1, 2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A, B两点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.
[规范板书] 解 设点A(a, 0), B(0, b)(a, b>0),则直线l的方程为+=1.由题意知点(1, 2)在直线l上,∴ +=1.
由基本不等式得1=+≥2,∴ ab≥8,当且仅当=,即时取“=”.
∴ S△AOB=ab≥4.
∴ 当△AOB的面积最小时,直线l的方程为+=1,即2x+y-4=0.
[题后反思] 将实际问题转化为数学问题,解题时,一定要注意题目中的条件约束,同时要准确把握目标函数,巧妙运用不等式解决数学问题.
二、 课堂练习
1. 函数y=x+的值域为{y|y≥4或y≤-4}.
2. 函数y=sinx+(03. 已知a>1,且b>1,若a+b=6,则(a-1)(b-1)的最大值是 4 .
4. 已知正数a, b满足ab=2,则(a+2)(2b+1)的最小值是 6+4 .
三、 课堂小结
1. 基本不等式及其应用条件.
2. 基本不等式最值定理及其应用条件.
3. 常见的变形:拆、凑、代;变形的目标:积定或和定.
第13课时 基本不等式的应用(3)
教学过程
一、 问题情境
在前面,我们运用基本不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )解决了证明、求最值等一些相关问题,这些问题其实还是数学问题.我们知道,学习数学,是为了用数学知识来解决我们生活中的有关问题,今天我们来体验一下怎样运用不等式解决实际问题.
二、 数学运用
【例1】 (教材P99例1)用长为4a的铁丝围成一个矩形,怎样才能使所围矩形的面积最大
(见学生用书课堂本P65)
[规范板书] 解 设矩形的长为x(00,2a-x>0.
∴ ≤=a(当且仅当x=2a-x,即x=a时取“=”).
由此可知,当x=a时,S=x(2a-x)有最大值a2.
答:将铁丝围成正方形时面积最大,最大面积为a2.
[题后反思] 应用基本不等式解决实际 ( http: / / www.21cnjy.com )问题,首先要审题,正确理解题意,然后分析题中所给的条件,将实际问题转化为数学模型,再应用基本不等求解.在解题过程中,一定要考虑解的实际意义.另外,此题也可以用二次函数的有关知识来解决.
变式 用长为4a的铁丝围成如图所示的矩形,则所围成图形面积的最大值为多少
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式)
[规范板书] 解 设矩形的一边长为x00,2a-x>0.
S=x=·x≤·=当且仅当x=-x,即x=时取“=”.由此可知,当x=时,S=x有最大值.
答:围成图形面积的最大值为.
【例2】 (教材P99例2)某工厂建造一 ( http: / / www.21cnjy.com )个无盖的长方体贮水池,其容积为4800m3,深度为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 (见学生用书课堂本P65)
[规范板书] 解 设水池的总造价为y元,池底的一边长为xm(x>0),则另一边长为m,即m.
根据题意,得y=150+2×120×3×=150×1600+720≥150×1600+720×2×40=297600,当且仅当x=40时取“=”.
答:当水池设计成底面边长为40m的正方形时,总造价最低,为297600元.
[题后反思] 用基本不等式解决实际 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的一般步骤:① 建立目标函数;② 利用基本不等式,求函数的最值;③ 得出实际问题的解.而在本题中,步骤①是关键,运用恰当的数学语言建立数学模型;在解决步骤③时,一定要注意字母的变化范围.
变式 单位建造一间地面面积为12m ( http: / / www.21cnjy.com )2的背面靠墙的长方体小房,房屋正面的造价为1200元/m2,房屋侧面的造价为800元/m2,屋顶的造价为5800元/m2,如果墙高为3m,且不计房屋背面及地面的费用,问:怎样设计房屋才能使总造价最低 最低总造价是多少元
[规范板书] 解 设房屋的总造价为y元,地面一边长(为正面上的边长)为xm(x>0),则另一边长为m.
根据题意,得y=1200×3x+800×2×3·+5800×12=5800×12+3600≥5800×12+3600×2×4=98400,当且仅当x=4时取“=”.
答:当房屋的地面设计成两边长分别为4m(为正面上的边长),3m的矩形时,总造价最低为98400元.
【例3】 (教材P100例4 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图,一份印刷品的排版面积(矩形)为A,它的两边都留有宽为a的空白,顶部和底部都留有宽为b的空白.如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最少 (见学生用书课堂本P66)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[规范板书] 解 设排版矩形的长和宽分别是x, y,则xy=A,
纸张的面积为S=(x+2a)(y+2b)=xy+2bx+2ay+4ab≥xy+2+4ab=A+4+4ab=,
当且仅当2bx=2ay,即时,S有最小值,此时纸张的长和宽分别为+2a和+2b.
答:当纸张的长和宽分别为+2a和+2b时,纸张的用量最少.
[题后反思] 一是对题意要理解, ( http: / / www.21cnjy.com )用量最少,即对一张纸而言,面积越小越好;二是题中的量较多,解题时,一定要理解哪些是定量,哪些是变量.同时解决此类问题,必须要细致、有耐性.
*【例4】 一个由17辆汽车组成的车队,每辆车车长为5m.当车队以vkm/h的速度行驶时,相邻两辆车之间的车距至少为m,现车队要通过一座长为140m的大桥,问:车速v为多少时,车队通过大桥所用的时间最少 最少需要多少分钟
[规范板书] 解 设车队通过大桥所用的时间为tmin,则由题意可知车队的速度为m/min.
∴ t==≥×2×6=,
当且仅当=,即v=时取“=”.
答:当车速v=km/h时,车队通过大桥所用的时间最少,最少需要min.
[题后反思] 将实际问题转化为数学问题,要建立恰当的数学模型,同时也要注意某些量之间的单位关系.
三、 课堂练习
1. 一段长为lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问:这个矩形菜园的长、宽各为多少时面积最大 最大面积是多少
解 设矩形菜园的面积为Sm2,长为xm,则宽为m,且0答:这个矩形菜园的长、宽分别为m和m时,面积最大,为m2.
2. 在直径为d的圆的所有内接矩形中,矩形的最大面积是多少
解 设矩形的长、宽分别为x, y,面积为S,则有x2+y2=d2(x>0, y>0).∵ x2+y2=d2≥2xy, ∴ S=xy≤,当且仅当x=y=时取“=”.
答:矩形的最大面积是.
四、 课堂小结
用数学知识解决实际问题的基本步骤:① 建立目标函数;② 利用数学知识解决数学问题;③ 得出实际问题的解.
第14课时 本章复习(1)
教学过程
一、 知识梳理
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
二、 数学运用
(一) 不等式的解法
【例1】 解下列不等式:
(1) 2+x-x2≥0;
(2) x4-3x2-4≥0.
(见学生用书课堂本P67)
[规范板书] 解 (1) 原不等式转化为x2-x-2≤0,即(x-2)(x+1)≤0, ∴ -1≤x≤2.
∴ 原不等式的解集为[-1, 2].
(2) 原不等式转化为(x2-4)(x2+1)≥0,即(x-2)(x+2)(x2+1)≥0,∴ x≥2或x≤-2.
∴ 原不等式的解集为(-∞, -2]∪[2, +∞).
[题后反思] 解不等式是学习高中数学 ( http: / / www.21cnjy.com )的基本技能之一,它涉及很多领域,尤其是一元二次不等式,必须熟练掌握.解不等式的常规方法:化简,变形(主要是因式分解),从而找出相应的解集.
变式1 若关于x的不等式x2+kx+1<0的解集为,则实数k=-.
[处理建议] 学生思考,交流,教师引导,由学生说出解题的方法.其解题过程如下:由题意知, 2是方程x2+kx+1=0的两个根,∴ 4+2k+1=0, ∴ k=-.
变式2 已知关于x的不等式x2+kx+1<0的解集为 ,则实数k的取值范围是-2≤k≤2.
[处理建议] 由题意知Δ=k2-4≤0, ∴ -2≤k≤2.
变式3 不等式≥2的解集为[-1, 0).
[处理建议] ∵ -2≥0, ∴ ≥0, ∴ ≤0, ∴ -1≤x<0.即原不等式的解集为[-1, 0).
(二) 含参数不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0(a∈R). (见学生用书课堂本P68)
[规范板书] 解 原不等式转化为(x-a)(x+1)<0.
当a<-1时,a当a=-1时,(x+1)2<0,∴ 原不等式的解集为 ;
当a>-1时,-1[题后反思] 解决含参数的一元二次不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式,首先因式分解,寻找对应方程的根,通过根之间的大小关系写出解集.如果不能分解因式,那么一般情况下从判别式入手.
变式1 解关于x的不等式:x2-ax+1>0(a∈R).
[规范板书] 解 Δ=a2-4=(a-2)(a+2).
当Δ>0,即a>2,或a<-2时,方程x2-ax+1=0有两个不相等的实根,,∴ 原不等式的解集为-∞, ∪, +∞;
当Δ=0,即a=±2时,方程x2-ax+1=0有两个相等的实根,∴ 原不等式的解集为-∞, ∪, +∞;
当Δ<0,即-2变式2 若关于x的不等式ax2+x-1>0的解集为 ,则实数a的取值范围是a≤.
[处理建议] 由题意得解得a≤-.
变式3 若关于x的不等式ax2-ax+1>0恒成立,则实数a的取值范围是0≤a<4.
[处理建议] 由题意得原不等式的解集为R,所以a=0或解得0(三) 线性规划思想方法的应用
【例3】 已知-1≤a+c≤5, -1≤a-c≤3,求3a-2c的取值范围. (见学生用书课堂本P68)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[规范板书] 解 作出不等式组所表示的平面区域(如图),易知直线3a-2c=t经过点A(-1, 0)时,3a-2c取最小值-3;直线3a-2c=t经过点C(4, 1)时,3a-2c取最大值10. ∴ -3≤3a-2c≤10.
[题后反思] 二元一次不等式(组)表示平面区域,必须数形结合才能解决问题.
变式 已知函数f(x)=ax2+cx满足-1≤f(1)≤5, -1≤f(-1)≤3,那么f(2)的最大值是18.
[处理建议] 由题意得-1≤a+c ( http: / / www.21cnjy.com )≤5, -1≤a-c≤3,画出平面区域(同上题图),而f(2)=4a+2c,故直线4a+2c=t经过点C(4, 1)时,4a+2c取最大值18.
(四) 一元二次方程的根的问题
*【例4】 设a∈R,已知关于x的一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两个实根x1, x2,且0[规范板书] 解 设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2,则由题意得即解得-2[题后反思] 一元二次方程根的分布,一般情况下从相应的二次函数入手,通过观察图象的特征,写出相关的条件.
三、 课堂练习
1. 不等式>0的解集是.
2. 不等式>2x的解集是.
提示 原不等式等价于x2-2x+4>2x或x2-2x+4<-2x,解得x≠2.
3. 已知不等式4x-2x+1-a≥0在[1, 2]上恒成立,则实数a的取值范围是(-∞, 0].
四、 课堂小结
1. 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系.
2. 应用不等式的性质求解“范围问题”.
第15课时 本章复习(2)
教学过程
一、 数学运用
(一) 不等式的基本性质
【例1】 已知30(1) 求x+y的取值范围;
(2) 求x-2y的取值范围;
(3) 求xy的取值范围;
(4) 求的取值范围. (见学生用书课堂本P69)
[规范板书] 解 (1) ∵ 30(2) ∵ -24<-y<-16, ∴ -48<-2y<-32, ∴ -18(3) ∵ 30(4) ∵ <<, ∴ <<.
[题后反思] 了解不等式的基本性质:同向不等式可以相加;正的同向不等式可以相乘.本题亦可用线性规划的方法加以研究.
变式 设实数x,y满足3≤xy2≤8, 4≤≤9,则的最大值是27.
[处理建议] 因为∈[16, 81], ∈,所以=·∈[2, 27],所以的最大值是27.本题亦可先取对数,再用线性规划法去处理.
(二) 不等式中“1”的代换方法
【例2】 已知x>0, y>0,且+=1,求x+y的最小值. (见学生用书课堂本P69)
[规范板书] 解 ∵ x>0, y>0, ∴ x+y=(x+y)=10++≥16,当且仅当时取“=”.∴ 当时,x+y有最小值16.
[题后反思] 运用基本不等式求最值,要注意变形、拆项、凑项,最终形成“和定”或“积定”的条件.
变式1 若x, y都是正实数,且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为18.
[处理建议] ∵ 2x+8y-xy=0, ∴ +=1, ∴ x+y=(x+y)=10++≥18,当且仅当时取“=”.∴ 当时,x+y有最小值18.
变式2 若x, y都是正实数,且2x+8y-xy+9=0,则xy的最小值为81.
[处理建议] ∵ x, y都是正实数,且2x+8y-xy+9=0,∴ xy-9=2x+8y≥8, ∴ xy-8-9≥0,解得≥9,当且仅当时取“=”.∴ 当时,xy有最小值81.
(三) 含参数的一元二次不等式常用处理方法
【例3】 当x∈(1, 2)时,不等式x2+mx+4>0恒成立,求实数m的取值范围. (见学生用书课堂本P70)
[规范板书] 解法一 设f(x)=x2+mx+4,则由题意得或或
解得m≥-4.
解法二 ∵ x∈(1, 2),∴ 由x2+mx+4>0得m>-,即m>-在x∈(1, 2)时恒成立,而x+>4, ∴ -<-4,∴ m≥-4.
[题后反思] 解决恒成立问题,经常转化为最值问题.本题第一种方法,转化为二次函数的最小值大于0即可;而第二种方法,先分离参数,然后再寻找-的上界(与寻找最大值本质相同).
变式 当x∈[1, 2]时,不等式mx2+x+4>0恒成立,求实数m的取值范围.
[规范板书] 解 原不等式可化为m>--.
令=t,则t∈,
由m>-4t2-t恒成立,得m>(-4t2-t)max,
而-4t2-t=-4+≤-, ∴ m>-.
(四) 基本不等式的其他应用
*【例4】 已知二次函数f(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0, +∞),求+的最小值.
[处理建议] 找出a与c之间的关系及其值的符号,将所求式变形后利用基本不等式求解.
[规范板书] 由值域可知该二次函数的图象开口向上(a>0),且函数的最小值为0, ∴ =0,从而c=>0, ∴ +=+≥2×4+2=10,当且仅当即a=时取“=”.故所求的最小值为10.
二、 课堂练习
1. 已知x>1, y>1,且lgx+lgy=4,那么lgx·lgy的最大值是 4 .
2. 函数y=log2(其中x>1)的最大值是1.
3. 设x>0, y>0,且xy-(x+y)=1,则x+y的取值范围是[2+2, +∞).
4. 若不等式2x-1>m(x2-1)对满足≤2的所有m都成立,求实数x的取值范围.
解 记f(m)=m-,由题意知解得三、 课堂小结
1. 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系.
2. 应用不等式的性质求解“范围问题”.
3. 基本不等式及其成立条件,应用基本不等式证明或求解最值.
第1课时 不等关系
教学过程
一、 问题情境
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较,反映在数量关系上就是相等与不等两种情况.例如:
问题1 某博物馆的门票每位10元,20人以上(含20人)的团体票8折优惠.那么不足20人时,应该选择怎样的购票策略
问题2 某杂志以每本2元的价格发行时,发 ( http: / / www.21cnjy.com )行量为10万册.经过调查,若价格每提高0.2元,发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内
问题3 下表给出了X,Y, Z三种食物的维生素含量及成本:
维生素A(单位/kg) 维生素B(单位/kg) 成本(元/kg)
X 300 700 5
Y 500 100 4
Z 300 300 3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食 ( http: / / www.21cnjy.com )品,要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B,设X, Y这两种食物各取xkg, ykg,那么x, y应满足怎样的关系
思考 用怎样的数学模型刻画上述问题
二、 数学建构
(一) 生成概念
在问题1中,设x人(x<20)买20人的团体票不比普通票贵,则有8×20≤10x.
在问题2中,设每本杂志价格提高x元,则发行量减少0.5×=万册,杂志社的销售收入为(2+x)·万元.根据题意,得(2+x)>22.4,化简,得5x2-10x+4.8<0.
在问题3中,食物X, Y各取xkg, ykg,则食物Z取(10-x-y)kg,则有即
上面的例子表明,我们可以用不等式(组)来刻 ( http: / / www.21cnjy.com )画不等关系.表示不等关系的式子叫做不等式,常用“<”,“>”,“≤”,“≥”,“≠”等表示不等关系.
(二) 理解概念
1. 建立不等式模型:通过具体情境,对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析,找出其中的不等关系,并由此建立不等式.
问题1中的数学模型为一元一次不等式,问题2中的数学模型为一元二次不等式,问题3中的数学模型为线性规划问题.
2. 比较两个实数大小的方法——作差比较法:
比较两个实数a与b的大小, ( http: / / www.21cnjy.com )归结为判断它们的差a-b的符号;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号.
三、 数学运用
【例1】 某钢铁厂要把长度为4000m ( http: / / www.21cnjy.com )m的钢管截成500mm和600mm两种,按照生产的要求,所截600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍.试写出满足题意的不等关系. (见学生用书课堂本P41)
[规范板书] 解 假设所截500mm钢管x根,600mm钢管y根.根据题意,应有如下的不等关系:
[题后反思] 关键是找出题目中的限制条件,利用限制条件列出不等关系.
【例2】 某校学生以面粉和大米为主 ( http: / / www.21cnjy.com )食.已知面食每100克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位;米饭每100克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位.某快餐公司给学生配餐,现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克,试写出x, y所满足的条件. (见学生用书课堂本P41)
[规范板书] 解 x, y所满足的条件为
[题后反思] (1) 不等式(组) ( http: / / www.21cnjy.com )是刻画不等关系的数学模型;(2) 建立不等式(组)模型的基本思路:① 找出不等关系;② 语言化不等关系;③ 设变量后,数量化不等关系,即列出不等式(组).
【例3】 比较大小:
(1) (a+3)(a-5)与(a+2)(a-4);
(2) 与(其中b>a>0,m>0).
(见学生用书课堂本P42)
[处理建议] 此题属于两个代数式比较大小的问 ( http: / / www.21cnjy.com )题,实际上是比较它们的值的大小,可以先作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
[规范板书] 解 (1) ( http: / / www.21cnjy.com )∵ (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,∴ (a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).
(2) -==,∵ b>a>0, m>0, ∴ >0, ∴ >.
[题后反思] 不等式>(b>a>0, m>0)在生活中可以找到原型:bg糖水中有ag糖(b>a>0),若再添加mg糖(m>0),则糖水就更加甜了.
变式 建筑学规定,民用住 ( http: / / www.21cnjy.com )宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户的面积与地板的面积之比应不小于10%,并且这个比越大,住宅的采光条件越好,若同时增加相等的窗户面积和地板面积,则住宅的采光条件是变 好 .(填“好”或“坏”)
*【例4】 已知x>2,试比较x3+11x与6x2+6的大小.
[规范板书] 解 x3+11x-(6x ( http: / / www.21cnjy.com )2+6)=x3-3x2-3x2+11x-6=x2(x-3)+(-3x+2)(x-3)=(x-3)(x-2)(x-1) (*).
(1) 当x>3时,(*)式大于0,所以x3+11x>6x2+6;
(2) 当x=3时,(*)式等于0,所以x3+11x=6x2+6;
(3) 当2
四、 课堂练习
1. 铁路旅行规定:旅客每人免费 ( http: / / www.21cnjy.com )携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160cm.设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a, b, c(单位:cm),则这个规定用数学关系式表示为 (C)
A. a+b+c<160
B. a+b+c>160
C. a+b+c≤160
D. a+b+c≥160
2. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来 ( http: / / www.21cnjy.com )多19km,那么在8天内它的行程就超过2200km;如果它每天行驶的路程比原来少12km,那么它行驶同样的路程就得花9天多时间,这辆汽车原来每天行程的千米数x满足的条件是256
3. 某地每年消耗木材约20万立方米,每立方米价格为480元.为了减少木材消耗,决定按t%征收木材税,这样每年的木材消耗量就减少t万立方米,为了既减少木材消耗又保证每年税金收入不少于180万元,则t应满足的条件是480××t%≥180.
4. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出\路口A, B, C的机动车辆数如图所示,图中x1, x2, x3分别表示该时段单位时间通过路段, , 的机动车辆数(假设单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 (C)
A. x1>x2>x3 B. x1>x3>x2
C. x2>x3>x1 D. x3>x2>x1
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
五、 课堂小结
1. 通过具体情境建立不等式模型.
2. 比较两个代数式大小的方法:作差比较法.
第2课时 一元二次不等式(1)
教学过程
一、 问题情境
在上一节课“不等关系”的问题2中,我 ( http: / / www.21cnjy.com )们得到不等式5x2-10x+4.8<0,像这样只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.
我们知道,一元二次方程和相应的二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )有着密切的联系,一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.那么,一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系
二、 数学建构
问题 当x是什么实数时,函数y=5x2-10x+4.8的值是(1) 0 (2) 正数 (3) 负数
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
通过观察函数y=5x2-10x ( http: / / www.21cnjy.com )+4.8的图象(如图1),可以看出,一元二次不等式5x2-10x+4.8<0的解集就是二次函数y=5x2-10x+4.8的图象(抛物线)位于x轴下方的点所对应的x值的集合.
因此,求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程,确定抛物线与x轴交点的横坐标,再根据图象写出不等式的解集.
第一步:解方程5x2-10x+4.8=0,得x1=0.8, x2=1.2;
第二步:画出抛物线y=5x2-10x+4.8的草图;
第三步:根据抛物线的图象,可知5x2-10x+4.8<0的解集为{x|0.8
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异实根x1, x2(x1
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1
【例1】 (1) 不等式x2+2x-15<0的解集是;
(2) 不等式-x2+3x+2<6x-2的解集是;
(3) 不等式x2+2x+4≥0的解集是R;
(4) 不等式>3的解集是 .
(见学生用书课堂本P43)
【例2】 已知关于x的不等式mx2+2x+6m>0.
(1) 若此不等式的解集为{x|2
(3) 若此不等式的解集为R,求实数m的取值范围;
(4) 若此不等式的解集为 ,求实数m的取值范围. (见学生用书课堂本P43)
[规范板书] 解 (1) 由题可知2, 3是方程mx2+2x+6m=0的两个实数根,且m<0,所以m=-.
(2) 由题可知m>0且Δ=4-24m2=0,所以m=.
(3) 由题可知m>0且Δ=4-24m2<0,所以0
【例3】 解下列关于x的不等式:
(1) x2-(a+a2)x+a3>0;
(2) a(x-a)(x+2a)<0.
(见学生用书课堂本P44)
[处理建议] 要对参数a进行分类讨论.
[规范板书] 解 (1) x2-(a+a2)x+a3=.
① 若a=0,则原不等式的解集为;
② 若a=1,则原不等式的解集为;
③ 若a<0或a>1,则a
(2) ① 若a=0,则原不等式的解集为 ;
② 若a>0,则原不等式的解集为x-2a
*【例4】 解关于x的不等式:2x2+ax-a≤0.
[规范板书] 解 Δ=a2+8a=a.
(1) 当Δ>0,即a<-8或a>0时,原不等式的解集为;
(2) 当Δ=0,即a=-8或a=0时,原不等式的解集为;
(3) 当Δ<0,即-8
① 判号:检查二次项系数a是否为正,若为负值,则利用不等式性质转化为正值;
② 求根:计算判别式Δ,求出相应方程的实数根;
③ 标根:在数轴上标出所得的实数根(注意两实数根的大小顺序,特别是当实数根中含有字母系数时),并画出开口向上的抛物线的示意图;
④ 写解集:根据示意图及其一元二次不等式的几何意义写出解集.
(2) 当一元二次不等式的二次项系数含有字母系数时,不能忽略二次项系数为零的特殊情形.
(3) 不等式的解集要用集合或区间表示.
四、 课堂练习
1. 下列不等式中,解集为 的是 (D)
A. 2x2-3x+2>0 B. x2+4x+4≤0
C. 4-4x-x2<0 D. -2+3x-2x2>0
2. 已知集合A=, B=,则A∩B的子集有16个.
3. 若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a-b=-10.
4. 若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解是x<-2或x>-,则关于x的不等式cx2-bx+a>0的解是
1. 解一元二次不等式的步骤.
2. 当一元二次不等式的二次项系数含有字母时,不能忽略二次项系数为零的特殊情形.
3. 不等式的解集要用集合或区间表示.
第3课时 一元二次不等式(2)
教学过程
一、 数学建构
1. 同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式.
2. 同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形.
过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母 ( http: / / www.21cnjy.com )、去括号、移项、合并同类项等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解.解一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式的实质是利用同解变形进行转化.
3. (1) >0 f(x)g(x)>0.
(2) <0 f(x)g(x)<0.
(3) ≥0
(4) ≤0
4. 简单的一元高次不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )的求解方法:先因式分解,再采用“数轴标根法”,其具体步骤如下:① 化一边为零且让最高次项系数为正;② 把根标在数轴上;③ 右上方向起画曲线,让曲线依次穿过标在数轴上的各个根(重根问题处理原则是“奇过偶不过”);④ 根据“大于0在上方,小于0在下方”写出解集.
如:把不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)>0(其中x1
所以不等式的解集为{x|x
5. 一元分式不等式的求解方法:采用“数轴标根法”,其步骤如下:移项、通分、化整式、采用“数轴标根法”求解.
注意:① “数轴标根法”的本质是考虑各 ( http: / / www.21cnjy.com )因式的符号,对于偶次因式,要单独考虑此因式的值能否为零,而奇次因式的符号与一次因式的符号是相同的;② 如果不等式的一端非零,那么要先移项进行因式分解,再判断符号,其中因式分解要彻底.
二、 数学运用
【例1】 解下列不等式:
(1) <0;
(2) (x+2)2(x-1)3(x+1)(x-2)<0. (见学生用书课堂本P45)
[处理建议] 可由学生思考、交流并展示,教师点评.
[规范板书] 解 (1) 原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集:
① ②
解①得1
变式 若将第(2)小题改为(x+2)2(x-1)3(x+1)(x-2)≤0,又将如何求解
[处理建议] 原不等式等价于(x-1)(x+1)(x-2)≤0,然后利用数轴标根法可求解.
【例2】 解下列不等式:
(1) <0;
(2) >1. (见学生用书课堂本P46)
[规范板书] 解 (1) 原不等式等价于(x2-5x+6)(x2-3x-4)<0,即(x+1)(x-2)(x-3)(x-4)<0.
令(x+1)(x-2)(x-3)(x-4)=0,可得零点为-1, 2, 3或4,它将数轴分成5个部分(如图).
(例2(1))
由数轴标根法可得所求不等式的解集为{x|-1
(例2(2))
如图,由数轴标根法可得所求不等式的解集为{x|x<-1或1
【例3】 解下列不等式:
(1) 3x+1+18×3-x>29;
(2) log(x-3)(x-1)≥2. (见学生用书课堂本P46)
[规范板书] 解 (1) 原不等式可化为3×32x-29×3x+18>0,即(3x-9)(3×3x-2)>0,解得3x>9或3x<,∴ x>2或x
解①得4
(1) 求函数f(x)的解析式;
(2) 设k>1,解关于x的不等式:f(x)<.
[规范板书] 解 (1)由题意得解得∴ f(x)=.
(2) 由题意可知<,即<0,它等价于(x-2)(x-1)(x-k)>0.
当1
当k>2时,可得原不等式的解集为(1, 2)∪(k, +∞).
[题后反思] 含有参变量的不等式,要注意分类讨论.
三、 课堂练习
1. 不等式(x2-4)(x2-3x-4)>0的解集是∪∪.
2. 不等式<+1的解集是∪.
3. 不等式<的解集是.
四、 课堂小结
1. 一元一次不等式和一元二次不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式的解法是解各类不等式的基础,要予以高度重视,尤其把握好一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正值;二是确定一元二次不等式对应的一元二次方程根的情况(由判别式来确定);三是结合对应二次函数的图象写出不等式的解集.
2. 解一元高次不等式的方法与步骤:
方法:数轴标根法.
步骤:① 化一边为零且让最高次项系数为 ( http: / / www.21cnjy.com )正;② 把根标在数轴上;③ 右上方向起画曲线,让曲线依次穿过标在数轴上的各个根;④ 根据“大于0在上方,小于0在下方”写出解集.
注意:重根问题处理原则是“奇过偶不过”;分式不等式转化为高次不等式求解.
3. 关于指数不等式、对数不等式等一些特殊不等式的求解,转化是一方面,借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段.
第4课时 一元二次不等式(3)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知关于x的不等式x2-mx+n≤0的解集是{x|-5≤x≤1},求实数m, n的值.
(见学生用书课堂本P47)
[规范板书] 解 ∵ 不等式x2-mx+n≤0的解集是{x|-5≤x≤1},∴ x1=-5, x2=1是方程x2-mx+n=0的两个实数根,由韦达定理知∴
变式 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2
[规范板书] 解 由题意得即代入不等式cx2-bx+a>0,得6ax2+5ax+a>0(a<0),即6x2+5x+1<0,∴ 所求不等式的解集为.
【例2】 已知关于x的一元二次不等式(m-2)x2+2(m-2)x+4>0的解集为R,求实数m的取值范围. (见学生用书课堂本P47)
[规范板书] 解 由题意可知m≠2.∵ ( http: / / www.21cnjy.com )(m-2)x2+2(m-2)x+4>0的解集为R,即二次函数y=(m-2)x2+2(m-2)x+4的值恒大于零,
∴ 即即∴ m的取值范围为{m|2
① 已知二次函数y=(m-2)x2+2(m-2)x+4的值恒大于等于零,求m的取值范围.
② 已知一元二次不等式(m-2)x2+2(m-2)x+4≤0的解集为 ,求m的取值范围.
③ 若不等式(m-2)x2+2(m-2)x+4≤0的解集为 ,求m的取值范围.
(2) 总结归纳:
一元二次不等式恒成立的情况小结:
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立
变式 设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1) 若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;
(2) 若对于m∈[-2, 2], f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围.
[规范板书] 解 (1) 由f(x)<0恒成立,知m=0,或m<0且Δ=m2+4m<0,解得-4
(见学生用书课堂本P48)
[规范板书] 解 ∵ y=中自变量x的取值范围是R,∴ x2+2kx+k≥0恒成立,∴ Δ=4k2-4k≤0, ∴ 0≤k≤1.
变式 若将例3中的函数改为y=,如何求k的取值范围
[规范板书] 解 ∵ y=中自变量x的取值范围是R, ∴ x2+2kx+k>0恒成立,∴ Δ=4k2-4k<0, ∴ 0
[规范板书] 解 原不等式可化为( ( http: / / www.21cnjy.com )x2-1)m+(1-2x)<0.设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),这是一个关于m的一次函数(或常数函数),从图象上看,要使f(m)<0在-2≤m≤2时恒成立,其等价条件如下:
即解得
变式 对一切实数x∈,函数f=lg都有意义,求实数a的取值范围.
[规范板书] 解 只需-a<+对一切实数x∈恒成立,因为g=+在上为单调减函数,所以g≥g=,故a>-.
[题后反思] 等价转化是把未知解的问 ( http: / / www.21cnjy.com )题转化到在已有知识范围内可解的问题,它是一种重要的思想方法.通过不断的转化,可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单化的问题.恒成立问题是高考考查的一种重要题型,数形结合与分离参量是解决恒成立问题的有效方法.
二、 课堂练习
1. 若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则实数a的最小值是-.
提示 由题意可知-a≤x+对一切x∈恒成立,所以-a≤,所以a≥-.
2. 若关于x的不等式2x2-8x-4-a>0在1
提示 由题意知a2-a<+对一切x∈恒成立,而g(x)=+在上是单调减函数,所以a2-a<,所以-
提示 由题可知解得a>.
三、 课堂小结
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知 ( http: / / www.21cnjy.com )识范围内可解的问题,它是一种重要的思想方法.通过不断地转化,可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单化的问题.恒成立问题是高考考查的一种重要题型,数形结合与分离参量是解决恒成立问题的有效方法.
第5课时 二元一次不等式表示的平面区域
教学过程
一、 问题情境
(教材P73引例(3))
下表给出了X, Y, Z三种食物的维生素含量及成本:
维生素A(单位/kg) 维生素B(单位/kg) 成 本(元/kg)
X 300 700 5
Y 500 100 4
Z 300 300 3
某人欲将这三种食物混合成 ( http: / / www.21cnjy.com )100kg的食品,要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B,设X, Y这两种食物各取xkg, ykg,那么x, y应满足怎样的关系
解 ∵ X, Y这两种食物分别取xkg, ykg, ∴ 食物Z取(100-x-y)kg,则有
即
又∵ x≥0, y≥0, 100-x-y≥0, ∴ (介绍二元一次不等式的概念)
探究:进一步地,x, y如何取值才能使总成本W最小呢 如何解决该问题
因此,问题转化为在以上不等式组约束条件下,求W=5x+4y+3(100-x-y)=2x+y+300的最小值问题.
要解决以上问题,我们首先要了解二元一次不等式的几何意义.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 坐标满足二元一次方程x+y-2=0的点组成的图形是一条直线l,怎样才能快速准确地画出直线l呢
(描两点连成线.例如:该直线经过点A(2, 0)和B(0, 2),画出经过A, B两点的直线即为所求)
问题2 怎样判断点(1, 3)在不在直线l上呢
(点的坐标满足直线的方程,则点在直线上;点的坐标不满足直线的方程,则点不在直线上)
问题3 坐标满足不等式x+y-2>0的点是否在直线l上呢 这些点在哪儿呢 与直线l的位置有什么关系呢
(通过代特殊点的方法,检验 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标满足不等式x+y-2>0的点的位置,并猜想出结论:坐标满足不等式x+y-2>0的点在直线x+y-2=0的上方.教师可以用几何画板验证以上结论的正确性)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
进一步验证通过问题3得到的结论的正确性:
如图1,在直线x+y-2=0的上方任取一点 ( http: / / www.21cnjy.com )P(x, y),过点P作平行于y轴的直线交直线x+y-2=0于点A(x, -x+2).∵ 点P在直线x+y-2=0的上方,∴ 点P在点A的上方,∴ y>-x+2,即x+y-2>0.∵ 点P为直线x+y-2=0上方的任意一点,∴ 对于直线x+y-2=0上方的任意点(x, y)都有y>-x+2,即x+y-2>0.
同理,对于直线x+y-2=0下方的任意点(x, y)都有y<-x+2,即x+y-2<0.
又∵ 平面上任意一点不在直线x+y-2=0上 ( http: / / www.21cnjy.com ),即在直线x+y-2=0上方或下方,因此,满足不等式x+y-2>0的点在直线x+y-2=0的上方,我们称不等式x+y-2>0表示的是直线x+y-2=0上方的平面区域;同样,我们称不等式x+y-2>0表示的是直线x+y-2=0下方的平面区域.于是得出以下结论:
一般地,直线y=kx+b把平面分成两个区域(如图2):y>kx+b表示直线上方的平面区域;y
(图2)
(二) 理解概念
1. y≥kx+b表示直线及直线上方的平面区域;y≤kx+b表示直线及直线下方的平面区域.
2. 对于不含边界的区域,要将边界画成虚线.
(三) 巩固概念
问题4 不等式2x-y+3>0表示的是直线2x-y+3=0的上方平面区域还是下方平面区域
(不等式2x-y+3>0等价于y<2x+3,所以不等式2x-y+3>0表示的是直线2x-y+3=0的下方平面区域)
三、 数学运用
【例1】 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域(用“上方”或“下方”填空):
(1) 不等式y>-+3表示直线y=-+3上方的平面区域;
(2) 不等式x+2y-3>0表示直线x+2y-3=0上方的平面区域;
(3) 不等式x-2y>0表示直线x-2y=0下方的平面区域;
(4) 不等式x+y<0表示直线x+y=0下方的平面区域.
(见学生用书课堂本P49)
[处理建议] 二元一次不等式Ax+By+C> ( http: / / www.21cnjy.com )0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.可以用“选点法”确定具体区域:任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若满足,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一侧为所求的平面区域.
【例2】 (教材P82例1)画出下列不等式所表示的平面区域:
(1) y>-2x+1; (2) x-y+2>0.
(见学生用书课堂本P49)
[规范板书] 解 (1)、(2)两个不等式所表示的平面区域如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
(例2)
【例3】 (教材P83例2)将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来(其中图(1)中的区域不包括y轴):
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)
(例3)
(见学生用书课堂本P50)
[规范板书] 解 (1) x>0. (2) 6x+5y≤22. (3) y>x.
【例4】 若原点和点(1, 1)在直线x+y-a=0的两侧,求实数a的取值范围. (见学生用书课堂本P50)
[处理建议] 将点(0, 0)和(1, 1)的坐标分别代入x+y-a中,并且所得的符号相反,即-a·(2-a)<0, ∴ 0
[处理建议] 由题意可得2×1+3+m2×-4-2+m>0,即>0, ∴ m<-5或m>10.
*【例5】 (1) 若点(-2, t)在直线2x-3y+6=0的下方区域,求实数t的取值范围.
(2) 若点(0, 0)在直线3x-2y+a=0的上方区域,则点(1, 3)在此直线的下方区域还是上方区域
[规范板书] 解 (1) ∵ 直线2x-3y+6=0下方区域内的点的坐标满足y
又∵ ×1+-3=<0,∴ 点(1, 3)在此直线的上方区域.
四、 课堂练习
1. 判断下列命题是否正确:
(1) 点(0, 0)在平面区域x-y≥0内;
(2) 点(0, 0)在平面区域x+2y+1<0内;
(3) 点(1, 1)在平面区域y>3x内;
(4) 点(1, 1)在平面区域x-2y+1>0内.
解 (1) 正确; (2) 错误; (3) 错误; (4) 错误.
2. 不等式2x+3y-19≥0表示直线2x+3y-19=0 (C)
A. 上方的平面区域
B. 下方的平面区域
C. 上方的平面区域(包括直线)
D. 下方的平面区域(包括直线)
3. 用“上方”或“下方”填空:
(1) 若k>0,不等式y>kx+b表示的区域是直线y=kx+b的上方,不等式y
1. 二元一次不等式的几何意义.
2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定.
第6课时 二元一次不等式组表示的平面区域
教学过程
一、 问题情境
在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线Ax+By+C=0分成三类:
(1) 在直线Ax+By+C=0上的点;
(2) 在直线Ax+By+C=0上方区域内的点;
(3) 在直线Ax+By+C=0下方区域内的点.
其中,对于在同一区域内的点P1(x1, y1), P2(x2, y2),把它们的坐标分别代入Ax+By+C,所得结果符号相同.
二、 数学建构
1. 二元一次不等式表示的平面区域的判断方法:选点法.
在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,因为在同一侧的所有点的坐标代入Ax+By+C所得结果符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0)代入Ax+By+C,通过Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)
2. 不等式组表示的平面区域:不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.
三、 数学运用
【例1】 画出不等式组所表示的平面区域. (见学生用书课堂本P51)
[规范板书] 解 不等式x- ( http: / / www.21cnjy.com )y+5≥0表示直线x-y+5=0及其下方的平面区域,x+y≥0表示直线x+y=0及其上方的平面区域,x≤3表示直线x=3及其左边的平面区域.所以这三个平面区域的公共部分即为原不等式组所表示的平面区域(如图).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
[题后反思] 如何寻找满足不等式组的整数解
变式 在平面直角坐标系中,满足不等式x2-y2≥0的点(x, y)的集合(用阴影部分表示)是 ② .(填序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
[题后反思] ① x2-y2≥0 y2≤x2 |y|≤|x|.② 二元一次不等式y>kx+b表示直线y=kx+b的上方区域;二元一次不等式y
【例2】 (1) 若不等式组所表示的平面区域是一个三角形,则实数a的取值范围是 (C)
A. a<5 B. a≥7
C. 5≤a<7 D. a<5或a≥7
(2) 设集合M={(x, y)|x, y, 1-x-y分别是某个三角形的三边长},则M所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 (A)
( http: / / www.21cnjy.com )
(见学生用书课堂本P5152)
[处理建议] 学生思考、交流并展示,教师点评.对于第(1)题,可以通过其图形来解决;对于第(2)题,M==.
*【例3】 (1) 在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是 4 .
(2) 在平面直角坐标系xOy中 ( http: / / www.21cnjy.com ),已知平面区域A={(x, y)|x+y≤1,且x≥0, y≥0},则平面区域B={(x+y, x-y)|(x, y)∈A}的面积为 1 .
[处理建议] (1) 由题可知不等式组所表示的平面区域为△ABC(如图),则S△ABC==4.(2) 令
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3(1))
则平面区域B={(x+y, x-y)|(x, y)∈A}=,画出其所表示的平面区域(三角形),求得其面积为1.
四、 课堂练习
1. 已知直线ax+by+1=0,则不等式ax+by+1>0表示的平面区域可能为③.(填序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
2. 不等式(x+y)(x-2y-4)≤0表示的平面区域是②.(填序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
3. 已知点P(0, 0), Q(1, 0), R(2, 3), S(3, 0),则在不等式组所表示的平面区域内的点是R, S.
4. 若不等式ax+(2a-1)y+1<0表示直线ax+(2a-1)y+1=0的下方区域,则实数a的取值范围为a>.
提示 因为直线ax+(2a―1)y+1=0恒过定点(―2, 1),而点(―2, 0)显然在点(―2, 1)的下方,故它应满足不等式,将点(―2, 0)代入不等式,即得―2a+1<0,所以a>.(其实本题可以从不等式的特点直接得到2a-1>0)
五、 课堂小结
1. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有 ( http: / / www.21cnjy.com )多种方法,常用的一种方法是“选点法”:任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若满足,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一侧为所求的平面区域.
2. 不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.
第7课时 简单的线性规划问题(1)
教学过程
一、 问题情境
探究下面的一个问题:
设t=2x+y,式中变量x, y满足下列条件如何求t的最大值和最小值
二、 数学建构
现在我们来解决上述问题,从变量x,y所 ( http: / / www.21cnjy.com )满足的条件看,变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC(如图1).
作一组与直线l0:2x+y=0平行的直线l:2x+y=t, t∈R(或平行移动直线l0),如图1.
在经过不等式组所表示的平面区域AB ( http: / / www.21cnjy.com )C内的点且平行于l的直线中,以经过点B(5, 2)的直线l2所对应的t值最大,以经过点A(1, 1)的直线l1所对应的t值最小.所以tmax=2×5+2=12, tmin=2×1+3=3.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
诸如上述问题中,不等式组是一组对 ( http: / / www.21cnjy.com )变量x,y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x, y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件(注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示).t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x, y的解析式,我们把它称为目标函数.
一般地,求目标函数在线性约束条件下的最 ( http: / / www.21cnjy.com )大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.例如:我们刚才研究的就是求目标函数t=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,即为线性规划问题.
那么,满足线性约束条件的解(x, ( http: / / www.21cnjy.com )y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(即约束条件所表示的平面区域).在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解(5, 2)和(1, 1)分别使得目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做该线性规划问题的最优解.
三、 数学运用
【例1】 给出下列命题:
① 线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y的值;
② 线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③ 线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④ 线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确的是④.(填序号) (见学生用书课堂本P53)
[处理建议] 学生思考、交流并展示,教师点评.注意对概念的辨析.
【例2】 已知变量x, y满足约束条件求t=2x-y的最大值和最小值.
(见学生用书课堂本P53)
[规范板书] 解 作出可行域(如图).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
作一组与直线l0:2x-y=0平行的直线l:2x-y=t, t∈R(或平行移动直线l0).
在经过可行域内的点且平行于l的直线中,以经过点B(5, 2)的直线l2所对应的t值最大,以经过点C的直线l1所对应的t值最小.
所以tmax=2×5-2=8, tmin=2×1-=-.
【例3】 (1) 已知变量x, y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3, 1)处取得最大值,则实数a的取值范围是(1, +∞);
(2) 已知平面区域D由以A(1, ( http: / / www.21cnjy.com )3), B(5, 2), C(3, 1)为顶点的三角形内部及边界组成.若在区域D内有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值,则实数m=1.
(见学生用书课堂本P54)
[处理建议] (1) 可行域为四边形ABCD(如图),其中A(3, 1), kAD=1, kAB=-1,目标函数z=ax+y(其中a>0)中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小,若仅在点处取得最大值,则斜率应小于kAB=-1,即-a<-1,所以实数a的取值范围为(1, +∞).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3(1))
(2) 依题意,令z=0,可得直线x+my=0的斜率为-.结合可行域可知,当直线x+my=0与直线AC平行时,线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值,而直线AC的斜率为-1,所以m=1.
*【例4】 设实数x, y满足不等式组
(1) 画出点(x, y)所在的平面区域;
(2) 设a>-1,在(1)所求的平面区域内求函数f(x, y)=y-ax的最值.
[规范板书] 解 (1) 原不等式组等价于①或②
满足不等式组①②的点(x, y)所在的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
其中,直线AB:y=2x-5;直线BC:x+y=4;
直线CD:y=-2x+1;直线DA:x+y=1.
(2) f(x, y)=y-ax可表示直线l:y-ax=k在y轴上的截距,且直线l与(1)中所求平面区域有公共点.
∵ a>-1,∴ 当直线l过顶点C时, ( http: / / www.21cnjy.com )f(x, y)=y-ax最大.∵ C点的坐标为(-3, 7), ∴ f(x, y)=y-ax的最大值为7+3a.
如果-1
[题后反思] (1) 由于直线l的斜率含参数a,所以在求截距k的最值时,要注意对参数a进行讨论,方法是将直线l动起来.
(2) 规律总结:
① 用图解法求简单的线性 ( http: / / www.21cnjy.com )规划问题的基本步骤如下:(ⅰ) 根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的平面区域);(ⅱ) 画出经过原点的初始直线l0;(ⅲ) 观察、分析,平移直线l0,从而找到最优解;(ⅳ) 最后求得目标函数的最大值或最小值.
② 已知变量x,y满足约束条件D, ( http: / / www.21cnjy.com )当b>0时,将直线ax+by=0向上平移时,目标函数t=ax+by的值越来越大;当b<0时,将直线ax+by=0向上平移时,目标函数t=ax+by的值越来越小.
四、 课堂练习
1. 在约束条件下,目标函数z=10x+y的最优解是(0, -1), (1, 0).
2. 设变量x, y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为 3 .
3. 设R为平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系上以A(4, 1), B(-1, -6), C(-3, 2)为顶点的三角形区域(包括边界),则z=4x-3y的最大值为13,最小值为-18.
4. 如图所示的坐标平面上的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数z=2x-ay取得最大值时的最优解有无数个,则实数a的值为-2.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
提示 当目标函数z=2x-ay移动到与直线BC重合时,此时取得最大值且最优解有无数个.
五、 课堂小结
简单的线性规划问题的解法.
第8课时 简单的线性规划问题(2)
教学过程
一、 问题情境
前面我们用图解法解决了一些求线性目标函数最大值、最小值的问题.在现实生活中,我们还会遇到与线性规划有关的哪些类型的问题呢
其实,在生活、生产中经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题,这些问题的解决就需要用到线性规划的知识.
二、 数学运用
【例1】 (教材P88例1)投资生 ( http: / / www.21cnjy.com )产A产品时,每生产100t需要资金200万元,需场地200m2,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产100m需要资金300万元,需场地100m2,可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900m2,问:应作怎样的组合投资,可使获利最大
(见学生用书课堂本P55)
[处理建议] 求解前,先将已知数据整理成下表:
资金(百万元) 场地(百平方米) 利润(百万元)
A产品(百吨) 2 2 3
B产品(百米) 3 1 2
限制 14 9
然后根据此表设未知数,列出约束条件和目标函数,最后作图求解.
[规范板书] 解 设生产A产品x百吨,生产B产品y百米,利润为S百万元,则约束条件为
目标函数为S=3x+2y.作出可行域(如图).将目标函数S=3x+2y变形为y=-x+,这是斜率为-,随S变化的一族直线.是直线在y轴上的截距,当最大时,S最大,但直线要与可行域相交.
由图可知,使3x+2y取得最大值 ( http: / / www.21cnjy.com )的(x, y)是两直线2x+y=9与2x+3y=14的交点(3.25, 2.5).此时S=3×3.25+2×2.5=14.75.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
答:生产A产品325t,生产B产品250m时,利润最大,且最大利润为1475万元.
[题后反思] (1) 线性规划的问题,题中的数据相对要多,因此首先要理清数据(经常借助于表格).
(2) 用数学模型解决实际问题的基 ( http: / / www.21cnjy.com )本步骤:实际问题 数学模型 数学模型的解 实际问题的解.解题的首要条件是建立恰当的数学模型,最后一定要从数学问题回到实际问题中.
(3) 对于有实际背景的线 ( http: / / www.21cnjy.com )性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,其最优解的确定,往往只需要考虑在各个顶点的情形,通过比较,即可得最优解.
【例2】 (教材P89例2)某 ( http: / / www.21cnjy.com )运输公司向某地区运送物资,每天至少运送180t,该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车,有10名驾驶员.每辆卡车每天往返次数为A型车4次,B型车3次.每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元,B型车为504元.试为该公司设计调配车辆方案,使公司花费的成本最低. (见学生用书课堂本P56)
[规范板书] 解 设每天调出A型车x辆,B型车y辆,公司花费成本z元,则约束条件为
目标函数为z=320x+504y.
作出可行域(如图).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
当直线320x+504y=z经过直线4x+5 ( http: / / www.21cnjy.com )y=30与x轴的交点(7.5, 0)时,z有最小值,但是(7.5, 0)不是整点,因此调整为直线320x+504y=z经过点(8, 0).
答:公司每天调出A型车8辆时,花费的成本最低.
[题后反思] 本题是寻找整点最优解问 ( http: / / www.21cnjy.com )题,有点难度,这要求我们要精确作图,并加以推理计算.如果区域内涉及的整点不多时,我们可以一一代入,进行比较找到最优解.
*【例3】 某厂拟生产甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A, B两种设备上加工,在设备A, B上加工一件甲产品所需工时分别为1h, 2h,加工一件乙产品所需工时分别为2h, 1h,A, B两种设备每月有效使用工时数分别为400h/台和500h/台.如何安排生产才能使销售收入最大
[规范板书] 解 设生产甲产品x件,乙产品y件,销售收入为z元,则约束条件为
目标函数为z=3x+2y.
作出可行域(如图).
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
当直线3x+2y=z经过点M(200,100)时,z有最大值,且zmax=3×200+2×100=800.
答:生产甲产品200件,乙产品100件时,销售收入最大.
[题后反思] 本题也是求整点的线性规划问题,但由于交点处是整点,故不需要调整.
三、 课堂练习
1. 若实数x,y满足则x+2y的最大值为14.
提示 借助于例2的图,当直线x+2y=z经过点(6, 4)时,x+2y最大.
2. 若已知实数x, y满足则2x-y的最小值为-.
提示 借助于例1的图,当直线2x-y=z经过点时,2x-y最小.
3. (1) 设实数x, y满足约束条件则z=的最大值为1;
(2) 设实数x, y满足约束条件则的最大值为,最小值为.
4. 设实数x, y满足约束条件则的取值范围是[2, ].
四、 课堂小结
1. 有实际背景的线性规划问题,可行域一般为凸多边形区域,最优解往往出现在凸多形区域的顶点处.
2. 对于最优解是整点的线性规划问题,要注意找整点的方法.
3. 通过本节课的学习,使我们对线性规划有了更深刻的理解,拓宽了我们的视野,让我们体会到线性规划问题在现实生活中具有非常广泛的应用.
第9课时 基本不等式的证明(1)
教学过程
一、 问题情境
把一个物体放在天平的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计),那么a并非物体的实际质量.不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘上,此时称得物体的质量为b.
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 如何合理地表示物体的质量呢
活动1:把两次称得的物体的质量“平均”一下,以表示物体的质量.
活动2:根据力学原理:设天平的两臂长分别为l1, l2,物体实际质量为M,则有l1M=l2a, l1b=l2M,两式相乘再除以l1l2,可得到M=.
(引导学生讨论活动1,2的合理性,并从物理学角度来探讨物体的质量)
问题2 对于正数a, b,我们把称为a, b的算术平均数,称为a, b的几何平均数.那么两个正数a, b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系
活动3:举一些数作试验,初步判断两者的大小关系.
组1 组2 组3 组4 组5
a
b
大小关系
活动4:给予严密的证明.
证法一(比较法):-=[+-2]=≥0,当且仅当=,即a=b时,取“=”.
证法二(分析法):要证≤,只要证2≤a+b,只要证0≤a-2+b,只要证0≤.因为最后一个不等式成立,所以≤成立,当且仅当a=b时取“=”号.
证法三(综合法):对于正数a,b,有≥0 a+b-2≥0 a+b≥2 ≥.
通过讨论,给出基本不等式:如果a,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时取“=”).
(二) 理解概念
1. 基本不等式成立的条件:a,b是正数.(当a≥0, b≥0时,这个不等式仍然成立)
2. 基本不等式证明的方法:比较法,分析法,综合法.
3. 从图形上理解基本不等式:如图1,以a+b为直径作圆,在直径AB上取点C(使得AC=a, BC=b),过C作弦DD'⊥AB,则CD2=CA·CB=ab,从而CD=,而半径≥CD=.基本不等式≤的几何意义是“半径不小于半弦”.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
4. 当且仅当a=b时取“=”的含义:一方面是当a=b时取等号,即a=b =;另一方面是仅当a=b时取等号,即= a=b.
5. (1) 在数学中,我们称为a, b的算术平均数,称为a, b的几何平均数.基本不等式还可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(2) 如果把看做是正数a, b的等差中项,看做是正数a, b的等比中项,那么基本不等式又可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
6. 通过基本不等式还可以推得:
(1) 如果a, b是正数,那么a+b≥2(当且仅当a=b时取“=”);
(2) 如果a, b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
三、 数学运用
【例1】 (教材P98例1)设a, b为正数,证明下列不等式成立:
(1) +≥2;
(2) a+≥2. (见学生用书课堂本P57)
[处理建议] 由学生叙述解题思路或方法,教师板书,强化基本不等式的应用.
[规范板书] 证明 (1) ∵ a, b为正数,∴ , 也为正数,由基本不等式得+≥2=2,∴ 原不等式成立.
(2) ∵ a, 均为正数,由基本不等式得a+≥2=2,∴ 原不等式成立.
[题后反思] 运用基本不等式解决不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式的证明问题,一要注意不等号的方向;二要注意定理运用的条件:a, b都是正数,证明过程中一定要体现这一点!
变式 (教材P99练习第3(1)题)设a>1,求证:a+≥3.
[处理建议] 让学生讨论,给出解题方法,并由学生板书.
[规范板书] 证明 ∵ a>1, ∴ a-1, 均为正数,由基本不等式得a-1+≥2,即a+≥3.
【例2】 已知a, b, c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca. (见学生用书课堂本P57)
[处理建议] 由学生思考讨论,然后进行交流.在解答中,注意纠正学生忽略的问题.
[规范板书] 证明 ∵ a, b, c为两两不相等的实数,∴ a2+b2>2ab, b2+c2>2bc, c2+a2>2ca,将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca, ∴ a2+b2+c2>ab+bc+ca.
[题后反思] 注意不等式“如果a, b∈ ( http: / / www.21cnjy.com )R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)”的运用,此时a, b都是实数,没有正数的要求!第二需要注意的是等号的取舍,由于本题中的“两两不相等”,所以题中的不等号是“>”.
变式 设a, b为实数,求证:a2+b2+2≥2a+2b.
[处理建议] 学生完成,教师点拨即可.
[规范板书] 证明 ∵ a, b为实数,a2+b2+2=(a2+1)+(b2+1)≥2a+2b, ∴ 原不等式成立.
【例3】 图(1)是在北京召开的第24 ( http: / / www.21cnjy.com )界国际数学家大会的会标,该会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.我们把“风车”造型抽象成图(2),在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的边长分别为a, b,那么正方形ABCD的面积为多少 在这个图案中隐藏了什么样的不等关系 (见学生用书课堂本P58)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
(例3)
[处理建议] 由学生思考讨论,然后进行交流.
[规范板书] 解 由题意可知正方形ABCD的边长为,所以它的面积为a2+b2.而四个直角三角形的面积是4×ab=2ab,从而有a2+b2≥2ab.
[题后反思] 本题告诉我们:可以从图形上理解“如果a, b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)”.
*【例4】 求证:>2.
[处理建议] 由学生思考讨论,然后进行交流.在交流中,教师适时点拨.
[规范板书] 证明 ∵ >0,又x2+3≠1, ∴ ≠,∴ ==+>2=2,即>2.
[题后反思] 本题对基本不等式的运用,关键是变形,抓住这一整体进行变形.
四、 课堂练习
1. 证明:x2+4≥4x.
提示 x2+4≥2·x·2=4x.
2. 当m∈(-∞,0)且m≠-1时,证明:m+<-2.
提示 当m∈(-∞,0)且m≠-1时,m+=-(-m)+<-2=-2.
3. 已知a, b, c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
提示 因为a, b, c都是正数,所以a+b≥2>0, b+c≥2>0, c+a≥2>0,从而有(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc.
4. 已知a, b, c, d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
提示 由a, b, c, d都是正数,得≥>0, ≥>0,∴ ≥abcd,即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
五、 课堂小结
1. 算术平均数与几何平均数的概念.
2. 基本不等式及其应用条件.
3. 不等式证明的三种常用方法.
4. 重要的公式:
(1) 如果a, b都是正数,那么≤(当且仅当a=b时取“=”);
(2) 如果a, b都是正数,那么a+b≥2(当且仅当a=b时取“=”);
(3) 如果a, b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
第10课时 基本不等式的证明(2)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知a, b都为正实数,求证:a3+b3≥a2b+ab2. (见学生用书课堂本P59)
[处理建议] 学生思考、交流,教师注意从多角度解决此题.
[规范板书] 证法一 (比较法)(a3+b3 ( http: / / www.21cnjy.com ))-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b), ∵ a, b为两正实数,∴ (a-b)2(a+b)≥0, ∴ (a3+b3)-(a2b+ab2)≥0,即a3+b3≥a2b+ab2.
证法二 (分析法)要证a3+b ( http: / / www.21cnjy.com )3≥a2b+ab2,只要证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b), ∵ a, b为两正实数,∴ 只要证a2-ab+b2≥ab,只要证a2-2ab+b2≥0,只要证(a-b)2≥0.∵ (a-b)2≥0恒成立,∴ a3+b3≥a2b+ab2,即原不等式成立.
证法三 (综合法)由(a-b)2≥ ( http: / / www.21cnjy.com )0得a2-ab+b2≥ab,∵ a, b为两正实数,∴ a+b为正数,∴ (a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b),即a3+b3≥a2b+ab2.
[题后反思] 三种证明方法进 ( http: / / www.21cnjy.com )行对比之后发现,比较法对式子的变形要求较高;分析法本质上是思考问题的一种方法,分析法有助于我们对问题的分析,只是书写格式要注意“要证……,只要证……,只要证……”;而综合法,其实与分析法是统一的,要从源头开始写,而分析法则是究根溯源!
变式 设a, b均为正数,证明:a5+b5≥ab4+a4b.
[规范板书] 证明 (比较法)a5+b5-( ( http: / / www.21cnjy.com )ab4+a4b)=(a5-ab4)+(b5-a4b)=(a-b)(a4-b4)=(a-b)2(a+b)(a2+b2),∵ a,b均为正数,∴ (a-b)2(a+b)(a2+b2)≥0,∴ a5+b5-(ab4+a4b)≥0, ∴ a5+b5≥ab4+a4b.
【例2】 已知a, b, c为两两不相等的正实数,求证:a+b+c>++.
(见学生用书课堂本P60)
[规范板书] 证明 ∵ a, b, c为两两不相等的正实数,∴ >, >, >, ∴ ++>++,∴ a+b+c>++.
[题后反思] 对所要证明的结论进行分析,寻求解题的思路.其实本题用比较法也可以解决!
变式 设a, b, c均为正数,证明:++≥++.
[规范板书] 证明 ∵ a, b, c均为正数,∴ , , 均为正数,∴ +≥2, +≥2, +≥2, ∴ ++≥++.
【例3】 已知a, b都是正数,且a+b=1,求证:+≤. (见学生用书课堂本P60)
[规范板书] 证明 ∵ a, b为正数,∴ 2≤a+b=1.而=a+b+2≤(a+b)+(a+b)=2, ∴ +≤.
[题后反思] 对于正数a, b,在基本不等式中有两种形式a+b, ab,因此解决本题的关键是创造条件ab,然后利用基本不等式!
变式 证明:+≤.
[规范板书] 证明 由题意得0≤x≤1, ∴ x, 1-x均为非负数, ∴ 2≤x+(1-x)=1, ∴ =1+2≤1+1=2, ∴ +≤.
*【例4】 (教材P106复习题第17题) ( http: / / www.21cnjy.com )如图,ABDC为梯形,其中AB=a, CD=b,设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线),KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段,EF表示平行于两底且过点O的线段,MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
试研究线段GH, KL, EF, MN与代数式, , , 之间的关系,并据此得到它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得的结论吗
[规范板书] 解 GH=, KL=, MN=, EF=.
由图可知EF
[题后反思] 了解, , , 这四个代数式之间的关系,可以分别从数与形两个角度加以理解!
二、 课堂练习
1. 设x>1,试比较大小:x5+1>x4+x.
提示 (x5+1)-(x4+x)=(x-1)2(x+1)(x2+1).
2. 已知a>0,试比较大小:≥1.
提示 -1=.
3. 已知a>1,且b>1,试比较大小:logab+logba≥2.
提示 由a>1,且b>1得logab>0, ∴ logab+logba=logab+≥2.
4. 已知a+b=2,则+的最大值是 2 .
提示 =a+b+2≤2(a+b)=4.
三、 课堂小结
1. 基本不等式及其应用条件.
2. 不等式证明的三种常用方法.
第11课时 基本不等式的应用(1)
教学过程
一、 问题情境
前面我们学习了基本不等式,并且利用基本不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )证明了其他不等式的成立.在基本不等式中,我们强调“当且仅当a=b时取‘=’”,那么取“=”时所对应的那个值有什么特殊意义吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
活动1:当正数x, y满足x+y=4时,运用基本不等式,可以得到≤=2,当且仅当x=y=2时取“=”.
此时取“=”时,=2,即2是的最大值,也可以说4是xy的最大值.
活动2:当正数x, y满足xy=4时,运用基本不等式,可以得到≥=2,当且仅当x=y=2时取“=”.
此时取“=”时,=2,即2是的最小值,也可以说4是x+y的最小值.
活动3:将活动1,2所得的结论推广到一般情况:
若正数x,y满足x+y=s,则由≤=,得xy有最大值,此时x=y;
若正数x,y满足xy=p,则由≥=,得x+y有最小值2,此时x=y.
活动4:上述两个结论中,讨论能否将“正数x,y”中的正数改为实数.
(从基本不等式来考虑,两个最值模型均需要“正数”这一条件)
通过讨论,给出两个求最值的模型——最值定理:已知x, y都是正数,
① 如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
② 如果和x+y是定值s,那么当x=y时,积xy有最大值s2.
(二) 理解概念
1. 运用基本不等式求最值是求最值的一种常用方法.
2. 两个求最值的模型的共同条件:x, y都是正数.
3. 两个求最值模型的特征:积为定值,和有最小值;和为定值,积有最大值.也就是说,和与积必有一个为定值.
4. 两个求最值模型中,都是当x=y时才能取到最值.
5. 运用基本不等式求最值,要求“一正二定三相等”.
三、 数学运用
【例1】 (教材P99练习第5题)求函数y=4x2+的最小值,并求函数取最小值时x的值.
(见学生用书课堂本P62)
[规范板书] 解 由题意得x2>0,∴ 由基本不等式得4x2+≥2=12,当且仅当4x2=,即x=±时取“=”.∴ 当x=±时,函数取最小值12.
[题后反思] 学会观察,审题时寻找“和定”或“积定”的条件,运用基本不等式求最值时,要注意说明最值何时取到.
变式1 当x∈时,y=tanx+的最小值为 2 ,此时x=.
变式2 函数y=x+( 0
【例2】 已知函数y=x(9-x), x∈,求此函数的最大值. (见学生用书课堂本P62)
[规范板书] 解 ∵ 0
[题后反思] 与例1相同,寻找“和定”或“积定”的条件,然后运用基本不等式求最值.
变式 已知函数y=x(4-2x), x∈,求此函数的最大值.
[规范板书] 解 ∵ 0
【例3】 (教材P98例2)已知函数y=x+, x∈,求此函数的最小值.
(见学生用书课堂本P62)
[规范板书] 解 ∵ x>-2, ∴ x+2>0.由基本不等式得x+=(x+2)+-2≥2-2=6,当且仅当x+2=,即x=2时取“=”.∴ 当x=2时,函数取得最小值6.
[题后反思] 运用基本不等式求最值时,有时需要我们创造条件,变形后创造“和定或积定”的条件.
变式 求函数y=(x>1)的最小值.
[规范板书] 解 ∵ x>1, ∴ x-1>0.由基本不等式得=x++1=(x-1)++2≥2+2=4,当且仅当x-1=,即x=2时取“=”.∴ 当x=2时,函数取最小值4.
*【例4】 已知0
四、 课堂练习
1. 已知正数a, b满足ab=2,则2a+b的最小值为 4 .
2. 函数y=2x+1+2-x的最小值为 2 .
3. 函数y=(3-x)(2+x), -2≤x≤2的最大值为 .
4. 函数y=sinx++1的最小值为 .
五、 课堂小结
1. 运用基本不等式求最值,要注意“一正二定三相等”.
2. 运用基本不等式求最值,有时需要变形创造定值的条件,要了解常见的几种变形.
3. 利用基本不等式求最值问 ( http: / / www.21cnjy.com )题时,一定要交代等号何时成立,只有等号成立了,才能求得最值,否则要用其他方法.而在证明不等式时,一般不必要交代等号何时成立.
第12课时 基本不等式的应用(2)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知正数x, y满足xy=1,求+的最小值. (见学生用书课堂本P63)
[处理建议] 学生思考、交流,教师注意从多角度分析解决此题.
[规范板书] 解法一 ∵ x, y都是正数,∴ +≥2=2,当且仅当=,即x=y=1时取“=”.∴ 当x=y=1时,+取最小值2.
解法二 (消元法)∵ xy=1, ∴ =x. ∵ x为正数,∴ +=+x≥2=2,当且仅当=x,即x=y=1时取“=”.∴ 当x=y=1时,+取最小值2.
[题后反思] 求最值问题时,经常会遇到二元求 ( http: / / www.21cnjy.com )最值问题,如果在分析题目时,能发现“和定”或“积定”的条件,可以直接利用基本不等式;但如果不能发现我们所需要的条件时,常用的方法是消元,将二元问题转化为一元问题来解决.
变式 已知正数x, y满足xy=1,求+的最小值.
[规范板书] 解 ∵ x, y都是正数,∴ +≥2=2,当且仅当=,即时取“=”.∴ 当时,+取最小值2.
【例2】 (教材P106复习题第16题)若正数x, y满足x+2y=1,求+的最小值.
(见学生用书课堂本P63)
[规范板书] 解 ∵ x>0, y>0,且x+2y=1,
∴ +=+=1++2+=3+≥3+2,
当且仅当即时取“=”.
∴ 当x=-1, y=时,+取最小值3+2.
[题后反思] 充分利用题中的条件x+2y=1,巧妙地构造了, ,从而利用基本不等式就可以解决!从这里可以看出,我们变形的目的往往是构造互为倒数的两个式子.另外,+=+在题中是将分子上的“1”做了一个整体代换,其实也可以换种思路:+=·1=·(x+2y).
变式 已知正数x, y满足+=1,求x+y的最小值.
[规范板书] 解 ∵ x, y是正数,+=1,∴ x+y=(x+y)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即时取“=”.∴ 当时,x+y取最小值9.
【例3】 若x>0,y>0,且x+y=xy,求x+2y的最小值. (见学生用书课堂本P64)
[规范板书] 解法一 由x+y=xy得x=.∵ x>0, y>0, ∴ y>1.
∴ x+2y=+2y=1++2y=2(y-1)++3≥2+3=3+2,
当且仅当即时取“=”.
∴ 当时,x+2取最小值3+2.
解法二 由x+y=xy得+=1. ∵ x>0, y>0,∴ x+2y=(x+2y)=3+≥3+2,
当且仅当即时,取“=”.
∴ 当时,x+2y取最小值3+2.
[题后反思] 变形往往能给我们解题提供意想不到的方法,因此在平时的学习中,我们对题目的变形特征要多加留意.
变式 设0
∴ +=[x+(1-x)]=2++≥2+2=4,当且仅当=,即x=时取“=”.∴ 当x=时,+取最小值4.
*【例4】 (教材P100 ( http: / / www.21cnjy.com )例3)过点(1, 2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A, B两点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.
[规范板书] 解 设点A(a, 0), B(0, b)(a, b>0),则直线l的方程为+=1.由题意知点(1, 2)在直线l上,∴ +=1.
由基本不等式得1=+≥2,∴ ab≥8,当且仅当=,即时取“=”.
∴ S△AOB=ab≥4.
∴ 当△AOB的面积最小时,直线l的方程为+=1,即2x+y-4=0.
[题后反思] 将实际问题转化为数学问题,解题时,一定要注意题目中的条件约束,同时要准确把握目标函数,巧妙运用不等式解决数学问题.
二、 课堂练习
1. 函数y=x+的值域为{y|y≥4或y≤-4}.
2. 函数y=sinx+(0
4. 已知正数a, b满足ab=2,则(a+2)(2b+1)的最小值是 6+4 .
三、 课堂小结
1. 基本不等式及其应用条件.
2. 基本不等式最值定理及其应用条件.
3. 常见的变形:拆、凑、代;变形的目标:积定或和定.
第13课时 基本不等式的应用(3)
教学过程
一、 问题情境
在前面,我们运用基本不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )解决了证明、求最值等一些相关问题,这些问题其实还是数学问题.我们知道,学习数学,是为了用数学知识来解决我们生活中的有关问题,今天我们来体验一下怎样运用不等式解决实际问题.
二、 数学运用
【例1】 (教材P99例1)用长为4a的铁丝围成一个矩形,怎样才能使所围矩形的面积最大
(见学生用书课堂本P65)
[规范板书] 解 设矩形的长为x(0
∴ ≤=a(当且仅当x=2a-x,即x=a时取“=”).
由此可知,当x=a时,S=x(2a-x)有最大值a2.
答:将铁丝围成正方形时面积最大,最大面积为a2.
[题后反思] 应用基本不等式解决实际 ( http: / / www.21cnjy.com )问题,首先要审题,正确理解题意,然后分析题中所给的条件,将实际问题转化为数学模型,再应用基本不等求解.在解题过程中,一定要考虑解的实际意义.另外,此题也可以用二次函数的有关知识来解决.
变式 用长为4a的铁丝围成如图所示的矩形,则所围成图形面积的最大值为多少
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式)
[规范板书] 解 设矩形的一边长为x0
S=x=·x≤·=当且仅当x=-x,即x=时取“=”.由此可知,当x=时,S=x有最大值.
答:围成图形面积的最大值为.
【例2】 (教材P99例2)某工厂建造一 ( http: / / www.21cnjy.com )个无盖的长方体贮水池,其容积为4800m3,深度为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 (见学生用书课堂本P65)
[规范板书] 解 设水池的总造价为y元,池底的一边长为xm(x>0),则另一边长为m,即m.
根据题意,得y=150+2×120×3×=150×1600+720≥150×1600+720×2×40=297600,当且仅当x=40时取“=”.
答:当水池设计成底面边长为40m的正方形时,总造价最低,为297600元.
[题后反思] 用基本不等式解决实际 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的一般步骤:① 建立目标函数;② 利用基本不等式,求函数的最值;③ 得出实际问题的解.而在本题中,步骤①是关键,运用恰当的数学语言建立数学模型;在解决步骤③时,一定要注意字母的变化范围.
变式 单位建造一间地面面积为12m ( http: / / www.21cnjy.com )2的背面靠墙的长方体小房,房屋正面的造价为1200元/m2,房屋侧面的造价为800元/m2,屋顶的造价为5800元/m2,如果墙高为3m,且不计房屋背面及地面的费用,问:怎样设计房屋才能使总造价最低 最低总造价是多少元
[规范板书] 解 设房屋的总造价为y元,地面一边长(为正面上的边长)为xm(x>0),则另一边长为m.
根据题意,得y=1200×3x+800×2×3·+5800×12=5800×12+3600≥5800×12+3600×2×4=98400,当且仅当x=4时取“=”.
答:当房屋的地面设计成两边长分别为4m(为正面上的边长),3m的矩形时,总造价最低为98400元.
【例3】 (教材P100例4 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图,一份印刷品的排版面积(矩形)为A,它的两边都留有宽为a的空白,顶部和底部都留有宽为b的空白.如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最少 (见学生用书课堂本P66)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[规范板书] 解 设排版矩形的长和宽分别是x, y,则xy=A,
纸张的面积为S=(x+2a)(y+2b)=xy+2bx+2ay+4ab≥xy+2+4ab=A+4+4ab=,
当且仅当2bx=2ay,即时,S有最小值,此时纸张的长和宽分别为+2a和+2b.
答:当纸张的长和宽分别为+2a和+2b时,纸张的用量最少.
[题后反思] 一是对题意要理解, ( http: / / www.21cnjy.com )用量最少,即对一张纸而言,面积越小越好;二是题中的量较多,解题时,一定要理解哪些是定量,哪些是变量.同时解决此类问题,必须要细致、有耐性.
*【例4】 一个由17辆汽车组成的车队,每辆车车长为5m.当车队以vkm/h的速度行驶时,相邻两辆车之间的车距至少为m,现车队要通过一座长为140m的大桥,问:车速v为多少时,车队通过大桥所用的时间最少 最少需要多少分钟
[规范板书] 解 设车队通过大桥所用的时间为tmin,则由题意可知车队的速度为m/min.
∴ t==≥×2×6=,
当且仅当=,即v=时取“=”.
答:当车速v=km/h时,车队通过大桥所用的时间最少,最少需要min.
[题后反思] 将实际问题转化为数学问题,要建立恰当的数学模型,同时也要注意某些量之间的单位关系.
三、 课堂练习
1. 一段长为lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问:这个矩形菜园的长、宽各为多少时面积最大 最大面积是多少
解 设矩形菜园的面积为Sm2,长为xm,则宽为m,且0
2. 在直径为d的圆的所有内接矩形中,矩形的最大面积是多少
解 设矩形的长、宽分别为x, y,面积为S,则有x2+y2=d2(x>0, y>0).∵ x2+y2=d2≥2xy, ∴ S=xy≤,当且仅当x=y=时取“=”.
答:矩形的最大面积是.
四、 课堂小结
用数学知识解决实际问题的基本步骤:① 建立目标函数;② 利用数学知识解决数学问题;③ 得出实际问题的解.
第14课时 本章复习(1)
教学过程
一、 知识梳理
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
二、 数学运用
(一) 不等式的解法
【例1】 解下列不等式:
(1) 2+x-x2≥0;
(2) x4-3x2-4≥0.
(见学生用书课堂本P67)
[规范板书] 解 (1) 原不等式转化为x2-x-2≤0,即(x-2)(x+1)≤0, ∴ -1≤x≤2.
∴ 原不等式的解集为[-1, 2].
(2) 原不等式转化为(x2-4)(x2+1)≥0,即(x-2)(x+2)(x2+1)≥0,∴ x≥2或x≤-2.
∴ 原不等式的解集为(-∞, -2]∪[2, +∞).
[题后反思] 解不等式是学习高中数学 ( http: / / www.21cnjy.com )的基本技能之一,它涉及很多领域,尤其是一元二次不等式,必须熟练掌握.解不等式的常规方法:化简,变形(主要是因式分解),从而找出相应的解集.
变式1 若关于x的不等式x2+kx+1<0的解集为,则实数k=-.
[处理建议] 学生思考,交流,教师引导,由学生说出解题的方法.其解题过程如下:由题意知, 2是方程x2+kx+1=0的两个根,∴ 4+2k+1=0, ∴ k=-.
变式2 已知关于x的不等式x2+kx+1<0的解集为 ,则实数k的取值范围是-2≤k≤2.
[处理建议] 由题意知Δ=k2-4≤0, ∴ -2≤k≤2.
变式3 不等式≥2的解集为[-1, 0).
[处理建议] ∵ -2≥0, ∴ ≥0, ∴ ≤0, ∴ -1≤x<0.即原不等式的解集为[-1, 0).
(二) 含参数不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0(a∈R). (见学生用书课堂本P68)
[规范板书] 解 原不等式转化为(x-a)(x+1)<0.
当a<-1时,a
当a>-1时,-1
变式1 解关于x的不等式:x2-ax+1>0(a∈R).
[规范板书] 解 Δ=a2-4=(a-2)(a+2).
当Δ>0,即a>2,或a<-2时,方程x2-ax+1=0有两个不相等的实根,,∴ 原不等式的解集为-∞, ∪, +∞;
当Δ=0,即a=±2时,方程x2-ax+1=0有两个相等的实根,∴ 原不等式的解集为-∞, ∪, +∞;
当Δ<0,即-2
[处理建议] 由题意得解得a≤-.
变式3 若关于x的不等式ax2-ax+1>0恒成立,则实数a的取值范围是0≤a<4.
[处理建议] 由题意得原不等式的解集为R,所以a=0或解得0
【例3】 已知-1≤a+c≤5, -1≤a-c≤3,求3a-2c的取值范围. (见学生用书课堂本P68)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[规范板书] 解 作出不等式组所表示的平面区域(如图),易知直线3a-2c=t经过点A(-1, 0)时,3a-2c取最小值-3;直线3a-2c=t经过点C(4, 1)时,3a-2c取最大值10. ∴ -3≤3a-2c≤10.
[题后反思] 二元一次不等式(组)表示平面区域,必须数形结合才能解决问题.
变式 已知函数f(x)=ax2+cx满足-1≤f(1)≤5, -1≤f(-1)≤3,那么f(2)的最大值是18.
[处理建议] 由题意得-1≤a+c ( http: / / www.21cnjy.com )≤5, -1≤a-c≤3,画出平面区域(同上题图),而f(2)=4a+2c,故直线4a+2c=t经过点C(4, 1)时,4a+2c取最大值18.
(四) 一元二次方程的根的问题
*【例4】 设a∈R,已知关于x的一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两个实根x1, x2,且0
三、 课堂练习
1. 不等式>0的解集是.
2. 不等式>2x的解集是.
提示 原不等式等价于x2-2x+4>2x或x2-2x+4<-2x,解得x≠2.
3. 已知不等式4x-2x+1-a≥0在[1, 2]上恒成立,则实数a的取值范围是(-∞, 0].
四、 课堂小结
1. 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系.
2. 应用不等式的性质求解“范围问题”.
第15课时 本章复习(2)
教学过程
一、 数学运用
(一) 不等式的基本性质
【例1】 已知30
(2) 求x-2y的取值范围;
(3) 求xy的取值范围;
(4) 求的取值范围. (见学生用书课堂本P69)
[规范板书] 解 (1) ∵ 30
[题后反思] 了解不等式的基本性质:同向不等式可以相加;正的同向不等式可以相乘.本题亦可用线性规划的方法加以研究.
变式 设实数x,y满足3≤xy2≤8, 4≤≤9,则的最大值是27.
[处理建议] 因为∈[16, 81], ∈,所以=·∈[2, 27],所以的最大值是27.本题亦可先取对数,再用线性规划法去处理.
(二) 不等式中“1”的代换方法
【例2】 已知x>0, y>0,且+=1,求x+y的最小值. (见学生用书课堂本P69)
[规范板书] 解 ∵ x>0, y>0, ∴ x+y=(x+y)=10++≥16,当且仅当时取“=”.∴ 当时,x+y有最小值16.
[题后反思] 运用基本不等式求最值,要注意变形、拆项、凑项,最终形成“和定”或“积定”的条件.
变式1 若x, y都是正实数,且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为18.
[处理建议] ∵ 2x+8y-xy=0, ∴ +=1, ∴ x+y=(x+y)=10++≥18,当且仅当时取“=”.∴ 当时,x+y有最小值18.
变式2 若x, y都是正实数,且2x+8y-xy+9=0,则xy的最小值为81.
[处理建议] ∵ x, y都是正实数,且2x+8y-xy+9=0,∴ xy-9=2x+8y≥8, ∴ xy-8-9≥0,解得≥9,当且仅当时取“=”.∴ 当时,xy有最小值81.
(三) 含参数的一元二次不等式常用处理方法
【例3】 当x∈(1, 2)时,不等式x2+mx+4>0恒成立,求实数m的取值范围. (见学生用书课堂本P70)
[规范板书] 解法一 设f(x)=x2+mx+4,则由题意得或或
解得m≥-4.
解法二 ∵ x∈(1, 2),∴ 由x2+mx+4>0得m>-,即m>-在x∈(1, 2)时恒成立,而x+>4, ∴ -<-4,∴ m≥-4.
[题后反思] 解决恒成立问题,经常转化为最值问题.本题第一种方法,转化为二次函数的最小值大于0即可;而第二种方法,先分离参数,然后再寻找-的上界(与寻找最大值本质相同).
变式 当x∈[1, 2]时,不等式mx2+x+4>0恒成立,求实数m的取值范围.
[规范板书] 解 原不等式可化为m>--.
令=t,则t∈,
由m>-4t2-t恒成立,得m>(-4t2-t)max,
而-4t2-t=-4+≤-, ∴ m>-.
(四) 基本不等式的其他应用
*【例4】 已知二次函数f(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0, +∞),求+的最小值.
[处理建议] 找出a与c之间的关系及其值的符号,将所求式变形后利用基本不等式求解.
[规范板书] 由值域可知该二次函数的图象开口向上(a>0),且函数的最小值为0, ∴ =0,从而c=>0, ∴ +=+≥2×4+2=10,当且仅当即a=时取“=”.故所求的最小值为10.
二、 课堂练习
1. 已知x>1, y>1,且lgx+lgy=4,那么lgx·lgy的最大值是 4 .
2. 函数y=log2(其中x>1)的最大值是1.
3. 设x>0, y>0,且xy-(x+y)=1,则x+y的取值范围是[2+2, +∞).
4. 若不等式2x-1>m(x2-1)对满足≤2的所有m都成立,求实数x的取值范围.
解 记f(m)=m-,由题意知解得
1. 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系.
2. 应用不等式的性质求解“范围问题”.
3. 基本不等式及其成立条件,应用基本不等式证明或求解最值.