《新学案》2015年春高中数学苏教版必修一名师导学：第三章 指数函数、对数函数和幂函数（含解析）

第 3　 章 指数函数、对数函数和幂函数
第1课时　分数指数幂
　 教学过程
一、 问题情境
33=27 3=; x2=3 x=±;当n为奇数时,xn=a(n>1, n∈N*) x=;当n为偶数时,xn=a(n>1, n∈N*) x=±(a>0).
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　如果x2=a,那么x称为a的什么 如果x3=a,那么x称为a的什么 [1]
问题2　在“当n为奇数时,xn=a x=”中,x称为什么 称为什么 x可以是分数甚至无理数么 [2]
问题3　观察下列变形:=210 =25=; =.
通过讨论,给出根式的定义和分数指数幂的定义.
1. 如果xn=a(n>1,且n∈N*),那么称x为a的n次实数方根.叫根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
2. 如果xn=a,且n为奇数,那么x=.如果xn=a,且n为偶数,a>0,那么x=±.　
3. 设a>0, m, n均为正整数,则=, =.
(二) 理解概念
1. 0的n次实数方根等于0.
2. 0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义.
3. 指数幂的概念从整数指数推广到有理数指数,对于有理数指数幂,原整数指数幂的运算性质保持不变.
分数指数幂的运算性质:
(1) aras=ar+s(a>0, r, s∈Q);
(2) =ar-s(a>0, r, s∈Q);
(3) =ars(a>0, r, s∈Q);
(4) (ab)r=arbr(a>0, b>0, r∈Q).
三、 数学运用
【例1】　(教材P60例1)求下列各式的值:
(1) ;　　(2) ;
(3) ;　(4) .
(见学生用书课堂本P33)
[处理建议]　指导学生熟练掌握根式的化简和计算.
[规范板书]　解　(1) =5.
(2) =-2.
(3) ==2.
(4) ==π-3.
[题后反思]　先对根号里面作简单处理,其实还可以运用如下性质解决问题:=
变式　设-3[处理建议]　指导学生进一步理解根式化简的原则.
[规范板书]　解　-=-=|x-1|-|x+3|.
因为-3[题后反思]　根式的化简取决于根指数的奇偶性.
【例2】　(教材P61例2)求下列各式的值:
(1) ;　(2) ;
(3) ; 　 (4) .
(见学生用书课堂本P34)
[处理建议]　指导学生理解分数指数幂运算的方法.
[规范板书]　解　(1) ===10.　
(2) ===22=4.
(3) ==3-3=.
(4) ==33=27.
[题后反思]　分数指数幂化简时的技巧与方法:化繁为简,由里到外.
变式　化简:[(1-)2-(1+)-1+1.
[规范板书]　解　原式=(-1)-+1=-1-(-1)+1=1.
[题后反思]　偶次根式中被开方数必须为非负数,这一点要特别注意,否则很容易出错.
【例3】　(教材P61例3)用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0):
(1) a2;　(2) .
(见学生用书课堂本P34)
[处理建议]　根式化为分数指数幂的时候要注意化简顺序.
[规范板书]　解　(1) a2=a2==.
(2) ====.
[题后反思]　先将根式化成分数指数幂的形式,再利用分数指数幂的运算性质进行运算.
【例4】　(教材P63习题3.1(1)第6题)若a+a-1=3,求-及-的值.
(见学生用书课堂本P34)
[处理建议]　把a+a-1=3看成一个整体进行化简计算.
[规范板书]　解　(1) =a+a-1-2=3-2=1,所以-=±1.
(2) -==4=±4.
[题后反思]　要熟练运用立方和(差)公式.
【例5】　利用指数幂的运算法则,解方程43x+2=256×81-x.(见学生用书课堂本P34)
[处理建议]　这是一道分数指数幂与方程类型的题目,首先利用分数指数幂的性质将方程两边转化为同底的指数幂.
[规范板书]　解　由题意得26x+4=28×23-3x, 26x+4=211-3x, ∴ 6x+4=11-3x, ∴ x=.
[题后反思]　解方程时需化成同底数幂进行运算.
变式　解方程:2x+2-6×2x-1-8=0.
[处理建议]　把2x看做一个整体.
[规范板书]　解　由题意得4×2x-3×2x-8=0, ∴ 2x=8, ∴ x=3.
[题后反思]　对于复杂的方程,我们要想办法使之简化,其中“整体”的思想很重要.
*【例6】　已知a2x=-1,求的值.
[处理建议]　利用立方和公式先化简,再求解.
[规范板书]　解　=a2x+a-2x-1=-1+-1=-1++1-1=2-1.
四、 课堂练习
1. 27的平方根是±3,立方根是3.
2. 等式 =成立的条件是x≥2.
3. 化简:++(a<0, b<0).
解　∵ a<0, b<0, ∴ 原式=-b-a-b+a-b=-3b.
4. 计算:+ .
解　原式=+=|-|+|+|=2.
五、 课堂小结
1. n次实数方根与根式的区别;n次根式的性质;分数指数幂与根式的互化及熟练运用.
2. 理解有理数指数幂的运算法则,并能进行运算和化简.
第2课时　指数函数(1)
　 教学过程
一、 问题情境
由函数y=2x, y=的图象,归纳出函数y=ax, y=a-x的图象与它们具有哪些相同的特征
二、 数学建构
(一) 生成概念
一般地,函数y=ax(a>0, a≠1)叫做指数函数,其中自变量是x,定义域是R,值域是(0, +∞).
(二) 理解概念[2]
对于概念的理解,主要从以下3个问题对学生进行引导:
1. 如何判断一个函数是否是指数函数
2. 函数y=ax(a>0, a≠1)的性质与底数a有什么关系 (见下表)
3. 如何比较两个幂的大小
指数函数y=ax a>1 0图　象
性　　质 定义域 R R
值　域 (0, +∞) (0, +∞)
过定点 (0, 1) (0, 1)
单调性 在(-∞, +∞)上单调递增 在(-∞, +∞)上单调递减
奇偶性 非奇非偶 非奇非偶
(三) 巩固概念
问题1　函数y=x2与y=2x的解析式有什么区别 　
解　变量所在的位置不同.
问题2　在画指数函数图象的过程中,你还发现了指数函数的其他性质了吗
解　① x轴是指数函数y=ax图象的“渐近线”;
② y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称(此性质可推广到更一般的情形).
三、 数学运用
【例1】　判断下列函数是否为指数函数:
(1) y=2x;　　(2) y=x2;　　(3) y=-2x;
(4) y=(-2)x;　　(5) y=2×2x;
(6) y=(a-1)x(a>1且a≠2).(见学生用书课堂本P35)
[处理建议]　要弄清楚指数函数的定义,然 ( http: / / www.21cnjy.com )后抓住三点进行判断:①系数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③指数为变量x(或其他字母).(如果函数解析式不是最简形式,要先化成最简形式,然后再判断)　
[规范板书]　解　(1)、 (6)是指数函数,其余不是.
[题后反思]　指数函数底数的范围以及指数函数的形式是固定的.
变式　若函数y=(a2-a-1)ax是指数函数,求实数a的值.
[处理建议]　引导学生抓住指数函数的系数必须等于1.
[规范板书]　解　由题意得a2-a-1=1,解得a=2或-1.因为a>0,所以a=2.
[题后反思]　本题同样考察指数函数形式的固定性问题.
【例2】　(教材P65例1)比较下列各组数中两个值的大小:
(1) 1.52.5, 1.53.2;　(2) 0.5-1.2, 0.5-1.5;
(3) 1.50.3, 0.81.2. (见学生用书课堂本P36)
[处理建议]　对于第(1)、 (2)题,引导学生利用指数函数性质解决问题;对于第(3)题,引导学生寻求中间量1来解决问题.
[规范板书]　解　(1) 考察指数函数y=1.5x.因为1.5>1,所以y=1.5x在R上是单调增函数.
又因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2) 考察指数函数y=0.5x.因为0<0.5<1,所以y=0.5x在R上是单调减函数.
又因为-1.2>-1.5,所以0.5-1.2<0.5-1.5.
(3) 由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1, 0.81.2<0.80=1,所以1.50.3>0.81.2.
[题后反思]　利用指数函数的性质比较指数幂的大小时,如果不能直接判断,通常可以借助1来比较.
【例3】　(教材P66例2)(1) 已知3x≥30.5,求实数x的取值范围;
(2) 已知0.2x<25,求实数x的取值范围. (见学生用书课堂本P36)
[处理建议]　对于第(2)题,指导学生先进行化简,然后结合指数函数性质寻求解决途径.
[规范板书]　解　(1) 因为3>1,所以指数函数f(x)=3x在R上是单调增函数.
由3x≥30.5可得x≥0.5,即x的取值范围为[0.5, +∞).
(2) 因为0<0.2<1,所以指数函数f(x)=0.2x在R上是单调减函数.
因为25==0.2-2,所以0.2x<0.2-2.由此可得x>-2,即x的取值范围为(-2, +∞).
[题后反思]　解不等式方程的一般方法:先化简成同一类函数,然后利用相关性质解决.
变式　解下列不等式:
(1) 9x>3x-2;　(2) 3×4x-2×6x>0.
[处理建议]　引导学生把不同底的指数式化成同底的指数式.
[规范板书]　解　(1) ∵ 9x>3x-2,
∴ 32x>3x-2.
∵ y=3x在定义域R上是单调增函数,
∴ 原不等式等价于2x>x-2,解得x>-2.
∴ 原不等式的解集为{x|x>-2}.
(2) ∵ 3×4x-2×6x>0, ∴ 3×4x>2×6x.
∵ 4x>0, 6x>0, ∴ >,即>.
又∵ y=在定义域R上是单调减函数,
∴ x<1.故原不等式的解集为{x|x<1}.
[题后反思]　将需解决的问题转化为已学过的指数函数的知识去解决.
四、 课堂练习
1. 若函数y=ax-1+1(a>0且a≠1)经过一个定点,则该定点的坐标为(1, 2).
2. 求下列函数的定义域:
(1) y=;　(2) y=;　(3) y=;　
(4) y=.
解　(1) 因为x≠0,所以定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞).
(2) 因为x≥0,所以定义域为[0, +∞).
(3) 因为3x-1≠0,即x≠,所以定义域为∪.　
(4) 因为1-≥0,解得x≥0,所以定义域为[0, +∞).
3. 如果指数函数y=(a-1)x是R上的单调减函数,求实数a的取值范围.
解　根据题意可得04. 解不等式:9x>3x-2.
解　原不等式可化为32x>3x-2,所以2x>x-2,所以x>-2.
五、 课堂小结
1. 指数函数的定义、图象以及在a>1和02. 利用指数函数的性质比较大小、解不等式等.
第3课时　指数函数(2)
　 教学过程
一、 问题情境
利用指数函数f(x)=2x的图象作出下列函数的图象:
(1)y=f(x-1);　　　　(2)y=f(x)-1;
(3)y=-f(x); (4)y=f(-x);
(5)y=|f(x)-1|; (6)y=f(|x|).
解
( http: / / www.21cnjy.com )(1)　 ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
( http: / / www.21cnjy.com )(3)　 ( http: / / www.21cnjy.com )(4)
( http: / / www.21cnjy.com )(5)　 ( http: / / www.21cnjy.com )(6)
二、 数学建构
1. 已知函数y=ax(a>0, a≠1)的图象,则
(1) 把函数y=ax的图象向左平移b个单位长度,可以得到函数y=ax+b(b>0)的图象;
(2) 把函数y=ax的图象向右平移b个单位长度,可以得到函数y=ax-b(b>0)的图象;
(3) 把函数y=ax的图象向上平移b个单位长度,可以得到函数y=ax+b(b>0)的图象;　
(4) 把函数y=ax的图象向下平移b个单位长度,可以得到函数y=ax-b(b>0)的图象.　
2. (1) 函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称;
(2) 函数y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称;
(3) 函数y=ax与y=-a-x的图象关于原点对称.
三、 数学运用
【例1】　(根据教材P66例3改编)说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系.
(1)y=2x+1;　(2)y=2x-2.(见学生用书课堂本P37)
[处理建议]　通过画图进行比较.
[规范板书]　解　函数y=2x的图象向左平 ( http: / / www.21cnjy.com )移1个单位长度可以得到函数y=2x+1的图象;函数y=2x的图象向右平移2个单位长度可以得到函数y=2x-2的图象.
[题后反思]　函数图象左右平移的规律:左加右减.
变式　说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系.
(1)y=2x+1;　(2)y=2x-2.
[处理建议]　通过画图进行比较.
[规范板书]　解　函数y=2x的图象向上平 ( http: / / www.21cnjy.com )移1个单位长度可以得到函数y=2x+1的图象;函数y=2x的图象向下平移2个单位长度可以得到函数y=2x-2的图象.
[题后反思]　函数图象上下平移的规律:上加下减.
【例2】　画出下列函数的图象,并根据图象求出它们的单调区间.
(1)y=|2x-2|;　(2)y=2-|x|.(见学生用书课堂本P38)
[处理建议]　要先对解析式进行化简.
[规范板书]　解　如图:
( http: / / www.21cnjy.com )(1)　 ( http: / / www.21cnjy.com )(2)
(例2)
(1) 单调增区间是[1, +∞),单调减区间是(-∞, 1].　
(2) 单调增区间是(-∞, 0],单调减区间是[0, +∞).　
[题后反思]　加绝对值函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象的变化规律:①函数y=|f(x)|的图象可由将函数y=f(x)的图象的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的x轴上方部分得到;②函数y=f(|x|)的图象可由将函数y=f(x)的图象的y轴的右边部分沿y轴翻折到y轴左边,替代原y轴左边部分,并保留y=f(x)在y轴右边部分的图象得到.
变式　怎样由函数y=4x的图象得到函数y=-2的图象
[处理建议]　引导学生将函数y=-2与函数y=4x的结构加以比较,然后由学生自己解决.
[规范板书]　解　∵ y=-2=2-4+2x-2=4x-2-2, ∴ 将函数y=4x的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,就得到函数y=-2的图象.
　　[题后反思]　要注意图象平移的规则:“左”加“右”减,“上”加“下”减.
【例3】　方程2|x|+x=2的实数根有几个 (见学生用书课堂本P38)
[处理建议]　转化为函数y1=2|x|与y2=2-x的图象的交点个数问题.
[规范板书]　解
( http: / / www.21cnjy.com )(例3)
由图象可知,函数y1=2|x|与y2=2-x的图象有两个交点,故方程2|x|+x=2有两个实数根.
[题后反思]　此类关于求方程的解的个数的问题一般转化为求两个函数图象交点个数问题.
四、 课堂练习
1. 已知函数y=3x+1+a的图象不经过第二象限,则实数a的取值范围是a≤-3.
2. 怎样由函数y=4x的图象得到函数y=-2的图象
解　y=-2可化简为y=4x-2-2,把函数y=4x的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,就可以得到函数y=4x-2-2的图象,即函数y=-2的图象.
3. 说说函数y=3-x与y=3-x+α(α≠0)的图象之间的关系.
解　当α>0,把函数y=3-x的图象向右平移α个单位长度就可以得到函数y=3-x+α的图象;
当α<0,把函数y=3-x的图象向左平移|α|个单位长度就可以得到函数y=3-x+α的图象.
五、 课堂小结
1. 函数图象之间的变换:平移变换,对称变换.
2. 与指数函数的图象、性质的相关应用,如利用图象、性质解决方程、不等式等问题.
　
第4课时　指数函数(3)
　 教学过程
一、 问题情境
某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂1 ( http: / / www.21cnjy.com )次(1个分裂成2个),那么经过3h,这种细菌由1个可分裂为几个 经过x h,这种细菌由1个可分裂为几个
二、 数学运用
【例1】　(教材P68例5)某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x(x∈N*),本利和(本金加上利息)为y元.
(1) 写出本利和y随存期x变化的函数关系式;
(2) 已知存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和. (见学生用书课堂本P39)
[处理建议]　注意复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期利息的一种计算利息的方法.
[规范板书]　解　(1) 已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r),
2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,
3期后的本利和为y=a(1+r)3,
……
x期后的本利和为y=a(1+r)x, x∈N*,
即本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x, x∈N*.
(2) 将a=1000(元),r= ( http: / / www.21cnjy.com )2.25%, x=5代入上式,得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1117.68(元),即5期后的本利和约为1117.68元.
[题后反思]　储蓄与贷款的本利和问题是我们日常生活中一类常见的指数函数模型.
【例2】　(教材P69例6)200 ( http: / / www.21cnjy.com )0~2002年,我国国内生产总值年平均增长7.8%.按照这个增长速度,画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象,并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍.(结果取整数) (见学生用书课堂本P39)
[处理建议]　可以先设2000年我国年国内生产总值是1,然后进行求解.用图象法求方程的近似解时,函数的图象应力求画准确.
[规范板书]　设2000年我国年国内生产总值 ( http: / / www.21cnjy.com )是1,x年后我国年国内生产总值为y.因为国内生产总值年平均增长7.8%,所以从2001年开始,每年的国内生产总值是上一年的1.078倍,则
经过1年,y=1×1.078=1.078;
经过2年,y=1.078×1.078=1.0782;
经过3年,y=1.0782×1.078=1.0783;
……
一般地,经过x年,我国年国内生产总值y=1.078x, x∈N*.
画出指数函数y=1.078x的图象(如图),从图象上看出,当x=10时,y≈2.
( http: / / www.21cnjy.com )(例2)
答:到2010年我国年国内生产总值约为2000年的2倍.
[题后反思]　本例为后面学习函数与方程的有关内容作铺垫.
【例3】　已知镭经过100年后剩留的质量为原来的95.76%,设质量为1g的镭经过x年后的剩留量为yg.　
(1) 求100年、200年、300年后镭的剩留量(精确到0.0001g);
(2) 写出函数y=f(x)的解析式. (见学生用书课堂本P40)
[处理建议]　本题是放射性物质的衰变问题,剩留量即为剩留质量.
[规范板书]　解　(1) ( http: / / www.21cnjy.com )100年后镭的剩留量为1×95.76%=0.9576(g),200年后镭的剩留量为1×(95.76%)2≈0.9170(g),300年后镭的剩留量为1×(95.76%)3≈0.8781(g).
(2) x年即个100年,所以经过x年后镭的剩留量为y=1×=,所以f(x)=.
[题后反思]　放射性物质的质量衰变问题是一类常见的指数函数模型.
变式　(教材P68例4) ( http: / / www.21cnjy.com )某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.
[处理建议]　该放射性物质最初质量我们不知道,不妨设为单位1进行求解.
[规范板书]　解　该物质最初的质量是1,经过x年剩留量是y.
经过1年,剩留量y=1×0.84=0.841;
经过2年,剩留量y=0.84×0.84=0.842;
……
一般地,经过x年,剩留量y=0.84x(x>0).
*【例4】　上个世纪末(截至1999年 ( http: / / www.21cnjy.com )底),我国人口约13亿,如果能将人口的平均增长率控制在1%以内,那么经过20年后,我国的人口最多为多少 (精确到亿)
[规范板书]　解　设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国的人口为y亿.
1999年底,我国人口约为13亿;
经过1年(即2000年底),我国人口为
13+13×1%=13×(1+1%)(亿);
经过2年(即2001年底),我国人口为
13×(1+1%)+13×(1+1%)×1%=13×(1+1%)2(亿);
经过3年(即2002年底),我国人口为
13×(1+1%)2+13×(1+1%)2×1%=13×(1+1%)3(亿);
……
所以,经过x年后,我国人口为
y=13×(1+1%)x=13×1.01x(亿).
当x=20时,y=13×1.0120≈16(亿).所以,经过20年后,我国的人口最多为16亿.
　　[题后反思]　在实际问题中,经常会 ( http: / / www.21cnjy.com )遇到类似上述增长率模型问题.通常设原有量为N,年平均增长率为p,则经过x年后的总量y可以用y=N·(1+p)x来表示.我们把形如y=kax(k>0, a>0,且a≠1)的函数称为指数型函数.
三、 课堂练习
1. 如果某林区的木材蓄积量平均每 ( http: / / www.21cnjy.com )年比上一年增长8%,经过x年可以使木材蓄积量增长到原来的y倍,那么函数y=f(x)的图象大致为②.(填序号)
①　　　　②
③　　　　④
2. 如果某工厂一年中12月的产量是1月的产量的m倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率为-1.
3. 若一种产品的产量原来是a,在今后m ( http: / / www.21cnjy.com )年内计划使产量平均每年比上一年增加p%,则产量y随年数x变化的函数解析式为y=a(1+p%)x, x≤m且 x∈N*.
4. 假设世界人口自1980年起,5 ( http: / / www.21cnjy.com )0年内每年增长率均固定,已知1987年世界人口达50亿,1999年第60亿个人诞生在赛拉佛耶.根据这些资料推测,2023年世界人口数最接近86亿.(精确到个位)
四、 课堂小结
指数函数在实际生活中的应用包括剩留量问题、复利问题、增长率问题、选用函数模拟数据问题等.
第5课时　指数函数(4)
　 教学过程
前面几节课我们学习了指数函数的图象和性 ( http: / / www.21cnjy.com )质,以及利用其性质进行大小比较、不等式求解、图象变换、实际应用问题求解等,本节课主要围绕以下几个方面对由指数函数和其他简单函数构成的复合函数的性质进行研究:
(1) 指数型复合函数的定义域与值域;
(2) 指数型复合函数的单调性;
(3) 与指数函数有关的函数性质综合题.
一、 数学运用
【例1】　求下列函数的定义域与值域:
(1)y=;　(2)y=;
(3)y= ;
(4)y=4x-2x+1-1, x∈[-1, 2].(见学生用书课堂本P41)
[处理建议]　本题中定义域容易求得,即使得函数解析式有意义的x的取值集合.对于第(1)题求值域而言,关键是求出里面-1的范围;对于第(2)题求值域而言,求出2x-x2的范围后,然后结合指数函数的性质来解决;对于第(3)题求值域而言,关键是求出32x-1-的范围,这个比较容易;对于第(4)题求值域而言,需要采用换元法(令2x=t),把它转化成二次函数的值域问题.
[规范板书]　解　(1) 由题意得-1≥0,即≥0,解得x<-1或x≥1.∴函数的定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞).
∵ -1==-+1≠1, ∴ ≠1且 ≥0, ∴ y≥1且y≠10. ∴ 函数的值域为[1, 10)∪(10,+∞).
(2) 函数的定义域为R.
∵ 2x-x2=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, ∴ y≥. ∴ 函数的值域为.
(3) 由题意得32x-1-≥0,即32x-1≥3-2,解得x≥-.∴函数的定义域为.
∵ 32x-1-≥0, ∴ ≥0, ∴ 函数的值域为[0, +∞).
(4) 令2x=t, ∵x∈[-1,2], ∴ t∈.
∴ y=t2-2t-1=(t-1)2-2,当t=4时,ymax=7;当t=1时,ymin=-2. ∴ 函数的值域为[-2, 7].　
[题后反思]　求复合函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域,即求使得函数解析式有意义的x的取值集合;求与指数函数有关的复合函数的值域,我们需要根据函数解析式的特点,或用常规的方法,或用换元法等.
【例2】　求函数y=的单调区间. (见学生用书课堂本P41)
[处理建议]　把函数y=视作由函数y=和t=-x2+2x复合而成.
[规范板书]　解　令t=-x2+2x=-(x-1)2+1,当x∈(-∞, 1]时,t单调递增;当x∈[1, +∞)时,t单调递减.而函数y=是单调减函数,所以函数y=的单调减区间为(-∞, 1],单调增区间为[1, +∞).
[题后反思]　复合函数y=af(x)的单调性由函数y=au和u=f(x)决定,我们在判断的时候应遵循“同增异减”的法则.
变式1　求函数y=的单调区间.
[规范板书]　解　由题意得-x2+2x≥0,解得0≤x≤2.
令t=,则t=,当x∈[0, 1]时,t单调递增;当x∈[1, 2]时,t单调递减.而函数y=是单调减函数,所以函数y=的单调减区间为[0, 1],单调增区间为[1, 2].
[题后反思]　变式1与例2的差别之处在于所令的t=也是一个复合函数,由t=和g=-x2+2x复合而成.
变式2　求函数y=的单调区间.
[处理建议]　此函数由y=及u=2x复合而成.　
[规范板书]　解　由题意可得函数的定义域为R.
令u=2x,可以知道,当x∈R时,u单调递增.
而函数y=是单调减函数,所以函数y=的单调减区间为R.
[题后反思]　此函数的单调性由函数u=2x及y=的单调性决定,除了根据“同增异减”的法则判断增减区间外,还可以通过函数解析式的特点进行如下判断:当x∈R时,随着x的逐渐增加,2x也逐渐增加,2x+1也逐渐增加,则逐渐减小,所以函数y=是R上的单调减函数,即函数的单调减区间为R.
【例3】　设函数f(x)=a-3x+1 ( http: / / www.21cnjy.com ), g(x)=a2x-5(其中a为常数,a>0且a≠1),若f(x)>g(x),求实数x的取值范围. (见学生用书课堂本P42)
[处理建议]　需要对a进行分类讨论.
[规范板书]　解　由题意得a-3x+1>a2x-5.
① 当a>1时,-3x+1>2x-5,解得x<;
② 当0.　
综上所述,当a>1时,x<;当0.
[题后反思]　虽然函数f(x)=a-3x+1, g(x)=a2x-5都是复合函数,但是本质上仍然可以根据指数函数y=ax的性质进行考察.
【例4】　(教材P71第17题)对于任意的x1, x2∈R,若函数f(x)=2x,试比较与f的大小关系. (见学生用书课堂本P42)
[处理建议]　结合函数y=2x的图象让学生感知结论,再进行证明.
[规范板书]　解　∵ -f = -=(+-2××)=(-)2≥0, ∴ ≥f.
[题后反思]　对于函数y=ax的凹凸性要加以关注,不仅要会利用图象进行判断,更要会进行严格的论证.
变式　若指数函数y=ax在[-1, 1]上的最大值与最小值的差是1,求实数a的值.
[处理建议]　需要对a分两类进行讨论.
[规范板书]　解　① 当a>1时,当x=1, ymax=a;当x=-1, ymin=. ∴ a-=1, ∴a=.
② 当0综上所述,a=或.
[题后反思]　底数a不确定时,必须对a进行分类讨论.
*【例5】　已知函数f(x)=.
(1) 判断函数f(x)的奇偶性;
(2) 讨论函数f(x)的单调性.
[处理建议]　第(1)题可以从函数奇偶性的定义入手进行判断,第(2)题既可以从定义入手进行讨论,也可以从函数解析式的特点入手进行判断.
[规范板书]　解　(1) 函数的定义域为R.
f(-x)===-f(x), ∴函数f(x)为奇函数.
(2)∵ f(x)==1-, ∴函数f(x)在R上单调递增.
[题后反思]　第(2)题先对函数解析式进行常数分离,然后通过解析式就可以直接判断函数的单调性,如果从定义入手判断函数的单调性,则比较复杂.
二、 课堂练习
1. 求下列函数的定义域与值域:
(1)y=;　(2)y=.
解　(1) 由题意得-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2. ∴ 函数的定义域为[-1, 2].
∵ 0≤=≤, ∴≤y≤=1, ∴ 函数的值域为.
(2) 由题意得x≠-1, ∴ 函数的定义域为(-∞, -1)∪(-1, +∞).
∵ =-+1≠1, ∴y≠2,而y=>0, ∴函数的值域为(0, 2)∪(2, +∞).
2. 求函数y=的单调区间.
解　由题意得-x2+2x≥0,解得0≤x≤2.
令t=,则t=,当x∈[0, 1]时,t单调递增;当x∈[1, 2]时,t单调递减.而函数y=2t是单调增函数,所以函数y=的单调增区间为[0, 1],单调减区间为[1, 2].
3. 若函数y=ax+1(a>0且a≠1)在区间[-2, 2]上的最大值为8,求实数a的值.
解　当a>1时,由题意得a3=8,解得a=2;当0三、 课堂小结
本节课根据指数函数的图象及性质讨论了由指数 ( http: / / www.21cnjy.com )函数和其他简单函数构成的复合函数的性质,其中包括复合函数的定义域与值域、复合函数的单调性,在判断复合函数的单调性时应遵循“同增异减”的法则.
第6课时　对　数　(1)
　 教学过程
一、 问题情境[1]
若某物质最初的质量为1,每经 ( http: / / www.21cnjy.com )过1年,这种物质剩留的质量是原来的84%,则经过x年,该物质的剩留量y=0.84x.由此,知道了经过的时间x,就能求出该物质的剩留量y;反过来,知道了该物质的剩留量y,怎样求出所经过的时间x呢
二、 数学建构
(一) 生成概念
一般地,如果a(a>0, a≠1)的b ( http: / / www.21cnjy.com )次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.
(二) 理解概念
1. 指数式与对数式的互化
(引导学生填写下面表格,理解a, b, N的地位和作用)　
式　子 名称及范围
a(a>0, a≠1) b(b∈R) N(N>0)
指数式 ab=N 底数 指数 幂
对数式 logaN=b 底数 对数 真数
　 总结:指数式ab=N与对数式logaN=b这两个等式所表示的是a, b, N三个量之间的同一关系.
2. 对数恒等式
(1)loga1=0;　(2)logaa=1;　(3)=N;
(4)logaab=b.(a>0且a≠1, b∈R)
3. 特殊的两个对数
(1) 常用对数:以10为底的对数称为 ( http: / / www.21cnjy.com )常用对数,如log102, log1012等.为了方便起见,对数log10N简记为lgN,如lg2, lg12等.
(2) 自然对数:以e为底的对数称为自然 ( http: / / www.21cnjy.com )对数.e=2.71828…是一个无理数.正数N的自然对数logeN一般简记为lnN,如loge2, loge15分别记为ln2, ln15等.
三、 数学运用
【例1】　(教材P73例1)将下列指数式改写成对数式:
(1) 24=16;　　　　(2)3-3=;
(3)5a=20; (4)=0.45.(见学生用书课堂本P43)
[处理建议]　通过指数式与对数式的关系,引导学生熟练地进行指数式与对数式的互化.
[规范板书]　解　(1)log216=4.　(2)log3=-3.　(3)log520=a.　(4)0.45=b.
【例2】　(教材P73例2)将下列对数式改写成指数式:
(1)log5125=3;　(2)3=-2;
(3)log10a=-1.699.(见学生用书课堂本P44)
[规范板书]　解　(1)53=125.　(2)=3.　(3)10-1.699=a.
[题后反思]　例1与例2中指数式与对数式的互化,关键是要熟练掌握对数的定义(对数式是如何由指数式变化而来的).
【例3】　(教材P73例3)求下列各式的值:
(1)log264;　(2)log927.(见学生用书课堂本P44)
[处理建议]　引导学生用对数的定义去解决问题.
[规范板书]　解　(1) 由26=64,得log264=6.
(2) 设x=log927,则根据对数的定义知9x=27,即32x=33,得2x=3,x=,所以log927=.
[题后反思]　第(1)题可以通过化简真数直接 ( http: / / www.21cnjy.com )得到结果;第(2)题稍微转了一个弯,学生无法直接进行运算,这个时候就要提醒学生“对数的定义是从指数的定义中演变而来”,因此本题转化为指数形式进行解决是理所当然的事.
变式　求下列各式中x的值:
(1) logx4=;
(2) x=-3;
(3) (2x2-4x+1)=1;
(4) =0;
(5) log5[log3(log2x)]=0.
[处理建议]　提醒学生在解对数方程时,需要注意底数、真数的范围.
解　(1) 由logx4=得=4,所以x=16.
(2) 由x=-3得x=,所以x=8.
(3) 由(2x2-4x+1)=1得2x2-4x+1=x2-2,解得x=1或x=3.
又因为x=1时,x2-2=-1<0; x=3时,x2-2=7>0, 2x2-4x+1=7>0,所以x=3.
(4) 由=0得=1,解得x=-2.　
(5) 由log5[log3(log2x)]=0得log3(log2x)=1,所以log2x=3,所以x=23,即x=8.
[题后反思]　解对数方程,除了将对数式化为指数式求解外,还要熟练运用对数的性质:1的对数为0,底数的对数为1.
*【例4】　求使对数式log(x-1)(3-x)有意义的x的取值范围.
解　由题意可得解得1[题后反思]　对数的定义中,要注意a, b, N三个量的取值范围.
四、 课堂练习
1. 将下列指数式改写成对数式:
(1)28=256;　　　　(2)3-5=;
(3) 5a=73;　　　 　(4) =20.
解　(1)log2256=8;　(2)log3=-5;　
(3) log573=a;　(4) lo20=x.
2. 将下列对数式改写成指数式:
(1)9=-4;　 (2)lg1000=3;
(3)lgm=0.3010;　 (4)ln10=n.
解　(1)=9;　(2)103=1000;
(3)100.3010=m;　(4)en=10.
3. 根据对数的定义,写出下列各对数的值(b>0, b≠1):　
log93=;　log101000=3;
4=-1;　log91=0;
log55=1;　 log3=-1;
logb1=0;　 logbb=1.
五、 课堂小结
1. 对数的定义;对数式与指数式的互化;对数式的求值.
2. 要在理解对数的概念的基础上,掌握对数式与指数式的互化,并会计算一些特殊的对数值.
第7课时　对　数　(2)
　 教学过程
一、 问题情境
指数幂运算有下列性质:
aman=am+n;
=am-n;
(am)n=amn.
问题1　对数运算也有相应的性质吗
二、 数学建构
由学生给出若干组a, M, N, n的值,借助计算机计算logaM, logaN, loga(MN), loga, logaMn, loga(M+N), loga(M-N)的值,猜想这一系列式子之间的关系.
猜想:
loga(MN)=logaM+logaN;①
loga=logaM-logaN;②
logaMn=nlogaM.③
(其中a>0, a≠1, M>0, N>0, n∈R)
问题2　如何证明对数的运算性质
我们来证明性质①:
证明　设logaM=p, logaN ( http: / / www.21cnjy.com )=q.由对数的定义得M=ap, N=aq,所以MN=ap·aq=ap+q.故loga(MN)=p+q=logaM+logaN,即loga(MN)=logaM+logaN.
同样地,可以证明性质②和性质③.
问题3　如何用自然语言叙述这三条性质 性质的证明思路是什么
(运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂运算性质进行恒等变形,然后再根据对数的定义将指数式化成对数式)
注意点:(1) 对数不能作除法运算.
(2) logaM, logaN与loga(M+N), loga(M-N)没有必然的联系.
三、 数学运用
【例1】　(根据教材P76例5改编)已知lg2=a, lg3=b,用a, b表示下列各对数:
(1) lg12;　(2) lg108;　(3) lg;　(4) lg.(见学生用书课堂本P45)
[规范板书]　解　(1)lg12=2lg2+lg3=2a+b.
(2)lg108=lg(4×27)=2lg2+3lg3=2a+3b.
(3)lg=lg27-lg16=3lg3-4lg2=3b-4a.
(4)lg=lg18-lg25=lg2+2lg3-2lg5=lg2+2lg3-2(1-lg2)=2b+3a-2.
【例2】　(教材P76例4)求下列各式的值:
(1) log2(23×45);　(2) log5125. (见学生用书课堂本P46)
[处理建议]　有关对数的运算,一般有两 ( http: / / www.21cnjy.com )种思路:一是将相关数分解成质因数式,利用对数运算法则,把它们拆成若干个对数的代数和;二是对底数相同的对数,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算.
[规范板书]　解　(1)log2(23×45)=log223+log245=3+5log24=3+5×2=13.
(2)log5125=log553=3log55=3.
变式　计算下列各式的值:
(1) lg+lg;
(2) log345-log35;
(3) lg25+lg2×lg5+lg2;
(4) log535-2log5+log57-log51.8;
(5) lg-lg+lg;
(6) lg52+lg8+lg5×lg20+(lg2)2.
[规范板书]　解　(1)lg+lg=lg(×)=lg=lg10=.
(2)log345-log35=log3=log39=2log33=1.
(3)lg25+lg2×lg5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=lg10=1.
(4)log535-2log5+log57-log51.8=log55+log57-2(log57-log53)+log57-(log59-log55)=1+2log53-2log53+1=2.
(5)lg-lg+lg=(lg32-lg49)-lg+lg(5×49)=(5lg2-2lg7)-2lg2+lg5+lg7=lg2-lg7-2lg2+lg5+lg7=(lg2+lg5)=.
(6)lg52+lg8+lg5×lg20+(lg2)2=2lg5+2lg2+lg5×(lg2+1)+(lg2)2=2+lg5×lg2+lg5+(lg2)2=2+lg2(lg5+lg2)+lg5=3.
[题后反思]　① 本题有两种思路:一是“ ( http: / / www.21cnjy.com )正向”利用积、商、幂、方根的对数运算法则,把各对数分拆为更为基本的一系列对数的代数和;二是运用对数恒等式使式子得到化简,对真数部分进行约简,使所给对数式得到化简.简单地说,一是“分”,二是“合”.
② 对常用对数的化简要充分利用恒等式lg2+lg5=1来解题.
③ 对于多重符号的对数的化简,应从内向外逐层化简求值.
*【例3】　已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求的值.
[规范板书]　解　由已知可得lg( ( http: / / www.21cnjy.com )xy)=lg(x-2y)2,所以(x-2y)2=xy,即x2-5xy+4y2=0,即(x-y)(x-4y)=0,所以x=y或x=4y.
又因为x>0, y>0, x-2y>0,所以x>y>0,所以x=4y,所以lo=lo4=4.
[题后反思]　注意根据已知条件求出来的相关结果必须满足题设中所有真数大于零这一条件.
四、 课堂练习
1. (1) lg=lgx+lgy-3lgz;(用lgx, lgy, lgz表示)
(2) 已知m=log32,那么log34-5log36=-3m-5.(用m表示)
2. 求下列各式的值:
(1) log2(4×8×16);　(2) (95×272);
(3) 2lg5+lg40;　 (4) 125-25;
(5) .
解　(1) 原式=9;
(2) 原式=-2log3316=-32;
(3) 原式=lg1000=3;
(4) 原式=5=-1;
(5) 原式=.
五、 课堂小结
运用对数的运算法则时,必须注意其成立的条件,否则可能导致变量范围的变化而出现不等价变换.
第8课时　对　数　(3)
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　不是常用对数和自然对数的对数如何运算
问题2　能否通过转化,将一般对数化为常用对数或自然对数
二、 数学建构
探究:以具体对数log35为例,如何将它转化为以10为底的对数呢
设t=log35,则3t=5.两边取常用对数,得lg3t=lg5,即tlg3=lg5,所以t=,故log35=.
问题3　对于一般的对数logaN,如何将它转化为以其他的数为底的对数呢
记p=logaN,则ap=N.两边同时取以c为底的对数(c>0, c≠1):logcap=logcN,得plogca=logcN,所以p=,即logaN=.
这个公式称为对数的换底公式.
推论:① logba·logax=logbx(a>0且a≠1, b>0且b≠1, x>0);　
② logba·logab=1(a>0且a≠1, b>0且b≠1);　
③ lobm=logab(a>0且a≠1, b>0, m, n∈R, n≠0).
三、 数学运用
【例1】　(教材P77例7)求log89×log332的值. (见学生用书课堂本P47)
[处理建议]　引导学生尽量将不同底的对数化为同底的对数,然后直接运用性质进行计算.
[规范板书]　解　log89×log332=×=×=.　
【例2】　已知log189=a, 18b=5,用含有a, b的式子表示log3645.(见学生用书课堂本P47)
[处理建议]　已知对数和幂的底数都是18,所以先将所要求的对数化为与已知对数同底再求解.
[规范板书]　解　由已知得b=log185,所以log182=1-a.
log3645===.
变式　已知log1227=a,试用a表示log616.
[处理建议]　引导学生利用换底公式处理底数不同这一情形.
[规范板书]　解　∵ log1227===a,
∴ (3-a)lg3=2alg2, ∴ lg3=.
∴ lg616====.
[题后反思]　分析两个式子的差异,利用换底公式可减少运算量,从而达到目的.
【例3】　求证:logxy·logyz=logxz.(见学生用书课堂本P48)
[处理建议]　(1)注意到等式右边是以x为底数的对数,故将logyz化成以x为底的对数;(2)化成常用对数.
[规范板书]　证法一　logxy·logyz=logxy·=logxz.
证法二　logxy·logyz=·==logxz.
[题后反思]　在具体解题的过程中,不仅能正用换底公式,还要能逆用换底公式,如=logxz就是换底公式的逆用.
【例4】　(教材P77例8)如图,2 ( http: / / www.21cnjy.com )000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元.如果我国GDP年均增长7.8%,那么按照这个增长速度,在2000年的基础上,经过多少年以后,我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标 (见学生用书课堂本P48)
19982002年我国GDP数据图 ( http: / / www.21cnjy.com )(例4)
[规范板书]　解　假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标.根据题意,得89442×(1+7.8%)x=89442×4,即1.078x=4,故x=log1.0784=≈18.5.
答:约经过19年以后,我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标.
变式　(教材P62例9)在本章第3.1.2节的开头问题中,已知测得出土的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%,试推算古莲子的生活年代.
[规范板书]　解　根据本章第3.1.2节的讨论可以知道,经过x年后的残余量是y=0.999879x.由y=87.9%=0.879可知0.879=0.999879x,即xlg0.999879=lg0.879,从而x=≈1066,所以古莲子约是1066年前的遗物.
回到本节开始提出的问题,用计算器计算,得log0.840.5=≈4.
结论是:约经过4年以后,物质的剩留量是原来的一半.
*【例5】　设x, y, z为非零实数,且3x=4y=6z,求证:-=.
[处理建议]　由于条件中提供了相等的三 ( http: / / www.21cnjy.com )个幂值,故可设其为k,这样x, y, z都可用k表示出来,从而证明x, y, z满足的等式.另外,注重指数式与对数式的互化.
[规范板书]　证法一　设3x=4y=6z=k,则有x=log3k, y=log4k, z=log6k,所以-=-=logk6-logk3=logk2.
又==logk4=logk2,所以-=.
证法二　对3x=4y=6z取常用对数,得lg3x=lg4y=lg6z,∴ xlg3=ylg4=zlg6,∴==log46,==log43.
于是-=log46-log43=log42=,所以-=.
证法三　∵ 6=2×3, ∴ lg6=lg2+lg3.
由已知得xlg3=ylg4=zlg6=k≠0, lg3=, lg2=, lg6=,则有+=,所以-=.
[题后反思]　本题证法一、证 ( http: / / www.21cnjy.com )法三通过引入参数k,将x, y, z或lg2, lg3, lg6用同一参数k表示是解题的关键;证法二通过对已知等式取对数这一等价变形,将等式转化为x, y, z之间的比例关系,然后对照结论进行变换.上述证法中,对数的运算性质与换底公式的熟练掌握是解题的基础.
变式　已知x>0, y>0, z>0,且2x=3y=5z,试比较, , 的大小关系.
[规范板书]　　解　因为x>0, y>0, z>0,设2x=3y=5z=k,则k>1, lgk>0.
∴ x=, y=, z=,∴==, =, =.
∵ =, =, ∴ <.
∵ =, =, ∴ >.
∴ lg0,故>>.　
四、 课堂练习
1. 设log34×log48×log8m=log416,则实数m=9.
2. 计算:(1) +=1;
(2) =.
3. 计算:(1) log23×log34×log45×…×log1516=4;
(2) log2×log3×log5=-12.
4. 若log53=a, log54=b,则log2512=.(用a, b表示)
五、 课堂小结
本节课主要学习了对数的换底 ( http: / / www.21cnjy.com )公式,利用对数的换底公式将“底数化异为同”是解决对数问题的基本方法,它在求值和恒等变形中起着重要作用,在解题过程中应注意:
(1) 针对具体问题,选择好底数;
(2) 对数的换底公式与对数的运算法则应结合使用;
(3) 对数的换底公式的正用与逆用应结合使用.
第9课时　对数函数(1)
　 教学过程
一、 问题情境
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……经过多少次分裂,大约可以得到1万个细胞 10万个细胞 ……
不难发现:分裂次数y是要得到的细胞个数x的函数,即y=log2x.
二、 数学建构
问题1　这个函数有什么特征
(引导学生观察这个函数的特征:含有对数符号,底数是常数,真数是变量,从而得出对数函数的定义)
对数函数的定义:一般地,函数y=logax(a>0, a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
问题2　y=2log2x和y=log5这两个函数是否为对数函数
(都不是,对数函数的定义与指数函数的定义类 ( http: / / www.21cnjy.com )似,都是形式定义,要注意辨别.此处加深对概念的理解,但只需点到为止,避免挖深、拓展、引入复合函数的概念)
问题3　当a>0且a≠1时,函数y=ax与y=logax的定义域、值域有什么关系
(引导学生发现:函数y=logax的定义域和值域分别是函数y=ax的值域和定义域)
探究:分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象,并通过观察函数图象寻找它们之间的关系.
(1)y=2x,y=log2x;
(2)y=,y=x.
问题4　当a>0且a≠1时,函数y=ax与y=logax的图象之间有什么关系
(引导学生发现:函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称)
问题5　你能类比前面研究指数函数图象和性质的思路,提出研究对数函数图象和性质的方法吗 [1]
(引导学生类比指数函数图象和性质的研究方法, ( http: / / www.21cnjy.com )明确探究方向:按a>1和0在学生自主探究、合作交流的基础上填写下表[2]:
y=logax(a>0且a≠1) a>1 0图象 ( http: / / www.21cnjy.com )
性质 定义域为(0,+∞),值域为R
图象过定点(1, 0)
渐近线为y轴
在(0, +∞)上为单调增函数 在(0,+∞)上为单调减函数
01时,y>0 00;x>1时,y<0
　　问题6　函数y=log2x与y=x的图象之间有什么关系 进一步能得到什么结论
(函数y=log2x与y=x的图象关于x轴对称.一般性结论:函数y=logax和y=x的图象关于x轴对称)
三、 数学运用
【例1】　(教材P83例1)求下列函数的定义域:
(1) y=log0.2(4-x);
(2) y=loga(a>0, a≠1).(见学生用书课堂本P49)
[处理建议]　从对数函数的定义入手,考虑使整个函数解析式有意义的x的取值范围.
[规范板书]　　解　(1) 当4-x>0时, ( http: / / www.21cnjy.com )即x<4时,log0.2(4-x)有意义;当x≥4时,log0.2(4-x)没有意义.因此,函数y=log0.2(4-x)的定义域是(-∞, 4).　
(2) 当>0时,即x>1时,loga有意义;当x≤1时,loga没有意义.因此,函数y=loga的定义域是(1, +∞).
变式　求下列函数的定义域:
(1) y=log2(9-3x);
(2) y=log(3-x)(x-1);
(3) y=;
(4) y=.
[处理建议]　第(1)、(2 ( http: / / www.21cnjy.com ))题直接从对数函数的定义出发即可;第(3)题首先考虑整体条件,即log0.8x-1≥0,然后再结合对数函数的定义;第(4)题首先考虑整体条件,即log3(3x-2)≠0,然后再结合对数函数的定义.
[规范板书]　解　(1) 当9- ( http: / / www.21cnjy.com )3x>0时,即x<2时,log2(9-3x)有意义,所以函数y=log2(9-3x)的定义域为(-∞, 2).　
(2) 当时,即1(3) 当log0.8x-1≥0时,即0(4) 当log3(3x-2)≠0时,即时,即x>且x≠1时,有意义,所以函数y=的定义域为∪(1, +∞).　
[题后反思]　求对数函数的定义域必须综合考 ( http: / / www.21cnjy.com )虑三点:①底数要大于0且不等于1;②真数要大于0;③除了前面两个局部条件,还要满足整体条件(如变式中第(3)、 (4)题).
【例2】　(教材P83例2)比较下列各组数中两个值的大小:
(1) log23.4, log23.8;
(2) log0.51.8, log0.52.1;
(3) log75, log67. (见学生用书课堂本P50)
[处理建议]　利用对数函数的单调性比较实数大小时,当无法利用同一函数的单调性来直接比较,可以考虑找“中介”0或1来比较.
[规范板书]　解　(1) 考察对数函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y=log2x.因为2>1,所以y=log2x在(0,+∞)上是单调增函数.又因为0<3.4<3.8,所以log23.4(2) 考察对数函数y=log0. ( http: / / www.21cnjy.com )5x.因为0<0.5<1,所以y=log0.5x在(0,+∞)上是单调减函数.又因为0<1.8<2.1,所以log0.51.8>log0.52.1.
(3) 考察对数函数y=log7 ( http: / / www.21cnjy.com )x.因为7>1,所以y=log7x在(0,+∞)上是单调增函数.又因为0<5<7,所以log75同理,log67>log66=1.
所以log75[题后反思]　在比较两个底数相同的对数 ( http: / / www.21cnjy.com )值的大小时,可以直接利用对数函数的单调性;在比较两个不同底数的对数值的大小时,有时可以通过“中介”0或1间接地比较大小.
变式　比较下列各组数的大小:
(1) log0.51.8, log0.52.1;
(2) log3π, log20.8;　
(3) log27, log37;
(4) log0.20.8, log0.30.8.
[规范板书]　解　(1) log0.51.8>log0.52.1.
(2) ∵ log3π>log33=1, log20.8<0, ∴ log3π>log20.8.
(3) ∵ lg7>lg3>lg2>0, ∴ >,即log27>log37.
(4) ∵ lg0.2*【例3】　设0[处理建议]　这是两个不同底数的对数值的大小比较,关键是要找好“中介”,此时“中介”既不是0也不是1,而是loga(b+1).
[规范板书]　解　分别将这两个对数值与loga(b+1)进行大小比较.
① ∵ 0loga(b+1).
② loga(b+1)=, logb(b+1)=.因为log(b+1)a,即loga(b+1)>logb(b+1).
综上所述,loga(a+1)>logb(b+1).
四、 课堂练习
1. 已知函数f(x)=lg(x2 ( http: / / www.21cnjy.com )-3x+2)的定义域为M,函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为N,那么M和N的关系是N M.
2. 比较下列各组数的大小:
(1) log35.4(3) lg3.12>lg0.02;　 (4) ln0.55(5) ln2>ln0.32;　 (6) log653.已知0>logm5>logn5,试确定实数0, 1, m和n的大小关系.
提示　由题可得0>>,则lgm五、 课堂小结
本节课通过类比指数函数的图象和性质,探索研究了对数函数的图象和性质.通过对对数函数的性质的应用,进一步加深了学生对对数函数性质的理解.
第10课时　对数函数(2)
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　对数函数是怎样定义的
问题2　对数函数的图象和性质主要有哪些
(对数函数的图象恒过定点(1, 0).当01时,对数函数在(0, +∞)上单调递增)
二、 数学运用
【例1】　如图,对数函数y=loga ( http: / / www.21cnjy.com )x的底数a分别取值0.2, 0.5, 1.5, e,则曲线C1, C2, C3, C4中a的值依次是多少 (见学生用书课堂本P51)
( http: / / www.21cnjy.com )(例1)
[规范板书]　解　在图中取直线y=1, ( http: / / www.21cnjy.com )它与各个对数函数图象的交点的横坐标即为a的值,故可得曲线C1, C2, C3, C4中a的值依次为1.5, e, 0.2, 0.5.
[题后反思]　对于对数函 ( http: / / www.21cnjy.com )数y=logax的图象而言,有如下规律:当01时,a越大,函数图象越靠近x轴.[1]
【例2】　(根据教材P84例3改编)分别将下列函数的图象与函数y=log3x的图象在同一平面直角坐标系中画出来,并说明两者之间的关系.
(1) y=log3(x-2);　(2) y=log3(x+2);
(3) y=log3x-2;　　(4) y=log3x+2.(见学生用书课堂本P52)
[规范板书]　解　(1) 将函数y=log3x的图象向右平移2个单位长度,即得函数y=log3(x-2)的图象.
( http: / / www.21cnjy.com )(例2(1))
(2) 将函数y=log3x的图象向左平移2个单位长度,即得函数y=log3(x+2)的图象.
( http: / / www.21cnjy.com )(例2(2))
(3) 将函数y=log3x的图象向下平移2个单位长度,即得函数y=log3x-2的图象.
( http: / / www.21cnjy.com )(例2(3))
(4) 将函数y=log3x的图象向上平移2个单位长度,即得函数y=log3x+2的图象.
( http: / / www.21cnjy.com )(例2(4))
[题后反思]　　对于函数图象的平移,抓住一点:左加右减,上加下减.
变式　函数y=f(x)与y=f(x+a)的图象有何关系 函数y=f(x)与y=f(x)+a的图象有何关系
解　当a>0时,函数y=f(x+a ( http: / / www.21cnjy.com ))的图象可由函数y=f(x)的图象向左平移a个单位长度得到,函数y=f(x)+a的图象可由函数y=f(x)的图象向上平移a个单位长度得到;当a<0时,函数y=f(x+a)的图象可由函数y=f(x)的图象向右平移|a|个单位长度得到,函数y=f(x)+a的图象可由函数y=f(x)的图象向下平移|a|个单位长度得到.
【例3】　(根据教材P85例4改编)(1) 画出函数y=log2|x|的图象,并结合图象说说它的有关性质;
(2) 画出函数y=|log2x|的图象,并结合图象说说它的有关性质. (见学生用书课堂本P52)
[规范板书]　解　(1) 如图,函数y=log2|x|在(-∞, 0)上单调递减,在(0, +∞)上单调递增.
( http: / / www.21cnjy.com )(例3(1))
(2) 如图,函数y=在(0, 1]上单调递减,在[1, +∞)上单调递增.
( http: / / www.21cnjy.com )(例3(2))
三、 课堂练习
1. 画出函数y=的图象,并写出它的单调区间.
解　如图,单调减区间为(0, 2],单调增区间为[2, +∞).　
( http: / / www.21cnjy.com )(第1题)
2. 画出函数y=+1的图象,并写出它的单调区间.
解　如图,单调减区间为(0, 1],单调增区间为[1, +∞).　
( http: / / www.21cnjy.com )(第2题)
四、 课堂小结
本节课我们通过函数图象的变换,进一步研究了对数函数图象的性质,并利用数形结合来解决一系列问题.
第11课时　对数函数(3)
　 教学过程
一、 问题情境
问题　如何求复合函数y=f[φ(x)]的单调区间
二、 数学建构
研究复合函数单调性的方法 ( http: / / www.21cnjy.com ):口诀是“同增异减”.若两个函数同增或同减,则复合后的函数为单调增函数;若两个函数一增一减,则复合后的函数为单调减函数.
研究复合函数单调性的具体步骤:①求 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域;②拆分函数;③分别求y=f(u), u=φ(x)的单调性;④按“同增异减”的原则得出复合函数的单调性.
三、 数学运用
【例1】　求下列函数的定义域和值域:
(1) y=log2x2;
(2) y=(9-x2);
(3) y=lg(1-x2);
(4) y=x+log2x2-1.(见学生用书课堂本P53)
[处理建议]　紧紧扣住对数函数的单调性来处理与对数函数有关的值域问题.
[规范板书]　解　(1) 由题意 ( http: / / www.21cnjy.com )可得x2>0,即x≠0, ∴函数的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞). ∵ x2>0, ∴函数的值域为R.
(2) 由题意可得9-x2>0,即-30, ∴ (9-x2)≥9=-2, ∴ 函数的值域为[-2, +∞).
(3) 由题意可得1-x2>0,即-10, ∴ lg(1-x2)≤1=0, ∴ 函数的值域为(-∞, 0].
(4) 由题意可得 ∴x>0, ∴函数的定义域为(0, +∞).令t=log2x,则t∈R, y=t2+2t-1=(t+1)2-2≥-2,∴函数的值域为[-2, +∞).　
[题后反思]　①求形如y=loga ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)的函数的值域时,一般先由真数f(x)>0求出定义域,然后根据定义域求出f(x)的范围,再根据a的取值确定函数y=logaf(x)的值域;②求形如y=f(logax)的函数的值域时,常采用换元法,令t=logax,先根据定义域求出t的范围,再求函数y=f(t)的值域.
【例2】　求函数y=(-2x2+x)的单调区间. (见学生用书课堂本P54)
[处理建议]　结合对数函数、二次函数的图象和性质进行解决.
[规范板书]　解　由-2x2+x>0得0因为函数t=-2x2+x在上单调递增,在上单调递减,而函数y=lot是单调减函数,所以函数y=(-2x2+x)的单调增区间为,单调减区间为.
[题后反思]　求形如y=l ( http: / / www.21cnjy.com )ogm(ax2+bx+c)的函数的单调性,首先考虑其定义域,然后用换元法分层求出函数的单调性,再复合.熟练之后只要画出二次函数u=ax2+bx+c在x轴上方的图象,便能方便地求解.
变式1　求函数y=log2(x2-2x-3)的单调区间.
[规范板书]　解　由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3.令t=x2-2x-3,则y=log2t.
因为函数t=x2-2x-3在( ( http: / / www.21cnjy.com )-∞, -1)上单调递减,在(3, +∞)上单调递增,而函数y=log2t是单调增函数,所以函数y=log2(x2-2x-3)的单调增区间为(3,+ ∞),单调减区间为(-∞, -1).
变式2　求函数y=-2x的单调区间.　
[规范板书]　解　由题可得x>0.令t=x,则t∈R, y=t2-2t.
因为函数t=x在(0, +∞)上单调递减,而函数y=t2-2t在t∈(-∞, 1]上此时x∈单调递减,在t∈[1, +∞)上此时x∈单调递增,所以函数y=-x的单调增区间为,单调减区间为.
变式3　已知函数y=loga(x2-ax+2)在[1, 2]上为单调增函数,求实数a的取值范围.
[规范板书]　解　要保证真数大于0,只要t=x2-ax+2在[1, 2]上的最小值大于0.
① 当a>1时,由题意可知函数t=x2-ax+2在[1, 2]上为单调增函数,则解得a≤2, ∴ 1② 当0综上所述,实数a的取值范围为1*【例3】　已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2),若该函数的定义域为R,试求实数m的取值范围.
[规范板书]　解　因为该函数的定义域为R,所以x2-2mx+m+2>0恒成立,所以Δ=4m2-4(m+2)<0,所以-1变式　若函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)的值域为R,试求实数m的取值范围.
[规范板书]　解　因为该函数的值域为R,所以x2-2mx+m+2可取到所有的正数,所以Δ=4m2-4(m+2)≥0,所以m≥2或m≤-1.
四、 课堂练习
1. 函数y=(x2-6x+17)的值域是(-∞, -3].
提示　令t=x2-6x+17,则t=(x-3)2+8≥8, ∴ y=lot≤lo8=-3.
2. 设a>1,若函数f(x)=logax在上的最大值与最小值之差为,则a=4.
提示　当a>1时,函数f(x)=logax在上单调递增,故有loga(2a)-logaa=,解得a=4.　
3. 已知函数y=(2x+1)+(3-x),则它的单调减区间为.
提示　由题意可得 ∴-0).由于函数y=t在t∈(0, +∞)上单调递减,故要求原函数的单调减区间,只需使函数t=(2x+1)(3-x)为正并且单调递增,即得x∈.
五、 课堂小结
本节课主要研究了复合函数的单调性和值域.要判 ( http: / / www.21cnjy.com )断复合函数的单调性,首先要把复合函数拆分为几个简单函数,分别判断其单调性,然后再利用“同增异减”的原则进行判定.要注意对数函数的真数大于0,同时底数a的范围对其单调性的影响.
第12课时　对数函数(4)
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　什么是奇函数 什么是偶函数 如何判断函数的奇偶性
问题2　如何判断与对数函数有关的函数的奇偶性
二、 数学建构
已知函数f(x)的定义域为D,若对任意的x∈D,都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数;
已知函数f(x)的定义域为D,若对任意的x∈D,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数.
三、 数学运用
【例1】　判断下列函数的奇偶性:
(1) y=lg;　(2) f(x)=ln(1+e2x)-x;
(3) f(x)=log2(-x).(见学生用书课堂本P55)
[处理建议]　首先要考虑函数的定义域,然后按照奇偶性的定义进行说明.
[规范板书]　解　(1) 由>0得-2又f(-x)=lg=lg=-lg=-f(x),所以函数y=lg为奇函数.
(2) 函数f(x)的定义域为R.
∵f(-x)=ln(1+e-2x)+x=ln+x=ln(1+e2x)-x=f(x), ∴函数f(x)是偶函数.
(3) 函数f(x)的定义域为R.
∵ f(-x)=log2(+x)=
log2=-log2(-x)=-f(x), ∴函数f(x)是奇函数.
[题后反思]　① 对于对数函数的奇偶性,一般用f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0进行判断比较方便,例如第(3)题:f(-x)+f(x)=log2(+x)+log2(-x)=log2[(+x)(-x)]=log21=0,所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)=log2(-x)是奇函数.
② 函数y=lg是奇函数(m>0, n>0),这可以当做一条性质记住.
变式　求函数y=lg的对称中心.
[规范板书]　解　函数y=lg可以变形为y=lg.
由于函数y=lg是奇函数,且以原点为对称中心,所以函数y=lg以(-1, 0)为对称中心,即函数y=lg的对称中心为(-1, 0).
【例2】　已知奇函数f(x)在(-∞, 0)上为单调减函数,且f(-1)=0,求不等式f<0的解集. (见学生用书课堂本P56)
[规范板书]　解　∵函数f(x)为奇 ( http: / / www.21cnjy.com )函数,且f(-1)=0, ∴f(1)=0.又∵函数f(x)在(-∞, 0)上为单调减函数, ∴函数f(x)在(0, +∞)上为单调减函数.
又∵f<0, ∴ -11,解得0.
变式　已知函数f(x)=logax,且在[3, +∞)上恒有|f(x)|>1,求实数a的取值范围.
[处理建议]　引导学生分类讨论,且实现恒成立问题的等价转化.
[规范板书]　解　∵ x ( http: / / www.21cnjy.com )∈[3, +∞), ∴ 当a>1时,|f(x)|=f(x),由在[3, +∞)上恒有|f(x)|>1,得logax>1在[3, +∞)上恒成立,∴ loga3>1, ∴ 1当01,得-logax>1在[3, +∞)上恒成立,∴ loga3<-1, ∴ 综上所述,可知实数a的取值范围为∪(1, 3).
【例3】　解不等式:(x2-3x-4)>(2x+10).(见学生用书课堂本P56)
[规范板书]　解　由已知可得0变式　解不等式:loga(-x2+3x+4)-loga(2x-1)>loga2.
[规范板书]　解　原不等式等价于loga(-x2+3x+4)>loga(4x-2).
① 当a>1时,-x2+3x+4>4x-2>0,解得即② 当0综上所述,当a>1时,[题后反思]　在具体的解题过程中,要注意底数a的范围对函数单调性的影响,当底数a的范围不确定时,要分a>1和0*【例4】　已知函数y=loga(2-ax)在[0, 1]上是单调减函数,求实数a的取值范围.
[规范板书]　解　由已知可得a>0,令t=2-ax,所以函数t=2-ax在[0, 1]上是单调减函数.
又因为y=loga(2-ax)在[0, 1]上是单调减函数,所以y=logat是单调增函数,所以a>1.
又因为t=2-ax>0在[0, 1]上恒成立,而a>1,所以2-a>0,所以1[题后反思]　关键利用“同增异减”的原则判断复合函数的单调性.
变式　已知函数f(x)=lo(x2-ax+a)在(-∞, ]上是单调增函数,求实数a的取值范围.
[处理建议]　引导学生根据“同增异减”的原则,以及对数的底数为正而列出限制条件.
[规范板书]　解　令u=x2-ax+a,由复合函数的单调性可知,由于y=lou是单调减函数,所以只需u=x2-ax+a在(-∞, ]上是单调减函数,所以≥,所以a≥2.
又u=x2-ax+a在(-∞, ]上要满足u>0,结合单调性可知u()>0即可,即2-a+a>0,所以a<2(+1).
综上可知,实数a的取值范围为[2, 2+2).
[题后反思]　学生容易由≥和Δ=a2-4a<0得到错解[2, 4).要认真分析,结合图形弄清楚,以免出错.
四、 课堂练习
1. 欲使函数y=loga(x+1)(a>0且a≠1)的值域为(-∞, +∞),则x的取值范围是(-1, +∞).
2. 函数f(x)=ln(x+)是奇函数.(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”)
3. 已知函数y=的定义域为,值域为,则区间的长度b-a的最小值是.
4. 设0提示　由已知得ax-1>1,所以ax>2,由05. 当x∈(1, +∞)时,函数y=log2(ax+1)有意义,则实数a的取值范围是a≥0.
提示　由已知可得,当 x∈(1, +∞)时,ax+1>0恒成立,即a>-恒成立,所以a>,而-1<-<0,所以a≥0.
五、 课堂小结
本节课主要研究了对数函数 ( http: / / www.21cnjy.com )和其他简单函数构成的复合函数的单调性和奇偶性,在解题过程中应注意底数a的取值范围对函数单调性的影响,当底数a的取值范围不确定时,要分a>1和0第13课时　幂函数(1)
　 教学过程
一、 问题情境
经调查,一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:
价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求量/t 139.6 135.4 131.6 128.2 125.1 122.2 119.5
根据此表,我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y=114.82x-0.38.这个关系式与函数y=x-0.38是相关联的.
那么,函数y=x-0.38是指数函数吗
二、 数学建构
(一) 生成概念
一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量, α是常数.
(二) 理解概念
问题1　幂函数有什么性质
解　一般地,幂函数y=xα有下列性质:
(1) 幂函数的图象都过点(1, 1);
(2) 当α>0时,幂函数在[0, +∞)上单调递增;
当α<0时,幂函数在(0, +∞)上单调递减;
(3) 当α=-2, 2时,幂函数是偶函数;当α=-1, 1, 3, 时,幂函数是奇函数;
(4) 任何幂函数的图象都不过第四象限;
(5) 当α>0时,幂函数的图象过点(0, 0), (1, 1).
问题2　幂函数的图象在第一象限内有何分布规律 [1]
解　(1) 当α>0时,在第一象限内,过(1, 1)点后,图象向右上方无限延伸,α越大,图象上升得越快;
(2) 当α<0时,在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近;过点(1, 1)后,|α|越大,图象下落的速度越快;
(3) 幂指数的分母为偶数时,图象只 ( http: / / www.21cnjy.com )在第一象限内;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、二象限内且关于y轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、三象限内且关于原点对称.
三、 数学运用
【例1】　(教材P88例1)写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性:
(1) y=x3;　(2) y=;　 (3)y=x-2.(见学生用书课堂本P57)
[处理建议]　引导学生将负指数幂转化为分式形式,将分数指数幂转化为根式的形式.
[规范板书]　解　(1) 函数y=x3的定义域是R,它是奇函数.
(2) 函数y=可化为y=,其定义域是[0, +∞),它既不是奇函数也不是偶函数.
(3) 函数y=x-2可化为y=,其定义域是(-∞, 0)∪(0, +∞),它是偶函数.
[题后反思]　①研究y=(p, q为互质的整数)的定义域,一般将它改写为根式后,再求出它的定义域.②如何确定幂函数的奇偶性 若指数为整数,可直接判断;若为分数,先把它改写为根式,一看定义域,二看f(-x)与f(x)的关系.
变式　写出函数y=的定义域,并指出它的奇偶性.
[规范板书]　解　y=可化为y=,其定义域为R.由于f(-x)===f(x),所以函数y=是偶函数.
【例2】　比较下列各组数的大小:
(1) , ;
(2) , , ;
(3) , , ;
(4) 0.80.5, 0.90.4.(见学生用书课堂本P58)
[处理建议]　利用幂函数的单调性比较两数的大小.
[规范板书]　解　(1) ∵y=是偶函数, =.
∵-<0, ∴函数y=在(0, +∞)上为单调减函数,而1.2<1.3, ∴ 1.<1.,即<.
(2) =. ∵ >0,∴函数y=在[0, +∞)上为单调增函数.
∵2.1<4, ∴>>0.而<0, ∴<<.
(3) ∵>=1, <=1, <0, ∴>>.
(4) 选择中间数0.90.5.
∵幂函数y=x0.5在[0, +∞)上单调递增,且0.8<0.9, ∴0.80.5<0.90.5.
又∵指数函数y=0.9x在(-∞, +∞)上单调递减,且0.5>0.4, ∴0.90.5<0.90.4.
∴0.80.5<0.90.4.
[题后反思]　熟练地利用函数的单调性比 ( http: / / www.21cnjy.com )较两个实数的大小关系.当比较的数多于两个时,一般采用从整体到局部的思维方法:先与0比较,分出正数与负数(如果都是正数,再与1比较;如果都是负数,再与-1比较),最后转化为只有两个数的大小比较问题.重要的是寻求它们与中间数的大小比较,如第(4)题.一般比较大小有四种方法:①作差比较法;②作商比较法;③中间值法;④利用函数的单调性比较大小.
变式　求下列各式中实数a的取值范围:
(1) >;　(2)>.
[处理建议]　已知指数相同的两个幂的大小,可以利用幂函数的单调性来确定底数的大小.
[规范板书]　解　(1) ∵>, ∴ a≥0.又函数y=在[0, +∞)上为单调增函数,∴ a>0.5.
(2) =.
① 当2a+4≥0时,由函数y=在[0, +∞)上为单调增函数知2>2a+4≥0,即-2≤a<-1;
② 当2a+4<0时,由函数y=在(-∞, 0]上为单调减函数知-2<2a+4<0,即-3综上所述,a的取值范围是(-3, -1).
*【例3】　已知幂函数y=(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,求m的值.
[处理建议]　通过常见的幂函数的图象和性质进行分析,体会数形结合的思想.
[规范板书]　解　由题意可得m2-2m-2≤0, ∴ 1-≤m≤1+.
又∵m∈Z, ∴m=0, 1, 2.
又∵该幂函数的图象与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,∴该幂函数为偶函数,∴ m=0或2.
[题后反思]　对于常见幂函数的图象,要记清其大致形状,对其性质要清晰.
变式　已知幂函数y=xm-6(m∈Z)和 ( http: / / www.21cnjy.com )y=x2-m(m∈Z)的图象都与x轴、y轴无交点,且函数y=x2-m(m∈Z)的图象关于y轴对称,求实数m的值.
[规范板书]　解　因为已知两个幂函数的图象都与x轴、y轴无交点,所以解得2又因为函数y=x2-m(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以2-m为偶数,即得m=4.
四、 课堂练习
1. 写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性和单调性:
(1) y=x4;　(2) y=;　(3)y=x-3;　
(4)y=;　(5)y=.
解　(1) 定义域为R,该函数为偶函数,在(-∞, 0]上单调递减,在[0, +∞)上单调递增.
(2) 定义域为[0, +∞),该函数为非奇非偶函数,在[0, +∞)上单调递增.
(3) 定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞),该函数为奇函数,在(-∞, 0)上单调递减,在(0, +∞)上单调递减.
(4) 定义域为R,该函数为奇函数,在R上单调递增.
(5) 定义域为R,该函数为偶函数,在(-∞, 0]上单调递减,在[0, +∞)上单调递增.
2. 比较下列各组数的大小:
(1) , ;　(2) 0.26-1, 0.27-1;
(3) (-0.72)3, (-0.75)3.
解　(1) <;　(2) 0.26-1>0.27-1;
(3) (-0.72)3>(-0.75)3.
五、 课堂小结
1. α≠0, 1时,幂函数y=xα的图象在第一象限内的特征:　
(1) 当α>1时,图象过点(0, 0), (1, 1),且下凸递增;　
(2) 当0<α<1时,图象过点(0, 0), (1, 1),且上凸递增;
(3) 当α<0时,图象过点(1, 1),且单调递减,以两坐标轴为渐近线.
2. 由定义域与奇偶性可知幂函数在第四象限内无图象.
第14课时　幂函数(2)
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　什么是幂函数
问题2　幂函数的图象和性质有什么特点
二、 数学运用
【例1】　已知点在幂函数y=f(x)的图象上,点在幂函数y=g(x)的图象上,试解不等式f(x)>g(x).(见学生用书课堂本P59)
[处理建议]　要求幂函数y=xn的解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式,只要确定n的值,根据题设条件中幂函数经过的点就可以求出n的值,从而确定幂函数的解析式,然后解不等式.
[规范板书]　解　因为点(, 3)在幂函数f(x)=xα的图象上,所以3=,解得α=2,所以f(x)=x2.
因为点在幂函数g(x)=xβ的图象上,所以=,解得β=-2,所以g(x)=x-2.
由f(x)>g(x)得x2>x-2,所以>0,解得x>1或x<-1.
所以不等式f(x)>g(x)的解集为(-∞, -1)∪(1, +∞).
[题后反思]　在求解不等式f(x)>g(x)时,应特别注意函数g(x)的定义域,即这里要重视x≠0.
变式　函数y=(m2-m-1)xm-1是幂函数且在x∈(0, +∞)上为单调减函数,求实数m的值.
[规范板书]　解　∵ 函数y=(m2-m-1)xm-1是幂函数, ∴ m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
∵ 函数y=(m2-m-1)xm-1在x∈(0, +∞)上为单调减函数, ∴ m-1<0,即m<1.
∴ m=-1.
[题后反思]　(1) 幂函数的定义是形式定义 ( http: / / www.21cnjy.com ),要注意其形式特征,如xα前的系数为1,底数为x等.幂函数y=x和y=x2分别是一次函数和二次函数的特例.
(2) 若函数y=(m2-m-1)xm-1改成y=(m2-m-1),则由于解不等式m2-4m-3<0较为困难,可将m=-1, m=2分别代入不等式m2-4m-3<0进行检验.
【例2】　已知幂函数f(x)=(其中m∈N*,且m≥2)为奇函数,且在区间(0, +∞)上是单调减函数.
(1) 求函数f(x);
(2) 比较f(-2013)与f(-2014)的大小. (见学生用书课堂本P60)
[处理建议]　引导学生运用幂函数的概念和幂函数的性质确定m的值,进而运用性质解题.
[规范板书]　解　(1) ∵ f(x)=在(0, +∞)上是单调减函数,∴ m2-m-3<0,即又m∈N*,且m≥2,故m=2.于是m2-m-3=4-2-3=-1,得f(x)=x-1,符合题意.
(2) ∵ 此幂函数为奇函数,∴ f(-2013)=-f(2013)=-, f(-2014)=-f(2014)=-.由于-<-,故f(-2013)[题后反思]　①判断f(-20 ( http: / / www.21cnjy.com )13)与f(-2014)的大小时,也可以根据f(x)在(-∞, 0)上是单调减函数来判断;②幂函数的单调性与奇偶性要加以关注.
变式　求函数f(x)=的单调区间,并比较f(-π)与f的大小.
[处理建议]　寻求与基本函数的联系,把它化为幂函数的形式.
[规范板书]　解　f(x)==1+(x+2)-2,其图象可以由幂函数y=x-2向左平移2个单位长度后,再向上平移1个单位长度得到,所以易知该函数的单调减区间为(-2, +∞),单调增区间为(-∞, -2),且其图象关于直线x=-2对称.
因为-2-(-π)=π-2<--(-2)=2-,所以f(-π)>f.
[题后反思]　本题涉及的知识点较多,注意向学生渗透转化与数形结合的思想.
【例3】　试判断函数f(x)=+2+4在区间上的单调性. (见学生用书课堂本P60)
[处理建议]　利用函数y=的单调性来判断函数f(x)的单调性.
[规范板书]　解　设x1, x2∈,且x1∵ 幂函数y=在(-∞, +∞)上是单调增函数,且-1≤x10.
∴ f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)在区间上是单调增函数.
[题后反思]　本题中f(x)还可以转化为f(x)=(+1)2+3,然后利用复合函数的单调性求出该函数的单调区间.
三、 课堂练习
1. 设函数f(x)=(m-1),如果f(x)是正比例函数,则m=±;如果f(x)是幂函数,则m=2.　
提示　如果f(x)是正比例函数,则所以m=±.如果f(x)是幂函数,则m-1=1,所以m=2.
2. 若<,则实数a的取值范围是0提示　由<可得<,所以03. 当0四、 课堂小结
本节课主要是对幂函数的图象和性质的进一步应用,利用其性质对复合函数的单调性进行判断.
第15课时　函数与方程(1)
　 教学过程
一、 问题情境
初中教材中已经研究过二次函数问题,请回忆以下几个问题:
1. 如何求一元二次方程的根
2. 如何画二次函数的图象 怎样表示二次函数的图象和x轴交点的横坐标
3. 二次函数和一元二次方程之间有哪些内在的联系
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　观察二次函数y=x2-2x-3的图象(如图1),x取哪些值时,y=0
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
我们把二次函数y=x2-2x-3的 ( http: / / www.21cnjy.com )值为0的实数-1, 3(即一元二次方程x2-2x-3=0的实数根)称为二次函数y=x2-2x-3的零点.从图象上看,二次函数y=x2-2x-3的零点,就是抛物线与x轴交点的横坐标.　
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
问题2　二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根之间有怎样的关系
(1) 当Δ=b2-4ac> ( http: / / www.21cnjy.com )0时,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点(x1, 0),(x2, 0),(不妨设x10)有两个不等实根x1, x2;反之亦然.
(2) 当Δ=b2-4ac=0时,二次函数y ( http: / / www.21cnjy.com )=ax2+bx+c(a>0)与x轴有且只有一个交点(x0, 0),对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个相等实根x0;反之亦然.
(3) 当Δ=b2-4ac<0时,二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y=ax2+bx+c(a>0)与x轴没有交点,对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实根;反之亦然.
一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.
因此,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.从图象上看,函数y=f(x)的零点,就是它的图象与x轴交点的横坐标.
(二) 理解概念
1. 函数的零点即相应方程的根.
2. 函数的零点就是相应图象与x轴交点的横坐标.
(三) 巩固概念
问题3　函数y=(x-1)(x+2)的零点是什么
三、 数学运用
【例1】　求证:二次函数y=3x2+x-8有两个不同的零点. (见学生用书课堂本P61)
[处理建议]　本题可以结合一元二次方程的根的情况来判断处理,也可以直接考察二次函数y=3x2+x-8的图象与x轴交点的个数.
[规范板书]　证法一　考察一元二次方程3x2+x-8=0.
∵ Δ=12-4×3×(-8)=97>0, ∴ 一元二次方程3x2+x-8=0有两个不相等的实数根.
∴ 二次函数y=3x2+x-8有两个不同的零点.
证法二　∵Δ=12-4×3×=97>0, ∴ 二次函数y=3x2+x-8的图象与x轴有两个不同的交点,即二次函数y=3x2+x-8有两个不同的零点.
[题后反思]　还可以先说明函数的图象是一条开 ( http: / / www.21cnjy.com )口向上的抛物线,然后由f(0)=3×02+0-8=-8<0,得到函数的图象与x轴有两个不同的交点,即说明了二次函数y=3x2+x-8有两个不同的零点.
【例2】　(教材P92例2)判断函数f(x)=x2-2x-1在区间(2, 3)上是否存在零点. (见学生用书课堂本P62)
[规范板书]　解法一　根据求根公式可得方程x2-2x-1=0的两个根分别为x1=1+, x2=1-.　
因为1<<2,所以2<1+<3.
因此,函数f(x)=x2-2x-1在区间(2, 3)上存在零点.
解法二　因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,而二次函数f(x)=x2-2x-1在区间[2, 3]上的图象是不间断的,这表明此函数图象在区间(2, 3)上一定穿过x轴,即函数在区间(2, 3)上存在零点.
[题后反思]　一般地,若函数y=f(x)在区 ( http: / / www.21cnjy.com )间[a, b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a, b)上有零点.
变式　已知二次函数y=f(x)的零点分别是-2和3,且该函数的最大值为5,求y=f(x)的表达式.
[处理建议]　本题条件中提到了函数的零点,需要先弄清楚零点的定义,然后再合适地设二次函数的解析式,最后通过待定系数法解决问题.
[规范板书]　解　设该二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-3),则该函数图象的对称轴为x==.
由题意得f=5,即a=5,解得a=-.
∴y=-(x+2)(x-3)=-x2+x+.
[题后反思]　合适地选择二次函数解析式的形式,会大大地减少计算量.
【例3】　已知函数f(x)=2x2-x+m有两个不相等的正零点,求实数m的取值范围. (见学生用书课堂本P62)
[处理建议]　本题涉及的函 ( http: / / www.21cnjy.com )数有两个正零点,学生可能会条件反射地说Δ>0.讲解本题时可以先让学生自己思考,然后从学生中找几个有代表性的解答做具体的分析.
[规范板书]　解　由题意可得
即
即 解得03+2.
[题后反思]　本题实质上就 ( http: / / www.21cnjy.com )是一元二次方程的根的分布问题,很多时候会采用函数的零点来描述,要注意概念的转换,其中写等价组是关键,本题也可以用韦达定理来解决.
*【例4】　已知m, n是二次函数y=x2+(2-k)x+k2+3k+5(k∈R)的两个零点,求m2+n2的最大值和最小值.
[处理建议]　本题实质上是对应的一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程x2+(2-k)x+k2+3k+5=0 有两个实数根,要求m2+n2的最值,首先要考虑根与系数的关系,并由此得到以k为自变量的m2+n2的函数解析式.
[规范板书]　解　由题意可知方程x2+(2-k)x+k2+3k+5=0(k∈R)有两个实根,所以Δ=(2-k)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0,解得-4≤k≤-.　
又m+n=-(2-k), mn=k2+3k+5,所以
m2+n2=(m+n)2-2mn=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.
而f(k)=-(k+5)2+19在k∈上是单调减函数,因此,当k=-4时,m2+n2取最大值18;当k=-时,m2+n2取最小值.
[题后反思]　这实质上是一个与一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的根有关的问题,必须先确定k的取值范围,构造以k为变量的函数,然后通过函数的值域求最大值和最小值.
四、 课堂练习
1. 二次函数y=x2-5x-6的零点为-1和6.
2. 已知关于x的一元二次方程2x2+px+15=0对应的函数有一个零点是-3,则此函数的另一个零点是-.
3. 证明:(1) 函数y=x2+5x+3有两个不同的零点;
(2) 函数f(x)=x4-2x-3在区间(1, 2)上有零点.
证明　(1)考察方程x2+5x+3 ( http: / / www.21cnjy.com )=0,因为Δ=52-3×4=13>0,所以方程x2+5x+3=0有两个不相等的实根,故函数y=x2+5x+3有两个不同的零点;　(2)因为f(1)=-4<0, f(2)=9>0,所以函数f(x)=x4-2x-3在区间(1, 2)上有零点.
4. 若二次函数f(x)的顶点为A(1, 16),其图象在x轴上截得的线段长为8,则f(x)=0的两根为-3和5.
五、 课堂小结
关于二次函数零点的研究,需要系统地 ( http: / / www.21cnjy.com )联系三个二次(二次函数,一元二次方程,一元二次不等式)问题,其中二次函数是核心,二次函数的图象能把一些抽象的函数条件具体化,从而帮助我们找到解题思路.
第16课时　函数与方程(2)
　 教学过程
一、 问题情境
对于方程lgx=3-x,要求出这个方程的解是较为困难的. 我们能否求出这个方程的近似解呢
让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究.
例如,求方程x2-2x-1= ( http: / / www.21cnjy.com )0的实数根就是求函数f(x)=x2-2x-1的零点. 根据图象(如图1),我们发现f(2)<0, f(3)>0.这表明此函数图象在区间(2, 3)上有零点,即方程f(x)=0在区间(2, 3)上有实数根. 又因为在区间(2, 3)上函数f(x)是单调递增的,所以方程x2-2x-1=0在区间(2, 3)上有唯一实数根x1.
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1　如何进一步缩小方程x2-2x-1=0的实数根x1的范围呢
解　计算得f=>0,发现x1∈(2, 2.5)(如图1),这样可以进一步缩小x1所在的区间.
思考　你能把x1限制在更小的区间内吗
解　下面我们利用计算器来求方程x ( http: / / www.21cnjy.com )2-2x-1=0的一个近似解(精确到0.1). 设f(x)=x2-2x-1,先画出函数图象的简图(如图1).
( http: / / www.21cnjy.com )(图2)
因为f(2)=-1<0, f(3)=2>0,所以在区间(2, 3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x1.
取2与3的平均数2.5. 因为f(2.5)=0.25>0,所以2再取2与2.5的平均数2.25. 因为f(2.25)=-0.4375<0,所以2.25如此继续下去,得
f(2)<0, f(3)>0 x1∈(2, 3),
f(2)<0, f(2.5)>0 x1∈(2, 2.5),
f(2.25)<0, f(2.5)>0 x1∈(2.25, 2.5),
f(2.375)<0, f(2.5)>0 x1∈(2.375, 2.5),
f(2.375)<0, f(2.4375)>0 x1∈(2.375, 2.4375).
因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为x1≈2.4.
利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解.
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法,它是求一元方程近似解的常用方法.
(二) 理解概念
1. 运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间.
2. 二分法是一种操作,其实是在不断地做同样的一个操作,渗透了算法的循环结构思想.
(三) 巩固概念
问题2　二分法的一般操作流程是什么
解　给定精度ε,用二分法求函数f(x)零点的近似值的步骤如下:
(1) 确定区间[a, b],验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε;
(2) 求区间(a, b)的中点x1;
(3) 计算f(x1):
① 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
② 若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a, x1));
③ 若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1, b));
(4) 判断是否达到精度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点值a(或b);否则重复步骤(2)(4).
由函数的零点与相应方程的关系,我们可以用二分法来求方程的近似解.
三、 数学运用
【例1】　(教材P94例1)利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解.(精确到0.1) (见学生用书课堂本P63)
[处理建议]　求方程lgx=3-x的解,可以转化为求函数f(x)=lgx+x-3的零点,故可以利用二分法求出题中方程的近似解.
[规范板书]　解　分别画出函数y=l ( http: / / www.21cnjy.com )gx和y=3-x的图象(如图).在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现,方程lgx=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2, 3)内.设f(x)=lgx+x-3,利用计算器计算得　
f(2)<0, f(3)>0 x1∈ ( http: / / www.21cnjy.com )(2, 3), f(2.5)<0, f(3)>0 x1∈(2.5, 3), f(2.5)<0, f(2.75)>0 x1∈(2.5, 2.75), f(2.5)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5, 2.625), f(2.5625)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5625, 2.625).
( http: / / www.21cnjy.com )(例1)
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x1≈2.6.
[题后反思]　发现计算的结果约稳定在2.58717.根据精度要求,可以来确定是否要继续算中点的函数值.
【例2】　(教材P96例3)求方程2x+x=4的近似解.(精确到0.1) (见学生用书课堂本P64)
[处理建议]　首先利用函数y=2x与y=4-x的图象,估计出方程2x=4-x的解所在的区间.然后,运用二分法求出题中方程的近似解.
[规范板书]　解　方程2x+x=4可以化为2x=4-x.
分别画出函数y=2x与y=4-x的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象(如图).由图象可以知道,方程2x+x=4的解在区间(1, 2)上.对于区间(1, 2),利用二分法就可以求得它的近似解为x≈1.4.
( http: / / www.21cnjy.com )(例2)
[题后反思]　二分法是一种操作性极强的操作方法,主要是掌握其思想方法,为以后的算法学习打下基础.
【例3】　(教材P95例2)作出函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y=x3与y=3x-1的图象,并写出方程x3=3x-1的近似解.(精确到0.1) (见学生用书课堂本P64)
[处理建议]　本题其实就是求函数y=x3和y=3x-1图象交点的横坐标.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[规范板书]　解　作出函数y=x3 ( http: / / www.21cnjy.com )与y=3x-1的图象(如图).在两个函数图象的交点处,函数值相等. 因此,这3个交点的横坐标就是方程x3=3x-1的解.
由图象可以知道,方程x3 ( http: / / www.21cnjy.com )=3x-1的解分别在区间(-2, -1),(0, 1)和(1, 2)上. 那么,对于区间(-2, -1), (0, 1)和(1, 2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x1≈-1.9, x2≈0.3, x3≈1.5.　
[题后反思]　函数的图象必须精确地画出,这样才能从图象上观察出解所在的大致区间,进而进行二分法的操作.
*【例4】　已知函数f(x)=ax+(a>1).
(1) 求证:f(x)在(-1, +∞)上为单调增函数.
(2) 若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精确度为0.1)
[规范板书]　证明　(1) 任取x1, x2∈(-1, +∞),且x10, ∵ a>1, ∴ >1,且>0.
∴ -=(-1)>0.
又∵ x1+1>0, x2+1>0, ∴ -=>0.
于是f(x2)-f(x1)=-+->0,即f(x2)>f(x1).故f(x)在(-1, +∞)上为单调增函数.　
(2) 由(1)知,当a=3时,f(x)=3x+在(-1, +∞)上为单调增函数,故在(0, +∞)上单调递增.因此方程f(x)=0的正根仅有一个.
由于f(0)=-1<0, f(1)=>0, ∴取(0, 1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
区　间 中　点 中点函数值
(0, 1) 0.5 　0.732
(0, 0.5) 0.25 -0.084
(0.25, 0.5) 0.375 0.322
(0.25, 0.375) 0.3125 0.124
　　由于|0.3125-0.25|=0.0625<0.1,
∴ 原方程的近似解可取为0.3125.
[题后反思]　求函数零点的 ( http: / / www.21cnjy.com )近似值时,由于所选的初始区间不同,最后得到的结果可能不同,只要它们符合所给定的精确度,就是正确的.用二分法求方程的近似解可按下面的口诀进行记忆:
“函数连续值两端,相乘为负有零点,区间之内有一数,方程成立很显然;要求方程近似解,先看零点的区间,每次区间分为二,先后两端近零点.”
四、 课堂练习
1. 设x0是方程lnx=-x+4的解,则x0所在的区间为(2, 3).(取两个相邻整数之间)
2. 估算方程5x2-7x-1=0的正根所在的区间是(1, 2).(取两个相邻整数之间)
3. 估算方程3x2-7x-11=0的负根所在的区间是(-2, -1).(取两个相邻整数之间)
4. 利用计算器,求方程lg3x=-x+2的近似解.(精确到0.1)
提示　 x≈1.4.
五、 课堂小结
本节课学习了用二分法求方程的近似解,它体现了函数的零点与方程的根之间的关系,让学生进一步理解了函数与方程的思想.
第17课时　函数与方程(3)
　 教学过程
一、 问题情境
　　若一个二次函数的零点都是正数 ( http: / / www.21cnjy.com ),是不是简单地用Δ和0的关系来比较 还需要哪些条件 如果需要把二次函数的零点限制在特定的范围,需要考虑哪些要素 能否探究出解决该类问题的基本思路
二、 数学建构
问题　能否根据条件画出合适的图象,并写出等价条件
一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)实数根分布表
根的情况 a>0时的图象 a<0时的图象 充要条件
两个根都小于m
两个根都大于n
一个根大于m,另一根小于m (x1-m)(x2-m)<0 af(m)<0
在区间(m, n)内有且仅有一个根 f(m)f(n)<0
在区间(m, n)之外有两个根
在区间(m, n)内有两个根
　　探究一元二次方程根的分布时要注意三个条件:①判别式;②对称轴位置;③端点的函数值的符号.
三、 数学运用
【例1】　已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,分别求适合下列条件的实数m的取值范围:
(1) 方程的一个根大于2,另一个根小于2;
(2) 方程的两个根都小于-2;
(3) 方程的一个根在(-2, 0)内,另一个根在(0, 4)内;
(4) 方程的两个根都在(0, 2)内. (见学生用书课堂本P65)
[处理建议]　引导学生结合二次函数f(x)=x2+(m-3)x+m的图象进行分析.
[规范板书]　解　设f(x)=x2+(m-3)x+m.
(1) 原条件等价于f(2)<0,即4+2(m-3)+m<0,解得m<.
(2) 原条件等价于解得9≤m<10.
(3) 原条件等价于解得-(4) 原条件等价于解得[题后反思]　可以借助图象研究函数零点(方程根)的问题;对于一元二次方程的实根分布情况要掌握.
变式　当关于x的方程的根满足下列条件时,求实数a的取值范围:
(1) 方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2,另一个小于2;
(2) 方程ax2+3x+4a=0的两个根都小于1;
(3) 方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0的一个根在区间(0, 1)上,另一个根在区间(1, 2)上;
(4) 方程x2+ax+2=0的两个根中至少有一个根小于-1.
[处理建议]　可将方程的左端设为相应的函数,然后结合二次函数的图象,确定关于a的不等式(组).
[规范板书]　解　(1) 设f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))=x2-ax+a2-7,其图象为开口向上的抛物线.若要使其图象与x轴的两个交点在点(2, 0)的两侧,只需f(2)<0,即4-2a+a2-7<0,∴ -1(2) ① 当a=0时,x=0,满足题意.