4.2.2等差数列的前n项和公式（1） 基础练
一、选择题
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于( )
A．10 B．12 C．15 D．30
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（ ）
A．21 B．1 C．﹣42 D．0
3．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的总数记为，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．含项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选题）已知递减的等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B．当时，最大
C． D．
二、填空题
7．已知数列为等差数列且a5=2，则其前9项和S9=___________.
8．已知数列的前项和为，若，，.则__________.
9．设是等差数列的前项和，若，则=__________.
10．在等差数列中，为其前项的和，若，，则________.
三、解答题
11．在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足________.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值.
12．设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
4.2.2等差数列的前n项和公式（1） 基础练
一、选择题
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于( )
A．10 B．12 C．15 D．30
【答案】C
【解析】因为等差数列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故选C.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（ ）
A．21 B．1 C．﹣42 D．0
【答案】D
【详解】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，
∴2（﹣3+3d）+3（﹣3+6d）＝9，解得d＝1，∴S7＝7×（﹣3）+＝0．故选：D．
3．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的总数记为，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题图可知，，，，，依此类推，每增加，图案中的点数增加，所以相应图案中的点数构成首项为，公差为的等差数列，
，
．故选：C．
4．含项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设该等差数列为，其首项为，前项和为，
则，，，
．故选：B
5．（多选题）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】，，
，则．故选：AC.
6．（多选题）已知递减的等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B．当时，最大
C． D．
【答案】BC
【详解】数列是等差数列，由，则，
，又因为数列是递减数列，所以，，故A错误、B正确.，故C正确；，故D错误.故选：BC
二、填空题
7．已知数列为等差数列且a5=2，则其前9项和S9=___________.
【答案】18
【详解】因为数列为等差数列，所以.
8．已知数列的前项和为，若，，.则__________.
【答案】9
【详解】若，则数列为等差数列，公差d＝2，
由S5＝25，可得5+10×2＝25，所以＝1，则＝9．
9．设是等差数列的前项和，若，则=__________.
【答案】
【详解】由等差数列的前项和公式可得：.
10．在等差数列中，为其前项的和，若，，则________.
【答案】144
【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，
.
三、解答题
11．在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足________.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值.
【详解】
（1）选条件①，
因为数列是等差数列，设公差为，
由解得：，
所以，
选条件②，
因为数列是等差数列，设公差为，
解得：
所以，
选条件③，
因为数列是等差数列，设首项为，公差为，
由即，解得 ，
所以
（2）由（1）知，
，
令，可得，
令，可得，
所以前项都是正值，从第项起是负值， 故当时，最大.
.
12．设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
则由题意得，解得，
所以；
（2）由（1）得，则，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.4.2.2等差数列的前n项和公式（2） 基础练
一、选择题
1．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给6个人，使每人所得成等差数列，且较少的三份之和是较多的三份之和的，则最少的一份为（ ）
A．磅 B．6磅 C．磅 D．磅
3．已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（ ）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
4．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A．15天 B．16天 C．17天 D．18天
5．（多选题）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B．最大 C． D．
6．（多选题）等差数列的前n项和，且，，则下列各值中可以为的值的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
7．等差数列的前项和为，且，，当 ________时，最大.
8．已知等差数列和的前项和分别为与，且，则________．
9．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为__________ .
10．已知数列为等差数列，，表示数列的前项和，若当且仅当时，取到最大值，则的取值范围是________
三、解答题
11．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．
（1）求第六排的座位数；
（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？
（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多）
12.新能源汽车环保 节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元.
（1）每台充电桩第几年开始获利？(参考数据：)
（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前年的年平均利润=).
4.2.2等差数列的前n项和公式（2）基础练
一、选择题
1．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为，
则，故，，故，
则.故选：B.
2．世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给6个人，使每人所得成等差数列，且较少的三份之和是较多的三份之和的，则最少的一份为（ ）
A．磅 B．6磅 C．磅 D．磅
【答案】C
【详解】由题意，设数列前6项为，
则，解得，
所以，故选：C
3．已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（ ）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】A
【详解】由数列为等差数列，且，得，
故数列为递增数列，且，所以有最小值，无最大值，故选：A.
4．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A．15天 B．16天 C．17天 D．18天
【答案】A
【详解】设他们每天收到的捐款形成数列，则由题可得是首项为10，公差为10的等差数列，，解得（舍去）或，
所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.故选：A.
5．（多选题）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B．最大 C． D．
【答案】ABD
【详解】因为，故，所以，
因为等差数列为递减数列，故公差，所以，故AB正确.
又，，故C错误，D正确.故选：ABD.
6．（多选题）等差数列的前n项和，且，，则下列各值中可以为的值的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】CD
【详解】因为等差数列的前n项和，所以可设，
因为，，
所以，即，解得，
所以，当且仅当时等号成立，又，所以等号不能取得，因此，故CD正确，AB错.故选：CD.
二、填空题
7．等差数列的前项和为，且，，当 ________时，最大.
【答案】6或7
【详解】解：因为，所以，化简得，
所以，因为，所以，
所以，
它的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为，
因为，所以当或时，取得最大值，故答案为：6或7
8．已知等差数列和的前项和分别为与，且，则________．
【答案】
【详解】解：由，设，，
则，
，.故答案为：
9．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为__________ .
【答案】369
【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角上的两个数相加正好等于，根据等差数列的求和公式，，故.
10．已知数列为等差数列，，表示数列的前项和，若当且仅当时，取到最大值，则的取值范围是________
【答案】
【详解】由，得即
当且仅当时，取到最大值，则
则，即，得到
由，可得故答案为：
三、解答题
11．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．
（1）求第六排的座位数；
（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？
（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多）
【详解】解：（1）依题意，得每排的座位数会构成等差数列，其中首项，公差，
所以第六排的座位数．
（2）因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，
第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列，
首项，公差，所以数列前10项和．
故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．
12.新能源汽车环保 节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元.
（1）每台充电桩第几年开始获利？(参考数据：)
（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前年的年平均利润=).
【详解】（1）每台充电桩第年总利润为
所以每台充电桩第3年开始获利
（2）每台充电桩前年的年平均利润
当且仅当时取等号
所以每台充电桩前8年的年平均利润最大
