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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第五章：二元一次方程组
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．下列式子属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数满足方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x、y的二元一次方程有一个解是，则（ ）
A． B．2 C．3 D．5
4．已知+=0，则为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023
5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一道题的原文是：“今有木，不知长短，余绳四尺五寸；屈绳量之，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，长木还剩余1尺，问木长多少尺？小宁将这个问题转化为二元一次方程组问题，同时已经列出一个方程为，则另一个方程为（ ）
A． B． C． D．
6．设，则（ ）
A．12 B． C． D．
7．五一节前夕，某超市用1680元购进A，B两种商品共60件，A型商品每件24元，B型商品每件36元，设购进A型商品件，B型商品件，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．植树节这天有名同学种了棵树苗，其中男生每人种树棵，女生每人种树棵．设男生有人，女生有人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线分别与轴，轴交于点，，直线分别与轴，轴交于点，直线与相交于点，已知，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先减小后增大 D．不变
二、填空题:（每小题3分共15分）
11．对于方程，请用含有x的式子表示y，得 ．
12．若一次函数经过点，则 ．
13．如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为 ．
14．对每个的值，是，，中的最大值，则当变化时，函数的最小值为 ．
15．若关于m，n的二元一次方程组的解是那么关于x，y的二元一次方程组的解 ．
三、解答题：（共55分）
16．（8分）解方程组：
(1)；
(2)．
17．（6分）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组解为，试计算：的值．
18．（8分）在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十九两；牛二羊五，值金十六两，问牛羊各值金几何？”译文：“五头牛和两只羊共值金19两，两头牛和五只羊共值金16两，问牛和羊各值金多少两？”请你解决这个问题．
19．（8分）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
(1)购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？
(2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？
20．（8分）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
21．（9分）如图，正比例函数与一次函数的图象，它们交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，与x轴交于点C．
(1)求k、a的值；
(2)求的面积；
(3)点P为y轴上的一个动点，求的最小值．
22．（8分）如图，交x轴于点A ，交y轴于点B ，直线交x轴于点C ，交y轴于点D ，交直线于点E.
(1)求点E的坐标；
(2)点 P 为 延长线上一点， 设点 P 的横坐标为m，的面积为 S，求 S 与 m 的函数解析式. (不必写出自变量m 的取值范围)
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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第五章：二元一次方程组
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．下列式子属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、，符合二元一次方程的定义，故选项A符合题意；
B、，含未知数的项的次数为2，不符合二元一次方程的定义，故选项B不符合题意；
C、，不是整式方程，不符合二元一次方程的定义，故选项C不符合题意；
D、，不是等式，不符合二元一次方程的定义，故选项D不符合题意；
故选：A
2．下列各组数满足方程的是（ ）
A． B． C． D．
解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意；
故选：A．
3．若关于x、y的二元一次方程有一个解是，则（ ）
A． B．2 C．3 D．5
解：将代入方程，得，
解得，
故选：C．
4．已知+=0，则为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023
解：∵+=0，
∴
联立方程组得：解得：
代入得：
故选A；
5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一道题的原文是：“今有木，不知长短，余绳四尺五寸；屈绳量之，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，长木还剩余1尺，问木长多少尺？小宁将这个问题转化为二元一次方程组问题，同时已经列出一个方程为，则另一个方程为（ ）
A． B． C． D．
解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x表示长木的长度，y表示绳子的长度，
又∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴．
故选：A．
6．设，则（ ）
A．12 B． C． D．
解：
由②得，
∴，
∴，
故选C．
7．五一节前夕，某超市用1680元购进A，B两种商品共60件，A型商品每件24元，B型商品每件36元，设购进A型商品件，B型商品件，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：设购进A型商品件，B型商品件，根据题意，得
．
故选：B
8．植树节这天有名同学种了棵树苗，其中男生每人种树棵，女生每人种树棵．设男生有人，女生有人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：设男生有人，女生有人，有名同学，男生每人种树棵，女生每人种树棵，
∴，
故选：．
9．如图，直线分别与轴，轴交于点，，直线分别与轴，轴交于点，直线与相交于点，已知，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
解：∵直线：分别与轴、轴交于点，点，
当，则，当，则，
∴，的坐标分别是，，
∵直线：分别与轴，轴交于点，点，
当，，当，则，
∴的坐标是，的坐标是，
∵，∴，
，
，
∴的坐标就是，的坐标就应该是，
∴的函数式应该是，
∴点的坐标满足方程组，
解得，
即的坐标是．
故选：D．
10．如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先减小后增大 D．不变
解：连接，
点、的坐标分别为、，
设所在直线解析式为：，
，
解得：，
所在直线解析式为：y=-x+1，
点是第一象限内直线上的一个动点，
两直线平行，
到直线的距离是定值，
是定值，是定值，到直线的距离是定值，
当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变．
故选：D．
二、填空题:（每小题3分共15分）
11．对于方程，请用含有x的式子表示y，得 ．
解：，
移项，得，
系数化成1，得．
故答案为：．
12．若一次函数经过点，则 ．
解：将点代入得：，
解得：，
故答案为：．
13．如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为 ．
解：∵方程组的解即为与的交点坐标，
即，
故答案为：．
14．对每个的值，是，，中的最大值，则当变化时，函数的最小值为 ．
解：联立，解得：，
∴直线与直线交于点；
联立，解得：，
∴直线与直线交于点；
联立，解得：，
∴直线与直线交于点，
∴函数图象如下，
∴由图象可知当时，最大，且；
当时，最大，且；
当时，最大，且，
∴当变化时，函数的最小值为2．
故答案为：2．
15．若关于m，n的二元一次方程组的解是那么关于x，y的二元一次方程组的解 ．
解：∵关于 的二元一次方程组 的解为 ，
把关于 的二元一次方程 看作关于 和 的二元一次方程组，
∴,
∴关于 的二元一次方程 的解为 ；
故答案为： ；
三、解答题：（共55分）
16．（8分）解方程组：
(1)；
(2)．
解（1）
将①代入②得，
解得
将代入①得，
∴方程组的解为：；
（2）
整理得，
得，
解得
将代入①得，
解得．
∴方程组的解为：．
17．（6分）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组解为，试计算：的值．
解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
∴．
18．（8分）在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十九两；牛二羊五，值金十六两，问牛羊各值金几何？”译文：“五头牛和两只羊共值金19两，两头牛和五只羊共值金16两，问牛和羊各值金多少两？”请你解决这个问题．
解：设牛和羊各值金x、y两，
根据题意有：，
解得：，
答：牛和羊各值金3两、2两．
19．（8分）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
(1)购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？
(2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？
（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元；
（2）解：设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
根据题意得：，
化简得：，即．
∵a、b均为不小于12的正整数，
∴当时，；当时，；当时，；当时，．
答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件．
20．（8分）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．
第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为．
根据题意得：
，
由②，得：③，
得：．
把代入①得：，
∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．
（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，
所以第一次他们拼成的两位数为45．
21．（9分）如图，正比例函数与一次函数的图象，它们交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，与x轴交于点C．
(1)求k、a的值；
(2)求的面积；
(3)点P为y轴上的一个动点，求的最小值．
（1）解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：．
（2）解：把代入得：，
∴点的坐标为，
∴．
（3）解：∵，
∴一次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴，
作点C关于y轴的对称点D，连接交轴于一点P，如图所示：
则点D的坐标为，
∵点C与点D关于y轴对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当点D、P、A在同一直线上时，最小，即最小，
∴的最小值为：．
22．（8分）如图，交x轴于点A ，交y轴于点B ，直线交x轴于点C ，交y轴于点D ，交直线于点E.
(1)求点E的坐标；
(2)点 P 为 延长线上一点， 设点 P 的横坐标为m，的面积为 S，求 S 与 m 的函数解析式. (不必写出自变量m 的取值范围)
（1）解：联立方程组：，
解得：，
．
（2）中，令，则，
，
令，则，
，
在中，令 ，则，
，
令，则，
，
，
点的横坐标为，
，
，
点在的延长线上，
，
．
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