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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十四章
课标要求 1、了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)； 2、能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)和除法运算(仅限单项式除以单项式，多项式除以单项式且商为整式)； 3、能推导乘法公式：(a+b)(a-b)=，，了解每个公式几何背景，并能利用公式进行简单的计算和推理； 4、能理解因式分解的概念；了解从整式乘法得出因式分解的方法，并能用提公因式法、公式法进行因式分解。
内容分析 本章内容建立在已经学习了的有理数运算，列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要的意义.同时，这些知识也是学习物理、 化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.
学情分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理能力，他们在七年级上已经学习过整式的有关概念，对同类项进行过简单的辨析与学习，对合并同类项的学习以及应用具备一定的基础，只是解决问题的意识和能力还不够。因此，学生正处在“从数到式”的过渡阶段，这一阶段由具体到抽象，从特殊到一般，对学生的认知水平和思维能力是一个巨大的挑战，所以教学中要尽可能多的与前面相关内容衔接，结合实际问题展开教学，进一步发展学生的符号感。
单元目标 教学目标 1.理解幂的乘方，积的乘方的运算性质。 2.理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算 3.会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算 4.完全平方公式的学习与探讨。 (二)教学重点、难点 教学重点：熟练掌握整式乘法的计算和因式分解的解题方法 教学难点:灵活的应用乘法公式进行运算或进行因式分解
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数14.1整式的乘法714.2乘法公式314.3因式分解3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务14.1整式的乘法掌握正整数幕的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行计算掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式|的法则，并运用它们进行计算. 能利用法则进行幂的运算，整式乘法运算任务1.掌握幂的运算法则 任务2.归纳整式乘法的运算法则 任务3.出示例题14.2乘法公式会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式)，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算推到乘法公式并能运用公式进行计算任务1：认识平方差公式 任务2.推导完全平方公式 任务3.出示例题13.3等腰三角形理解因式分解的意义，并感受因式分解与整式乘法是相反方向的运算，了解因式分解的方法和一般步骤，能熟练运用方法进行多项式的因式分解学生能选择适当的方式分解因式任务1.理解因式分解的定义 任务2.探究提公因式法分解因式的方法 任务3.探究运用平方差公式分解因式 任务4：探究运用完全平方公式进行因式分解
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分课时教学设计
第一课时《14.3.1提公因式法分解因式》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 因式分解是对整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式相乘的形式，它 与整式乘法是互逆变形的关系，因式分解是后续学习分式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础.分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用.
学习者分析 因式分解不同于数的计算，是对整式进行变形，八年级学生好奇心强，对新内容感兴趣，但学习急于求成，第一次接触时在理解还不够深入，学生有时会出现因式分解后又后反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。在教学中教师要对他们进行学法指导，尤其要对他们进行数学学习方法和数学思想的培养.
教学目标 1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
教学重点 学生能确定多项式中各项的公因式，学生能用提公因式法把多项式分解因式．
教学难点 正确找出多项式中各项的公因式及提公因式后另一个因式的确定．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 1.说一说单项式乘以多项式的计算法则？ 2.填空： (1)= ; (2)(x+1)(x-1)= . 利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式。 反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式。学生活动1： 教师提出问题，学生根据所学知识回答活动意图说明：用旧知识引入新知识，让学生觉得不突兀，使课堂也活跃起来。又为新知识作铺垫环节二：新知探究教师活动2： 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： （1）x2+x= ; （2）x2-1= . 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解(factorization)，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法是方向相反的变形 归纳总结： 1.因式分解研究的对象是多项式，结果是整式的积 2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不变 3.因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止 4. 因式分解是有范围的，若无特殊说明，一般是在有理数范围内分解，有时也要求在实数范围内分解 观察下列式子的共同点. 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 说出下列各多项式的公因式： (1) ma+mb；_____ (2) 4kx-8ky；_____ (3) 5+20；_____ (4) b-2a+ab. _____ 正确找出多项式的公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 学生活动2： 老师引导学生观察、分析、发现，教师引导学生讨论 教师引导，归纳总结 教师先提出问题，学生独立思考，课堂展示求解过程. 活动意图说明：趁着学生刚知道因式分解，及时提问怎么去分解的问题，顺其自然提出第一种提公因式的方法, 总结寻找公因式的方法，让学生记忆更加深刻。环节三：典例精析教师活动3： 例1.把8+ 12ac分解因式. 分析：8与12的最大公约数是___；相同字母有___和___；a的最低指数___，b的最低指数___；公因式是_____. 解：8+12ac =4a·2+4a·3bc =4a (2+3bc) 例2.把下列各式分解因式： (1) 2a(b+c) - 3(b+c) 解：2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3) 归纳总结： 提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算. 学生活动3： 学生先独立解决问题，然后进行交流、探讨，教师巡视并予以指导。 活动意图说明：通过例题教学，引导学生了解提公因式法分解因式的基本程序和步骤，积累找公因式的经验，明确用提公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式.
板书设计 提公因式法分解因式 1.我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2.如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 3.确定公因式的方法：三看，即看系数、看字母、看指数
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列因式分解结果正确的是（ ） A． B． C． D． 2．多项式4a+16﹣12c的公因式是（ ） A．4ac B．a C．4a D．4c 3.已知多项式3+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m,n的值分别为（ ） A. m=1, n=-2 B. m=-1, n=-2 C. m=2,n=-2 D. m=-2，n=-2 4.将下列各式因式分解： (1)4＋12ac； (2)5a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋c)(a－b)－a－c. 选做题： 5.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由． 【综合拓展类作业】 6．阅读理解，并解答下面的问题： 拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）． 例：分解因式：＋4x＋3 解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x， ＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组 ＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式 ＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式 请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1、 下列从左到右的变形中是因式分解的有( ) ①1＝(x＋y)(x－y)－1；②＋x＝x(＋1)； ③＝－2xy＋；④－4＝(x＋2y)(x－2y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（ ） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 选做题： 3.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2y+x的值. (2)化简求值：-(2x+1)(2x-1)，其中x=. 【综合拓展类作业】 4．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+1)+x=(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x) = (1)上述分解因式的方法是____________，共应用了______次. (2)若分解1+x+x(x+1)+x+···+ x，则需应用上述方法______次，结果是_______. (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x+···+ xn(n为正整数).
教学反思 致力启用学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣和积极性,使他们最大限度地参与到课堂的活动中，在整个教学过程中以启发学生，挖掘学生潜力，让他们展开联想的思维，培养其能力为主旨而发展。在教学中自己做得也比较到位，要求学生记住特殊的类型，也为今后的解一元二次方程奠定了基础.
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14.3.1提公因式法
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
新知导入
2.填空：
(1)= ; (2)(x+1)(x-1)= .
1.说一说单项式乘以多项式的计算法则？
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式。
反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式。
新知讲解
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1）x2+x= ; （2）x2-1= .
x(x+1)
(x+1)(x-1)
上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解(factorization)，也叫做把这个多项式分解因式.
(x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法是方向相反的变形
归纳总结
因式分解研究的对象是多项式，结果是整式的积
1
因式分解是恒等变形，形式改变但值不变
2
因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止
3
因式分解是有范围的，若无特殊说明，一般是在有理数范围内分解，有时也要求在实数范围内分解
4
新知讲解
观察下列式子的共同点.
pa+pb+pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式p
x2＋x
相同因式x
归纳总结
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
新知讲解
说出下列各多项式的公因式：
(1) ma+mb；_____ (2) 4kx-8ky；_____
(3) 5y3+20y2；_____ (4) a2b-2ab2+ab. _____
m
4k
5y2
ab
归纳总结
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数 相同字母 最低指数
典例精析
例1.把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
分析：8与12的最大公约数是___；相同字母有___和___；a的最低指数___，
b的最低指数___；公因式是_____.
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
4
a
b
1
2
4ab2
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？
典例精析
例2.把下列各式分解因式：
(1) 2a(b+c) - 3(b+c)
解：2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3)
归纳总结
提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（ ）
A．4ab2c B．ab2 C．4ab2 D．4a3b2c
3.已知多项式3x2+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m,n的值分别为（ ）
A. m=1, n=-2 B. m=-1, n=-2 C. m=2,n=-2 D. m=-2，n=-2
B
C
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.将下列各式因式分解：
(1)4a3c2＋12ab3c；
(2)5a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋c)(a－b)－a－c.
(3)原式＝(a＋c)(a－b－1)．
解：(1)原式＝4ac(a2c＋3b3)；
(2)原式＝(5a－3)(b＋c)；
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
∴△ABC是等腰三角形．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0，
(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，
∴a－c＝0或1＋2b＝0，
即a＝c或b＝－0.5(舍去)，
课堂练习
【综合拓展类作业】
6．阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：＋4x＋3
解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：原式=＋2x＋3x＋6
．
课堂总结
因式
分解
提公因式法
确定公因式的方法：三看，即看系数、看字母、看指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1. 分解因式是一种恒等变形；
2. 公因式：要提尽；
3. 不要漏项；
4. 提负号，要注意变号
板书设计
提公因式法分解因式
1.我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
3.确定公因式的方法：三看，即看系数、看字母、看指数
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1、 下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（ ）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
B
D
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]
=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).
3.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.
(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=.
将x=代入上式，得
原式=4.
作业布置
【综合拓展类作业】
4．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了______次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)2004，则需应用上述方法______次，结果是_______.
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)n(n为正整数).
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2···+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
提公因式法
2
2004
(x+1)2005
谢谢
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