4.2指数函数 同步练习（含解析）

4.2指数函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列函数中，在其定义域内既不是增函数，也不是减函数的为（ ）.
A． B．
C． D．
4．设，则（ ）
A．　 B．
C． D．
5．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则函数的图象恒过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
9．关于函数的相关性质，下列正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称
B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递减
D．函数的最小值为0，无最大值
10．已知函数，则（ ）
A．
B．
C．为偶函数
D．的图象关于点中心对称
11．设，且，则下列关系式中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，且，函数，则（ ）
A．曲线与曲线关于轴对称
B．曲线与曲线关于轴对称
C．当时，函数在上单调递增
D．当时，函数在上单调递减
三、填空题
13．已知集合，集合，则 ．
14．设函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 .
15．小明说，对于一个定义在上的函数，如果我证明了“，都有”，我就可以判定函数有最小值．为了向小明说明他的结论是错误的，可以作为反例的一个函数是 ．
16．已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ．
四、解答题
17．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)，不等式成立，求实数的取值范围.
19．已知函数
(1)若，求不等式的解集;
(2)若，求的最小值.
20．已知三个指数函数，，的图象如图．

(1)试比较a、b、c的大小；
(2)指数函数的底数越大，它的图象与直线的交点的纵坐标是越大还是趋近于0？
21．已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性及其单调性（不需写出判断单调性的过程）；
(2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
22．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，.
(1)判断函数的奇偶性并用定义证明；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解关于的不等式.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】当时，单调递减，，且最小值为，
当时，当时，单调递增，不符题意，
又注意到是上的减函数，
故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为，
则由题意有，解得．
故选：A.
2．D
【分析】利用指数函数的性质求解.
【详解】∵，∴恒过定点，
∴，，∴，其图象不经过第四象限，
故选：D.
3．A
【分析】根据函数单调性的定义，结合常值函数、幂函数、指数函数和反比例函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数，在定义域内既不是增函数，也不是减函数，符合题意；
对于B中，函数，在定义域内为单调递增函数，不符合题意；
对于C中，函数，在定义域内单调递增函数，不符合题意；
对于D中，函数在为单调递减函数，不符合题意.
故选：A.
4．D
【分析】指数式比较大小，化为同底，转化为函数单调性的问题.
【详解】因为，由于函数在R上是增函数，且，所以，即.
故选：D.
5．B
【分析】依题意可得恒成立，再分和两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】因为不等式恒成立，即恒成立
所以恒成立，即恒成立，
当时恒成立，符合题意；
当时，则，解得；
综上可得，即实数的取值范围是.
故选：B
6．C
【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，当时，，易知在区间上单调递增，所以选项A错误；
对于选项B，易知的定义域为，关于原点对称，
又，故为奇函数，所以选项B错误；
对于选项C，易知定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，
又当时，在区间上单调递减，所以选项C正确；
对于选项D，，易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项D错误.
故选：C.
7．C
【分析】利用指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为是定义域在上的增函数．
所以当时，，，
所以的值域为．
故选：C.
8．B
【分析】分析给定函数图象即可判断得解.
【详解】函数中，当时，函数的图象过第一、二象限；
当时，函数的图象过第一、二、四象限；
当时，函数的图象过第二、四象限；
当时，函数的图象过第二、三、四象限，
所以函数的图象恒过第二象限.
故选：B
9．ACD
【分析】探讨给定函数的性质，再逐项判断即可得解.
【详解】函数的定义域为R，，
因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，A正确；
当时，，而函数是减函数，
则在上单调递增，在上单调递减，B错误，C正确；
当时，，则，
当时，由是偶函数，得，
因此，，即函数的最小值为0，无最大值，D正确.
故选：ACD
10．BD
【分析】对A，由的范围得到的范围，进而求出函数的值域；对B，通过运算即可得到答案；对C，根据函数奇偶性的定义即可判断；对D，结合C中的推理即可判断答案.
【详解】对A，因为,则，，
所以.A错误；
对B，
.B正确；
对C，记，
，则函数为奇函数.C错误；
对D，由C可知，为奇函数，则的图象关于点对称，所以的图象关于点中心对称.D正确.
故选：BD.
11．BC
【分析】作出的图象，由图象可得只有，或这两种情况.
进而推出，又，推出.
【详解】则的图象如下所示，
因为，
若，则，这与已知矛盾，
同理，也不成立.
只有，或这两种情况.
所以，故B一定不成立，A成立；
又，即，所以，故D一定成立，C一定不成立.
故选：BC.
12．ABD
【分析】根据得到A正确；由得到B正确；CD选项，变形得到，令，则，由复合函数单调性判断出答案.
【详解】A选项，的定义域为R，
，
所以曲线与曲线关于轴对称，A正确；
B选项，因为的定义域为R，
，
故曲线与曲线关于轴对称，B正确；
CD选项，，
令，则，
当时，在上单调递减，且，
又在上单调递增，
故当时，函数在上单调递减，C错误；
当时，在上单调递增，且，
又在上单调递减，
故当时，函数在上单调递减，D正确；
故选：ABD
13．
【分析】解方程组得到交点，结合函数单调性得到答案.
【详解】，即，满足，
函数单调递增，故有唯一解，
则函数和的图象仅有一个交点，故．
故答案为：.
14．
【分析】利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】因为在区间上是严格减函数，而在上单调递增，
令，则在上单调递减，
又开口向上，对称轴为，
所以，则.
故答案为：.
15．（答案不唯一，满足条件即可）
【分析】取，利用的定义域为，值域为，即可得出结果.
【详解】易知，的定义域为，
因为函数是定义域上的增函数，值域为，所以恒成立，
但函数没有最小值，
故答案为：（答案不唯一，满足条件即可）
16．
【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.
【详解】令，解得或，
∴的定义域为，
令，则其在上递减，在上递增，
又为减函数，故的增区间为．
∵，∴，故的值域为．
故答案为：，.
17．(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）利用函数有意义列出不等式，结合指数函数单调求解即得.
【详解】（1）函数有意义，则，
所以的定义域为.
（2）函数有意义，则，解得，
所以的定义域为.
（3）函数有意义，则，即，解得，
所以的定义域为.
（4）函数有意义，则，即，解得，
所以的定义域为.
18．(1)是奇函数.证明见解析
(2)
【分析】（1）化简可得，即可得出是奇函数；
（2）分析出的单调性，结合函数奇偶性，即可转化为对于恒成立，进而转化为利用含参的二次函数最值求解即可.
【详解】（1）由题知，定义域为，
，
则是奇函数
（2）由，
因为在定义域上单调递增，且，
所以在定义域内单调递减，
在定义域内单调递增，
即在内单调递增，
若，不等式成立，
即，
又为奇函数，即，
可得，
则等价于恒成立，
即对于恒成立，
当时，，即，符合；
当，，此时只需，，
可得；
当，若，即时，
此时，，可得；
若，即时，
此时，，可得；
若，即时，
时，，时，，
时，，
所以若时，，，
可得；
若时，，，可得；
若时，，
解得，
因为，，故符合.
综上，的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）结合指数函数的性质解不等式；
（2）用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值．
【详解】（1）若，则，
所以，即，所以，
所以或，解得或，
即不等式的解集为．
（2）若，即，解得．
所以，
令，所以．
当，即时，在上单调递增，
所以，即．
当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以，
即．
综上，．
20．(1)
(2)越大
【分析】（1）（2）根据直线与指数函数图象交点的纵坐标即可判断，
【详解】（1）不妨取，则三个指数函数，，对应的函数值分别为，
根据图象可知

（2）当，指数函数对应的函数值为其底数，故指数函数的底数越大，它的图象与直线的交点的纵坐标越大.
21．(1)偶函数；的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义可以判断为偶函数，根据复合函数可判断的单调性；
（2）先求利用基本不等式求的最小值为，故在恒成立，
再转化为恒成立，构造求其最小值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，，故为偶函数；
设，则在上单调递增，且，
设，根据对勾函数的单调性，
在上单调递减，在上单调递增，
当，即，
当，即，
故根据复合函数的单调性可知：
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），
当时，，
当且仅当即时等号成立，
故由题意对任意的，恒成立，
得即，
即，
由（1）可知的单调递减区间为，单调递增区间为，
又，，
所以当时， ，
设，则单调递增，
所以，故，
所以实数的取值范围为
22．(1)函数是奇函数，证明见解析
(2)函数在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法先求出，再得到的关系，进而可证奇偶性；
（2）先取值，然后还是利用赋值法得到的正负，继而证明单调性；
（3）结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式.
【详解】（1）函数是奇函数，
证明：因为对，都有
令，可得，解得；
令，则，
令，则，
所以为定义在上的奇函数.
（2）函数在上单调递减，
证明：取，则
可得，
因为所以
所以，
又，
所以，
又当时，，
所以，
所以，即
所以在上单调递减.
（3）因为，且函数是奇函数，
所以
又的定义域为且在上是单调递减的，
所以
所以，解得
所以不等式的解集为.
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