4.4对数函数 同步练习（含解析）

4.4对数函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．，若，则正数的值是（ ）
A． B． C． D．1
3．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）．若学校图书规定：在阅览室内，声强级不能超过，则最大声强为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，如果当时，函数的值域是，则
C．若，则不等式的解集为
D．若，如果存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是
10．给出下列结论，其中正确的是（　　）
A．函数的最大值为；
B．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是；
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；
D．函数在上是增函数.
11．若，则下列结论可能成立的是（　　）
A． B．
C． D．
12．若为函数图象上的一点，则下列选项正确的是（ ）
A．为函数图象上的点 B．为函数图象上的点
C．为函数图象上的点 D．为函数图象上的点
三、填空题
13．已知函数，且对于，恒有，则实数a的取值范围是 ．
14．已知函数，若与值域相同，请写出一个这样的函数， .
15．已知集合，则集合用列举法表示为 .
16．已知函数，且．
（1）时，函数的最小值为 ；
（2）若函数的值域为R，那么实数a的取值范围是 ．
四、解答题
17．求下列函数的定义域：
(1)
(2)
18．已知．
(1)若，求的值域；
(2)若在上单调递减，求a的取值范围．
19．已知函数，设．
(1)当时，解关于的不等式；
(2)对任意的，函数的图象总在函数的图象的下方，求正数的范围．
20．设的定义域为，若，都有，则称函数为“H函数”.
(1)若在上单调递增，证明是“H函数”；
(2)已知函数.
①证明是上的奇函数，并判断是否为“H函数”（无需证明）；
②解关于x的不等式.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】利用函数的奇偶性、单调性、对数函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】解：由题可知函数的定义域为，
∵，
∴是偶函数，
∴由可得，即.
当时，，∵和在上都是单调递增的，
∴在上单调递增，又因是偶函数，
∴在上单调递减.
又∵，由函数的定义域知有，
∴由可得，解得：；
由可得，解得：.
综上，不等式的解集为.
故选：D.
2．C
【分析】根据分段函数的定义结合对数的运算性质求解.
【详解】由，
得，
解得.
故选：C.
3．A
【分析】由可知，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果.
【详解】依题意可将指数函数化为，由可知；
由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC，
由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除D，
故选：A
4．C
【分析】先求出集合，再由交集，补集，并集的定义判断A，C，D；由集合间的关系判断B.
【详解】由，则，解得：，
所以，
由可得，即，则，
解得：，故， 故B错误；
故A或，故A错误；
或，，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
5．B
【分析】利用“分段法”确定正确答案.
【详解】，
，所以.
故选：B
6．A
【分析】根据对数型复合函数的单调性得到不等式组，解得即可.
【详解】由于在上单调递增，
而在上单调递增，函数在上单调递增，
所以，所以，
故的取值范围是.
故选：A．
7．C
【分析】根据已知公式，应用指对数的关系及运算可得解.
【详解】依题意，，则，则，
故选：C．
8．B
【分析】根据基本函数的奇偶性，以及单调性即可逐一判断.
【详解】对于A，在R上单调递减，故不符合题意，
对于B，定义域为，
且，故为奇函数，
且为上的单调递增函数，故B正确，
对于C，的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，不符合要求，
对于D，定义域为R，且，
故为偶函数，不符合要求，
故选：B
9．AD
【分析】A选项，根据函数的奇偶性得到方程，求出；B选项，由复合函数单调性得到在上是严格增函数，从而得到求出；C选项，由函数单调性得到，求出解集；D选项，由的单调性得到值域为，进而得到与的交集为非空，得到不等式，求出答案.
【详解】对于A：因为为奇函数，
所以，则，
因为，所以，A正确.
对于B：令，则由，得.
因为在上单调递减，
所以当时，在上是严格增函数，
所以，
所以，B错误.
对于C：当时，，
则由，得，
所以，解得，C错误.
对于D：当时，在上单调递减，
所以在上的取值范围是.
由题意知与的交集为非空，所以，解得，D正确.
故选：AD.
10．CD
【分析】由，根据指数函数的性质，可得判定A错误；根据对数函数及复合函数单调性的判定方法，得出不等式，可判定B错误；由与互为反函数，可判定C正确；根据幂函数的性质，可判定D正确.
【详解】A中，由，可得，所以函数的最小值为，所以A错误；
B中，由函数在上是减函数，则满足，解得，所以B错误；
C中，函数与互为反函数，其图象关于对称，所以C正确；
D中，幂函数为偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增，所以D正确.
故选：CD.
11．BCD
【分析】分与同正、同负和异号三种情况讨论即可.
【详解】若与同号，则由得，即，∴，
当与同为正时，，故C正确；
当与同为负时，，故A错，B正确；
若，则，故D正确．
故选：BCD.
12．ABC
【分析】结合指对互化及相关指数、对数运算解题即可.
【详解】若为函数图象上的一点，
∴，∴，则为函数图象上的点，故A正确；
∵，∴，则为函数图象上的点，故B正确；
∵，∴，则为函数图象上的点，故C正确；
∵，∴，故D错误.
故选：ABC.
13．
【分析】分段函数单调递减需满足两段都为减函数，且第一段端点纵坐标不小于第二段端点纵坐标，以此列不等式组即可求解.
【详解】因为对于，恒有，
所以在R上单调递减，
所以，解得，即实数a的取值范围为.
故答案为：

14．（答案不唯一）
【分析】利用换元法求的值域，即可得到的值域，然后写即可.
【详解】令，解得，所以的定义域为，
令，则，所以函数的值域为，
所以的值域为.
故答案为：（答案不唯一）.
15．
【分析】根据描述法表示的集合的意义，列举集合中的元素.
【详解】，为单调递减函数，值域为，
因为，当时，，当时，，
所以.
故答案为：
16． 0
【分析】（1）当，，分别求出和时，函数值的范围，即可求出结果；
（2）因为时，的值域为，从而得出是函数值域的子集，即可求出结果.
【详解】（1）当，，
由解析式易知，当时，单调递减，时，单调递增，
所以，当时，，当时，，
故时，函数的最小值为.
（2）因为时，的值域为，
所以是函数值域的子集，
故，解得，
所以实数a的取值范围是,
故答案为：（1）；（2）.
17．(1)
(2)
【分析】对数型函数的定义域即真数部分大于0.
【详解】（1）,即
∴函数的定义域是
（2）即,
的定义域是
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；
（2）根据复合函数单调性结合条件可得，进而即得.
【详解】（1）若，则，
因为，当且仅当时，等号成立，
可知的定义域为，
且在定义域内单调递减，可得，
所以的值域为.
（2）因为在定义域内单调递减，
由题意可知：在上单调递增，且在上恒成立，
可得，解得，
所以a的取值范围.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用对数函数的单调性求解即可；
（2）由题意可转化为对数不等式恒成立，利用函数单调性求解即可.
【详解】（1）由，得，
则，得，即不等式的解集为;
（2）因为，
对任意的，函数的图象总在函数图象的下方，
则在上恒成立，
即在上恒成立，，
在上恒成立，
整理得:在上恒成立，
设
则只需要即可，可得，
又因为，
所以，所以正数的范围为;
20．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）利用定义证明函数的单调性，化简即可证明为“H函数”；
（2）①根据奇偶性的定义直接判断，分析函数的递增性从而确定是否为“H函数”；
②利用单调性求解不等式.
【详解】（1）若在上单调递增，则，，
即，
即，
整理得：，
所以是“H函数”.
（2）①定义域为，关于原点对称，
，
所以是上的奇函数.
是 “H函数”
②是上的奇函数，并为“H函数”，
所以在上单调递增，
因为，即，
即，
所以，即，
所以不等式的解集为.
答案第1页，共2页
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